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导数与函数的单调性
7-2
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
7-2 导数与函数的单调性......................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：导数和函数的单调性的关系：............................................................................................2
考点2：利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：...........................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................2
题型一 不含参数的函数的单调性......................................................................................................3
题型二 含参数的函数的单调性..........................................................................................................3
题型三 函数单调性的应用....................................................................................................................4
命题点1 比较大小或解不等式.................................................................................................4
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围..........................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
考点2：利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【常用结论总结】
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则
x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调
递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．二、分类题型
题型一 不含参数的函数的单调性
【例题精析1】 （2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）函数 的单调增区间为______．
【解答】因为 ，所以 ，令 ，解得 ，
所以 的单调增区间为 .故答案为： .
【例题精析2】 （2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知函数 ，则 的单调递减区间
为______.
【解答】由题得 的定义域为 ，由 可得 ，令
， ，得 ，所以 的单调递减区间为 .故答案为：【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数， 的零点为
______.
【解答】由 得 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ，取等号，
令 ， ，
令 解得 ；令 解得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，所以要使 ，只能 ， ，
所以 零点为 ，故答案为: .
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函
数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
【对点精练1】 函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
【解答】f(x)的定义域为R，f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2)．
【对点精练2】 （2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为____________．【解答】由题得函数定义域为 ，
所以 在 上单调递增，又 ，所以当 时， ，
故 的单调递增区间为 （或 ）．故答案为：
【对点精练3】 （2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）函数 的单调增区间为______．
【解答】函数 的定义域为 ，求导得： ，
由 ，即 ，解得 ，
所以函数 的单调增区间为 .
故答案为：
题型二 含参数的函数的单调性
【例题精析4】 （2023·全国·高三专题练习）已知 ．
(1)若 在 上单调递增，求a的取值范围，
【解答】（1）由 ，可得 ，
因为 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，即 在 上单调递减，
所以 ，
由 在 上恒成立，可得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
【解答】（1） 时， ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
【例题精析6】 （2023·河南·统考模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在定义域内单调递增，求a的取值范围；
【解答】（1） ，函数定义域为
，
∵ 在 上单调递增，∴ 在 上恒成立，
，记 ，
，解得 ， ，解得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
a的取值范围为
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
【对点精练4】 设函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
【解答】（1）解：因为 ，可得 ，
设 ，则
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，
即函数 在 上单调递增，
又由 ，所以当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【对点精练5】 （2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 在定义域内单调递增，求a的取值范围；
【解答】（1）由已知 ，
在定义域上单调递增，则 ，即 在 上恒成立，而 ，“＝”在 时取得，∴ .
【对点精练6】 （2023·湖南岳阳·统考三模）已知函数 .
(1)若 在定义域内单调递增，求a的取值范围；
【解答】（1）解：由题意，函数 ，可得 ，
因为 在定义域内单调递增，因此 恒成立.
当 时， ，不满足题意.
当 时， ，满足题意.
当 时， 即 ，得 ，
设 ，则 ，
令 ，可得 ，所以函数 单调递减，
且 时， ，
因此在 时， ， 单调递增，
在 时， ， 单调递减，
得 ，从而 ，得 .
综上，实数a的取值范围为 .
【对点精练7】 （2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；【解答】(1)解：由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在 递增，所以 恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
故函数 在 递减，在 递增，
故 时， 取得最小值 ，所以故 ，
故 的范围是 ；
【对点精练8】 （2022·陕西宝鸡·校考三模）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
【解答】（1）解：（1） ，
所以
又 在 上单调递增； 在 上恒成立，即 在 上恒成立
在 上恒成立，··
设 则
在 上递减，故
，故实数 的取值范围 .题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
【例题精析7】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测） ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】令 ， ，则 ，
所以当 时 ，即 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，即 ，
令 ，则 ，
在 时， ，则 为减函数，
∴ ，即 ；
令 ， ，则 ，
故 在 为减函数，∴ ，即 ；∴ ，令 ，则 ，即 ，∴ ，所以
．故选：D．
【例题精析8】 （2022秋·天津红桥·高二统考期末）已知函数 ， ，对一切
， 恒成立，则实数 的取值范围为________.
【解答】因为 ，代入解析式可得
分离参数a可得
令 （ ）
则 ，令 解得
所以当0＜x＜1， ，所以h（x）在（0，1）上单调递减
当1＜x， ，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．
所以h（x）≥h（1）=4．
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）min=4．
所以a的取值范围为
【例题精析9】 （2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）关于 的不等式
在 上恒成立，则 的最小值是__________.
【解答】 ，即 ，
设 ， 恒成立，故 单调递增.原不等式转化为 ，即 ，
即 在 上恒成立.
设 ， ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
故 ，
即 ，解得 .
所以 的最小值是 .
故答案为： .
【对点精练9】 （2023·全国·高三专题练习）若 ，则 的大小关系是
___________.
【解答】设 ，则 ，
当 时， ，故 ，
若 ，则 ，从而，因为函数
，
在 上递减， ，
，得 ，
，故 .
故答案为：
【对点精练10】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则 的取值范围
为_______．
【解答】 等价于 ，令 ，则 ．
当 时， , 单调递增；当 时， , 单调递减．
所以 .
故 转化为 ，即 恒成立.
令 ， ，则 ，则 ，因为 恒
成立，所以 .
故 的取值范围为 ．故答案为： .
【对点精练11】 （2023·甘肃·模拟预测）若关于 的不等式 对任意的 恒成立，
则整数 的最大值为______.
【解答】因为 对于任意 恒成立，等价于 对于任意 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ， ，
所以 在 有且仅有一个根 ，满足 ，即 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
时， ，即 ，函数 单调递增，
所以 ，
由对勾函数可知 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，所以 .
故整数 的最大值为1.
故答案为：1命题点2 根据函数的单调性求参数的范围
【例题精析10】 （2023·全国·统考高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，
则a的取值范围是______.
【解答】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，则
，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .故答案为： .
【例题精析11】 （2023·全国·高二专题练习）若函数 在区间 上不单调，则实数 的
取值范围为________．
【解答】由 可知，其定义域为 ，
则 ，易知当 时， ；当 时， ；
即函数 在 单调递减，在 上单调递增；若函数 在区间 上不单调，
则需满足 ，解得 ；
所以实数 的取值范围为 .故答案为：【例题精析12】 （2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）设函数 ，若函数
在 上是单调减函数，则k的取值范围是______．
【解答】解：∵ 定义域为 ， ， 在 上是单调减函数，∴
恒成立；∴ ， ，
∵ ， ， ，当且仅当 时取等号.
∴ ，∴ ，即：k的取值范围是 ．故答案为： .
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一
非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
【对点精练12】 （2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若函数 在区间 上单调递
增，则 的取值范围为_________.
【解答】 ，在区间 恒成立，
所以 ，在区间 恒成立，即 在区间 恒成立，
所以 .故答案为：【对点精练13】 （2023春·重庆开州·高二重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数 在
上单调递减，则实数 的取值范围为______．
【解答】因为 ，则 ，
因为 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，所以， ，即实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•甲卷）已知函数 ．记 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则 的开口向下，对称轴为 ，
，
而 ，
，
，由一元二次函数的性质可知 ，
，
而 ，
， ，
综合可得 ，又 为增函数，
，即 ．
故选： ．
2．（2023•新高考Ⅱ）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：对函数 求导可得， ，
依题意， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
易知当 时， ，
则函数 在 上单调递减，
则 ．
故选： ．
3．（2021•乙卷）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，，
令 ， ，
令 ，则
，
，
，
在 上单调递增，
（1） ，
，
，
同理令 ，
再令 ，则
，
，
，
在 上单调递减，
（1） ，
，
，
．故选： ．
4．（2020•全国）函数 的单调递增区间是
A． B． ， C． D．
【解答】解：已知函数 ，
则函数的定义域为： ，
则 ，
令 ，
解得 ，
即函数 的单调递增区间是 ，
故选： ．
二．填空题（共1小题）
5．（2023•乙卷）设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
， ．
【解答】解： 函数 在 上单调递增，
在 上恒成立，
即 ，化简可得 在 上恒成立，
而在 上 ，
故有 ，由 ，化简可得 ，
即 ， ，
解答 ，故 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
三．解答题（共28小题）
6．（2023•北京）设函数 ，曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）设 ，求 的单调区间；
（Ⅲ）求 的极值点的个数．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数 ，
所以 ，
因为 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
所以 ，即 ，
解得 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，解得 或 ，
所以 与 的关系列表如下：
0
， ，
0 0 0单调递 单调递减 单调递增 单调递减
增
所以 在区间 和 ， 上单调递增，在区间 和 ， 上单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时， 单调递增，
当 时， ， ，
所以存在 ，使得 ，
又因为 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 是 的一个极小值点；
当 时， 单调递减，且 （1） ，
所以存在 ，使得 ，所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以 是 的一个极大值点；
当 ， 时， 单调递增，
又因为 （3） ，所以存在 ， ，使得 ，
所以 在 ， 上单调递减， ， 上单调递增，
所以 是 的一个极小值点，
又因为当 时， ，所以 在 上单调递增，无极值点；
综上， 在定义域 上有3个极值点．
7．（2023•甲卷）已知 ， ．
（1）若 ，讨论 的单调性；（2）若 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ，
若 ，此时 ，
可得
，
因为 ， ，
所以当 ，即 时， ， 单调递增；
当 ，即 时， ， 单调递减；
（2）不妨设 ，函数定义域为 ，
，
令 ， ，
此时 ，
不妨令 ，
可得 ，
所以 单调递增，
此时 （1） ，
①当 时， ，
所以 在 上单调递减，
此时 ，则当 时， 恒成立，符合题意；
②当 时，
当 时， ，
所以 ，
又 （1） ，
所以在区间 上存在一点 ，使得 ，
即存在 ，使得 ，
当 时， ，
所以当 时， ， 单调递增，
可得当 时， ，不符合题意，
综上， 的取值范围为 ， ．
8．（2023•甲卷）已知函数 ， ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ， ，
，
令 ， ， ，，
又 ，
，
在 上单调递减；
（2）设 ， ，
则 ， ，
，
在 上单调递减，
若 ，又 ，则 ， ，
当 时， ，
又 ， ， ， ，
，满足题意；
当 时， ， ，
，满足题意；
综合可得：若 ，则 ，
所以 的取值范围为 ， ．
9．（2023•乙卷）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， 处的切线方程；（2）若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时，
则 ，
求导可得， ，
当 时， （1） ，
当 时， （1） ，
故曲线 在点 ， 处的切线方程为： ，即 ；
（2） ，
则 ，
函数 在 单调递增，
则 ，化简整理可得， ，
令 ，
求导可得， ，
当 时，
则 ， ，
故 ，即 在区间 上单调递减，
，不符合题意，
令 ，
则 ，当 ，即 时，
， ，
故 在区间 上单调递增，即 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增，
，符合题意，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，即 单调递减，
，
当 时， ， 单调递减，
，
当 时， ，不符合题意，
综上所述， 的取值范围为 ．
10．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
【解答】解：（1） ，
则 ，
①当 时， 恒成立， 在 上单调递减，②当 时，令 得， ，
当 时， ， 单调递减；当 ， 时， ， 单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 ，
上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当 时， ，
要证 ，只需证 ，
只需证 ，
设 （a） ， ，
则 （a） ，
令 （a） 得， ，
当 时， （a） ， （a）单调递减，当 ， 时， （a） ， （a）单调递增，
所以 （a） ，
即 （a） ，
所以 得证，
即 得证．
11．（2022•北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，讨论函数 在 ， 上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的 ， ，有 ．
【解答】解：（Ⅰ）对函数求导可得： ，
将 代入原函数可得 ，将 代入导函数可得： ，
故在 处切线斜率为1，故 ，化简得： ；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有： ，
，
令 ，令 ，
设 ， 恒成立，
故 在 ， 单调递增，又因为 ，
故 在 ， 恒成立，故 ，
故 在 ， 单调递增；
解法二：由（Ⅰ）有： ，
，
设 ， ，则 ，
由指数函数的性质得 上 上是增函数，且 ，
，当 时， ， 单调递增，
且当 时， ，
在 ， 单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有 在 ， 单调递增，又 ，
故 在 ， 恒成立，故 在 ， 单调递增，
设 ， ，
由（Ⅱ）有 在 ， 单调递增，又因为 ，所以 ，
故 单调递增，又因为 ，故 ，
即： ，又因为函数 ，
故 ，得证．
12．（2022•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围；
（3）设 ，证明： ．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减．
（2）令 ，
， ，
在 上恒成立，又 ，
令 ，则 ，
，
①当 ，即 ，存在 ，使得当 时， ，即 在 上单调递增．
因为 ，所以 在 内递增，所以 ，这与 矛盾，故舍去；
②当 ，即 ，
，
若 ，则 ，
所以 在 ， 上单调递减， ，符合题意．
若 ，则 ，
所以 在 上单调递减， ，符合题意．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
另解： 的导数为 ，
①当 时， ，
所以 在 递增，所以 ，与题意矛盾；
②当 时， ，
所以 在 递减，所以 ，满足题意；．
③当 时， ．设 ， ，则 在 递减，所以 ，
，所以 在 递减，所以 ，满足题意；
④当 时， ，
令 ，则 ， ，
可得 递减， ，
所以存在 ，使得 ．当 时， ，
在 递增，此时 ，
所以当 时， ， 在 递增，所以 ，与题意矛盾．
综上可得， 的取值范围是 ， ．
（3）由（2）可知，当 时， ，
令 得， ，
整理得， ，
，
， ，
即 ．
另解：运用数学归纳法证明．当 时，左边 成立．
假设当 时，不等式成立，即 ．
当 时，要证 ，
只要证 ，
即证 ．
可令 ，则 ， ，则需证明 ，
再令 ，则需证明 ．
构造函数 ， ，
，
可得 在 ， 上递减，
则 （1） ，所以原不等式成立，
即 时， 成立．
综上可得， 成立．
13．（2022•浙江）设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；（Ⅱ）已知 ， ，曲线 上不同的三点 ， ， ， ， ， 处的切线都经
过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 （a） ；
（ⅱ）若 ， ，则 ．
（注 是自然对数的底数）
【解答】解：（Ⅰ） 函数 ，
， ，
由 ，得 ， 在 ， 上单调递增；
由 ，得 ， 在 上单调递减．
（Ⅱ） 证明： 过 有三条不同的切线，
设切点分别为 ， ， ， ， ， ，
， ，2， ， 方程 有3个不同的根，
该方程整理为 ，
设 ，
则 ，
当 或 时， ；当 时， ，
在 ， 上为减函数，在 上为增函数，
有3个不同的零点， （e） 且 （a） ，，且 ，
整理得到 且 ，
此时， ，且 ，
此时， ，
整理得 ，且 ，
此时， （a） ，
设 （a）为 上的减函数， （a） ，
．
当 时，同 讨论，得：
在 ， 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
有3个不同的零点， （a） ，且 （e） ，
，且 ，
整理得 ，
， ，
，
设 ，则方程 即为：
，即为 ，记 ，
则 ， ， 为 有三个不同的根，
设 ， ，
要证： ，
即证 ，
即证： ，
而 ，且 ，
，
，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
记 ，则 ，
在 为增函数， ，
，设 ， ，
则 ，
在 上是增函数， （1） ，
，
即 ，
若 ， ，则 ．
14．（2021•甲卷）设函数 ，其中 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图像与 轴没有公共点，求 的取值范围．
【解答】解：（1） ， ，
因为 ，
所以 ，
所以在 上， ， 单调递减，
在 ， 上， ， 单调递增．
综上所述， 在 上单调递减，在 ， 上 单调递增．
（2）由（1）可知， ，
因为 的图像与 轴没有公共点，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 ， ．
15．（2021•乙卷）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
【解答】解：（1） ，△ ，
①当△ ，即 时，由于 的图象是开口向上的抛物线，故此时 ，则 在 上单调递增；
②当△ ，即 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
在 ， ， 单调递增，在 ， 单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递增，
在 单调递减．
（2）设曲线 过坐标原点的切线为 ，切点为 ，
则切线方程为 ，
将原点代入切线方程有， ，解得 ，
切线方程为 ，
令 ，即 ，解得 或 ，曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 和 ．
16．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： ．
【解答】（1）解：由函数的解析式可得 ，
， ， 单调递增，
， ， 单调递减，
则 在 单调递增，在 单调递减．
（2）证明：由 ，得 ，
即 ，
由（1） 在 单调递增，在 单调递减，
所以 （1） ，且 （e） ，
令 ， ，
则 ， 为 的两根，其中 ．
不妨令 ， ，则 ，
先证 ，即证 ，即证 ，
令 ，
则 在 单调递减，所以 （1） ，
故函数 在 单调递增，
（1） ． ， ，得证．
同理，要证 ，
（法一）即证 ，
根据（1）中 单调性，
即证 ，
令 ， ，
则 ，令 ，
， ， 单调递增，
， ， ， 单调递减，
又 时， ，且 （e） ，
故 ，
（1） （1） ，
恒成立，
得证，
（法二） ， ，
又 ，故 ， ，故 ， ，
令 ， ， ，
在 上， ， 单调递增，
所以 （e） ，
即 ，所以 ，得证，
则 ．
17．（2021•甲卷）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围．
【解答】解：（1） 时， ，
，
当 时， ，当 ， 时， ，
故 在 上单调递增，在 ， 上单调递减．
（2）由题知 在 有两个不等实根，
，
令 ， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
又当 时， ， （1） ， （e） ，当 时， ，
作出 的图象，如图所示：由图象可得 ，解得 且 ，
即 的取值范围是 ， ， ．
18．（2021•全国）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时， ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）已知函数 ，
则 ， ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
即 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
（2）由（1）可得：函数 在 单调递增，在 单调递减，
则当 时， （2） ，
又当 时， ，即 ，
即 ，
即 的取值范围为： ．
19．（2021•浙江）设 ， 为实数，且 ，函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ， ，满足 ．
（注 是自然对数的底数）
【解答】解：（Ⅰ） ，
①当 时，由于 ，则 ，故 ，此时 在 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
此时 在 单调递减，在 单调递增；
综上，当 时， 的单调递增区间为 ；当 时， 的单调递减区间为 ，单
调递增区间为 ；
（Ⅱ）注意到 时， ，当 时， ，
由（Ⅰ）知，要使函数 有两个不同的零点，只需 即可，对任意 均成立，
令 ，则 ，即 ，即 ，即 ，
对任意 均成立，
记 ，则 ，
令 （b） ，得 ，
①当 ，即 时，易知 （b）在 ， 单调递增，在 单调递减，
此时 （b） ，不合题意；
②当 ，即 时，易知 （b）在 ， 单调递减，
此时 ，
故只需 ，即 ，则 ，即 ；
综上，实数 的取值范围为 ， ；
（Ⅲ）证明：当 时， ， ，令 ，解得 ，
易知 ，
有两个零点，不妨设为 ， ，且 ，
由 ，可得 ，
要证 ，只需证 ，只需证 ，
而 ，则 ，要证 ，只需证 ，只需证 ，
而 ，
，即得证．
20．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明： 恰有一个零点．
① ， ；
② ， ．
【解答】解：（Ⅰ） ， ，
①当 时，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
②当 时，令 ，可得 或 ，
当 时，
当 或 时， ，当 时， ，
在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
时，
且等号不恒成立， 在 上单调递增，
当 时，当 或 时， ，当 时， ，
在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减．
综上所述：
当 时， 在 上单调递减；在 上 单调递增；
当 时， 在 ， 和 上单调递增；在 ， 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 ， 上单调递增；在 ， 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在 上单调递增， ， 单调递减， ，
上 单调递增．
注意到 ．
在 上有一个零点；
，
由 得 ， ，
，当 时， ，此时 无零点．
综上： 在 上仅有一个零点．
另解：当 ， 时，有 ， ，
而 ，于是
，所以 在 没有零点，当 时， ，
于是 ，所以 在 ， 上存在一个零点，命题得证．
若选②，则由（Ⅰ）知： 在 ， 上单调递增，
在 ， 上单调递减，在 上单调递增．
，
， ， ， ，
当 时， ，此时 无零点．
当 时， 单调递增，注意到 ，
取 ， ， ，又易证 ，
，
在 上有唯一零点，即 在 上有唯一零点．
综上： 在 上有唯一零点．
21．（2020•新课标Ⅰ）已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【解答】解：由题意， 的定义域为 ，且 ．
（1）当 时， ，令 ，解得 ．
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增．
在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）当 时， 恒成立， 在 上单调递增，不合题意；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
的极小值也是最小值为 ．
又当 时， ，当 时， ．
要使 有两个零点，只要 即可，
则 ，可得 ．
综上，若 有两个零点，则 的取值范围是 ， ．
22．（2020•山东）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
（1） ，
（1） ，曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
当 时， ，当 时， ，
曲线 在点 ， （1） 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积 ．
（2）方法一：由 ，可得 ，即 ，
即 ，
令 ，
则 ，
在 上单调递增，
，
即 ，
令 ，
，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
（1） ，
，
，
故 的范围为 ， ．
方法二：由 可得 ， ， ，即 ，
设 ，
恒成立，
在 单调递增，
，
，
即 ，
再设 ，
，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
（1） ，
，
即
，则 ，
此时只需要证 ，
即证 ，
当 时，
恒成立，
当 时， ，此时 不成立，综上所述 的取值范围为 ， ．
方法三：由题意可得 ， ，
，
易知 在 上为增函数，
①当 时， （1） ， ，
存在 使得 ，
当 时， ，函数 单调递减，
（1） ，不满足题意，
②当 时， ， ，
，
令 ，
，
易知 在 上为增函数，
（1） ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
（1） ，
即 ，综上所述 的取值范围为 ， ．
方法四： ， ， ，
，易知 在 上为增函数，
在 上为增函数， 在0， 上为减函数，
与 在0， 上有交点，
存在 ，使得 ，
则 ，则 ，即 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 ， 时， ，函数 单调递增，
设 ，
易知函数 在 上单调递减，且 （1） ，
当 ， 时， ，
， 时， ，
设 ， ， ，恒成立，
在 ， 上单调递减，
（1） ，
当 时， ，
，
．
方法五： 等价于 ，该不等式恒成立．
当 时，有 ，其中 ．
设 （a） ，则 （a） ，
则 （a）单调递增，且 （1） ．
所以若 成立，则必有 ．
下面证明当 时， 成立．
设 ，
，
在 单调递减，在 单调递增，
，
，
即 ，
把 换成 得到 ，
， ．
，当 时等号成立．综上， ．
23．（2020•新课标Ⅲ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有三个零点，求 的取值范围．
【解答】解：（1） ． ，
时， ， 在 递增，
时，令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
在 递增，在 ， 递减，在 ， 递增，
综上， 时， 在 递增，
时， 在 递增，在 ， 递减，在 ， 递增；
（2）由（1）得： ， ， ，
若 有三个零点，
只需 ，解得： ，
故 ．24．（2020•江苏）已知关于 的函数 ， 与 ， 在区间 上恒有
．
（1）若 ， ， ，求 的表达式；
（2）若 ， ， ， ，求 的取值范围；
（3）若 ， ， ， ， ，
，求证： ．
【解答】解：（1）由 得 ，
又 ， ，所以 ，
所以，函数 的图象为过原点，斜率为2的直线，所以 ，
经检验： ，符合任意，
（2） ，
设 ，设 ，
在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
所以 （1） ，
所以当 时， ，
令
所以 ，得，当 时，即 时， 在 上单调递增，
所以 ， ，
所以 ，
当 时，即 时，
△ ，即 ，
解得 ，
综上， ， ．
（3）①当 时，由 ，得
，
整理得 ，
令△ ，
则△ ，
记 ，
则 ，恒成立，
所以 在 ， 上是减函数，则 （1），即 ，
所以不等式 有解，设解为 ，
因此 ．
②当 时，
，
设 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 是减函数，
当 ， 时， ， 是增函数，
， （1） ，
则当 时， ，
则 ，因此 ，
因为 ， ， ，所以 ，
③当 时，因为 ， 为偶函数，因此 也成立，
综上所述， ．
25．（2020•新课标Ⅱ）已知函数 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）设 ，讨论函数 的单调性．
【解答】解：（1） 等价于 ．
设 ， ．
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
在 时取得极大值也就是最大值为 （1） ，
，即 ．则 的取值范围为 ， ；
（2） ， ， ．
．
令 ，
则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减．
（a） ，即 ，
在 和 上单调递减．
26．（2019•新课标Ⅰ）已知函数 ， 为 的导数．
（1）证明： 在区间 存在唯一零点；
（2）若 ， 时， ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）证明： ，
，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时，极大值为 ，
又 ， ，在 上有唯一零点，
即 在 上有唯一零点；
（2）由题设知 ， ，可得 ．
由（1）知， 在 上有唯一零点 ，
使得 ，且 在 为正，在 ， 为负，
在 ， 递增，在 ， 递减，
结合 ， ，可知 在 ， 上非负，
当 ， 时， ，
又当 ， ， 时， ， ，
的取值范围是 ， ．
27．（2019•新课标Ⅱ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性，并证明 有且仅有两个零点；
（2）设 是 的一个零点，证明曲线 在点 ， 处的切线也是曲线 的切线．
【解答】解析：（1）法一：函数 ．定义域为： ， ， ；
， 且 ，
在 和 上单调递增，
①在 区间取值有 ， 代入函数，由函数零点的定义得，
， ， ，在 有且仅有一个零点，
②在 区间，区间取值有 ， 代入函数，由函数零点的定义得，
又 （e） ， ， （e） ，
在 上有且仅有一个零点，
故 在定义域内有且仅有两个零点；
法二： 的零点的个数，即为函数 与 的交点个数，
作出两函数的图象如图所示．
由两函数图象知有一交点在 ，有一交点在 ，
故 在定义域内有且仅有两个零点；
（2） 是 的一个零点，则有 ，
曲线 ，则有 ；
由直线的点斜式可得曲线的切线方程，
曲线 在点 ， 处的切线方程为： ，
即： ，将 代入，
即有： ，
而曲线 的切线中，在点 ， 处的切线方程为： ，将 代入化简，即： ，
故曲线 在点 ， 处的切线也是曲线 的切线．
故得证．
28．（2019•天津）设函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 ， 时，证明 ；
（ Ⅲ ） 设 为 函 数 在 区 间 ， 内 的 零 点 ， 其 中 ， 证 明 ：
．
【解答】（Ⅰ）解：由已知， ，因此，
当 ， 时，有 ，得 ， 单调递减；
当 ， 时，有 ，得 ， 单调递增．的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ， ；
（Ⅱ）证明：记 ，依题意及（Ⅰ），
有 ，从而 ．
因此， 在区间 ， 上单调递减，有 ．
当 ， 时， ；
（Ⅲ）证明：依题意， ，即 ．
记 ，则 ，且 ．
由 及（Ⅰ），得 ，
由（Ⅱ）知，当 ， 时， ， 在 ， 上为减函数，
因此， ，
又由（Ⅱ）知， ，
故 ．
．
29．（2019•浙江）已知实数 ，设函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）对任意 ， 均有 ，求 的取值范围．
注： 为自然对数的底数．
【解答】解：（1）当 时， ， ，，
函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）由 （1） ，得 ，
当 时， ，等价于 ，
令 ，则 ，
设 ， ，
则 ，
当 ， 时， ，
则 ，
记 ， ，
则
，
列表讨论：
1
，
0
单调递减 极小值 （1） 单调递增（1） ，
．
当 时， ，
令 ， ， ，
则 ，
故 在 ， 上单调递增， ，
由 得 （1） ，
， ，
由 知对任意 ， ， ， ， ，
即对任意 ， ，均有 ，
综上所述，所求的 的取值范围是 ， ．
30．（2019•全国）已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 在区间 ， 的最小值为 ，求 ．
【解答】解：（1）当 时， ，
则 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ．的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2） ，令 ，则 ，
当 时， ， 在 ， 上单调递增， ，不符合条件；
当 时， ，则当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，符合条件；
当 时， ，则当 时， ， 在 上单调递减，
， ，不符合条件．
在区间 ， 的最小值为 ， 的值为 ．
31．（2018•新课标Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，证明： ．
【解答】解：（1）函数的定义域为 ，
函数的导数 ，
设 ，
当 时， 恒成立，即 恒成立，此时函数 在 上是减函数，
当 时，判别式△ ，①当 时，△ ，即 ，即 恒成立，此时函数 在 上是减函数，
②当 时， ， ， 的变化如下表：
， ，
0 0
递减 递增 递减
综上当 时， 在 上是减函数，
当 时，在 和 ， 上是减函数，
则 ， 上是增函数．
（2）由（1）知 ，不妨设 ，则 ， ，
则 ，
则 ，
则问题转为证明 即可，
即证明 ，
则 ，
即 ，
即证 在 上恒成立，
设 ， ，其中 （1） ，求导得 ，
则 在 上单调递减，
（1），即 ，
故 ，
则 成立．
（2）另解：注意到 ，
即 ，
不妨设 ，
由韦达定理得 ， ，得 ， ，
可得 ，即 ，
要证 ，只要证 ，
即证 ， ，
构造函数 ， ， ，
在 上单调递减，
（1） ，
成立，即 ， 成立．
即 成立．
32．（2018•天津）已知函数 ， ，其中 ．（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线 在点 ， 处的切线与曲线 在点 ， 处的切线平行，证明：
；
（Ⅲ）证明当 时，存在直线 ，使 是曲线 的切线，也是曲线 的切线．
【解答】（Ⅰ）解：由已知， ，有 ，
令 ，解得 ．
由 ，可知当 变化时， ， 的变化情况如下表：
0
0
极小值
函数 的单调减区间为 ，单调递增区间为 ；
（Ⅱ）证明：由 ，可得曲线 在点 ， 处的切线的斜率为 ．
由 ，可得曲线 在点 ， 处的切线的斜率为 ．
这两条切线平行，故有 ，即 ，
两边取以 为底数的对数，得 ，
；
（Ⅲ）证明：曲线 在点 处的切线 ，
曲线 在点 ， 处的切线 ．
要证明当 时，存在直线 ，使 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，只需证明当 时，存在 ， 使得 与 重合，
即只需证明当 时，方程组
由①得 ，代入②得：
，③
因此，只需证明当 时，关于 的方程③存在实数解．
设函数 ，既要证明当 时，函数 存在零点．
，可知 时， ； 时， 单调递减，
又 ， ，
故存在唯一的 ，且 ，使得 ，即 ．
由此可得， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
在 处取得极大值 ．
，故 ．
．
下面证明存在实数 ，使得 ，
由（Ⅰ）可得 ，当 时，有
．
存在实数 ，使得 ．因此，当 时，存在 ，使得 ．
当 时，存在直线 ，使 是曲线 的切线，也是曲线 的切线．
33．（2018•新课标Ⅱ）已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
【解答】解：（1）当 时， ，
所以 时，令 解得 ，
当 ， ， 时， ，函数是增函数，
当 时， ，函数是单调递减，
综上， 增区间 ， ， ，减区间 ．
（2）证明：因为 ，
所以 等价于 ，
令 ，
则 ，仅当 时， ，所以 在 上是增函数；
至多有一个零点，从而 至多有一个零点．
又因为 ，
，故 有一个零点，
综上， 只有一个零点．
