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导数与函数的极值、最值
7-3
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
7-3 导数与函数的极值、最值.............................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：极值的定义：............................................................................................................................2
考点2：极值的性质：............................................................................................................................2
考点3：判别f（x ）是极大、极小值的方法：...........................................................................2
0
考点4：求函数f（x）的极值的步骤：...........................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 利用导数求函数的极值问题.................................................................................................4
命题点1 根据函数图象判断极值.............................................................................................4
命题点2 求已知函数的极值......................................................................................................4
命题点3 已知极值(点)求参数.................................................................................................5
题型二 利用导数求函数最值...............................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有f（x）＜f
0 0
（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值 ＝f（x
0
），x
0
是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数 f（x）在x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有 f（x）＞f
0 0
（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值 ＝f（x
0
），x
0
是极小值点．
考点2：极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值
的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
考点3：判别f（x ）是极大、极小值的方法：
0
若x 满足f′（x ）＝0，且在x 的两侧f（x）的导数异号，则x 是f（x）的极值点，f（x ）是极值，
0 0 0 0 0
并且如果f′（x）在x 两侧满足“左正右负”，则 x 是f（x）的极大值点，f（x ）是极大值；如果f′
0 0 0
（x）在x 两侧满足“左负右正”，则x 是f（x）的极小值点，f（x ）是极小值．
0 0 0
考点4：求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方
程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在
这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【常用结论总结】
（1）按定义，极值点x 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
0
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也
就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没
有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必
有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续
且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值
点，也可能不是极值点．二、分类题型
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
【例题精析1】 如图为定义在R上的函数 的图象，则关于它的导函数
的说法错误的是（ ）
A． 存在对称轴 B． 的单调递减区间为
C． 在 上单调递增 D． 存在极大值
【例题精析2】 （2023·上海松江·校考模拟预测）设a、b、c、d ，若函数 的部分图像如
图所示，则下列结论正确的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【例题精析3】 （2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）已知函数 的大
致图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【对点精练1】 （多选）函数 的定义域为R，它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论
正确的是（ ）A．在 上函数 为增函数 B．在 上函数 为增函数
C．在 上函数 有极大值 D． 是函数 在区间 上的极小值点
【对点精练2】 （多选）（2023·全国·高三专题练习）如果函数 的导函数 的图象如图所示，
则以下关于函数 的判断正确的是（ ）
A．在区间 内单调递减 B．在区间 内单调递增
C． 是极小值点 D． 是极大值点
【对点精练3】 （2021秋·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期末）已知定义在 上的函数 ，其导函数
的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
① ；②函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值；
③函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值；④函数 的最小值为 .
A．③ B．①② C．③④ D．④
【对点精练4】 已知函数 ，则函数 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
命题点2 求已知函数的极值
【例题精析4】 （2023·广西·统考模拟预测）函数 在 处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【例题精析5】 （2023·四川成都·统考二模）函数 的极大值为______．
【例题精析6】 （2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数 成等比数列，且函数
，当 时取到极大值 ，则 等于______.【对点精练5】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 的极值点为1，且 ，则
的极小值为（ ）
A． B． C．b D．4
【对点精练6】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，
， ，则 （ ）
A．无极值 B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值
【对点精练7】 （2022·山东济南·统考模拟预测）若 是函数 的极值点．则
的极小值为（ ）
A．-3 B． C． D．0
【对点精练8】 函数 在 ___处取得极小值，且极小值为___.
命题点3 已知极值(点)求参数
【例题精析7】 （2023·吉林延边·统考二模）若函数 在 处有极小值，则 的值为______．
【例题精析8】 （2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数 ，若
函数 在 上有极值，则实数a的取值范围为___．
【例题精析9】 （2022·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数 在 处取得极值，则在 上的极小值为______．
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
【对点精练9】 （2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数 ，若 时，
取得极值0，则 ___________.
【对点精练10】 （2022秋·辽宁葫芦岛·高三兴城市高级中学校考期末）已知函数 的最小值
为 ，函数 的零点与极小值点相同，则 ___________.
【对点精练11】 （2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内有极小值，则 的取值
范围为________．
【对点精练12】 （2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）函数 既有极大值，又
有极小值，则 的取值范围是_________．
题型二 利用导数求函数最值
【例题精析10】 （北京·高考真题）已知函数
(1)求 的单调减区间；(2)若 在区间 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【例题精析11】 （2021·北京·统考高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【例题精析12】 （海南·高考真题）设函数
(1)讨论 的单调性；
(2)求 在区间 的最大值和最小值．
(1)求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单
调性，从而得到函数f(x)的最值．
【对点精练13】 （湖南·高考真题）已知函数 ，其中 ，e为自然对数的底数．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)求函数 在区间 上的最大值．
【对点精练14】 （2021·全国·高考真题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
【对点精练15】 （2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)判断函数 的零点个数，并证明.
【对点精练16】 （2024秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数 ，
(1)求 、 的值；
(2)求 在 上的最值．
三、分层训练：课堂知识巩固1．（2023•禅城区模拟）已知函数 有唯一零点，则
A． B． C． D．2
2．（2023•石嘴山一模）若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2023•翠屏区校级模拟）若函数 在 处有极大值，则实数 的值为
A．1 B． 或 C． D．
4．（2023•宜春模拟）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，则 的取值范围
为
A． B． C． D．
5．（2023•梅河口市校级一模）已知函数 有两个大于1的零点，则 的取值范围可以是
A． ， B． C． D． ，
6．（2023•湖北模拟）已知定义域为 的函数 满足 ， （1） ，
，若 ，则 的极值情况是
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值
7．（2023•梅河口市校级模拟）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
8．（2023•广陵区校级模拟）已知正方形 的中心在坐标原点，四个顶点都在函数 的图
象上．若正方形 唯一确定，则实数 的值为
A． B． C． D．
9．（2023•长沙模拟）已知函数 ，若不等式 的解集中恰有两个不同的正整数
解，则实数 的取值范围
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（2023•遵义模拟）已知函数 在 处取得极值0，则
A． B．0 C．1 D．2
11．（2023•河南三模）已知函数 在 处取得极大值4，则
A．8 B． C．2 D．
12．（2023•阜新模拟）已知函数 ，则 的极大值为
A． B．1 C．27 D．
13．（2023•广西模拟）函数 在区间 上存在极值点，则整数 的值为
A． ，0 B． ， C． ， D． ，0
14．（2023•雁塔区校级模拟）已知函数 有两个零点 ， ，且存在唯一的整数 ，
，则实数 的取值范围为A． B． C． D．
15．（2023•平罗县校级模拟）若函数 在 上存在两个零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
16．（2023•阿勒泰地区三模）函数 的极值点是
A．0 B．1 C． D．
17．（2023•湖北二模）设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ，
C． ， ， D． ， ，
18．（2023•全国）已知函数 在 处取得极小值1，则
A． B．0 C．1 D．2
19．（2023•重庆模拟）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
20．（2023•商洛三模）若函数 无极值，则 的取值范围为
A． ， B．
C． ， ， D． ， ，
21．（2023•青羊区校级模拟）函数 ，定义域为 ， 有唯一极值点，则实数
的取值范围为
A． B． C． D．22．（2023•成都模拟）已知函数 有三个零点 ， ， ，其中 ，则 的取
值范围是
A． B． C． D．
23．（2023•广西模拟）函数 在 处取得极小值，则极小值为
A．1 B．2 C． D．
24．（2023•南宁模拟）已知 在 处取得极大值，则 的值为
A．2 B． C． D．
25．（2023•江西二模）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ， ，
（1） （1），则
A．无极值 B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值
26．（2023•大庆三模）函数 ，则方程 解的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
27．（2023•上饶二模）已知函数 有3个不同的零点分别为 ， ， ，且 ， ，
成等比数列，则实数 的值为
A．11 B．12 C．13 D．14
28．（2023•南宁二模）已知函数 的极值点为1，且 （2） ，则 的极小值为
A． B． C． D．4
29．（2023•汉滨区校级模拟）函数 在 内有极值，则实数 的取值范围是A． B． C． D． ，
30．（2023•贵州模拟）已知函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围为
A． ， B． C． ， D．
31．（2023•贵州模拟）已知函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围为
A． B． ， C． D． ，
32．（2023•成都模拟）已知函数 有两个极值点，则 的取值范围为
A． ， B．
C． D．
