文档文本内容
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
1．（24-25 高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形
中，
是对角线
的
交点，
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参.
【详解】在平行四边形
中，
是对角线
的交点，
，
因为
，
则
，
.
故选：A.
2．（24-25 高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形
中，
为
的中点，
为
的
中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算结合已知条件把
用
表示，再由平面向量基本定理
可求得
的值，从而可求得答案.
【详解】如图，由题，
，
，
所以
.
故选：A.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
满足
，
，
，若
为线段
的中点，并且
，则
的最大值为
（ ）．
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】由向量模的计算可得
的关系，利用三角函数性质可得最大值.
【详解】因为向量
满足
，
，
设
，
因为
，则
，从而
.
因为
为线段
的中点，所以
由
得
，
设
，
，
，
则
，
当
时，
取最大值
．
故选：A．
4．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知向量
，向量
，若向量
，则实数m=（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【答案】C
【分析】计算出
，根据向量垂直得到方程，求出答案.
【详解】
，又
，
故
，解得
.
故选：C
5．（24-25 高一下·吉林长春·期末）已知向量
，且
，则
（ ）
A．
或
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标表示求解.
【详解】因为向量
，且
，
所以
，即
，解得
或
．
故选：A．
6．（24-25 高一下·四川成都·期末）若向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解可得.
【详解】由
，得
，解得
.
故选：A.
7．（多选）（24-25 高一下·山东淄博·期末）已知向量
，其中
，则
下列说法正确的是（ ）
A．若
，则的值为2
B．若
，则的值为
C．若
与
的夹角为锐角，则
D．若
，则
与
的夹角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】由向量的坐标运算可逐项判断.
【详解】对于A，
，则
，故A 正确；
对于B，若
，则
，故B 正确；
对于C，
与
的夹角为锐角，所以
，
又
时，
与
的夹角为0，
所以
与
的夹角为锐角，
，故C 错误；
对于D，
，
，
，故D 正确；
故选：ABD.
8．（24-25 高一下·广西钦州·期末）已知向量
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】对于A，由向量平行坐标表示可得答案；对于B，由向量垂直坐标表示可得答案；
对于C，由向量模坐标计算公式可得答案；对于D，由向量数量积坐标表示可得答案.
【详解】对于A，因
，则
，故A 错误；
对于B，因
，则
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：BD
9．（2025·江西·模拟预测）已知向量
满足
，则
.
【答案】
【分析】先根据数量积的坐标运算求得
，再根据向量的线性坐标运算求解即可.
【详解】因为
，解得
，
则
，所以
.
故答案为：
10．（24-25 高一下·山东威海·期末）已知向量
，
，若
，则
．
【答案】2
【分析】根据向量坐标的线性运算先求
，利用共线向量的坐标运算即可求解.
【详解】由题意有
，
因为
，所以
，
故答案为：2.
11．（24-25 高一下·甘肃白银·期末）如图，在
中，D 是
的中点，E 是
的中
点，设
，
.
(1)用
，表示向量
；
(2)若点F 在
上，且
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量基本定理得到
，
；
（2）设
，所以
，结合条件得到
，从而得到
.
【详解】（1）因为
，
是
的中点，所以
，
因为
是
的中点，
所以
；
（2）设
，所以
，
又
，所以
，所以
，
设
，则
，又D 是
的中点，
故
，
，
故
.
12．（24-25 高一下·安徽蚌埠·期末）平面内给定三个向量
.
(1)求
与
的夹角的余弦值；
(2)求满足
的实数m，n.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可.
（2）根据向量的坐标公式求出
的值.
【详解】（1）因为
，
所以
，所以
.
（2）因为
，且
，
所以
，
，解得
.
B 相遇高考
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
2．（2024·上海·高考真题）已知
，且
，则
的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，
，解得
．
故答案为：15．
C 素养提升
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
是
上三点，射线
与
的延长线（不包
括点
）交于点
，若
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量三点共线的推论与向量共线的性质即可得解.
【详解】因为
三点共线，不妨设
，其中
，
，
又
三点共线，且
反方向，不妨设
，
所以
，
又
，则
，
所以
，
故选：D.
2．（2025 高三·全国·专题练习）若
是直线上不同的三点，点
在直线外，且使得
关于实数
的方程
有解，则此方程的解是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据向量的线性运算转化为
，再根据平面向量基本
定理的推论，即可列式求解.
【详解】由于题设条件为“
是直线上不同的三点”，点
在直线外，
则
，
从而
，即
．
因为
三点共线，所以
，
得
（舍去），
.
故选：D．
3．（2025 高一·全国·专题练习）在平行四边形
中，
是
边的中点，
与
相
交于点
，若
，则
的值是（ ）．
A．
B．2
C．1
D．
【答案】A
【分析】解法1 应用相似得出比例关系结合平面向量基本定理求出
即可求解；解法2
应用向量的数乘运算结合三点共线即可计算求解.
【详解】解法1：根据题意可知
，所以
，
故
，所以
，
所以
．
解法2：因为
，
，
所以
，
因为
三点共线，
所以
，所以
．
故选：A．
4．（2025 高三·全国·专题练习）如图，正
与正
组成“六芒星”，
为“六
芒星”的中心，
为“六芒星”上一点（边界上），且
，则
的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】作出辅助线，得到
，结合图形确定
取最值的点
的位置，根据平行
关系求出
，从而求出结果.
【详解】连结
，并记它们的交点为
，记
的中点为
，如图．
由等和线知当点
在直线
上时，有
．
作一系列与
平行的直线与“六芒星”相交，记任意与
平行的直线与线段
相交
于点
，则
的绝对值为
与
长度的比值，从而当点
与点
重合时，
分
别取到最大值与最小值．下面计算
的值．
一方面，
，所以
；
另一方面，
，所以
．
从而得到
．
故答案为：
.
5．（2025 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知两点
，若点
满足
，其中
且
，则点
的轨
迹是 ．
【答案】直线
【分析】方法1：利用向量的方法证明
三点共线即可.
方法2：设
，求
点的轨迹方程，与直线
比较可得结论.
【详解】方法1：因为
，
，
所以
.
所以
三点共线.
所以点
的轨迹是直线
.
方法2：设
，因为
，
所以
.
因为
，所以
，化简得：
.
又直线
的方程为：
，化简得：
.
所以点
的轨迹是直线
.
故答案为：直线
6．（24-25 高一下·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方
形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对
直角三角形
（其中
，
）按上述操作作图后，得如图所示的图
形，若
，则
.
【答案】
/
【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设
，求得
的坐标，再由
列式求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
设
，则
，
则
，
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，
所以
，则
，
所以
，
则
，
故答案为：
.
