文档文本内容
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 基底的概念及辨析.....................................................................................................................2
题型02 用基底表示向量
...................................................................................................................2
题型03 利用平面向量基本定理求参数.................................................................................................3
题型04 平面向量线性运算的坐标表示
...........................................................................................4
题型05 向量共线的坐标表示及应用
...............................................................................................4
题型06 利用坐标求向量模的问题.........................................................................................................4
题型07 平面向量线性运算的综合应用
...........................................................................................5
重难·创新演练........................................................................................................................................................5
真题·实战演练........................................................................................................................................................8
模拟·基础演练
考查重点：绕基底判断、用基底表示图形向量、结合三点共线求参数、向量坐标运算、坐标判定三
点共线、向量模长计算展开，以三角形、平行四边形为载体，考查平面向量基础定理与坐标运算。
题型01 基底的概念及辨析
1．若已知
、
是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
2.下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
3．（多选）设
，
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
4．（多选）设
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
5.（2025·山西·二模）若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 用基底表示向量
6．在
中，
为
边上的中线，
为
上靠近
的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·江苏南通·一模）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知在
中，
，
，
和
交于点E，若
，则以
为基底表示
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·山西太原·模拟检测）设在
中，点D 为
边上一点，且
，点E 为
边上的中
点. 若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图：在平行四边形
中，已知
，直线
交于O，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 利用平面向量基本定理求参数
11.如图所示，
中，点
是线段
的中点，
是线段
上的动点，若
，则
的值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．8
12.平行四边形
中，E 为
中点，
与
交于O，记
，
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
13.如图所示，在
中，
是BN 上的一点，若
，则实数m 的值为
．
14．在
中，点
、
满足
，
，点
满足
，
为
的
中点，且
、
、
三点共线，则
题型04 平面向量线性运算的坐标表示
15.已知点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2026·湖南·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．1
B．8
C．
D．2
17．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知平面向量
，则向量
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知
，则
____________．
19．（25-26 高三上·山东·阶段检测）已知
，
，
，则点
的坐标为________．
20．在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为
，若向量
，则点A 的坐标为 ．
题型05 向量共线的坐标表示及应用
21.已知非零向量
，
，若A，B，C 三点共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无解
22.已知向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
23．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知向量
，若
．则
____________．
24．（2026·上海·模拟预测）已知向量
，
，
．若
，
，
三点共线，则
_________．
题型06 利用坐标求向量模的问题
25．（25-26 高三上·浙江杭州·期阶段检测）已知点
与点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
26．（25-26 高三上·河北衡水·期末）已知向量
满足
，
，
，若
，
则实数
的值为________．
27．（25-26 高三上·湖北孝感·期中）已知
，点P 在直线
上，且
，则点P 的
坐标是_______．
28．（25-26 高三上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点
，
，
，
．
(1)若
，
，求的值；
(2)求
的最小值．
题型07 平面向量线性运算的综合应用
29．（多选）延长正方形
的边
至点
，使
，动点
从点
出发沿正方形的边按逆时针
方向运动一周后回到点
，若
，则下列正确的是（ ）
A．若
，则点
与点
重合 B．若点
与点
重合，则
，
C．满足
的点
有2 个 D．满足
的点
有且只有1 个
30．（25-26 高三上·山西晋中·阶段测试）在复平面内，
是坐标原点，复数
，
，
，所对应的点分别是
，
，
．若
，则
的值是___________．
31．（25-26 高三上·山西阳泉·阶段测试）设向量
，
，
.
(1)求
，与夹角的余弦值；
(2)若
，
，求
的值；
(3)若
，
，
，求证：A，
，
三点共线.
重难·创新演练
设题创新: 依托正方形、扇形、直角梯形等多样几何图形搭配动点设置动态试题，将三点共线结论
与基本不等式结合实现跨考点综合命题，融入复平面、平行四边形多解存在性等新颖情境，采用多
选题型辨析易混淆向量概念设置答题陷阱，部分题目提供基底法、坐标法两种解题路径实现一题多
解考查。
1．已知向量
，若点
不能构成三角形，则实数
应满足的条件为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在平行四边形
中，
为
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·河南·阶段检测）在
中，点
满足
，点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．【新考法】设
是平面内一组基底，平面向量
，
．若存在实数
使得
，且
，则
（ ）
A．－2
B．
C．
D．2
5．【新思维】（25-26 高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形
中，
，
，
，E 为
的中点，若
，则
（ ）
A．65
B．
C．2
D．
6．【新融合】已知
为
所在平面内一点，并且满足
，过
的直线与
，
边分
别交于
，
点，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
7．已知向量
不共线，
，其中
，若
三点共线，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
8．【创新题】如图，扇形的半径为，圆心角
，点
在弧
上运动，且
，
则
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．0
D．
9．（多选）已知
分别为
的边
中点，且
，
，则下列命题正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．与向量
方向相同的单位向量的坐标为
B．
为非零向量，则向量在向量上的投影向量为
C．
为非零向量，且相互不共线，则
D．若
与
共线，则
11．（多选）已知点
，
，
，若点G 与点A，B，C 四点构成平行四边形，则点G 的
坐标可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
12.如图，在
中，
是
的中点，
为
上的点，且
，若
，
，则
用，表示，则
____________________.
13．（2026·陕西咸阳·三模）在
中，D 是
边上的一点，且
，E
是
上的一动点.若
，则
__________.
14．已知点
，
，
，
为坐标原点，则
与
的交点
的坐标为________．
15．如图，在
中，
为线段
上靠近点
的三等分点，
是线段
上一点，过点
的直线与边
分别交于点
，设
，
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)若点
为线段
的中点，求
的最小值．
真题·实战演练
高频考点：判断向量是否可作基底、利用基底表示向量并求参数、向量坐标运算、坐标判定向量与
三点共线、向量模长计算与最值、几何图形结合的向量综合题型。
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2023·上海·高考真题）已知向量
，则
_______________．
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
4．（2024·上海·高考真题）已知
，且
，则
的值为 ．
5.（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
