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利用导数研究恒 能 成立问题
7-5 ( )
7-5 利用导数研究恒(能)成立问题....................................................................................................................1
一、分类题型.....................................................................................................................................................1
题型一 分离参数求参数范围...............................................................................................................2
题型二 等价转化求参数范围...............................................................................................................2
题型三 双变量的恒(能)成立问题......................................................................................................3
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................4一、分类题型
题型一 分离参数求参数范围
【例题精析1】 （2022春·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知函数 恒成立，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题精析2】 （2023·河北·统考模拟预测）若 ，不等式 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析3】 （2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知函数 .
(1)若 是增函数，求 的取值范围；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) ；
max min
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x) ；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x) .
min max【对点精练1】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的 ， 恒
成立，求实数 的取值范围．
【对点精练2】 （2023春·湖北武汉·高二统考期末）已知函数 ， 时， ，则
实数 的范围是__________.
【对点精练3】 （2023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数 在 上存在
单调递增区间，则 的取值范围是______.
【对点精练4】 （2023·全国·高三专题练习）若存在 ，使得不等式 成立，则m的取值
范围为______
题型二 等价转化求参数范围
【例题精析4】 已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值；
(2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数
单调性求解．【对点精练5】 （2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)研究函数 在区间 上的单调性；
(2)若对于 ，恒有 ，求 的取值范围．
【对点精练6】 （2023春·福建福州·高二校联考期中）已知函数 .
(1)令 ，讨论 的极值；
(2)若 时， 恒成立，求正实数a的取值范围.
【对点精练7】 （2023春·重庆·高二校联考期末）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)设 ，其中 ，若 恒成立，求 的取值范围．
题型三 双变量的恒(能)成立问题
【例题精析5】 （2023春·湖南怀化·高二统考期末）已知函数 ， .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，存在 满足 ，证明 .
【例题精析6】 （2023春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数 （
是自然对数的底数）
(1)求 在 处的切线方程.(2)存在 成立，求a的取值范围.
(3)对任意的 ，存在 ，有 ，则 的取值范围.
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常
见的等价转换有
(1)∀x ，x ∈D，f(x )>g(x ) f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min max
(2)∀x ∈D ，∃x ∈D ，f(x )>g(x ) f(x) >g(x) .
1 1 2 2 ⇔1 2 min min
(3)∃x ∈D ，∀x ∈D ，f(x )>g(x ) f(x) >g(x) .
1 1 2 2 1 2 ⇔ max max
⇔
【对点精练8】 （2023·广西·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 有两个不同零点 ， 证明： ．
【对点精练9】 （2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围．
【对点精练10】 （2023春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）已知函数 ．
(1)若 在 单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（浙江高考）设 ，若 时，均有 ，则 ．
2．（2023•天津）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在 处的切线斜率；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）证明： ．
3．（2016•新课标Ⅲ）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）设函数 ，当 时， ，求 的取值范围．4．（2022•浙江模拟）已知函数 的振幅为2，初相为 ，函数 的
图象关于 轴对称．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）函数 ，若 恒成立，求 的取值范围．
5．（2022•毕节市模拟）已知 ．
（Ⅰ）若 ，解不等式 ；
（Ⅱ）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
6．（2022•上饶一模）已知函数 ， ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 在 ， 时有解，求实数 的取值范围．
7．（2022•赤峰模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若对任意的 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
8．（2022•临夏州一模）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
9．（2022•长丰县校级模拟）已知 ．
（1）解不等式 ；（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
10．（2022•安康三模）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
11．（2022•河南模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
12．（2022•上海） ．
（1）若将函数 图像向下移 后，图像经过 ， ，求实数 ， 的值．
（2）若 且 ，求解不等式 ．
13．（2022•通辽模拟）已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围；
（2）若对任意的实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
14．（2022•大兴区校级三模）设函数 ， ．
（1）当 时，求 在点 ， 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（3）求证：当 时， ．
15．（2022•海拉尔区校级四模）已知函数 ．（1）当 ， 时，求不等式 的解集；
（2）当 时， 的最大值为 ，求 的最小值．
16．（2022•呼和浩特模拟）已知函数
（Ⅰ）当 时，解不等式： ；
（Ⅱ）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围．
17．（2022•爱民区校级三模）已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ，求 的最小值．
18．（2022•叙州区校级模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若关于 的不等式 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围．
19．（2022•河南模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围．
20．（2022•陕西模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
