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４６ 5年高考3年模拟 B版 物理（教师用书）
学生用书P238
考点 1 曲线运动 运动的合成与分解 2.速度关系
一、小船渡河问题 ! UW Y W E UW W Y W Z
W HU
情况 图示 说明
0, UW
Z
HU UUBOθ W Z
Y
W
3.常用结论
当船头垂直河岸时 渡河时
渡河时 ，
表达式 决定因素
ｄ
间最短 间最短 最短时间ｔ
， ｍｉｎ＝ｖ 船 飞行 ｈ 由下落高度ｈ决定 与初速
ｔ ２ ，
时间 ＝ ｇ 度ｖ 无关
０
若ｖ ｖ 满足ｖ ｖ θ
水＜ 船， 水－ 船 ｃｏｓ ＝ 水平 ｈ 由初速度 ｖ 和下落高度 ｈ
０ 时 ， 渡河位移最短 ， 最短渡 位移 ｘ ＝ ｖ ０ ２ ｇ 共同决定 ０
河位移ｘ ｄ
ｍｉｎ＝ 落地速
渡河位 大小
若ｖ ｖ 船头方向 即ｖ 方
度（θ为
移最短 向 与 水＞ 合 船 速 ， 度方向垂 （ 直时 船 渡 落地前 ｖ ＝ ｖ ０ ２ ＋２ ｇｈ 由初速度 ｖ 和下落高度 ｈ
） ， 瞬间速 ０
河位移最短 最短渡河位移 共同决定
， 度与水 方向
ｄｖ
ｘ ｍｉｎ＝ ｖ
船
水
的
平
夹
方
角
向
） ｔａｎ
θ
＝
ｖ
ｖ
ｙ
ｘ ＝ ｖ
２ ｇｈ
０
二、关联速度问题
二、平抛运动的两个重要推论
1.分析思路
1.推论一：平抛运动任意时刻的速度偏转角θ的正切值与位移
偏转角α的正切值满足
θ ｖ ｙ ｇｔ ü ï
ｔａｎ ＝ｖ ＝ｖ ï
０ ０ ý θ α
2.几种常见情境 ｙ ｇｔ ï→ｔａｎ ＝２ ｔａｎ 。
α ï
ｔａｎ ＝ ｘ ＝ ｖ þ
２ ０
2.推论二：平抛运动任意时刻的速度方向的反向延长线通过对
应水平位移的中点
。
知识拓展 平抛运动的另外一种分解方式
如图所示，已知小球以初速度ｖ 由斜面上水平抛出，斜
０
面倾角为θ，小球最终落在斜面上。
考点 2 抛体运动
（ ）分解方式
１
一、平抛运动的基本规律 沿斜面：ｘ方向。 垂直斜面：ｙ方向。
以抛出点为坐标原点 以初速度ｖ 方向为ｘ轴正方向 竖
将速度和加速度分别沿ｘ、ｙ方向进行分解。
， ０ ， ｘ方向：匀加速直线运动。
直向下为ｙ轴正方向 如图所示
， 。
初速度：ｖ ｖ θ，加速度ａ ｇ θ。
ｘ＝ ０ ｃｏｓ ｘ＝ ｓｉｎ
ｙ方向：类竖直上抛运动（匀变速直线运动）。
初速度：ｖ ｖ θ，加速度ａ ｇ θ。
ｙ＝ ０ ｓｉｎ ｙ＝ ｃｏｓ
（ ）Ｐ点为离斜面最远点（ｖ 方向与斜面平行）
２ Ｐ
1.位移关系 到达Ｐ点的时间：ｔ ｖ ｙ ｖ ０ ｔａｎ θ 。
Ｐ＝ａ ＝ ｇ
! UY W U UT Y Z ｙ
0, UZ HU
/
UUBO α Z Y H W U 到斜面的距离：ｈ ＝ ２
ｖ
ａ
ｙ２
ｙ ＝
ｖ
２ ０ ｇ
２
ｓ ｃ ｉ ｏ ｎ ｓ
２
θ
θ
。
专题四 曲线运动 ４７
三、处理类平抛运动的两种分解方法 二、圆周运动常见模型的向心力来源分析
1.常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线
受力分析并
运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动 圆周运动图例 利用向心力分析
。 建立坐标系
2.特殊分解法：对于有些问题 可以过抛出点建立适当的直角
，
坐标系 将加速度ａ分解为ａ ａ 初速度ｖ 分解为ｖ ｖ 然 Ｆ θ ｍｇ
， ｘ、 ｙ， ０ ０ ｘ、 ０ ｙ， ｃｏｓ ＝
后分别在ｘ ｙ方向上列方程求解 Ｆ θ Ｆ
、 。 ｓｉｎ ＝ 向＝
考点 3 圆周运动
ｍω２ｌ
ｓｉｎ
θ
一、对圆周运动向心力的理解 Ｆ ｍｇ
Ｎ＝
1.向心力是效果力
，
可以由重力
、
弹力
、
摩擦力等各种性质的力提 Ｆ
ｆ＝
Ｆ
向＝
ｍω２ｒ
供 可以是某个力或某个力的分力 也可以是几个力的合力 Ｆ μＦ
， ， 。 （ ｆ≤ Ｎ）
2.若物体做匀速圆周运动 合力恰好全部提供向心力 即
， ，
Ｆ ｎ＝ Ｆ 合。 Ｆ Ｎ＝ ｍ Ａ ｇ
3.若物体做变速圆周运动 合力方向不指向圆心 可以分解为如 Ｆ ｍ ｇ Ｆ
， ， ＝ Ｂ ＝ 向＝
图所示的两个分力
，
一个分力提供向心力
，
另一个分力产生切 ｍ
Ａ
ω２ｒ
向加速度
。
Ｆ θ ｍｇ
升 ｃｏｓ ＝
Ｆ θ Ｆ
升 ｓｉｎ ＝ 向＝
ｍω２ｒ
学生用书P240
题型 6 抛体运动的分析方法 续表
一、斜面约束的平抛运动问题 运动情境 物理量分析
运动示意图 情境描述 定量关系
小球恰好从圆柱体 Ｑ 点沿切线飞
θ
ｙ 过 此时半径ＯＱ垂直于速度方向
ｔａｎ ＝ ｘ ＝ ， ，
从斜面上平抛又 速度的偏转角与圆心角θ相等
落到斜面上 １ ｇｔ２
ｇｔ
２
ｖ ｔ ＝ ｖ 典例1 如图所示 一小球从一半圆轨道左端Ａ点正上方某处
０ ２ ０ ，
开始做平抛运动 小球可视为质点 飞行过程中恰好与半圆轨
（ ），
从斜面外平抛 ｖ ｖ 道相切于Ｂ点 Ｏ点为半圆轨道圆心 半圆轨道半径为Ｒ ＯＢ与
， θ ｘ ０ ， ， ，
垂直落在斜面上 ｔａｎ ＝ ｖ ＝ｇｔ 水平方向的夹角为 ° 重力加速度为ｇ 不计空气阻力 小球
ｙ ６０ ， ， 。
抛出时的初速度为 Ａ
（ ）
从斜面外平抛
， ｖ ｇｔ
沿斜面方向落入 θ ｙ
ｔａｎ ＝ ｖ ＝ｖ
ｘ
斜面 ０
二、圆弧面(或曲面)约束的平抛运动问题
ｇＲ ｇＲ ｇＲ ｇＲ
运动情境 物理量分析 ３ ３ ３ ３ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ２ ２ ３
ｖ ｇｔ 解析 小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于Ｂ点，可知小
θ ｙ
ｔａｎ ＝ ｖ ＝ｖ 球运动到Ｂ点时速度方向与水平方向的夹角为 °，设位移方
ｘ
０ ３０
ｖ θ ° ｙ
ｔ ０ ｔａｎ 向与水平方向的夹角为α，则 α ｔａｎ３０ ３，由 α
＝ ｇ ｔａｎ ＝ ＝ ｔａｎ ＝ ｘ ＝
２ ６
Ｒ ＋ Ｒ２ － ｈ２ ＝ ｖ ０ ｔ ｙ ，可得竖直方向的位移ｙ ＝ ３Ｒ，而ｖ ｙ２ ＝２ ｇｙ， ｔａｎ ３０ ° ＝ ｖ ｖ ｙ，联
Ｒ Ｒ２ ｈ２ ｈ ３ Ｒ ４ ０
ｔ ＋ － ２
在半圆内的平抛运动 ＝ ｖ ＝ ｇ ２
０ ｇＲ
立解得ｖ ３ ３ ， 正确。
０＝ Ａ
２
４８ 5年高考3年模拟 B版 物理（教师用书）
三、平抛运动的临界问题 ｖ θ
运动到最高点的时间ｔ ０ ｓｉｎ
1.平抛运动的临界问题的两种常见情境 （１） ＝ ｇ ；
物体有最大位移 最小位移 最大初速度 最小初速度等 ｖ θ
（１） 、 、 、 。 运动的总时间ｔ 总＝ ２ ０ ｇ ｓｉｎ 。
物体的速度方向恰好为某一方向
（２） 。
2.处理平抛运动的临界问题的关键 射高ｙ ｖ ０ ２ ｓｉｎ ２ θ
（２） ｍ＝ ｇ 。
关于临界条件的关键信息 恰好不出界 刚好飞过 速 ２
（１） ：“ ”“ ”“ ｖ ２ θ
度方向恰好与斜面平行 速度方向与圆周相切 等 射程ｘ ０ ｓｉｎ２ 当θ °时 射程最大
”“ ” 。 （３） ｍ＝ ｇ 。 ＝４５ ， 。
解题关键 根据题干信息寻找临界点 画出物体运动的草
（２） ： ，
图 确定临界条件 题型 7 圆周运动中的临界极值问题
， 。
典例2 如图所示 在楼梯口 用弹射器向第一级台阶弹射小 一、水平面内的圆周运动的两种模型
， ，
球 台阶高为Ｈ 宽为Ｌ Ａ为台阶最高点 Ｂ为第一级台阶水平
。 ， ， ， 与弹力有关 与摩擦力有关
面的最右侧点 Ｃ是第一级台阶水平面的中点 弹射器沿水平
， 。 的临界问题 的临界问题
方向弹射小球 弹射器高度ｈ和小球的初速度ｖ 可调节 小球
， ０ ，
被弹出前与Ａ的水平距离也为Ｌ 某次弹射时 小球恰好没有
。 ，
擦到Ａ而击中Ｂ 为了能击中Ｃ点 需调整ｈ 为 ｈ′ 调整 ｖ 为 情境
， ， ， ０
ｖ ′ 下列判断正确的是 Ｃ 图示
０ ， （ ）
I
"
- ) $ # 受力
- 示意图
ｈ′的最大值为 ｈ ｈ′的最小值为 ｈ
Ａ． ２ Ｂ． ２
ｖ ′的最大值为 １５ｖ ｖ ′的最小值为 １５ｖ 竖直 方 向 Ｔ θ
Ｃ． ０ ０ Ｄ． ０ ０ ： ｃｏｓ ＋
６ ６ 力学 Ｆ θ ｍｇ 对Ｂ Ｔ ｍ ｇ
Ｎ ｓｉｎ ＝ ： ＝ Ｂ
解析 小球做平抛运动，有ｙ
＝ ２
１ ｇｔ２，ｘ
＝
ｖ
０
ｔ，联立解得ｖ
０＝
ｘ
方程 水 平 方 向 ： Ｔ ｓｉｎ θ － 对Ａ ： Ｔ ＋ ｆ ＝ ｍ Ａ ω２ｒ
ｇ ，ｙ ｇｘ２ ｘ２（点拨：将水平距离之比和高度之比建立关
Ｆ
Ｎ ｃｏｓ
θ
＝
ｍω２ｌ
ｓｉｎ
θ
ｙ ＝ ｖ ２∝
联是
２
关键）
２
，
０
则调整前 ｈ
ｈ
Ｈ＝
( Ｌ
Ｌ
) ２
，得ｈ ＝ １ Ｈ，调整后考虑临界
临
特
界
征
当Ｆ
Ｎ＝０，
即ω
＝ ｌ
ｃｏ
ｇ
ｓ
θ
当
相对
ｆ
＝
圆
ｆ
ｍ
盘
时
向
，
外
Ａ
滑
物
动
体即将
＋ ２ ３ 时 小球即将 飘起来
ｈ′ ( ) ２ ， “ ”
情况，小球恰好没有擦到 Ａ而击中 Ｃ，则 ｈ′ Ｈ＝ ２ ，即 ｈ′ ＝ 典例1 如图所示 水平转台上有一个质量为ｍ且可视为质点
＋ ３ ，
的物块 用长为ｌ的轻质细绳将物块连接在转轴上 细绳与竖直
４ Ｈ，所以ｈ′ １２ｈ，从越高处抛出而击中Ｃ点，抛物线越陡，越 ， ，
＝ 转轴的夹角θ 此时细绳伸直但无张力 物块与转台间的
５ ５ ＝３０°， 。
不容易擦到Ａ点，所以ｈ′ １２ｈ是满足条件的ｈ′的最小值， 、 动摩擦因数μ １ 最大静摩擦力等于滑动摩擦力 物块随转台
＝ Ａ Ｂ ＝ ， ，
５ ３
ｇ 由静止开始缓慢加速转动 重力加速度为ｇ
错误。 ｖ ｘ ，且两次平抛从抛出到Ａ点过程，ｘ都为Ｌ，所 ， 。
０＝ ｙ
２
ｖ ′ ｈ ｇ
以 ０ １５，即 ｖ ′ １５ｖ ，由 ｖ ′ Ｌ 知ｖ ′
ｖ ＝ ｈ′ ＝ ０ ＝ ０ ０ ＝ ｈ′ ０ ＝ N
０ ６ ６ ２
１５ｖ 是满足条件的ｖ ′的最大值， 正确， 错误。
０ ０ Ｃ Ｄ
６ 当水平转台以角速度 ω 匀速转动时 绳上恰好将要有张
四、斜抛运动 （１） １ ，
力 求ω 的值
1.分析思路：对斜上抛运动 从抛出点到最高点的运动可应用 ， １ ；
， ｇ
逆向思维分析 其逆过程为平抛运动 对于完整的斜上抛运 当水平转台以角速度ω 匀速转动时 求物块所受的
， ； （２） ２＝ ｌ ，
２
动 还可根据对称性求解某些问题
摩擦力大小
， 。
；
2.斜抛运动中的几个常用结论
ｇ
当水平转台以角速度ω ２ 匀速转动时 求细绳的拉力
（３） ３＝ ｌ ，
大小
。
解析 （ ）当最大静摩擦力等于所需要的向心力时，绳上恰
１
专题四 曲线运动 ４９
好将要有张力，由牛顿第二定律得μｍｇ ｍω ２ (ｌ θ) 直平面内以Ｏ点为圆心做圆周运动 已知重力加速度为ｇ 忽
＝ １ ｓｉｎ 。 ，
略空气阻力的影响
ｇ
代入数据解得ω ２ 。 。
１＝ ｌ 若小球经过圆周最高点Ａ时速度大小ｖ ｇＬ 求此时轻
３ （１） Ａ＝ ２ ，
ｇ 绳对小球施加拉力的大小
（ ）当水平转台以角速度ω 匀速转动时，由于ω ω ， ；
２ ２＝ ｌ ２＜ １ 若轻绳能承受的最大拉力Ｆ ｍｇ 求小球运动到最低点Ｂ
２ （２） ｍ＝９ ，
所以静摩擦力提供物块做圆周运动的向心力，ｆ ｍω ２ｒ 时的速度大小在什么范围内 既可以使小球在竖直面内做完整
＝ ２ ＝ ，
的圆周运动 又可以使轻绳不被拉断
ｍω ２ｌ θ １ ｍｇ。 ， ；
２ ｓｉｎ ＝
４
某同学作出了小球经过圆周最高点Ａ时 绳上的拉力Ｆ与
（３） ，
（
３
）当转台对物块的支持力恰好为
０
时，物块做圆周运动所需 小球速度的二次方ｖ２ 的函数图像 如图 所示
， ２ 。
要的向心力由重力和细绳拉力的合力提供，由牛顿第二定律
请写出图像的函数表达式
ａ． 。
ｇ 若将轻绳换为长为Ｌ且质量可忽略的轻杆 其他保持不变 请
得ｍｇ θ ｍω ２ｌ θ，解得ω ２ ３ （点拨：确定临界 ｂ． ， ，
ｔａｎ ＝ ０ ｓｉｎ ０＝ ｌ 在图 中绘出小球经过圆周最高点Ａ时 轻杆对小球的作用力
３ ３ ，
角速度是判断物块是否脱离转台的关键）。 Ｆ与小球速度的二次方ｖ２ 的函数图像 并且注明图线与坐标轴
，
ｇ 的交点坐标
当水平转台以角速度ω ２ 匀速转动时，由于ω ω ，物块 。
３＝ ｌ ３＞ ０
已经离开转台在空中做圆周运动。 设此时细绳与竖直方向的
夹角为α，有ｍｇ α ｍω ２ｌ α
ｔａｎ ＝ ３ ｓｉｎ
ｍｇ
代入数据解得α ，则绳上的拉力大小Ｆ ｍｇ。
＝６０° ＝ α＝２
ｃｏｓ 图 图 图
１ ２ ３
ｇ 解析 （ ）小球经过Ａ点时，由牛顿第二定律可得Ｆ ｍｇ ｍ
答案 （ ） ２ （ ） １ ｍｇ （ ） ｍｇ １ Ａ＋ ＝
１ ｌ ２ ３ ２
３ ４ ｖ２Ａ，解得轻绳对小球施加拉力的大小Ｆ
ｍｇ。
二、竖直平面内的圆周运动的两种模型 Ｌ Ａ＝
轻“绳”模型 轻“杆”模型 （ ）由ｍｇ ｍ
ｖ２Ａ
ｍｉｎ得小球经过Ａ点时的最小速度 ｖ ｇＬ。
２ ＝ Ｌ Ａ ｍｉｎ＝
情境 小球由Ａ点到Ｂ点，由机械能守恒定律可得ｍｇ·
２
Ｌ
＝
１ ｍｖ２Ｂ
ｍｉｎ－
图示 ２
１ ｍｖ２Ａ
ｍｉｎ
，解得ｖ
Ｂ ｍｉｎ＝ ５
ｇＬ。
２
弹力 最高点弹力可能向 最高点弹力可能向下 可能向 当轻绳的拉力达到能承受的最大拉力 Ｆ 时，对应小球经过 Ｂ
， ｍ
特征 下
，
也可能等于零 上
，
也可能等于零
点的最大速度，由牛顿第二定律可得 Ｆ ｍｇ ｍ
ｖ２Ｂ
ｍａｘ，得
ｍ－ ＝ Ｌ
最高点 ｖ ｇＬ。
Ｂ ｍａｘ＝ ８
受力示
所以小球经过Ｂ点的速度大小范围为 ｇＬ ｖ ｇＬ。
５ ≤ Ｂ≤ ８
意图
ｖ２
（ ） 小球经过Ａ点时，由牛顿第二定律有Ｆ ｍｇ ｍ （ｖ２
３ ａ． ＋ ＝ Ｌ ≥
最高点
ｍ
ｖ２ ｖ２ ｇＬ），解得图像的函数表达式为Ｆ ｖ２ ｍｇ（ｖ２ ｇＬ）。
力学 ｍｇ Ｆ ｍ ｍｇ Ｆ ｍ ＝ Ｌ － ≥
＋ Ｔ＝ ｒ ± Ｎ＝ ｒ
方程 将轻绳换为轻杆，小球在最高点Ａ的最小速度为 ，此时轻杆
ｂ． ０
对小球的作用力方向竖直向上，大小为ｍｇ；结合牛顿第二定律
最 临 高 界 点 Ｆ Ｔ＝０， 即ｍｇ ＝ ｍ ｖ ｒ ２ ， ｖ ＝ ０， Ｆ Ｎ 为支持力 ， 此时 得，图像的函数表达式为Ｆ ＝ ｍ Ｌ ｖ２ － ｍｇ（ｖ２ ≥０ ），当ｖ２ ＝ ｇＬ时Ｆ ＝
Ｆ ｍｇ
特征 得ｖ ｇｒ Ｎ＝ ，画出函数图像如图所示。
＝ ０
绳 只能对小 杆 对小球的作用力可
（１）“ ” （１）“ ”
模型 球施加拉力 以是拉力 也可以是支持力
，
关键 小球通过最高点 小球通过最高点的速度
（２） （２）
的速度至少为 ｇｒ 最小可以为 ０ 答案 （ １ ）ｍｇ （ ２ ） ５ ｇＬ ≤ ｖ Ｂ≤ ８ ｇＬ （ ３ ）见解析
典例2 如图 所示 一根长为Ｌ不可伸长的轻绳一端固定于
１ ，
Ｏ点 另一端系有一质量为ｍ的小球 可视为质点 小球在竖
， （ ），
５０ 5年高考3年模拟 B版 物理（教师用书）
学生用书P244
实验微专题 5 探究平抛运动的特点 五、其他实验方案
方案一 对比实验法
一、实验原理及装置图
把钢球从同一位置由静止释放 钢球沿着斜槽滚下并被水
， "
$ 1
平抛出 落在挡板上 通过复写纸在竖直的坐标纸上留下印迹
， ， ， # .
"
逐次下调挡板 重复以上操作得到钢球的一系列运动点迹
， 。 % 2
/
#
*
1.采用如图甲所示的装置 用小锤击打弹性金属片 金属片把Ａ
， ，
球沿水平方向弹出 同时Ｂ球被松开而自由下落 观察相同的
， ，
二、操作要领及注意事项 两球是否同时落地 若两球同时落地 说明平抛运动的竖直
。 ，
1.装置调节什么要求：平板必须处于竖直面内 斜槽末端的切 分运动为自由落体运动
； 。
线必须水平 2.采用如图乙所示的装置 两个相同的弧形轨道Ｍ Ｎ 其中Ｎ的
。 ， 、 ，
2.如何进行实验操作：小球每次必须从斜槽上同一位置由静止 末端可看成与光滑的水平板相切 使相同的两小球以相同的
，
释放 开始滚下的位置高度要适中 以使小球做平抛运动的轨 初速度ｖ 同时分别从轨道Ｍ Ｎ的末端射出 若两球相碰 说
； ， ０ 、 。 ，
迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜 明平抛运动的水平分运动为匀速直线运动
。 。
3.如何进行作图：坐标原点不是槽口的端点 应是小球出槽口 方案二 通过频闪照相（或视频录制）记录轨迹
，
时小球球心在平板上的投影点 点迹要用平滑曲线连接 不能 如图丙所示 通过频闪照片得到小球经过相等时间间隔所
； （ ，
用折线 到达的位置 测量出经过Ｔ Ｔ Ｔ 时间小球做平抛运动的水
）。 ， ，２ ，３ ，…
三、数据处理 平位移和竖直位移 分析数据得出小球水平分运动和竖直分运
，
动的特点
1.判断是否为抛物线：在轨迹曲线上取几点 读出各点坐标值 。
， ，
DDE
若各点坐标满足ｙ ａｘ２ ａ为一特定值 说明轨迹为抛物线
＝ ， ， 。
2.计算平抛运动的初速度 "
#
平抛轨迹完整 即含有抛出点
（１） （ ）
# #
在轨迹上任取一点 测出该点与坐标原点的水平距离 ｘ 及
，
竖直距离ｙ 就可求出初速度 ｖ ｘ ｖ ｔ ｙ １ ｇｔ２ 故 ｖ
， ０。 ＝ ０ ， ＝ ， ０＝ 丙 丁
２
方案三 通过传感器探究平抛运动的特点
ｇ
ｘ 如图丁所示 物体Ａ在做平抛运动 向各个方向同时发射
ｙ。
， ，
２
平抛轨迹残缺 即无抛出点
超声波脉冲和红外线脉冲 超声 红外接收装置Ｂ与计算机相
。 －
（２） （ ）
在轨迹上任取三点Ａ Ｂ Ｃ 如图所示 使Ａ Ｂ间及Ｂ Ｃ间 连 计算机可以即时给出 Ａ 的位置坐标 分析坐标探究运动
， ，
、 、 （ ）， 、 、
特点
的水平距离相等 设为ｘ 由平抛运动的规律可知 在Ａ Ｂ间
。
， ， ， 、
运动与在Ｂ Ｃ间运动所用时间相等 设为ｔ 重力加速度为
、 ， ， 实验微专题 6 探究向心力大小与半径、角速
ｈ ｈ ｘ
ｇ
，
则
Δ
ｈ
＝
ｈ
ＢＣ－
ｈ
ＡＢ＝
ｇｔ２
，
所以ｔ
＝
ＢＣ－
ｇ
ＡＢ
，
初速度ｖ
０＝ ｔ ＝
度、质量的关系
一、实验原理及装置图
ｇ
ｘ
ｈ ｈ 。
ＢＣ－ ＡＢ
D
"
I "# Y # J D
-
I 6
#$
0
Y $
四、误差分析及改进措施 1.调整塔轮上的皮带 使其套到半径大小不同的塔轮上 改变
， ，
1.钢球做平抛运动时受空气阻力影响 选用质量大 体积小 表 长 短槽旋转角速度之比
。 、 、 、 。
面光滑的钢球可以减小因此产生的误差 2.将小球放在长槽不同的卡位上 改变小球做圆周运动的半径
。 ， 。
2.钢球每次滚下的初位置不完全相同 斜槽末端切线不完全水 3.小球对挡板的作用力通过杠杆结构使弹簧测力套筒下降 露
； ，
平 建立坐标系时 坐标原点的选取有些许偏差 准确且细心 出标尺 通过标尺上等分格的数量 可以粗略计算出两个小
； ， 。 。 ，
进行实验操作 可以减小因此产生的误差 球所受向心力的比值
， 。 。
专题四 曲线运动 ５１
二、操作要领及注意事项 另一端握在手中 将手举过头顶 使沙袋在水平面内做匀速圆
。 ，
1.控制变量法探究 周运动 此时沙袋所需向心力近似等于绳对沙袋的拉力
， 。
使两小球的质量 转动的半径相同 探究向心力的大小跟转 S
（１） 、 ，
动的角速度的定量关系
。
使两小球的质量 转动的角速度相同 探究向心力的大小跟
（２） 、 ， 方案二 用力传感器和光电门传感器探究
转动半径的定量关系
。
使两小球的转动半径 转动的角速度相同 探究向心力的大
（３） 、 ，
小跟质量的定量关系
。
2.转速控制：摇动手柄时应缓慢加速 注意观察标尺的格数
， 。
达到预定格数时 保持转速恒定
， 。
三、数据处理
使用光电门传感器和力传感器 并将其接入数据采集器
分别作出Ｆ
ｎ－
ω２
、
Ｆ
ｎ－
ｒ
、
Ｆ
ｎ－
ｍ图像
，
分析向心力大小与角速
， ，
挡光杆每次通过光电门传感器时 系统将自动记录砝码所受向
度 半径 质量之间的关系 并得出结论
，
、 、 ， 。
四、其他实验方案 心力的大小Ｆ 并计算此时的角速度 从而分析出向心力与质
， ，
量 转动半径 角速度的关系
方案一 用绳和沙袋定性研究 、 、 。
如图所示 在绳子的一端拴一个小沙袋 或其他小物体
， （ ），
专题四 曲线运动 ５７
30分钟 学生用书P46
" #
１． （ 江苏苏锡常镇一模）如图所示为室内足球运动的某 c
２０２４ 3
0
次传球过程 足球在地面位置 被踢出后落到位置 为空
， １ ３，２
中到达的最高点 速度大小为ｖ 则 Ｃ
， Ｃ， （ ） 小球在倾斜轨道上运动过程中机械能有可能减少
Ａ．
若小球滑到圆形轨道最低点时速度大小为 ｇＲ 则圆形
Ｂ． ２ ，
轨道对小球作用力的大小为 ｍｇ
４
足球在空中的最大水平速度为ｖ
Ａ． Ｃ 若小球恰好能通过圆形轨道内Ａ点 则小球在倾斜轨道上
Ｃ． ，
足球在位置 和位置 的动能相等
Ｂ． １ ３ 静止释放的高度为 ７ Ｒ
与下落过程相比 足球在上升过程中重力势能变化得快
Ｃ． ， ４
若在位置 将足球以大小为ｖ 的速度水平向左抛出 足球 若小球从圆形轨道内Ａ点飞出后恰好从Ｂ点飞入圆形轨
Ｄ． ２ Ｃ ， Ｄ．
将沿原轨迹返回位置 道 则小球经过Ｂ点时的速度大小为 ｇＲ
１ ， ３
２． （ 黑龙江部分学校联考）如图所示 倾角为 °的斜面 ５． （ 陕西安康三模）（多选）如图所示 一个螺距均匀的
２０２４ ， ３７ ２０２４ ，
体固定在水平面上 小球Ａ在斜面底端正上方以速度ｖ 向右 刚性螺旋光滑轨道竖直固定放置 轨道半径为ｒ 螺距为ｄ 匝
， １ ， ， ，
水平抛出 同时 小球Ｂ在斜面顶端以速度ｖ 向左水平抛出 数为ｎ 将一个小环套在螺旋轨道最上端从静止释放 小环沿
， ， ２ ， ， ，
两球的抛出点在同一水平线上 结果两球恰好落在斜面上的 螺旋轨道滑到底端 重力加速度为ｇ 下列说法正确的是
， ， 。
同一点 且Ａ球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直 不计小球 ＡＢＣ
， ， （ ）
的大小 ° ． ° ． ｖ ｖ 等于 Ｄ
，ｓｉｎ３７ ＝０６，ｃｏｓ３７ ＝０８。 １ ∶ ２ （ ）
" W W #
在运动过程中小环的加速度越来越大
Ａ．
c 在整个运动过程中小环的路程大于 ｎ ｒ
Ｂ． ２ π
Ａ．４ ∶ ３ Ｂ．５ ∶ ４ Ｃ．８ ∶ ７ Ｄ．９ ∶ ８ 小环从顶端到底端的运动时间为 ２ ｎ （４π ２ｒ２ ＋ ｄ２ ）
３． （ 江西红色十校联考）（多选）如图所示 ＢＣ 为倾角 Ｃ． ｇｄ
２０２４ ，
为
３０
°的斜面顶端的水平边沿
，
ＢＣ与ＡＧ
、
ＤＥ平行
，
ＢＥ与ＣＤ
小环从顶端到底端的运动时间为
ｎ
（４π
２ｒ２
＋
ｄ２
）
竖直 Ａ Ｄ Ｅ Ｇ在同一水平面内且 ＡＥ ＡＧ 一足球从斜面 Ｄ． ｇｄ
， 、 、 、 ⊥ 。
最低点Ａ处以一定速度踢出 方向与水平方向成 °角 经过 ６． （ 湖北八市联考）如图所示 一质点在光滑水平桌面上
， ４５ ， ２０２４ ，
一段时间恰好水平击中Ｃ点 不计空气阻力 已知重力加速度 受水平恒力作用 先后经过ａ ｂ两点 速度方向偏转 ° 已
， ， ， 、 ， ９０ 。
知经过ａ点的速度大小为ｖ 方向与ａｂ连线夹角为 ° ａｂ连
为ｇ ， ＡＢ长度ｘ ＡＢ＝ ａ ， ＢＣ长度ｘ ＢＣ＝ １ ａ ， 则 （ ＡＤ ） 、 ６０ ，
２ 线长度为ｄ 对质点从ａ到ｂ的运动过程 下列说法正确的是
。 ，
$ # Ｃ
（ ）
% W & W c C
c B
c
( "
ｖ
最小速度为
ａ Ａ．
足球在空中的运动时间为 ２
Ａ． ｇ ｄ
运动时间为
Ｂ． ｖ
ａ ２
足球在空中的运动时间为
Ｂ． ｇ 经过ｂ点的速度大小为 ｖ
２ Ｃ． ３
恒力方向与ａｂ连线的夹角为 °
足球被踢出时的初速度大小为 ｇａ Ｄ． ４５
Ｃ． ７． （ 辽宁协作校一模）如图所示 餐桌中间有一个可以
２０２４ ，
足球被踢出时的初速度大小为 ｇａ
Ｄ． ２ 匀速转动 半径Ｒ 的圆盘 圆盘与餐桌在同一水平面内
、 ＝１ ｍ ，
４． （ 黑龙江齐齐哈尔二模）如图所示 在光滑的倾斜轨 且两者之间的间隙可以忽略不计 服务员一边转动圆盘 一
２０２４ ，
。 ，
道底端平滑连接着一个半径为Ｒ 顶端有缺口的光滑圆形轨 边把餐盘 可视为质点 放在圆盘边缘 餐盘的质量为ｍ 与
、 （ ） 。 ，
道 Ａ Ｂ两端点在同一水平面上 ＡＯＢ ° 一质量为ｍ 圆盘间的动摩擦因数 μ ． 与餐桌间的动摩擦因数 μ
， 、 ，∠ ＝１２０ 。 １＝０ ４， ２＝
的小球 可视为质点 由倾斜轨道上某高度处静止释放 重力 ． 设最大静摩擦力等于滑动摩擦力 重力加速度 ｇ 取
（ ） ， ０２。 ，
加速度为ｇ 不计空气阻力 下列说法正确的是 Ｃ ２
， 。 （ ） １０ ｍ／ｓ 。
专题四 曲线运动 ５９
３．（ 福建， ， 分）某实验小组利用图 所示装置验证小 "
２０２２ １１ ５ （ａ）
YDN
球平抛运动的特点 实验时 先将斜槽固定在贴有复写纸和 #
。 ，
白纸的木板边缘 调节槽口水平并使木板竖直 把小球放在槽 $
， ；
ZDN
口处 用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点
，
图 图
Ｏ 建立ｘＯｙ坐标系 然后从斜槽上固定的位置释放小球 小 ａ ｂ
， 。 ， 该时刻水柱初速度大小为
球落到挡板上并在白纸上留下印迹 上下调节挡板进行多次 （１） １ ｍ／ｓ。
。
实验 实验结束后 测量各印迹中心点Ｏ Ｏ Ｏ 的坐标 水柱上Ｂ点的速度大小为 １３
。 ， １、 ２、 ３… ， （２） ｍ／ｓ。
２
并填入表格中 计算对应的ｘ２ 值
， 。 图 为乙同学设计的实验装置 每次将质量为ｍ的小球
（３） ｃ ，
Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ 从半径为Ｒ的四分之一圆弧轨道不同位置由静止释放 并在
１ ２ ３ ４ ５ ６ ，
ｙ／ ． ． ． ． ． ． 圆弧轨道最低点水平部分处装有压力传感器测出小球对轨道
ｃｍ ２９５ ６５２ ９２７ １３２０ １６６１ １９９０
ｘ／ ． ． ． ． ． ．
ｃｍ ５９５ ８８１ １０７４ １２４９ １４０５ １５２８ 压力的大小Ｆ 在轨道最低点右侧水平距离ｘ １０ 处固
。 ＝ ｍ
ｘ２／ ２ ． ． ． ． ． ． １０
ｃｍ ３５４ ７７６ １１５３ １５６０ １９７４ ２３３５ 定一等高竖直挡板 实验获得小球在竖直方向上的下落距离
，
ｙ 处理数据后作出了如图 所示的Ｆ １ 图像 则由图可求得
， ｄ － ｙ ，
小球的质量 ｍ ． 四分之一圆弧轨道的半径 Ｒ
＝ ０ ５ ｋｇ， ＝
． 重力加速度ｇ ２
０２５ ｍ（ ＝１０ ｍ／ｓ ）。
'/
3
W
Z
图 Y ZN
（ａ）
图 图
ｃ ｄ
实验微专题 6 探究向心力大小与半径、 角速
度、质量的关系 学生用书P50
１．［ 浙江 月， （ ）］ 探究向心力大小的表达式 实验
２０２３ １ １６Ⅰ ２ “ ”
装置如图所示
。
图
（ｂ）
根据表中数据 在图 给出的坐标纸上补上Ｏ 数据点 采用的实验方法是
（１） ， （ｂ） ４ ， ① Ａ ；
并绘制
“
ｙ
－
ｘ２
”
图线
。 Ａ．
控制变量法
（２）
由ｙ
－
ｘ２ 图线可知
，
小球下落的高度ｙ
，
与水平距离的平方
Ｂ．
等效法
ｘ２ 成 线性
（
填
“
线性
”
或
“
非线性
”）
关系
，
由此判断小球下
Ｃ．
模拟法
落的轨迹是抛物线 在小球质量和转动半径相同的情况下 逐渐加速转动手柄
。 ② ，
（３）
由ｙ
－
ｘ２ 图线求得斜率ｋ
，
小球平抛运动的初速度表达式为 到一定速度后保持匀速转动
。
此时左右标尺露出的红白相间
等分标记的比值等于两小球的 角速度平方 之比 填 线速
ｇ （ “
ｖ 用斜率ｋ和重力加速度ｇ表示
０＝ ｋ （ ）。 度大小 角速度平方 或 周期平方 在加速转动手柄过程
２ ”“ ” “ ”）；
该实验得到的ｙ ｘ２ 图线常不经过原点 可能的原因是 水 中 左右标尺露出红白相间等分标记的比值 不变 填 不
（４） － ， ， （ “
平射出点未与Ｏ点重合 变 变大 或 变小
。 ”“ ” “ ”）。
４．（ 金丽衢十二校二模）甲同学利用留迹法做平抛运动实 ２．（ 广西桂林一模）某实验小组为了验证小球所受向心力
２０２４ ２０２４
验 在饮料瓶侧面开一小孔 让水流水平射出 如图 并用 与角速度 转动半径的关系 设计了如图甲所示的实验装置
， ， （ ａ）， 、 ， ，
照相机拍下了某时刻的水柱轨迹 冲洗后的照片和实物的尺 转轴ＭＮ由电动机带动 转速可调 固定在转轴上Ｏ点的力传
， ， ，
寸比例为 利用部分轨迹在水平方向和竖直方向建立坐 感器通过轻绳连接一质量为ｍ的小球 一根固定在转轴上的
１ ∶ ４。 ，
标轴 如图 轨迹上三个点Ａ Ｂ和Ｃ的坐标分别为 光滑水平直杆穿过小球 保证小球在水平面内转动 直杆最外
（ ｂ）， 、 （０ ｃｍ， ， ，
． ． 和 ． ． 重力加速度ｇ取 边插一小遮光片Ｐ 小球每转一周遮光片Ｐ通过右边光电门
０ ｃｍ）、（２５ ｃｍ，２５ ｃｍ） （５０ ｃｍ，７５ ｃｍ）， ，
２ 时可记录遮光片最外边的挡光时间 某次实验操作如下
１０ ｍ／ｓ 。 ， ：
６０ 5年高考3年模拟 B版 物理（教师用书）
. 验证向心力与转动半径的关系时 让电动机匀速转动 遮
*K （３） ， ，
光片Ｐ每次通过光电门的时间相同 调节小球球心到转轴上
0 ) 1 ，
Ｏ点的距离Ｌ 测出每一个Ｌ 的长度以及其对应的力传感器
２， ２
* / 的读数 Ｆ ， 得出多组数据 ， 画出 Ｆ － Ｌ ２ 的关系图像应该
甲 为
Ａ 。
' ' '
0 - 0 - 0 -
Ａ Ｂ Ｃ
乙 验证向心力与角速度关系时让小球球心到转轴上Ｏ点的
（４）
用螺旋测微器测量遮光片Ｐ的宽度ｄ 测量结果如图乙所 距离Ｌ 不变 调节电动机的转速 遮光片Ｐ每次通过光电门
（１） ， ２ ， ，
示 则ｄ ． （ ． 、 ． 也正确） 的时间不同 记录某次挡光时间ｔ 同时记录此时力传感器的
， ＝ １８８０ １８７９ １８８１ ｍｍ。 ， ，
如图甲所示 安装好实验装置 用刻度尺测量遮光片最外 读数Ｆ 得出多组Ｆ与ｔ的数据 为了准确验证小球所受向心
（２） ， ， ， ，
端到转轴上Ｏ点的距离 记为 Ｌ 测量小球球心到转轴上 Ｏ
， １， 力与角速度的关系 利用实验数据应画出 Ｆ １ 选填 Ｆ
点的距离 记为Ｌ 开动电动机 让小球转动起来 某次遮光 ， －ｔ２ （ “ －
， ２。 ， ，
片通过光电门时光电门计时为 ｔ 则小球此时的角速度等于
， ｔ Ｆ ｔ２ Ｆ １ 或 Ｆ １ 关系图像
ｄ
”“ － ”“ － ｔ ” “ －ｔ２ ”） 。
用字母ｄ ｔ Ｌ Ｌ 中的部分字母表示
Ｌ ｔ （ 、、 １、 ２ ）。
１
