文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 48 练 用样本估计总体（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·天津·统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒
张压数据（单位： ）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别
编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组
共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得
结果.
【详解】志愿者的总人数为 ＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18－6＝12．
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，
随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲
座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
【详解】讲座前中位数为 ,所以 错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是 个 ,剩下全部大于等于 ,所以讲座后问卷答题的正确率
的平均数大于 ,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所
以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为 ,所以 错.
故选:B.
3．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界
直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
4．（2021·天津·统考高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取 部，统计其评分数据，将所得
个评分数据分为 组： 、 、 、 ，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分
在区间 内的影视作品数量是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 内的影视作品数量.
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间 内的影视作品数量为 .
故选：D.
5．（2021·全国·统考高考真题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户
家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可
作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为 ,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为 ,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为 ,
故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为
(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率
的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均
值的估计值.注意各组的频率等于 .
二、多选题
6．（2023·全国·统考高考真题）有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
【答案】BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设 的平均数为 ， 的平均数为 ，则 ，
因为没有确定 的大小关系，所以无法判断 的大小，
例如： ，可得 ；
例如 ，可得 ；
例如 ，可得 ；故A错误；
对于选项B：不妨设 ，
可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B正确；
对于选项C：因为 是最小值， 是最大值，
则 的波动性不大于 的波动性，即 的标准差不大于 的标准差，
例如： ，则平均数 ，
标准差 ，
，则平均数 ，
标准差 ，
显然 ，即 ；故C错误；
对于选项D：不妨设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
7．（2021·全国·统考高考真题）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
【答案】AC
【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.
【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
8．（2021·全国·统考高考真题）有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，
…， ，其中 ( 为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有 、 ，即可判断正误；根据中位数、
极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为
，故极差相同，正确；故选：CD
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法
抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本
估计总体，则该校学生的平均身高是（ ）
A．162cm B．164cm C．166cm D．168cm
【答案】C
【分析】由分层抽样与平均数的概念求解，
【详解】由题意得在抽取的10人中，男生6人，女生4人，
故样本平均数为 ，估计该校学生的平均身高是166cm
故选：C
2．Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装
备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它
还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小张根据Keep记录的2022年1月至2022年11月期间
每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（
）
A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程最大值出现在10月
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
【答案】A
【分析】根据折线图，结合选项即可逐一求解.
【详解】由折线图可知，月跑步里程不是逐月增加的，故A不正确；月跑步里程最大值出现在10月，故B正确；
月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，
故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；
1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确．
故选:A．
3．某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们
的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，
150]分组后得到的频率分布直方图如图所示.现从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学
的试卷进行分析，则从成绩在[120，130）内的学生中抽取的人数为（ ）
A．28 B．36 C．20 D．24
【答案】D
【分析】先求出成绩在[120，130）内的频率，由此能求出成绩在[120，130）内的学生中抽取的人数.
【详解】成绩在[120，130）内的频率为:
.
因为从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学的试卷进行分析，则从成绩在[120，130）
内的学生中抽取的人数为 .
故选: D.
4．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为 ，若m为上述数据中的第x百
分位数，则x的取值可能为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【分析】先求出 ，再结合百分位数的定义，即可求解．
【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比 大的概率为 ，则 ，为数据2，3，4，5，6，7，8，9的第6个数，
为上述数据中的第 百分位数， ，则 的取值可能为70．
故选：C．
5．某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的
标准，通过简单随机抽样，获得了1000户居民的月均用水量数据（单位： ），得到如图所示的频率分布
直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直方图，由中位数的性质列方程求中位数即可.
【详解】由图知： ，
所以中位数在区间 ，令中位数为 ，则 ，
所以 .
故选：B
6．样本数据 的平均数为4，方差为1，则样本数据 的平均数，方差分别
为（ ）
A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1
【答案】A
【分析】根据平均数和方差的性质运算求解.
【详解】因为样本数据 的平均数为4，
所以样本数据 的平均数为 ；
因为样本数据 的方差为1，所以样本数据 的方差为 .
故选：A
7．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为
了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了
一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在 内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该
组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（ ）
A．70.2 B．72.6 C．75.4 D．82.2
【答案】C
【分析】根据题意，由频率之和为1，可得 的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结
果.
【详解】由条件可得 ，则 ，故得分的平均数为：
.
故选：C
8．有 人进行定点投篮游戏，每人投篮 次．这 人投中的次数形成一组数据，中位数 ，唯一众数 ，
极差 ，则该组数据的第 百分位数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由极差，中位数、平均数、众数和百分位数的定义求解即可.
【详解】因为中位数是 ，即第三个数是 ；众数是 ，所以第四、五位数是 ；
极差是 ，所以第一个数是 ；且众数唯一，所以第二个数是 ；
所以，这五个数依次是： 、 、 、 、 ，
则该组数据的第 百分位数是： ．
故选：C．
9．某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连续5周的量化打分不低于80分，则为优秀
班级.下列能断定该班为优秀班级的是（ ）
A．某班连续5周量化打分的平均数为83，中位数为81
B．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差大于0
C．某班连续5周量化打分的中位数为81，众数为83
D．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差为1
【答案】D
【分析】根据方差、平均数、中位数、众数的定义通过举反例即可判断ABC，根据方差计算公式即可判断
D.
【详解】若连续5周的量化打分数据为 ，满足 的条件，但第5周的打分低于80分，故
A，B错误；
若连续5周的量化打分数据为 ，满足C的条件，但第5周的打分低于80分，C错误；
根据方差公式 ，
因为方差为 ，所以若存在一周的量化打分低于80分，
则方差一定大于1，故能断定该班为优秀班级，D正确.
故选：D.
10．居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI）是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时
间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况．下图为我国2022年1月
~2023年3月CPI同比（与去年同月对比）涨跌幅统计图．下列分析中，最为恰当的一项是（ ）
A．各月CPI同比涨跌幅的极差大于
B．各月CPI同比涨跌幅的中位数为
C．2022年上半年CPI同比涨跌幅的方差小于下半年CPI同比涨跌幅的方差
D．今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差
【答案】D
【分析】根据统计图，判断极差范围，可判断A；结合中位数概念可判断B；根据统计图判断涨跌幅的变
化幅度的大小，可判断C，D.
【详解】由统计图可知各月CPI同比涨跌幅的最小值大于 ，最大值小于 ，
故极差不超过 ，A错误；
各月CPI同比涨跌幅的中位数为将这15个数据从小到大排列的第8个数。
由统计图可知第8个数为2022年4月或5月11月中的一个，接近于 ，B错误；
由统计图可知2022年上半年CPI同比涨跌幅的变化幅度较大，
下半年CPI同比涨跌幅的变化幅度较小，
故2022年上半年CPI同比涨跌幅的方差应大于下半年CPI同比涨跌幅的方差，C错误；
由统计图可知今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的变化幅度明显大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的
变化幅度，
故今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差，D正确；
故选：D
11．某校1500名学生参加交通安全知识竞赛，随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频
率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．频率分布直方图中 的值为0.0045
B．估计这100名学生竞赛成绩的第60百分位数为80
C．估计这100名学生竞赛成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在 内的学生人数为500
【答案】B
【分析】先根据频率之和为1可得 ，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为 ，可得 ，故A错误；
可知每组的频率依次为 .
对于选项B：前三组的频率和为 ，
所以这100名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，故B正确；
对于选项C：因为 的频率最大，所以这100名学生竞赛成绩的众数为75，故C错误；
对于选项D：总体中成绩落在 内的学生人数为 ，故D错误.
故选：B.
12．上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气
温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（ ）
A．总体均值为25℃，中位数为23℃
B．总体均值为25℃，总体方差大于0℃
C．总体中位数为23℃，众数为25℃
D．总体均值为25℃，总体方差为1℃
【答案】D
【分析】对于AB，取连续五天的平均气温为 可判断；对于C，取连续五天的平均气温为 可判断；对于D，用反证法可验证.
【详解】对于A，如连续五天的平均气温为 ，满足总体均值为 ，中位数为
，故A不正确；
对于B，如连续五天的平均气温为 ，满足总体均值为25℃，总体方差大于0℃，
故B不正确；
对于C，如连续五天的平均气温为 ，满足总体中位数为23℃，众数为25℃，故
C不正确；
对于D，当总体均值为 ，总体方差为 ，
若存在有一天气温低于 ，不妨令 ，
根据方差公式 ，
可得 ，
因为方差为1， 所以不可能存在有一天气温低于 ，故D正确.
故选：D
13．2023年春运期间，某地交通部门为了解出行情况，统计了该地2023年正月初一至正月初七的高速公
路车流量（单位：万车次）及同比增长率（同比增长率= ），并
绘制了如图所示的统计图，则下列结论中错误的是（ ）A．2023年正月初一至正月初七的车流量的极差为24
B．2023年正月初一至正月初七的车流量的中位数为18
C．2023年正月初一至正月初七的车流量比2022年同期车流量多的有4天
D．2022年正月初四的车流量小于20万车次
【答案】D
【分析】对于A，2023年车流量的最大值与最小值的差即为极差；
对于B，数据从小到大排列，中间的一个数或者中间两个数的平均数；
对于C，通过观察统计图的右侧增长率可得结果；
对于D，根据2023年正月初四的车流量以及同比增长率计算即可.，
【详解】对于A，由题图知，2023年正月初一至正月初七的车流量的极差为 ，故A正确；
对于B，易知2023 年正月初一至正月初七的车流量的中位数为18，故 B正确；
对于C，2023年正月初二、初五、初六、初七这4天车流量的同比增长率均大于0，所以2023年正月初一
至正月初七的车流量比2022年同期车流量多的有4天，故C正确；
对于D，2023年正月初四的车流量为18万车次，同比增长率为 ，设2022年正月初四的车流量为x
万车次，则 ，解得x=20，故D错误．
故选：D．
14．体育强国的建设是2035年我国发展的总体目标之一.某学校安排每天一小时课外活动时间，现统计得
小明同学10周的课外体育运动时间（单位：小时）：6.5，6.3，7.8，9.2，5.7，7.9，8.1，7.2，5.8，8.3，
则下列说法不正确的是（ ）
A．小明同学10周的课外体育运动时间平均每天不少于1小时
B．小明同学10周的课外体育运动时间的中位数为6.8
C．以这10周数据估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为0.3
D．若这组数据同时增加 ，则增加后的 个数据的极差､标准差与原数据的极差､标准差相比均无变
化
【答案】B
【分析】根据平均数、中位数及方差的定义判断A、B、D，利用频率判断C .
【详解】这 周数据的平均值为 ，
平均每天 4小时，故A正确；将10个数据从小到大排列为5.7，5.8，6.3，6.5，7.2，7.8，7.9，8.1，8.3，9.2，中位数为 ，
故B错误；
这 个数据中大于8的有3个，估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为 ，故C正确；
若这组数据同时增加 ，则增加后的 个数据的极差､标准差与原数据的极差､标准差相比均无变化，故
D正确.
故选：B.
15．为调查中某校学生每天学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生400人，
其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生600人，其每天学习时间均值为9小时，方差为
0.8，抽取高三学生1000人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的
方差为（ ）
A．1.25 B．1.35 C．1.45 D．1.55
【答案】C
【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式运算求解.
【详解】由题意可得：抽取的总人数为 ，
则高一，高二，高三学生抽取的人数的频率分别为 ，
可得该校学生每天学习时间的平均数 ，
方差 .
故选：C.
二、多选题
16．铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依
次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（ ）
A．铁棍的长度的极差为 B．铁棍的长度的众数为
C．铁棍的长度的中位数为 D．铁棍的长度的第80百分位数为
【答案】ABC
【分析】将数据从小到大排序，利用极差、众数、中位数、百分位数的概念求解即可得结论.
【详解】铁棍的长度从小到大排列依次为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65（单位：
cm），对于A：极差为 ，故A正确；
对于B：众数为3.62，故B正确；
对于C：中位数为 ，故C正确；
对于D：因为 ％＝6.4，所以铁棍的长度的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64，所以
D不正确.
故选：ABC.
17．武汉市某七天每天的最高气温分别是38，36，35，37，39，37，35（单位℃），则（ ）
A．该组数据的极差为4 B．该组数据的众数为37
C．该组数据的中位数为37 D．该组数据的第80百分位数为38
【答案】ACD
【分析】根据极差、众数、中位数和百分位数的定义求解.
【详解】这组数据从小到大排列为：35，35，36，37，37，38，39，
极差为 ，A选项正确；
众数为35和37，B选项错误；
中位数是第4个数据37，C选项正确；
，该组数据的第80百分位数为第6个数据38，D选项正确.
故选：ACD
18．一组数据 ， ，…， 的平均数是3，方差为4，关于数据 ， ，…， ，下列说法
正确的是（ ）
A．平均数是3 B．平均数是8
C．方差是11 D．方差是36
【答案】BD
【详解】代入平均数和方差公式，即可求解.
【分析】 ， ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，则 ， ，
所以数据 ， ，…， 的平均数为 ，
方差为 .
故选：BD.
19．甲､乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8.9，10.则（ ）
A．甲的环数的70%分位数是7
B．甲的平均环数比乙的平均环数小
C．这20个数据的平均值为6.6
D．若甲的方差为2.25，乙的方差为4.41，则这20个数据的方差为4.34
【答案】BC
【分析】根据百分位数的定义可求解A选项；根据平均数的公式可求解B、C选项；根据方差的公式可求
解D选项.
【详解】对于A，因为 ，所以甲的环数的 分位数是 ，故A错误；
对于B， ，
，
所以 ，故B正确；
对于C，这20个数据的平均值 ，故C正确；
对于D，这20个数据的方差为 ，故D错误.
故选：BC.
20．某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，
现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，方
差为16，女生样本的均值为164，方差为30.则下列说法正确的是（ ）
A．如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人
B．该校全体高三学生的身高均值为171
C．抽取的样本的方差为44.08
D．如果已知男､女的样本量都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值
【答案】AC
【分析】利用分层抽样计算即可判断选项A；代入均值与方差公式即可判断选项BC；因为抽样中未按比
例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体
的估计不合适，可以判断D.
【详解】根据分层抽样，抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有 正确；
样本学生的身高均值 ，B错误；
抽取的样本的方差为 ，C正确；
因为抽样中未按比例进行分层抽样，
所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，
因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适.D错误.
故选：AC
21．某市800名高二学生参加数学竞赛，随机抽取80名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图
如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．频率分布直方图中 的值为0.03
B．估计这80名学生成绩的中位数为75
C．估计这80名学生成绩的众数为75
D．估计总体中成绩落在 内的学生人数为200人
【答案】AB
【分析】根据所有矩形的面积和为1求出a，然后逐一判断即可.
【详解】对于选项A：由图可得： ，
解得 ，故A错误；
对于选项B：因为 ，
所以这80名学生成绩的中位数位于 内，设为 ，则 ，解得 ，故B错误；
对于选项C：由图可知 的频率最大，
所以估计这80名学生成绩的众数为75，故C正确；
对于选项D：成绩落在 内的频率 ，
估计总体中成绩落在 内的学生人数为 人，故D正确；
故选：AB.
22．PM2.5是衡量空气质量的重要指标．下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位： ）的
折线图，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（ ）
A．众数为33 B．第70百分位数是33
C．中位数小于平均数 D．前4天的方差小于后4天的方差
【答案】AC
【分析】根据折线图以及百分位数求法、众数的概念、中位数、平均数、方差公式计算可得答案.
【详解】根据折线图可知，日均值个数最多的是 ，有两个，故众数为 ，故A正确；
将日均值按从小到大的顺序排列为： ，
因为 为整数，则第70百分位数是 ，故B不正确；
中位数为 ，平均数为 ，故C正确；
前 天的平均数为 ，方差为
，后4天的平均数为 ，方差为 ，前4
天的方差大于后4天的方差，故D不正确.
故选：AC
23．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．身高落在 内的人数为50人
C．若从身高在 ， ， 三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取17人．则身
高在 的学生选取的人数为4人
D．若将学生身高由高到低排序，前 的学生身高为 级，则身高为142厘米的学生身高肯定不是
级
【答案】ABC
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 ，得到方程求出 的值，即可判断A，再根据频率
分布直方图计算B、C，根据百分位数计算规则判断D.
【详解】由频率分布直方图可得 ，解得 ，故A正确；
身高落在 内的人数为 人，故B正确；
样本中 ， ， 的频率之比为 ，
所以身高在 的学生选取 人，故C正确；将学生身高由高到低排序，第 分位数设为 ，则 ，解得 ，
因为 ，故身高为 厘米的学生身高肯定是 级，故D错误；
故选：ABC
24．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B．已知一组数据 的方差是5，则数据 的方差是20
C．已知一组数据 的方差为0，则此组数据的众数唯一
D．已知一组不完全相同的数据 的平均数为 ，在这组数据中加入一个数 后得到一组新数
据 ，其平均数为 ，则
【答案】ACD
【分析】对于A，求得极差、中位数即可判断；对于B，根据方差的性质即可判断；对于C，根据方差的
定义可得 ，从而可判断；对于D，根据平均数的计算公式即可判断.
【详解】对于A，极差为 ，中位数为 ，所以极差与中位数之积为 ，A对；
对于B，根据方差的性质可知，数据 的方差是 ，B错；
对于C，由方差 ，
可得 ，即此组数据众数唯一，C对；
对于D， ，
，D对.
故选：ACD
25．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地
的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（
）.A．样本在区间 内的频数为18
B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受
到减免税政策
C．样本的中位数小于350万元
D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）
【答案】AB
【分析】选项A、B，根据频率分布直方图的性质，面积代表频率，可得答案；
选项C，根据频率分布直方图的中位数估计值的计算公式，可得答案；
选项D，根据频率分布直方图的平均数估计值的计算公式，可得答案.
【详解】由图可得
样本在区间 内的频数为 ，故A正确；
年收入在300万元以内的企业频率为 ，故B正确；
则中位数在 之间，
设为 则 ，故C不正确；
年收入平均数超过 ，D不正确.
故选：AB.
26．已知一组样本数据 ，现有一组新的 ，则
与原样本数据相比，新的样本数据（ ）A．平均数不变 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小
【答案】ACD
【分析】利用平均数、极差的定义计算判断AC；利用中位数的定义举例判断B；利用方差的意义分析判
断D作答.
【详解】对于A，新数据的总和为： ，
与原数据总和相等，且数据个数都是 ，因此平均数不变，A正确；
对于B，不妨设原数据为： ，中位数为 ，则新数据为： ，中位数为2，B错误；
对于C，原数据极差为： ，新数据极差为： ，
而 ，即极差变小了，C正确；
对于D，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变
小，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
27．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质
量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 .我国成人的
BMI数值标准为： 为偏瘦， 为正常， 为偏胖， 为肥胖.
为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层抽样得到15名员工的
BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，
19.1.则该组数据的第70百分位数为 .
【答案】23.7
【分析】把15个数据由小到大排列，求出第70百分位数作答.
【详解】15名员工的BMI数据由小到大排列为：18.2，19.1，20.6，20.8，21.5，21.5，21.6，21.8，
22.1，23.5，23.7，23.9，25.2，25.5，30.6，
由 ，所以该组数据的第70百分位数是第11个数23.7.
故答案为：23.728．某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数的平均数
为 ，中位数为 ，众数为 ，则 ， ， 的大小为 （用“>”符号连接）
【答案】
【分析】将数据从小到达的顺序排列，从而求出平均数、中位数、众数，即可比较出它们的大小．
【详解】将数据从小到达的顺序排列，则为 ，
所以平均数为 ，
中位数为 ，众数为 ，
所以 ，
故答案为： .
29．样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样
本方差为 .
【答案】2
【分析】设第五个数为 ，由数据的平均数公式求得 ，再根据方差的公式计算
【详解】解：设第五个值为 ，则 ，即 ，
则样本方差为 ，
故答案为：2.
30．已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组： 、 、 、 、 、 ；
乙组： 、 、 、 、 、 .
若这两组数据的第 百分位数，第 百分位数分别对应相等，则 .
【答案】
【分析】利用百分位数的定义结合已知条件求出 、 的值，即可求得 的值.
【详解】因为 ， ，
所以，甲组第 百分位数为 ，乙组的第 百分位数为 ，则 ，
甲组第 百分位数为 ，乙组的第 百分位数为 ，则 ，可得 ，
因此， .故答案为： .
31．已知第一组样本数据为3，a，b，7，6，第二组样本数据为7，3a－2，3b－2，19，16，经计算得到第
一组样本数据的方差为4，则第二组样本数据的方差为
【答案】36
【分析】利用样本方差的性质即可求解.
【详解】观察数据可知，若设第一组样本数据为 ，第二组样本数据为 ，则 ，故第二组样本
数据的方差为 ．
故答案为： .
32．某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下：
项
样本量 样本平均数 样本方差
目
高
100 167 120
一
高
100 170 150
二
高
100 173 150
三
则总的样本方差 .
【答案】146
【分析】由分层抽样后的样本方差公式计算可得结果.
【详解】由题意知，总的样本平均数为 ，
∴总的样本方差为：
故答案为：146.
33．若样本数据 的标准差为3，则数据 的标准差为 ．【答案】6
【分析】根据数据加减一个数以及都乘一个数，对方差的影响规律，即可求得答案.
【详解】因为样本数据 的标准差为3，故样本数据 的方差为9，
则数据 的方差为 ，
故数据 的标准差为6，
故答案为：6
34．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图
（如图），其中样本数据分组 ， ， ， ， ，若要从身高在
， ， 三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加一项活动，则从身高
在 内的学生中抽取的人数应为 ．
【答案】
【分析】先求得 ，然后根据分层抽样的知识求得正确答案.
【详解】依题意 ，解得 ，
所以 ， ， 三组的频率分别为 ，
所以从身高在 内的学生中抽取的人数应为 人.
故答案为：
35．若已知30个数 的平均数为6，方差为9；现从原30个数中剔除 这10个数，且剔除的这10个数的平均数为8，方差为5，则剩余的20个数 的方差为 .
【答案】
【分析】根据方差定义结合已知条件分析求解
【详解】由题意得 ， ，
， ，
所以剩余的20个数的平均数为 ，
，
所以剩余的20个数的方差为 ，
故答案为：8
36．《中国居民膳食指南（ ）》数据显示， 岁至 岁儿童青少年超重肥胖率高达 ．为了解某
地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取 名学生，测量他们的体重（单位：千克），根
据测量数据，按 ， ， ， ， ， 分成六组，得到的频率分布直方
图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是 ．
【答案】
【分析】根据频率分布直方图估计中位数的方法直接计算即可.
【详解】 ， ，
该地中学生体重的中位数位于 内，设中位数为 ，则 ，解得： .
故答案为： .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩
统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出
频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.004
B．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10
C．估计全校学生的平均成绩不低于80分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
【答案】C
【分析】由概率总和为1可得 ，由百分位数定义计算80%分位数，由频率分布直方图的频率计算人数，
均值判断各选项．
【详解】由 得 ，A错；
成绩在区间[60，70）的频率为 ，人数为 ，B错；
平均成绩为 ，C正确；
低于90分的频率为 ，设样本数据的80%分位数约为 分，
则 ，解得 ，D错．故选：C．
2．2022年6月6日是第27个“全国爱眼日”，为普及科学用眼知识，提高群众健康水平，预防眼疾，某
区残联在残疾人综合服务中心开展“全国爱眼日”有奖答题竞赛活动.已知5位评委老师按百分制（只打整
数分）分别给出某参赛小队评分，可以判断出一定有评委打满分的是（ ）
A．平均数为98，中位数为98 B．中位数为96，众数为99
C．中位数为97，极差为9 D．平均数为98，极差为6
【答案】D
【分析】根据平均数、中位数、众数、极差的计算公式分析选项或举出反例即可
【详解】解：选项A：当打分结果为 时，满足平均数为98，中位数为98，所以A错误；
选项B：当打分结果为 时，满足中位数为96，众数为99，所以B错误；
选项C：当打分结果为 时，满足中位数为97，极差为9，所以C错误；
选项D：假设没有评委打满分，结合极差为6可得总成绩 ，
则平均数 ，与选项不符，故假设不成立，所以平均数为98，极差为6时，一定有评委打
满分，
故选：D.
3．某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，
并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于（ ）
A．73 B．75 C．77 D．79
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图中所有小长方形的面积之和等于1，求出 ，结合第百分位数的定义即可求
解.【详解】由题意可知， ，解得 ，
化学考试成绩在 内的频率为 ，
所以第39百分位数的一定位于 内，设第39百分位数为 ，则
，解得 .
所以估计化学老师选取的学生分数应不低于 分.
故选：C.
4．最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人
员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面
7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统计图，
则下列结论不正确的是（ ）
A．甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数
B．甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差
C．甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数
D．甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差
【答案】C
【分析】根据题意分别求甲乙监测点的平均人数,极差,中位数及方差判断即可.
【详解】对于 :甲检测点的平均检测人数为
乙检测点的平均检测人数为
故甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数，故 正确;
对于 :甲检测点的数据极差
乙检测点的数据极差 ，故 正确;对于 :甲检测点数据为 ,中位数为 ,
乙检测点数据为 ,中位数为 ，故 错误;
对于 :通过观察平均数附近数据个数,极差等或计算甲乙数据的方差,
都可以判断乙检测点数据比甲检测点数据稳定性强,
故甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差,故 正确.
故选: .
5．在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为 ，8.1，8.4，8.5，9.0，9.5，
，若去掉一个最高分 和一个最低分 后的平均分与不去掉的平均分相同，那么最低分 的值不可能是
（ ）
A．7.7 B．7.8 C．7.9 D．8.0
【答案】D
【分析】根据所给条件可得出 ，再由 的范围验证选项即可得解.
【详解】因为去掉最高分与最低分后平均分为 ，
所以 ，
解得 ，
由于得分按照从低到高的顺序排列的，故 ， ，
当 时， ，满足上述条件，故A错误；当 时， ，满足上述条件，故B错误；
当 时， ，满足上述条件，故C错误；当 时， ，不满足上述条件，故D正确.
故选：D
6．某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天 的浓度（单位： ），数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41， ．已知这组数据的极差为40，则这组
数据的第m百分位数为（ ）
A．71 B．75.5 C．79 D．72
【答案】C
【分析】根据极差求得m的值，计算 ，根据百分位数的含义即可确定答案.
【详解】由题意得，数据的极差为40，因为数据中最小值为41，
故m应为最大值，为81，
则 ，
将数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，81，
从小大大排列为：41，45， 53，56，65，69，70，72，79， 80， 81，
故这组数据的第m百分位数为79，
故选：C
7．已知两组数据 和 的中位数､方差均相同，则两组数据合并为一组数据后，
（ ）
A．中位数一定不变，方差可能变大
B．中位数一定不变，方差可能变小
C．中位数可能改变，方差可能变大
D．中位数可能改变，方差可能变小
【答案】A
【分析】根据中位数、方差的概念分析运算.
【详解】对于中位数：不妨设 ，
则两组数据 和 的中位数分别为 ，则 ，
两组数据合并为一组数据后，则中位数为 ，故中位数一定不变；
对于方差：设 的平均数为 ，方差为 ， 的平均数为 ，方差为
，则 ，
可得 ，
则两组数据合并为一组数据的平均数 ，
方差
，
当且仅当 时等号成立，
故方差可能变大，一定不会变小；
故选：A.
8．某次考试后，甲、乙两班的数学老师分别统计了各自班级学生的数学成绩（百分制，均位于
内），并将所得数据按照 ， ， ， ， ， 分组得到如图所示的频
率分布直方图.在两个班级参考人数相等的前提下，下列说法正确的是（ ）
A．乙班学生数学成绩的平均数的估计值高于甲班学生数学成绩的平均数的估计值（同一组中的数据
用该组区间的中点值代替）
B．乙班学生数学成绩的最高分高于甲班学生数学成绩的最高分
C．甲班学生数学成绩不及格（60分以下）的人数多于乙班D．甲班学生数学成绩的中位数的估计值小于乙班学生数学成绩的中位数的估计值
【答案】C
【分析】由频率分布直方图数据对选项逐一判断，
【详解】对于A，甲班学生数学成绩的平均数估计值
，
乙班学生数学成绩的平均数估计值 ，
则两班平均数的估计值相等，故A错误，
对于B，由频率分布直方图无法得最高分，故B错误，
对于C，甲班数学成绩不及格人数的频率为 ，乙班数学成绩不及格人数的频率为
，两个班级参考人数相等，故C正确，
对于D，甲班成绩在 的频率为 ，在 的频率为 ，则中位数的估计值
在 间， ，
同理得乙班成绩的中位数的估计值 ，
，故D错误，
故选：C
9．若数据9，m，6，n，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9， ，17， 的平均数和方差分
别为（ ）
A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8
【答案】C
【分析】根据数据9，m，6，n，5的平均数和方差，求出 ，得到数据11，9， ，17， ，进
而利用平均数和方差的公式求解即可.
【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为 ，
方差为 ，化简得 ，解得 或 ，
或 ，
则数据11，9， ，17， 为 或 ，
两组数据有相同的平均数和方差，
平均数为 ，
方差为 ，
故选：C
二、多选题
10．今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96
亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连
续7天的日票房情况，则（ ）
A．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球 日票房平均数
B．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
【答案】ABD
【分析】根据图表信息逐一判断即可.
【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球 日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A正确;
由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方
差，所以B正确.
《满江红》日票房极差大于《流浪地球 日票房极差，故C错误；
因为 ，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第 个数，
因为 ，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第 个数，
《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确.
故选：ABD.
11．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩
情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为
n．按照 的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间
内的人数为16．则下列结论正确的是（ ）
A．样本容量
B．图中
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此
称号
【答案】ABC
【分析】由频率分布直方图区间 的概率确定样本总容量，由频率和为1求 ，根据频率分布直方图
估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．【详解】解：对于A：因为成绩落在区间 内的人数为16，所以样本容量 ，故A
正确；
对于B：因为 ，解得 ，故B正确；
对于C：学生成绩平均分为：
，故C正确；
对于D：因为 ，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含
78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确．
故选：ABC．
12．2023年3月25日至26日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南州台江县台盘村举行.这
件赛事就是最近火爆全网的“村 ”.1800多人的村，观赛人数高达3万，而且台盘村做到了停车不要钱，
门票不要钱，吃饭不涨价，所有保障服务到位.其中的亮点之一就是中场休息的啦啦操不是漏腿的舞蹈，而
是穿着民族服装的“蹦苗迪”.3月26日，在黔东南州队和遵义市队进行冠亚军总决赛中，黔东南州队以
，险胜遵义市队，夺得总决赛冠军.赛后经观众回忆，得到黔东南州队的5名球员的得分如下：
球员 1 2 3 4 5
1
得分 8 14 14 20
2
下面对黔东南州队5名球员所得分数的数据分析正确的是（ ）
A．这5个数据中位数是14
B．这5个数据的方差是15
C．这5个数据的第80分位数是17
D．假设这5名球员每名再得2分，则其方差比原来的方差大
【答案】AC
【分析】利用中位数，方差，百分位数公式判断各选项正误即可.
【详解】A选项，由中位数定义可知，5个数据中位数是14，故A正确；
B选项，由表可得，数据的平均数为 ，
则数据的方差为： ，故B错误；C选项，由第80分位数定义与 可知，这5个数据的第80分位数是 ，故C正确；
D选项，由方差定义可知，方差不变，故D错误.
故选：AC
13．用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩 满分为 分，成绩都是整数 中抽取一个样本
量为 的样本，其中男生成绩数据 个，女生成绩数据 个，再将 个男生成绩样本数据分为 组：
， ， ，绘制得到如图所示的频率分布直方图 同一组的数据
用该组的中间值代表 则下列说法中正确的是（ ）
A．男生成绩样本数据的平均数为
B．估计有 的男生数学成绩在 分以内
C．在 和 内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概
率为
D．若男生成绩样本数据的方差为 ，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为 和 ，则总
样本的方差为
【答案】AC
【分析】利用频率分布直方图及相关数字特征的计算公式可判断AB，根据古典概型概率公式可判断C，
利用按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系进行求解判断D.
【详解】对于选项A，根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数
，故A正确；
对于选项B，根据频率分布直方图有，男生数学成绩在 分以内的人数的频率为，所以估计有 的男生数学成绩在 分以内，故B错误；
对于选项C，根据频率分布直方图有，在 和 内的男生人数分别为6人、2人，随机抽取两
个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为 ，故C正确；
对于选项D，设女生成绩样本数据的平均数为 ，则总样本的平均数
，
所以总样本的方差为 ，故D错误.
故选：AC.
14．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负
担和校外培训负担的意见》．同年8月，国务院教育督导委员会办公室印发专门通知，拟对各省“双减”
工作落实进度每半月通报一次．某市教育局为了解“双减”在初中各校的落实情况，随机抽取2000名学生，
调查他们课后作业在“双减”前、后的时长，并根据调查结果，绘制如下两个频率分布直方图，图1，图2
分别是“双减”前和“双减”后的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ）
A．“双减”后完成课后作业时长更均衡
B．“双减”前估计50%以上的学生作业时长超过 小时
C．“双减”后50%以上的学生完成课后作业时长不超过 小时
D．“双减”后完成课后作业平均时长比“双减”前完成课后作业平均比时长少约为1小时
【答案】ACD
【分析】根据频率分布直方图的特点即可判断A；根据频率分布直方图求出对应的频率即可判断B，C；
根据频率分布直方图求“双减”后完成作业的平均时长，再结合平均数的性质即可判断D．【详解】对于A，图1与图2相比较，图1更“矮胖”，图2更瘦高，故图2的方差更小，数据也更均衡，
故A正确；
对于B，“双减”前学习时长在 的频率为 ，故B错误；
对于C，“双减”后学习时长在 的频率为 ，故C正确；
对于D，设“双减”前学习时长的平均数为 ，“双减”后学习时长的平均数为 ，
则
，故D正确．
故选：ACD．
15．已知样本 ： ， ，…， 的均值为4，标准差为m，样本 ： ， ，…， 的
均值为3，方差为4，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．样本 和样本 的极差相同 D．样本 和样本 的中位数相同
【答案】AC
【分析】若给定一组数据 ， ，…， ， ，其平均数为 ，方差为 ，则 ， ，…， 的
平均数为 ，方差为 ， ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，求出 ， ，
， ，再比较极差及中位数即可判断各选项.
【详解】选项A，B，设样本 ， ，…， 的均值为 ，方差为 ，极差为M，中位数为q，则 ，
则 ， ， ，所以 ， ， ， ，故A正确，B错误；
选项C，样本 ： ， ，…， ；样本 ： ， ，…， ，可得样本 和样本 的
极差相等，故C正确；
选项D，设样本 的中位数为 ，样本 的中位数为 ，故D错误；
故选：AC.
16．近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识，某校为了了解学生的身体素
质状况，举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有效的训练，促进他们体能的提升，
现从全部测试成绩中随机抽取200名学生的测试成绩，进行适当分组后，画出如下频率分布直方图，则（
）
A．
B．在被抽取的学生中，成绩在区间 内的学生有70人
C．估计全校学生体能测试成绩的平均数为77.5
D．估计全校学生体能测试成绩的69%分位数为84
【答案】ACD
【分析】根据频率分布直方图中频率和等于1可求出 ，判断A；求出成绩落在 内的频率，再乘以
总人数可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据百分位数的定义求解可判断D.
【详解】根据频率和等于1得 ，
解得 ，故A正确；
成绩在区间 内的学生人数约为 ，故B错误；学生体能测试成绩的平均数约为 ，故C
正确；
，
，
所以这组数据第69%分位数的估计值落在区间 内，
，故学生体能测试成绩的69%分位数为84，故D正确；
故选：ACD
17．某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算
得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为
7，方差为16.若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（ ）
A．平均数为6 B．平均数为 C．方差为 D．方差为
【答案】AD
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差公式即可求解．
【详解】新样本平均数为 ，故A正确，B错误；
又因为甲的方差为 ， ， ，
且 ，
则乙的方差为 ， ， ，
且 ，
，
，，
，
新样本的方差为：
故D正确C错误.
故选：AD.
三、填空题
18．已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组： ；乙组：
.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则 等于 .
【答案】8
【分析】根据百分位数和中位数的定义即可列出式子计算求解.
【详解】因为 ，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，
乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，
根据题意可得 ，解得 ．
故答案为：8.
19．某市某次高中数学统测学生测试成绩频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成A，B，C，
D四个等级，其中 等占 等占 等占 等占 的比例，规定达到 等级及以上才能通过
考试，则要通过本次考试的学生分数至少为 .【答案】24
【分析】根据频率分布直方图可得答案.
【详解】由图可知，分数在20分以下的比例为 ，在40分以下的比例为
，因此 分位数位于 内，由 ，所以通过本次考
试分数至少为24.
故答案为：24.
20．我国关于人工智能领域的研究十分密集，发文量激增，在视觉、语音、自然语言处理等基础智能任务
实现全球领先，并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业，如图是过去十年人工智能领域高水
平论文发表量前十国家及发表的论文数．现有如下说法：
①这十个国家的论文发表数量平均值为0.87；
②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4；
③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4；
④德国发表论文数量约占美国的32%．
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②
【分析】根据已知数据，依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由题知，论文数的平均数为 ，故
①正确；
这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4，故②正确；
这十个国家的论文发表数量的众数为0.3，故③错误；
德国发表论文数量约占美国的 ，故④错误.
故说法正确的是：①②
故答案为：①②
21．《数术记遗》相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著.该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两
仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种
计算方法.某研究学习小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相关资料所花费的时间（单位： ）分
别为：93，93，88，81，94，91则这组时间数据的标准差为 .
【答案】
【解析】由搜集算法所费的时间的数据，求得数据的平均数，再结合方差的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，搜集算法所费的时间的数据，
可得数据的平均数为 ，
所以方差为 ，
所以标准差 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算，其中解答中熟记数据的平均数和方差的计算公式，
准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
22．商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满
意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组： ，统计结果如图所
示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为 ．【答案】75
【分析】利用频率分布直方图每个小矩形面积代表频率表示第60百分位数求解即可.
【详解】由图可知，第1个小矩形面积为0.1，第2个小矩形面积为0.15，第,3个小矩形面积为0.2，第4
个小矩形面积为0.3，
则第60百分位数位于 内，设60百分位数为 ，则有 ，
则 ，所以商场顾客满意度得分的第60百分位数为75.
故答案为：75
23．以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；
乙组：17，22，32，43，45，49，b，56．
若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则 ．
【答案】100
【分析】根据百分位数和平均数的定义即可列出式子计算求解.
【详解】因为 ，甲组数据的第40百分位数为第四个数和第五个数的平均数，
乙组数据的平均数为 ，
根据题意得 ，解得： ，
所以 ，
故答案为： .
24．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批
香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足 ，现从中随机抽取了6个香囊，
得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差
为 克．【答案】
【分析】利用标准差和均值的公式完成计算.
【详解】设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为 克，香囊功效分别为 ， .
草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即 ，
，
则 ，则这6个香囊中草药甲含量的方差
，
所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为 克．
故答案为： .
25．为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次
射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：环），方差为 （单位：环
2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为 环2.
【答案】
【分析】记6名老学员射击环数分别为 ，根据题意先求出 ， ，再根据公式
算出平均数，然后将方差公式变形即可求出答案.
【详解】记6名老学员射击环数分别为 ，8名学员的射击成绩的平均数和方差分别为 .
由题可知 ，
则所以
故答案为：
26．已知实数 的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用平均数及中位数的概念计算即可.
【详解】由题意可知 ，
若该四个数按大小排列， 位于中间，则 位于两侧，此时中位数是 ；
若该四个数按大小排列， 位于中间，则 位于两侧，此时 ，不符合题意；
若该四个数按大小排列， 位于中间，则 位于两侧，同上 ，不符合题意；
若该四个数按大小排列， 位于中间，则 位于两侧，则有 ；
若该四个数按大小排列， 位于中间，则 位于两侧，同上 ；
若该四个数按大小排列， 位于中间，则 位于两侧，可知 ；
此时中位数是 ；
综上所述这四个数的中位数的取值范围是 .
故答案为： .
27．军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6
环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8
次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）
【答案】8（答案不唯一）
【分析】设第8次射击的结果是x环，由平均数可得 ，再分类讨论并结合第75%分位数求出x范围作
答.【详解】设第8次射击的结果是x环，依题意， ，解得 ，
当 时，8次射击的结果由小到大排列为 ，
由 ，得8次射击环数的75%分位数为 ，显然符合题意，即 ，
当 时，8次射击的结果由小到大排列为 ，8次射击环数的75%分位数为 ，
由 ，解得 ，无解，
所以 ，此人第8次射击的结果可能是8环.
故答案为：8
