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§9.2 用样本估计总体
考试要求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特
征估计总体集中趋势和总体离散程度．
知识梳理
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p % 的数据小于
或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．平均数、中位数和众数
(1)平均数：＝(x＋x＋…＋x)．
1 2 n
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据
个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
3．方差和标准差
(1)方差：s2＝(x－)2或－2.
i
(2)标准差：s＝.
4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y，Y，…，Y ，总体平均数为，则总体方
1 2 N
差S2＝(Y－)2.
i
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有 k(k≤N)个，不妨记为Y ，Y ，…，
1 2
Y，其中Y出现的频数为f(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝(Y－)2.
k i i i i
常用结论
1．若x，x，…，x 的平均数为，那么mx＋a，mx＋a，…，mx＋a的平均数为m＋a.
1 2 n 1 2 n
2．数据x ，x ，…，x 与数据x′＝x ＋a，x′＝x ＋a，…，x′＝x ＋a 的方差相等，即
1 2 n 1 1 2 2 n n
数据经过平移后方差不变．
3．若x，x，…，x 的方差为s2，那么ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方差为a2s2.
1 2 n 1 2 n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( × )
(2)方差与标准差具有相同的单位．( × )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．( √ )
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ )
教材改编题1．若数据x，x，…，x 的方差为2，则数据2x，2x，…，2x 的方差为( )
1 2 9 1 2 9
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 根据方差的性质可知，数据x ，x ，…，x 的方差s2＝2，那么数据2x ，2x ，…，2x
1 2 9 1 2 9
的方差为22s2＝8.
2．某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85，则这7次成绩的第80百分位
数为( )
A．88.5 B．89 C．91 D．89.5
答案 B
解析 7次的训练成绩从小到大排列为85,86,87,88,88,89,90，
7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.
3 ． 某 校 体 育 节 10 名 旗 手 的 身 高 ( 单 位 ： cm) 分 别 为
175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则中位数为________．
答案 178.5
解析 把10名旗手的身高从小到大排列为175,175,176,176,178,179,179,179,180,180，
则＝178.5，所以所求中位数为178.5.
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
例1 (1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：
分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为( )
A．92,85 B．92,88
C．95,88 D．96,85
答案 B
解析 数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经按照由小到大
的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，所以第25百分位数是88.
延伸探究 本例中，第70百分位数是多少？
解 10×70%＝7，第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为＝94.
(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM )的观测值：
2.5
396 275 268 225 168 166 176 173
188 168 141 157
若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征发生改变的是( )
A．极差 B．中位数
C．众数 D．平均数
答案 ABD解析 根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为
396＋25＝421，极差为最大值与最小值的差，要发生改变；
加入数据前，中位数为×(173＋176)＝174.5，加入数据后，中位数为176，发生改变；
众数为数据中出现次数最多的数，不会改变；
若加入数据前，平均数为，加入数据后，平均数为>，发生改变．
思维升华 计算一组n个数据第p百分位数的步骤
跟踪训练 1 (1)某中学高一年级 8 名学生某次考试的数学成绩(满分 150 分)分别为
85,90,93,99,101,103,116,130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为( )
A．102 B．103 C．109.5 D．116
答案 C
解析 这组数据已经按照由小到大的数据排列，8×75%＝6，则这8名学生数学成绩的第75
百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即为＝109.5.
(2)(多选)冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会．自 1924年起，每四
年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红
星实验学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制
成如图所示的频数分布折线图，则( )
A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数
B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差
C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数
D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差
答案 ABD
解析 观察每天宣传次数的频数分布折线图，甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2,3，A正确；
甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3,2，B正确；
甲社团宣传次数的平均数 ＝＝3，乙社团宣传次数的平均数 ＝＝3，C不正确；
1 2
甲社团宣传次数的方差s＝×[3×(2－3)2＋2×(3－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝，
乙社团宣传次数的方差s＝×[2×(2－3)2＋3×(3－3)2＋2×(4－3)2]＝，D正确．
题型二 总体集中趋势的估计
例2 为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校
举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成
绩，从中抽取了50名学生的成绩(成绩均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的成绩
都不低于 60 分，将这 50 名学生的成绩(单位：分)进行分组，第一组[60,70)，第二组
[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数；
(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动成绩的平均数．若对成绩不低于平均数的同学
进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．
解 (1)由频率分布直方图知(0.01＋m＋0.04＋0.02)×10＝1，解得m＝0.03；
设此次竞赛活动学生成绩的中位数为 x ，因为数据落在[60,80)内的频率为0.4，落在[60,90)
0
内的频率为0.8，
从而可得800.5，
则1852成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
思维升华 总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离
散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
跟踪训练3 (2022·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间
参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？
请说明理由．
解 (1) ＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
甲
＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
乙
s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－
85)2]＝35.5，
s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－
85)2]＝41.
(2)由(1)知 ＝ ，s30%，
故D选项正确．
4．(多选)习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：小
时)进行了统计，得到如下频率分布表：
分组 [2,3) [3,4) [4,5) [5,6]
频率 0.25 0.30 0.20 0.25
则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是( )
A．众数约为2.5
B．中位数约为3.83
C．平均数为3.95
D．第80百分位数约为5.2
答案 BCD
解析 对于A，根据频率分布表可得，高一年级学生每周体育锻炼时长的众数为＝3.5，故
A错误；
对于 B，设高一年级学生每周体育锻炼时长的中位数为 x，则 0.25＋×0.30＝0.5，解得
x≈3.83，故B正确；
对于C，高一年级学生每周体育锻炼时长的平均数为 0.25×2.5＋0.30×3.5＋0.20×4.5＋
0.25×5.5＝3.95，故C正确；
对于D，因为0.25＋0.30＋0.20＋0.05＝0.80，所以高一年级学生每周体育锻炼时长的第 80
百分位数约为5＋＝5.2，故D正确．
5．(多选)第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会
的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名
候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是
(每组数据以区间的中点值为代表)( )
A．b的值为0.25
B．候选者面试成绩的中位数约为69.4
C．在被抽取的候选者中，成绩在区间[65,75)之间的候选者有30人
D．估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5
答案 BD解析 对于A，由(0.005＋b＋0.045＋0.02＋0.005)×10＝1，解得b＝0.025，故A错误；
对于B，设候选者面试成绩的中位数为x，则(0.005＋0.025)×10＋(x－65)×0.045＝0.5，解
得x≈69.4，故B正确；
对于C，成绩在区间[65,75)的频率为0.045×10＝0.45，故人数为80×0.45＝36，故C错误；
对于 D,50×0.005×10＋60×0.025×10＋70×0.045×10＋80×0.02×10＋90×0.005×10＝
69.5，故D正确．
6．(2023·云南师大附中模拟)根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10 ℃即为
入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，现有4组
样本①，②，③，④，依次计算得到结果如下：
①平均数<4；
②平均数<4且极差小于或等于3；
③平均数<4且标准差s≤4；
④众数等于5且极差小于或等于4.
则4组样本中一定符合入冬指标的共有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
答案 B
解析 ①举反例：0,0,0,4,11，其平均数＝3<4.但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为10－3＝7，此时数据的平均数必然大于7，与<4矛盾，故假设错
误．则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1,1,1,1,11，平均数＝3<4，且标准差s＝4.但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，最大数不超过9.符合入冬指标．
7．(2022·福州模拟)电影《长津湖》点燃了人们心中对英雄的崇敬之情，也更加显示出如今
和平生活的来之不易．某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间
[10,20)内的有10位，位于区间[20,30)内的有20位，位于区间[30,40)内的有25位，位于区间
[40,50]内的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为________．
答案 35
解析 由于25>20>15>10，故众数位于区间[30,40)内，所以众数的估计值为＝35.
8．(2023·沧州模拟)已知某样本数据分别为1,2,3，a,6，若样本平均数＝3，则样本方差s2＝
________.
答案
解析 由题设，得＝＝3，可得a＝3，所以s2＝(x－)2＝.
i
9．(2023·南通模拟)某学校对高一某班的同学进行了身高(单位：cm)调查，将得到的数据进
行适当分组后(除最后一组为闭区间外其余每组为左闭右开区间)，画出如图所示的频率分布
直方图．(1)求m的值；
(2)估计全班同学身高的中位数；
(3)估计全班同学身高的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
解 (1)由频率分布直方图可得(m＋0.010＋0.010＋0.015＋0.040)×10＝1，解得m＝0.025.
(2)设全班同学身高的中位数为x，由题可知x∈[165,175)，得0.10＋0.15＋(x－165)×0.040＝
0.5，
解得x＝171.25，
故估计全班同学身高的中位数为171.25.
(3)估计全班同学身高的平均数为150×0.10＋160×0.15＋170×0.40＋180×0.25＋190×0.10
＝171，
估计全班同学身高的方差为(150－171)2×0.10＋(160－171)2×0.15＋(170－171)2×0.40＋(180
－171)2×0.25＋(190－171)2×0.10＝119.
10．对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示
的频率分布直方图．
(1)根据直方图完成以下表格；
成绩 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数
(2)求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛的选手成绩？
解 (1)填表如下：
成绩 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 50 150 350 350 100(2)平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，
方差为(55－78)2×0.05＋(65－78)2×0.15＋(75－78)2×0.35＋(85－78)2×0.35＋(95－78)2×0.1
＝101.
(3)进入复赛的选手成绩为80＋×10＝82(分)，
所以初赛成绩为82分及以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及以上
均可)．
11．(2022·天津模拟)某校排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为根据排球社
50位同学的垫球个数画的频率分布直方图，所有同学垫球数都在5～40之间．估计垫球数
的样本数据的第75百分位数是( )
A．17.5 B．18.75 C．27 D．28
答案 D
解析 垫球数在区间[5,25)内的人数占总数的(0.01＋0.01＋0.04＋0.06)×5×100%＝60%，
垫球数在区间[5,30)内的人数占总数的(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5×100%＝85%；
所以第75百分位数位于区间[25,30)内，且25＋5×＝28，
所以估计垫球数的样本数据的第75百分位数是28.
12．(2022·上海模拟)若等差数列{x}的公差为3，则x，x，x，…，x 的方差为________．
n 1 2 3 9
答案 60
解析 由等差数列{x}的公差为3，可知＝＝＝＝x，
n 5
所以方差s2＝[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]＝(16d2＋9d2＋4d2＋d2)×2＝d2＝×9＝60.
1 5 2 5 9 5
13．(多选)某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5
℃，则需全员进行核酸检测．该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数，则根
据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( )
A．中位数是1，平均数是1
B．中位数是1，众数是0
C．中位数是2，众数是2D．平均数是2，方差是0.8
答案 AD
解析 对于A，因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到大
的顺序排列为a，b，1，c，d，
因为平均数是1，所以a＋b＋1＋c＋d＝5，若d＝4，则a＝b＝c＝0，与中位数是1矛盾，
故A正确；
对于B，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到大的顺序排列为0,0,1,2,4，
满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3人，故B错误；
对于C，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到大的顺序排列为0,2,2,3,4，
满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3人，故C错误；
对于D，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到大的顺序排列为a，b，c，
d，e，
因为平均数是2，方差是0.8，则a＋b＋c＋d＋e＝10，
[(a－2)2＋(b－2)2＋(c－2)2＋(d－2)2＋(e－2)2]＝0.8，
即(a－2)2＋(b－2)2＋(c－2)2＋(d－2)2＋(e－2)2＝4，
则e≤4，若e＝4，从方差角度来说a＝b＝c＝d＝2，不满足a＋b＋c＋d＋e＝10，
所以e<4，同理a，b，c，d均小于4，故D正确．
14．(多选)已知一组数据丢失了一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11，若
这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是( )
A．4 B．12 C．18 D．20
答案 AC
解析 设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是3，
若3
