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专题九 计数原理、概率与统计 ２ ４１
9.2 随机事件、古典概型与条件概率
学生用书P305
K +M( (
/
B1+"UF 1 "
B2&+ ( 6+ (U
K + ( 1 1
B3 "# E1 "# 1 " 1 #
P55 (+
B B4 "#/ E1 # 1 " U
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K L L２ ４２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
学生用书P306
题型 条件概率及全概率公式的应用 ． ． ． ． ，故从该厂这批产品中任取一件，取到次
００３＋０４×００２＝０ ０２３
品的概率为 ． ．
1.求条件概率的两种方法 ００２３
（ ）Ｘ的可能取值为 ， ， ， ，…， ，且Ｘ服从二项分布．
Ｐ ＡＢ ２ ０ １ ２ ３ １００
定义法 求出Ｐ Ａ 和Ｐ ＡＢ 得Ｐ Ｂ Ａ （ ）．
（１） ， （ ） （ ）， （ ｜ ）＝ Ｐ Ａ 由（ ）知，Ｐ（Ａ） ． ．
（ ） １ ＝００２３
基本事件法 借助古典概型概率公式 先求事件Ａ包含的 因为Ｘ Ｂ（ ， ． ），所以Ｅ（Ｘ） ． ． ．
（２） ， ， ～ １００ ００２３ ＝１００×００２３＝２３
样本点数ｎ Ａ 再求事件Ａ与事件Ｂ的交事件中包含的样本 例3 现有甲 乙 丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场．
（ ）， 、 ，
ｎ ＡＢ 已知甲 乙 丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分
点数ｎ ＡＢ 得Ｐ Ｂ Ａ （ ）． 、 、
（ ）， （ ｜ ）＝ ｎ Ａ
（ ）
别为 ２ ５ １ ．现有某质检部门对该产品进行质量检测 首先
2.全概率公式的应用 ， ， ，
３ ６ ２
（１） 一般地 ， 设Ａ １， Ａ ２，…， Ａ ｎ 是一组两两互斥的事件 ， Ａ １∪ Ａ ２ 从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂 ， 然后从该工厂生产
∪…∪ Ａ ｎ＝ Ω ， 且Ｐ （ Ａ ｉ）＞０， ｉ ＝１，２，…， ｎ ， 则对任意的事件Ｂ ⊆ 的产品抽取一件进行检测．
ｎ
Ω 有Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ｜ Ａ ． 若该质检部门的一次抽检中 测得的结果是该件产品为优
， （ ）＝ ∑ｉ＝
１
（ ｉ） （ ｉ） （
秀
１
等
）
级 求该件产品是从乙工厂抽
，
取的概率
一般是多种原因导致事件Ｂ的发生时 采用全概率公式． ， ；
（２） ， 因为三个工厂的规模大小不同 假设三个工厂进入市场的
例1 （多选）（ 重庆三校联考， ）对自然人群进行普查 发 （２） ，
２０２４ ９ ， 产品的比例为 若该质检部门从已经进入市场的产品
现患某病的概率Ｐ Ｃ ． ．为简化确诊手段 研究人员设计了 ２ ∶ １ ∶ １，
（ ）＝０００５ ， 中随机抽取 件产品进行检测 求能达到优秀等级的产品的件
一个简化方案 并进行了初步试验研究 该试验具有以下的效果 若 １０ ，
， ， ： 数ξ的分布列及数学期望．
以Ａ表示事件 试验反应为阳性 以Ｃ表示事件 被确诊为患病
“ ”， “ ”， 解析 （ ）设Ａ “抽的产品是优秀等级”，Ｂ “产品是从乙工
１ ＝ ＝
则有Ｐ Ａ Ｃ Ｐ Ａ Ｃ ． ．根据以上信息 下列判断正确的是
（ ｜ ）＝ （ ｜ ）＝０９５ ， 厂抽取”．
ＢＣ
（ ）
则Ｐ（Ａ） １ ２ １ ５ １ １ ２ ，
Ｐ Ｃ ． Ｐ ＡＣ ． ＝ × ＋ × ＋ × ＝
Ａ． （ ）＝０９５ Ｂ． （ ）＜０００５ ３ ３ ３ ６ ３ ２ ３
Ｐ Ａ Ｃ ． Ｐ Ｃ Ａ ．
Ｃ． （ ｜ ）＝００５ Ｄ． （ ｜ ）＝０１ １ ５
Ｐ（ＡＢ） ×
解析 因为Ｐ（Ｃ） ． ，所以Ｐ（Ｃ） ． ，故 错误；因 Ｐ（Ｂ Ａ） ３ ６ ５ ，
＝０ ００５ ＝ ０９９５ Ａ ｜ ＝ Ｐ（Ａ） ＝ ＝
２ １２
为Ｐ（Ａ Ｃ） ． ，所以Ｐ（Ａ Ｃ） Ｐ（Ａ Ｃ） ． （对立事件的
｜ ＝０９５ ｜ ＝１－ ｜ ＝００５ ３
概率和为 ），故 正确；
１ Ｃ 所以该件产品是从乙工厂抽取的概率为 ５ ．
因为Ｐ（ＡＣ） Ｐ（Ａ Ｃ）Ｐ（Ｃ） ． ． ． ． ，故
＝ ｜ ＝０ ９５×０ ００５＝０００４７５＜０ ００５ １２
正确； （ ）设从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率为ｐ，
Ｂ ２
由全概率公式可得Ｐ（Ａ） Ｐ（Ａ Ｃ）·Ｐ（Ｃ） Ｐ（Ａ Ｃ）·Ｐ（Ｃ）， 则ｐ ２ ２ １ ５ １ １ ２ ，
＝ ｜ ＋ ｜ ＝ × ＋ × ＋ × ＝
Ｐ（ＡＣ） ４ ３ ４ ６ ４ ２ ３
则 由 条 件 概 率 公 式 得 Ｐ （ Ｃ Ａ ） ( )
｜ ＝ Ｐ（Ａ） 由题意知：ξ Ｂ ，２ ，
～ １０
Ｐ（ＡＣ） ３
＝
Ｐ（Ａ Ｃ）Ｐ（Ｃ） Ｐ（Ａ Ｃ）Ｐ（Ｃ） Ｐ（ξ ｋ） ｋ
(
２
)ｋ
·
(
１
) １０－ ｋ
（ｋ ， ， ， ，…， ）．
｜ ＋ ｜ ＝ ＝Ｃ１０ ＝０ １ ２ ３ １０
． ． ３ ３
０９５×０００５ １９，故 错误．故选 ξ的分布列为
＝ ． ． ． ． ＝ Ｄ ＢＣ．
０９５×０００５＋００５×０９９５ ２１８
例2 （ 江西大联考， ）设某厂有甲 乙 丙三个车间生产 ξ
２０２４ １５ 、 、 ( ) ０ ( ) ( ) １ ( ) … ( １ ) ０ ( )
同一种产品 已知各车间的产量分别占全厂产量的 ％ ％ Ｐ ０ ２ ０ １ １０ １ ２ １ １ ９ １０ ２ １０ １ ０
， ３０ ，３０ ， Ｃ１０ Ｃ１０ … Ｃ１０
％ 并且各车间的次品率依次为 ％ ％ ％． ３ ３ ３ ３ ３ ３
４０ ， ２ ，３ ，２
从该厂这批产品中任取一件 求取到次品的概率 Ｅ（ξ） ２ ２０．
（１） ， ； ＝１０× ＝
从该厂这批产品中有放回地抽取 次 每次抽取 件 且 ３ ３
（２） １００ ， １ ，
每次抽取均相互独立 用Ｘ表示这 次抽取的零件中次品的
， １００ 创新知识交汇
总件数 试估计Ｘ的数学期望Ｅ Ｘ ．
， （ ） 例 （ 福建福州质量检测， ）甲 乙 丙三个地区分别有
解析 （ ）记事件Ａ为“任取一件产品，恰好是次品”，事件 ２０２４ ７ 、 、
１
Ｂ 为“取到甲车间生产的产品”，事件 Ｂ 为“取到乙车间生产 ｘ％ ， ｙ％ ， ｚ％的人患了流感 ， 且ｘ ， ｙ ， ｚ构成以 １ 为公差的等差数列．
的 １ 产品”，事件Ｂ ３ 为“取到丙车间生产的产 ２ 品”，则Ｐ（Ｂ １ ） ＝０ ． ３ ， 已 意 知 选 这 取 三 一 个 人 地 在 区 此 的 人 人 患 口 了 数 流 的 感 比 的 为 条 ５ 件 ∶ 下 ３ ∶ 此 ２， 人 现 来 从 自 这 甲 三 地 个 区 地 的 区 概 中任 率
Ｐ（Ｂ ） ． ，Ｐ（Ｂ ） ． ，Ｐ（Ａ Ｂ ） ． ，Ｐ（Ａ Ｂ ） ． ，
２ ＝０ ３ ３ ＝ ０ ４ ｜ １ ＝ ０ ０２ ｜ ２ ＝ ０ ０３ ， ，
Ｐ（Ａ Ｂ ） ． ， 最大 则ｘ的可能取值为 Ｄ
｜ ３ ＝００２ ， （ ）
． ．
所以由全概率公式得Ｐ（Ａ） ３ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ Ｂ） ． ． ． Ａ．１２１ Ｂ．１３４
＝ ∑ｉ＝
１
ｉ ｜ ｉ ＝０３×００２＋０３×
Ｃ．１
．
４９ Ｄ．１
．
５１
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ４３
解析 设事件Ｄ ，Ｄ ，Ｄ 分别为“此人来自甲、乙、丙三个地 ｘ
１ ２ ３ Ｐ（Ｄ Ｇ） ２ ＋４．因为在此人患了流感的条件下，此人来自甲
区”，事件Ｆ ，Ｆ ，Ｆ 分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、 ３｜ ＝ ｘ
１０ ＋７
１ ２ ３
丙地区”，事件Ｇ为“此人患了流感”． 地区的概率最大，
由ｘ，ｙ，ｚ构成以 为公差的等差数列知ｙ ｘ ，ｚ ｘ ．由题意 { ｘ ｘ ，
１ ＝ ＋１ ＝ ＋２ 所以 ５ ＞３ ＋３ 解得ｘ ３ ，故选
知，Ｐ（Ｆ ） ５ ｘ％ ５ ｘ ， ５ ｘ ＞２ ｘ ＋４ ， ＞ ２ Ｄ．
１ ＝ × ＝ 风向解读
５＋３＋２ １０００
同理Ｐ（Ｆ ） ３ ｘ ＋３，Ｐ（Ｆ ） ２ ｘ ＋４， 本题将条件概率与等差数列结合，在创设情境时，加强了数
２ ＝ １０００ ３ ＝ １０００ 学知识的内在联系与综合，考查了学科知识的综合应用能
ｘ
Ｐ（Ｇ） Ｐ（Ｆ Ｆ Ｆ ） １０ ＋７， 力，强调思维过程和思维方式，体现了新高考命题改革的变
＝ １∪ ２∪ ３ ＝
１０００ 化和趋势．
ｘ ｘ
所以Ｐ（Ｄ Ｇ） ５ ，Ｐ（Ｄ Ｇ） ３ ＋３，
１｜ ＝ ｘ ２｜ ＝ ｘ
１０ ＋７ １０ ＋７
学生用书P145 球的概率为 ３ ．
５
创新考法 （ 全国甲理， ， 分，难）有 个相同的球 分别标
２０２４ １６ ５ ６ ， 考点 2 事件的相互独立性 学生用书P145
有数字 从中无放回地随机取 次 每次取 个球．设ｍ
１，２，３，４，５，６， ３ ， １ １．（ 新高考 ， ， 分，中）有 个相同的球 分别标有数字
为前两次取出的球上数字的平均值 ｎ为取出的三个球上数字的平 ２０２１ Ⅰ ８ ５ ６ ，
， 从中有放回地随机取两次 每次取 个球．甲表
１，２，３，４，５，６， ， １
均值 则ｍ与ｎ之差的绝对值不大于１ 的概率为 ７ ． 示事件 第一次取出的球的数字是 乙表示事件 第二次取
， “ １”， “
２ １５
出的球的数字是 丙表示事件 两次取出的球的数字之和
２”， “
考点 1 随机事件和古典概型 学生用书P145 是 丁表示事件 两次取出的球的数字之和是 则
８”， “ ７”，
Ｂ
１．（ 新高考 ， ， 分，易）从 至 的 个整数中随机取 （ ）
２０２２ Ⅰ ５ ５ ２ ８ ７ ２
甲与丙相互独立 甲与丁相互独立
个不同的数 则这 个数互质的概率为 Ｄ Ａ． Ｂ．
， ２ （ ） 乙与丙相互独立 丙与丁相互独立
Ｃ． Ｄ．
１ １ １ ２ ２．（ 全国乙理， ， 分，中）某棋手与甲 乙 丙三位棋手各
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２０２２ １０ ５ 、 、
６ ３ ２ ３
比赛一盘 各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲 乙 丙比
２．（ 全国甲文， ， 分，易）某校文艺部有 名学生 其中高 ， 、 、
２０２３ ４ ５ ４ ，
赛获胜的概率分别为ｐ ｐ ｐ 且ｐ ｐ ｐ ．记该棋手连胜
一
、
高二年级各
２
名．从这
４
名学生中随机选
２
名组织校文艺 １， ２， ３， ３＞ ２＞ １＞０
两盘的概率为ｐ 则 Ｄ
汇演 则这 名学生来自不同年级的概率为 Ｄ ， （ ）
， ２ （ ）
ｐ与该棋手和甲 乙 丙的比赛次序无关
Ａ． 、 、
． １ ． １ ． １ ． ２ 该棋手在第二盘与甲比赛 ｐ最大
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ． ，
６ ３ ２ ３
３．（ 全国甲文， ， 分，中）从分别写有 的 张 Ｃ．
该棋手在第二盘与乙比赛
，
ｐ最大
２０２２ ６ ５ １，２，３，４，５，６ ６
该棋手在第二盘与丙比赛 ｐ最大
卡片中无放回随机抽取 张 则抽到的 张卡片上的数字之 Ｄ． ，
２ ， ２
３．（多选）（ 新课标 ， ， 分，难）在信道内传输 信
积是 的倍数的概率为 Ｃ ２０２３ Ⅱ １２ ５ ０，１
４ （ ）
号 信号的传输相互独立 发送 时 收到 的概率为α α
， ， ０ ， １ （０＜ ＜
Ａ． １ ５ Ｂ． １ ３ Ｃ． ２ ５ Ｄ． ２ ３ １）， 收到 ０ 的概率为 １－ α ； 发送 １ 时 ， 收到 ０ 的概率为β （０＜ β ＜
４．（ 江苏， ， 分，易）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛 １），
收到
１
的概率为
１－
β．考虑两种传输方案
：
单次传输和三次
２０２０ ４ ５
传输．单次传输是指每个信号只发送 次 三次传输是指每个
１ ；
掷 次 观察向上的点数 则点数和为 的概率是 １ ．
２ ， ， ５ 信号重复发送 次．收到的信号需要译码 译码规则如下 单次
９ ３ ， ：
５．（ 全国乙，文 ，理 ， 分，易）从甲 乙等 名同学中随 传输时 收到的信号即为译码 三次传输时 收到的信号中出现
２０２２ １４ １３ ５ 、 ５ ， ； ，
次数多的即为译码 例如 若依次收到 则译码为
机选 名参加社区服务工作 则甲 乙都入选的概率为 ３ ． （ ， １，０，１， １）
３ ， 、 ＡＢＤ
１０ （ ）
６．（ 全国甲理， ， 分，中）从正方体的 个顶点中任选 采用单次传输方案 若依次发送 则依次收到
２０２２ １５ ５ ８ ４ Ａ． ， １，０，１， １，０，１
的概率为 α β ２
个 则这 个点在同一个平面的概率为 ６ ． （１－ ）（１－ ）
， ４ 采用三次传输方案 若发送 则依次收到 的概率为
３５ Ｂ． ， １， １，０，１
７．（ 天津， ， 分，中）把若干个黑球和白球 这些球除颜 β β ２
２０２３ １３ ５ （ （１－ ）
色外没有其他差异 放进三个空箱子中．三个箱子中的球数之 采用三次传输方案 若发送 则译码为 的概率为β
） Ｃ． ， １， １ （１－
比为 且其中的黑球比例依次为 ％ ％ ％．若 β ２ β ３
５ ∶ ４ ∶ ６， ４０ ，２５ ，５０ ） ＋（１－ ）
从每个箱子中各随机摸出一球 则三个球都是黑球的概率为 当 α ． 时 若发送 则采用三次传输方案译码为 的
， Ｄ． ０＜ ＜０５ ， ０， ０
概率大于采用单次传输方案译码为 的概率
１ 若把所有球放在一起 然后随机摸出一球 则该球是白 ０
； ， ， ４．（ 全国甲理， ， 分，中）甲 乙两个学校进行体育比赛
２０ ２０２２ １９ １２ 、 ，
２ ４４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
比赛共设三个项目 每个项目胜方得 分 负方得 分 没有 已知该地区这种疾病的患病率为 ． ％ 该地区年龄位于
， １０ ， ０ ， （３） ０１ ，
平局．三个项目比赛结束后 总得分高的学校获得冠军．已知甲 区间 的人口占该地区总人口的 ％．从该地区中任选
， ［４０，５０） １６
学校在三个项目中获胜的概率分别为 ． ． ． 各项目的 一人 若此人的年龄位于区间 求此人患这种疾病的
０５，０ ４，０ ８， ， ［４０，５０），
比赛结果相互独立． 概率 以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者
（
求甲学校获得冠军的概率 的年龄位于该区间的概率 精确到 ． ．
（１） ； ， ００００１）
用Ｘ表示乙学校的总得分 求Ｘ的分布列与期望． 解析 平均年龄为 ． ． ．
（２） ， （１） （５×０００１＋１５×０００２＋２５×００１２＋３５×
解析 记 甲学校在第ｉ个项目获胜 为事件Ａ ｉ ． ． ． ． ． ．
（１） “ ” ｉ（ ＝１， ００１７＋４５×００２３＋５５×０ ０２０＋６５×０ ０１７＋７５×０００６＋８５×０００２）
甲学校获得冠军 为事件Ｅ． ． 岁 ．
２，３），“ ” ×１０＝４７９（ ）
设事件Ａ为 该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
则Ｐ Ｅ Ｐ Ａ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ａ Ａ （２） “
（ ）＝ （ １ ２ ３）＋ （ １ ２ ３）＋ （ １ ２ ３）＋ （ １ ２ ３）＝ Ｐ Ａ ． ． ． ． ．
［２０，７０）”， （ ）＝（０ ０１２＋０ ０１７＋０ ０２３＋０ ０２０＋０ ０１７）×１０＝
１ ２ ４ １ ２ １ １ ３ ４ １ ２ ４ ３ ． ． 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
× × ＋ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ０８９，∴ ［２０，
２ ５ ５ ２ ５ ５ ２ ５ ５ ２ ５ ５ ５
的概率为 ． ．
７０） ０８９
甲学校获得冠军的概率为 ３ ． 设事件Ｂ 任选一人年龄位于区间 事件Ｃ
∴ （３） ＝“ ［４０，５０）”， ＝
５
任选一人患这种疾病 由条件概率公式可得
（２） 记 “ 乙学校在第ｊ个项目获胜 ” 为事件Ｂ ｊ（ ｊ ＝１，２，３） ．Ｘ的 “ ”，
Ｐ ＢＣ ． ％ ． ． ．
所有可能取值为 ． Ｐ Ｃ Ｂ （ ） ０１ ×００２３×１０ ０００１×０２３
０，１０，２０，３０ （ ｜ ） ＝ Ｐ Ｂ ＝ ％ ＝ ． ＝
（ ） １６ ０１６
则Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ｂ Ｂ １ ２ ４ ４ ． ． ．
（ ＝０）＝ （ １ ２ ３）＝ × × ＝ ， ０００１４３７５≈０００１４
２ ５ ５ ２５ ３．（ 新高考 ， ， 分，中）一医疗团队为研究某地的一种
２０２２ Ⅰ ２０ １２
Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ｂ Ｂ Ｐ Ｂ Ｂ Ｂ Ｐ Ｂ Ｂ Ｂ
（ ＝１０）＝ （ １ ２ ３）＋ （ １ ２ ３）＋ （ １ ２ ３） 地方性疾病与当地居民的卫生习惯 卫生习惯分为良好和不
（
１ ２ ４ １ ３ ４ １ ２ １ １１ 够良好两类 的关系 在已患该疾病的病例中随机调查了
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ， ） ， １００
２ ５ ５ ２ ５ ５ ２ ５ ５ ２５ 例 称为病例组 同时在未患该疾病的人群中随机调查了
（ ），
Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ｂ Ｂ Ｐ Ｂ Ｂ Ｂ Ｐ Ｂ Ｂ Ｂ 人 称为对照组 得到如下数据
（ ＝２０）＝ （ １ ２ ３）＋ （ １ ２ ３）＋ （ １ ２ ３） １００ （ ）， ：
１ ３ ４ １ ２ １ １ ３ １ １７ 不够良好 良好
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ，
２ ５ ５ ２ ５ ５ ２ ５ ５ ５０
病例组
４０ ６０
Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ｂ Ｂ １ ３ １ ３ ．
（ ＝３０）＝ （ １ ２ ３）＝ × × ＝ 对照组
２ ５ ５ ５０ １０ ９０
Ｘ的分布列为
∴ 能否有 ％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体
（１） ９９
Ｘ 的卫生习惯有差异
０ １０ ２０ ３０ ？
从该地的人群中任选一人 Ａ表示事件 选到的人卫生习
Ｐ ４ １１ １７ ３ （２） ， “
Ｐ Ｂ Ａ
２５ ２５ ５０ ５０ 惯不够良好 Ｂ表示事件 选到的人患有该疾病 （ ｜ ）与
”， “ ”，
Ｐ Ｂ Ａ
（ ｜ ）
Ｅ Ｘ ４ １１ １７ ３ ．
∴ （ ）＝０× ＋１０× ＋２０× ＋３０× ＝１３ Ｐ Ｂ Ａ
２５ ２５ ５０ ５０ （ ｜ ）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的
考点 3 条件概率与全概率公式 学生用书P146 Ｐ Ｂ Ａ
（ ｜ ）
一项度量指标 记该指标为Ｒ．
１．（ 全国甲理， ， 分，中）某地的中学生中有 ％的同学爱 ，
２０２３ ６ ５ ６０
Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ
好滑冰 ％的同学爱好滑雪 ％的同学爱好滑冰或爱好滑 证明 Ｒ （ ｜ ） （ ｜ ）
，５０ ，７０ （ｉ） ： ＝ · ；
Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ
雪．在该地的中学生中随机调查一位同学 若该同学爱好滑 （ ｜ ） （ ｜ ）
，
雪 则该同学也爱好滑冰的概率为 Ａ 利用该调查数据 给出Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ 的估计值 并利
， （ ） （ｉｉ） ， （ ｜ ）， （ ｜ ） ，
． ． ． ． 用 的结果给出Ｒ的估计值．
Ａ．０８ Ｂ．０６ Ｃ．０５ Ｄ．０４ （ｉ）
２．（ 新高考 ， ， 分，中）在某地区进行流行病学调查 ｎ ａｄ ｂｃ ２
２０２２ Ⅱ １９ １２ ， 附 Ｋ２ （ － ）
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ，
随机调查了 位某种疾病患者的年龄 得到如下的样本数 （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
１００ ，
据的频率分布直方图 Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
： （ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１ ．
ｋ ． ． ．
３８４１ ６６３５ １０８２８
２
解析 由题中数据可知Ｋ２ ２００×（４０×９０－１０×６０）
（１） ＝ ＝２４
１００×１００×５０×１５０
． 所以有 ％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病
＞６６３５， ９９
群体的卫生习惯有差异．
Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ
估计该地区这种疾病患者的平均年龄 同一组中的数据 证明 因为Ｒ （ ｜ ） （ ｜ ） （ ） （ ）
（１） （ （２）（ｉ） ： ＝ · ＝ Ｐ Ａ · ·
用该组区间的中点值为代表 Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ａ （ ） Ｐ ＢＡ
）； （ ｜ ） （ ｜ ） （ ）
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 Ｐ ＢＡ Ｐ Ａ Ｐ ＡＢ Ｐ ＢＡ
（２） ［２０，７０） （ ） （ ） （ ）· （ ）
的概率 Ｐ Ａ · Ｐ ＢＡ ＝ Ｐ ＢＡ Ｐ ＢＡ ，
； （ ） （ ） （ ）· （ ）
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ４５
( Ｐ（ＡＢ）)
注意Ｐ（Ｂ Ａ） 由题表中数据可知 Ｐ Ａ Ｂ ４０ ２ Ｐ Ａ Ｂ １０
｜ ＝ Ｐ（Ａ） （ｉｉ） （ ｜ ）＝ ＝ ， （ ｜ ）＝ ＝
１００ ５ １００
且 Ｐ Ｐ （ Ａ Ａ ｜ Ｂ Ｂ ） · Ｐ Ｐ （ Ａ Ａ ｜ Ｂ Ｂ ） ＝ Ｐ Ｐ （ （ Ａ Ｂ Ｂ ） ） · Ｐ Ｐ （ Ａ Ｂ Ｂ ） · Ｐ Ｐ （ Ａ Ｂ Ｂ ） · Ｐ Ｐ （ Ａ Ｂ Ｂ ） １ １ ０ ， Ｐ （ Ａ ｜ Ｂ ）＝ １ ６ ０ ０ ０ ＝ ５ ３ ， Ｐ （ Ａ ｜ Ｂ ）＝ １ ９ ０ ０ ０ ＝ １ ９ ０ ，
（ ｜ ） （ ｜ ） （ ） （ ） （ ）
２ ９
Ｐ ＡＢ Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ
（ ）· （ ） 所以Ｒ （ ｜ ） （ ｜ ） ５ １０ ．
＝ Ｐ （ ＡＢ ）· Ｐ （ ＡＢ ） ， ＝ Ｐ （ Ａ ｜ Ｂ ） · Ｐ （ Ａ ｜ Ｂ ） ＝ ３ × １ ＝６
Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ ５ １０
所以Ｒ （ ｜ ） （ ｜ ）．
＝ ·
Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ
（ ｜ ） （ ｜ ）
易 用 卦 描述万物的变化 每一 重卦 由从下到上排列的
学生用书P148 》 “ ” ， “ ” ６
个爻 组 成 爻 分 为 阳 爻 和 阴 爻
１．（ 山东济南一模， ）某公司现有员工 人 在荣获 优 ， “ ”
２０２４ ３ １２０ ， “ 下图就是一重卦 在所有重卦中随机取一
秀员工 称号的 人中 有 人是高级工程师．既没有荣获 “ ”， ，
” ８５ ， ７５ 重卦 记事件Ａ 取出的重卦中至少有 个阴爻 事件Ｂ
优秀员工 称号又不是高级工程师的员工共有 人 公司将 ， ＝“ １ ”， ＝
“ ” １４ ， 取出的重卦中至少有 个阳爻 ．则Ｐ Ｂ Ａ Ｃ
随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访 被选中的员工 “ ３ ” （ ｜ ）＝ （ ）
，
是高级工程师的概率为 Ｃ
（ ）
３ １７ ４ ３３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
８ ２４ ５ ４０
２．（ 河北唐山一模， ）从正方体的 个顶点中任取 个连
２０２４ ５ ８ ３
接构成三角形 则能构成正三角形的概率为 Ａ ５ １１
， （ ） Ａ． Ｂ．
１６ ３２
１ １ ２ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４１ １５
７ １４ ７ ３５ Ｃ． Ｄ．
３．（ 浙江温州三模， ）设Ａ Ｂ为同一试验中的两个随机事件 ６３ ６４
２０２４ ３ ， ， ８．（ 湘豫联考二模， ）某单位选派一支代表队参加市里的
则 Ｐ Ａ Ｐ Ｂ 是 事件Ａ Ｂ互为对立事件 的 Ｂ ２０２４ ５
“ （ ）＋ （ ）＝１” “ ， ” （ ） 辩论比赛 现有 初心 使命 两支预备队．选哪支队是随机
充分不必要条件 ， “ ”“ ”
Ａ． 的 其中选 初心 队获胜的概率为 ． 选 使命 队获胜的概
必要不充分条件 ， “ ” ０ ８， “ ”
Ｂ． 率为 ． 单位在比赛中获胜的条件下 选 使命 队参加比赛
充要条件 ０７， ， “ ”
Ｃ． 的概率为 Ｄ
既不充分也不必要条件 （ ）
Ｄ．
４．（ 安徽合肥二模， ）甲 乙两名乒乓球运动员进行一场比 ２ ２
Ａ． Ｂ．
２０２４ ４ 、
９ ５
赛 采用 局 胜制 先胜 局者胜 比赛结束 已知每局比赛
， ７ ４ （ ４ ， ），
８ ７
Ｃ． Ｄ．
甲获胜的概率均为１ 则甲以 比 获胜的概率为 Ｃ １５ １５
２
， ４ ２ （ ） ９．（ 广东湛江一模， ）在一次考试中有一道 个选项的双选
２０２４ ８ ４
１ ３ ５ １５ 题 其中 和 是正确选项 和 是错误选项 甲 乙两名同学
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ， Ｂ Ｃ ，Ａ Ｄ ， 、
６４ ３２ ３２ ６４ 都完全不会这道题目 只能在 个选项中随机选取两个选项．设事
５．（ 第二次联考， ）甲 乙 丙 丁 戊 位同学报名参加 ， ４
２０２４ Ｔ８ ５ 、 、 、 、 ５ 件Ｍ 甲 乙两人所选选项恰有一个相同 事件Ｎ 甲 乙两人
学校举办的三项不同活动 每人只能报其中一项活动 每项活 ＝“ 、 ”， ＝“ 、
， ， 所选选项完全不同 事件Ｘ 甲 乙两人所选选项完全相同
动至少有一个人参加 则甲 乙 丙三位同学所报活动各不相 ”， ＝“ 、 ”，
， 、 、 事件Ｙ 甲 乙两人均未选择 选项 则 Ｃ
同的概率为 Ｃ ＝“ 、 Ｂ ”， （ ）
（ ） 事件Ｍ与事件Ｎ相互独立
Ａ．
５ ６ 事件Ｘ与事件Ｙ相互独立
Ａ． Ｂ． Ｂ．
１８ ２５ 事件Ｍ与事件Ｙ相互独立
Ｃ．
９ ８ 事件Ｎ与事件Ｙ相互独立
Ｃ． Ｄ． Ｄ．
２５ ９
６．（ 河南郑州二模， ）在某次测试中 若甲 乙 丙三人获得 １０．（多选）（ 湖南师大附中月考七， ）一口袋中有除颜色外
２０２４ ９
２０２４ ６ ， 、 、
完全相同的 个红球和 个白球 从中无放回地随机取两
优秀等级的概率分别是 ． ． 和 ． 且三人的测试结果相
３ ２ ，
０ ５，０６ ０ ７，
互独立 测试结束后 在甲 乙 丙三人中恰有两人没有达到优
次 每次取 个球 记事件Ａ 第一次取出的是红球 事件Ａ
， ， 、 、
， １ ， １： ； ２：
秀等级的条件下 乙达到优秀等级的概率为 Ｃ 第一次取出的是白球 事件Ｂ 取出的两球同色 事件Ｃ 取出
， （ ） ； ： ； ：
的两球中至少有一个红球 则 ＡＣＤ
５ ７ ， （ ）
Ａ． Ｂ． 事件Ａ Ａ 互斥
８ ８ Ａ． １， ２
事件Ｂ Ｃ相互独立
９ ２０ Ｂ． ，
Ｃ． Ｄ．
２９ ２９ Ｐ Ｂ ２
７．（ 东北三省四市联考质量检测二， ）我国古代典籍 周 Ｃ． （ ）＝
２０２４ ６ 《 ５
２ ４６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
Ｐ Ｃ Ａ ３ ξ
Ｄ． （ ｜ ２）＝ ０ １ ２ ３
４
１１．（ 山东枣庄 月模拟， ）盒子内装有编号为 Ｐ ７ １１ ２９ ５
２０２４ ３ １４ １，２，３，…，
的 个除编号外完全相同的玻璃球．从中任取三球 则其 ７２ ３２ ７２ ３２
１０ １０ ，
学生用书P150
编号之和能被 整除的概率为 ７ ．
３
２０ １．（ 山东菏泽一模， ）若数列 ａ 的通项公式为 ａ
１２．（ 江苏、浙江部分学校大联考， ）有 台车床加工同一 ２０２４ ８ ｛ ｎ｝ ｎ ＝
型
２
号
０２
的
４
零件 第 台加工的次品率为
１３
％ 第
３
台加工的次 （－１）
ｎ －１ｎ
，
记在数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ
＋２（
ｎ
∈
Ｎ
）
项中任取两数都是
， １ ６ ， ２，３ 正数的概率为Ｐ 则 Ｃ
品率均为 ％．加工出来的零件混放在一起 已知第 台 ｎ， （ ）
５ ， １，２，３
车床加工的零件数分别占总数的 ％ ％ ％．任取一个 Ｐ ２ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ
２５ ，３０ ，４５ Ａ． １＝ Ｂ． ９＜ １０ Ｃ． １０＜ １１ Ｄ． １１＜ １２
零件 如果取到的零件是次品 则它是第 台车床加工的概 ３
， ， ２ ２．（ 浙江杭州学军中学适应性测试， ）小蒋同学喜欢吃饺
２０２４ ６
率为 ２ ． 子．某日他前往食堂购买 个饺子 其中有Ｘ个为香菇肉馅
１６ ， ，
７
１３．（ 湖北黄冈中学三模， ）某校高三年级拟派出甲 乙 其余为玉米肉馅 且Ｐ Ｘ ｉ １ ｉ ．在小蒋吃到
２０２４ １７ 、 、 ， （ ＝ ）＝ ， ＝０，１，…，１６
丙三人去参加校运动会 跑项目．比赛分为初赛和决赛 １７
１００ｍ ， 的前 个饺子均为玉米肉馅的条件下 这 个饺子全部为
其中初赛有两轮 只有两轮都获胜才能进入决赛 已知甲在 １３ ， １６
， ， 玉米肉馅的概率为 Ｃ
（ ）
每轮比赛中获胜的概率均为 ３ 乙在第一轮和第二轮比赛中
； ４ １３ １４ ５
４ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ １６ １７ ６
获胜的概率分别为 ２ 和 ３ 丙在第一轮和第二轮获胜的概 ３．（多选）（ 广东广州一模， ）甲箱中有 个红球和 个白
； ２０２４ １０ ３ ２
３ ４ 球 乙箱中有 个红球和 个白球 两箱中的球除颜色外 没
， ２ ２ （ ，
率分别为ｐ和 ３ ｐ 其中 １ ｐ ３ ． 有其他区别 ．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱 分别用事
－ ， ＜ ＜ ） ，
２ ２ ４
件Ａ 和Ａ 表示从甲箱中取出的球是红球和白球 再从乙箱
（１） 甲 、 乙 、 丙三人中 ， 谁进入决赛的可能性最大 ； １ ２ ；
中随机取出两球 用事件Ｂ表示从乙箱中取出的两球都是红
，
若甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为２９ 求ｐ
（２） 、 、 ， 球 则 ＡＢＤ
７２ ， （ ）
的值
； Ｐ Ａ ３ Ｐ Ｂ １１
在 的条件下 设进入决赛的人数为ξ 求ξ的分布列．
Ａ． （ １）＝
５
Ｂ． （ ）＝
５０
（３） （２） ， ，
( )
解析 （１） 甲进入决赛的概率为ｐ １＝ ３ ２ ＝ ９ ， 乙进入 Ｃ． Ｐ （ Ｂ ｜ Ａ １）＝ ５ ９ ０ Ｄ． Ｐ （ Ａ ２｜ Ｂ ）＝ １ ２ １
４ １６
４．（多选）（ 福建九地市质量检测， ）投掷一枚质地均匀的
决赛的概率为 ｐ ２ ３ １ 丙进入决赛的概率为 ｐ ２０２４ １１
２＝ × ＝ ， ３＝ { 第ｎ次投出正面
３ ４ ２ 硬币三次 设随机变量 Ｘ １， ， ｎ
ｐ
(
３ ｐ
)
ｐ２ ３ ｐ
(
ｐ ３
)
２ ９ 而 １ ｐ ３ 故 ｐ
， ｎ＝
－１，
第ｎ次投出反面
，
（ ＝１，２，
－ ＝－ ＋ ＝－ － ＋ ， ＜ ＜ ， ３＜ ．记Ａ表示事件 Ｘ Ｘ Ｂ表示事件 Ｘ Ｃ表示事
２ ２ ４ １６ ２ ４ ３） “ １＋ ２＝０”， “ ２＝１”，
件 Ｘ Ｘ Ｘ 则 ＢＣ
９
，
所以甲进入决赛的可能性最大． “ １＋ ２＋ ３＝－１”， （ ）
１６ Ｂ和Ｃ互为对立事件 事件Ａ和Ｃ不互斥
Ａ． Ｂ．
甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ９ １ 事件Ａ和Ｂ相互独立 事件Ｂ和Ｃ相互独立
（２） 、 、 × × Ｃ． Ｄ．
１６ ２ ５．（多选）（ 湖南长沙一中月考七， ）甲 乙两同学参加普
[ ( )] ( ) ( ) ( ) ２０２４ １１ 、
ｐ ３ ｐ ９ １ ｐ ３ ｐ ９ １ 法知识对抗赛 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．
１－ － ＋ × １－ － ＋ １－ × × ，
２ １６ ２ ２ １６ ２ 若回答正确 得 分 答题继续 若回答错误 得 分 同时换
( ) ， １ ， ； ， ０ ，
ｐ ３ ｐ ２９ 整理可得 ｐ２ ｐ ． 成对方进行下一轮答题．据经验统计 甲 乙每次答题正确的
－ ＝ ， １８ －２７ ＋１０＝０ ， 、
２ ７２
概率分别是 １ 和 ２ 且第 题的顺序由抛掷硬币决定 设第ｉ
由 １ ｐ ３ 解得ｐ ２ ． ， １ ，
＜ ＜ ， ＝ ２ ３
２ ４ ３
次答题者是甲的概率为Ｐ 第ｉ次回答问题结束后甲的得分
由题意可知 甲 乙 丙进入决赛的概率分别为 ９ １
ｉ，
（３） ， 、 、 、 、 是Ｋ 则 ＢＣＤ
１６ ２ ｉ， （ ）
５ 由题意可知 随机变量ξ的可能取值为 Ｐ １
， ， ０、１、２、３， Ａ． ２＝
９ ４
Ｐ ξ ７ １ ４ ７ Ｐ ξ ２９ Ｐ ξ ９ １ Ｐ Ｋ ５
（ ＝０）＝ × × ＝ ， （ ＝２）＝ ， （ ＝３）＝ × × Ｂ． （ ２＝１）＝
１６ ２ ９ ７２ ７２ １６ ２ ２４
( ) ( ) ( )
５ ５ Ｐ ξ ９ １ ５ ９ １ Ｐ １ Ｐ １
＝ ， （ ＝１）＝ × １－ × １－ ＋ １－ × × Ｃ． ｉ ＋１＝ ｉ＋
９ ３２ １６ ２ ９ １６ ２ ６ ３
( ) ( ) ( )
５ ９ １ ５ １１ Ｅ Ｋ １ Ｐ Ｋ ｉ
１－ ＋ １－ × １－ × ＝ ， Ｄ． （ ｉ）＝ ｉ＋ ｉ －１（ ≥２）
９ １６ ２ ９ ３２ ２
所以随机变量ξ的分布列如表． ６．（多选）（ 江苏南京、盐城一模， ）有ｎ ｎ Ｎ ｎ
２０２４ １０ （ ∈ ， ≥１０）
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ４７
个编号分别为 ｎ的盒子 号盒子中有 个白球和 所以Ｘ的分布列为
１，２，３，…， ，１ ２
个黑球 其余盒子中均有 个白球和 个黑球．现从 号盒
１ ， １ １ １ Ｘ
０ １ ２
子任取一球放入 号盒子 再从 号盒子任取一球放入 号
２ ； ２ ３
盒子 以此类推 记 从ｉ号盒子取出的球是白球 为事 Ｐ １ １ １
；……； ， “ ”
件Ａ ｉ ｎ 则 ＢＣ ６ ２ ３
ｉ（ ＝１，２，３，…， ）， （ ）
故Ｘ的均值为Ｅ Ｘ １ １ １ ７ ． 分
Ｐ Ａ Ａ １ Ｐ Ａ Ａ ４ （ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝ （５ ）
Ａ． （ １ ２）＝ Ｂ． （ １｜ ２）＝ ６ ２ ３ ６
３ ５
设第一局比赛甲获胜为事件Ｂ．
（２）
Ｃ． Ｐ （ Ａ １＋ Ａ ２）＝ ９ ７ Ｄ． Ｐ （ Ａ １０）＝ ２ １ 则Ｐ （ Ｂ ｜ Ｘ ＝０）＝０， Ｐ （ Ｂ ｜ Ｘ ＝１）＝ Ｐ （ Ｂ ）， Ｐ （ Ｂ ｜ Ｘ ＝２）＝１ ． （７ 分 ）
７．（ 湖北武汉二调， ） 布朗运动 是指微小颗粒永不停息
２０２４ １４ “ ” 由 知 Ｐ Ｘ １ Ｐ Ｘ １ Ｐ Ｘ １
（１） ， （ ＝０）＝ ， （ ＝１）＝ ， （ ＝２）＝ ，
的无规则随机运动 在如图所示的试验容器中 容器由三个仓 ６ ２ ３
， ，
由全概率公式 得 Ｐ Ｂ Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ｘ
组成 某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机 ， （ ） ＝ （ ＝ ０） （ ｜ ＝ ０） ＋
，
选择一个到达相邻仓或者容器外 一旦粒子到达容器外就会 Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ｘ １ １ Ｐ Ｂ
， （ ＝１） （ ｜ ＝１）＋ （ ＝２） （ ｜ ＝２）＝ ×０＋ （ ）＋
被外部捕获装置所捕获 此时试验结束．已知该粒子初始位置 ６ ２
，
在 号仓 则试验结束时该粒子是从 号仓到达容器外的概 １ 分
１ ， １ ， （９ ）
３
率为 １０ ．
解得Ｐ Ｂ ２ 即第一局比赛甲获胜的概率ｐ ２ ． 分
１３ （ ）＝ ， ０＝ （１０ ）
３ ３
由 知ｐ ２ 故估计甲每局获胜的概率均 ２
（３） （２） ０＝ ， ，
３ ３
设甲获胜时的比赛总局数为 Ｙ 因为每局的比赛结果相互
，
独立
８．（ 福建高中毕业班适应性考试， ） 分制乒乓球比赛规 ，
２０２４ １７ １１ ( ) ( )
则如下 ： 在一局比赛中 ， 每两球交换发球权 ， 每赢一球得 １ 分 ， 所以Ｐ （ Ｙ ＝３）＝ ２ ３ ＝ ８ ， Ｐ （ Ｙ ＝４）＝Ｃ １ ３× ２ ３ × １ ＝ ８ ，
先得 分且至少领先 分者胜 该局比赛结束 当某局比分 ３ ２７ ３ ３ ２７
１１ ２ ， ； ( ) ３ ( ) ２
打成 后 每球交换发球权 领先 分者胜 该局比赛结 Ｐ Ｙ ２ ２ １ １６． 分
１０ ∶ １０ ， ， ２ ， （ ＝５）＝Ｃ４× × ＝ （１４ ）
３ ３ ８１
束．现有甲 乙两人进行一场五局三胜 每局 分制的乒乓球
、 、 １１ 故该场比赛甲获胜的概率Ｐ Ｐ Ｙ Ｐ Ｙ Ｐ Ｙ
＝ （ ＝３）＋ （ ＝４）＋ （ ＝５）＝
比赛 比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先
，
６４． 分
（１５ ）
发球 假设甲发球时甲得分的概率为 ２ 乙发球时甲得分的概 ８１
，
３
， ９．（ 浙江丽水、湖州、衢州二模， ）为保护森林公园中的珍
２０２４ １９
稀动物 采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识
率为 １ 各球的比赛结果相互独立 且各局的比赛结果也相互 ，
， ，
２ 别．若该区域有珍稀动物活动 该型号监测器能正确识别的概
，
独立 已知第一局目前比分为 ．
， １０ ∶ １０ 率 即检出概率 为ｐ 若该区域没有珍稀动物活动 但监测
求再打两个球甲新增的得分Ｘ的分布列和均值
器
（
认为有珍稀动
）
物活
１
动
；
的概率 即虚警概率 为ｐ ．已
，
知该指
（１） ；
（ ） ２
求第一局比赛甲获胜的概率ｐ 定区域有珍稀动物活动的概率为 ． 现用 台该型号的监测
（２） ０； ０２， ２
现用ｐ 估计每局比赛甲获胜的概率 求该场比赛甲获胜 器组成监测系统 每台监测器 功能一致 进行独立监测识别
（３） ０ ， ， （ ） ，
的概率． 若任意一台监测器识别到珍稀动物活动 则该监测系统就判
，
解析 依题意 Ｘ的所有可能取值为 ． 分 定指定区域有珍稀动物活动．
（１） ， ０，１，２ （１ ）
若ｐ ． ｐ ． ．
设打成
１０ ∶ １０
后甲先发球为事件Ａ
，
则乙先发球为事件Ａ
，
且 （１） １＝０８， ２＝００２
在该区域有珍稀动物活动的条件下 求该监测系统判定指定
（ｉ） ，
Ｐ Ａ Ｐ Ａ １
（ ）＝ （ ）＝ ， 区域有珍稀动物活动的概率
２ ；
在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下 求指定区域
（ｉｉ） ，
所以Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ｐ Ｘ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｘ Ａ １
（ ＝０）＝ （ ）· （ ＝０｜ ）＋ （ ）· （ ＝０｜ ）＝ 实际没有珍稀动物活动的概率 精确到 ． ．
２ （ ０００１）
若监测系统在监测识别中 当 ． ｐ ． 时 恒满足以
１ １ １ １ １ １ 分 （２） ， ０ ８≤ １≤０９ ，
× × ＋ × × ＝ ， （２ ） 下两个条件 若判定有珍稀动物活动时 该区域确有珍稀动
３ ２ ２ ２ ３ ６ ：① ，
æ 物活动的概率至少为 ． 若判定没有珍稀动物活动时 该
０ ９；② ，
Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ｐ Ｘ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｘ Ａ １ ç １
（ ＝１）＝ （ ）· （ ＝１｜ ）＋ （ ）· （ ＝１｜ ）＝ × è 区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为 ． ．求 ｐ 的范围
２ ３ ０ ９ ２
精确到 ． ．
ö æ ö （ ０００１）
× ２ １ ＋ ３ ２ × ２ １ ø ÷ ＋ ２ １ × è ç ２ １ × ３ １ ＋ ２ １ × ３ ２ ø ÷ ＝ ２ １ ． （３ 分 ） æ è ç参考数据 ： ３５ ． ０４ ＝０ ． ９８６ ６， ３５ ． ０１ ＝ ０ ． ９８６１，０ ． ９８ ２ ＝
６ ６
Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ｐ Ｘ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｘ Ａ １ ２ ö
（ ＝２）＝ （ ）· （ ＝２｜ ）＋ （ ）· （ ＝２｜ ）＝ × ×
２ ３ ． ÷
０９６０４ø
１ １ １ ２ １ ． 分
＋ × × ＝ （４ ） 解析 记事件Ａ为 检测系统判定指定区域有珍稀动物活
２ ２ ２ ３ ３ “
２ ４８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
动 事件Ｂ为 监测区域实际上有珍稀动物活动． 分 令 ｐ ｘ ｐ ｙ 得 ． ｐ ． ｐ
”， “ ” （２ ） １－ １＝ ，１－ ２＝ ， ０８≤ １≤０９，０＜ ２＜１，
Ｐ ＡＢ ． ｐ ２ 故 ． ｘ ． ｙ
Ｐ Ａ Ｂ （ ） ０２×［１－（１－ １） ］ ． ． ０１≤ ≤０２，０＜ ＜１，
（１）（ｉ） （ ｜ ）＝ Ｐ
（
Ｂ
）
＝
０
．
２
＝０９６ ì
ï ０
．
２×（１－
ｘ２
） ．
因此在该区域有珍稀动物活动的条件下 该监测系统判定指 ï ． ｙ２ ． ｘ２ ≥０９， { ｙ２ ｘ２
， í０８×（１－ ）＋０２×（１－ ） ３６ － ≥３５，
定区域有珍稀动物活动的概率是 ． ． 分 ï ． ｙ２ ｙ２ ｘ２
０９６ （４ ） ï ０８ ． ４ ≥９ ，
由题意得Ｐ Ａ Ｐ ＡＢ ＡＢ
î
１－［０
．
８（１－
ｙ２
）＋０
．
２（１－
ｘ２
）］
≥０９，
（ｉｉ） （ ）＝ （ ∪ ）
＝
Ｐ
（
ＡＢ
）＋
Ｐ
（
ＡＢ
）＝
Ｐ
（
Ｂ
）
Ｐ
（
Ａ
｜
Ｂ
）＋
Ｐ
（
Ｂ
）
Ｐ
（
Ａ
｜
Ｂ
）
ì
ï
ï
ｙ２
≥
ｘ２
＋３５
，
＝０ ． ２［１－（１－ ｐ １） ２ ］＋０ ． ８［１－（１－ ｐ ２） ２ ］ í ï ｘ ３ ２ ６ （１５ 分 ）
＝０ ． ２×［１－（１－０ ． ８） ２ ］＋０ ． ８×［１－（１－０ ． ０２） ２ ］＝０ ． ２２３６８ ． （６ 分 ） î ïｙ２ ≥ ９ ．
４
Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ｂ ｘ２ ｘ２ ｘ２
则Ｐ Ｂ Ａ （ ） （ ｜ ）· （ ） 因为 ． ｘ ． 所以 ＋３５ ９ 所以ｙ２ ＋３５
（ ｜ ）＝ Ｐ Ａ ＝ Ｐ Ａ ０１≤ ≤０２， ≥ ， ≥ ，
（ ） （ ） ３６ ４ ３６
０ ． ８×［１－（１－ ｐ ２） ２ ］ ０ ． ８×（１－０ ． ９８ ２ ） ． ． 故 ３５ ． ０４ ｙ 即 ３５ ． ０４ ｐ
＝ Ｐ Ａ ＝ ． ≈０１４２ ≤ ＜１， ≤１－ ２＜１，
（ ） ０２２３６８ ６ ６
因此在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下 指定区域实
．
， 所以 ｐ ３５０４．
际没有珍稀动物活动的概率是
０
．
１４２
．
（９
分
）
０＜ ２≤１－
６
Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ｂ 因此ｐ 的范围是 ． ． 分
（２） 因为Ｐ （ Ｂ ｜ Ａ ）＝ Ｐ （ Ａ ） ＝ （ ｜ Ｐ ）· Ａ （ ） ２ （０，００１３］ （１７ ）
（ ） （ ） 学生用书P151
． ｐ ２
＝ ． ０ ｐ ２［１ ２ －（１－ ． １） ］ ｐ ２ ， （１１ 分 ） 创新知识交汇 （ ２０２４ 湖北新高考联考协作体模拟（五）， １２ ）
０２［１－（１－ １） ］＋０８［１－（１－ ２） ］
甲 乙两同学玩掷骰子游戏 规则如下
Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ｂ 、 ， ：
Ｐ Ｂ Ａ （ ） （ ｜ ） （ ） 甲 乙各抛掷质地均匀的骰子一次 甲得到的点数为ｎ 乙
（ ｜ ）＝ Ｐ Ａ ＝ Ｐ Ａ （１） 、 ， １，
（ ） （ ） 得到的点数为ｎ
＝ １－｛０ ． ８［１－（１－ ０ ｐ ． ２ ８ ） （ ２ １ ］ － ＋ ｐ ０ ２ ． ） ２ ２ ［１－（１－ ｐ １） ２ ］｝ （１３ 分 ） （２） 若ｎ １＋ ｎ ２ 的值 ２； 能使 ( ２ ｘ ＋ ４ ｘ )ｎ １＋ ｎ ２的展开式中只有第 ４ 项的二
{Ｐ Ｂ Ａ ．
由题意 （ ｜ ）≥０９， 项式系数最大 则甲胜 否则乙胜．那么甲胜的概率为 ５ ．
Ｐ Ｂ Ａ ． ， ，
（ ｜ ）≥０９， ３６
ì ï ０ ． ２［１－（１－ ｐ １） ２ ］ ．
ï ． ｐ ２ ． ｐ ２ ≥０９，
得í０２［１－（１－ １） ］＋０８［１－（１－ ２） ］
ï ． ｐ ２
ï ０８（１－ ２） ．
î ． ｐ ２ ． ｐ ２ ≥０９，
１－｛０８［１－（１－ ２） ］＋０２［１－（１－ １） ］｝
