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专题一 三角函数、解三角形与平面向量
第2 讲 三角函数的图象与性质
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅰ卷，T4)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan(x−π
3)的图象的一个对称中心，则a 的最小值为(
)
A.π
6
B.π
3
C.π
2
D.4 π
3
2.(2025·天津，T8)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在[−5 π
12 ，π
12]上单调递增，且x= π
12为它的一条对称轴，
(
π
3 ，0)是它的一个对称中心，当x∈[0，π
2]时，f(x)的最小值为( )
A.-
❑√3
2
B.-1
2
C.1
D.0
3.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T9)对于函数f(x)=sin 2x 和g(x)=sin(2 x−π
4)，下列说法中正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3 个零点，则ω 的取值范
围是 .
5.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B 是直线y=1
2与曲线y=f(x)的两个交点，若|
AB|=π
6 ，则f(π)= .
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题，主要题型为选择题或填空题，分值约为5~6
分.
【考向预测】一是考查三角函数图象变换，考查根据给出的两个三角函数确定变换的方法以及根据给出的
变换方法确定参数值的问题；二是考查三角函数的图象，考查根据给出的三角函数图象确定函数解析式中
的参数，根据给出的情境确定三角函数图象等问题；三是考查三角函数的性质，考查根据三角函数解析式
研究三角函数的单调性、对称性、周期性等性质.
考点一 三角函数的图象变换
【典例】1 (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|< π
2)的最小正周期为π，且过点(−π
3 ，0)，若将
f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的1
2，横坐标不变，再向左平移π
3 个单位长度得到g(x)的图象，则
g(x)等于( )
A.sin(2 x + π
6)
B.sin(2 x−π
6)
C.sin(2 x + π
3)
D.sin(2 x−π
3)
(2)(2025·湖州模拟)已知函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)，将函数y=f(x)的图象向左平移π
6ω个单位长度后
得到函数y=g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)=0 在[0，7 π
12]上有且仅有两个不相等的实数根，则实数
ω 的取值范围是( )
A.[
10
7 ，24
7 )
B.[
16
7 ，4)
C.[
10
7 ，4)
D.[
16
7 ，24
7 )
【考法归纳】三角函数图象平移问题的处理策略
(1)看平移要求：确定由哪一个函数的图象平移得到哪一个函数的图象，这是判断移动方向的关键.
(2)看左右移动方向：左“+”右“-”.
(3)看移动单位：在函数y=Asin(ωx+φ)的图象中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向进行的，所以ω 和φ
之间有一定的关系，要知道φ 是初相，再经过ω 的放缩，最后移动的单位长度是|
φ
ω|(注意先移后缩和先缩
后移的区别).
【变式训练】1 (1)(2025·南京模拟)把函数y=cos x 图象上所有点的横坐标变为原来的1
2(纵坐标不变)，
再将图象上所有的点向右平移π
6 个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)等于( )
A.cos(2 x−π
6)
B.cos(2 x−π
3)
C.cos(
1
2 x−π
6)
D.cos(
1
2 x−π
12)
(2)(2025·太原模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)(−π
2 <θ< π
2)的图象先向左平移π
6 个单位长度，再向上平移1 个
单位长度后，所得的图象经过点(
π
4 ，2)，则θ 等于( )
A.-π
6
B.π
6
C.-π
3
D.π
3
考点二 三角函数的图象与解析式
【典例】2 (1)(2025·湖南省沅澧共同体模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A >0，ω>0，|φ|< π
2)的部分
图象如图所示，图象与x 轴的一个交点为M(
5
2 ，0)，与y 轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足
NM⊥NP.若将f(x)的图象向左平移1 个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)，则g(-2)等于( )
A.❑√10
B.0
C.
❑√10
2
D.-
❑√10
2
(2)已知函数f(x)=Acos(ωx-φ)(A >0，ω>0，|φ|< π
2)的部分图象如图所示，将y=f(x)图象上所有点的横
坐标伸长到原来的3
2倍，再将所得函数图象向左平移π
8 个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的
解析式为( )
A.g(x)=2cos(
9 x
2 −π
8)
B.g(x)=2cos(2 x−π
8)
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2cos 2x
【考法归纳】由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得
B= M +m
2
，A= M −m
2
.
(2)T 定ω：由周期公式T=2π
ω ，可得ω=2π
T .
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋
势.
【变式训练】2 (1)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=❑√3sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，
B，C，D 四点在同一个圆上，则ω 等于( )
A.1
B.1
2
C.π
D.π
2
(2)如图所示，将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移得到g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)的图象，其中P 和
P1分别是f(x)图象上相邻的最高点和最低点，点B，A 分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，若
AP⊥AP1，S△AP P1=15，则g(x)的解析式为 .
考点三 三角函数的性质
【典例】3 (1)(多选)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=2❑√3sin2x+sin(2 x + 2π
3 )，则下列说法正确的是(
)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点(
π
3 ，❑√3)对称
C.f(x)在区间(0，π
2)上的值域为[
❑√3−1，3 ❑√3
2 )
D.若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y 轴对称，则φ 的最小值为5 π
12
(2)(2025·清远质检)已知函数f(x)=❑√3sin πωx-cos πωx(ω>0)在[0，1]内恰有3 个最值点和3 个零点，则实
数ω 的取值范围是( )
A.(
10
3 ，23
6 ]
B.[
10
3 ，23
6 )
C.[
7
3 ，19
6 )
D.[
8
3 ，19
6 )
【考法归纳】研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的形式，然后结合正弦函数
y=sin x 的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x 的性质求出f(x)的性质，然后判断各选
项；另一种是由x 的值或范围求得t=ωx+φ 的范围，然后由y=sin t 的性质判断各选项.
【变式训练】3 (1)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ωx −π
6)(ω>0)在(−π
3 ，π
6)上单调递增，且其图
象关于点(
π
3 ，0)对称，则f (
2π
3 )等于( )
A.-
❑√3
2
B.-1
2
C.1
2
D.
❑√3
2
(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0，−π
2 <φ< π
2)的图象经过点(0，-❑√3)，
g(x)=f(x)-1 的零点之间距离的最小值为2，则( )
A.f(2)=
❑√3
3
B.f(x)的单调递增区间为(−1
3 +2k ，5
3 +2k)(k∈Z)
C.f(x)的图象关于点(k + 2
3 ，0)(k∈Z)对称
D.f(x)=sin(−π
2 x + 4 π
3 )(0≤x≤5)的解集为{
2
3 ，14
3 }
【限时训练】（限时：60 分钟）
[分值：84 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·汕头模拟)要得到函数y=sin 2x 的图象，只要将函数y=sin(2 x + π
3)的图象( )
A.向右平移π
3 个单位长度
B.向左平移π
6 个单位长度
C.向右平移π
6 个单位长度
D.向左平移π
3 个单位长度
2.(2025·杭州模拟)“φ=-π
4 +kπ(k∈Z)”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点(
π
4 ，0)对称”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025·苏北七市调研)已知函数f(x)=❑√3sin 2x-2cos2x 的图象关于直线x=x0对称，则tan 2x0等于( )
A.
❑√3
3
B.-
❑√3
3
C.❑√3
D.-❑√3
4.(2025·湖北省鄂东南联盟模拟)已知函数f(x)=sin(ωx −3 π
4 )的图象向左平移π
12个单位长度后，得到的图象
关于y 轴对称，则满足条件且|ω|最小的ω 的值为( )
A.3
B.-3
C.15
D.2
5.(2025·漳州质检)已知f(x)=sin(
1
2 x + π
3)，若f(x)在区间[a，a+ π
6](0<a<2π)上不单调，则实数a 的取值范
围是( )
A.(
π
6 ，π
4)
B.(
π
6 ，π
3)
C.(
π
4 ，π
3)
D.(
π
6 ，5 π
3 )
6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ< π
2)的图象如图所示.已知A(−5
3 ，−2)，B(
1
3 ，2)，将f(x)的图象向
右平移2 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2sin(
π
2 x−π
3)
B.g(x)=2sin(
π
2 x + π
3)
C.g(x)=-2sin(
π
2 x−π
3)
D.g(x)=-2sin(
π
2 x + π
3)
7.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2 x + π
6)的图象向左平移π
6 个单位长度得到，则y=f(x)的
图象与直线y=1
2x-1
2的交点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈(
π
4 ，π
3)，若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞，1]
B.[❑√3，+∞)
C.(1，❑√3)
D.[1，❑√3]
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·荆州质检)已知函数f(x)=sin(x + π
4)+sin(x−π
4)，则( )
A.函数f (x−π
2)为偶函数
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)在区间(−π
4 ，π
4)上单调递增
D.曲线y=f(x)关于点(k π + π
2 ，0)，k∈Z 对称
10.(2025·湖北八校协作体联考)已知函数f(x)=sin 2x，若将f(x)的图象向右平移π
12个单位长度后，再把所得
曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.g(x)=sin(x−π
12)
B.g(x)的图象关于点(
π
6 ，0)中心对称
C.g(x)的图象关于直线x=π
3 对称
D.g(x)的图象与f(x)的图象在[0，2π]内有4 个交点
11.(2025·安徽A10 联盟质检)由函数g(x)，h(x)相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成
函数”.已知g(x)=2sin x，h(x)=|sin 2x|，其优生成函数记为f(x)，则( )
A.f(x)的图象关于直线x=-π
2 对称
B.f(x)在区间(
3 π
2 ，2π)上先增后减
C.f(x)的值域为[−2，3 ❑√3
2 ]
D.f(x)在区间[0，10π]上有11 个零点
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.(2025·南京模拟)函数f(x)=cos 2x-6cos x+1 的值域为 .
13.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)=2sin ωx 与g(x)=2cos ωx(ω>0)的图象上任意3 个相邻的交点构成
直角三角形，则ω= .
14.已知函数f(x)=3sin(2 x−π
3)-2cos2(x−π
6)+1，把函数f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度，得到函数g(x)
的图象.若x1，x2是关于x 的方程g(x)=a 在[0，π
2]内的两根，则cos(x1+x2)的值为 .
【巩固必刷题】 (15 题6 分，16 题5 分，共11 分)
15.(多选)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=sin x|cos x|+cos x|sin x|，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的周期为π
2
B.f(x)的图象关于直线x=π
4 对称
C.f(x)在[0，π]上恰有3 个零点
D.若f(ωx)(ω>0)在[0，π
2]上单调递增，则ω 的最大值为1
2
16.(5 分)(2025·玉溪模拟)直线y=
❑√3
2 与函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的交点为A1，A2，A3，…，
An(1≤i<j≤n，i∈N*，j∈N*)，若x∈[
1
2 ，5]，|AiAj|min=1
4 ，|AiAj|max=9
2，则f (
13
16)= .
