文档文本内容
8-2 用样本估计总体
1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.
2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
8-2 用样本估计总体.............................................................................................................................1
一、主干知识.................................................................................................................................1
考点1：百分位数...................................................................................................................1
考点2：平均数、中位数和众数...........................................................................................2
考点3：方差和标准差...........................................................................................................2
考点4：总体(样本)方差和总体(样本)标准差......................................................................2
【常用结论总结】..................................................................................................................2
二、分类题型.................................................................................................................................4
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计........................................................................4
题型二 总体集中趋势的估计................................................................................................5
题型三 总体离散程度的估计................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................7一、主干知识
考点1：百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，
且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
考点2：平均数、中位数和众数
(1)平均数：x＝(x ＋x＋…＋x).这一公式在数学中常简记为x＝∑x，
1 2 n i
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)
或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
考点3：方差和标准差
(1)方差：s2＝∑(x－x)2＝∑x－x2.
i
(2)标准差：s＝.
考点4：总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为 Y ，Y ，…，Y ，总体平均数为 ，则总体方差S2＝∑(Y
1 2 N i
－)2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y ，Y ，…，Y，其中Y出现的
1 2 k i
频数为f(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝∑f(Y－ )2.
i i i
【常用结论总结】
巧用三个有关的结论
(1)若x，x，…，x 的平均数为1，那么mx＋a，mx＋a，…，mx＋a的平均数为m＋a；
1 2 n 1 2 n
(2)数据x ，x ，…，x 与数据x′＝x ＋a，x′＝x ＋a，…，x′＝x ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差
1 2 n 1 1 2 2 n n
不变；
(3)若x，x，…，x 的方差为s2，那么ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方差为a2s2.
1 2 n 1 2 n二、分类题型题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
【例题精析1】 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为 ，
那么这组数据的第75百分位数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
【例题精析2】 某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年
100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分
成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
则全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为 （精确到0.01）.
计算一组n个数据第p百分位数的步骤
【对点精练1】 某工厂在加大生产量的同时，狠抓质量管理，不定时抽查产品质量．该企业质检人员从所生产的产品中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：
．得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和60%分位数（同一组中的
数据用该组区间中点值作代表，60%分位数精确到0.01）．
【对点精练2】 甲同学最近几次的数学考试成绩情况如下：
，则甲得分的第75百分位数为 .题型二 总体集中趋势的估计
【例题精析3】 （多选）一组样本数据11，19，15，16，19，则这组数据的（ ）
A．众数是19 B．平均数是16 C．中位数是15 D．方差是44
【例题精析4】 （多选）学校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩
（满分100分）按照 ， ， ，…， 分成六组，得到如图所示的频率分布
立方图，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为0.05
B．估计测试成绩低于70分的有240人
C．估计测试成绩的众数为75
D．估计测试成绩的平均数为71
【例题精析5】 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济
损失，现将 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．估算月经济损失的平均数
为 ，中位数为 ，则 （ ）A．50 B．75 C．90 D．100
【例题精析6】 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济
损失，现将 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．估算月经济损失的平均数
为 ，中位数为 ，则 （ ）
A．50 B．75 C．90 D．100
频率分布直方图的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．【对点精练1】 （多选）某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服
务电话的数量（单位：次）：67 57 37 40 46 62 31 47 31 30则这组数据的（ ）
A．众数是31 B．中位数是40
C．极差是37 D． 分位数是30.5
【对点精练2】 （多选）从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350
度之间，将数据按照 ， ，…， 分成6组，画出的频率分布直方图如下图所
示，则（ ）
A．直方图中的 的值为0.0040
B．这100户居民月用电的平均数约为186度
C．这100户居民月用电的中位数约为200度
D．这100户居民月用电的众数约为175度
【对点精练3】 某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品
数
频率
则次品数的众数、平均数依次为（ ）．A． B． C． D．
【对点精练4】 已知一组数据为 ，则该组数据的（ ）
A．众数是1 B．平均数是3
C．第50百分位数是2 D．方差是9
题型三 总体离散程度的估计
【例题精析7】 （多选）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
【例题精析8】 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四
种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析9】 设一组样本数据x
1
，x
2
，…，xn的方差为0.01，则数据10x
1
，10x
2
，…，10xn的方差为
（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【例题精析10】 一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为6，另一个数由12改为10，其余数不变，
得到新的一组数据，则新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为（ ）
A．4 B．3 C． D．总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散
程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
【对点精练5】 已知样本数据 ， ， ， ， ， 的平均数为16，方差为
9，则另一组数据 ， ， ， ， ， ，12的方差为（ ）．
A． B． C． D．7
【对点精练6】 某校高二年级有男生400人和女生600人，为分析期末物理调研测试成绩，按照男女比
例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生的平均成绩为80分，方差为10，女生的平均
成绩为60分，方差为20，由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为 .
【对点精练7】 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5， ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则
这组数据的中位数为 .
【对点精练8】 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下：
甲 4 7 10 9 5 6 8 6 8 8
乙 7 8 6 8 6 7 8 7 5 9
试问10次射靶的情况较稳定的是 ．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2020•新课标Ⅲ）设一组样本数据 ， ， ， 的方差为0.01，则数据 ， ， ， 的
方差为
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
2．（2023•山东模拟）在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，
然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的
9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为
A．平均值 B．中位数 C．众数 D．方差
3．（2023•马鞍山模拟）某校高三（1）班 人）和高三（2）班 人）进行比赛，按照分层抽样的方法
从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三
（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.8
4．（2023•市中区校级一模）在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 40 70 5
乙 60 80 8
则两个班所有学生的数学成绩的方差为
A．6.5 B．13 C．30.8 D．31.8
5．（2023•渭南模拟）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、
丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地
区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是
A．甲地，均值为4，中位数为5
B．乙地：众数为3，中位数为2
C．丙地：均值为7，方差为2
D．丁地：极差为3， 分位数为8
6．（2023•庐阳区校级模拟）若一组样本数据 、 、 、 的平均数为10，另一组样本数据 、
、 、 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为
A．17，54 B．17，48 C．15，54 D．15，48
7．（2023•玉树州模拟）已知样本数据 ， ， ， 的平均数和方差分别为 3 和 56，若
，2， ， ，则 ， ， ， 的平均数和方差分别是
A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224
8．（2023•凉山州模拟）样本数据 ， ， ， 的平均数 ，方差 ，则样本数据 ，
， ， 的平均数，方差分别为
A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，19．（2023•甘肃模拟）如图，一组数据 ， ， ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，去除 ，
这两个数据后，平均数为 ，方差为 ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（2023•铜川二模）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 3，方
差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
11．（2023•沈河区校级模拟）某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80
百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为
A．220 B．240 C．250 D．300
12．（2023•济南二模）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位
数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为
A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2
13．（2023•云南模拟）已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37， ，40，50；
乙组：24， ，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 等于
A． B． C． D．
14．（2023•邢台模拟）下表是足球世界杯连续八届的进球总数：年份 1994 1998 2002 2006 2010 2014 2018 2022
进球总 141 171 161 147 145 171 169 172
数
则进球总数的第40百分位数是
A．147 B．154 C．161 D．165
15．（2023•射洪市模拟）已知一组正数 ， ， 的方差 ，则数据 ，
， 的平均数为
A．1 B．3 C．5 D．7
16．（2023•临沂一模）某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则
该组数据的第75百分位数是
件数 7 8 9 10 11
人数 3 7 5 4 1
A．8.5 B．9 C．9.5 D．10
17．（2023•浙江模拟）为调查中某校学生每天学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取
高一学生400人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生600人，其每天学习时间均值
为9小时，方差为0.8，抽取高三学生1000人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学
生每天学习时间的方差为
A．1.25 B．1.35 C．1.45 D．1.55
18．（2023•定远县校级模拟）已知一组数据：1，2，3，5， ，则下列说法错误的是
A．若平均数为4，则 B．中位数可以是5
C．众数可以是1 D．总体方差最小时，
19．（多选）（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，其中 是最小值， 是最大值，则
A． ， ， ， 的平均数等于 ， ， ， 的平均数B． ， ， ， 的中位数等于 ， ， ， 的中位数
C． ， ， ， 的标准差不小于 ， ， ， 的标准差
D． ， ， ， 的极差不大于 ， ， ， 的极差
20．（多选）（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，
， ，其中 ，2， ， ， 为非零常数，则
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
21．（多选）（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本 ， ， ， 的离散程度的有
A．样本 ， ， ， 的标准差 B．样本 ， ， ， 的中位数
C．样本 ， ， ， 的极差 D．样本 ， ， ， 的平均数
22．（2023•上海）现有某地一年四个季度的 （亿元），第一季度 为232（亿元），第四季度
为241（亿元），四个季度的 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的 为 ．
23．（2020•江苏）已知一组数据4， ， ，5，6的平均数为4，则 的值是 ．
24．（2020•上海）已知有四个数1，2， ， ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则 ．
25．（2019•江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．
26．（上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组
数据的中位数是 （米 ．
27．（江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ．
