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微专题二 概率与数列综合问题
1.(2024广东湛江一模,17)甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格,第2格,……,第25格,棋
子开始在第1格,盒中有5个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外都
相同).每次甲在盒中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两球颜色相同,棋子向前跳1
格;若两球颜色不同,棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋
子跳到第n格的概率为P (n=1,2,3,…,25).
n
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;
(2)证明:数列{P -P }(n=2,3,…,24)为等比数列.
n n-1
解析 (1)根据题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,
C2
1
C1C1
6 3
C2
3
P(X=0)= 2= ,P(X=1)= 2 3= = ,P(X=2)= 3= .可得X的分布列为
C2 10 C2 10 5 C2 10
5 5 5
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
1 3 3 6
所以E(X)=0× +1× +2× = .
10 5 10 5
2 3
(2)证明:由(1)知两球颜色相同的概率为 ,颜色不同的概率为 .
5 5
棋子在第1格为必然事件,则P =1,
1
2 3
棋子跳到第2格的概率为P = ,所以P -P =- ,
2 5 2 1 5
2 3
当3≤n≤24时,P = P + P ,
n 5 n-1 5 n-2
P −P 3
所以5(P -P )=-3(P -P ),所以 n n−1 =- ,
n n-1 n-1 n-2 P −P 5
n−1 n−2
3 3
所以数列{P -P }是以- 为首项,- 为公比的等比数列.
n n-1 5 5
2.(2024甘肃二诊,18)民间谚语“杨柳儿活,抽陀螺;杨柳儿青,放空钟;杨柳儿死,踢毽子”,
体现随着季节变化,可以进行不同的健身活动,其中踢毽子在我国流传很广,有着悠久的历
史.据考证,踢毽子起源于中国汉代,盛行于六朝、隋、唐.某市高中学校为弘扬传统文化,
增强学生身体素质,在高一年级开展了“人人参与”“团队竞赛”的踢毽子活动.在“人
人参与”的环节中记录高一年级700名学生每人每分钟踢毽子的次数,从中抽取100名
学生的成绩进行统计,如图所示,得到样本的频率分布直方图.将踢毽子每分钟次数样本数
据第60百分位数(精确到1),记为“达标”的指标界值.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(1)请根据样本数据,求高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值;
(2)“团体竞赛”规则为,每班选出由3名选手组成的代表队参赛,上场的甲、乙、丙3人,
由甲将毽子等可能地踢给另外两人中的1人,接到毽子的人再等可能地踢向另外两人中
的1人,如此不停地传下去,直到有选手没有接到毽子则比赛结束,记录此时的传踢个数作
为团队成绩.记第i(i∈N*)次传踢之前毽子在甲的概率为a,易知a =1,a =0.求第6次传踢前,
i 1 2
毽子传到甲的概率a ,并讨论第i次传踢前(i∈N*,且i≥3)毽子在甲、乙、丙三人中哪一人
6
的概率最大.
解析 (1)设高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值为x,分析得x∈[45,50),
依题意有(x-45)×0.06=0.6-(0.01+0.024+0.036+0.040)×5,
0.05
即x=45+ ≈46.
0.06
(2)设第i次传踢之前毽子在乙、丙的概率为b,c,
i i
由传递的对称性知b=c,又a+b+c=1,
i i i i i
1−a 1 1−a 1 1−a 1−a
则有b=c= i ,a = × i+ × i= i ,
i i 2 i+1 2 2 2 2 2
a 1 1 1( 1)
所以a =- i+ ,即有a - =- a − (i∈N*),
i+1 2 2 i+1 3 2 i 3
{ 1} 1 2 1 1 2( 1) i−1
所以 a − 为等比数列,其中首项为a - = ,公比为- ,即a- = − ,
i 3 1 3 3 2 i 3 3 2
1 2( 1) i−1 5
所以a= + − (i∈N*),a = ,
i 3 3 2 6 16
1 1
i为偶数时,a< ,b=c> ,毽子在乙、丙的概率较大,
i 3 i i 3
1 1
i为奇数时,a> ,b=c< ,毽子在甲的概率较大.
i 3 i i 3
3.(2024安徽皖南八校联考,18)现有甲、乙两个不透明盒子,都装有1个红球和1个白球,
这些球的大小、形状、质地完全相同.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(1)若从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,n(n∈N*)次这样的操作后,
记甲盒子中红球的个数为X .求X 的分布列与数学期望;
n 1
(2)现从甲中有放回地抽取n(n≥3)次,每次抽取1球,若在抽取次数不超过n次的情况下,抽
取到2次红球,则停止抽取,一直抽取不到2次红球,第n次抽取完也停止抽取,令抽取停止
n−1k(k−1) 9
时,抽取的次数为Y(Y=2,3,4,…,n),求Y的数学期望E(Y).并证明:E(Y)-∑ ❑ ≤ .
2k 4
k=2
解析 (1)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2,
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
且P(X =0)= × = ,P(X =1)= × + × = ,P(X =2)= × = ,
1 2 2 4 1 2 2 2 2 2 1 2 2 4
X 的分布列如下:
1
X 0 1 2
1
1 1 1
P
4 2 4
1 1 1
E(X )=0× +1× +2× =1.
1 4 2 4
(2)当Y<n时,P(Y=k)=C1
1
×
(1) k−2
×
1
=
k−1
(k=2,3,4,…,n-1),n≥3,
k−12 2 2 2k
( 1 2 n−2)
当Y=n时,P(Y=n)=1- + +…+ ,n≥3.
22 23 2n−1
1 2 n−2
记S = + +…+ ,
n 22 23 2n−1
1 1 2 n−2
则 S = + +…+ ,
2 n 23 24 2n
1 1
−
1 1 1 1 n−2 4 2n n−2 1 n
两式相减得 S = + +…+ - = - = - ,
2 n 22 23 2n−1 2n 1 2n 2 2n
1−
2
n n n
所以S =1- ,所以P(Y=n)=1-1+ = .
n 2n−1 2n−1 2n−1
n−1 n−1k(k−1) n2
所以E(Y)=∑ ❑kP(Y=k)+nP(Y=n)=∑ ❑ + ,
2k 2n−1
k=2 k=2
n−1k(k−1) n2
记a =E(Y)-∑ ❑ = (n≥3),
n 2k 2n−1
k=2
(n+1) 2−2n2 −(n−1) 2+2
则a -a = = ,
n+1 n 2n 2n北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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−(n−1) 2+2 9
当n≥3时, <0,所以a <a ,且a = ,
2n n+1 n 3 4
n−1k(k−1) 9
所以E(Y)-∑ ❑ ≤ 成立.
2k 4
k=2
4.(2024湖南部分学校大联考(二),18)将保护区分为面积大小相近的多个区域,用简单随机
抽样的方法抽取其中15个区域进行编号,统计抽取到每个区域的某种水源指标x和区域
i
15 15
内该植物分布的数量y(i=1,2,…,15),得到数组(x,y).已知∑❑(x −x) 2 =45, ∑❑(y-y)2=8
i i i i i
i=1 i=1
15
000,∑❑(x-x)(y-y)=480.
i i
i=1
(1)求样本(x,y)(i=1,2,…,15)的相关系数.
i i
(2)假设该植物的寿命为随机变量X(X可取任意正整数).研究人员统计大量数据后发现:
对于任意的k∈N*,寿命为k+1的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样
本在全体样本中的数量占比相同,均等于0.1,这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
(i)求P(X=k)(k∈N*)的表达式;
(ii)推导该植物寿命的期望E(X).
n
∑❑(x −x)(y −y)
i i
i=1
附:相关系数r= .
√ n n
∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2
i i
i=1 i=1
15 15 15
解析 (1)由∑❑(x −x) 2 =45, ∑❑(y −y) 2 =8 000, ∑❑(x-x)(y-y)=480,
i i i i
i=1 i=1 i=1
15
∑❑(x −x)(y −y)
i i
480
i=1
得相关系数r= = =0.8.
√ 15 15 √45×8000
∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2
i i
i=1 i=1
P(X=k+1)
(2)(i)依题意,P(X=1)=P(X=k+1|X>k)=0.1,又P(X=k+1|X>k)= ,则
P(X>k)
P(X=k+1)=0.1P(X>k)①,
当k≥2时,把k换成k-1,得P(X=k)=0.1P(X>k-1)②,
①-②,得P(X=k)-P(X=k+1)=0.1P(X=k),
P(X=k+1)
即 =0.9(k≥2),
P(X=k)
P(X=k+1)
又P(X=2)=0.1P(X>1)=0.1×(1-P(X=1))=0.9P(X=1),于是 =0.9对任意k∈N*都成
P(X=k)
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从而{P(X=k)}是首项为0.1,公比为0.9的等比数列,
所以P(X=k)=0.1×0.9k-1.
(ii)由定义知,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+…+kP(X=k)
=0.1×0.90+0.2×0.91+…+0.1×(k-1)×0.9k-2+0.1×k×0.9k-1
=0.1[0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1],
令T=1×0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1,
k
则0.9T=1×0.91+2×0.92+…+(k-1)×0.9k-1+k×0.9k,
k
两式相减得0.1T=1+0.91+0.92+…+0.9k-1-k×0.9k
k
1×(1−0.9k
)
= -k×0.9k=10-(k+10)×0.9k,
1−0.9
因此E(X)=10-k×0.9k-10×0.9k,当k足够大时,k×0.9k≈0,10×0.9k≈0,则E(X)≈10,可认为
E(X)=10.
所以该植物寿命的期望E(X)是10.
