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数列求和
6-4
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
6-4 数列求和.............................................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：公式法..........................................................................................................................................1
考点2：裂项相消求和............................................................................................................................2
考点3：错位相减法................................................................................................................................2
考点4：分组转化求和............................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................4
题型一 分组求和与并项求和...............................................................................................................4
题型二 错位相减法求和........................................................................................................................5
题型三 裂项相消法求和........................................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................7一、主干知识
考点1：公式法
1.等差数列{a}的前n项和S＝＝na＋.
n n 1
2.等比数列{a}的前n项和S＝
n n
考点2：裂项相消求和
1. 通 项 特 征 ： 通 项 一 般 是 分 式 ， 分 母 为 偶 数 个 因 式 相 乘 ， 且 满 足 a 是 常 数 ，
2.解题思路
考点3：错位相减法
1. 通项特征：一次函数*指数型函数
2. 解题思路考点4：分组转化求和
1.通项特征： 或
2.解题思路二、分类题型
题型一 分组求和与并项求和
【例题精析1】 （2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）已知对于任意 ，函数 在点
处切线斜率为 ， 是公比大于0的等比数列， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前20项和 .
【例题精析2】 （2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知数列 的前 项和 满足 ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．【例题精析3】 （2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知等比数列 的各项均为正数，且
， .
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前 项和 .
【例题精析4】 （2023·广东东莞·校考三模）已知数列 和 ， ， ， .
(1)求证数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【例题精析5】 （2022春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）设数列{an}的首项
n=1，2，3，
⋯
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
(2)当a=1时，求数列{an}的前2n项和Sn.
2
【例题精析6】 （2023·全国·高三专题练习）函数 ，且 ，则
________．
(1)若数列{c}的通项公式为c＝a±b，且{a}，{b}为等差或等比数列，可采用分组求和法
n n n n n n求数列{c}的前n项和．
n
(2)若数列{c}的通项公式为c＝其中数列{a}，{b}是等比数列或等差数列，可采用分组求
n n n n
和法求{c}的前n项和．
n
【对点精练1】 （2022秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，
数列 为等比数列，满足 是 与 的等差中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前20项和 .
【对点精练2】 （2023春·安徽·高二校联考期末）设数列 的前 项和为 ， ，点 在
直线 上．
(1)求 及 ；
(2)记 ，求数列 的前20项和 ．
【对点精练3】 （2023春·湖北武汉·高二统考期末）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前项和 .【对点精练4】 已知数列 满足， ， .
(1)若数列 为数列 的奇数项组成的数列，证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前50项和.
【对点精练5】 （2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【对点精练6】 （2023·全国·高三专题练习）已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数
列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 ，求 .
【对点精练7】 （2022·贵州安顺·统考模拟预测）在等比数列 中，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
题型二 错位相减法求和
【例题精析7】 （2023春·陕西安康·高二统考期末）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【例题精析8】 （2023春·四川达州·高二统考期末）已知等差数列 前五项和为15，等比数列 的前三
项积为8，且 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【例题精析9】 （2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【例题精析10】 （2023春·福建泉州·高二校联考期中）设数列 满足
(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的值.
【例题精析11】 （2023春·江西上饶·高二校联考期中）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，
是以 为首项，且公差不为0的等差数列， 成等比数列．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ．(1)如果数列{a}是等差数列，{b}是等比数列，求数列{a·b}的前n项和时，常采用错位相
n n n n
减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地
n n
写出“S－qS”的表达式．
n n
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式S＝na.
n 1
【对点精练8】 （2023·全国·高二专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列
是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列 的通项公式；
(2)设数列 ，求出数列 的前 项和 ．
【对点精练9】 （2023·全国·高三专题练习）设等比数列 满足 .
(1)计算 ，猜想 的通项公式并加以证明；
(2)求数列 的前 项和 .
【对点精练10】 已知 是数列 的前 项和， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 .
【对点精练11】 （2023春·湖北武汉·高二校联考期末）已知各项均为正数的等比数列 中，.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【对点精练12】 （2022秋·高二单元测试）已知 数列满足 ， ．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【对点精练13】 （2023春·河北唐山·高二期末）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .题型三 裂项相消法求和
【例题精析12】 （2023·全国·高二专题练习）已知数列 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【例题精析13】 （2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知在等差数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【例题精析14】 （2023·全国·高二专题练习）已知 为正项数列 的前 项的乘积，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求证： .
【例题精析15】 （广东省深圳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知数列 满足
.(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【例题精析16】 （2023春·陕西西安·高二长安一中校考阶段练习）设数列 的前 项和为 ， ，
(1)求证： 是等比数列；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ；
利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
【对点精练14】 （2023春·湖南湘潭·高二校联考期末）在数列 中， ， .
(1)证明 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【对点精练15】 （2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，
数列 满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【对点精练16】 （2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【对点精练17】 （2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知公差为正数的等差数列 的前 项和为
，且 成等比数列.
(1)求 和 .
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【对点精练18】 （2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）已知数列 的首项
.
(1)证明： 为等比数列；
(2)证明： .
【对点精练19】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知数列 的前 项和为 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .【对点精练20】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，数列 的前n项积为
，且满足 ．
(1)求证： 为等差数列；
(2)记 ，求数列 的前2023项的和M．
【对点精练21】 （2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知等差数列 的公差为
，等差数列 的公差为 .设 ， 别是数列的 ， 前 项和，且 ， ，
.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•甲卷）记 为数列 的前 项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值．
2．（2021•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
3．（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
4．（2021•甲卷）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为
条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
5．（2020•天津）已知 为等差数列， 为等比数列， ， ， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
6．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ．
7．（2020•山东）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 ， 中的项的个数，求数列 的前100项和 ．
8．（2019•新课标Ⅱ）已知 是各项均为正数的等比数列， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．
9．（2019•天津）设 是等差数列， 是等比数列．已知 ， ， ， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ， 其中 ．
求数列 的通项公式；求 ．
10．（2018•北京）设 是等差数列，且 ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 ．
11．（2017•新课标Ⅰ）记 为等比数列 的前 项和．已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并判断 ， ， 是否成等差数列．
12．（2017•北京）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
13．（2017•新课标Ⅲ）设数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
1．（2020•金安区校级模拟）南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导
出相应的垛积术公式．例如方亭（正四棱台）体积为 其中 为上底边长， 为下底边长，
为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由
个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有 层，最下层（即下底）由 个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下： ．根据以上材料，我们可得
．
2．（2023•滨海新区校级三模）若 为等差数列， 为等比数列， ， ，
．
（1）求 和 的通项公式；
（2）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
（3）记 的前 项和为 ，且满足 对于 恒成立，求实数 的取值
范围．
3．（2023•阿拉善盟一模）已知数列 中， ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和 ，求证： ．
4．（2022•长春模拟）已知数列 和 满足 ， ， ， ．
（1）证明： 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和．
5．（2022•黄州区校级二模）数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项
（2）求数列 的前 项和 ．6．（2022•安庆二模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求 的前 项和 ．
7．（2021•金凤区校级二模）已知数列 的前 项和为 ，点 ， 在函数 的图
象上，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
8．（2021•凯里市校级三模）已知数列 满足： ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，求数列 的前 项和 ．
9．（2021•山西二模）已知等比数列 ， ， ， 是 与 的等差中项．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
10．（2020•天津模拟）已知数列 的前 项和为 ， ，数列 为等比数列，且 ，
分别为数列 第二项和第三项．
（1）求数列 与数列 的通项公式；
（2）若数列 ，求数列 的前 项和 ．11．（2020•东莞市模拟）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 项的和 ．
12．（2019•青岛二模）已知数列 的各项均为正数， ，且对任意 ， 为 和1的等
比中项，数列 满足 ．
（1）求证：数列 为等比数列，并求 通项公式；
（2）若 ， 的前 项和为 ，求使 不小于360的 的最小值．
1．（2021•平谷区一模）已知数列 ， ， ， ， ，具有性质 ：对任意 ，
与 ，两数中至少有一个是该数列中的一项， 为数列 的前 项和．
（Ⅰ）分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质 ；
（Ⅱ）证明： ，且 ；
（Ⅲ）证明：当 时， ， ， ， ， 成等差数列．
2．（2020•东城区模拟）各项均为非负整数的数列 同时满足下列条件：
① ；② ；③ 是 的因数 ．（Ⅰ）当 时，写出数列 的前五项；
（Ⅱ）若数列 的前三项互不相等，且 时， 为常数，求 的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数 ，存在正整数 ，使得 时， 为常数．
3．（2020•北京模拟）给定整数 ，数列 ， ， ， 每项均为整数，在 中去掉一项
，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 ，
2， ， ．将 ， ， ， 中的最小值称为数列 的特征值．
（Ⅰ）已知数列 ，2，3，3，3，写出 ， ， 的值及 的特征值；
（Ⅱ）若 ，当 ，其中 ， ，2， ， 且 时，判断
与 的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列 的特征值为 ，求 的最小值．
4．（2020•下城区校级模拟）已知公差非零的等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等
比数列，且 ，数列 满足 ， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列满足，求证：，，．
