文档文本内容
知识解构
知识点1 平面向量的基本定理 知识点2 平面向量的坐标运算
知识点3 平面向量共线的坐标表示
题型破译 (含超链接）
题型
1 基底的概念及辨析
【方法技巧】判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
题型
2 用基底表示向量
题型
3 利用平面向量基本定理求参数
题型
4 平面向量线性运算的坐标表示
题型
5
向量共线的坐标表示及应用
【方法技巧】判断向量共线的方法及应用
题型
6 利用坐标求向量模的问题
题型
7 平面向量线性运算的综合应用
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
内容导航
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
平面向量的基本定理
全国Ⅰ卷T2（5 分）
平面向量线性运算的
坐标表
全国一卷，T6（5 分）
全国二卷，T12（5 分）
由向量共线(平行)的
坐标表示求参数
全国甲卷，T12（5 分）
考情分析
平面向量基本定理与坐标表示，核心考查向量分解、坐标运算、共线判定及线性
关系转化，常结合几何图形综合命题；是选择填空题常规高频考点，考查稳定、
近三年考情分析，平面向量基本定理及坐标表示以小题为主，侧重基底拆分、坐
标参数计算，融合几何场景考查转化推理能力。
复习目标
（1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题；
（2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运
算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题；
（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用．
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 平面向量的基本定理
（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数λ1，λ2，使
（2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
自主检测设
，
是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
知识点2 平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝
.
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝
自主检测若向量
，
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔
.
必记结论
1．若a 与b 不共
，且
线
λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P
段
为线
AB 的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
点
则
P 的坐标为.
3．已知△ABC 的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
点
则
G 的坐标为.
【谨防三个易误点】
（1））基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底
中的向量.
（2）a∥b 的充要条件不能表示为x1
x2
= y1
y2
，因为x2，y2有可能为0.
(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么
位置，它们的坐标都是相同的.
自主检测（1）已知向量
，
，若
，则y 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
（2）（2026·湖北荆州·一模）已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题●型●破●译
题型1 基底的概念及辨析
例1-1（多选）已知
，
是平面内两个不共线的向量，则下列各组向量中，能作为该平面一组基底的有
（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
例1-2 若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知，要判断两个向量a，b 能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是
否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb 成立．另外，作为基的向量必为非零向量
【变式训练1-1】（多选）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】若
是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①
和
②
和
③
和
④
和
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
题型2 用基底表示向量
例2-1
中，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2 在平行四边形
中，
，
，若
为线段
上靠近
的三等分点，
交
于
，
则
.（用
，
表示）
【变式训练2-1·变载体】已知点
为
的重心（
三条中线的交点），记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】若点O 是平行四边形
两条对角线的交点，
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】在平行四边形ABCD 中，
，
，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-4·变载体】（2026 高三·全国·专题练习）如图，已知
中，点
是以
为中点的点
的
对称点，
是将
分为
的一个内分点，
和
交于点
，设
，
．
（1））用
和
表示向量
、
；
（2）若
，求实数
的值．
题型3 利用平面向量基本定理求参数
例3-1 在
中，
是
边上靠近点
的三等分点，
是
的中点，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．1
例3-2 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点
为
的重心，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-3【新思维】（2026 高三·全国·专题练习）已知点M 为
中
边上的中点，点N 满足
，过点N 的直线与
分别交于P，Q 两点，且设
，则
的值为
（ ）
A．5
B．6
C．9
D．10
【变式训练3-1·变载体】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点
是
的重心，若
，
则
（ ）
A．-1
B．
C．0
D．1
【变式训练3-2·变载体】在
中，
，点
为
与
的交点，
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【变式训练3-3·变载体】在
中，点
是
边的中点，点
是
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-4】在平行四边形
中，
，
交
于点
，若
，则
.
题型4 平面向量线性运算的坐标表示
例4-1 已知
，若
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 已知
，
，
三点的坐标分别为
，
，
，且点
满足
.
（1）求点
的坐标；
（2）若点
满足
，判断向量
与向量
是否共线，并证明你的结论.
【变式训练4-1】已知点
，点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】（25-26 高三上·黑龙江牡丹江·期中）
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】如果用，
分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且
，
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．5
D．
【变式训练4-4】与向量
平行的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式训练4-5·变载体】（25-26 高三上·四川绵阳·期中）已知点
，点
在线段
的延长线
上，且
，则点
的坐标为______.
题型5 向量共线的坐标表示及应用
例5-1（2026·辽宁辽阳·阶段检测）已知向量
，
，
.若
、
、
三点共线，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2（2026·湖南长沙·阶段检测）已知向量
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
例5-3（25-26 高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形
，
，
，过点
作
于点
，
为
的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明：
（1）
；
（2）
三点共线．
方法技巧 判断向量共线的方法及应用
（1）判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向
量平行的坐标来判断，即先求出
，
，若
，则
．
（2）由向量共线求参数的值
已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知
两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的
方程或方程组求解．
【变式训练5-1】已知
，且
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2·变设问（2026·江西·一模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3·变考法】（2026·湖北荆州·一模）已知向量
，
，则“
”是“
”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练5-4】已知向量
，
，
，若
与平行，则实数
.
【变式训练5-5·变载体】已知向量
，若
，则
题型6 利用坐标求向量模的问题
例6-1（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
例6-2 已知平行四边形
中，
．则对角线
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【变式训练6-1】（2026·广东佛山·二模）设向量
，
，则
（ ）
A．5
B．8
C．15
D．17
【变式训练6-2·原创题】（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量
与向量
的方向相反，
，点
坐标为
，则点
坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3 变考法】（25-26 高三上·北京丰台·期中）已知平面向量
，
.
（1））若
，求实数
的值；
（2）设
，若
三点共线，求m 的值.
题型7 平面向量线性运算的综合应用
例7-1（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
例7-2【新思维】在△ABC 中，已知
与
的夹角是90°，
，
，M 是BC 上的一点，且
，且
，则
的值为________．
【变式训练7-1·变载体】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，且
，则
___________．
【变式训练7-2·原创题】设向量
其中
为坐标原点，
，
若
三点共线， 则
的最小值为 .
【变式训练7-3·变载体】（25-26 高三上·江苏淮安·阶段检测）如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点.
（1）若
，则
的值
（2）若
交
于点
，求线段
的长
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
3.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量
，若
，则
_________．
4.（2025·上海·高考真题）已知
，若
，则
__________．
5.（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线段长度
代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.在下列各组向量中，可以作为基底的是( ).
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
2.已知向量
，
.当
为何值时，
与a 垂直?
3.已知
的顶点
，
，
，求顶点D 的坐标.
4.如图，在
中，
，点E 是CD 的中点.设
，
，用a，b 表示
，
.
5.已知向量
，
，
，求满足
的
和
的值.
6.已知点
，
，
，且
，
，求点
，
及向量
的坐标.
7.已知点
，
，且
，
，
，求点C，D，E 的坐标.
8.已知平面直角坐标系中，点O 为原点，
，
.
（1）求
的坐标及
的值；
（2）若
，
，求
与
的坐标；
（3）求
的值.
9.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F，G 分别是AD，BC 的三等分点
.设
，
.
（1）用a，b 表示
，
.
（2）如果
，EF，EG 有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
10.如图，设Ox，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，
，
分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向
量.若向量
，则把有序数对
叫做向量
在坐标系xOy 中的坐标.设
.
（1）计算
的大小；
（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.
