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8-3 成对数据的统计分析
1.了解样本相关系数的统计含义.
2.理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.
3.会利用统计软件进行数据分析．
8-3 成对数据的统计分析.....................................................................................................................1
一、主干知识.................................................................................................................................1
考点1：变量的相关关系.......................................................................................................1
考点2：样本相关系数...........................................................................................................2
考点3：一元线性回归模型...................................................................................................2
考点4：列联表与独立性检验...............................................................................................2
二、分类题型.................................................................................................................................3
题型一 成对数据的相关性....................................................................................................4
题型二 回归模型....................................................................................................................4
命题点1 一元线性回归模型........................................................................................4
命题点2 非线性回归模型............................................................................................5
题型三 列联表与独立性检验................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................6一、主干知识
考点1：变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称
为相关关系．
(2)相关关系的分类：正相关和负相关．
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这
两个变量线性相关．
考点2：样本相关系数
(1)
(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关
程度越弱．
考点3：一元线性回归模型
(1)我们将y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，
其中， ， ，（ ， ）称为样本点的中心．
(2)残差：观测值减去预测值，称为残差．考点4：列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
Y
X 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
(2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α二、分类题型
题型一 成对数据的相关性
【例题精析1】 对两个变量的四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于两个变量相关系数的比
较，正确的是（ ）
A．r＜r＜0＜r＜r B．r＜r＜0＜r＜r
2 4 3 1 4 2 1 3
C．r＜r＜0＜r＜r D．r＜r＜0＜r＜r
4 2 3 1 2 4 1 3
【答案】A
【分析】根据散点图的分布与相关系数的关系判断即可.
【解答】由相关系数及散点图反映了线性相关关系的知识，可知r＜r＜0＜r＜r 故选：A
2 4 3 1．
【例题精析2】 (多选)下列选项中正确的是( )
A．经验回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和越小
B．若一组观测数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)满足y＝bx＋a＋e(i＝1,2，…，n)，若e恒为0，则R2＝
1 1 2 2 n n i i i i
1
C．经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法D．画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号
【答案】ABC
【解答】对于A，经验回归分析中，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，则残差平方和越小，A对；
对于B，若一组观测数据(x ，y)，(x ，y)，…，(x ，y)满足y＝bx＋a＋e(i＝1,2，…，n)，若e 恒为0，
1 1 2 2 n n i i i i
则R2＝1，B对；
对于C，经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，C对；
对于D，残差图中横坐标可以是样本编号，也可以是身高数据，还可以是体重的估计值等，D错．
【例题精析3】 （多选）下列命题正确的是（ ）
A．若变量x与y的线性回归方程为 ，则x与y负相关
B．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好
C．样本相关系数 的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强
D．回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点
【答案】BC
【分析】利用成对数据的相关关系、相关系数、残差图的性质及直线回归方程的性质逐项判断即可.
【解答】对于选项A，变量x与y的线性回归方程为 ，则x与y正相关，错误；对于选项B，残
差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好，正确；对于选项C，样本相关系数 的
绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强，正确；对于选项D，回归直线 恒过样本点的中心
，可以不过任何一个样本点，错误.故选：BC
判定两个变量相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，
两个变量负相关．
(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近于1，相关性越强．
(3)经验回归方程：当b>0时，正相关；当b<0时，负相关．【对点精练1】 某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相
关系数的比较，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中
在一条直线附近，说明相关性越强；逐项分析判断.
【解答】由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，故 ；又因
为（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故 ，所以 .故选：C.
【对点精练2】 （多选）为研究需要，统计了两个变量 ， 的数据情况如下表：其中数据 ， ， ， ， 和数据 ， ， ， ， 的平均数分别为 和 ，并且计算相关系数
，经验回归方程为 ，则下列结论正确的为（ ）
A．点 必在回归直线上，即 B．变量 ， 负线性相关
C．当 ，则必有 D．
【答案】ABD
【分析】根据回归方程的性质和相关系数的性质逐个分析判断作答.
【解答】对于A，因为样本中心点 必在回归直线上，所以 ，A正确；对于B，因为相关系
数 ，所以变量x，y负相关，B正确；对于C，因为点 不一定在回归直线上，所以当 ，
不一定有 ，C错误；对于D，因为相关系数 ，所以 ，D正确.故选：ABD
【对点精练3】 已知两个变量X，Y的数据如下表：
其中数据 和数据 的平均数分别为 ，并且计算得相关系数 ，经验回
归方程为 ，则（ ）
A．变量X，Y负相关 B．
C． 一定成立 D． 一定成立
【答案】BC
【分析】对于A，由相关系数的正负可判断正负相关，对于B，由相关系数与 的关系进行判断，对于CD
由回归方程的性质判断.【解答】因为 ，所以变量X，Y正相关，经验回归方程 中斜率 ，故A错误，B正
确；因为经验回归方程 一定经过点 ，所以 一定成立，故C正确；因为经验回归方
程 求出的函数值是估计值，所以 不一定等于 ，故D错误．故选：BC．
【对点精练4】 已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
【答案】C
【解答】因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝by＋a，b＞0，则
z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x与z负相关．
题型二 回归模型
命题点1 一元线性回归模型
【例题精析4】 对于数据组 ，如果由线性回归方程得到的对应于自变量 的估计值
是 ，那么将 称为相应于点 的残差．某工厂为研究某种产品产量 （吨）与所需某种原
材料 吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据 如下表所示：
3 4 5 6
2.5 3 4
根据表中数据，得出 关于 的线性回归方程为 ，据此计算出样本点（4，3）处的残差为－
0.15，则表中 的值为（ ）
A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【分析】由 称为相应于点 的残差，得 ， ，线性方程过样本中心点（ ， ），求出 .
【解答】由题意可知，在样本（4，3）处的残差－0.15，则 ，即 ，
解得 ，即 ，又 ，且线性方程过样本中心点（ ， ），
则 ，则 ，解得 .故答案为：B
【点睛】理解残差的定义，实际值减去估计值；线性方程过样本中心（ ， ）；要求对基本知识点比较
熟练，计算才准确.
【例题精析5】 某科技公司研发了一项新产品 ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售
单价进行统计，销售单价 （千元）和销售量 （千件）之间的一组数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价
销售量
（1）试根据1至5月份的数据，建立 关于 的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 千件，则认为所得到的回归
直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程 ，其中 .
参考数据： ， .
【答案】（1） ；（2）是.
【分析】（1）先由表中的数据求出 ，再利用已知的数据和公式求出 ，从而可求出 关于 的回归
直线方程；
（2）当 时，求出 的值，再与15比较即可得结论
【解答】（1）因为 ， ，所以 ，
得 ，
于是 关于 的回归直线方程为 ；
（2）当 时， ，
则 ，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
【例题精析6】 网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮
购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账､微信或支付宝支付等方式在线汇款，
根据 年中国消费者信息研究，超过 的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送
货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方 ､品牌官方网站和微信社群等平台进
行购物，某天猫专营店统计了 年 月 日至 日这 天到该专营店购物的人数 和时间第 天间的
数据，列表如下：
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数 与时间 之间的关系？若可用，估计 月 日到
该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟
合，计算 时精确到 ).
参考数据： .附：相关系数 ，回归直线方程的斜率
，截距 .
（2）运用分层抽样的方法从第 天和第 天到该专营店购物的人中随机抽取 人，再从这 人中任取 人进行奖励，求这 人取自不同天的概率.
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满 元可减 元；方案二，一次
性购物金额超过 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 折，中奖
两次打 折，中奖三次打 折.某顾客计划在此专营店购买 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的
角度分析选哪种方案更优惠.
【答案】（1）可用线性回归模型拟合人数 与天数 之间的关系， 月 日到该专营店购物的人数约为
；（2） ；（3）选择方案二更划算.
【分析】（1）利用题中所给数据和公式，求出相关系数 的值，由此判断变量 与 具有很强的线性相关
性，再求出 和 ，得线性回归方程，令 代入即可求解；
（2）先利用分层抽样得到第1天和第5天取的人数分别为3人和4人，然后由古典概型概率计算公式即可
求解；
（3）分别求出方案一和方案二所需付款数，比较即可求解.
【解答】解：（1）由表中数据可得 ， ， ，
， ，
所以 ，
所以可用线性回归模型拟合人数 与天数 之间的关系.
而 ，
则 ，
所以 ，
令 ，可得 .答： 月 日到该专营店购物的人数约为 .
（2）因为 ，所以从第 天和第 天取的人数分别为 和 ，从而 人取自不同天的种数为
，
所以概率 .
答：这 人取自不同天的概率为 .
（3）若选方案一，需付款 元.
若选方案二，设需付款 元，则 的取值可能为 ， ， ， ，
则 ，
，
，
，
所以 ，
因此选择方案二更划算.
【例题精析7】 大学生是国家的未来，代表着国家可持续发展的实力，能够促进国家综合实力的提高.据
统计，2016年至2020年我国高校毕业生人数y(单位：万人)的数据如下表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代号x 16 17 18 19 20
高校毕业生人数y(单位：万人) 765 795 820 834 874
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱.
(已知： ，则认为y与x线性相关性很强； ，则认为y与x线性相关性一般； ，则认为y与x线性相关性较弱)
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测2022年我国高校毕业生的人数(结果取整数).
参考公式和数据： ， ， ，
， ， .
【答案】（1） ， 与 线性相关性很强；（2） ， 万.
【分析】(1)分别求出 , 的值，代入公式即可计算出r的值，然后与0.75,0.3比较即可
判断y与x的线性相关性的强弱；(2)分别求出 ， 的值即可求出线性回归方程，将 代入方程
计算出 即可预测2022年我国高校毕业生的人数.
【解答】（1）由题得 , .
所以 .
所以 ，
因为 ，
所以y与x线性相关性很强.
（2） .，
所以y关于x的线性回归方程是 .
当 时， ,
即预测2022年我国高校毕业生的人数约为920万.
【点睛】本题主要考查相关系数的计算及利用相关系数判断相关性的强弱、线性回归方程的计算与应用，
属于基础题.
【例题精析8】 某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温
度的关系.现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图所示的
散点图.
根据收集到的数据，计算得到如下值：
18 12.325 224.04 235.96
（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报
值；
（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图所示，分析该回归方程的拟合效果.附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， .
【答案】（1） ，22.77cm；（2）答案见解析.
【分析】（1）代入公式求 和 ，得到 ，再将 代入计算；
（2）根据残差图的特征分析即可.
【解答】（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为 .
所以
则y关于x的线性回归方程为
当 时， （cm）.
所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm.
（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，该回归方程
的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好
【点睛】本小题主要考查回归方程、统计案例等基础知识；考查抽象概括、数据处理、运算求解等能力和
应用意识.
【例题精析9】 近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农
作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集6家农户的数据，
进行回归分析，得到两个回归模型：模型①： ，模型②： ，
对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：种植面积 (亩) 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成本 (百元) 25 24 21 22 16 14
估计值 25.27 23.62 21.97 17.02 13.72
模型①
残差 -0.27 0.38 -0.97 -1.02 0.28
26.84 20.17 18.83 17.31 16.46
模型②
-1.84 0.83 3.17 -1.31 -2.46
（1）将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；
（2）视残差 的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据
后，重新求回归方程.
附： ， ；
【答案】（1）表格答案见解析，模型①拟合效果比较好.（2）
【分析】（1）令 时，求得 ， ，令 时，求得 ， ，填入表格即可.根据残差平方和公
式，分别求得模型①的残差平方和，模型②的残差平方和，再比较下结论.
（2）根据视残差 的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，应剔除第四组数据，分别求得 ， ，利用公
式进而求得 ， ，写出回归方程.
【解答】（1）当 时， ， ，
当 时， ， ，
完成表格如下：
种植面积 (亩) 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成本 (百元) 25 24 21 22 16 14估计值 25.27 23.62 21.97 20.32 17.02 13.72
模型①
残差 -0.27 0.38 -0.97 1.68 -1.02 0.28
26.84 22.39 20.17 18.83 17.31 16.46
模型②
-1.84 1.61 0.83 3.17 -1.31 -2.46
模型①的残差平方和为 ，
模型②的残差平方和为 ，
所以模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小，
所以模型①拟合效果比较好.
（2）由题意知，应剔除第四组数据，
， ，
，
，
∴所求回归方程为 .
【点睛】本题考查回归分析，线性回归方程模型的建立，还考查了数据处理能力和运算求解能力，属于中
档题.【对点精练5】 （多选）关于变量x，y的n个样本点 及其线性回归方程．
下列说法正确的有（ ）
A．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强
B．相关指数 的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好
C．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
D．若 ，则点 一定在线性回归方程 上
【答案】BD
【分析】根据回归分析的相关知识，逐一分析四个选项的正误即可.相关系数的绝对值越接近0，线性相关
度越弱.相关指数表示拟合效果的好坏，指数越大，拟合程度越好.残差平方和越小，拟合程度越好.线性回
归方程一定过样本中心点.
【解答】根据线性相关系数的意义可知，当 的绝对值越接近于0时，
两个随机变量线性相关性越弱，则A错误；
用相关指数 来刻画回归效果，
越大，说明模型的拟合效果越好，则B正确；
拟合效果的好坏是由残差平方和来体现的，
残差平方和越大，拟合效果越差，则C错误；
样本中心点一定在回归直线上，则D正确.
故选：BD.
【对点精练6】 根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手
段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅
宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地
认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新
接种疫苗的情况，得如下统计表：
第 天 1 2 3 4 5
新接种人数 1 15 1 23 280 9
（1）建立 关于 的线性回归方程；
（2）预测该村 居民接种新冠疫苗需要几天？
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）本题首先可以求出 、 ，然后求出 、 ，即可求出 关于 的线性回归方程；
（2）本题可设 ，数列 的前 项和为 ，然后根据等差数列求和公式得出 ，
最后求出 、 ，即可得出结果.
【解答】（1） ， ，
则 ， ，
故 关于 的线性回归方程 .
（2） ，
设 ，数列 的前 项和为 ，易知数列 是等差数列，
则 ，
因为 ， ，
所以预测该村 居民接种新冠疫苗需要 天.
【点睛】关键点点睛：本题考查线性回归方程的求法以及实际应用，能否根据表中数据求出 、 是 解决
本题的关键，考查等差数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题.【对点精练7】 某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地
区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x（ ，且 ）表示是否下雨：当
时表示该地区下雨，当 时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得
20组数如下：
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位： ）如表：（其中降雨量为0表示没有下
雨）．
时间 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年
年份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
降雨量y 29 28 26 27 25 23 24 22 21
经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份t成线性回归，求回归直
线方程 ，并计算如果该地区2021年（ ）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到
0.01）
参考公式： ， ．
参考数据： ， ， ， ．
【答案】（1） ， ；（2） ；该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm．
【分析】（1）利用概率模拟求概率；
（2）套用公式求回归直线方程即可.
【解答】解：（1）由题意可知， ，解得 ，即 表示下雨， 表示不下雨，
所给的20组数据中714,740,491,272,073,445,435,027,共8组表示3天中恰有两天下雨，
故所求的概率为 ；（2）由题中所给的数据可得 ， ，
所以 ， ，
所以回归方程为 ，当 时， ，
所以该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm．
【点睛】求线性回归方程的步骤：①求出 ；②套公式求出 ；③写出回归方程 ；④利用回
归方程 进行预报；
【对点精练8】 某机构为了解某大学中男生的体重单位： )与身高x(单位： )是否存在较好的线性
关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7
16 17
身高( ) 175 169 178 168 180
1 3
体重( ) 52 62 54 70 66 57 73
根据表中数据计算得到 关于 的线性同归方程为
（1）求
（2）已知 且当 时，回归方程的拟合效果非常好；当 时，回归方程
的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.参考数据：
【答案】（1） ；（2）该线性回归方程的拟合效果是良好，理由见解析.
【分析】（1）先求 ，代入回归方程即可求得；
（2）先根据题意求出 ，根据参数范围进行判断即可.【解答】解析：（1）∵
将（172,62）代入回归方程得：
∴
（2）
y关于x的线性同归方程为
∴
∴
故该线性回归方程的拟合效果是良好.
【点睛】在线性回归中，求线性回归方程是常见题型：
方法点睛：求线性回归方程的步骤：
（1）先求 x、y 的平均数 ；
（2）套公式求出 和 的值： ， ；
（3）写出回归直线的方程.
【对点精练9】 一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 （元）与销量
（杯）的相关数据如下表：
单价 （元） 8.5 9 9.5 10 10.5
销量
120 110 90 70 60
（杯）
（1）已知销量 与单价 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多
少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）
附：线性回归方程 中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ，
.
【答案】（1） ；（2）单价应该定为10元.
【分析】（1）由表中数据，求得 的值，再根据公式，分别求得 的值，即可求得回归直线方程；
（2）设定价为 元，得出利润函数 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【解答】（1）由表中数据， ，
，
则 ，
所以 ，
所以 关于 的线性回归方程为 .
（2）设定价为 元，则利润函数为 ，其中 ，
则 ，可得对称轴方程为 （元），
为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及其应用，其中解答中熟练利用最小二乘法求得回归系数
的值，得出回归直线的方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
【对点精练10】 已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发疫苗成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗 的研发费用
（百万元）和销量 （万盒）的统计数据如下：
研发费用 （百万 1
2 3 6 10 14
元） 3
销量 （万盒） 1 1 2 2.5 4 4.5
（1）根据上表中的数据，建立 关于 的线性回归方程 （用分数表示）；
（2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？
参考公式： ， .
【答案】（1） ；（2）销售量为47769盒.
【分析】（1）根据表中的数据和题中所给参考公式可计算出 ，利用最小二乘法求 的值，代入
，可得 ，进而求出回归方程 .（2）将 ，代入回归方程即可.
【解答】（1） ， ，
， ， ，
，
（2）当 时，代入回归方程 （万盒） （盒）
当研发费用为16000000时，销售量为47769盒.
【点睛】本题考查了线性回归方程，最小二乘法等基本知识，考查了数学运算能力、数据分析能力和逻辑
推理能力，属于一般题目.
命题点2 非线性回归模型
【例题精析10】 若需要刻画预报变量 和解释变量 的相关关系，且从已知数据中知道预报变量 随着解释变量 的增大而减小，并且随着解释变量 的增大，预报变量 大致趋于一个确定的值，为拟合
和 之间的关系，应使用以下回归方程中的（ ， 为自然对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 及函数的单调性，判断 随 增大时的增减性，再判断各个回归方程是否随着解释变量
的增大趋于一个确定的值，即可得出答案．
【解答】对于A：因为 在定义域内单调递增且 ，所以 随着 的增大而增大，不合题意，故A
错误；对于B：因为 在定义域内单调递增且 ，所以 随着 的增大而减小，当解释变量
， ，不合题意，故B错误；对于C：因为 在定义域内单调递增且 ，所以 随着
的增大而减小，当解释变量 ， ，不合题意，故C错误；对于D：因为 在定
义域内单调递减且 ，所以 随着 的增大而减小，当解释变量 ， ，故D错误；故选：
D．
【例题精析11】 经观测，长江中某鱼类的产卵数 与温度 有关，现将收集到的温度 和产卵数
的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
360
表中(1)根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为 与 之间的回归方程模型并求出
关于 回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，
其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布
列及数学期望.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
【答案】(1) 适宜， (2)分布列见解析， .
【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以 适宜作为 与 之
间的回归方程模型；令 ，转化线性回归方程求解，进而得 关于 回归方程；
（2）由题意， 的取值为 ，由全概率公式求得对应的概率，从而可求分布列及数学期望.
【解答】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以 适宜作为 与 之间的回归方程模型；
令 ，则 ，，
关于 的回归方程为 .
（2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为 ，则 的取值为 ，
设 “所取两个鱼卵来自第 批” ，所以 ，
设 “所取两个鱼卵有 个”“死卵” ，
由全概率公式
，
，
，
所以取出“死卵”个数的分布列为：
0 1 2
.
所以取出“死卵”个数的数学期望 .
【例题精析12】 数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市
场将持续扩大，下表为2018－2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—
2022对应的代码分别为1-5．
年份代码 1 2 3 4 5
车载音乐市场规模 2.8 3.9 7.3 12.0 17.0
(1)由上表数据知，可用指数函数模型 拟合 与 的关系，请建立 关于 的回归方程；(2)根据上述数据求得 关于 的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：
1.94 33.82 1.7 1.6 26.84
其中 ， ．
参考公式：对于一组数据 ， ， ， 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为 ， ．
【答案】(1) ；(2)45.628（十亿元）.
【分析】（1）对 两边取对数，转化为线性回归方程的求解，结合已知数据和参考公式，即可求解；
（2）根据（1）中所求模型，令 ，即可求得结果.
【解答】（1）因为 ，所以两边同时取自然对数，得 ，
设 ，所以 ，
设 ， ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，
，所以 ， ，
所以 ， ，所以
（2）把2024年代码 代入方程，得 （十亿元）
故预测2024年的中国车载音乐市场规模45.628（十亿元）
【例题精析13】 信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济
的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放
出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年
对应的代码依次为1~5．
年份代码x 1 2 3 4 5
中国信创产业规模y/千亿元 8.1 9.6 11.5 13.8 16.7
(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．
(2)由上表数据可知，可用指数型函数模型 拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b
的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．
参考数据：
2.45 38.52 6.81 1.19 2.84
其中 ， ．
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为 ， ．
【答案】(1)
(2) ，不会超过20千亿元．
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为 ；（2）将指数型函数模型 两边取对数可得 ，即 ，再利用参考数据可得回归方程
为 ，将2023年的年份代码6代入可得 ，即可得出结论.
【解答】（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，共10种情况．
其中这2个数据都大于10的有 ， ， ，共3种情况，
所以2个数据都大于10的概率 ．
（2） 两边同时取自然对数，
得 ，则 ．
因为 ， ， ，
所以 ，
，所以 ，
即 ，所以 ，
即y关于x的回归方程为 ．2023年的年份代码为6，把 代入 ，
得 ，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．
求经验回归方程的步骤【对点精练11】 已知变量的关系可以用模型 拟合，设 ，其变换后得到一组数据如下．由
上表可得线性回归方程 ，则 （ ）
x 1 2 3 4 5
z 2 4 5 10 14
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据样本中心点在回归方程上可得 ，再利用对数运算法则即可得 ，所以
.
【解答】由表格数据知 ， ．即样本中心点为 ，由 ，得 ，
即 ，所以 ，即 ，可得 ，故选：B．
【对点精练12】 为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量
（单位： ）与样本对原点的距离 （单位： ）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一
些统计量的值.（表中 ）
6 60(1)利用样本相关系数的知识，判断 与 哪一个更适宜作为平均金属含量 关于样本对原点
的距离 的回归方程类型？
(2)根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立 关于 的回归方程；
（ii）样本对原点的距离 时，金属含量的预报值是多少？
(3)已知该金属在距离原点 米时的平均开采成本 （单位：元）与 关系为 ，
根据（2）的结果回答， 为何值时，开采成本最大？
【答案】(1) (2)（i） ；（ii） (3)10
【分析】（1）根据所给数据求出相对应的相关系数，即可判断；
（2）（i）由（1）及所给数据求出 、 ，即可得到回归方程；（ii）将 代入计算即可；
（3）依题意，可得 ，令 ，利用导数求出函数的单调性，即可
求出函数的极大值点，从而得解.
【解答】（1）因为 的线性相关系数 ，
的线性相关系数 ，
，
更适宜作为平均金属含量 关于样本对原点的距离 的回归方程类型.
（2）（i）依题意，可得 ，，
， 关于 的回归方程为 .
（ii）当 时，金属含量的预报值为 .
（3）因为 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
在 处取得极大值，也是最大值，此时 取得最大值，
故 为10时，开采成本最大.
【对点精练13】 纯电动汽车、混合电动汽车及燃料电池电动汽车均为新能源汽车，近几年某地区新能源
汽车保有量呈快速增长的态势，下表为2018~2022年该地区新能源汽车及纯电动汽车的保有量（单位：
万辆），其中2018~2022年对应的年份编号依次为 ：
年份编号 1 2 3 4 5
该地区新能源汽车保有量 1.5 2.6 3.4 4.9 7.8
该地区纯电动汽车保有量 1.3 2.1 2.8 4.0 6.4
(1)由上表数据可知，可用指数函数模型 拟合 与 的关系，请建立 关于 的回归方程（ ， 的
值精确到0.1），并预测2023年该地区新能源汽车保有量能否超过10万辆；
(2)从表中数据可以看出2018~2022年，该地区新能源汽车保有量中纯电动汽车保有量占比均超过80%，说
明纯电动汽车一直是新能源汽车的主流产品．若甲、乙、丙3人从2018~2022年中各随机选取1个年份
（可以重复选取），记取到满足 的年份的个数为 ，求 的分布列及数学期望．
参考数据：1.25 22.62 1.1 1.5 11.4
其中 ， ．
参考公式：对一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为 ， ．
【答案】(1) ，预测2023年该地区新能源汽车保有量能超过10万辆
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）设 ，由已知可得 ，利用最小二乘法结论求 ，由此可得回归方
程，再利用回归方程进行预测，并判断结论；
（2）由条件确定随机变量 的所有可能取值，由条件可得 结合二项分布的分布列和期望公式
求解.
【解答】（1）由 得 ，
设 ，则 ，
因为 ， ，
， ，
所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ，故 ，所以 ，
则 ，又 ， ，
所以 ，
即 关于 的回归方程为 ，
当 时， ，
所以预测2023年该地区新能源汽车保有量能超过10万辆．
（2） 的所有可能取值为 ，易知 年中满足 的年份有2个，
则每人取到满足 的年份的概率为 ，
故 ，
， ，
， ，
的分布列为
0 1 2 3
．
【对点精练14】 某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 （单位： ）与水生植物的株数 （单位：株）
之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 去拟合 与 的关系，设 ， 与 的
数据如表格所示：
3 4 6 7
2.5 3 4 5.9得到 与 的线性回归方程 ，则 .
【答案】
【分析】根据已知求得 ， ，进而代入回归方程可求得 ，从而得出 .然后
代入 ，根据指对互化，即可得出答案.
【解答】由已知可得， ， ，
所以，有 ，解得 ，所以 .由 ，得 ，
所以 ，所以 .故答案为： .
题型三 列联表与独立性检验
【例题精析14】 下面是一个 列联表，其中a、b处填的值分别为（ ）
总计
a 21 73
2 25 27
总
b 46 100
计
A．52、54 B．54、52 C．94、146 D．146、94
【答案】A
【分析】根据 列联表运算求解即可.
【解答】由题意可得 ，解得 ，所以a、b值分别为52、54.故选：A.
【例题精析15】 某驾校对最近一年考驾照通过的情况进行了分析，在随机抽取的200名拿到驾照的学员
中，包括女学员80名，没有补考经历的女学员有60名，男学员有补考经历的占 .(1)根据条件填写下列 列联表，并分析能否有 的把握认为是否有补考经历与性别有关？
没有补考经历 有补考经历 合计
男学员（单位：
人）
女学员（单位：
人）
合计 200
(2)在通过考试的学员中，随机抽查了20名学员，其科目三补考次数如下（最多只能补考4次）：
补考次 0 1 2 3 4
数
人数 10 5 1 3 1
求这20名学员补考次数的平均数与方差.
参考公式： ， .
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05
0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841
【答案】(1)列联表见解析，没有
(2)1，
【分析】（1）先算出男学员的总人数，再分别计算男学员补考和不补考的人数，从而完善列联表，代入
卡方公式计算判断即可；
（2）利用平均数和方差计算公式计算即可.
【解答】（1）由题意，拿到驾照的男学员有 名，
因为男学员有补考经历的占 ，所以男学员有补考经历的有 名，
所以没有补考经历的男学员有 名，又没有补考经历的女学员有60名，
所以有补考经历的女学员有20名，完善列联表如下：
没有补考经历 有补考经历 合计男学员（单位： 100 20 120
人）
女学员（单位： 60 20 80
人）
合计 160 40 200
则 ，
因为 ，所以没有 的把握认为是否有补考经历与性别有关.
（2）由题意，这20名学员补考次数的平均数为 ，
这20名学员补考次数的方差 .
【例题精析16】 某中学初三年级有学生1500人，其中男生占总人数的70%，为调查该校学生中考前一周
每天睡眠时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生的睡眠时间样本数据（单位：小时）．
(1)应收集多少位男生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生睡眠时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间
为： ， ， ， ， ， ．估计该校学生中考前一周平均每天睡眠时间超过4小
时的概率；
(3)在样本数据中，有60位女生的平均睡眠时间超过4小时，请完成中考前一周日均睡眠时间与性别列联
表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的考前一周日均睡眠时间与性别有关”．
附： ．
0.10 0.05 0.010 0.0052.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)210
(2)0.75
(3)列表见解析；没有99%的把握认为“该校学生的考前一周睡眠时间与性别有关”
【分析】（1）运用分层抽样的性质计算即可.
（2）由频率分布直方图计算频率即可.
（3）利用 列联表求得 再与所给的 值比较即可.
【解答】（1）由题得 ，所以应收集210位男生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得 ，所以该校学生高考前平均每天睡眠时间超过4小时
的概率估计值为0.75．
（3）由（2）知，300位学生中有 人高考前日均睡眠时间超过4小时，75人的高考前日均
睡眠时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以高考前一周
每日平均睡眠时间与性别列联表如下：
男生 女生 总计
高考前日均睡眠时间不超过4小时 45 30 75
高考前日均睡眠时间超过4小时 165 60 225
总计 210 90 300
零假设 ：认为“该校学生的考前一周睡眠时间与性别无关”．
结合列联表可算 ，
所以，没有99%的把握认为“该校学生的考前一周睡眠时间与性别有关”．
【例题精析17】 安庆某农场主拥有两个面积都是220亩的农场——加盟“生态农场”与“智慧农场”，
种植的都是西瓜，西瓜根据品相和质量大小分为优级西瓜､一级西瓜､残次西瓜三个等级.农场主随机抽
取了两个农场的西瓜各100千克，得到如下数据：“生态农场”优级西瓜和一级西瓜共95千克，两个
农场的残次西瓜一共20千克，优级西瓜数目如下：“生态农场”20千克，“智慧农场”25千克.
(1)根据所提供的数据，完成下列 列联表，并判断是否有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关？非残次西
农场 残次西瓜 总计
瓜
生态农场
智慧农场
总计
(2)种植西瓜的成本为0.5元/千克，且西瓜价格如下表：
等级 优级西瓜 一级西瓜 残次西瓜
价格（元/千克） 2.5 1.5 （无害化处理费用）
①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克西瓜的平均利润；
②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策.（假设两个农场的产
量相同）
参考公式： ，其中 .附表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题目中提供数据即可完成表格，代入计算可得 ，即可得出结论；
（2）①分别计算出两农场三种等级的西瓜不同利润盈利的频率，再由期望值公式即可求得结果；
②根据两农场每千克西瓜的平均利润的大小可知，售卖利润较低的即可.
【解答】（1）根据题意完成 列联表如下：
非残次西
农场 残次西瓜 总计
瓜
生态农场 95 5 100
智慧农场 85 15 100
总计 180 20 200所以可得 ，
参考附表可知有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关.
（2）①对于“生态农场”，抽到优级西瓜即盈利2元的频率为 ，抽到一级西瓜即盈利1元的频率为
，盈利 元的频率为 ；
所以“生态农场”农场每千克西瓜的平均利润为 （元）；
对于“智慧农场”，抽到优级西瓜即盈利2元的频率为 ，抽到一级西瓜即盈利1元的频率为 ，盈利
元的频率为 ；
所以“智慧农场”农场每千克西瓜的平均利润为 （元）；
②由于两个农场的产量相同，所以“生态农场”的利润更大，应该售卖“智慧农场”.
【例题精析18】 为了有针对性地提高学生对音乐课程的积极性，某校需要了解学生爱好音乐是否与性别
有关，随机抽取100名该校学生进行问卷调查，得到如下列联表.
爱好音
不爱好音乐 总计
乐
男 16
女 26
总计 100
已知从这100名学生中任选1人，爱好音乐的学生被选中的概率为 .
(1)完成上面的列联表；
(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)表格见解析
(2)没有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.
【分析】（1）设这100名学生中爱好音乐的学生有x人，由 求出 ，可完成列联表；（2）求出 参考附表中的值可得答案.
【解答】（1）设这100名学生中爱好音乐的学生有x人，则 ，
解得 .
列联表完成如下.
爱好音
不爱好音乐 总计
乐
男 16 34 50
女 24 26 50
总计 40 60 100
（2）由（1）可知 ，
因为 ，故没有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.
【例题精析19】 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到
200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值， ， ， ， ，
，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有120只，其中该项指标
值不小于60的有85只假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生
抗体与指标值不小于60有关.
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60有抗体
没有抗
体
合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的80只小白鼠进行第二次注射
疫苗，结果又有40只小白鼠产生抗体.
（ⅰ）用频率估计概率，如果对一只小白鼠注射2次疫苗，求这只小白鼠产生抗体的概率P；
（ⅱ）以（ⅰ）中确定的概率P作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，当
时， 取最大值时人体接种试验的人数 及 .
参考公式： ，（其中 为样本容量）
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关
(2)（i）0.8（ii）答案见解析
【分析】（1）根据题意，先完成列联表，计算 的数值，分析即可得出结果；
（2）（ⅰ）根据对立事件的概率求解即可；
（ⅱ）不同小老鼠之间的实验显然无关，于是可近似看成二项分布，由题意可知 ，
，解出 的范围即可求解.
【解答】（1）由频率分布直方图知：200只小白鼠指标值不小于60的频率为： ，
所以指标值不小于60的小白鼠共有 只，
而指标值不小于60且有抗体的有85只；
所以指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有45只，同理，指标值小于60且有抗体的小白鼠有35只，
指标值小于60且没有抗体的小白鼠也有35只，
故2×4列联表如下：
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60
有抗体 35 85 120
没有抗
35 45 80
体
合计 70 130 200
假设 ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联
根据列联表中数据，得 .
根据 的独立性检验，推断 不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（2）（ⅰ）事件 “小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件 “小白鼠注射4次疫苗后产生抗体”，
记事件A，B，C发生的概率分别为 ， ， ，
则 ， ， ，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 ；
（ⅱ）由题意知随机变量 ， （ ，1，2，…，n）.
因为 最大，所以 ，
解得 ，因为 是整数，所以接受接种试验的人数为99或100，
①当接种人数为99时， ；②当接种人数为100时， .
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式 计算．
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．
【对点精练15】 北京2022年冬奥会于2月20日胜利闭幕，广受参会运动员和世界人民好评，为了解居
民对北京冬奥会了解程度，某社区居委会随机抽取600名社区居民参与问卷调查，并将问卷得分绘制
频率分布表如下：
得分
男性人
15 55 55 75 65 40 20
数
女性人
10 30 35 90 70 25 15
数
(1)参与问卷调查的男性、女性居民中，得分不低于80分的频率分别是多少？
(2)将居民对北京冬奥会的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60
分）两类，完成2 2列联表，并判断是否有99%的把握认为“北京冬奥会的了解程度”与“性别”有关？
比较了
不太了解 总计
解
男性
女性
总计
附： ， .
临界值表：0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)
(2)列联表见解析，有
【分析】（1）根据已知数据即可求得答案；
（2）由已知数据可得列联表，计算 的值，与临界值表比较，即得结论.
【解答】（1）由已知表中数据可得参与问卷调查的男性、女性居民中，
男性得分不低于80分的频率分别是 ；
女性得分不低于80分的频率分别是 ；
（2）由题意可得列联表如下：
比较了
不太了解 总计
解
男性 125 200 325
女性 75 200 275
总计 200 400 600
故 ，
故有99%的把握认为“北京冬奥会的了解程度”与“性别”有关.
【对点精练16】 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，中国65岁及以上人口为19064万人，
占总人口的 ．随着出生率和死亡率的下降，我国人口老龄化趋势日益加剧，与老年群体相关的
疾病负担问题越来越受到社会关注，虚弱作为疾病前期的亚健康状态，多发于65岁以上人群.虚弱指
数量表（frailty in—dex，FI，取值范围是 ）可以用来判定老年人是否虚弱，若FI 分，则定
义为“虚弱”.某研究团队随机调查了某地1170名男性与1300名女性65岁及以上老年人的身体状况，
并采用虚弱指数量表分析后得出虚弱指数频数分布表如下：
FI男 411 579 101 79
女 417 463 162 258
(1)根据所调查的65岁及以上老年人的虚弱指数频数分布表作出65岁及以上老年人虚弱与性别的 列联
表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关？
非虚弱 虚弱 总计
男 1170
女 1300
总计
(2)以频率估计概率，现从该地区随机调查两位男性65岁以上老年人，这两位老人中身体虚弱的人数为随
机变量 ，求随机变量 的分布列、期望与方差？附表及公式： ，
．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关系
(2)分布列见解析，期望 ，方差 ．
【分析】（1）利用频率分布表可得是否虚弱与性别的 列联表，代入计算即可求出 的观测值明显大
于 ，即可得出结论.
（2）以频率估计概率可知当地随机调查一名65岁以上男性老年人虚弱的概率为 ，即随机变量 服从二
项分布 ，代入公式即可得分布列、期望、方差.【解答】（1）由频率分布表可得列联表如下：
非虚弱 虚弱 总计
男 990 180 1170
女 880 420 1300
总计 1870 600 2470
所以 的观测值 ，
因为 ，
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关系．
（2）由频率估计概率知：从当地随机调查一名65岁以上男性老年人虚弱的概率为 ，
所以随机变量 服从二项分布 ，
于是为 ，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2
期望 ，
方差 ．
【对点精练17】 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到
200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按 ， ， ， ，分组，绘制频率分布直方图如图所示.
试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后
是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志
愿者产生抗体与指标值不小于60有关.
指标值 合计
抗体
小于60 不小于60
有抗体
没有抗
体
合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射
疫苗，结果又有 名志愿者产生抗体.
（i）用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率 ，求 的值；
（ⅱ）以（i）中的概率 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110
名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量 ，求 最大时的 的值.
参考公式： （其中 为样本容量）.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；
(2)（i）20；（ⅱ）99.
【分析】（1）完善列联表，计算 的观测值，再与临界值表比对作答.
（2）（i）利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；（ⅱ）利用二项分布的概率公式，列出不
等式组并求解作答.
【解答】（1）由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在 内有
（人），
在 内有 （人），在 内有 （人），
在 内有 （人），在 内有 (人)，
依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有 人，
则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，
所以 列联表如下：
指标值 合计
抗体
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗
20 20 40
体
合计 70 130 200
零假设 ：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，
根据列联表中数据，得 ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件 “志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件 “志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，
事件 “志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件 发生的概率分别为 ，则 ，解得： ，
所以 .
（ⅱ）依题意，随机变量 ， ，
显然 不是最大的，即当 最大时， ，
于是 ，即 ，
则 ，整理得 ，解得 ，因此 ，
所以 最大时， 的值为99.
【对点精练18】 某种疾病可分为 ， 两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区
随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患 型疾病的
人数占男性患者的 ，女性患 型疾病的人数占女性患者的 .
型病 型病 合计
男
女
合计
(1)填写 列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类
型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？
(2)某团队进行预防 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种
3次，每次接种费用为 元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为 ，如果一个
周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若 ，试验人数为1000人，
试估计该试验用于接种疫苗的总费用.，
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；
(2) 元
【分析】（1）设男性患者有 人，结合题设写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思
想列不等式求 范围，再由 ， 确定 最小值；
（2）由题意试验每人的接种费用为 的可能取值为 ， ，独立事件乘法公式求出对应概率，进而求出
期望，根据总人数求出总费用的期望即可.
【解答】（1）设男性患者有 人，则女性患者有 人， 列联表如下：
型病 型病 合计
男
女
合计
假设 ：患者所患疾病类型与性别之间无关联，
根据列联表中的数据 ，
要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则 ，解得 ，因为 ， ，所以 的最小整数值为12，
因此，男性患者至少有12人.
（2）设该试验每人的接种费用为 元，则 的可能取值为 ， .
则 ， ，
所以 ，
因为 ，试验人数为1000人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为 ，
所以 元.
【对点精练19】 2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票
房成绩．某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参
与评价的观众中随机抽取200人进行调查，其中“好评”的占55%，数据如下表所示（单位：人）：
好评 差评 合计
男性 30
女性 30
合计 200
(1)根据所给数据，完成上面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关？
(2)从抽取的200人中所有给出“差评”的观众中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中任
选两人，求这两人中至少有一人是女性的概率．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握(2)
【分析】（1）求出男性人数，即可完成列联表，再根据公式求出 ，对照临界值表，即可得出结论；
（2）先求出男性和女性的人数，再根据古典概型即可的解.
【解答】（1）“好评”的人数为 ，
则列联表如图所示：
好评 差评 合计
男性 80 30 110
女性 30 60 90
合计 110 90 200
，
所以有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关；
（2）男性有 人，设为 ，
女性有 人，设为 ，
则从这6人中任选两人，
有 共 种，
其中符合题意的有 种，
所以所求概率 .
【对点精练20】 为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进
行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占 ，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1
名职工支持养宠物的概率为 .
(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列 列联表；
支持养宠物 不支持养宠 合计物
男职工
女职工
合计 450
(2)依据小概率值 的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？
附： ， .
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)表格见解析
(2)不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关
【分析】（1）运用对立事件列方程求出男职工支持养宠物的概率p，再求出男职工中支持养宠物的人数；
（2）根据卡方公式求解.
【解答】（1）从男职工中随机选取1人，设支持养宠物的概率为 ，则2人中至少有一名支持养宠物是都
不支持养宠物的对立事件，
，解得 ，则男职工中支持养宠物的人数为 ，
列联表如下：
不支持养宠
支持养宠物 合计
物
男职工 75 225 300
女职工 50 100 150
合计 125 325 450
（2）零假设为： ：性别与态度无关联；由于 ，
∴不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关；
综上，男职工中支持养宠物的人数为75；不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关.
【对点精练21】 人们在接受问卷调查时，通常并不愿意如实回答太敏感的问题．比如，直接问运动员们
是否服用过兴奋剂，绝大多数情况下难以得到真实的数据．某中学发布了一项针对学生行为规范的新校规，学生社团想进行一次本校学生对新校规认可度的调查，为
了消除被调查者的顾虑，精心设计了一份问卷：
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，
请按照问题二勾选“是”或“否”．
（友情提示：为了不泄漏您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．）
问题一：您的身份证号码最后一个数字是奇数吗？ “是”“否”
问题二：您是否对新校规持认可态度? “是”“否”
学生社团随机选取了150名男学生和150名女学生进行问卷调查，已知统计问卷中有85张勾选“是”．
(1)根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校学生对新校规持认可态度的概率；
(2)据核实，以上的300名学生中有20名学生对新校规持认可态度，其中男生15人，女生5人，请完成
列联表，并判断是否有 的把握认为对新校规持认可态度与性别有关．
女
男生 合计
生
认可新校规
不认可新校
规
合计
参考公式和数据如下： ， ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 7.879
【答案】(1)
(2)列联表见解析；有
【分析】（1）由题意计算出回答第一个问题和回答第二个问题的人数，根据古典概型的概率公式可得答
案；
（2）由题意可得列联表，计算 的值，比较即可得结论.
【解答】（1）由题意知抛一个硬币：得到正面或反面是等可能的，故回答第一个问题的人数为 人，回答第二个问题的人数也为150人，
因为身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的，
所以回答第一个问题，选择“是”的学生人数为 ，
则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为 人，
所以估计该校学生对新校规持认可态度的概率为 ；
（2）由题意可得列联表如下：
女
男生 合计
生
认可新校规 15 5 20
不认可新校
135 145 280
规
合计 150 150 300
故 ，
故有 的把握认为对新校规持认可态度与性别有关．
【对点精练22】 某工厂甲、乙两套设备生产相同的电子元件，现分别从这两套设备生产的电子元件中随
机抽取100个电子元件进行质量检测，检测结果如下表：
测试指
标
数量/个 8 12 20 110 50
已知测试指标大于或等于80为合格品，小于80为不合格品，其中乙设备生产的这100个电子元件中，有
10个是不合格品．
(1)请完成以下 列联表：
甲设备 乙设备 合计
合格品
不合格
品
合计
(2)根据以上 列联表，判断是否有 的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合䅂与甲、乙两套设备的选择有关．
参考公式及数据： ，其中 ．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析
(2)有 的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合格与甲、乙两套设备的选择有关．
【分析】（1）根据列联表结合已知信息填写对应数值即可；
（2）利用 公式进行计算，再根据表格数据比较大小即可得出结果.
【解答】（1）如下表所示：
甲设备 乙设备 合计
合格品 70 90 160
不合格
30 10 40
品
合计 100 100 200
（2）因为 ，
所以有 的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合格与甲、乙两套设备的选择有关．
【对点精练23】 为了验证甲、乙两种药物对治疗某种疾病的效果，某科研单位用两种药物对患有该疾病
的患者进行临床药物实验．随机抽取患有该疾病的患者200人，其中100人注射甲药物，另外100人
注射乙药物，实验结果完成后，得到如下统计表：
药物 效果明显 效果不明显 合计
甲药物 76 24 100
乙药物 84 16 100
合计 160 40 200
(1)分别估计注射甲、乙两种药物的患者效果明显的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果有差异？(3)从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者按分层抽样的方法抽出5人，然后从5人中随机抽取
3人做进一步药物实验，记抽到注射甲药物的患者人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式： ， ．
临界值表：
0.10 0.05 0.025
2.706 3.841 5.024
【答案】(1) ，
(2)没有90%的把握认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果有差异
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由表中数据计算频率估计概率即可；（2）由表中数据代入公式计算并判断即可；（3）先
根据分层抽样确定5人中注射甲药物的患者人数，得到随机变量X的所有可能取值，再分别计算其概率，
得到分布列和期望。
【解答】（1）由题意可知，注射甲药物的患者共100人，治疗效果明显的有76人，故注射甲药物治疗效
果明显的概率为 ；
注射乙药物的患者共100人，治疗效果明显的有84人，故注射乙药物治疗效果明显的概率为 ．
（2）由表中的数据可知， ，
因为 ，所以没有90%的把握认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果有差异．
（3）从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者中按分层抽样的方法抽出5名患者，
则应从甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者中分别抽取3人，2人，
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
则 ， ， ，
所以X的分布列为X 1 2 3
P
故 ．
【对点精练24】 足球是一项大众喜爱的运动，某校足球社通过调查并进行科学的统计分析，对学校学生
喜爱足球是否与性别有关的问题，得出了结论：喜爱足球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于
0.005.据足球社透露，他们随机抽取了若干人进行调查，抽取女生人数是男生人数的2倍，男生喜爱足
球的人数占男生人数的 ，女生喜爱足球的人数占女生人数的 .通过以上信息，可以确定本次足球社
所调查的男生至少有 人.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
【答案】12
【分析】设被调查的男生为 人，得到列联表，从而可计算 ，进而得到 ，求解即可.
【解答】设被调查的男生为 人，则女生为 人，依题意可得列联表如下：
男
女生 合计
生
喜爱足球
不喜爱足球
合计
所以 ，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以有，即 ，解得 ，
又因为上述列联表中的所有数字均为整数，
故 的最小值为12 .
故答案为：12.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说法
正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【分析】根据散点图及线性相关的知识，即可求解．
【解答】解： 相关系数 ，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．
故选： ．【点评】本题考查线性相关问题，属基础题．
2．（2020•新课标Ⅰ）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 和温度 （单位： 的关系，
在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ， ，2， ， 得到下面的散点图：
由此散点图，在 至 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类型
的是
A． B． C． D．
【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．
【解答】解：由散点图可知，在 至 之间，发芽率 和温度 所对应的点 在一段对数函数的
曲线附近，
结合选项可知， 可作为发芽率 和温度 的回归方程类型．
故选： ．
【点评】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．
二．解答题（共9小题）
3．（2020•新课标Ⅱ）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该
地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20
个作为样区，调查得到样本数据 ， ，2， ， ，其中 和 分别表示第 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ，
， ．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
（2）求样本 ， ，2， ， 的相关系数（精确到 ；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生
动物数量更准确地估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数 ， ．
【分析】（1）由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案；
（2）由已知直接利用相关系数公式求解；
（3）由各地块间植物覆盖面积差异很大可知更合理的抽样方法是分层抽样．
【解答】解：（1）由已知， ，
个样区野生动物数量的平均数为 ，
该地区这种野生动物数量的估计值为 ；
（2） ， ， ，
；
（3）更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆
盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结
构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确地估计．
【点评】本题考查简单的随机抽样，考查相关系数的求法，考查计算能力，是基础题．
4．（2022•乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材
积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： 和材积量（单位： ，得到
如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
根部横截面积
0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
材积量
并计算得 ， ， ．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 ；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．
已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ， ．
【分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即
可．
【解答】解：（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为 ，平均一棵的材积量为 ，
则根据题中数据得： ， ；（2）由题可知， ；
（3）设总根部面积和 ，总材积量为 ，则 ，故 ．
【点评】本题考查线性回归方程，属于中档题．
5．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据2000年
至2016年的数据（时间变量 的值依次为1，2， ， 建立模型①： ；根据2010年至
2016年的数据（时间变量 的值依次为1，2， ， 建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【分析】（1）根据模型①计算 时 的值，根据模型②计算 时 的值即可；
（2）判断模型优劣（预测值是否可靠）人教社教材提供了两种思路，
事前：如果数据比较集中 则依据这些数据得出的回归模型就比较好（预测值就比较可靠）；事后：根据回归模型计算 ，如果 ，则回归模型较好（或者计算相应数据的残差绝对值之和，
越小越好）．
【解答】解：（1）根据模型①： ，
计算 时， ；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
根据模型②： ，
计算 时， ；
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）解法1：模型②得到的预测值更可靠，因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设
施投资额是逐年上升的，从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较
大些，所以利用模型②的预测值更可靠些．
解法2，模型②对应的7个点分布宽度小于模型①对应的17个点的分布宽度，则 ，所以模型②较
好；
解法 3，选择与 2018 邻近的三个年份 ，2015， 计算模型②对应的残差绝对值之和
，模型①对应的残差绝对值之和 ；且 ，所以模型②较好；
所以利用模型②的预测值更可靠些．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数据统计于分析问题，是中档题．
6．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40只小白鼠，随机地将其中20只分配
到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常
环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位： ．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数 ，再分别统计两样本中小于 与不小于 的数据的个
数，完成如下列联表；
对照组
试验组
（ⅱ）根据 中的列联表，能否有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增
加量有差异？
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【分析】（1）根据平均数的定义计算即可．
（2） 把两组数据合在一起，按从小到大排列后求中位数 ，填写列联表即可；
根据列联表中数据计算 ，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为
．
（2） 由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第 20位与第21位
数据的平均数，
因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，
23.6， ，
所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，
所以这组数据的中位数是 ；
填写列联表如下：
合计对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
根据列联表中数据，计算 ，
所以有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了平均数与中位数的计算问题，是基础题．
7．（2022•甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由 和 两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运
行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次
数
240 20
210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附： ．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；
（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．
【解答】解：（1） 公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故 公司准点的概率为 ；
公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故 公司准点的概率为 ；
（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆， 公司共260辆， 公司共240辆，
，
有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产
品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
（2）根据 列联表，求出 ，再将 的值与6.635比较，即可得出结论；
【解答】解：（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为 ；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为 ；
（2）根据 列联表，可得
．
所以有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【点评】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
9．（2020•新课标Ⅲ）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼
的人次，整理数据得到下表（单位：天）
锻炼人次
， ， ，
空气质量等级
2 16 25
1（优
5 10 12
2（良
3（轻度污染） 6 7 84（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 列联表，并根据列联表，判断是否有 的把握
认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得答案；
（3）由公式 计算 的值，从而查表即可，
【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为： ；
该市一天的空气质量等级为2的概率为： ；
该市一天的空气质量等级为3的概率为： ；
该市一天的空气质量等级为4的概率为： ；
（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：
，
（3）根据所给数据，可得下面的 列联表，
人次 人次 总计
空气质量好 33 37 70空气质量不好 22 8 30
总计 55 45 100
由表中数据可得： ，
所以有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．
10．（2020•山东）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了
100天空气中的 和 浓度（单位： ，得下表：
， ， ，
32 18 4
，
6 8 12
，
3 7 10
，
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过75，且 浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
， ，
，
，
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828【分析】（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中 浓度不超过75，且 浓度不超过150”
的概率；
（2）根据题目所给的数据填写 列联表即可；
（3）计算 ，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中 浓度不超过75，且 浓度不超过
150”的概率 ；
（2）根据所给数据，可得下面的 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，
由 ，
；
故有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关，
【点评】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．
11．（2019•新课标Ⅰ）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商
场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；
（2）代入计算公式： ，然后把所求数据与3.841进行比较即可判断．
【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率 ，
女顾客对该商场服务满意的概率 ；
（2）由题意可知， ，
故有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题．
1．（2023•黄州区校级二模）在一组样本数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
互不相等）的散点图中，若所有样本点 ， ，2， ， 都在直线 上，则这组样本
数据的样本相关系数为
A． B． C． D．1
【分析】根据回归直线方程可得相关系数．
【解答】解：根据回归直线方程 ，可得这两个变量是正相关，
又因为所有样本点 ， ，2， ， 都在直线 上，
所以 ，故选： ．
【点评】本题主要考查了由回归直线方程求相关系数，属于基础题．
2．（2022•全国四模）下列说法错误的是
A．相关系数 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强
B．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好
C．相关指数 ，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为
D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
【分析】根据相关系数的概念，可判定 ；由残差的意义可判定 ；由相关指数的概念可判定 ．
【解答】解： 选项， ，相关系数 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，故 正确；
选项，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故 错误；
选项，相关指数 ，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为 ，故 正确；
选项，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，是基础题．
3．（2021•包河区校级模拟）下列有关回归分析的论断不正确的是 ，
A．若相关系数 满足 越接近1，则这两个变量相关性越强
B．若相关指数 越大，则模型的拟合效果越好
C．若所有样本点都在 上，则线性相关系数
D．残差图的带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高，回归方程的预报精度越高
【分析】根据相关系数的定义与性质，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】解： 、线性相关系数 的绝对值越接近1，表示两变量的相关性越强，不符合题意；
、相关指数 越大，模型的拟合效果越好，不符合题意；
、若所有样本点都在 上，则线性相关系数 或 ，符合题意；
、残差图中，残差点的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高不符合
题意；故选： ．
【点评】本题考查了相关系数的定义与性质的应用问题，是基础题．
4．（2021•全国模拟）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46，0.79，
，0.85，则
A．甲组数据变量间的线性相关程度最强
B．乙组数据变量间的线性相关程度最弱
C．丙组数据变量间的线性相关程度最强
D．丁组数据变量间的线性相关程度最强
【分析】根据题意，由线性相关系数的定义，判断个选项可得答案．
【解答】解：因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，
甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为0.46，0.79， ，0.85，
所以丙组数据的线性相关性最强．
故选： ．
【点评】本题考查线性相关系数的定义，解题的关键是理解线性相关系数的统计意义，是基础题．
5．（2020•香坊区校级三模）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是
A． B．
C． D．【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大
小．
【解答】解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以 接近于1， 接近于 ，
由此可得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量
正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于
1（或 ，此题是基础题．
6．（2020•榆林模拟）如图所示，给出了样本容量均为7的 ， 两组样本数据的散点图，已知 组样本
数据的相关系数为 ， 组数据的相关系数为 ，则
A． B． C． D．无法判定
【分析】根据 、 两组样本数据的散点图分布特征，即可得出 、 的大小关系．
【解答】解：根据 、 两组样本数据的散点图知，
组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，
相关系数为 应最接近1，
组数据分散在一条直线附近，也成正相关，
相关系数为 满足 ，即 ．
故选： ．
【点评】本题考查了散点图与相关系数的应用问题，是基础题．
7．（2023•天津模拟）党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决
定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解
直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的
第 天到该电商平台专营店购物人数 （单位：万人）的数据如下表：
日期 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日
第 天 1 2 3 4 5
人数 （单 75 84 93 98 100
位：万人）
依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数 与到该电商平台专营店购物的人数 （单位：万
人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数 与直播天数 的线性回归方程
为 ．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为
A．312 B．313 C．314 D．315
【分析】根据表中数据计算 、 ，由线性回归方程过样本中心点求出 ，写出回归方程，计算 时
的值即可．
【解答】解：由表中数据，计算 ， ，
所以线性回归方程 过样本中心点 ，即 ，
所以 ，
当 时 ，
即预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数为314万人．
故选： ．
【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．
8．（2023•巴宜区校级四模）已知某产品的营销费用 （单位：万元）与销售额 （单位：万元）的统计
数据如表所示：营销费用 万元 2 3 4 5
15 20 30 35
销售额 万元
根据上表可得 关于 的回归直线方程为 ，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为
A．40.5万元 B．41.5万元 C．42.5万元 D．45万元
【分析】根据表中数据，先求出样本中心点，结合线性回归方程的性质，求出回归直线方程，再将 代
入回归直线方程即可求解．
【解答】解： ， ，
回归直线方程为 ，
，解得 ，
回归直线方程为 ，将 代入，得 ．
故当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元．
故选： ．
【点评】本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
9．（2023•兴国县模拟）在南极，东南极冰盖被称为“沉睡的巨人”，是世界上最大的大陆冰川，包含了
世界上大部分的冰．2022年在英国《自然》杂志发表的一篇论文指出，若《巴黎协定》的控温目标未能达
成，东南极冰盖会因气候变化影响而加速融化，到2500年，可能导致海平面上升2到5米．无独有偶，
2023年发表于《科学》杂志的新研究中，法国图卢兹空间地球物理学和海洋学研究实验室领衔的国际团队
揭示了比之前预测的更大的冰川质量损失，全球温度升高与冰川质量损失之间存在线性相关关系，有如下
数据：
0.4 0.7 1.0 1.2 1.8 2.4
温度上升量
12 24 32 45 56 77
冰川消融百分比
根据数据，绘制如图所示的散点图，则下列说法正确的是
①冰川消融百分比与温度上升量存在正相关关系；
②由表中数据用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点 ；③记表中数据 ， ， ， ， ， 的方差为 ，若控温措施有效，则冰 川消融百分比将变为 ，
且 ，2，3，4，5， ，那么 ， ， ， ， ， 的方差将变为 ．
A．① B．③ C．①② D．②③
【分析】由散点图判断①；由线性回归方程恒过样本点的中心判断②；由方差公式的性质判断③．
【解答】解：由散点图可知，冰川消融百分比与温度上升量存在正相关关系，故①正确；
由表中数据得 ，
．
由表中数据用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点 ，故②正确；
， ， ， ， ， 的方差为 ，且 ，
则 ， ， ， ， ， 的方差将变为 ，故③错误．
正确的是①②．
故选： ．
【点评】本题考查线性回归方程及方差公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2023•河南模拟）已知一组样本数据 ， ， ， ， ， ， ，根据这组数据的散点图
分析 与 之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为 ，则在样本点 处的残差
为
A．38.1 B． C．22.6 D．91.1【分析】在已知线性回归方程中，取 代入求得预测值，减去实际值即可得残差．
【解答】解：把 代入 ，
得 ，
则在样本点 处的残差为 ．
故选： ．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查残差的求法，属于基础题．
11．（2023•全国二模）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 （每分钟鸣
叫的次数）与气温 （单位： 存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立
了 关于 的线性回归方程 ．则当蟋蟀每分钟鸣叫80次时，该地当时的气温预报值为
（次数 分 20 30 40 50 60
钟）
25 27.5 29 32.5 36
A． B． C． D．
【分析】根据题意，先求得样本中心点的坐标从而得到 ，然后将 代入计算即可得到结果．
【解答】解：由题意可得， ，
，
样本中心点为 ，
代入 ，可得 ， ，
，
当 时， ．
当蟋蟀每分钟鸣叫80次时，该地当时的气温预报值为 ．
故选： ．【点评】本题考查线性回归直线方程的性质，方程思想，属基础题．
12．（2023•菏泽二模）足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人
进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的 ，女性喜爱足球的人数占女
性人数的 ，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
则被调查的男性至少有 人．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据题意，设出男生人数，从而计算出列联表，再算出 比较即可．
【解答】解：设被调查的男性为 人，则女性为 人，依据题意可得列联表如下表：
男性 女性 合计
喜爱足球
不喜爱足球
合计
，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
所以有 ，即 ，
解得 ，又因为上述列联表中的所有数字均为整数，
故 的最小值为12．
故选： ．
【点评】本题主要考查独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题．13．（2023•江西模拟）在某次独立性检验中，得到如下列联表：
总计
200 800 1000
180
总计 380
最后发现，两个分类变量没有关联，则 的值可能是
A．200 B．720 C．100 D．180
【分析】利用独立性检验的定义，列出 ，求解即可．
【解答】解： 两个分类变量没有关联，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了独立性检验的相关程度问题，是基础题．
14．（2023•西宁一模）在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的 列联表：
休闲 看电视 运动
性别
男 8 20
女 16 12
为了判断休闲方式是滞与性别有关，根据表中数据，得到 ，因为
，所以判定休闲方式与性别有关系，那么这种判断出错的可能性至多为
（参考数据： ，
A． B． C． D．
【分析】利用 与临界值比较，即可得到结论．
【解答】解： ， ， ，
判断出错的可能性至多为 ，
故选： ．【点评】本题考查独立检验（只要求 列联表）的基本思想，考查学生的计算能力，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
15．（2022•临沂二模）对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据 与 成正相关或负相关可判断相关系数的正负，根据点的密集程度可比较相关性的大小，
从而比较相关系数绝对值的大小．
【解答】解：由散点图可知，线性相关系数 的图像表示 与 成负相关，故 ，故 正确；
线性相关系数 的图像表示 与 正相关，故 ，故 错误；
线性相关系数 的点较线性相关系数 的点密集，故 ，故 ，故 正确， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查相关系数，考查学生的推理能力，属于基础题．
16．（2022•汕头二模）如图所示，5个 数据，去掉 后，下列说法正确的是
A．相关系数 变大
B．残差平方和变大
C．相关指数 变小D．解释变量 与预报变量 的相关性变强
【分析】由散点图知，去掉离群点 后， 与 的相关性变强，且为正相关，由此判断即可．
【解答】解：由散点图知，去掉离群点 后， 与 的相关性变强，且为正相关，
所以相关系数 的值变大，相关指数 的值变大，残差平方和变小．
故选： ．
【点评】本题考查了线性相关问题的判断问题，也考查了识图与用图能力，是基础题．
三．填空题（共1小题）
17．（2023•上海模拟）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男
女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的 ，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的 ．若
根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过 0.01但不超过0.05，则被调查
的学生中男生可能有 4 5 ， 5 0 ， 5 5 ， 6 0 ， 6 5 人．（请将所有可能的结果都填在横线上）
附表： ，其中 ．
0.050 0.010
3.841 6.635
【分析】根据题意，设男生有 人，结合题意建立 列联表，用 表示 的值，可得关于 的不等式，
又由 为5的整数倍，分析可得 的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设男生有 人，
由于男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的 ，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的 ，
可得 列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男生
女生
合计
若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则 ．
，
，解得 ，
又 为5的整数倍，则 可能的值为45，50，55，60，65，
故被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65；
故答案为：45，50，55，60，65．
【点评】本题考查独立性检验的应用，注意建立 列联表，属于基础题．
四．解答题（共1小题）
18．（2023•汉滨区校级模拟）某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格： 袋），下面是近六个月
每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：
月份序号 1 2 3 4 5 6
每袋出厂价 10.5 10.9 11 11.5 12 12.5
格
2.2 2 1.9 1.8 1.5 1.4
月销售量
并计算得 ， ， ．
（1）计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入；
（2）求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到 ；
（3）若样本相关系数 ，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性．你认为该食品加工厂制定
的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性．
附：样本相关系数 ， ．
【分析】（1）由表格中数据和参考数据进行计算即可；（2）将样本相关系数公式转化为 ，利用表中数据和参考数据进行计算即可；
（3）将（2）中样本相关系数的绝对值与0.75进行比较即可．
【解答】解：（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为：
（元 ，
平均月销售量为 （万袋），
平均月销售收入为 （万元）；
（2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为：
；
（3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数 ，
所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性．
【点评】本题主要考查了相关系数的计算，考查了线性回归方程的求解，属于中档题．
