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专题七 动量守恒定律 ８９
续表 三、弹性碰撞
1.基本公式
若力的方向不变 大小随时间均匀变化 即力为时
、 ，
ｍ ｖ ｍ ｖ ｍ ｖ′ ｍ ｖ′
平均 间的一次函数 ， 则力Ｆ在某段时间 Δ ｔ内的冲量Ｉ ＝ １ １＋ ２ ２＝ １ １＋ ２ ２
值法 Ｆ １＋ Ｆ ２ ｔ Ｆ Ｆ 为该段时间内初 末两时刻的力 １ ｍ １ ｖ２ １＋ １ ｍ ２ ｖ２ ２＝ １ ｍ １ ｖ′ １ ２ ＋ １ ｍ ２ ｖ′ ２ ２
Δ， １、 ２ 、 ２ ２ ２ ２
２
ｍ ｍ ｖ ｍ ｖ
ｖ′ （ １－ ２） １＋２ ２ ２
如果物体受到大小或方向变化的力的作用 可以求 １＝ ｍ ｍ
动量 ， １＋ ２
出该力作用下物体动量的变化量 由Ｉ ｐ求变力 ｍ ｍ ｖ ｍ ｖ
定理法 ， ＝Δ ｖ′ （ ２－ １） ２＋２ １ １
的冲量 ， 同理 ， 也可以计算恒力的冲量 ２＝ ｍ １＋ ｍ ２
2.特例
二、动量定理
若ｖ 即 一动一静 的弹性碰撞 碰后二者速度分别为ｖ′
２＝０， “ ” ，
ｍ ｍ ｍ
重要 （１） 应用Ｉ ＝Δ ｐ求力的冲量 １－ ２ｖ ｖ′ ２ １ ｖ
１＝ｍ ｍ １， ２＝ｍ ｍ １。
应用 １＋ ２ １＋ ２
（２） 应用 Δ ｐ ＝ Ｆｔ求动量的变化量 （１） 若ｍ １＝ ｍ ２， 则ｖ′ １＝０， ｖ′ ２＝ ｖ １， 二者速度互换 。
ｐ一定时 时间越短 力就越大 时间越长 力 若ｍ ｍ 则ｖ′ 碰撞物体被反弹
（１）Δ ， ， ； ， （２） １＜ ２， １＜０， 。
解释 就越小 （３） 若ｍ １＞ ｍ ２， 则 ０＜ ｖ′ １＜ ｖ １， ｖ １＜ ｖ′ ２＜２ ｖ １。
若ｍ ｍ 则ｖ′ ｖ 速度几乎不变 ｖ′ ｖ
现象 Ｆ一定时 力的作用时间越长 ｐ就越大 力的 （４） １≫ ２， １≈ １， ， ２≈２ １。
（２） ， ，Δ ； 若ｍ ｍ 则ｖ′ ｖ ｖ′ 碰撞物体几乎以原速率反弹
作用时间越短 ｐ就越小 （５） １≪ ２， １≈－ １， ２≈０， ，
，Δ 被碰物体几乎不动
。
Ｉ Ｆｔ ｐ是矢量式 Ｆｔ是物体所受合力的冲量 四、非弹性碰撞
（１） ＝ ＝Δ ，
1.非弹性碰撞：碰撞结束后 有部分形变 动能有部分损失
ｐ ， ， ，
Ｆ Δ 即物体所受的合力等于物体动量的变化
注意 （２） ＝ ｔ ， 则ｍ ｖ ｍ ｖ ｍ ｖ′ ｍ ｖ′
１ １＋ ２ ２＝ １ １＋ ２ ２，
率 可以通过ｐ ｔ图线斜率的绝对值求解物体所受
合 ， 力的大小 － １ ２ ｍ １ ｖ １ ２ ＋ ２ １ ｍ ２ ｖ ２ ２ ＝ ２ １ ｍ １ ｖ １ ′２ ＋ ２ １ ｍ ２ ｖ ２ ′２ ＋Δ Ｅ ｋ 损。
2.完全非弹性碰撞：碰撞结束后 以同一速度运动 形变程度最
， ，
大 动能损失最大 则
考点 2 动量守恒定律及其应用 ， ，
ｍ ｖ ｍ ｖ ｍ ｍ ｖ
一、动量守恒定律和机械能守恒定律的比较 １ １＋ ２ ２＝（ １＋ ２） ，
相同点 不同点 １ ｍ １ ｖ １ ２ ＋ １ ｍ ２ ｖ ２ ２ ＝ １ （ ｍ １＋ ｍ ２） ｖ２ ＋Δ Ｅ ｋ 损 ｍａｘ，
２ ２ ２
ｍ ｍ ｖ ｖ ２
项目 守恒 某一方向 Ｅ １ ２（ ２－ １）
对象 过程 表达式 标矢性 Δ ｋ 损 ｍａｘ＝ ｍ ｍ 。
条件 应用情况 ２（ １＋ ２）
五、人船模型
系统不
如图所示 长为 Ｌ 质量为 ｍ 的小船停在静水中 质量
， 、 船 ，
受外力 可以在
动量 为ｍ 人 的人由静止开始从船的一端走到船的另一端 ， 不计水的
或所受 ｐ ｐ 某一方
守恒 １＋ ２＝ 矢量式 阻力
。
外力的 ｐ′ ｐ′ 向单独
定律 某 １＋ ２
矢量和 应用
系 一
统 过 为零
程
机械 只有重 不能在
以人和船组成的系统为研究对象 在人由船的一端走到船
能守 力或系 Ｅ ｋ１＋ Ｅ ｐ１＝ 标量式 某一方 ，
的另一端的过程中 系统水平方向不受外力作用 所以整个系
恒定 统内弹 Ｅ Ｅ 向单独 ， ，
ｋ２＋ ｐ２ 统水平方向动量守恒 可得ｍ ｖ ｍ ｖ
律 力做功 应用 ， 船 船＝ 人 人
因为人和船组成的系统水平方向动量始终守恒 故有 ｍ
二、碰撞遵循的规律 ， 船
ｘ ｍ
1.动量守恒：ｐ １＋ ｐ ２＝ ｐ １ ′ ＋ ｐ ２ ′ 。 ｘ 船＝ ｍ 人 ｘ 人， 即 ｘ 人 船 ＝ｍ 船 人
2.动能不增加：Ｅ Ｅ Ｅ ′ Ｅ ′
ｋ１＋ ｋ２≥ ｋ１＋ ｋ２。 由图可看出ｘ 船＋ ｘ 人＝ Ｌ ， 可解得
3.速度要符合实际情况：碰后无外力作用下不能发生第二次
ｍ ｍ
船 人
ｘ Ｌ ｘ Ｌ
碰撞 人＝ｍ ｍ ， 船＝ｍ ｍ 。
。 人＋ 船 人＋ 船
９０ 5年高考3年模拟 B版 物理（教师用书）
学生用书P263
题型 11 流体模型 续表
情境 子弹嵌入木块中未穿出 或滑块未从木板
/ ' U! （１） １： （
/ ' UEW + E 滑落 两者有相同速度ｖ 机械能损失最多 类比完全
" ）， ， （
!EW+ E U L 1 非弹性碰撞 子弹相对木块 或滑块相对木板 的位移
1 '"U /4U/1 1 ）， （ ）
L/4 O 为ｓ
动量守恒 ｍｖ ｍ Ｍ ｖ
-/U*KU -/U*K ① ： ０＝（ ＋ ）
+ '"+J U+ 两种 系统产生的热量Ｑ Ｆｓ １ ｍｖ２ １ Ｍ ｍ ｖ２
M WUU+BF +JM W UU ② ＝ ｆ ＝ ０－ （ ＋ ）
情境 ２ ２
N 4WUUFQ W4U +/7 4WUU
情境 子弹穿透木块 或滑块从木板滑落 两者
1/ OW4U （２） ２： （ ），
*F)-/E 速度不相等 机械能有损失 类比非弹性碰撞 木块或
， （ ），
'"U// *F)-/
木板长度为ｄ
1U1
'U NW BFNU//U ① 动量守恒 ： ｍｖ ０＝ ｍｖ １＋ Ｍｖ ２
/@0 ( )
系统产生的热量Ｑ Ｆｄ １ ｍｖ２ １ ｍｖ２ １ Ｍｖ２
'U /NW ② ＝ ｆ ＝ ２ ０－ ２ １＋ ２ ２
二、弹簧模型
典例 雨打芭蕉 是文学中常见的抒情意象 当雨滴竖直下
“ ” 。
落的速度为ｖ时 将一圆柱形量杯置于雨中 测得时间ｔ内杯中
， ，
水面上升的高度为ｈ 为估算雨打芭蕉产生的压强ｐ 假设芭蕉 模型
。 ，
叶呈水平状 雨滴落在芭蕉叶上不反弹 不计雨滴重力的影响 图例 物体Ａ Ｂ与轻弹簧 开始处于原长 相连 物体Ａ以初
， ， 。 、 （ ） ，
已知水的密度为ρ 则ｐ为 Ａ 速度ｖ 运动
， （ ）
０
ρｈｖ ρｈｖ
２ 当弹簧处于最短 或最长 时两物体瞬时速度相
Ａ． ｔ Ｂ． ｔ （１） （ ）
同 弹簧的弹性势能最大 类比完全非弹性碰撞
ρｈｖｔ ρｈｖｔ ， （ ）
Ｃ． Ｄ．２ 系统动量守恒 ｍ ｖ ｍ ｍ ｖ
审题指导 本题属于非连续流体类问题， ｔ时间内与芭蕉叶 ① ： １ ０＝（ １＋ ２） 共
Δ
发生作用的水的质量不能用ｍ
＝
ρ
Δ
Ｖ
＝
ρｖＳ
Δ
ｔ求解，而是要借助 两种
②
系统机械能守恒
：
１ ｍ
１
ｖ２
０＝
１
（
ｍ
１＋
ｍ
２）
ｖ２共＋ Ｅ
ｐｍ
情境 ２ ２
“时间ｔ内杯中水面上升的高度为ｈ”进行求解。
当弹簧处于原长时弹性势能为 类比弹性碰撞
（２） ０（ ）
解析 单位时间内量杯水位上升的高度 Δ ｈ ＝ ｈ ｔ ，在芭蕉叶上 ① 系统动量守恒 ： ｍ １ ｖ ０＝ ｍ １ ｖ １＋ ｍ ２ ｖ ２
取 Ｓ的面积， ｔ时间内降落的雨水质量 ｍ ρ· Ｓ· ｈ ｔ 系统机械能守恒 １ ｍ ｖ２ １ ｍ ｖ２ １ ｍ ｖ２
Δ Δ ＝ Δ Δ Δ ＝ ② ： １ ０＝ １ １＋ ２ ２
２ ２ ２
ｈ
ρ Ｓ ｔ，设雨水受到的撞击力为Ｆ，根据动量定理得Ｆ· ｔ 总结归纳 力学三大观点的综合应用
Δ ｔ Δ Δ ＝
1.动力学观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可
ｈ
ｍｖ，解得Ｆ ρｖ Ｓ ，根据牛顿第三定律可知， Ｓ面积的芭 处理匀变速运动问题。
０－ ＝－ Δ ｔ Δ
2.能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀
ｈ
蕉叶受到的撞击力的大小Ｆ′
＝
ρｖ
Δ
Ｓ
ｔ
，因此雨打芭蕉产生的压 变速运动问题。
3.动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问
Ｆ′ ρｈｖ
强ｐ ， 正确。
＝ Ｓ＝ ｔ Ａ 题；用动量定理可简化问题的求解过程。
Δ
题型 12 动量守恒中的常见模型 典例 在光滑的水平地面上 ， 质量均为ｍ ＝１ ｋｇ 的滑块Ｂ和Ｃ
中间夹一轻弹簧 轻弹簧处于原长状态 左端固定在Ｂ上 右端
一、“子弹打木块”模型与“滑块-木板”模型 ， ， ，
与Ｃ接触但不固定 质量Ｍ 半径Ｒ 的四分之一光滑
， ＝２ｋｇ、 ＝１ｍ
圆弧形滑块Ｄ放置在Ｃ的右侧 Ｃ Ｄ间距离足够远 质量ｍ
模型 ， 、 ， ０＝
． 的滑块Ａ以初速度ｖ 向右运动与Ｂ发生碰撞
图示
水平地面光滑 水平地面光滑
０５ ｋｇ ０＝１０ ｍ／ｓ ，
碰撞时间极短 碰后Ａ反弹 速度大小ｖ 重力加速度ｇ
， ， Ａ＝２ ｍ／ｓ，
模型 （１） 系统所受外力的矢量和为 ０， 系统动量守恒 取 １０ ｍ／ｓ ２ 。 求 ：
子弹与木块 滑块与木板 之间有滑动摩擦力做
特点 （２） （ ） W 3
功 系统机械能不守恒 一般应用能量守恒定律 " # $ %
， ，
专题七 动量守恒定律 ９１
Ａ Ｂ碰撞过程损失的机械能 二、巧用转换参考系
（１） 、 ；
弹簧的最大弹性势能 假设质量为 ｍ 的物体 Ａ 以速度 ｖ 与速度为 ｖ 质量
（２） ； １ １ ２、
Ｃ能上升的最大高度 为ｍ 的物体Ｂ发生弹性碰撞 如图甲 若以物体Ｂ为参考系
（３） 。 ２ ， 。 ，
解析 （ ）Ａ 与 Ｂ 碰撞时动量守恒，规定向右为正方向， 则转换成物体Ａ以相对物体Ｂ的速度 ｖ ｖ 与物体Ｂ发生弹
１ （ １－ ２）
有ｍ ０ ｖ ０＝－ ｍ ０ ｖ Ａ＋ ｍｖ Ｂ ，代入数据解得ｖ Ｂ＝６ ｍ／ｓ ，损失的机械能 性碰撞 ， 如图乙 。
Δ
Ｅ
＝
１ ｍ
０
ｖ２
０－
１ ｍ
０
ｖ２Ａ－ １ ｍｖ２Ｂ＝６
Ｊ
。
"
N W
#
N W
"
N W
W
#
N
２ ２ ２
（ ）弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，Ｂ、Ｃ的速度相 甲 乙
２
同（点拨：类比完全非弹性碰撞），设此时Ｂ、Ｃ共同的速度为 以物体Ｂ为参考系 由动量守恒定律和机械能守恒定律
，
ｖ，Ｂ、Ｃ 及弹簧组成的系统动量守恒，有 ｍｖ ｍｖ ，解得 得ｍ ｖ ｖ ｍ ｖ′ ｍ ｖ′
１ Ｂ ＝ ２ １ １（ １－ ２）＝ １ １＋ ２ ２
ｖ
１＝３ ｍ／ｓ
，则弹簧的最大弹性势能
Δ
Ｅ
ｐｍ＝
１ ｍｖ２Ｂ－ １ ·
２
ｍｖ２
１＝
１ ｍ
１（
ｖ
１－
ｖ
２）
２
＝
１ ｍ
１
ｖ
１
′２
＋
１ ｍ
２
ｖ
２
′２
２ ２ ２ ２ ２
。 ｍ ｍ
９ Ｊ 联立解得ｖ′ １－ ２ ｖ ｖ
（
３
）设Ｃ与弹簧分开时（点拨：弹簧恢复原长，此过程可类比 １＝ｍ
１＋
ｍ
２
（ １－ ２）
弹性碰撞），Ｂ、Ｃ的速度分别为ｖ′和ｖ ，由动量守恒定律及机 ｍ
Ｂ Ｃ ｖ′ ２ １ ｖ ｖ
械能守恒定律得ｍｖ Ｂ＝ ｍｖ′ Ｂ＋ ｍｖ Ｃ
２＝ｍ
１＋
ｍ
２
（ １－ ２）
由于此时的ｖ′和ｖ′仍然是相对于碰前物体Ｂ的速度 故碰
１ ｍｖ２Ｂ＝ １ ｍｖ′ Ｂ２
＋
１ ｍｖ２Ｃ １ ２
ｍ ｍ
，
２ ２ ２ 后它们相对于地面的速度分别为ｖ″ ｖ′ ｖ １－ ２ ｖ ｖ ｖ
联立并代入数据解得ｖ′ ，ｖ １＝ １＋ ２＝ｍ ｍ （ １－ ２）＋ ２
Ｂ＝０ Ｃ＝６ ｍ／ｓ １＋ ２
ｍ
此时Ｃ的机械能Ｅ
１＝
１ ｍｖ２Ｃ＝１８Ｊ （选取水平地面为重力势能的 ｖ
２
″
＝
ｖ
２
′
＋
ｖ
２＝ｍ
２
ｍ
１
（
ｖ
１－
ｖ
２）＋
ｖ
２
２ １＋ ２
零势能面） 典例 如图所示 水平轨道左端与圆弧轨道平滑连接 小球Ａ Ｂ
， ， 、
设Ｃ上升高度为ｈ时Ｃ、Ｄ两者相对速度为 （点拨：类比完全
０ 及半径Ｒ 的 １ 圆弧形滑块Ｃ的质量分别为ｍ ｍ
非弹性碰撞），Ｃ在竖直方向的速度为 ，设此时Ｃ和Ｄ的水平 ＝２ｍ １＝１ｋｇ、 ２＝
０ ４
速度均为ｖ ，则ｍｖ （Ｍ ｍ）ｖ ｍ 小球Ｂ与滑块Ｃ静止在水平轨道上 现从圆弧
Ｄ Ｃ＝ ＋ Ｄ ２ ｋｇ、 ３＝３ ｋｇ， 。
根据Ｃ、Ｄ组成的系统机械能守恒有 轨道上高ｈ ． 处将小球Ａ由静止释放 小球Ａ与小球Ｂ
＝４ ０５ ｍ ，
发生碰撞 经过一段时间后小球Ｂ滑上滑块Ｃ 小球Ｂ到滑块
１ （Ｍ
＋
ｍ）ｖ２Ｄ＋ ｍｇｈ
＝
１ ｍｖ２Ｃ ， 。
２ ２
Ｃ底端的距离足够长 一切摩擦均可忽略 假设所有的碰撞均为
， ，
联立并代入数据解得ｈ ． 。
＝１２ ｍ 弹性碰撞 重力加速度ｇ取 ２
， １０ ｍ／ｓ 。
答案 （ ） （ ） （ ） ．
１ ６ Ｊ ２ ９ Ｊ ３ １２ ｍ "
0
I
题型 13 弹性碰撞的一般规律及其应用 # 3 $
如果是两个运动的物体发生弹性碰撞 两个守恒方程同学 求小球Ａ与小球Ｂ第一次碰撞后 小球Ｂ的速度大小
， （１） ， ；
们都能很顺利地列出来 但常常因求解时过程麻烦而耽误了宝 通过计算分析 小球Ｂ能否第二次滑上滑块Ｃ 若能滑上
， （２） ， 。 ，
贵的时间 甚至出现错误 下面用两种方法推导证明弹性碰撞 求小球Ｂ第二次能达到的最大高度 若不能滑上 求小球Ａ 小
， ， ； ， 、
的一般规律 以方便同学们理解记忆
球Ｂ 滑块Ｃ的最终速度的大小
， 。
、 。
一、常规推导
解析 （ ）设碰前小球Ａ的速度为ｖ ，从圆弧轨道上高ｈ
１ ０ ＝
两个物体发生弹性碰撞 根据动量守恒定律有 ｍ ｖ
， １ １＋ ． 处将小球Ａ由静止释放，由动能定理得ｍ ｇｈ １ ｍ ｖ２，
ｍ ｖ ｍ ｖ′ ｍ ｖ′ ４０５ ｍ １ ＝ １ ０
２ ２＝ １ １＋ ２ ２① ２
系统机械能守恒 有 代入数据解得ｖ 。小球Ａ、Ｂ碰撞的过程中Ａ、Ｂ组成的系
， ０＝９ ｍ／ｓ
统机械能守恒、动量守恒，以向右为正方向，设小球Ａ、Ｂ碰撞后
１ ｍ ｖ２ １ ｍ ｖ２ １ ｍ ｖ′２ １ ｍ ｖ′２
１ １＋ ２ ２＝ １ １ ＋ ２ ２ ②
２ ２ ２ ２ 的速度分别为ｖ 、ｖ ，则有 ｍ ｖ ｍ ｖ ｍ ｖ ， １ ｍ ｖ２ １ ｍ ｖ２
由 移项得ｍ ｖ ｖ′ ｍ ｖ′ ｖ １ ２ １ ０＝ １ １＋ ２ ２ １ ０＝ １ １＋
① １（ １－ １）＝ ２（ ２－ ２）③ ２ ２
由 移项化简得
② １ ｍ ｖ２，联立解得ｖ ，ｖ 。
ｍ ｖ ｖ′ ｖ ｖ′ ｍ ｖ′ ｖ ｖ′ ｖ ２ ２ １＝－３ ｍ／ｓ ２＝６ ｍ／ｓ
１（ １＋ １）（ １－ １）＝ ２（ ２＋ ２）（ ２－ ２）④ ２
相除得ｖ ｖ′ ｖ′ ｖ （ ）设小球Ｂ第一次返回滑块Ｃ底端时（类比弹性碰撞）Ｂ与
③④ １＋ １＝ ２＋ ２⑤ ２
ｍ ｍ ｍ Ｃ的速度分别为ｖ 、ｖ ，以向右为正方向，由动量守恒定律和机
联立 解得ｖ′ １－ ２ｖ ２ ２ ｖ ３ ４
①⑤ １＝ｍ ｍ １＋ｍ ｍ ２
１＋ ２ １＋ ２ 械能守恒定律可得ｍ ｖ ｍ ｖ ｍ ｖ ，１ ｍ ｖ２ １ ｍ ｖ２ １ ｍ ｖ２，
ｍ ｍ ｍ ２ ２＝ ２ ３＋ ３ ４ ２ ２＝ ２ ３＋ ３ ４
ｖ′ ２－ １ｖ ２ １ ｖ ２ ２ ２
２＝ｍ ｍ ２＋ｍ ｍ １ 联立解得ｖ ． ，ｖ ． ，即小球Ｂ返回滑块Ｃ底端
１＋ ２ １＋ ２ ３＝－１２ ｍ／ｓ ４＝４８ ｍ／ｓ
９２ 5年高考3年模拟 B版 物理（教师用书）
时的速度大小为 ． 。 段时间，小球Ａ与小球Ｂ发生第三次碰撞，设碰后小球Ａ和小
１２ ｍ／ｓ
小球Ａ与小球Ｂ第一次碰后以 的速度向左运动，小球Ａ 球Ｂ的速度分别为ｖ 、ｖ ，根据动量守恒定律和机械能守恒定律
３ ｍ／ｓ Ａ Ｂ
再次滑上圆弧轨道，滑下后速度方向向右，速度ｖ ，经过 得ｍ ｖ ｍ ｖ ｍ ｖ ｍ ｖ
５＝３ ｍ／ｓ １ ８＋ ２ ７＝ １ Ａ＋ ２ Ｂ
一段时间，小球Ａ与小球Ｂ发生第二次碰撞，设碰后小球Ａ和
小球Ｂ的速度分别为ｖ 、ｖ ，根据动量守恒定律和机械能守恒定
１
２
ｍ
１
ｖ２
８＋
２
１ ｍ
２
ｖ２
７＝
２
１ ｍ
１
ｖ２Ａ＋
２
１ ｍ
２
ｖ２Ｂ
６ ７
律得ｍ １ ｖ ５＋ ｍ ２ ｖ ３＝ ｍ １ ｖ ６＋ ｍ ２ ｖ ７ 解得ｖ Ａ＝ｍ ｍ １－ ｍ ｍ ２（ｖ ８－ ｖ ７ ） ＋ ｖ ７＝ １９ ｍ／ｓ
１＋ ２ １５
１
２
ｍ
１
ｖ２
５＋ ２
１ ｍ
２
ｖ２
３＝ ２
１ ｍ
１
ｖ２
６＋ ２
１ ｍ
２
ｖ２
７ ｖ ２ ｍ １ （ｖ ｖ ） ｖ ３４ （巧用转换参考系）
联立解得ｖ ６＝ ｍ ｍ １ １ － ＋ ｍ ｍ ２ ２ ｖ ５＋ｍ ２ １ ｍ ＋ ｍ ２ ２ ｖ ３＝－２ ． ６ ｍ／ｓ 因 Ｂ＝ 为 ｍ ｖ １ Ｂ ＋ ＜ ｍ ｖ ４ ２ ，所 ８－ 以 ７ 小 ＋ 球 ７ Ｂ ＝ 不 １５ 能 ｍ 第 ／ｓ 二次滑上滑块Ｃ，小球 。 Ａ、小球Ｂ、
ｍ ｍ ｍ
ｖ ７＝ｍ ２ １ － ＋ ｍ １ ２ ｖ ３＋ｍ ２ １＋ ｍ １ ２ ｖ ５＝１ ． ６ ｍ／ｓ （常规推导）。 滑块Ｃ的最终速度分别为ｖ Ａ＝ １ １ ５ ９ ｍ／ｓ ，ｖ Ｂ＝ １ ３ ５ ４ ｍ／ｓ ，ｖ Ｃ＝ ｖ ４＝４ ．
小球Ａ与小球Ｂ第二次碰后以 ． 的速度向左运动，再次 ８ ｍ／ｓ 。
２ ６ ｍ／ｓ
滑上圆弧轨道，滑下后速度方向向右，速度ｖ ８＝２ ． ６ ｍ／ｓ ，经过一 答案 （ １ ） ６ ｍ／ｓ （ ２ ）见解析
学生用书P267
实验微专题 8 验证动量守恒定律 的水平距离ｓ 再测出入射球 靶球碰撞后分别飞出的水平距
ＯＰ， 、
离ｓ ｓ 只要验证 ｍ ｓ ｍ ｓ ｍ ｓ 即可验证动量守恒
一、实验原理及装置图 ＯＭ、 Ｏ′Ｎ，
１
ＯＰ＝
１
ＯＭ＋
２
Ｏ′Ｎ，
定律
。
若ｍ
１
ｓ２ＯＰ＝ ｍ
１
ｓ２ＯＭ＋ ｍ
２
ｓ２Ｏ′Ｎ 也成立
，
说明两球的碰撞是弹性
) 碰撞
。
L) 四、减小误差的方法
1.小球落点的确定：画尽量小的圆把尽可能多的小球落点圈在
)
!A 里面 圆心就是小球落点的平均位置
7<I ， 。
0 2.水平位移的测量：本实验中的Ｏ点和Ｏ′点分别为斜槽末端
0 . 1 / 的正下方和靶球球心的正下方 Ｏ点可通过铅垂线在白纸上
，
+3 直接画出 而Ｏ′点不可以直接画出 需通过测量确定 Ｏ Ｏ′两
， ， ， 、
在一维碰撞中 测出相碰的两球的质量ｍ ｍ 和碰撞前后 点间距离为两小球半径之和 而半径的测量存在误差 同时水
， １、 ２ ， ，
球的速度 计算得出碰撞前的动量 ｐ ｍ ｖ 及碰撞后的动量 平位移的测量也会存在误差
， ＝ １ ０ 。
ｐ′ ｍ ｖ ｍ ｖ 验证碰撞前后的动量是否相同 五、其他实验方案
＝ １ １＋ ２ ２， 。
如图所示 在此实验装置图中 由于平抛运动时间相等 有 方案一 利用滑块和气垫导轨完成实验（如图所示）
， ， ，
碰撞前的动量与时间的乘积ｐｔ ｍ ｖ ｔ及碰撞后的动量与时间
＝ １ ０
的乘积ｐ′ｔ ｍ ｖ ｔ ｍ ｖ ｔ 因此只要验证ｍ ｓ ｍ ｓ ｍ ｓ 即
＝ １ １ ＋ ２ ２ ， １ ＯＰ＝ １ ＯＭ＋ ２ Ｏ′Ｎ，
可验证动量守恒定律 本方案在气垫导轨上进行 阻力小 测量速度时产生的误
。 ， ，
二、操作要领及注意事项 差小
。
1.需要测量哪些物理量：两小球质量以及水平位移 方案二 利用斜槽末端小球的碰撞在斜面上完成实验（如图所
。
2.如何选择小球：本实验方案不需要两球大小相同 但需要调 示）
，
节支球柱的高度 以保证两球能发生正碰 若不使用支球柱 "
， 。 ，
则需要两球大小相同 为使入射球碰撞不被弹回且不静止 #
。 ，
.
需要入射球质量大于靶球质量
。 1
/
3.如何安装斜槽：斜槽不要求光滑 但斜槽末端必须水平 $
， 。
0
4.如何控制起点位置：每次让入射球从斜槽上同一位置由静止
本方案小球抛出点相同 无须使用铅垂线确定 Ｏ 点的
滚下 ，
。
位置
三、数据处理 。
让入射球从同一位置释放 测出不发生碰撞时入射球飞出
，
专题七 动量守恒定律 ９３
考点 1 动量、冲量和动量定理 学生用书P74
考向1 动量、冲量和动量定理的理解
１． （ 新课标， ， 分）（多选）使甲 乙两条形磁铁隔开一
２０２３ １９ ６ 、
段距离 静止于水平桌面上 甲的 极正对着乙的 极 甲的 图 图
， ， Ｎ Ｓ ， （ａ） （ｂ）
内 甲车的加速度大小逐渐增大
质量大于乙的质量 两者与桌面之间的动摩擦因数相等 现 Ａ．０～２ ｓ ，
， 。
乙车在ｔ 和ｔ 时的速度相同
同时释放甲和乙 在它们相互接近过程中的任一时刻 ＢＤ Ｂ． ＝２ ｓ ＝６ ｓ
， （ ）
内 甲 乙两车的位移不同
Ｃ．２～６ ｓ ， 、
ｔ 时 甲 乙两车的动能不同
Ｄ． ＝８ ｓ ， 、
甲的速度大小比乙的大 甲的动量大小比乙的小 考向2 动量定理的应用
Ａ． Ｂ．
甲的动量大小与乙的相等 甲和乙的动量之和不为零 ６． （ 课标 ， ， 分）行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞
Ｃ． Ｄ． ２０２０ Ⅰ １４ ６ ，
２． （ 湖南， ， 分）物体的运动状态可用位置ｘ和动量ｐ 车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体 若碰撞后汽车的
２０２１ ２ ４ 。
描述 称为相 对应ｐ ｘ图像中的一个点 物体运动状态的变 速度在很短时间内减小为零 关于安全气囊在此过程中的作
， ， － 。 ，
化可用ｐ ｘ图像中的一条曲线来描述 称为相轨迹 假如一 用 下列说法正确的是 Ｄ
－ ， 。 ， （ ）
质点沿ｘ轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动 则对应 增加了司机单位面积的受力大小
， Ａ．
的相轨迹可能是 Ｄ 减少了碰撞前后司机动量的变化量
（ ） Ｂ．
将司机的动能全部转换成汽车的动能
Ｃ．
延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
Ｄ．
７． （ 北京， ， 分） 雪如意 是我国首座国际标准跳台
２０２２ １２ ３ “ ”
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
滑雪场地 跳台滑雪运动中 裁判员主要根据运动员在空中
３． （ 北京， ， 分）如图所示 圆盘在水平面内以角速度ω 。 ，
２０２１ １０ ３ ，
的飞行距离和动作姿态评分 运动员在进行跳台滑雪时大致
绕中心轴匀速转动 圆盘上距轴ｒ处的Ｐ点有一质量为ｍ的小 。
，
经过四个阶段 助滑阶段 运动员两腿尽量深蹲 顺着助滑
物体随圆盘一起转动 某时刻圆盘突然停止转动 小物体由Ｐ ：① ， ，
。 ，
道的倾斜面下滑 起跳阶段 当进入起跳区时 运动员两腿
点滑至圆盘上的某点停止 下列说法正确的是 Ｄ ；② ， ，
。 （ ）
猛蹬滑道快速伸直 同时上体向前伸展 飞行阶段 在空中
， ；③ ，
运动员保持身体与雪板基本平行 两臂伸直贴放于身体两侧
、
的姿态 着陆阶段 运动员落地时两腿屈膝 两臂左右平伸
；④ ， ， 。
下列说法正确的是 Ｂ
（ ）
圆盘停止转动前 小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切 #
Ａ． ，
BC
线方向
,K
圆盘停止转动前 小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小
Ｂ． ，
为 ｍωｒ
２
圆盘停止转动后 小物体沿圆盘半径方向运动
Ｃ． ， 助滑阶段 运动员深蹲是为了减小与滑道之间的摩擦力
圆盘停止转动后 小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量 Ａ． ，
Ｄ． ， 起跳阶段 运动员猛蹬滑道主要是为了增加向上的速度
大小为ｍωｒ Ｂ． ，
飞行阶段 运动员所采取的姿态是为了增加水平方向速度
４． （ 湖北， ， 分）一质点做曲线运动 在前一段时间内 Ｃ． ，
２０２２ ７ ４ ， 着陆阶段 运动员两腿屈膝是为了减少与地面的作用时间
Ｄ． ，
速度大小由ｖ增大到 ｖ 在随后的一段时间内速度大小由 ｖ
２ ， ２ ８． （ 海南， ， 分）太空探测器常装配离子发动机 其基
２０２０ ８ ３ ，
增大到 ｖ 前后两段时间内 合外力对质点做功分别为Ｗ 和
５ ， ， １ 本原理是将被电离的原子从发动机尾部高速喷出 从而为探
，
Ｗ 合外力的冲量大小分别为Ｉ 和Ｉ 下列关系式一定成立
２， １ ２。 测器提供推力 ， 若某探测器质量为 ４９０ ｋｇ， 离子以 ３０ ｋｍ／ｓ 的
的是 Ｄ
（ ） 速率 （ 远大于探测器的飞行速率 ） 向后喷出 ， 流量为 ３ ． ０×
Ａ． Ｗ ２＝３ Ｗ １， Ｉ ２≤３ Ｉ １ Ｂ． Ｗ ２＝３ Ｗ １， Ｉ ２≥ Ｉ １ １０ －３ ｇ／ｓ， 则探测器获得的平均推力大小为 （ Ｃ ）
Ｗ Ｗ Ｉ Ｉ Ｗ Ｗ Ｉ Ｉ ． ． ． ．
Ｃ． ２＝７ １， ２≤３ １ Ｄ． ２＝７ １， ２≥ １ Ａ．１４７ Ｎ Ｂ．０１４７ Ｎ Ｃ．００９ Ｎ Ｄ．０００９ Ｎ
５． （ 福建， ， 分）（多选）甲 乙两辆完全相同的小车均 ９． （ 福建， ， 分）福建属于台风频发地区 各类户外设
２０２３ ７ ６ 、 ２０２１ ４ ４ ，
由静止沿同一方向出发做直线运动 以出发时刻为计时零 施建设都要考虑台风影响 已知 级台风的风速范围为
。 。 １０
点 甲车的速度 时间图像如图 所示 乙车所受合力 时间 ． ． 级台风的风速范围为 ．
， － （ａ） ， － ２４５ ｍ／ｓ～２８４ ｍ／ｓ，１６ ５１ ０ ｍ／ｓ～
图像如图 所示 则 ＢＣ ． 若台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌 则
（ｂ） 。 （ ） ５６０ ｍ／ｓ。 ，
９４ 5年高考3年模拟 B版 物理（教师用书）
级台风对该交通标志牌的作用力大小约为 级台风的
１６ １０
Ｂ
（ ）
倍 倍 倍 倍
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．１６
１０． （ 河北， ， 分）某科研团队通过传感器收集并分析
２０２３ ６ ４
运动数据 为跳高运动员的技术动作改进提供参考 图为跳
， 。
高运动员在起跳过程中 其单位质量受到地面的竖直方向支 碰撞前ｍ 的速率大于ｍ 的速率
， Ａ． ２ １
持力随时间变化关系曲线 图像中 ． 至 ． 内 曲 碰撞后ｍ 的速率大于ｍ 的速率
。 １０１０ ｓ １０３５ ｓ ， Ｂ． ２ １
线下方的面积与阴影部分的面积相等 已知该运动员的质 碰撞后ｍ 的动量大于ｍ 的动量
。 Ｃ． ２ １
量为 ６０ ｋｇ， 重力加速度ｇ取 １０ ｍ／ｓ ２ 。 下列说法正确的是 Ｄ． 碰撞后ｍ ２ 的动能小于ｍ １ 的动能
Ｃ ４． （ 湖南， ， 分） 年 查德威克用未知射线轰击氢
（ ） ２０２２ ４ ４ １９３２ ，
核 发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子 即中
'/ ， （
子 组成 如图 中子以速度ｖ 分别碰撞静止的氢核和氮核
） 。 ， ０ ，
碰撞后氢核和氮核的速度分别为 ｖ 和 ｖ 设碰撞为弹性正
１ ２。
碰 不考虑相对论效应 下列说法正确的是 Ｂ
， ， （ ）
UT
起跳过程中运动员的最大加速度约为 ２
Ａ． ４２ ｍ／ｓ
起跳后运动员重心上升的平均速度大小约为
Ｂ． ３ ｍ／ｓ
碰撞后氮核的动量比氢核的小
起跳后运动员重心上升的最大高度约为 ． Ａ．
Ｃ． ０４５ ｍ
碰撞后氮核的动能比氢核的小
起跳过程中运动员所受合力的冲量大小约为 Ｂ．
Ｄ． ３３０ Ｎ·ｓ
ｖ 大于ｖ
Ｃ． ２ １
考点 2 动量守恒定律及其应用 学生用书P76 ｖ 大于ｖ
Ｄ． ２ ０
５． （ 北京， ， 分）在同一竖直平面内 个完全相同的
考向1 动量守恒定律的理解及基本应用 ２０２０ １３ ３ ，３
小钢球 号 号 号 悬挂于同一高度 静止时小球恰能接
１． （ 全国乙， ， 分）如图 光滑水平地面上有一小车 一 （１ 、２ 、３ ） ，
２０２１ １４ ６ ， ，
触且悬线平行 如图所示 在下列实验中 悬线始终保持绷紧
轻弹簧的一端与车厢的挡板相连 另一端与滑块相连 滑块与 ， 。 ，
， ， 状态 碰撞均为对心正碰 以下分析正确的是 Ｄ
车厢的水平底板间有摩擦 用力向右推动车厢使弹簧压缩 ， 。 （ ）
。 ，
撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动 在地面参考系
。
可视为惯性系 中 从撤去推力开始 小车 弹簧和滑块组成
（ ） ， ， 、
的系统 Ｂ
（ ）
将 号移至高度ｈ释放 碰撞后 观察到 号静止 号摆至
Ａ． １ ， ， ２ 、３
动量守恒 机械能守恒
Ａ． ， 高度ｈ 若 号换成质量不同的小钢球 重复上述实验
。 ２ ， ，
动量守恒 机械能不守恒
Ｂ． ， 号仍能摆至高度ｈ
３
动量不守恒 机械能守恒
Ｃ． ， 将 号一起移至高度ｈ释放 碰撞后 观察到 号静止
Ｂ． １、２ ， ， １ ，２、
动量不守恒 机械能不守恒
Ｄ． ， 号一起摆至高度ｈ 释放后整个过程机械能和动量都守恒
３ ，
２． （ 课标 ， ， 分）甲 乙两个物块在光滑水平桌面上
２０２０ Ⅲ １５ ６ 、 将右侧涂胶的 号移至高度ｈ释放 号碰撞后粘在一
Ｃ． １ ，１、２
沿同一直线运动 甲追上乙 并与乙发生碰撞 碰撞前后甲 乙
， ， ， 、
起 根据机械能守恒 号仍能摆至高度ｈ
， ，３
的速度随时间的变化如图中实线所示 已知甲的质量为 将 号和右侧涂胶的 号一起移至高度ｈ释放 碰撞后
。 Ｄ． １ ２ ， ，２、
则碰撞过程两物块损失的机械能为 Ａ 号粘在一起向右运动 未能摆至高度ｈ 释放后整个过程
１ ｋｇ， （ ） ３ ， ，
机械能和动量都不守恒
６． （ 浙江 月， ， 分）在爆炸实验基地有一发射塔
２０２１ １ １２ ３ ，
发射塔正下方的水平地面上安装有声音记录仪 爆炸物自发
。
射塔竖直向上发射 上升到空中最高点时炸裂成质量之比为
，
初速度均沿水平方向的两个碎块 遥控器引爆瞬间开
２ ∶ １、 。
始计时 在 末和 末先后记录到从空气中传来的碎块撞
Ａ．３ Ｊ Ｂ．４ Ｊ Ｃ．５ Ｊ Ｄ．６ Ｊ ， ５ ｓ ６ ｓ
３． （ 北京， ， 分）质量为ｍ 和ｍ 的两个物体在光滑 击地面的响声 已知声音在空气中的传播速度为 忽
２０２２ １０ ３ １ ２ 。 ３４０ ｍ／ｓ，
水平面上正碰 其位置坐标ｘ随时间ｔ变化的图像如图所示 略空气阻力 ｇ取 ２ 下列说法正确的是 Ｂ
， 。 ， １０ ｍ／ｓ 。 （ ）
下列说法正确的是 Ｃ 两碎块的位移大小之比为
（ ） Ａ． １ ∶ ２
１ ０２ 5年高考3年模拟 B版 物理（教师用书）
实验微专题
实验微专题 8 验证动量守恒定律 学生用书P89 用ｍ 和ｍ 表示 然后通过测得的具体数据验证硬币对
（ １ ２ ），
心碰撞过程中动量是否守恒
１．（ 新课标， ， 分）某同学用如图所示的装置验证动量守 ；
２０２４ ２２ ６
由于存在某种系统或偶然误差 计算得到碰撞前后甲动量
恒定律 将斜槽轨道固定在水平桌面上 轨道末段水平 右侧 （４） ，
。 ， ，
变化量大小与乙动量变化量大小的比值不是 写出一条产生
端点在水平木板上的垂直投影为Ｏ 木板上叠放着白纸和复 １，
，
这种误差可能的原因 见解析
写纸 实验时先将小球ａ从斜槽轨道上Ｑ处由静止释放 ａ ： 。
。 ，
从轨道右端水平飞出后落在木板上 重复多次 测出落点的平
３．（ 山东， ， 分）在第四次 天宫课堂 中 航天员演示了
２０２４ １３ ６ “ ” ，
； ，
均位置Ｐ与Ｏ点的距离ｘ 将与ａ半径相等的小球ｂ置于轨 动量守恒实验 受此启发 某同学使用如图甲所示的装置进
Ｐ， 。 ，
道右侧端点 再将小球ａ从Ｑ处由静止释放 两球碰撞后均落 行了碰撞实验 气垫导轨两端分别安装ａ ｂ两个位移传感器
， ， ， 、 ，
在木板上
；
重复多次
，
分别测出ａ
、
ｂ两球落点的平均位置Ｍ
、
Ｎ ａ测量滑块 Ａ与它的距离 ｘ Ａ， ｂ 测量滑块 Ｂ 与它的距离 ｘ Ｂ。
与Ｏ点的距离ｘ ｘ 部分实验步骤如下
Ｍ、 Ｎ。 ：
2 测量两个滑块的质量 分别为 ． 和 ．
B ① ， ２０００ ｇ ４０００ ｇ；
C 接通气源 调整气垫导轨水平
② ， ；
拨动两滑块 使Ａ Ｂ均向右运动
③ ， 、 ；
④
导出传感器记录的数据
，
绘制ｘ
Ａ、
ｘ
Ｂ
随时间变化的图像
，
分
别如图乙 图丙所示
0 . 1 / 、 。
B# " # # C
完成下列填空
：
记ａ ｂ两球的质量分别为ｍ ｍ 实验中须满足条件ｍ
（１） 、 ａ、 ｂ， ａ E!#
ｍ 填 或
＞ ｂ（ “＞” “＜”）； 图甲
如果测得的ｘ ｘ ｘ ｍ 和ｍ 在实验误差范围内满足关
（２） Ｐ、 Ｍ、 Ｎ、 ａ ｂ YDN YDN
系式 ｍ ｘ ｍ ｘ ｍ ｘ 则验证了两小球在碰撞中满足动 " #
ａ Ｐ＝ ａ Ｍ＋ ｂ Ｎ ，
量守恒定律 实验中 用小球落点与Ｏ点的距离来代替小球
。 ，
水平飞出时的速度 依据是 小球ａ、ｂ离开轨道后均做平抛运
，
动，两者下落时间相同，因此可以用水平位移代替水平飞出时
的速度进行验证 UT UT
。
图乙 图丙
２．（ 辽宁， ， 分）某同学为了验证对心碰撞过程中的动量
２０２３ １１ ８ 回答以下问题
守恒定律 设计了如下实验 用纸板搭建如图所示的滑道 使 ：
， ： ， 从图像可知两滑块在ｔ ． 时发生碰撞
硬币可以平滑地从斜面滑到水平面上 其中ＯＡ为水平段 选 （１） ＝ １０ ｓ ；
， 。 滑块Ｂ碰撞前的速度大小ｖ ． 保留 位有效
择相同材质的一元硬币和一角硬币进行实验 （２） ＝ ０ ２０ ｍ／ｓ（ ２
。 数字
）；
通过分析 得出质量为 ． 的滑块是 Ｂ 填 Ａ 或
（３） ， ２００ ０ ｇ （ “ ”
Ｂ
“ ”）。
图 图 ４．（ 全国甲， ， 分）利用图示的实验装置对碰撞过程进
（ａ） （ｂ） ２０２２ ２３ １０
测量硬币的质量 得到一元和一角硬币的质量分别为 ｍ 行研究 让质量为ｍ 的滑块Ａ与质量为ｍ 的静止滑块Ｂ在
， １ 。 １ ２
和ｍ ｍ ｍ 将硬币甲放置在斜面上某一位置 标记此位 水平气垫导轨上发生碰撞 碰撞时间极短 比较碰撞后Ａ和Ｂ
２（ １＞ ２）。 ， ， ，
置为Ｂ 由静止释放甲 当甲停在水平面上某处时 测量甲从 的速度大小ｖ 和ｖ 进而分析碰撞过程是否为弹性碰撞 完
。 ， ， １ ２， 。
Ｏ点到停止处的滑行距离ＯＰ 将硬币乙放置在Ｏ处 左侧与 成下列填空
。 ， ：
Ｏ点重合 将甲放置于Ｂ点由静止释放 当两枚硬币发生碰
， 。
撞后 分别测量甲 乙从Ｏ点到停止处的滑行距离ＯＭ和ＯＮ
， 、 。
保持释放位置不变 重复实验若干次 得到ＯＰ ＯＭ ＯＮ的平
， ， 、 、
均值分别为ｓ ｓ ｓ 调节导轨水平
０、 １、 ２。 （１） 。
在本实验中 甲选用的是 一元 填 一元 或 一角
（１） ， （ “ ” “ ”） 测得两滑块的质量分别为 ． 和 ． 要使碰撞
（２） ０５１０ｋｇ ０３０４ ｋｇ。
硬币
； 后两滑块运动方向相反 应选取质量为 ． 的滑块作
， ０ ３０４ ｋｇ
碰撞前 甲到Ｏ点时速度的大小可表示为 μｇｓ 设 为Ａ
（２） ， ２ ０ （ 。
硬币与纸板间的动摩擦因数为μ 重力加速度为ｇ 调节Ｂ的位置 使得Ａ与Ｂ接触时 Ａ的左端到左边挡板
， ）； （３） ， ，
ｓ ｓ ｍ 的距离ｓ 与Ｂ的右端到右边挡板的距离ｓ 相等
若甲 乙碰撞过程中动量守恒 则 ０－ １ ２ １ ２ 。
（３） 、 ， ｓ ＝ ｍ 使Ａ以一定的初速度沿气垫导轨运动 并与Ｂ碰撞 分别
２ １ （４） ， ，
专题七 动量守恒定律 １ ０３
用传感器记录Ａ和Ｂ从碰撞时刻开始到各自撞到挡板所用的 表中的ｋ ． 保留 位有效数字
（６） ２＝ ０３１ （ ２ ）。
时间ｔ 和ｔ ｖ
１ ２。 １的平均值为 ． 保留 位有效数字
将Ｂ放回到碰撞前的位置 改变Ａ的初速度大小 重复步 （７）ｖ ０３２ （ ２ ）。
（５） ， ， ２
骤 多次测量的结果如表所示 理论研究表明 对本实验的碰撞过程 是否为弹性碰撞可
（４）。 。 （８） ， ，
ｖ ｖ
由 １判断 若两滑块的碰撞为弹性碰撞 则 １ 的理论表达式
１ ２ ３ ４ ５ ｖ 。 ， ｖ
ｔ ／ ． ． ． ． ． ２ ２
１ ｓ ０４９ ０６７ １０１ １２２ １３９ 为 ｍ ２－ ｍ １ 用ｍ 和ｍ 表示 本实验中其值为 ． 保
ｔ ／ ． ． ． ． ． ｍ （ １ ２ ）， ０３４ （
２ ｓ ０１５ ０２１ ０３３ ０４０ ０４６ ２ １
留 位有效数字 若该值与 中结果间的差别在允许范围
ｖ ２ ）； （７）
ｋ ＝ｖ １ ０ ． ３１ ｋ ２ ０ ． ３３ ０ ． ３３ ０ ． ３３ 内 ， 则可认为滑块Ａ与滑块Ｂ在导轨上的碰撞为弹性碰撞 。
２
