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9.5 统计与成对数据的统计分析
五年高考
高考新风向
1.(2024新课标Ⅱ,4,5分,易)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水
稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产 [900, [950, [1 000, [1 050, [1 100, [1 150,
量 950) 1 000) 1 050) 1 100) 1 150) 1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是 ( C )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
2.(2024全国甲理,17,12分,易)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂
甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表:
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为
甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设p为升级改造后抽取的n件产品的优
√ p(1−p)
级品率,如果p>p+1.65 ,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150
n
件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(√150
≈12.247)北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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n(ad−bc) 2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
解析 (1)列联表如下:
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
150×(26×30−24×70) 2
K2= =4.687 5,
96×54×100×50
∵3.841<4.687 5<6.635,
∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、
乙两车间产品的优级品率存在差异.
96
(2)由题知p= =0.64,
150
√ p(1−p) √0.5×(1−0.5)
∵p=0.5,∴p+1.65 =0.5+1.65×
n 150
1.65×0.5 1.65×0.5
=0.5+ ≈0.5+ ≈0.567,
√150 12.247
√ p(1−p)
∵p>p+1.65 ,∴可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高
n
了.
考点1 抽样方法与总体分布的估计
1.(2022全国甲,文2,理2,5分,易)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为
了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类
知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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则 ( B )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
2.(2021全国甲,文2,理2,5分,易)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽
样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 ( C )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.(多选)(2021新高考Ⅰ,9,5分,易)有一组样本数据x ,x ,…,x ,由这组数据得到新样本数据
1 2 n
y ,y ,…,y ,其中y=x+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 ( CD )
1 2 n i i
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
4.(多选)(2021新高考Ⅱ,9,5分,易)下列统计量中可用于度量样本x ,x ,…,x 离散程度的有
1 2 n
( AC )
A.x ,x ,…,x 的标准差
1 2 n
B.x ,x ,…,x 的中位数
1 2 n
C.x ,x ,…,x 的极差
1 2 n
D.x ,x ,…,x 的平均数
1 2 n
5.(多选)(2023新课标Ⅰ,9,5分,中)有一组样本数据x ,x ,…,x ,其中x 是最小值,x 是最大值,
1 2 6 1 6
则 ( BD )
A.x ,x ,x ,x 的平均数等于x ,x ,…,x 的平均数
2 3 4 5 1 2 6北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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B.x ,x ,x ,x 的中位数等于x ,x ,…,x 的中位数
2 3 4 5 1 2 6
C.x ,x ,x ,x 的标准差不小于x ,x ,…,x 的标准差
2 3 4 5 1 2 6
D.x ,x ,x ,x 的极差不大于x ,x ,…,x 的极差
2 3 4 5 1 2 6
6.(2021全国乙,文17,理17,12分,中)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备
生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各
件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x和y,样本方差分别记为
s2和s2
.
1 2
(1)求x,y,s2 ,s2
;
1 2
y x
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 如果 - ≥2
√s2+s2
1 2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有
10
显著提高 .
1
解析 (1)x= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0.
10
1
y= (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.
10
1
s2= [(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-
1 10
10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036.
1
s2= [(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-
2 10
10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.
(2)由(1)得y-x=0.3,s2+s2=0.076,
1 2
2
( √s2+s2) 2
从而(y-x)2=0.09, 2 1 2 = (s2+s2 )=0.030 4.
5 1 2
10
2
( √s2+s2) √s2+s2
所以(y-x)2> 2 1 2 ,又y>x,故y-x>2 1 2,
10 10
因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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7.(2023新课标Ⅱ,19,12分,中)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的
某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分
布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于
或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);
误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生
的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
解析 (1)由题意知(c-95)×0.002=0.5%,(1分)
得c=97.5, (2分)
q(c)=0.01×2.5+5×0.002=0.035=3.5%. (4分)
(2)当c∈[95,100]时,
f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02.(7分)
当c∈(100,105]时,北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.
{−0.008c+0.82,95≤c≤100,
∴f(c)= (9分)
0.01c−0.98,100<c≤105,
由于f(c)在区间[95,100]单调递减,在区间(100,105]单调递增,(评分细则:该理由一定要写,
不写扣分) (10分)
∴f(c) =f(100)=0.02. (12分)
min
考点2 变量间的相关关系
1.(2023天津,7,5分,易)鸢是鹰科的一种鸟,《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天,鱼跃于渊”.
鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1),寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收集了若
干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm),绘制对应散点图(图2).
^
计算得样本相关系数为0.864 2,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为
y
=0.750
1x+0.610 5.根据以上信息,如下判断正确的为 ( C )
A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系
B.花萼长度与花瓣长度负相关
C.花萼长度为7 cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.861 2 cm
D.若选取其他品种鸢尾花进行抽样,所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为
0.864 2
2.(2020课标Ⅱ,文18,理18,12分,中)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动
物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从
这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x,y)
i i
(i=1,2,…,20),其中x和y分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物
i i
20 20 20 20
的数量,并计算得∑❑x=60, ∑❑y=1 200, ∑❑(x-x)2=80, ∑❑(y-y)2=
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
20
9 000,∑❑(x-x)(y-y)=800.
i i
i=1北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘地块数);
(2)求样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
i i
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地
区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
n n
∑❑(x −x)(y −y) ∑❑(x −x)(y −y)
i i i i
i=1 i=1
附:相关系数 r =,√2≈1.414.
√ n n √ n n
∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2 ∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
1 20
解析 (1)由已知得样本平均数y= ∑❑y=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值
20 i
i=1
为60×200=12 000.
(2)样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数
i i
20 20
∑❑(x −x)(y −y) ∑❑(x −x)(y −y)
i i i i
i=1 i=1 800 2√2
=r == = ≈0
√ 20 20 √ 20 20 √80×9000 3
∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2 ∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
.94.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.
理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地
块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样
的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得
该地区这种野生动物数量更准确的估计.
考点3 独立性检验
1.(2020新高考Ⅰ,19,12分,易)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气
质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM 和SO 浓度(单位:μg/m3),得下表:
2.5 2
SO
2
PM
2.5
[0,50] (50,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中PM 浓度不超过75,且SO 浓度不超过150”的概率;
2.5 2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
SO
2
PM
2.5
[0,150] (150,475]
[0,75]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 浓度与SO 浓
2.5 2
度有关.
n(ad−bc) 2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
解析 (1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM 浓度不超过75,且SO 浓度不超过150
2.5 2
的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM 浓度不超过75,且SO 浓度不超过
2.5 2
64
150的概率的估计值为 =0.64. (4分)
100
(2) 根据抽查数据,可得2×2列联表:
SO
2
PM
2.5
[0,150] (150,475]
[0,75] 64 16
(75,115] 10 10
(8分)
(3)根据(2)的列联表得
100×(64×10−16×10) 2
K2= ≈7.484.
80×20×74×26
由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM 浓度与SO 浓度有关. (12分)
2.5 2
2.(2020课标Ⅲ,文18,理18,12分,中)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空
气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):
锻炼人次 (200, (400,
[0,200]
空气质量等级 400] 600]
