文档文本内容
第02 讲 成对数据的统计分析
目录
01 常考题型过关练
题型01 变量间的相关关系
题型02 一元线性回归模型
题型03 非线性回归模型
题型04 相关系数
题型05 残差
题型06 列联表与独立性检验
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 变量间的相关关系
1．以下散点图经过标准化后，相关系数最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ）
A．图1、图2 两组数据都具有线性相关关系
B．图1 数据正相关，图2 数据负相关
C．图1 相关系数
小于图2 相关系数
D．图1 相关系数和图2 相关系数之和小于0
3．对某种动物的三项指标
，
，
进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为
.若
与
的散点图如图1 和图2 所示，那么关于
的散点图最合理的为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ）
A．图1、图2 两组数据都具有线性相关关系
B．图1 数据正相关，图2 数据负相关
C．图1 相关系数
小于图2 相关系数
D．图1 相关系数和图2 相关系数之和小于0
5．（多选）某研究机构随机选取了100 位高三女生及其父亲的身高数据进行研究，计算得到样本相关系数
，女生身高
（单位：
）关于父亲身高
（单位：
）的经验回归方程为
，下列判断正确的是（ ）
A．女生身高和父亲身高正相关
B．女生身高和父亲身高不存在相关关系
C．已知父亲身高为
，估计女儿的身高为
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8985
6．（多选）根据下表的样本数据：
x
3
5
7
9
y
6
a
3
2
得到回归方程
，则（ ）
A．变量x 与y 是线性正相关关系
B．
C．变量x 与y 是线性负相关关系
D．
02 一元线性回归模型
7．某饮品店统计了一天营业时间
（单位：小时）与饮品销量
（单位：杯）的数据如下表：
营业时间
1
2
3
4
5
饮品销量
17
36
56
77
99
已知
与
线性相关．
(1)根据以上数据求饮品销量
关于营业时间
的回归直线方程；
(2)若平均一杯饮品的纯利润为5 元，某日该饮品店计划早上9 点开始营业，晚上9 点结束营业，中间不休
息，试预测当日饮品的总利润能否超过1000 元？
参考公式：回归直线方程
中，
，
．
8．某超市为销售一种商品，派人统计了去年该商品的每日广告费用
（百元）与当日销售量
（百件）的
关系，以便对今年广告方案的制定提供相关的数据参考，得到的数据如下：
日广告费用
（百元）
2
3
4
5
6
日销售量
（百件）
1.5
1.7
2.0
2.2
2.6
已知
与
线性相关.
(1)根据表中的数据，求
关于
的经验回归方程；
(2)利用（1）中的经验回归方程，估计当日广告费用为1000 元时，日销售量为多少件？
附：参考公式：经验回归方程
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
9．在某种实验中，对变量
依次得到五组观测数据如下表所示.
数据编号
1
2
3
4
5
x
10
11
13
12
8
y
23
24
30
27
16
该实验小组确定的研究方案是：先从这5 组数据中选取2 组，用剩下的3 组数据求线性回归方程，再用被
选取的2 组数据进行检验.
(1)求选取的2 组数据恰好是编号相邻的2 组数据的概率；
(2)若选取的是编号为1 和5 的两组数据，试根据剩余3 组数据求出y 关于x 的线性回归方程
；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为求得的线性回归方程
是可靠的，试问：（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
10．近年来，中国的新能源汽车产业展现出迅猛的发展势头，已然跃升为全球最大的新能源汽车市场．该
产业涵盖了电动汽车、插电式混合动力汽车以及燃料电池汽车等多种类型．在电池技术、电机和电控系统
等领域，中国的新能源汽车产业取得了引人瞩目的成就．现有一汽车测评栏目为了评估某品牌纯电动汽车
的实际续航能力，进行了一系列试验，并收集了相应的数据，详见下表．
速度
6
7
8
9
10
续航里程
4.4
4.2
4
3.9
3.5
(1)根据最小二乘法，计算y 关于x 的回归方程；
(2)根据你得到的一元线性回归模型，预测速度为
时，该电动汽车的续航里程；
(3)计算5 组数据的残差，并计算残差之和．
参考公式：线性回归方程中
，
的最小二乘法估计分别为
，
．
参考数据：
，
．
11．某高校数学系为了控制大一学生上课使用手机，针对上课使用手机情况，进行量化比，若发现上课使
用手机则扣除其对应的积分，根据调查发现每次被扣分数x 与本系大一学生每周上课使用手机人数y 的关
系如表所示．
x/分
0
2
5
8
10
y/人
50
25
20
15
10
(1)试根据以上数据，建立y 关于x 的经验回归方程；（参数
结果保留一位小数）
(2)根据上述经验回归方程分析每次扣分为多少时，该系大一新生被扣分的总数最大．（精确到整数）
附：在经验回归方程
中，
，
．
03 非线性回归模型
12．某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销
售额
（单位：亿元）的影响，结合近12 年的年研发资金投入量
和年销售额
的数据
，该
团队建立了两个模型：①
；②
，其中
，
，
，均为常数，为自然对数的底数.经对
历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令
，
，计算得如下数据：
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500
(1)设
和
的相关系数为
，
和
的相关系数为
，请从相关系数的角度，旋转一个拟合程度更
好的模型：
(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额y 需达到80 亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元?（结果精确到0.01）
附：对于一组数据
，样本相关系数
回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
13．自2020 年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5 年该地区的人工智能
核心产值规模
（单位：亿元）.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份编号
1
2
3
4
5
核心产值规
模
1.5
2.5
3.4
4.9
7.8
(1)若用
作为回归模型，并已求得
，
，
，求此模型下的决定系数
（精确到0.01）.
(2)若用
作为回归模型，
①求
的值；
②已知该模型下的决定系数
，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测
2025 年该地区的人工智能核心产值规模.
参考数据：
3
4.02
16.16
104.91
1.24
22.54
1.1
1.5
11.4
附：（1）上表中
；
（2）一组数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为
，
，决定系数
.
14．近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油
价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据：
x
6
6.5
7
7.5
8
y
1.5
2
3
4.5
6.8
(1)若用模型
模拟x 与y 之间关系，求出回归方程；
(2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9 元/升时，新能源汽车的销量；
(3)假设当汽油价格为9 元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5 次独立观测，记这5 次观测
中销量超过预测值的次数为
，求
的数学期望．
参考数据和公式：
．
，
．
令
，
，
，
．
对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
．
15．泉州少年郎团队从2024 年10 月份以来，通过深度整合AI 算法、大数据分析和自动化技术，不断优化
产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7 个月的经济收入
（单位：百万元）的数据如下表：
月份编号
1
2
3
4
5
6
7
收入
（百万元）
6
11
21
34
66
101
196
(1)根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，
与
（
均为大于零的常数）哪
一个适宜作为该团队经济收入y 关于月份x 的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你
的判断结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程；
(2)请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入；
(3)试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1 年的经济收入情况是否合理？
参考数据：
462
10.78
2711
50.12
2.82
3.47
其中设
，
参考公式：
，
.
16．某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i 年的年广告费
（单位：百
万元）满足递推关系
，且
，年销售量
（单位：百万辆）与年广
告费相关．令
，经过数据处理得到如下统计量的值：
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
现有模型
作为年销售量y 关于年广告费x 的回归分析模型，其中
均为常数．
(1)求
；
(2)求出y 关于x 的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200 元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也
加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199 倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响
外还受随机变量
影响，设随机变量
服从正态分布
，且满足
，求该公司年净
利润的最大值大于1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变
量）
附：①回归直线
②参考数据：
，
．
04 相关系数
17．已知某产品的一个零件在甲工厂生产，由于设备老化，甲工厂生产的零件次品率为0.1．
(1)为了解甲工厂生产情况，从生产的所有零件中随机抽取3 件，记这3 件产品中正品与次品的个数分别为
X，Y，记随机变量
，求
的分布列及
；
(2)为降低产品次品率，甲工厂进行了技术改进，从改进后第1 个月开始连续收集5 个月的观测数据，用
表示改进后的第i 个月，用
（单位：%）表示改进后第i 个月的次品率，其中
，利用最
小二乘法得到经验回归直线方程为
，求相关系数r（精确到0.01），并判断该经验回归直线
方程是否有价值．
附：①
．
②
，若
，则认为该经验回归直线方程有价值．
③
．
18．某人工智能公司从某年起连续
年的利润情况如下表所示.
第x 年
1
2
3
4
5
6
7
利润y/亿元
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)计算出
与
之间的相关系数（精确到
），并求出
关于
的回归直线方程；
(2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润.
参考公式：样本
的回归直线为
，其中
，
，
，
，
，
.
19．为促进消费，助力经济发展，某市持续开展了共8 期政府消费券发放活动，记第
期活动
发放的消费券总额为
百万元，带动的消费为
百万元，根据这8 期活动的数据，可得
，
，且
和
的样本方差分别为
，
，用最小二乘法得到
关于
的线性回归方程为
.
(1)求
；
(2)若下一期活动政府计划发放10.8 百万元的消费券，预计可以带动多少消费；
(3)求相关系数.（结果保留2 位小数）
参考公式：相关系数
，线性回归方程
中，
，
.参考数据：
.
20．云计算是一种通过互联网按需提供可扩展计算资源的服务模式，其应用不限于企业ⅠT 优化，更是渗
透到教育、医疗、制造等垂直领域，推动智能化与高效化发展．某媒体进行“你是否了解云计算？”的问
卷调查，统计了200 名调查者，结果如下
男
女
不了解
35
50
了解
65
50
(1)根据调查结果回答：有
的把握认为性别与是否了解云计算有关吗？
(2)下表为2020—2025 年中国云计算市场规模（单位：千亿元，2025 年为预测规模），其中2020—2025 年
的年份代码x 依次为1，2，3，4，5，6
年份代码
x
1
2
3
4
5
6
市场规模
y
1.67
2.11
2.59
3.10
3.64
4.26
根据上表数据求得y 关于x 的回归方程为
，用相关系数r 判断该回归方程是否有价值．
（若
，则认为回归方程有价值，反之则无）附：
，其中
．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21．某企业调研后，得到研发投入
（万元）与产品收益
（万元）的数据如下：
1
2
3
4
5
9
1
2
1
7
2
1
2
6
(1)若
与
线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若
，则相关程度一
般；若
，则相关程度很强）
(2)求出
关于
的经验回归方程
，并预测当研发投入6 万元时的产品收益.
参考数据：
参考公式：
，
，
.
05 残差
22．已知变量
线性相关，其一组样本数据
，满足
，用最小二乘法得到的
经验回归方程为
．若减少一个杂点数据
后，得到修正后的回归直线的纵截距为
，则数
据
的残差为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．已知变量
线性相关，其一组样本数据
，满足
，用最小二乘法得到的
经验回归方程为
.若增加一个数据
后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据
的
残差为（ ）
A．0.1
B．0.2
C．-0.2
D．-0.1
24．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下
表所示．
零件数
个
加工时间
由上表数据求得
关于
的经验回归方程为
，据此计算出样本点
处的残差为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．已知两个变量x 和y 之间具有较强的线性相关关系，且y 关于x 的经验回归方程为
，由它
计算出成对样本数据
对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值），则
（ ）
A．0.28
B．0.56
C．0.34
D．0.48
26．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得的数据列于表中．已知该产品
的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且
，现有一对测量数据为
，若该数据的残差
为0.6，则
．
色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20
06 列联表与独立性检验
27．某项比赛近五年的观众人数（单位：万人）与年份的统计数据如表所示：
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份编号
1
2
3
4
5
观众人数
（万
人）
1.7
1.8
2
2.2
2.3
(1)已知可用线性回归模型拟合
与
的关系，请建立
关于
的线性回归方程，并预测2026 年的观众人
数；
(2)若该比赛的门票有
两个等次的票价，某机构随机调查了100 位观众的购票情况，得到的部分数据如
表所示，请将
列联表补充完整，并判断能否有
的把握认为观看比赛的观众是否购买A 等票与性别
有关．
购买A 等票
购买B 等票
总计
男性观众
40
55
女性观众
25
总计
100
参考公式及参考数据：回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
．
，其中
．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
28．从某校高一年级全体学生中随机抽取120 人，进行文理选科倾向调查，得到如下列联表：
性别
倾向
男生
女生
合计
偏理科
40
90
偏文科
10
合计
60
120
(1)请完成上述
列联表；
(2)从女生中随机抽取一人，求该女生是偏文科生的概率；
(3)根据小概率值
的独立性检验，分析性别与选科倾向是否有关．
参考数据：
0.1
0.05
0.01
2.70
3.841
6.635
．
29．某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了30 人，得到如下列联表：
性别
近视
合计
不近视
近视
男
5
17
22
女
2
6
8
合计
7
23
30
(1)在样本中的名女生中随机选取
人，求这
人中至少有人是近视的概率；
(2)小组成员甲通过计算发现女生的近视率为
小于男生的近视率
，所以甲认为男生更容易近视.请根据
小概率值
的独立性检验，分析甲的说法是否正确？
α
xα
30．某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了
旅游产业的结构．下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人y 数（万人）与第
个月的数据：
x
1
2
3
4
5
y
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8
(1)根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，且回归方程
中
的
，请计算相关系数r（精确到0.01），并判断是否可以认为y 与x 的线性相关性很强；
(2)为更好地改进服务，景点对每位游客进行了满意度调查，已知评分X 近似服从正态分布
，评分
低于m 的游客约占15.865%，求m 的值；
(3)为进一步了解游客性别与满意度的关系，随机抽查200 名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2 列
联表，根据小概率值
的独立性检验，能否推断游客是否满意与性别有关？
喜欢
不喜
欢
总计
男
100
女
60
总计
110
参考公式：
相关系数：若
，则认为
与
有较强的线性相关性．
回归方程
中斜率的最小二乘法估计公式为：
，其中
.
临界值表：
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
参考数据：
，
若
，则
，
31．某科技公司对三文鱼的传统淡水网箱养殖法和AI 赋能的新型深远海智能网箱养殖法进行产量对比研
究．科研人员在收获季节分别从传统养殖网箱和深远海智能养殖网箱中，各随机抽取了100 个网箱，测量
每箱三文鱼的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图，补全下面列联表．
养殖法
箱产量
合计
箱产量
箱产量
传统养殖
智能养殖
30
合计
200
(2)根据小概率
的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．
（
，
，
）
32．为了研究臭氧效应，先选取40 只小白鼠，随机地将其中20 只分配到试验组，另外20 只分配到对照
组，将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小
白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量为
15.2
18.8
20.2
21.3
22.5
23.2
25.8
26.5
27.5
30.1
32.6
34.3
34.8
35.6
35.6
35.8
36.2
37.3
40.5
43.2
试验组的小白鼠体重的增加量为
7.8
9.2
11.4
12.4
13.2
15.5
16.5
18.0
18.8
19.2
19.8
20.2
21.6
22.8
23.6
23.9
25.1
28.2
32.3
36.5
(1)求40 只小白鼠体重的增加量的中位数
，并分别统计两样本中小于
与不小于
的数据的个数，完成
如下列联表：
对照组
试验组
(2)根据（1）中的列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在
正常环境中体重的增加量有差异？
附：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
1．（2025·云南丽江·三模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了
次试
验，得到数据如下：
零件的个数x
（个）
2
3
4
5
加工的时间y
（小时）
2.5
3
4
4.5
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，
(1)求
关于
的线性回归方程
；
(2)求各样本的残差；
(3)试预测加工
个零件需要的时间.
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和
年均浓度（
）的关
系，随机抽取10 个城市数据如下：
编号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
绿化覆盖率
4
13
16
21
26
31
36
45
52
56
300
年均浓度
80
66
58
54
50
46
42
38
34
32
500
可得
.
(1)求绿化覆盖率与
浓度的样本相关系数（精确到
）；
(2)求y 关于x 的经验回归方程（
精确到
），并估计使得
年均浓度不超过
需要的最低
绿化覆盖率（精确到整数）.
参考数据与公式：
.
3．（2023·河南洛阳·模拟预测）网购是现代年轻人重要的购物方式，截止到2021 年12 月，我国网络购物
用户规模达8.42 亿，较2020 年12 月增长5968 万，占网民整体的81.6%，某电商对其旗下的一家专营店近
五年来每年的利润额
（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：
1
2
3
4
5
2.
6
3.
1
4.
5
6.
8
8.
0
(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合
与的关系？请计算相关系数并加以说明（计算结
果精确到0.01）.（若
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)试用最小二乘法求出利润
与时间的回归方程，并预测当
时的利润额.
附：
，
，
参考数据：
，
，
，
.
4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）有一款网络答题竞赛游戏，答题类型有科普类与文学类两种，随机抽取
了50 名参赛人员进行答题偏好的问卷调查，调查所得数据如下表：
科普类
文学类
合计
男生
5
女生
10
合计
25
50
(1)完成以上列联表，依据小概率值
的
独立性检验，能否据此推断该游戏的答题偏好与性别有关
联？
(2)随着参赛人员越多，题库提供的题量越多，某同学统计了当参赛人数分别为2~6 人时，题库给出的题量
的数据，用最小二乘法得到答题量
关于参赛人数
的回归直线方程为
，已知该组数据的相关
系数
，题量
的方差
，求
的值（结果精确到0.1）.
附：参考公式：
，其中
.
回归系数
，相关系数
，
.
参考数据：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
5．（2025·安徽·模拟预测）某校有高一学生1800 人，高二学生1200 人，学校采取按比例分配的分层抽样
的方式从中抽取100 人进行体育测试.测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为165，方差为
61，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为145，方差为31．
(1)计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差；
(2)将一分钟跳绳次数
视为及格，整理出以下列联表：
及格
不及格
合计
高一
52
8
60
高二
38
2
40
合计
90
10
100
试根据小概率值
的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数
点后三位）
(3)如果将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分
钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？请你试着解释其中的原因．
附：
，
．
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
0.1
0.05
0.01
0.00
5
0.001
2.70
6
3.84
1
6.63
5
7.87
9
10.82
8
1．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（
）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
2．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ）
A．身高越高，体重越重
B．身高越高，体重越轻
C．身高与体重成正相关
D．
身高与体重成负相关
3．（2025·上海·高考真题）2024 年巴黎奥运会，中国获得了男子
米混合泳接力金牌．以下是历届奥
运会男子
米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10 个数据中任选3 个，求恰有2 个数据在211 以上的概率；
(3)若比赛成绩y 关于年份x 的回归方程为
，年份x 的平均数为2006，预测2028 年冠军队的
成绩（精确到0.01 秒）．
4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000 名学生
中抽取580 人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
(1)该地区29000 名学生中体育锻炼时长不少于1 小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有
的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关？
（附：
其中
，
．）
5．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40 只小白鼠，随机地将其
中20 只分配到实验组，另外20 只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白
鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设
表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求
的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40 只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如
下列联表：
对照组
实验组
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加
量有差异．
附：
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
