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专题一 三角函数、解三角形与平面向量
第4 讲 平面向量
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅰ卷，T6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中
称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速
对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.
已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，
单位：m/s)，则该时刻的真风为( )
级数
名称
风速大小(单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A.轻风
B.微风
C.和风
D.劲风
2.(2024·全国甲卷，T9)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则( )
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件
B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件
D.“x=-1+❑√3”是“a∥b”的充分条件
3.(2024·新课标Ⅱ卷，T3)已知向量a，b 满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于( )
A.1
2
B.
❑√2
2
C.
❑√3
2
D.1
4.(2025·全国Ⅱ卷，T12)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|= .
5.(2025·天津卷，T14)在△ABC 中，D 为AB 边的中点，⃗CE=1
3⃗CD，⃗AB=a，⃗AC=b，则⃗AE= (用
a，b 表示)，若|⃗AE|=5，AE⊥CB，则⃗AE·⃗CD= .
6.(2024·天津卷，T14)在边长为1 的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，CE=1
2DE，⃗BE=λ⃗BA+μ⃗
BC，则λ+μ= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 的中点，则⃗AF·⃗DG的最小值为 .
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要题型为选择题或填空题.分值为5 分.
【考向预测】一是考查平面向量的基本运算，主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题)和坐标运算以
及平面向量的数量积，利用已知向量分解目标向量，根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或由模的
值求参数等；二是考查平面向量基本定理，利用基底表示向量及向量共线求参数等；三是考查平面向量的
综合应用，根据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算，研究最值问题或平面图形的几何性质等.
考点一 平面向量的基本运算
【典例】1 (1)(多选)向量a，b 满足|a|=2，|b|=1，(a+2b)·a=6，下列说法正确的是( )
A.a·b=1
2
B.a 与b 的夹角θ 为60°
C.a 在b 上的投影向量的模为1
D.|a-b|=❑√3
(2)如图，在四边形ABCD 中，|⃗AC|=4，⃗BA·⃗BC=12，E 为AC 的中点.⃗BE=2⃗ED，则⃗AD·⃗CD的值为(
)
A.0
B.12
C.2
D.6
【考法归纳】
1.求非零向量a，b 数量积的三种方法
(1)定义法：a·b=|a||b|cos〈a，b〉.
(2)坐标法：①若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解，即设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则
a·b=x1x2+y1y2；②若未知向量坐标，则可通过建立平面直角坐标系表示出向量的坐标，进而利用坐标运算求
解.
(3)几何法：灵活运用平面向量数量积的几何意义进行求解.
2.含有线段中点的向量问题，利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化.
极化恒等式：a·b=1
4 [(a+b)2-(a-b)2].
【变式训练】1 (1)(2025·杭州模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(2，1)，若(ta+b)⊥(-2a+tb)，则实数t 等于(
)
A.1 或1
2
B.-2 或1
2
C.-1 或2
D.-2 或1
(2)(2025·合肥质检)已知向量e1=(1，0)，e2=(1，❑√3)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2则a 与b 的夹角为( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.2π
3
考点二 平面向量基本定理
【典例】2 (1)(2025·重庆模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，已知⃗CE=1
2⃗CD，⃗AF=1
3⃗AD，直线
BE，CF 交于点O，若⃗AB=a，⃗AD=b，则⃗AO等于( )
A.3
8a+1
4 b
B.3
5a+4
5 b
C.1
3a+2
3b
D.5
8a+3
4 b
(2)如图，在菱形ABCD 中，E，F 分别为AB，BC 上的点，⃗BE=3⃗EA，⃗BF=3⃗FC.若线段EF 上存在一点
M，使得⃗DM=1
2⃗DC+x⃗DA(x∈R)，则x 等于( )
A.3
4
B.3
2
C.2
3
D.4
3
【考法归纳】
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决.
2.平面向量等和线定理
平面内一个基底{⃗OA，⃗OB}及任一向量⃗OP，且⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB(λ，μ∈R)，若点P 在直线AB 上或在平行于
AB 的直线上，且k=OP
OF =O B1
OB =O A1
OA ，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行
的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB 时，k=1；
(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O 点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；
(6)定值k 的绝对值与等和线到O 点的距离成正比.
【变式训练】2 (1)(2025·大庆模拟)如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，点D 是BC 的中点，
点E 在AD 上，且DE=2AE.若⃗BE·⃗AD=-29
3 ，则AC 等于( )
A.6
B.8
C.2❑√13
D.6❑√5
(2)(多选)(2025·长沙模拟)记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，2b2+2c2=5a2，⃗AE=1
3⃗AC，⃗
AF=1
3⃗AB，BE 交CF 于点M，AM 交BC 于点D，则( )
A.cos∠BAC≥3
5
B.⃗BD=2
3⃗BC
C.AD=a
D.若△ABC 的面积为18，BE=3，则CM=8
考点三 平面向量的最值与范围问题
【典例】3 (1)如图，边长为1 的正方形ABCD 内接于圆O，P 是弧BC(包括端点)上一点，则⃗AP·⃗AB的
取值范围是( )
A.[1，4+ ❑√2
4 ]
B.[1，2+ ❑√2
2 ]
C.[1，1+ ❑√2
2 ]
D.[
❑√2
4 ，1]
(2)(2025·安庆模拟)已知向量a，b 满足|a|=|b|=2，a·b=2，向量a-c 与向量 b-c 的夹角为π
6 ，则|a-c|的最大
值为( )
A.❑√3
B.2
C.4 ❑√3
3
D.4
【考法归纳】向量数量积的最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征
直接进行判断.
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等
问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
【变式训练】3 (1)在平行四边形ABCD 中，⃗AB
|⃗AB| + 3⃗AD
|⃗AD| = λ⃗AC
|⃗AC |
，λ∈[❑√7，3]，则cos∠BAD 的取
值范围是( )
A.[−1
2 ，−1
6]
B.[−1
2 ，1
3]
C.[−2
3 ，1
3]
D.[−2
3 ，−1
6]
(2)(2025·宜春模拟)若图中正方形ABCD 的边长为4，圆O 的半径为 4❑√2，正方形ABCD 的中心与圆O
的圆心重合，动点P 在圆O 上，且⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD，则 λ+μ 的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
专题强化练
[分值：84 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·北京延庆区模拟)已知|a|=❑√3，|b|=2，a·b=3，则〈a，b〉为( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.π
2
2.(2023·全国乙卷)正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则⃗EC·⃗ED等于( )
A.❑√5
B.3
C.2❑√5
D.5
3.(2025·滁州质检)已知O 为△ABC 的重心，D 为AB 的中点，则⃗OD等于( )
A.1
2⃗AB-1
3⃗AC
B.1
6⃗AB-1
3⃗AC
C.1
3⃗AB+1
4⃗AC
D.1
2⃗AB+2
3⃗AC
4.(2025·郴州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A(2，-1)，B(1，1)，⃗OP=λ⃗OA+(2-λ)⃗OB，若⃗
OP⊥⃗OB，则λ 的值为( )
A.4
B.2
C.-2
D.-3
5.(2025·蚌埠模拟)在四边形ABCD 中，2⃗AB=3⃗DC，⃗AB=(1，❑√2)，⃗AD=(❑√2，-1)，则该四边形的面积为(
)
A.4
B.2❑√2
C.5
2
D.15
4
6.(2025·河南豫东名校模拟)已知平面向量a，b，c，满足 |a|=|b|=4❑√3，a 与b 的夹角为π
3 且 (a-2c)·(b-
c)=0，则|c|的最大值为( )
A.2❑√5+3
B.❑√21+3
C.2❑√5+❑√3
D.❑√21+❑√3
7.若AB 为双曲线x
2
16- y
2
4 =1 上经过原点的一条动弦，M 为圆C：x2+(y-2)2=1 上的一个动点，则⃗MA·⃗MB的最
大值为( )
A.15
4
B.7
C.-7
D.-16
8.(2025·安庆模拟)已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n 项和，Sn
T n
=3n+2
4 n+5，设点A 是直线BC 外一
点，点P 是直线BC 上一点，且⃗AP=a2+a6
b3⃗
AB+λ⃗AC，则实数λ 的值为( )
A. 8
25
B.- 9
25
C. 2
25
D.-21
25
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·广州模拟)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速
度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量
之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过
2 m/s 或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量，其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s 时，需调整飞行姿态.已知
某区域风速稳定，某次无人机计划沿x 轴正方向为线路巡检时，空速向量为(3，4)(单位：m/s)，风速向量
为(1，-1)(单位：m/s)，则( )
A.地速向量的大小为5 m/s
B.地速向量的方向与空速向量的方向相同
C.纵向偏移量与标准值无偏差
D.该无人机需要调整飞行姿态
10.(2025·重庆模拟)已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且⃗AP=2m⃗AB+n⃗AC， m，n∈R，则下列说法正确
的是( )
A.若m=n=1
2，则点P 是边BC 的中点
B.若点P 是边BC 上靠近B 点的三等分点，则m=n=1
3
C.若2m+n=1
2，则S△PBC=2S△ABC
D.若点P 在BC 的中线上，且2m+n=2
3，则点P 是△ABC 的重心
11.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，M 为线段AD 上的动点(包括端点)，⃗BM=λ⃗BE+μ⃗BD，则下
列结论正确的是( )
A.当M 为线段AD 的中点时，λ+μ=3
2
B.λμ 的最大值为1
3
C.μ 的取值范围为[0，1]
D.λ+μ 的取值范围为[
1
2 ，2]
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.(2025·辽阳模拟)已知向量a=(-2，1)，b=(1，x)，若a∥b，则a·(a-b)= .
13.已知△AOB，点P 在直线AB 上，且满足⃗OP=2t⃗PA+t⃗OB(t∈R)，则|⃗PA |
|⃗PB|
= .
14.(2025·天津南开模拟)在梯形ABCD 中，AB=AD=2，⃗BC=3
4⃗AD，⃗AC·⃗BD=-1
2，记⃗AB=a，⃗AD=b，用a
和b 表示⃗CD= ；若点E 为BD 上一动点(包括端点)，则⃗AE·⃗BC的最大值为 .
【巩固必刷题】(15 题6 分，16 题5 分，共11 分)
15.(多选)奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为SA，SB，SC，且SA·⃗
OA+SB·⃗OB+SC·⃗OC=0.设O 是锐角 △ABC 内的一点，角A，B，C 分别是△ABC 的三个内角，则( )
A.若⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
B.若|⃗OA|=|⃗OB|=2，∠AOB=5 π
6 ，2⃗OA+3⃗OB+4⃗OC=0，则S△ABC=9
2
C.若O 为△ABC 的内心，3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=0，则C=π
2
D.若O 为△ABC 的垂心，3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=0，则cos∠AOB=-
❑√6
6
16.(5 分)如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P 在以C 为圆心，且
与直线BD 相切的圆内(不含边界)运动，设⃗AP=α⃗AD+β⃗AB(α，β∈R)，则α+β 的取值范围是
.
