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8-3 成对数据的统计分析
1.了解样本相关系数的统计含义.
2.理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.
3.会利用统计软件进行数据分析．
8-3 成对数据的统计分析.....................................................................................................................1
一、主干知识.................................................................................................................................1
考点1：变量的相关关系.......................................................................................................1
考点2：样本相关系数...........................................................................................................2
考点3：一元线性回归模型...................................................................................................2
考点4：列联表与独立性检验...............................................................................................2
二、分类题型.................................................................................................................................3
题型一 成对数据的相关性....................................................................................................4
题型二 回归模型....................................................................................................................4
命题点1 一元线性回归模型........................................................................................4
命题点2 非线性回归模型............................................................................................5
题型三 列联表与独立性检验................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................6一、主干知识
考点1：变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称
为相关关系．
(2)相关关系的分类：正相关和负相关．
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这
两个变量线性相关．
考点2：样本相关系数
(1)
(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关
程度越弱．
考点3：一元线性回归模型
(1)我们将y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，
其中， ， ，（ ， ）称为样本点的中心．
(2)残差：观测值减去预测值，称为残差．考点4：列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
Y
X 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
(2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α二、分类题型
题型一 成对数据的相关性
【例题精析1】 对两个变量的四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于两个变量相关系数的比
较，正确的是（ ）
A．r＜r＜0＜r＜r B．r＜r＜0＜r＜r
2 4 3 1 4 2 1 3
C．r＜r＜0＜r＜r D．r＜r＜0＜r＜r
4 2 3 1 2 4 1 3
【例题精析2】 (多选)下列选项中正确的是( )
A．经验回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和越小
B．若一组观测数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)满足y＝bx＋a＋e(i＝1,2，…，n)，若e恒为0，则R2＝
1 1 2 2 n n i i i i
1
C．经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法
D．画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号
【例题精析3】 （多选）下列命题正确的是（ ）
A．若变量x与y的线性回归方程为 ，则x与y负相关B．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好
C．样本相关系数 的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强
D．回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点
判定两个变量相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，
两个变量负相关．
(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近于1，相关性越强．
(3)经验回归方程：当b>0时，正相关；当b<0时，负相关．
【对点精练1】 某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相
关系数的比较，其中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【对点精练2】 （多选）为研究需要，统计了两个变量 ， 的数据情况如下表：
其中数据 ， ， ， ， 和数据 ， ， ， ， 的平均数分别为 和 ，并且计算相关系数
，经验回归方程为 ，则下列结论正确的为（ ）
A．点 必在回归直线上，即 B．变量 ， 负线性相关
C．当 ，则必有 D．
【对点精练3】 已知两个变量X，Y的数据如下表：
其中数据 和数据 的平均数分别为 ，并且计算得相关系数 ，经验回
归方程为 ，则（ ）
A．变量X，Y负相关 B．
C． 一定成立 D． 一定成立
【对点精练4】 已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关题型二 回归模型
命题点1 一元线性回归模型
【例题精析4】 对于数据组 ，如果由线性回归方程得到的对应于自变量 的估计值
是 ，那么将 称为相应于点 的残差．某工厂为研究某种产品产量 （吨）与所需某种原
材料 吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据 如下表所示：
3 4 5 6
2.5 3 4
根据表中数据，得出 关于 的线性回归方程为 ，据此计算出样本点（4，3）处的残差为－
0.15，则表中 的值为（ ）
A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5
【例题精析5】 某科技公司研发了一项新产品 ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售
单价进行统计，销售单价 （千元）和销售量 （千件）之间的一组数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价
销售量
（1）试根据1至5月份的数据，建立 关于 的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 千件，则认为所得到的回归
直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程 ，其中 .
参考数据： ， .
【例题精析6】 网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮
购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账､微信或支付宝支付等方式在线汇款，
根据 年中国消费者信息研究，超过 的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送
货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方 ､品牌官方网站和微信社群等平台进
行购物，某天猫专营店统计了 年 月 日至 日这 天到该专营店购物的人数 和时间第 天间的
数据，列表如下：
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数 与时间 之间的关系？若可用，估计 月 日到
该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟
合，计算 时精确到 ).
参考数据： .附：相关系数 ，回归直线方程的斜率
，截距 .
（2）运用分层抽样的方法从第 天和第 天到该专营店购物的人中随机抽取 人，再从这 人中任取 人进
行奖励，求这 人取自不同天的概率.（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满 元可减 元；方案二，一次
性购物金额超过 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 折，中奖
两次打 折，中奖三次打 折.某顾客计划在此专营店购买 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的
角度分析选哪种方案更优惠.
【例题精析7】 大学生是国家的未来，代表着国家可持续发展的实力，能够促进国家综合实力的提高.据
统计，2016年至2020年我国高校毕业生人数y(单位：万人)的数据如下表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代号x 16 17 18 19 20
高校毕业生人数y(单位：万人) 765 795 820 834 874
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱.
(已知： ，则认为y与x线性相关性很强； ，则认为y与x线性相关性一般； ，
则认为y与x线性相关性较弱)
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测2022年我国高校毕业生的人数(结果取整数).
参考公式和数据： ， ， ，
， ， .
【例题精析8】 某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温
度的关系.现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图所示的
散点图.根据收集到的数据，计算得到如下值：
18 12.325 224.04 235.96
（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报
值；
（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图所示，分析该回归方程的拟合效果.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， .
【例题精析9】 近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农
作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集6家农户的数据，
进行回归分析，得到两个回归模型：模型①： ，模型②： ，
对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：种植面积 (亩) 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成本 (百元) 25 24 21 22 16 14
估计值 25.27 23.62 21.97 17.02 13.72
模型①
残差 -0.27 0.38 -0.97 -1.02 0.28
26.84 20.17 18.83 17.31 16.46
模型②
-1.84 0.83 3.17 -1.31 -2.46
（1）将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；
（2）视残差 的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据
后，重新求回归方程.
附： ， ；
【对点精练5】 （多选）关于变量x，y的n个样本点 及其线性回归方程．
下列说法正确的有（ ）
A．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强
B．相关指数 的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好
C．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
D．若 ，则点 一定在线性回归方程 上
【对点精练6】 根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手
段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅
宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新
接种疫苗的情况，得如下统计表：
第 天 1 2 3 4 5
1 1
新接种人数 15 23 28
0 9
（1）建立 关于 的线性回归方程；
（2）预测该村 居民接种新冠疫苗需要几天？
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ．
【对点精练7】 某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地
区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x（ ，且 ）表示是否下雨：当
时表示该地区下雨，当 时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得
20组数如下：
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位： ）如表：（其中降雨量为0表示没有下
雨）．
时间 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年
年份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
降雨量y 29 28 26 27 25 23 24 22 21
经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份t成线性回归，求回归直
线方程 ，并计算如果该地区2021年（ ）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到
0.01）
参考公式： ， ．参考数据： ， ， ， ．
【对点精练8】 某机构为了解某大学中男生的体重单位： )与身高x(单位： )是否存在较好的线性
关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7
16 17
身高( ) 175 169 178 168 180
1 3
体重( ) 52 62 54 70 66 57 73
根据表中数据计算得到 关于 的线性同归方程为
（1）求
（2）已知 且当 时，回归方程的拟合效果非常好；当 时，回归方程
的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.参考数据：
【对点精练9】 一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 （元）与销量
（杯）的相关数据如下表：
单价 （元） 8.5 9 9.5 10 10.5
销量
120 110 90 70 60
（杯）
（1）已知销量 与单价 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；
（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多
少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）
附：线性回归方程 中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ，
.【对点精练10】 已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发
疫苗成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗 的研发费用
（百万元）和销量 （万盒）的统计数据如下：
研发费用 （百万 1
2 3 6 10 14
元） 3
销量 （万盒） 1 1 2 2.5 4 4.5
（1）根据上表中的数据，建立 关于 的线性回归方程 （用分数表示）；
（2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？
参考公式： ， .
命题点2 非线性回归模型
【例题精析10】 若需要刻画预报变量 和解释变量 的相关关系，且从已知数据中知道预报变量 随着
解释变量 的增大而减小，并且随着解释变量 的增大，预报变量 大致趋于一个确定的值，为拟合
和 之间的关系，应使用以下回归方程中的（ ， 为自然对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
【例题精析11】 经观测，长江中某鱼类的产卵数 与温度 有关，现将收集到的温度 和产卵数
的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
360表中
(1)根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为 与 之间的回归方程模型并求出
关于 回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，
其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布
列及数学期望.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
【例题精析12】 数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市
场将持续扩大，下表为2018－2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—
2022对应的代码分别为1-5．
年份代码 1 2 3 4 5
车载音乐市场规模 2.8 3.9 7.3 12.0 17.0
(1)由上表数据知，可用指数函数模型 拟合 与 的关系，请建立 关于 的回归方程；
(2)根据上述数据求得 关于 的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：1.94 33.82 1.7 1.6 26.84
其中 ， ．
参考公式：对于一组数据 ， ， ， 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为 ， ．
【例题精析13】 信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济
的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放
出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年
对应的代码依次为1~5．
年份代码x 1 2 3 4 5
中国信创产业规模y/千亿元 8.1 9.6 11.5 13.8 16.7
(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．
(2)由上表数据可知，可用指数型函数模型 拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b
的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．
参考数据：
2.45 38.52 6.81 1.19 2.84
其中 ， ．
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ．
求经验回归方程的步骤
【对点精练11】 已知变量的关系可以用模型 拟合，设 ，其变换后得到一组数据如下．由
上表可得线性回归方程 ，则 （ ）
x 1 2 3 4 5
z 2 4 5 10 14
A． B． C． D．
【对点精练12】 为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量
（单位： ）与样本对原点的距离 （单位： ）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一
些统计量的值.（表中 ）
6 60
(1)利用样本相关系数的知识，判断 与 哪一个更适宜作为平均金属含量 关于样本对原点的距离 的回归方程类型？
(2)根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立 关于 的回归方程；
（ii）样本对原点的距离 时，金属含量的预报值是多少？
(3)已知该金属在距离原点 米时的平均开采成本 （单位：元）与 关系为 ，
根据（2）的结果回答， 为何值时，开采成本最大？
【对点精练13】 纯电动汽车、混合电动汽车及燃料电池电动汽车均为新能源汽车，近几年某地区新能源
汽车保有量呈快速增长的态势，下表为2018~2022年该地区新能源汽车及纯电动汽车的保有量（单位：
万辆），其中2018~2022年对应的年份编号依次为 ：
年份编号 1 2 3 4 5
该地区新能源汽车保有量 1.5 2.6 3.4 4.9 7.8
该地区纯电动汽车保有量 1.3 2.1 2.8 4.0 6.4
(1)由上表数据可知，可用指数函数模型 拟合 与 的关系，请建立 关于 的回归方程（ ， 的
值精确到0.1），并预测2023年该地区新能源汽车保有量能否超过10万辆；
(2)从表中数据可以看出2018~2022年，该地区新能源汽车保有量中纯电动汽车保有量占比均超过80%，说
明纯电动汽车一直是新能源汽车的主流产品．若甲、乙、丙3人从2018~2022年中各随机选取1个年份
（可以重复选取），记取到满足 的年份的个数为 ，求 的分布列及数学期望．
参考数据：
1.25 22.62 1.1 1.5 11.4
其中 ， ．
参考公式：对一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为 ， ．【对点精练14】 某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 （单位： ）与水生植物的株数 （单位：株）
之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 去拟合 与 的关系，设 ， 与 的
数据如表格所示：
3 4 6 7
2.5 3 4 5.9
得到 与 的线性回归方程 ，则 .
题型三 列联表与独立性检验
【例题精析14】 下面是一个 列联表，其中a、b处填的值分别为（ ）
总计
a 21 73
2 25 27
总
b 46 100
计
A．52、54 B．54、52 C．94、146 D．146、94
【例题精析15】 某驾校对最近一年考驾照通过的情况进行了分析，在随机抽取的200名拿到驾照的学员
中，包括女学员80名，没有补考经历的女学员有60名，男学员有补考经历的占 .
(1)根据条件填写下列 列联表，并分析能否有 的把握认为是否有补考经历与性别有关？
没有补考经历 有补考经历 合计
男学员（单位：
人）
女学员（单位：
人）
合计 200
(2)在通过考试的学员中，随机抽查了20名学员，其科目三补考次数如下（最多只能补考4次）：补考次 0 1 2 3 4
数
人数 10 5 1 3 1
求这20名学员补考次数的平均数与方差.
参考公式： ， .
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05
0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841
【例题精析16】 某中学初三年级有学生1500人，其中男生占总人数的70%，为调查该校学生中考前一周
每天睡眠时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生的睡眠时间样本数据（单位：小时）．
(1)应收集多少位男生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生睡眠时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间
为： ， ， ， ， ， ．估计该校学生中考前一周平均每天睡眠时间超过4小
时的概率；
(3)在样本数据中，有60位女生的平均睡眠时间超过4小时，请完成中考前一周日均睡眠时间与性别列联
表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的考前一周日均睡眠时间与性别有关”．
附： ．
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879【例题精析17】 安庆某农场主拥有两个面积都是220亩的农场——加盟“生态农场”与“智慧农场”，
种植的都是西瓜，西瓜根据品相和质量大小分为优级西瓜､一级西瓜､残次西瓜三个等级.农场主随机抽
取了两个农场的西瓜各100千克，得到如下数据：“生态农场”优级西瓜和一级西瓜共95千克，两个
农场的残次西瓜一共20千克，优级西瓜数目如下：“生态农场”20千克，“智慧农场”25千克.
(1)根据所提供的数据，完成下列 列联表，并判断是否有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关？
非残次西
农场 残次西瓜 总计
瓜
生态农场
智慧农场
总计
(2)种植西瓜的成本为0.5元/千克，且西瓜价格如下表：
等级 优级西瓜 一级西瓜 残次西瓜
价格（元/千克） 2.5 1.5 （无害化处理费用）
①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克西瓜的平均利润；
②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策.（假设两个农场的产
量相同）
参考公式： ，其中 .附表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【例题精析18】 为了有针对性地提高学生对音乐课程的积极性，某校需要了解学生爱好音乐是否与性别
有关，随机抽取100名该校学生进行问卷调查，得到如下列联表.
爱好音
不爱好音乐 总计
乐
男 16
女 26
总计 100已知从这100名学生中任选1人，爱好音乐的学生被选中的概率为 .
(1)完成上面的列联表；
(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【例题精析19】 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到
200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值， ， ， ， ，
，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有120只，其中该项指标
值不小于60的有85只假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生
抗体与指标值不小于60有关.
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗
体
合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的80只小白鼠进行第二次注射
疫苗，结果又有40只小白鼠产生抗体.
（ⅰ）用频率估计概率，如果对一只小白鼠注射2次疫苗，求这只小白鼠产生抗体的概率P；
（ⅱ）以（ⅰ）中确定的概率P作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，当
时， 取最大值时人体接种试验的人数 及 .
参考公式： ，（其中 为样本容量）
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式 计算．
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．
【对点精练15】 北京2022年冬奥会于2月20日胜利闭幕，广受参会运动员和世界人民好评，为了解居
民对北京冬奥会了解程度，某社区居委会随机抽取600名社区居民参与问卷调查，并将问卷得分绘制
频率分布表如下：
得分
男性人
15 55 55 75 65 40 20
数
女性人
10 30 35 90 70 25 15
数
(1)参与问卷调查的男性、女性居民中，得分不低于80分的频率分别是多少？(2)将居民对北京冬奥会的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60
分）两类，完成2 2列联表，并判断是否有99%的把握认为“北京冬奥会的了解程度”与“性别”有关？
比较了
不太了解 总计
解
男性
女性
总计
附： ， .
临界值表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【对点精练16】 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，中国65岁及以上人口为19064万人，
占总人口的 ．随着出生率和死亡率的下降，我国人口老龄化趋势日益加剧，与老年群体相关的
疾病负担问题越来越受到社会关注，虚弱作为疾病前期的亚健康状态，多发于65岁以上人群.虚弱指
数量表（frailty in—dex，FI，取值范围是 ）可以用来判定老年人是否虚弱，若FI 分，则定
义为“虚弱”.某研究团队随机调查了某地1170名男性与1300名女性65岁及以上老年人的身体状况，
并采用虚弱指数量表分析后得出虚弱指数频数分布表如下：
FI
男 411 579 101 79
女 417 463 162 258
(1)根据所调查的65岁及以上老年人的虚弱指数频数分布表作出65岁及以上老年人虚弱与性别的 列联
表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关？
非虚弱 虚弱 总计
男 1170女 1300
总计
(2)以频率估计概率，现从该地区随机调查两位男性65岁以上老年人，这两位老人中身体虚弱的人数为随
机变量 ，求随机变量 的分布列、期望与方差？附表及公式： ，
．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【对点精练17】 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到
200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按 ， ， ， ，
分组，绘制频率分布直方图如图所示.
试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后
是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志
愿者产生抗体与指标值不小于60有关.
指标值 合计
抗体
小于60 不小于60
有抗体没有抗
体
合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射
疫苗，结果又有 名志愿者产生抗体.
（i）用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率 ，求 的值；
（ⅱ）以（i）中的概率 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110
名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量 ，求 最大时的 的值.
参考公式： （其中 为样本容量）.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【对点精练18】 某种疾病可分为 ， 两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区
随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患 型疾病的
人数占男性患者的 ，女性患 型疾病的人数占女性患者的 .
型病 型病 合计
男
女
合计
(1)填写 列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类
型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？
(2)某团队进行预防 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种
3次，每次接种费用为 元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为 ，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若 ，试验人数为1000人，
试估计该试验用于接种疫苗的总费用.
，
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【对点精练19】 2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票
房成绩．某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参
与评价的观众中随机抽取200人进行调查，其中“好评”的占55%，数据如下表所示（单位：人）：
好评 差评 合计
男性 30
女性 30
合计 200
(1)根据所给数据，完成上面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关？
(2)从抽取的200人中所有给出“差评”的观众中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中任
选两人，求这两人中至少有一人是女性的概率．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【对点精练20】 为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进
行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占 ，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1
名职工支持养宠物的概率为 .(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列 列联表；
不支持养宠
支持养宠物 合计
物
男职工
女职工
合计 450
(2)依据小概率值 的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？
附： ， .
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【对点精练21】 人们在接受问卷调查时，通常并不愿意如实回答太敏感的问题．比如，直接问运动员们
是否服用过兴奋剂，绝大多数情况下难以得到真实的数据．
某中学发布了一项针对学生行为规范的新校规，学生社团想进行一次本校学生对新校规认可度的调查，为
了消除被调查者的顾虑，精心设计了一份问卷：
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，
请按照问题二勾选“是”或“否”．
（友情提示：为了不泄漏您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．）
问题一：您的身份证号码最后一个数字是奇数吗？ “是”“否”
问题二：您是否对新校规持认可态度? “是”“否”
学生社团随机选取了150名男学生和150名女学生进行问卷调查，已知统计问卷中有85张勾选“是”．
(1)根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校学生对新校规持认可态度的概率；
(2)据核实，以上的300名学生中有20名学生对新校规持认可态度，其中男生15人，女生5人，请完成
列联表，并判断是否有 的把握认为对新校规持认可态度与性别有关．
女
男生 合计
生
认可新校规
不认可新校
规
合计参考公式和数据如下： ， ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 7.879
【对点精练22】 某工厂甲、乙两套设备生产相同的电子元件，现分别从这两套设备生产的电子元件中随
机抽取100个电子元件进行质量检测，检测结果如下表：
测试指
标
数量/个 8 12 20 110 50
已知测试指标大于或等于80为合格品，小于80为不合格品，其中乙设备生产的这100个电子元件中，有
10个是不合格品．
(1)请完成以下 列联表：
甲设备 乙设备 合计
合格品
不合格
品
合计
(2)根据以上 列联表，判断是否有 的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合䅂与甲、乙两套
设备的选择有关．
参考公式及数据： ，其中 ．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【对点精练23】 为了验证甲、乙两种药物对治疗某种疾病的效果，某科研单位用两种药物对患有该疾病
的患者进行临床药物实验．随机抽取患有该疾病的患者200人，其中100人注射甲药物，另外100人
注射乙药物，实验结果完成后，得到如下统计表：药物 效果明显 效果不明显 合计
甲药物 76 24 100
乙药物 84 16 100
合计 160 40 200
(1)分别估计注射甲、乙两种药物的患者效果明显的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果有差异？
(3)从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者按分层抽样的方法抽出5人，然后从5人中随机抽取
3人做进一步药物实验，记抽到注射甲药物的患者人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式： ， ．
临界值表：
0.10 0.05 0.025
2.706 3.841 5.024
【对点精练24】 足球是一项大众喜爱的运动，某校足球社通过调查并进行科学的统计分析，对学校学生
喜爱足球是否与性别有关的问题，得出了结论：喜爱足球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于
0.005.据足球社透露，他们随机抽取了若干人进行调查，抽取女生人数是男生人数的2倍，男生喜爱足
球的人数占男生人数的 ，女生喜爱足球的人数占女生人数的 .通过以上信息，可以确定本次足球社
所调查的男生至少有 人.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说法
正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
2．（2020•新课标Ⅰ）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 和温度 （单位： 的关系，
在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ， ，2， ， 得到下面的散点图：由此散点图，在 至 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类型
的是
A． B． C． D．
3．（2020•新课标Ⅱ）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该
地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20
个作为样区，调查得到样本数据 ， ，2， ， ，其中 和 分别表示第 个样区的植物覆盖
面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ，
， ．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
（2）求样本 ， ，2， ， 的相关系数（精确到 ；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生
动物数量更准确地估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数 ， ．
4．（2022•乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材
积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： 和材积量（单位： ，得到
如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
根部横截面积
0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
材积量
并计算得 ， ， ．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 ；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．
已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ， ．
5．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据2000年
至2016年的数据（时间变量 的值依次为1，2， ， 建立模型①： ；根据2010年至
2016年的数据（时间变量 的值依次为1，2， ， 建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
6．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40只小白鼠，随机地将其中20只分配
到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常
环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位： ．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数 ，再分别统计两样本中小于 与不小于 的数据的个
数，完成如下列联表；对照组
试验组
（ⅱ）根据 中的列联表，能否有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增
加量有差异？
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
7．（2022•甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由 和 两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运
行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次
数
240 20
210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附： ．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
8．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产
品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
9．（2020•新课标Ⅲ）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼
的人次，整理数据得到下表（单位：天）
锻炼人次
， ， ，
空气质量等级
2 16 25
1（优
5 10 12
2（良
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 列联表，并根据列联表，判断是否有 的把握
认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
10．（2020•山东）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了
100天空气中的 和 浓度（单位： ，得下表：
， ， ，
32 18 4
，6 8 12
，
3 7 10
，
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过75，且 浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
， ，
，
，
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
11．（2019•新课标Ⅰ）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商
场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.8281．（2023•黄州区校级二模）在一组样本数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
互不相等）的散点图中，若所有样本点 ， ，2， ， 都在直线 上，则这组样本
数据的样本相关系数为
A． B． C． D．1
2．（2022•全国四模）下列说法错误的是
A．相关系数 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强
B．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好
C．相关指数 ，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为
D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
3．（2021•包河区校级模拟）下列有关回归分析的论断不正确的是 ，
A．若相关系数 满足 越接近1，则这两个变量相关性越强
B．若相关指数 越大，则模型的拟合效果越好
C．若所有样本点都在 上，则线性相关系数
D．残差图的带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高，回归方程的预报精度越高
4．（2021•全国模拟）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46，0.79，
，0.85，则
A．甲组数据变量间的线性相关程度最强
B．乙组数据变量间的线性相关程度最弱
C．丙组数据变量间的线性相关程度最强
D．丁组数据变量间的线性相关程度最强5．（2020•香坊区校级三模）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是
A． B．
C． D．
6．（2020•榆林模拟）如图所示，给出了样本容量均为7的 ， 两组样本数据的散点图，已知 组样本
数据的相关系数为 ， 组数据的相关系数为 ，则
A． B． C． D．无法判定7．（2023•天津模拟）党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决
定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解
直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的
第 天到该电商平台专营店购物人数 （单位：万人）的数据如下表：
日期 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日
第 天 1 2 3 4 5
人数 （单 75 84 93 98 100
位：万人）
依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数 与到该电商平台专营店购物的人数 （单位：万
人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数 与直播天数 的线性回归方程
为 ．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为
A．312 B．313 C．314 D．315
8．（2023•巴宜区校级四模）已知某产品的营销费用 （单位：万元）与销售额 （单位：万元）的统计
数据如表所示：
营销费用 万元 2 3 4 5
15 20 30 35
销售额 万元
根据上表可得 关于 的回归直线方程为 ，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为
A．40.5万元 B．41.5万元 C．42.5万元 D．45万元
9．（2023•兴国县模拟）在南极，东南极冰盖被称为“沉睡的巨人”，是世界上最大的大陆冰川，包含了
世界上大部分的冰．2022年在英国《自然》杂志发表的一篇论文指出，若《巴黎协定》的控温目标未能达
成，东南极冰盖会因气候变化影响而加速融化，到2500年，可能导致海平面上升2到5米．无独有偶，
2023年发表于《科学》杂志的新研究中，法国图卢兹空间地球物理学和海洋学研究实验室领衔的国际团队
揭示了比之前预测的更大的冰川质量损失，全球温度升高与冰川质量损失之间存在线性相关关系，有如下
数据：
0.4 0.7 1.0 1.2 1.8 2.4
温度上升量
12 24 32 45 56 77
冰川消融百分比
根据数据，绘制如图所示的散点图，则下列说法正确的是①冰川消融百分比与温度上升量存在正相关关系；
②由表中数据用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点 ；
③记表中数据 ， ， ， ， ， 的方差为 ，若控温措施有效，则冰 川消融百分比将变为 ，
且 ，2，3，4，5， ，那么 ， ， ， ， ， 的方差将变为 ．
A．① B．③ C．①② D．②③
10．（2023•河南模拟）已知一组样本数据 ， ， ， ， ， ， ，根据这组数据的散点图
分析 与 之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为 ，则在样本点 处的残差
为
A．38.1 B． C．22.6 D．91.1
11．（2023•全国二模）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 （每分钟鸣
叫的次数）与气温 （单位： 存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立
了 关于 的线性回归方程 ．则当蟋蟀每分钟鸣叫80次时，该地当时的气温预报值为
（次数 分 20 30 40 50 60
钟）
25 27.5 29 32.5 36
A． B． C． D．
12．（2023•菏泽二模）足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的 ，女性喜爱足球的人数占女
性人数的 ，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
则被调查的男性至少有 人．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．10 B．11 C．12 D．13
13．（2023•江西模拟）在某次独立性检验中，得到如下列联表：
总计
200 800 1000
180
总计 380
最后发现，两个分类变量没有关联，则 的值可能是
A．200 B．720 C．100 D．180
14．（2023•西宁一模）在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的 列联表：
休闲 看电视 运动
性别
男 8 20
女 16 12
为了判断休闲方式是滞与性别有关，根据表中数据，得到 ，因为
，所以判定休闲方式与性别有关系，那么这种判断出错的可能性至多为
（参考数据： ，
A． B． C． D．15．（多选）（2022•临沂二模）对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正
确的是
A． B． C． D．
16．（多选）（2022•汕头二模）如图所示，5个 数据，去掉 后，下列说法正确的是
A．相关系数 变大
B．残差平方和变大
C．相关指数 变小
D．解释变量 与预报变量 的相关性变强
17．（2023•上海模拟）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男
女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的 ，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的 ．若
根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过 0.01但不超过0.05，则被调查
的学生中男生可能有 4 5 ， 5 0 ， 5 5 ， 6 0 ， 6 5 人．（请将所有可能的结果都填在横线上）
附表： ，其中 ．
0.050 0.0103.841 6.635
18．（2023•汉滨区校级模拟）某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格： 袋），下面是近六个月
每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：
月份序号 1 2 3 4 5 6
每袋出厂价 10.5 10.9 11 11.5 12 12.5
格
2.2 2 1.9 1.8 1.5 1.4
月销售量
并计算得 ， ， ．
（1）计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入；
（2）求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到 ；
（3）若样本相关系数 ，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性．你认为该食品加工厂制定
的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性．
附：样本相关系数，．
