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第 05 讲 古典概型、概率的基本性质 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知某射击运动员每次射击的命中率均为0.8，现在采用随机模拟
试验的方法估计该运动员在三次射击中都命中的概率，先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，
用0，1表示没有命中，用2，3，4，5，6，7，8，9表示命中，再以每三个随机数作为一组，代表三次射
击的情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
619 181 526 551 391 433 036 608 275 852
512 103 247 375 923 244 423 404 354 311
据此估计该运动员在三次射击中都命中的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.7
【答案】C
【详解】20组随机数中，该运动员在三次射击中都命中的为526，433，275，852，247，375，923，244，
423，354，共10组符合要求，
故估计该运动员在三次射击中都命中的概率为
故选：C
2．（2022·江苏连云港·高一期末）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为
0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）
A．0.4 B．0.48 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【详解】目标受损但未击毁的概率是 .
故选：A
3．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国
学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，
假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为
m， ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且m＞n．则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题知三个社团都能进入的概率为 ，即 ，
又因为至少进入一个社团的概率为 ，
即一个社团都没能进入的概率为 ，
即 ，
整理得 .
故选：C.
4．（2022·广东潮州·高一期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如
.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个
素数中，任取两个素数，其和是合数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】从2，3，5，7，11这5个素数中任取两个素数的基本事件为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种，
其中两个数的和是合数的基本事件为： ， ， ， ， ， ， 共7种，
由古典概型概率计算公式得，其和是合数的概率是 .
故选：D.
5．（2022·全国·高一单元测试）北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了
本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小
林没有选择冰壶的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，
则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，
其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，所以所求概率为 .
故选：C.
6．（2022·江苏·如皋市第一中学高一期末）在二行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上
分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是3，最后
翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】则从开始图1位置到最后图2位置共有4种走法，
其结果分别为：右右右下，点数2，右右下右，点数1，
右下右右，点数5，下右右右，点数1，
故最后骰子朝上的点数为1的概率为 ．
故选：B
7．（2022·全国·高一专题练习）口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个
黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件 为“取到的小球的编号为
②”，事件 为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 互斥 B． 与 对立 C． D．
【答案】C
【详解】依题意，取到的小球为黑球且编号为②，事件 与 同时发生，则 与 不互斥，也不对立，
A，B都不正确；
由古典概率得： ， ， ，于是得 ，
C正确，D不正确.
故选：C
8．（2022·福建·福州三中高一期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事
件 “取出的两球同色”，事件 “取出的2球中至少有一个黄球”，事件 “取出的2球至少有一
个白球”，事件 “取出的2球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】依题意， ， ，而 ，A不正确；
， ，B不正确；
事件 是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件 是含有1个白球与没有白球的两个互斥
事件和，
事件 是必然事件，因此 ，C正确；
因 ， ，则 ，即D不正确.
故选：C
二、多选题
9．（2022·江苏盐城·高一期末）记 分别为事件A，B发生的概率，则下列结论中可能成立的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】当事件A，B相互独立时， ，A可能；
当事件A，B互斥时， ，B可能；
当事件A，B不互斥时， ，C可能；
而不可能出现 ，D不可能.
故选：ABC
10．（2022·全国·高一单元测试）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大
于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲､乙两名同学中选出1人参加某
市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，
若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（
）
A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大
C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平
【答案】BD
【详解】由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，
235，245，345，共10个.
记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，所以 .
记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，
所以 .
因为 ，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.
故选：BD.
三、填空题
11．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.6．现采
用随机模拟的方法计算该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随
机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．因为射击4次，故以每4个
随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
5727 0623 7140 9857 6347 4379 8636 6013 1417 4698
0371 6843 2676 8012 6011 3661 9597 7424 6710 4203
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为______．
【答案】0.5##
【详解】在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
5727， 9857， 6347， 4379， 8636， 4698， 6843， 2676， 9597， 7424
共10组随机数，
所以所求概率为 ．
故答案为：0.5
12．（2022·全国·高三专题练习）为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，湖南省于2019年采用
“3+1+2”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历
史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成．在选择物理的学生中，选择物理、
化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，则选择物理、化学、生物的概率为__________；现有选择物理
的2名学生，他们选择专业的组合互不影响，则至少有1人选择物理、化学、生物的概率为__________．
【答案】 ；
【详解】解：设选择物理、化学、生物的概率为 ，
因为物理、化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，
所以 ，解得 .即选择物理、化学、生物的概率为 ；
因为至少有1人选择物理、化学、生物的组合的对立事件为2名学生都没有选择物理、化学、生物组合，
所以2名学生都没有选择物理、化学、生物组合的概率为 ，所以至少有1人选择物理、化学、生物的概率为
故答案为： ；
五、解答题
13．（2022·新疆·沙湾县第一中学高一期末（理））甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根
手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以 表示和为6的事件，写出事件 的样本点；
(2)现连玩三次，若以 表示甲至少赢一次的事件， 表示乙至少赢两次的事件，试问： 与 是否为互斥
事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
【答案】(1) ， ， ， ， ；
(2) 与 不是互斥事件，理由见解析；
(3)不公平，理由见解析.
（1）用 表示甲、乙各出的手指头数，则 表示这个实验的一个样本点，所以该实验的样本空间为
，共有25个样本点，事件 包含的样本点共5个，即 ，
， ， ， ；
（2） 与 不是互斥事件，因为事件 与 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，所
以事件 与 不是互斥事件．
（3）这种游戏规则不公平．由题可知和为偶数的样本点有
共13个，所以甲赢的概率为 ，所以乙赢的概率为 ，所以这种游戏规则
不公平．
14．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了
“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在某
学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了200人，每人分
别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将得分成6组：第1组 ，第2组 ，第3组
，第4组 ，第5组 ，第6组 ，得到频率分布直方图，如图.(1)求得分的中位数（精确到小数点后一位）；
(2)为进一步改善经营，从得分在80分以下的四组中，采用分层随机抽样的方法抽取8人进行座谈，再从
这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，求第4组恰抽到2人的概率.
【答案】(1)82.2；(2) .
（1）解：由 ，得 ，设得分的中位数为 ，知 ，则
得 ，所以得分的中位数约为82.2；
（2）解：第1，2，3，4组的人数分别为10，10，20，40，从第1，2，3，4组采用分层随机抽样的方法
抽取8人，则从第1，2，3，4组应分别抽取的人数为1，1，2，4.从8个球中随机摸出3个球的样本空间
数为 ，设 “第4组恰抽到2人”，则 ，所以 ，第
4组恰抽到2人的概率为 .
B 能力提升
15．（2022·云南丽江·高一期末）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，
下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.
(1)求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两
位有效数字）
(2)现按照分层抽样的方法从年龄在 和 的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人
进行投资调查，求至少有1人年龄在 的概率.
【答案】(1) ，中位数为 (2)（1）依题意， ，解得 ，因为前2组的频率和为
，前3组的频率和为 ，所以所求中位数
为 .
（2）由频率分布直方图可知年龄在 和 的频率分别为 ，所以年龄在 的投资者应
抽取3人，记为A，B，C年龄在 的投资者应抽取2人.记为a，b，则任取2人，所有的情况为：
，共10种，满足条件的为
共7种故至少有1人年龄在 的概率为 .
16．（2022·陕西渭南·高一期末）中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着
陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功.三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，
完成了20多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课.神舟十三号的成功
引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们
的航天知识进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如图茎叶图所示，计算得甲、乙两个
班级被抽取的8名学生得分的平均数都是84.
(1)分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的方差，并据此估计两个班级学生航天知识的整体水平
的差异；
(2)若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观市教育局举办的航天摄影展，求这两名学生均来自乙
班级的概率.
【答案】(1) ， ；甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略
大(2)
（1）解： ， ，∵
，∴估计甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略大；
（2）解：甲班级得分不低于85的有4名同学，记为A， ， ， ，乙班级得分不低于85的有3名同学，
记为 ， ， ，从这7名同学中随机选取2人共有： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共21个基本事件，其中两名学生均来自于乙班级的有： ， ， ，共
3个基本事件，∴这两名学生均来自乙班级的概率 .C 综合素养
17．（2022·湖南·长沙一中高一期末）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党
员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分
100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，
25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示
的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．
①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，
再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和 ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为
43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
【答案】(1)
(2)① ；②10
（1）设这 人的平均年龄为 ，则 （岁 ．设第
80百分位数为 ，方法一：由 ，解得 ．方法二：由
，解得 ．
（2）①由题意得，第四组应抽取4人，记为 ， ， ，甲，第五组抽取2人，记为 ，乙．对应的样本
空间为： ， ，（ ，甲），（ ，乙）， ， ，（ ，甲），（ ，乙），
，（ ，甲），（ ，乙）， ，（甲，乙），（甲， ），（乙， ） ，共15个样本点．
设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，则 ，甲），（ ，乙），（ ，甲），（ ，乙），
（ ，甲），（ ，乙），（甲，乙），（甲， ），（乙， ，共有9个样本点．所以，
．②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为 ， ，方差分别为 ， ，则 ， ， ， ，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 ，方差为 ．则
， ．因此，第四组和第五组所有宣传使者的年
龄方差为10．据此，可估计这 人中年龄在 岁的所有人的年龄方差约为10．
18．（2022·四川眉山·高二期末（理））某校高二（2）班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图
都受到不同程度的污损，可见部分如下图：
(1)求全班人数及全班分数的中位数；
(2)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
(3)若从分数在 及 的答题卡中采用分层抽样的方式抽取了5份答题卡，再从抽取的这5份答
题卡中随机抽取2份答题卡了解学生失分情况，求这2份答题卡至少有一份分数在 的概率.
【答案】(1) 人， 分(2) (3)
（1）解：由茎叶图可知，分数在 内的频数为3，由频率分布直方图可知，分数在 内的频率
为 ，所以， 全班人数为 人，因为分数在 内的频数为11，分数在
内的频数为16，所以，全班分数的中位数 .
（2）解：由茎叶图知，分数在 内的频数为3，在 内的频数为11，分数在 内的频数
为16，在 内的频数为8，所以，分数在 内的频数为 ，所以，该班本次
测试的平均成绩为 .
（3）解：因为分数在 内的频数为 ，在 内的频数为8，所以，由分层抽样抽取了5份答题
卡中，分数在 内的有 份，分别记为 ，分数在 内的有 份，分别记为 ，所以，从
抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡的所有情况有： ， ，
， 共10种，其中，这2份答题卡至少有一份分数在 内的情况有： ，
， ， 共7种，所以，这2份答题卡至少有一份分数在 的概率为
.
