高中数学——猿题库——小猿热搜——高考数学典型题300（答案册）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

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辩目2绿
第-章集合＆基本初等函数
考点一集合的运算………ˉ…….
考点二充分条件与必要条件…..
考点三函数的概念与性质…..…｝
考点四二次函数…·…………….
』
考点五指数与指数函数.。………』
考点六对数与对数函数…………
考点七函数与方程………………
考点八函数模型及其应用.………
考点九函数综合…………………°
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斗
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第二章立体几何＆平面解析几何
考点＿空间几何体……………………..
考点二点｀直线、平面的位置关系…….。
考点三空间向量的应用………………。。
考点四圆与方程………………………°·
考点五圆锥曲线…….……。……………
考点六曲线与方程…….…………·……
13
13
l5
l7
25
28
45
■■
第三章三角函数＆平面向量＆三角恒等变换＆解三角形
考点一三角函数…………..…….……………..….………..………
考点二平面向量的基本概念……………………。………………….
考点三平面向量的线性运算…………………………….……….…
考点四平面向量基本定理及坐标表示…………………………。.…
考点五平面向呈的数量积……………………………。………。……
考点六两角和与差公式……………………………………。…….…
考点七倍角公式与半角公式…………………………….…ˉ…..….
了
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○
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β
旬
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斗
斗
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日
日
日
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55
57
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考点八简单的三角恒等变换…….
考点九正弦定理与余弦定理.……
考点十正余弦定理的应用……….
第四章数列＆不等式.
考点—等差数列…………。
考点二等比数列…….……
考点三数列的递推与通项。
考点四数列的求和……….
考点五数列综合………ˉ…
〕
］
▲
β
了
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β
了
’
β
β
β
β
β
了
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γ
了
考点六二元一次不等式组
中■■
考点七线性规划…
考点八均值不等式
第五章导数＆计数原理＆推理与证明＆复数＆选讲部分
考点—ˉ
导数的计算……..…ˉ…………….ˉ.….…。…….……………..
考点二导数在研究函数中的应用……………………….………….…
考点三排列与组合……………………………..………………………
考点四二项式定理.…. 』…….…….………………………….….…….
考点五复数…………………………………………………….……。
考点六合情推理与演绎推理.…………………………………………,
考点七两个基本原理…………………………………·………………』
考点八参数方程与极坐标………………….…………………………』
考点九不等式选讲….…..……………………………………………
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β
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第六章统计＆概率….…Ⅷ
考点—随机抽样.……………。
考点二事件＆概率＆几何模型
考点三随机变量及其分布…..
考点四统计案例……….……….
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第-章集台＆墓本初等函数
考点-集台的运算
1。［答案］
A
［解析］
法-:由x2＋y2≤3知,ˉ√了≤绷≤√可,ˉ何≤γ≤厄又愈巨Z,y巨Z’所以知巨
｛ˉl ,0,l
｝’γ巨｛ˉl ,0,l
｝,所以A中元素的个数为C』C』＝9’故选A
法二:根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆卯2＋y2
≡3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.
γ↑
／
Z
2［答案］
C
［解析］
法—:（通性通法）集合A表示函数y≡2愿的值域,故A＝（0’＋T）.由绷2-l＜0’得-1＜鳃＜1,故B＝（—1
’
1）。所以A（ˉ」B＝（—l ,＋的）.故选C.
法二: （速解法）由函数γ＝2∑的值域可知,选项A’B不正确;由（）2ˉl＜0可知,（）eB’故0匡A（ˉ」B,故排除选项D’
选C.
考点二充分条件与必要条件
3［答案］
C
［解析］
因为｜α-3b｜＝｜3α＋b｜’所以（αˉ3b）2＝（3α＋b）2’所以α2-6α。b＋9b2≡9α2＋6α.b＋b2,又因为｜α｜
≡
｜b｜＝l ’所以α。b≡0’所以α上b;反之也成立故选C。
4［答案］
A
［解析］
本题主要考查充分条件与必要条件.
由卜＋｜≤÷得0…］所以0＜缴』≤｜;
由卿3＜1得勿＜1 ,不能推出0＜“＜l.
所以“ 」蕊—÷片｀是渝』≤!,｀的充分而不必蜜条件
故本题正确答案为A.
5. ［答案］
B
［解析］
由｜匆＿1 ｜≤l’得（）≤鳃≤2’因为0≤如≤2＝刃≤2,匆≤2台0≤绷≤2,故“2-匆≥0,,是‘‘ ｜虹-1 ｜≤1,’的必要而不充
分条件,故选B.
6。［答案］
A
［解析］
根据已知’如果直线α’b相交,则平面α,β—定存在公共点,故其＿定相交;反之,如果平面α,β相交,分别
位于这两个平面内的直线未必相交’故为充分不必要条件,故选A
·3·
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7。［答案］
B
［解析］
因为3α＞3b＞3’所以α＞b＞l ｀此时logα3＜log63正确;反之’若logα3＜logb3’则不＿定得到3α＞3b＞3’例如
当α二＋’b＝＋时』!°:.3≤l°g‘3成立,但推不出α≥b＞｜故“3α＞3b＞3,,是“log“3＜logb3’!的充分不必要条件
8· ［答案］
A
［解析］
本题主要考查充分条件与必要条件
o充分性:当α＞l时’上＜1 ’即充分性成立;
α
@必要性:若上＜l,则α≠0,则α2
α
上＜α2,有α2ˉα＞0’即α（αˉl）＞0’
α
解得α＜0或α＞1 ’则必要性不成立
故“α＞1,’是“＿L＜1”的充分非必要条件
α
故本题正确答案为A
考点三函数的概念与性质
9。［答案］
A
1＋卯＞0,
｛…队得!…皿…霍义域为（ˉ｜」）
［解析］
由
又因为／（—匆）＝ln（1-鳃）-ln（1＋如）≡ˉ／（鳃）
,
所以∧x）为奇函数
′（腮）＝击辨六当膊巨（0,］）时’′（鞭）≥0｀
所以／（勿）在（0,1）上为增函数。故选A
10。［答案］
D
［解析］
法—:（通性通法）函数γ＝l0］g厕的定义域为（0,＋的）,又当如＞0时’y＝l0lg“＝如,故函数的值域为（0’＋的）
有D选项符合
法二: （速解法）易知函数γ＝l0lgx中如＞0’排除选项A、C;又l0lgx必为正值,排除选项B故选D.
口
／、
11. ［答案］
D
［解析］
A项’根据题意可知’当匆＞0时′（勿）≡z2＋1 ,图象是二次函数的＿部分;当如≤0时’／（则）＝cos力,图象是
余弦函数的＿部分,故当匆巨R时’∧勿）的图象不关于γ轴对称’故A项错误;
B项’当勿≤0时抓鳃）＝cos匆,由余弦函数的图象可知,在区间（—的’0］既有增区间,又有减区间,故B项错误;
C项,当勿＞0时抓卯）≡卯2＋1 ’不是周期函数,故C项错误;
D项当鳃≤0时’／（z）＝cos如可得／（勿）巨［ˉ1 ,l］;当鳃＞0时′（匆）≡卿2＋l可得／（如）匡（1’＋的）,故函数／（卿）的值
4
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域为［ˉ1’＋的）’故D项正确.故选D
12. ［答案］
C
［解析］
由∧瓣）是奇函数可得,α＝ˉ／（!°舅÷）二／（｜°g25）,因为!。蜀5≥｜。岛4』＞l。g24二2≥2u』’且函数／（鞭）是增
函数’所以C＜b＜α.故选C·
13. ［答案］
D
［解析］
由∧嘶）＝∧2α—嘶）知∧氮）的图象关于如≡α对称’且α≠0,A’C中两函数图象无对称轴,B中函数图象的对
称轴只有卯≡0’而D中当α＝k∏-1（片匡Z）时’虹≡α都是y≡cos（卯＋l）的图象的对称轴.故选D
14［答案］
D
［解析］
因为／（z）为奇函数’所以∧ˉ卵）＝ˉ／（z）’由此可得α＝1 ’故／（卯）≡鳃3＋鳃√,（z）≡3z2＋1 ’／（0）≡1 ’所以
曲线y≡／（勿）在点（0’0）处的切线方程为y＝匆.
15. ［答案］
B
［解析｜
因为∧鹏）＋∧ˉ露）二2Ⅱγ＝宁＝｜带÷,所以函数y二∧鹏）与γ二宁的图象都关于点（0,!）对称.
所以』:鳃′＝0』′2γ』＝苦×2＝″』,故选E
16. ［答案］
I）
［解析］
由题意可知’当ˉ｜≤鳃≤｜时.／（财）为奇函数,且当巍＞＋时,／（鳃＋l）＝／（獭）』所以／（6）＝／（5×l＋l）＝
鱼
／（1）.而／（l）≡-／（ˉ1）＝ˉ［（ˉl）3—1］＝2’所以／（6）＝2.故选D
17. ［答案］
D
蜒ˉ＋）…（ˉ丽＝…崇0）为奇圈数排除选…;当撼二厕‖M雾）-（耐ˉ÷）…
（
［解析］
函数∧卯）＝
1
≡—-∏＜0’排除选项C’故选D
∏
18。［答案］
C
［解析］
由／（“）是偶函数得／（—√百）≡／（徊）,再由偶函数在对称区间上单调性相反,得／（z）在（0’＋的）上单调递
减’所以由2｜.ˉ｜
｜＜徊得｜侧—］
｜＜＋,即÷＜α＜÷
19［答案］
C
［解析］
因为／（卿）≡ˉ／（ˉz）,则卿e（0’I）时’ˉz巨（ˉ1’0）,所以／（卯）≡—／（ˉ厕）≡ˉ
（0＜x＜1）.
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5。
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由于24＜20＜25 ’则4＜log220＜5,0＜log220-4＜l ,
因为∧鳃）＝∧鳃十4）则∧l。息:20）二∧l°凰220ˉ4）≡—2（ˉ｜·嗡2o＿＂
｜ˉ—ˉL×l6ˉ＋＝—」
5
20
即／（log220）≡＝l.故选C
20. ［答案］
A
［解析］
对于选项M蕊）＝2 ″二（＋「,则e饥躯）二e＂（＋）篓＝（÷）露,囚为÷≥l’所以e饥瓣）在R上单调递
增,所以／（鳃）≡2ˉ翼具有M性质·对于选项B’／（豹）＝购2’e7（期）≡e膊鳃2,［ey（筋）］′＝e翼（鞭2＋2知）,令e翼（苑2＋2嘶）＞0,
得x＞0或则＜ˉ2;令e募（x2＋2剿）＜0’得＿2＜则＜0,所以函数e丫（匆）在（—。· ,ˉ2）和（0,＋西）上单调递增,在
（ˉ2.0）上单调递减.所以／（襄）＝葱掣不具有M性质对十选项q′（撼）＝Jˉ′＝（＋）’则e7（骡）＝e′（＋）』＝
（÷）.因为÷＜］.所以》＝（÷）牲R上单调递减.所以′（x）＝3ˉ愿不具有M性质对十选项u′（鳃）＝…
e丫（z）≡e剿cos鳃,则［e讥鲸）］′＝e露（cos施ˉsin鳃）≥0在R上不恒成立’故e7（卯）≡e剪cos鳃在R上不是单调递增的,
所以∧勿）＝cosx不具有M性质。故选A.
［答案］
C
［解析］
法-:由题意知／（则）≡ln鳃＋ln（2—卿）的定义域为（0,2）.／（肛）＝ln［卯（2-匆）］＝ln［—（zˉ1）2＋］］.由复
合函数的单调性知’函数′（蕊）＝ln鞭＋ln（2—颜）在（0.］）单调递蠕｀在（l ,2）单调递减,所以抖卜除A,B;又′（＋）＝
ln＋＋｜n（2ˉ十）＝ln÷√（÷）二｜n÷＋ln（2ˉ÷）＝ln÷’所以′（＋）＝／（÷）二ln÷,所以排除D,故选（1
灌二;鹏题意知……（2—…义域为（0…）＋壶÷｛吕卜曲｛（财得…;Ⅷ
21
｛〈财得｜…藤以…）ˉ｜…｜…）窿（皿…增森｝｜……以捌…;№
／（＋）＝l＂÷刊n（2＿＋）＝ln÷′（÷）＝‖n÷＋ln（2—÷）＝ln÷’所以／（÷）＝′（÷）＝｜n÷所以排除
D,故选C。
22。［答案］
B
［解析］
本题主要考查函数的概念与性质.
设／（l）处的点为A｜’若∧绷）逆时针旋转÷后与原图象重合,
则旋转后的图象g（期）上Al的对应点A2’同时有A2的对应点A3’以此类推
则／（如）对应的图象可以为＿个圆周上的12等分的12个点.
当∧z）取值为√5时,因为OA｜与z轴正半轴夹角为60°,
其逆时针旋转÷时形成的｜2个散点,考虑到对称性,
在同一个虹处可能同时存在2个／（匆）值,如Al和A9’不符合函数定义’故A项错误
同理当′（雕）≡亨和0时亦不符合函数定义故cD项错误
↑十↑十↑十｛ˉ
『≡『←『…厂丁ˉ丫丫
△…』■凹耳曲中罕巴■■＝≡八■＋□
6·
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故′（翼）的可能取值只能是卓
＝
故本题正确答案为B
23。［答案］
／（卯）＝sin斯（答案不唯＿）
［解析］
这是＿道开放性试题,答案不唯＿,只要满足／（鳃）＞／（0）对任意的绷巨（0,2］都成立,且函数／（鳃）在［0’2］
上不是增函数即可。如／（勿）＝sin勿,答案不唯＿。
考点pq二次函数
24。［解］
（l）／（如）＝卵2—2砸＋5≡（勿—α）2＋5ˉα2’所以函数／（则）的对称轴为z≡α.所以／（勿）在［l ,α］上单调递减,所
｛!Ⅲ:雪二懈德健≡1
以／（1）≡α,／（α）＝1 ’即
（2）因为／（x）在区间（-由’2］上是减函数’所以α≥2.所以αˉ1≥（α＋1）＿α’
所以／（熊）在［1 ,α＋l］k的最大值为∧1）＝6-2α’最小值为∧α）＝5-α2。
由题意得则／（l）ˉ／（α）≤4,即6-2αˉ（5-α2）≤4’解得-1≤α≤3’
又α≥2’所以2≤α≤3.
［评析］
（l）根据函数方程得到函数的对称轴,判断出函数的最大值点和最小值点,代人数值求解。
（2）通过对称轴判断出函数的最大值和最小值,再利用最大值和最小值求解
考点五指数与指数函数
25. ［答案】
D
7
3
［解析］
设2瓣二3Ⅱ二5‘＝k＞｜,所以※＝log』隐,γ≡l。g』附.:＝l。g,删因为2撼ˉ3γ＝2l。g2附ˉ3l°g』滁＝哼哼-
2l。勤3—3l。翰2
‖°勋32ˉ‖°鄙2｀
｜°勤÷
3
5
logk2. logk3
＝log腮2. log腮3
＝log雁2. log腮3＞0’所以2腮＞3y;因为3γ—5舅＝3log』kˉ5log5k＝哼…＝
3l。勤5ˉ5l。:β
l°勤5』＿l°勤3’
l°输毙
2
5
log偷3 . logk5
＝log账3 . log腮5
＝log隐3 . log腮5＜0,所以3γ＜5z;因为2腮ˉ5凰＝2log2k-5log5k＝哼呵5＝
2l。g膝5ˉ5l°鄙2
l°勤52ˉl。g＂2,
l。喘
三≡
吕＝
log片2
. log片5
·7·
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26｛答案］
C
［解析］
设（x,y）为γ＝／（鳃）图象上任意＿点,则（—γ,ˉ鳃）在y＝2甄十α的图象上,
所以有-x＝2ˉy十α,从而有-y＋α＝log2（＿抛）（指数式与对数式的互化）,
所以y≡α—lOg2（—X）,即／（觅）≡α-lOg2（-刀）
,
所以／（—2）＋／（—4）≡（α-log,2）＋（α-log,4）≡（α—1）＋（饥-2）＝l ,解得α≡2』故选C
考点六对数与对数函数
27. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查对数与对数函数
囚为α＝｜。g2e＝诺＝亡,b＝h!2,
又因为上≡（ln2）2＜l ,所以b＜α,
α
凶为c＝｛。玛÷＝l。蹋3＝铝.
又因为ln3＞lne’所以C＞α!
综上有c＞α＞6.
故本题正确答案为u
28。［答案］
C
［解析］
由／（鳃）为奇函数,知g（撼）＝v（鳃）为偶函数因为／（z）在R上单调递增,／（0）≡0,所以当卿＞0时,／（z）＞
0,所以g（z）在（0’＋°°）上单调递增,且g（勿）＞O又α＝g（-log25. 1）＝g（log25。l）’b≡g（2o8）’c＝g（3）’2o8＜2
＝log24＜log25. l＜log28＝3’所以b＜α＜c’故选C。
29. ［答案］
B
［解析］
法＿:（通性通法）因为0＜c＜1 ’所以γ≡logcz在（0,＋切）单调递减’又0＜6＜α,所以logcα＜logcb,故
选B
法二; （速解法）取α二4,0＝2,c＝÷,则l。g片＝＋＞l。昆＋,排除A;4, ＝2＞2』.排除C;（＋「＜（÷）2排
除I）;故选B.
30. ［答案］
4
［解析］
由于α＞0’b＞0,α6≡8’
所以6＝旦.
α
所以l°g2″!。g2（2b）＝l。g2″l。gi（乎）二l°g2″（4ˉl°爵2α）≡ˉ（l。g』αˉ2）2＋4,
当且仅当log2α＝2’即α＝4时’log2α. log2（26）取得最大值4
8
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考点七函数与方程
31。［答案］
A
［解析］
当见＞2时√（熊）＝（z—2）2’g（厕）＝兔—1.
当0≤匆≤2时√（z）＝2＿卵’g（孵）≡3-虹.
当z＜0时｀／（勿）＝2＋z,g（匆）＝3-如2.
由于函数γ＝八鳃）-g（卯）的零点个数就是方程／（匆）ˉg（匆）≡0的根的个数。
当艘＞2时,方橇∧鳃）ˉ‘（蕊）-0可化为鞭’—5…-0,其根为瓣-坠i但或蜒二竿（舍去）;
当0≤匆≤2时’方程／（Z）-g（刃）＝0可化为2ˉ匆＝3—绷’无解;
当膊＜0时,方程∧腮）ˉg（膊）＝0可化为腮2＋鳃＿｜＝0,其根为颠＝ˉl了鸟
所以函数y＝／（虹）—g（x）的零点个数为2.
ˉ1＋匝（舍去）
’
γ＝
2
32. ［答案］
C
［解析］
当0＜α＜1时’α＋l＞1√（α）＝伍j（α＋1）＝2（α＋lˉ1）＝2α,因为／（α）＝／（α＋1）,所以√万＝2α’解得
α＝十或α＝0（舍去）所以′（÷）二∧4）＝2×（4＿l）＝6当α＞l时,。刊＞2,所以／（α）＝2（α—l）’／（α＋l）＝
2（α＋l—｜）＝2α所以2（αˉ｜）＝2α’尤解当α二｜时,α＋l＝2讽l）＝0√（2）＝2不符合题意综上√（÷）＝6故
选C。
33. ［答案］
D
［解析］
根据函数／（鳃）解析式可得｜／（卯）
｜
故｜∧m）｜的图象如下所示:
｛熊（『堂0
~~
y
＼卜」垫ˉ
O
勿
o当α≡0时’ ｜／（z）｜≥α鳃＝0恒成立,所以,α＝0时满足条件;
@当α＞0时,在鳃＜0时’ ｜／（鳃）｜≥α卵恒成立,所以只需在期＞0时,ln（匆＋1）≥α卯恒成立即可.对比对数函数和＿次
函数的增长速度’在α＞0时’＿定会存在ln（匆＋1）＜呵的情况,所以,α＞0时’不满足条件;
o当α＜0时’在则＞0时, ｜／（卯）｜≥α鳃恒成立,所以只需在鳃＜0时,如2～2施≥m｀恒成立即可’即α≥勿ˉ2恒成立,所以
α≥-2·
综上可知α的取值范围为［-2’0］.故选D。
34. ［答案］
D
［解析】
因为函数／（匆）为奇函数,所以可以得到当X巳（—1’0］时｀／（虹）＝—／（—匆）≡—lOg＝（-鳃＋1）≡lOg2（1ˉ卯）;
当如巨（-@’-1］时’／（-绷）＝-／（鳃）＝ˉ（1-｜—匆-3｜）≡｜勿＋3｜＝1 ’所以函数／（熊）图象如图:
·9·
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v
′
＾
＝
—
…
γ
—
—
＼
＿
＼
Z全兰≡兰
卜‖／2叫
｜~~~
｜~~~
函数F（卯）的零点即为函数y≡／（z）与y＝α的交点’如图所示’共5个,当苑巨（—四’-1］时,令｜卯＋3｜ˉ1＝α,解得:
鳃l≡ˉ4＿α,匆2＝α-2;当卵巨（—1’0］时,令log2（1—鳃）＝o,解得:鳃3≡］ˉ2o;当z巨［1 ,＋°°）时,令l-｜z—3｜≡α,解
得:虹4＝4-α’卯≤≡α＋2;所以所有零点之和为:舞l＋卯2＋工3＋x4＋卯5＝-4—α＋α-2＋1＿2α＋4-α＋α＋2＝l—2α。
故选D
35。［答案］
C
［解析］
因为∧x）是奇函数,所以∧鳃）＝ˉ∧—勿）,又y＝／（如）的图象关于直线z≡l对称,所以∧l＋卯）＝∧l—卿）
,
』
所以∧鳃＋2）≡′（鳃＋l＋l）＝∧ˉ露）＝—∧蹦）′所以函数的周期是4′（厕）＝l在瓣匡（0｀l］中解得鳃＝＋’因为y≡
j（瓣）的图象关于直线膊＝」对称,所以蹦＝÷也是∧膨）ˉ｜＝0的解又因为函数的周期是4,所以蹦＝4带＋＝÷,Ⅱ
二4÷＝÷均是方程的解,所以方程在（0,6）内的零点之和为÷令÷＋÷÷＝l2故选c
易错项分析:本题的难点和易错点是根据奇函数的图象关于直线x≡l对称’得出函数的周期为4的结论’之后根据
周期为4’找出方程的零点的特征,最后得出零点之和。
36. ［答案］
B
［解析］
法一: （通性通法）由／（则）＝／（2ˉx）知／（z）的图象关于直线z≡l对称,又函数γ＝｜卯2＿2匆-3｜＝
｜（勿ˉ1）2-4｜的图象也关于直线虹＝1对称,所以这两个函数的图象的交点也关于直线期＝l对称。不妨设如l＜舞2＜
…＜愿砸则螺宁～｜,即鳃｜＋甄厂2伺掣行蕊』十鳃瘫ˉ｜≡2,缀Ⅱ十蕊瞬ˉ』-2,…｀又2瓣』≡…蹿ˉ｜＋…｜,所以
m
2昌则t＝（“!＋卿颐）＋（躯2＋卯砸—! ）＋…＋（卯砸＋卯l ）＝2m,所以∑鳃＝m
l≡l
〖
法二:（速解法）取特殊函数／（匆）＝0（惩巨R）,它与y≡｜勿2—2冗—3｜的图象有两个交点（ˉ1 ’0）,（3,（））’此时″!≡2’匆】
＝ˉl ,匆,＝3,故∑匆′＝2≡′n,只有B选项符合
‘≡1
D
37. ［答案］
B
［解析］
当0＜′n≤l时’需满足l＋m≥（mˉl）2’解得0≤m≤3,故这时0＜m≤1。当′门＞1时,需满足（″l-1）2≥
l＋m,解得m≥3或′n≤0’故这时加≥3。综上可知,正实数′n的取值范围为（0’1］O［3,＋酶）。故选B。
38. ［答案］
［2’＋切）
［解析］
要使函数∧绷）有意义’则log2虹—l≥〔）,即z≥2,则函数／（熊）的定义域是［2,＋四）
·
l0·
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考点八函数模型及具应用
39。［答案］
D
［解析］
由已知得lg黑＝lg删ˉlg″＝36l×lg3—80×l筒｜0＝36l×048ˉ80＝9328＝lgl0鳃鳃故与升最接近
的是1093.故选D.
40. ［答案］
B
勺
［解析］
设经过躯年后该公司全年投人的研发资金开始超过200万元,则l30（］＋l2％）“＞200、即1l2颜＞台＝
｜:盖
x＞l舀1. 12
—坚2ˉlg1.3～0.30ˉ0. 11
lg1° 12
0.05
＝3。8,所以该公司全年投人的研发资金开始超过2佣万元的年份是2019年
41. ［解］
（1）由题意知,点M’Ⅳ的坐标分别为（5’40）,（20’2.5）
Z5÷〗＝40,
｜巾』严｛;二‖Ⅷ
将其分别代人y≡六,得
）
‖
川
∑
′
（
］
’
〖
′
′
Ⅱ
】
】
‖
｀
｀
（2）O由（l）知』y＝吗1（5≤则≤20）’则点P的坐标为
冗
设在点P处的切线′交舞,y轴分别于A’B两点,y′＝-2ˉ凶1
3
卯
则』的方程为γˉ型9ˉˉ2粤9（躯ˉ′）
’
t
t
｀
Ⅱ
□
】
】
』
′
′
门
＂
勺
广
〕
’
○
（
〃
’
）
‖
’
助
—
∑
（
由此得A
）
则
〗
〕
（
＋
）
跳
—
〗
（
／
′
γ
判′』.坐!0.
▲
′
故／（t）＝
,』匡［5,20］
~
翻设‘（』）-』』带竿则:｛（川≡2』—］罕皿
令g′（Ⅱ）＝0,解得′＝10√巨:
当Ⅱ匡（5,l0√百）时,g′（r）＜0’g（!）是减函数;
当』巨（l0√Z20）时’g′（t）＞0,g（′）是增函数
从而’当『≡l0√5时,函数g（‘）有极小值,也是最小值
所以g（‘）m『＂＝300’此时／（′）mm＝15√g:
故当′≡10√豆时,公路j的长度最短’最短长度为］5√可干米
. ll
·
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考点九函数综台
42. ［答案］
A
［解析］
作出′（蕊）的图象娜图所示当》- ／÷＋鹏｜的图象缝过点（0』2）时』可知°
＝圭2当y＝÷十α的图象与γ＝瓣＋÷的图象相切时,由÷令…÷,得撼2ˉ
…-0』由△二0,并结舍闺象可得·二2要阅（露）≥｜÷＋鹏｜恒成立』当·≤0
时,需满足-α≤2’即～2≤α≤0;当α＞0时’需满足α≤2’所以-2≤α≤2.故选A。
＼3
～2
～～～々々＝?1
4-3＝2一1 O1234
勿
43. ［答案］
A
［解析］
根据题意’作出／（卯）的大致图象’如图所示当x≤l时’若要／（斯）≥
｛÷缸｜恒成立结合图象只需鳃』—叶3≥ˉ（÷°）即蕊』—÷…·≥0,
勺
故对于方程缆2ˉ÷＋3杂α＝0』△＝（ˉ÷「—4（3＋α）≤0｀解得α≥ˉ据当膊＞
｜时,若蜜∧慰）≥｜÷十哩｜懂成立结合图象,只需蕊÷≥÷扭,即÷襟÷≥
“又÷＋÷≥2,当且仅当÷＝÷’即獭＝2时等号成立,所以α≤2综上,α的取｜
综上,α的取值
y＝／t）
＼γ
＼
～～＼
＼／
O
匆
∧
选
故
｜
∑
’
们
—
脆
范围是｜｜
“（答案｜
ˉ÷
［解析］
由题意可得／（ˉ÷）二′（ˉ＋）＝—＋＋α′（÷）二′（＋）＝
÷』故∧5α）＝∧3）＝∧ˉl）＝｜带÷＝÷
l
—市则ˉ÷α＝丽,α＝
］
—
勺
▲
~
勺
～
—
气
√
45. ［答案］
8
［解析］
y
～
ˉ
几
而
火
＼
＼
丽
／
／
′
▲
／
＼
＼
厂
／
啦
／
∧
八
响
○
令g（′7l）＝｜／（卯l ）—／（z2）
｜＋｜／（匆2）—j（卯3）
｜＋…＋｜／（冗mˉl ）ˉ／（Ⅺ厕）
｜’以第＿个周期［0,2而］为例,由图可以看出,
当虹（,虹‘＋l在同＿单调区间时,应取使｜／（卯曲）ˉ／（匆』＋1 ）｜更大的点’当取两个相邻的极值点时’可以通过最小的
｜z‘—zt十l ｜得到最大的｜／（知』）-／（匆煎＋l ）
｛,在此范围内’取2个端点和2个极值点’可以用最小的m得到最大的g（匆）。
同理’在［0’6而］上,取6个极值点和2个端点,可以通过最小的m得到最大的g（匆）’此时g（x）ma＂＝12。故m的最小
值为8,且取法唯—.
、
｀
‖
′
′
■
】
』
＋
勺
～
卯
歹
『
｀
卯
46。［答案）
［解析］
当＿l…0时,0≡鳃＋l≤l ’令』＝蕴＋l ’则／（′）＝∧鲸＋｜）＝驯愿）,所以∧鳃）＝韧』）＝
韧鳃＋l）＝十（葱＋l）［lˉ（鳃＋l）］＝—蜒（惠＋l）
2
·
l2·
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第二章立体几何＆平面解析几何
考点＿空间几何体
47. ［答案］
B
［解析］
由三视图可知,该几何体为如图O所示的圆柱’该圆柱的高为2’底面周长为16。画出该圆柱的侧面展开
图’如图O所示’连接M／V,则MS＝2’S／V＝4’则从M到／V的路径中,最短路径的长度为√沁2＋S／V2＝√Pˉ互丁＝
2伍故选B.
M
｜
｜
S
Ⅳ
Ⅳ
图o
图@
48. ［答案］
A
［解析］
由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方问看,樟头看不见’所以是虚线,结合樟头的位置知选A
49. ［答案］
A
［解析］
由二视图叫知该几何体是半径为R的球截去÷所得其图象如图所示｀所以÷×
÷丽R』＝竿,解得R＝2.所以该几何体的表面积s二＋×4丽R』十3×＋丽腮2＝」7丽故选A
50［答案］
C
［解析］
依题意,当0c上平面O咽时’二棱锥…c体积最大,γ…二γ…二＋SM鹏川oc｜二÷×＋′』＝
36’所以厂≡6’球的表面积为4∏r2＝1“∏.故选C.
51［答案］
B
［解析］
由三视图可知该多面体是＿个组合体’下部是＿个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上部是＿个底面是
等腰直角三角形的三棱锥’等腰直角三角形的腰长为2’直三棱柱的高为2’三棱锥的高为2’易知该多面体有2个面
是梯形,这些梯形的面积之和为（2＋令）×2×2＝l2,故选B
垒
52. ［答案］
C
［解析］
如图;
由已知条件可知’当AB上AC时’BC中点D为△ABC外接圆的圆心’则三棱柱
ABCˉAlBlCl外接球的球心在过点D的面ABC的垂线上,同理也在过B｜Cl的中点E
的面AlBlCl的垂线上,由平面ABC／／／平面AlBlCl ,则两垂线重合,即DE上平面
ABC,DE的中点为球心O’又DE＝AAl ＝12,设△ABC外接圆半径为厂,则r＝
C
『●〗
〃圆i＋“』-÷,球（′的半径R√2＋（芋）』＝÷故选｛］
· l3.
Al
Cl
夕
夕
矿
′
′
′
〃
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
‖
｜B1
′尸、≈≈
≈
记≈
E
≈、坠
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53. ［答案］
C
［解析］
因为CS为球O的直径’A,B在球面上’且兰CSA＝么CSB＝45。’所以△ASC’△BSC均为
等腰直角三角形’可求出SA＝AC＝SB＝BC≡2√豆,么SOA＝△SOB＝90。’所以SC上平面ABO’又
1
囚为奶二2.△‖BO为正三角形测S…二乎×22＝徊.叮得γ…＝′…＋γsM圃＝丁×
§…×（c0带os）-＋×何×乍竿故选α
易错项分析:本题容易直接考虑以三棱锥SˉABC的某个表面为底求解,较难想到将其转化为两个
C
O
B
S
三棱锥的和.考生容易忽视条件的综合运用’而得不出△ASC,△BSC均为等腰直角三角形’从而得不出SC上平面
ABO’找不到三棱锥的高.
54。［答案］
C
［解析］
由已知可得该几何体的立体图为三棱锥DˉABC’如图所示.作出辅助顶
点E‖为左视图中D点在平面ABC上的投影』则△DBC是该四面体中面积最大的
删.由已知条件可知圃c≡儡″-Dc≡2徊.所以颠帜为5△即‘-粤×（2徊）』-
B
2徊故选C
A
55。［答案］
D
［解析］
如图所示设圆的半径为『,连接叫,OD,由题意知州D＝＋川β＝5寸.0D＝
（）C—（D＝（厂-1）寸.在Rt△ADO中’AD2＋OD2＝AO2’即52＋（厂—1）2＝厂2’解得r＝
］3寸,由sin么MD＝册＝告得△MD＝225.,所以△MB＝45.,则图中阴影部分面
墙体
A
｝
C
（
B
ˉˉˉˉˉ-·O
D
∏
＝—×而×132-L×10×l2≈6。3325’所以V＝S.h≈6.33×
4
积为S＝S扇形—S△ABo
2∏
2
l0（）≡633立方寸.故选D.
~
56. ［答案］
D
［解析］
如图,把三棱锥AˉBCD放到长方体中’长方体的长｀宽、高分别为5’3’4,△BCD为直
角三角形直角边分别为5枷3,三棱镶ABcD的高为4｀故该三棱锥的体积γ＝÷×＋×5×3
×4＝10.故选D。
A
C
57. ［答案］
B
［解析］
法—:由题意知,该几何体由底面半径为3’高为］〔）的圆柱截去底面半径为3’高为6的圆柱的-半所得,故
其体积γ＝而×32×l0ˉ＋×丽×32×6＝63佩
≡
法二;依题意,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的＿半所得,其体积等价于
底面半径为3,高为7的圆柱的体积’所以它的体积V＝∏×32×7＝63∏,故选B
58. ［答案］
80
40
［解析］
如图,为该几何体的直观图’由三视图可得该几何体是由＿个长、宽、高分别为4、
4、2的长方体和＿个棱长为2的正方体组合而成的’故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2
×2×4＝80（cm2）,体积为『≡4×4×2＋2×2×2＝40（cm3）.
←＝＝＝＝＝＝■
＝
≥
≥
尸
l4.
）喉惫
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59［答案］
2灯
［解析］
根据题意,设正三棱锥的高‖／O≡勿’底面三角形ABC的边AB上的高CD≡
3oD＝3γ,设半球与平面侧B切于点E,所以△Ⅶ″MⅦD｀所以册＝册Ⅱ即÷＝
军…Ⅱ』ˉ盖｀所以二棱罐愉体帜＂÷蕊÷蜒2历×』…～
仍』翻～蜜.……导碍v』～州『?雕』）冷＂』～0得嗡—正瞬蕴～
2何;根据导数判断函数单调性可知:鳃＝2√g是体积函数的极小值点’所以正三棱锥
体积最小时,其高等于2扛
C
A
B
（1）［证明］
因为P在平面ABC内的正投影为D’所以AB上PD
因为D在平面川B内的正投影为E,所以』B上DE。
所以ABˉL平面PED’故ABˉLPG
又由已知’可得PA＝PB’
所以G是AB的中点.
（2）［解］
在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA干点F｀
（2）［解］
在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F’
60
A
C
B
F即为E在平面PAC内的正投影
理由如下:由已知可得PB上川,PB上PC,又EF／／／PB,
所以EFˉLPA,EF上PC,因此EFˉL平面剧C,
即点F为点E在平面PAC内的正投影
连接CG’因为P在平面ABC内的正投影为1）,
所以D是正三角形ABC的中心.
由（l）知,G是AB的中点,
7
所以D在CG上’故CD＝二CC.
3
由题设可得PCˉL平面剧B’DEˉ［平面〃B,
所以DE〃Pc｀因此P圆＝÷PG｀DⅡ＝＋Pc
由已知’正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6’可得DE＝2’PE＝2沤
在等腰直角三角形EFP中,可得EF＝″≡2.
所以则面体P″″的体积γ＝＋×＋×2×2※2＝土
3
考点二点｀直线｀平面的位置关系
61. ［答案］
D
［解析］
由题意作图如右图所示
因为平面ABD上平面BCD,过A作BD的垂线交BD于点O’所以AO」ˉ平面BCD,所以AO
ˉlˉCD。在平面四边形中’因为▲BAD＝90。’且AD≡AB’所以乙DBA＝45°,又因为AD／／／BC,
所以乙ˉDBC≡90°＿45°≡45°;又因为乙BCD＝45°,所以乙BDC＝90°,所以CDˉLBD’所以
CDˉL平面ABD’而直线CD不在平面ABC上,而是相交,所以平面ABD与平面ABC不垂
直’故A项错误;
C
B
.
l5。
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因为AO上平面BCD,而直线AO不在平面ACD上,也不与其平行,而是相交’所以平面BCD与平面ACD不垂直’故B
项错误;
因为AO上平面BCD,而直线AO不在平面ABC上’也不与其平行,而是相交,所以平面BCD与平面ABC不垂直’故C
项错误;
由于CD上平面ABD’所以CD上AB’又因为4BAD＝90°,所以AB上平面ACD,所以平面ACD垂直平面ABC’故D项
正确.
62. ［答案］
@o@
［解析］
对于命题o,可运用长方体举反例证明其错误:
如图’不妨设AA′为直线m’CD为直线″,ABCD所在的平面为α,AB（〕′D′所在的平面为
β,显然这些直线和平面满足题目条件,但α上β不成立。
命题@正确’证明如下:设过直线″的某平面与平面α相交于直线‖,则′／／／′』,由肌上α
知m上′’从而mˉLn,结论正确
由平面与平面平行的定义知命题o正确.
由平行的传递性及线面角的定义知命题@正确
D′
T′
／7!
A′
｝D
~ ~~~~~~~~
C
~凸
』
A
B
63. （l）［证明］
由已知可得’BF上PF’BF上EF,所以BF上平面PEF.
又BFC平面ABFD’所以平面PEF上平面ABFD.
（2）［解］
作PH上EF’垂足为H由（l）得’PH上平面ABFD.
—〉
→
以H为坐标原点’HF的方｜句为γ轴正方向’ ｜BF｜为单位长’建立如图所示的空间
直角坐标系Hˉ舞归.
由（1）可得’DE上PE.又DP＝2’DE＝1’所以PE＝厄又PF＝l ,EF＝2’故PE
A
ˉLPF.
可得PH≡卓’E〃＝÷
△
～
贝M（0,0,0）.P（0,0,粤）D（ˉ」,—÷.0）茄二（｜｀;,粤）丽三（0,0,亨）为平
为平
鹰｜P
i
当
／
B
~~~
冗
面ABFD的法向量
徊
—
▲
〕
丁
—
何
→--十
HP. I）P
＝——
｜HP｜｜DP｜
设DP与平面ABFD所成角为0,则sin0＝
所以DP与平厕咽〃所成角的正弦值为粤
64. （1）［证明］
因为PD上底面ABCD’所以PD上BC.
由底面ABCD为长方形’有BCˉLCD’而PD∩CD≡D’
所以BC上平面PCD.
因为DEc平面PCD,所以BC上DE.
又因为PD≡CD’点E是PC的中点’所以DEˉLPC.
而PC∩BC≡C,所以DE上平面PBC
由BC上平面PCD,DE上平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形’
即四面体EBCD是＿个鳖懦,其四个面的直角分别是△BCD’乙BCE,兰DEC,△DEB
· l6·
判
~
…＝
尸←■
…■
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（2）［解］
由已知’PD是阳马P判BcD的高,所以γ!＝＋s长方… PD＝＋BOcDPD
由（l）知,DE是鳖腮DBCE的高,BC上CE,
所以｝l＝＋s△圃“ DE二÷BOcED皿
在Rt△PDC中,因为PD≡CD,点E是PC的中点
~～
所以DE＝Cg＝粤CD,
鱼
所以÷≡＋…〃-
2÷‘Oc卧D′碧器＝纵
65. ［证明］
（l）取BlDl的中点Ol ,连接COl ’Al（）l ,
由于ABCDˉA1BlClDl是四棱柱’
所以A］Ol ／／／OC,AlOl＝OC,
因此四边形AlOCOl为平行四边形’
所以AlO／／／OlC,
又OlCc平面BlCD1 ’AlOα平面BlCDl
’
所以AlO／／／平面BlCDl .
（2）因为AC上BD’E’″分别为AD和0D的中点,
所以EM上BD’
又A］E上平面ABCD’BDC平面ABCD’
所以A‖E上BD,
所以E″上BlDl ,AlE上BlDl
,
又AlE,EMC平面AlE″’A1E∩E″＝E’
所以BlDl上平面AlEM’
又BlDlC平面BlCD1
’
所以平面AlEM上平面BlCD1。
A
Dl
B
O
A×
.／E
丽≥一一D
B
C
考点三空间向量的应用
［答案］
A
［解析］
取AD中点F,连接EF.在△ABD中
［解析］
取AD中点F,连接EF.在△ABD中
66
’点E为AB中点’点F为AD中点’所以EF是△ABD的中位线’所以
EF／／／BD,所以CE与BD夹角大小等于CE与EF夹角大小.连接CF,则△CEF中么陋C即为所求.设该正四面体的
棱长为2铡则愿…,C圃≡″≡侮b｀过点c作c′′上z′交〃于点〃则愿″≡＋′,所以…〃c-器≡粤所以
直线“与〃D所成角的余弦值为鲁故选A
D
B
l7
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67. （l）［证明］
因为AP＝CP＝AC＝4,O为AC的中点’所以OP上AC,且OP＝2徊
连接0B因为姻-BC≡笋c,所以△姻C为等腰直角二角形,
且OB上Ac,OB＝÷AC＝2
么
由OP2＋OB2＝PB2知POˉ［OB.
由OP上OB’OP上AC知PO上平面ABC。
—＞
（2）［解］
如图,以O为坐标原点,OB的方向为匆轴正方向’建立空间直角坐标系
O-x）z。
→
由已知得O（0,0’0）,B（2,0,0）’A（0,＿2’0）’C（0,2’0）’P（0’0,2√可）,AP＝（0’
一〉
2’2何）.取平面PAC的＿个法向量OB二（2,0,0）.
-—广
设M（α’2-α’0）（0＜α≤2）’则AM＝（α’4-α,0）。
设平面川″的法向量为″≡（“,y,z）。
—〉
—〉
由AP.＂＝0,AM.〃＝0得
｛嚣｝灯↑-队…（闷恤—…—.↓
A
2√可（αˉ4）
＿≥
所以cos〈（）B,＂〉＝
由已知可得
√3（α＿4）2＋3α2＋α
2
勺
～
’
徊
—
∑
~~
〉
网
’
＋
∏
□
＿
＾
〃
／
＼
吕
○
℃
2√3（“ˉ4）』十…2二粤解得“＝4（舍去）,.二÷,
2徊｜αˉ4｜
所以所以〃-（＿竿竿｀ˉ÷）
又Pc-（0,2’ˉ2何）｀所以c°.（Pc,愿〉三享
--〉
→
所以Pc与平圃川M所成角的正弦值为享
68。（1）［证明］
因为PCˉL底面ABCD,ACc平面ABCD’所以pC」ˉAC.
~~～
因为AB＝2,AD＝CD＝1 ,所以AC≡BC＝√2。
所以AC2＋BC2≡AB2,所以AC上BC.
又BC∩PC＝C,所以ACˉL平面PBC’又ACC平面EAC’所以平面EAC」ˉ平面PBC.
—-≥＿〉ˉ-＋
（2）［解］
如图,以C为原点,取AB的中点F,CF,CD,Cp分别为勿轴’y轴’z轴正向,建立空间直角坐标系,
Z
B
y—刀
C
. l8
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则c（0,0,0）’A（｜,l.0）,‘（l,ˉl ,0）,设P（0,0,α）（α≥0）则E（＋’ˉ÷,÷）,丽＝（l,l ｀0）,茄＝（0,0’α）,
茄二（十,ˉ＋,;）』取顺＝（l ｀ˉl》0）则咖萨…丽二0,所以″是平面〃c的法向量
设〃-…………侧″丽～测硒ˉo｀娜｛臼丁＄～α
取纯＝α’y＝-α,z＝—2,则卯＝（α,＿α,—2）
,
依题意………｜蒜｝＂｛-惹万＿乎』所以α三2
—≥
｜器瑞｜～粤,假喧戮剧与…c…
于是″＝（2’—2’-2）.设直线〃与平面EAC所成角为0’则sin0＝→
的止弦值为罕
［评析］
本题主要考查空间中平面和平面垂直的判定及直线与平面所成角的计算.
（1）先证明PCˉLAC,AC上BC’得到ACˉ［平面PBC,从而证得平面酗CˉL平面PBC;
（2）建立空间直角坐标系,利刷平面〃C与平面酗C夹角的余弦值为乎.算出α二2,于是得到平面酗C的法向量′′
≡（2’—2,—2）,从而可计算直线川与平面EAC所成角的正弦值
69. （1）［证明］
因为平面R4D上平面』BCD’AB上AD’
所以AB上平面PAD’所以AB上PD.
又PA上PD’所以PD上平面PAB
（2）［解］
取AD的中点O,连接PO,C（）’如图所示。
因为川＝PD’所以PO上AD.
因为POc平面RlD,平面R4DˉL平面ABCD’
所以PO上平面ABCD。
因为COc平面ABCD’所以POˉLCO。
因为AC＝CD’所以CO上AD。
如图建立空间直角坐标系Oˉ勿抠.由题意得,A（0’1,0）’B（l’ l,0）’（y（2,0,0）,
-十
｛联‖｛
D（0’-1’0）’P（0’0,1）.设平面PCD的法向量为〃≡（撕,y’z）’则
＂｛腥;′~
令z＝2,则虹＝1,y＝—2’所以′〗＝（1 ’ˉ2,2）。
ˉ-广
又PB＝（l ’l,—l）
’
—》
→
″.PB
何
所以cos〈″,PB〉≡——≡—ˉ丁
｜〃｜｜PB｜
〕
D
卯
所以直线″与平雨PcD所成角的正弦值为享
ˉ-＋
-》
（3）［解］
设M是棱R4上＿点’则存在∧巳［0’1］’使得A″≡入AP
—-〉
因此点M（0,1-∧,入）,BM＝（-1 ’-入’入）.
l9·
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因为BMα平面PCD’
→
所以要使B″／／／平面PCD’则BM.″≡0’
即（ˉ［,ˉ入｀∧》（1 .ˉ2｀2）＝0解得人＝＋
所以在棱〃上存在点M使得B删〃平面PcD,此时繁＝÷
P
［解］
（l）在梯形ABCD中,AB与CD不平行
延长AB’DC,相交于点M（M巴平面川B）’点M为所求的＿个点.
理由如下:
由已知’BC／／／ED’且BC≡ED,
~
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM／／／EB.
又EBC平面PBE,C″α平面PBE,
所以CM／／／平面PBE.
（说明;延长AP至点Ⅳ,使得AP≡PⅣ,则所找的点可以是直线MV上任意＿点）
70
M
Q＼E芦
C
A
∏
Ⅱ
一
占
Ⅱ
（2）法—:由已知’CD上PA’CD上AD’PA∩AD＝A,
所以CD上平面〃D.从而CD上PD。
所以△PDA是二面角PˉCDA的平面角
所以乙PDA≡45。.
设BC＝1 ,则在Rt△PAD中’R4＝AD＝2。
过点A作AH上CE’交CE的延长线于点〃,连接PH
易知R4上平面ABCD’从而PA上CE.
于是CE上平面PAH.
所以平面PCE上平面PAH
过A作AQ上PH于Q,则AQ上平面PCE.
所以乙APH是尸A与平面PCE所成的角
在Rt△AEH中’▲AE〃＝45。’AE＝1
’
所以AH＝阜
兰
在R｜△′＂〃中,PH二√川』刑脐≡乎.
所以sin乙AP〃＝坦＝—L
尸H
3
法二:由已知’CD上PA’CD上AD’El∩AD≡A’
所以CDˉL平面PAD.
于是CDˉLPD。
从而▲PDA是二面角PˉCD判的平面角。
所以乙PDA＝45°.
由尸A上AB,可得〃上平面ABCD.
设BC＝1,则在Rt△PAD中’川≡AD＝2。
还
尸
M
吩＼庄≥
吩＼庄≥
C
A
E
D
冗
。20·
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-≥—＋
作Ay上AD’以A为原点,以AD’AP的方向分别为匆轴
0’0）’P（0,0’2）’C（2’1’0）,E（1 !0’0）
,
＿≥
＿〉
ˉ→
所以PE≡（1,0’ˉ2）’EC＝（1 ,1’0）’AP＝（0’0,2）
,
设平面PCE的法向量为″＝（允,y’z）
,
＿≥
｛:票二‖《德｛嚣制
由
设z＝2’解得″＝（2’-2’l）.
设直线R4与平面PCE所成角为α’
—〉
｜″.AP｜
2
＝上
则sinα≡
—尸
＝
｜〃｜
. ｜AP｜
2×√22＋（ˉ2）2＋l2
3
所以直线PA与平面PcE所成角的止弦值为÷
g轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A彭U值’则A（0,
71（l）［证明］
在图o中,因为AB≡BC≡1 ’AD＝2’E是AD的中点’乙BAD＝ˉ工
2
’
所以BEˉLAC。
即在题图@中’BE上OAl ’BE上OC,
从而BE上平面A1OC
又CD／／／BE,
所以CD上平面AlOC.
（2）［解］
由已知’平面AlBE上平面BCDE’
又由（l）知’BE上OAl ’BE上OC’
所以▲』lOC为二面角A1ˉBEˉC的平面角’
所以△A｜0C＝÷
如图’以O为原点’建立空间直角坐标系’
因为AlB≡AlE≡BC≡ED＝1,BC／／／ED’
所以B（亭0,0）,z（ˉ亭,0,0）A｜（M,粤）c（0,乎.0）
碱-（—乎,粤｀0）｀乖≡（0,乎,ˉ粤）,
D
B
哆
C＼γ
）
◎
’
◎
●
徊
（
~~
＋
∏
四
～
日
~~
→
切
设平面AlBC的法向量Ⅺ］＝（匆1 ,γl ’z1 ）,平面AlCD的法向量刃2≡（卯2,y2’z2）’平面AlBC与平面A1CD的夹角为0,
—〉
｛;｛剿糯｛斯叭…山№
则
→
｛:!剿儒｛ji二—叭…叫｛
从丽…～｜c。爵〈厕｜｀〃』）
｜-志乎｀
≡≡
即乎m｜Bc与乎m｜切夹烯的余弦值为乎
.2］
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A
（l）［证明］
如图,取CD中点O’连接OB,OM’
因为△BCD是等边三角形’
所以OBˉLCD’
因为△CMD是等腰直角三角形,乙CMD≡90°,
所以OMˉLCD,
因为平面CMD上平面BCD,平面CMD∩平面BCD≡CD,OMc平面CMD’
所以OM上平面BCD’
因为AB上平面BCD’所以OM／／／AB’
所以O、M、A、B四点共面,
因为OB∩OM＝O’OBC平面OM4B’0″C平面OMAB’
所以CD上平面0M4B,
因为AMC平面OMAB,
所以CD上AM
（2）［解］
作″］V上AB,垂足为Ⅳ,则M／V＝OB,因为△BCD是等边三角形’BC＝2’
~～
所以OB≡√3,CD＝2,
在R｜△A／VM中,AⅣ＝√AM2-MV2＝√ⅪM2ˉOB2＝l ,
因为△CMD是等腰直角三角形’乙CMD＝90。’
所以O″＝÷CD＝l,AB＝A」V＋NB＝AⅣ＋O″＝2’
么
72
B
D
如图’以点O为坐标原点’OC所在直线为匆轴’B（）所在直线为γ轴’OM所在直线为z轴,建立空间直角坐标系
（）ˉ卯）z,
』｜
z
Ⅳ
＼
≥
匹
～
→
～
一
～
｀
＼
斗
寸
≡
→
~
~
~
~
~＋
非
~
B
D
～
＝
γ
√
~
色
～
℃
≡
必
℃
卯
则M（0,0,l）,B（0,ˉ√可,0）’D（ˉ1,0,0）’A（0,ˉ√可,2）
’
—〉
ˉ—〉
所以AM＝（0,√可,ˉl）’丽＝（0’√Zl）’BD＝（ˉl ’√3’0）
设平面BDM的法向量为″＝（如’y’z）
’
｛鸳谋,
-—〉
→
由〃.BM＝0,门·BD≡0,得
令γ＝l’得勉＝何,z＝ˉ√可’
所以〃≡（√可’1 ’ˉ√了）是平面BDM的＿个法向量,
’
呵
—
γ
~~
呐
—
″
~~
刺
—
刺
→
州
＿
州
~~
〉
〗
′
●
→
″
—
△
几
／
＼
吕
·
●
~~
β
］
Ⅱ
■
■
且
吕
‖
‖
贝
’
β
为
角
成
所
″
β
β
面
平
与
咖
么
线
直
设
所以直线州与平厕βn删所成角的正弦值为罕
［评析］
（l）证明线面垂直’只要证明一条直线垂直于另-条直线所在的平面即可;
（2）建立空间直角坐标系,将问题转化为求直线AM与平面BDM的法向量的夹角的余弦值
＝…L＝山同←
22
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73｀（1）［证明］
连接AC,因为四边形ABCD为菱形,乙BAD＝l20°,
则△ACD为等边三角形.又因为M为CD中点,
所以AM上Cn由CD／／／AB’得AM上AB.
因为儿4l」ˉ底面ABCD’AMC底面ABCD’
所以AM上AAl .
又因为AB∩AAl＝A’故AM上平面AA｜BlB.
（2）［解］
因为四边形ABCD为菱形,乙BAD＝l20。’AB≡AAl＝2AlBl＝2’
所以DM≡1 ,AM≡何,乙ˉAMD≡么BA″≡90°.
又因为AAl上底面ABCD’分别以AB’AM,AAl为匆轴’γ轴,z轴’建立如图所示的空间直角坐标系Aˉ勿眶
D
,M｜（M｀2）｀β（2,0,0）,D（ˉ」,倾0）,D｜（—十,亭2）
所以顽二（＋,ˉ享2）丽-（＿』,亿0）,硒-（2,0,ˉ2）
设平面AlBD的—个法向量″＝（“’y,z）
’
｛蜜撕α
→
--→
则″·BD＝0’Ⅲ。AlB＝0.得
令鳃＝l’则″＝（l ,何,1）.
--→
—-〉
门.DDl
l
所以直线DDl与平面AlBD所成角的正弦值sin0＝｜cos〈″,DDl〉
｜＝
＝
——广
5
°
｜Ⅶ｜
· ｜DD1
｜
［评析］
（l）连接AC’可证AMˉLAB,又因为A4l上底面ABCD’可得AM上AAl ’即可证明AM上平面MlBlB
—〉
（2）建立空间直角坐标系Aˉ虹）z,求出DDl和平面AlBD的＿个法向量〃的坐标,则直线DDl与平面A1BD所」
ˉ-—》
弦值sin0＝｜cos〈Ⅶ’DDl〉
｜.
与平面A1BI）所成角的正
74（1）［证明］
在四棱锥PˉABCD中’底面ABCD是边长为α的菱形’
又乙DAB＝60°’所以△ADB是边长为α的等边三角形.
过P作PHˉL底面ABCD于H。因为川＝PB＝PD＝α’
所以H是△ABI）的外心,
又△ABD是等边三角形’从而H是△ABD的中心。
所以H在』0上’连接肥,可得Ao＝粤α,
＝
C
A
B
。23。
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所以咽二亨·,可得朋≡咽二亨α｀
所以CH＝2卫@
9
因为CH2＝BC2＋B〃2’则乙′］BC＝90°,
所以HBˉLBC,又PH上BC,
所以BC上平面PBH’所以PB上BC。
（2）［解］
巾（」河知M≡粤倒,』〃-亨α,C〃≡笋·F〃ˉ√″』—肥2-粤卿,Pc-√′日』带Hc』～闽
在△PBC中,PB≡BC＝α,由（1）得PB上BC’即乙PBC≡90°.
所以s△″‘二十°2 ’s…＝十α2瓢M20.＝鸟2
4
对于四面体PˉABC,记A到平面PBC的距离为h’因为VPˉ佃C＝yAˉ′BC,
勺
所以十亨′』乎′≡十÷h解得偷二乎“
凰为鳃≡……所以侄值线PB的距离d≡粤“
何
记二闽角…‘为′则…二÷弓√＝』而′为钝隐,所以…＝丁,
故所求二面角APBˉC的余弦值为ˉ卓
〕
［评析］
（l）根据底面ABCD是边长为α的菱形’可得AC上BD,作PH上底面ABCD于H,根据PA≡PB＝PD≡α’可
确定H是△ABD的外心,〃在AO上’求得各边边长后根据勾股定理可得HB上BC’所以BC垂直于平面PBH内的两
条相交直线’故BCˉL平面PB〃,则PB上Bc
（2）根据题中所得的图形性质,可得各边边长.利用同＿锥体’取不同面为底求得的锥体体积都相等,可求得点A到
平面PBC的距离ˉ再求出A到直线PB的距离’即可得到二面角AˉPBˉC的正弦值
因为圆｀′.分别为PD,PA中点’所以〃〃D且E′＝吉AD,
P
~~
75. （1）［证明］
如图,设川的中点为F’连接EF,FB
又囚为6c〃川D』Bc二÷dD,所以″〃Bc且E′＝Bc.
即四边形BCEF为平行四边形,所以CE／／／BF,
又因为BFC平面PAB,因此CE／／／平面PAB·
（2）［解］
分别取BC’AD的中点为″’／V.连接PⅣ交EF于点Q’连接MQ.
因为E,F,Ⅳ分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点,在平行四边形BCEF中’
″0／／／CE。
由△〃D为等腰直角三角形得PⅣ上AD.由DC上AD’／V是AD的中点得BⅣˉLAD。
所以AD上平面PBⅣ,由BC／／／AD得BC上平面PB／V,那么平面PBC上平面PB／V.
过点0作PB的垂线’垂足为〃’连接M〃.
″H是MQ在平面PBC上的射影,所以乙QMH是直线CE与平面PBC所成的角.
设CD＝l.在△PCD中,由PC＝2,CD＝l ,PD＝√页得CE≡√Z
在△PE″中’由lW二B″＝l』PB二靡0H＝÷’
D
A
B
M
C
24。
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在Rt△″0〃中,0″＝＋〃Q二√Z所以sin△QM′二但
8
所以直线“与平面′Bc所成角的正弦值是等
考点四圆与方程
76。［答案］
A
［解析］
圆心（2,0）到直线的距离α≡｜2＋0＋2｜＝2√Z所以点P到直线的距离′l巨［√Z3√可］.根据直线的方程可
徊
知A,B两点的坐标分别为删（ˉ2’0）’B（0’ˉ2）’所以MB｜二2√Z所以△ABP的面积S＝＋｜AB｜‘｜＝√z］因为‘｜
2
匡［√Z3徊］,所以S匡［2’6］,即△ABP面积的取值范围是［2,6］
77. ［答案］徊＋何
［解析］
本题主要考查圆与方程
由题意躯｝＋γ｝＝l
o’腮;＋γ;＝l
@’
设M（勿1 ’γ1 ）’／V（匆2’y2）
’
则M’Ⅳ在以原点O（0,0）为圆心’1为半径的圆上,
由霹l膊2＋ylγ2＝＋得2雕‖鲸2＋2γ』y2＝l
o’
O＋@ˉO得（匆l ˉ“2）2＋（γl-y2）2＝l
’
即｜MV｜2＝l’则｜MV｜＝1.
设点M’Ⅳ到直线如＋γ-1＝0的距离之和为z’
｜卯l＋yl-1
｜
｜勿2＋y2-1
｜
则z＝
＋
√百
徊
则本题可转化为求z的最大值
作出圆匆2＋y2＝1及直线如＋γ—1＝0的图象如下,
由图知当M、／V均处于第三象限时’z有最大值
,』←乎（1ˉ瓣｜—′｜…』—γ徽）二√rˉ粤（瓣」十’｜杠2十γ』）
O＋@＋O得（必l＋鳃2）2＋（yl＋y2）2＝3,
即（—鳃l—“2）2＋（-y1-y2）2＝3’
√（ˉ“｜ˉ厕2）2（＿γ!ˉγ2）2
而（—zl一绷2）2＋（-yl-y2）2≥2
＝2（＝兔1-z2）（ˉyl—γ2）,
即2（-zl—卿2）（—γl-γ2）≤3,
当且仅当—匆1-厕2＝ˉyl＝y2’即卯l＋嘶2＝yl＋y2时取等.
勺
此时（“｜＋“2）2＝（y｜＋γ2）2＝÷｀
贝』答丝ˉ竿坠测删″中点在直线鳃≡y上
而M、Ⅳ均在圆z2＋y2＝1上’由圆的对称性知:
·25.
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点M（匆l ’yl ）与点Ⅳ（z2’y2）关于直线虹＝γ对称｀
则zl＝γ2’勿2＝yl
。
故露｜露…2二蜒｜y…!二2甄｜γ」二＋,耻｜,｜-十』禄!二京酗
将酗代人o得亩』｝～｜,解得』｝≡竿
＼｜γ
’
〗
见
~~
砷
＿
斗
~~田
—
蛔
~~
浮
~~
γ
~广
当γ｝＝2可乌寸
l
佰＋抠
＿＝y2
4
-1
‖
此时鳃｜＝ˉ√丁了
~~
r＋γ-l＝（）
芋时’γ｜＝
当y｝＝
佰＋徊
4
＝冗2
＝＝
佰-徊
此时绷』＝ˉ√丙「
~~~
∑
γ
~~
4
则（ˉ舞l-虹2-yl —γ2）2
＝（ˉ兔l-刀2）2＋（—γ1 ˉy2）2＋2（-z‖ -允2）（-yl—γ2）≤3＋3＝6
即（ˉ惩l-惩2-ylˉy2）≤√6,
何ˉ抠
√6＋√2
当且仅当虹‖ ＝γ2＝ˉ
4
’匆2＝yl＝＿
4
’
√百＋徊
但了鸟′取等
或鳃l＝γ2＝—’z2＝yl≡
4
故:-抠＿平（憋!＋′｜＋塑』＋γ2）
＝抠＋半（ˉ鞭｜ˉ愿2ˉγ｜ˉy2）≤√历＋半×佰＝√厉＋徊’
佰ˉ徊
拓ˉ＋徊
此时x1＝y2＝ˉ
4
’勿2＝yl≡-
4
’
佰ˉ＋灯
佰ˉˉ抠
→L
驭卯l＝y2＝ˉ
4
’卯2＝yl ≡ˉ
4
°
即z
＝灯＋扛
maX
78. ［答案］
4
｜3′＂ˉ何｜
［解析］
设圆心到直线』……ˉ何-［｜的距鹤为d则弦长｛峨｛-2√∏-丽丁＿2腐得d～3即｜揣÷
亨则直线′;甄—仍带6-0数彤结合叮得｜cD｜-MB｜
～』
3,解得″!＝～
cos30°
79. ［答案］
4
［解析］
设A（绷l ,yl ）’B（”2’y2）’C（卿3’0）,D（厕4’0）’由愿—何＋6＝0’得卯＝仍ˉ6’代人圆的方程’并整理’得y2
ˉ3仍＋6＝0’解得y｜＝2√7,y2≡√7’所以勿l≡0’鳃2＝ˉ3’所以直线AC的方程为yˉ2√可＝ˉ伍.令y＝0得卿3≡
2,直线BD的方程为yˉ√可＝ˉ√丁（见＋3）.令γ≡0得鲸4＝ˉ2,则｜CD｜≡｜缅3ˉz4
｜≡4.
鞘
ˉ《←书ˉ＋…＋＝＋＝▲＝
啼
;
［
‖
‖
·26·
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80. ［答案］
（-2’-4）
5
［解析］
由题可得α2＝α＋2’解得α＝-l或α＝2。当α＝-1时’方程为勿2＋y2＋4卯＋8γ—5＝0,表示圆’故圆心为
（-2,-4）,半径为5｀当α＝2时,方程不表示圆.
81. ［答案］
18
［解析］
如图所示,设直线′2截圆的交点形成的圆心角△M｜B＝苦,所
以侧倒直缓′』的距离徽～粤q」ˉ2｀膨‖ ｜洁兴～2,解碍‖～!±
卯＋b
2√Z即为α’b的取值’所以α2＋b2＝（1＋2抠）2＋（lˉ2√可）2≡l8
［2ˉ粤.2带乎｜
82. ［答案］
〔解析］
因为〃’PB与圆O相切’且乙APB＝60°’如图（1）’则△APO＝
30..所以oP＝丽揣万二2,贝‖存在使△APB二60.的尸等价于在圆＂上存
在与点O距离为2的点。
／
v
√
／J＼
／
＼
卯
／
P
图（1）
图（2）
圆M:（财ˉα）2＋（γˉα＋4）2＝1的圆心M（α’αˉ4）在直线γ＝狐ˉ4上,如图（2）’所以OM＝√α2＋（αˉ4）2’所以
圆M上点到点O的最小距离为OMˉ1＝√α2＋（αˉ4）2ˉ］,最大距离为OM＋l＝√α2＋（αˉ4）2＋l,存在满足题
意的点P｀即o删ˉ!≡2≤o″刊,解碍式可得2＿粤…2带罕
83. ［答案］
（冗—2）2＋y2＝9
［解析］
设圆心为（α,0）（α＞0）’则圆心到直线2xˉy≡0的距离〃≡
ˉ竿,得.≡2,半径′≡
~
｜2α-0｜
｀／耳ˉ下『
√（αˉ0）2＋（0ˉ√百）2＝3,所以圆C的方程为（厕ˉ2）2＋y2＝9
（1〉［证明］
设A（约l ,yl）’B（x2’γ2）’′:z≡mγ＋2
陶｛n＾
可得y2-2′ny-4≡0’则yly2＝＝4
（yly2）2
2
2
又缠!＝了篮2二÷,故缠!鳃2＝
4
y1
≡4。
84
27·
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因此OA的斜率与OB的斜率之积为△.丝＝兰二ˉl ’所以OA」ˉOB.
卯l
九2
4
故坐标原点O在圆″上
（2）［解］
由（l）可得γl＋γ2≡2m,匆l＋卯2≡m（yl＋y2）＋4≡2加2＋4
故圆心M的坐标为（m2＋2,加）’圆M的半径′＝√（加2＋2）2＋′n2.
-》
＝-十
由干圆M过点P（4,-2）’因此AP.BP＝0’故（缚l ˉ4）（x2-4）＋（γ1＋2）（y2＋2）＝0,
即箕l匆2—4（xl＋鳃2）＋γly2＋2（yl＋y2）＋20＝0。
由（l）可得γly2＝-4’勿lz2＝4
1
所以2m2—′nˉ1＝0’解得′n＝l或″l＝＿—
2
当m＝l时,直线′的方程为匆ˉyˉ2＝0,圆心″的坐标为（3,l）,圆M的半径为√I∏’圆″的方程为（鳃ˉ3）2＋（y-
l）2＝l0.
当腮≡十时直线』的方程为2…—4-0,圆心删的坐标为（÷′ˉ＋）圆″的半径为孪,圆″的方程为
（躯ˉ÷）2余（γ＋＋）2＝器
考点五圆锥曲线
85。［答案］
B
［解析｜
因为双恤线÷ˉ／-1脯渐近线万橇为γ-±争,所以丝Ⅷ＂二60.不妨设过点F的直线与直线γ-
旱交于点M由△OⅧ为直角＝角形不妨设△O删二90.则△″′0-60.,又直线Ⅷ过点F（2,0）,所以直线
3
仁冀≡γ—
仁三…｜÷粤｜铡』｛,Ⅷ
√（÷）』辩（粤）』
γ／V的方程为y＝ˉ何（鳃ˉ2）,由
归ˉ,所以｜M／V｜＝√可｜（）M｜＝3,故选B
86. ［答案］
A
（解析］
法—;由题意则,e＝÷＝灯所以‘＝伍,所以0＝√5r＝了＝√,b』所以÷二√Z所以该双曲线的渐近线方
b
程为y＝±—z＝±｀厄宽,故选A.
α
法＝由‘二÷弓√｜＋（÷）』＝徊得上＝√Z所以该双曲线的渐近线方程为y＝圭—≡√z故选A
~′
b
α
α
87. ［答案］
D
［解析］
由题意可得椭圆的焦点在加轴上,如图所示’设｜F｜F2
｜＝2C,因为△PFlF2为
等腰三角形’且▲FlF2P＝120。,所以｜PF,
｜＝｜FlF2
｜＝2c,所以｜OF句
｜≡c,所以点P坐
标为（……0.,2…0.）,即点P（2c征）因为点P在过点』,且斜率为粤的直
线上.所以嘉二粤解得÷～十,所以.二÷,故选u
y
28
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88. ［答案］
［解析］
选B.
B
由题可知双曲线的焦点在匆轴上,因为c2≡α2＋b2＝3＋1＝4’所以c≡2’故焦点坐标为（ˉ2’0）,（2,0）.故
89。［答案］
C
［解析］
本题主要考查圆锥曲线
由题意;α2＝5’则α＝√I丁＝√百’
所以椭圆上＿点P到两焦点的距离之和为2徊
故本题正确答案为C.
90. ［答案］
A
2
2
2
2
62
［解析｜
设′｜（ˉc,0）,将鹏＝ˉ‘代人双曲线方程得÷十二l ’所以1—＝÷ˉl＝粤,所以γ＝土—因为
b2
α
α
α
62
.…′』＋断以［…』′｛ˉ
｜｜摆｜｜ˉ吾—盖ˉ票—六孟÷士ˉ粤′蹄以.』—争—1ˉα
吕二
所以e＝徊故选A
91. ［答案］
C
［解析］
根据题意’令片AB＞0,作出图象如图所示:
抛物线γ2＝4绷的准线为卯≡ˉl ’焦点F（1 ’0）,因为｜AF｜≡3,所以点A到准线的距离为3’
故划点的横坐标为2,将鸳二2代人／≡4颜,得,-2徊所以‰≡2岳0～2徊故直线姻
｛｝厂』讶ˉ叭雕嚼嫂（←ˉ侮）…“÷×″.
的方程为y＝2√面（虹ˉ1）’联立
×（Ⅱ捌ˉγ厕）÷×1×（2徊带徊）-乎故选c
下
＝ˉ1｜／
92。［答案］
A
［解析］
设厕（0’′＂）’则直线哑的力程为—÷＋舌＝｜,由题意叮知＂（
吐
＾
占
小
√
~~
）
○
’
α
（
β
∏
禾
）
肌
—
●
～
’
○
（
’
）
咖
—
α
Ⅲ
’
℃
『′沈
″〗
′Ⅶ
线,则′nˉ丁ˉ丁＝工,化简得α＝3c,则C的离心率e＝二＝ˉL
-C
-α
α
3
93. ［答案］
A
［解析］
由题意得（m2＋则）（3m2—″）＞0’解得ˉm2＜″＜3″!2’又由该双曲线两焦点间的距离为4,得″!2＋n＋
3m2-∏≡4,即m2≡1 ,所以＝1＜Ⅶ＜3。
94［答案］
D
［解析］
根据圆和双曲线的对称性’可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为,＝±÷露,圆的方程为躯2＋
′』～4.不……第＿象限,由γ÷氮.蕊』带广ˉ蠕翰～云示缆～六r,…形姻倘D蛔积为
“撼化≡湍二泌,解得b』-!2,故所求的双曲线方程为÷—备二!,故选u
29
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95. ［答案］
B
［解析］
由题意,设抛物线方程为γ』～2″（′≥0）,山MB｜≡4徊, ｜皿｜≡2旧,可取A（÷2徊）.D（—f＿.行）设
＂为坐檬…｛″川≡｛〃D｜得器辨8≡子…ˉ4所以选β
96。［答案］
C
2
2
／
t
＼
设P（孟,』）,易知′（÷,0）由｜Ⅷ｜＝2｜″′｜得″｜′可÷′｜
｀
3
’ q
（解析）
当t＝0时’直线OM的斜率k＝0’当t≠0时’直线OM的斜率R＝＿～≡
l
′踪＋带方
什矿2√价罢-乎当且仅当舟「二器时取霉号
l
1
所以｜k｜≡
于是直线〔）M的斜率的最大值为卓′故选c
全
97。［答案］
D
［解析］
易知抛物线的焦点为F（1 ,（））’设P（知P,γP）,由PF上Z轴可得则P＝1 ’代人抛物线方程得yp≡2（＿2舍
去）’把P（1 ,2）代人曲线y＝上（k＞0）得片≡2.故选D
卯
98。［答案］
A
［解析］
以线段AlA2为直径的圆的圆心为坐标原点O（（）,0）,半径为α。由题意,圆心到直线bx—αγ＋2αb＝0的距
离为煮÷.｀耻』～］』』又.,≡］—÷～÷所以.～乎故隧＾
99。［答案］
I）
［解析］
由△OAF是边长为2的等边三角形可知’c＝2’上＝tan60°≡何,又c2＝α2＋b2,联立可得α＝1 ,6＝√可’所
α
2
以双曲线的方程为”2ˉ÷＝l故选D.
〕
100. ［答案］
A
焉…Ⅱ或誓…｀华所Ⅷ是…0｀
乙AMB
｜
｜
｛…
·喜』
,…｀
［解析］
依题意得,
~厂-
｛赏…………｀
或
101［答案］
A
［解析］
抛物线C:y2≡4鳃的焦点为F（1 ,0）’由题意可知′l ,′2的斜率存在且不为0.不妨设直线′l的斜率为k’则
′｛〉…｜）测』＼’＝十（溅ˉ｜）陶｛酞ˉ｜∧消去γ得A2z2—（2k2＋4）z＋k2＝（）.设A（zl ,yl ）’B（刀2’y2）,
·30.
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2腮』叫-2带÷巾抛物线的定义刚知,Mβ｜-瓣』…-2÷辨2-4÷伺鲤得｜D′｜-4＋
所以勿l＋九2≡
k2
蛾』｀所以｜奶｜＋｜DE｜二织÷＋4＋靴2～:斜（÷哦』）…≡｜6当目仅当广ˉ藤即账-±｜时取筹号故
｜AB｜＋｜DE｜的最小值为16,故选A。
102. ［答案］
A
2
2
［解析］
依题意’双曲线c;÷ˉ卞二l（α＞0’b＞0）＂条渐近线方程为6獭ˉαγ二0因为直线b鳃ˉαγ＝0被圆
（z-2）2＋γ2≡4所截得的弦长为2’所以
｜2b｜
√b2＋α2≡√叮＝丁’所以3α2＋362＝4b2’所以3α2＝b2,所以e＝
√』÷～√…｀蚁遮＾
103. ［答案］
［解析］
2
蚁蹦线÷÷｜的渐近线方膘为γˉ童÷…厕可得卿条渐近线方穆互柳霉直…｜线的蹦称性
＝1.又正方形OABC的边长为2’所以c＝2抠’所以α2＋b2≡c2＝（2√巨ˉ）2,解得α＝2.
可得h
α
104. ［答案］
6
［解析］
法—:依题意,抛物线C:y2≡8绷的焦点F（2,0）’准线卿＝—2,因为M是C上＿点,FM的延长线交γ轴于
点Ⅳ’″为lW的中点’设M（α,b）（b＞0）,所以α＝1 ,6≡2√Z所以／V（0,4√可）
’ ｜FⅣ｜≡｀／耳ˉ干了页＝6.
法二:依题意,抛物线C:y2≡8匆的焦点F（2,0）’准线撕＝—2,因为M是C上＿点’FM的延长线交y轴于点／V,″为
F7V的中点,则点M的横坐标为1 ’所以｜‖′F｜＝1≡（-2）＝3’ ｜FγV｜＝2｜MF｜＝6。
105. ［答案］何ˉ1
2
［解析］
设椭圆的右焦点为F（c,0）,双曲线／V的渐近线与椭圆″在第-象限内的
交点为A,由题意可知州（÷』粤）,囱…椭圆腮上得羔器-｜』所以萨健』＋
3α2c2＝4α2b2,因为b2＝α2—c2’所以（α2-c2）c2＋3α2c2＝4α2（α2＿c2）’所以4α4-
8α2c2＋c4＝0’所以e输ˉ8e熊＋4＝0,所以喻＝4±2√可,所以e椭＝√可＋1（舍去）或
.臃≡何ˉ」’所以椭圆卿的离心率舔ˉ」因为双＂线的渐近线过点A（÷粤）,
γ
γ
所以渐近线方程为γˉ伍,所以÷-侗,敞双＂线胸离心率w哪÷笋-2
106。（1）［解］
由已知得F（l ,0）’′的方程为则≡l。
由已知可得点』的坐标为（｜,粤）或（｜.＿粤）
所以州″的万程为y＝ˉ罕缠十徊或y-卓鳃ˉ沤
会
▲
（2）［证明］
当′与卯轴重合时,▲（）M4＝4OMB≡0°.
当′与z轴垂直时’O″为AB的垂直平分线,所以乙OM4＝▲OMB.
当!与匆轴不重合也不垂直时’设′的方程为y＝内（匆ˉ1）（∧≠0）’A（绷l ,γl ）’B（x2’y2）’
y1
y2
则躯｜＜√可,“2＜√Z直线M4’MB的斜率之和为k硼＋k″B＝万厂＝页＋页I≡百
由y1≡版1-∧’y2＝脑2-片得
3l
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2kz1Z2＝3k（勿l＋卯2）＋4内
片M4＋片MB≡
（匆l ˉ2）（z2＝2）
.
2
将γ＝k（鳃ˉl）代人÷＋γ2＝l得
≡
（2片2＋l）Z2-4k2如＋2k2-2＝0。
4片2
2k2-2
所以,虹1＋厕2≡2片2＋l ,zl匆2＝2内2＋1.
则2肛｜虹2ˉ3R（觅l ＋鳃2）＋4儿≡4k3ˉ4∧ˉ12内3＋8k3＋4片＝0.
2片2＋1
从而片MA＋∧MB＝0’故M4,MB的倾斜角互补.所以丝0M4＝丝OMB
综上,乙OM4＝么O″B.
］
~~
∑
归
丁
＋
∑
弦
—
△
口
’
］
~~
∑
呼
Ⅻ
—
句
〕
＋
∑
儿
』
—
△
口
‖
贝
’
＼
／
∑
γ
’
∑
卯
（
∏
’
）
］
γ
’
Ⅶ
」
九
（
∧
设
］
明
证
［
）
］
（
γ
‖
】
两式相减并由γ!＿γ』≡腮得等丝带答丝Ⅷ≡α
允l -卯2
由题设知蕊宁!≡｜｀竿二狮.「是腑-ˉ六o
由题设得0…;’故k≤ˉ÷
（2）［解］
由题意得F（1 ’0）.设P（勿3’y3）,则（x3＿1 ,y3）＋（勿l—1
由（l）及题设得刀3＝3—（熊l＋鳃2）＝1,γ3＝-（γl＋y2）≡-2m＜0。
又点P在c上｀所以刷二÷,从师P（‖ ’ˉ÷）｜茄｜二÷
）
○
】
○
（
~~
〉
】
γ
’
］
】
卯
（
＋
）
‖
γ
二／
v
）
∑
蜕
』
—
△
口
】
（
〕
＋
】
＼
／
＜
」
］
卯
（
虹
』
—
勺
凸
●
～
~~
∑
‖
γ
彰
＋
∑
＼
／
］
‖
力
（
√
~~
→
〃
是
于
—广
卯2
同理｜FB｜≡2ˉ丁.
所以｜耐｜＋｜荫｜＝4—＋（藏｜带x』）二凯
—步
-十
-十
ˉ—〉
—-＞
ˉ—＋
故2｜″｜≡｜FA｜＋｜FB｜’即｜刷｜
, ｜FP｜
’ ｜FB｜成等差数列
设该数列的公差为d’则
2｜d｜＝‖雨｜ˉ｜丽‖＝÷｜瓣｜ˉ鲸2
｜
冗
卯
■
斗
句
＝
∩
≡
九
＋
如
川
司
@
~~
将硒二÷代人o得隐＝—l
所以′的方程为γ＝ˉ叶＋’代人C的方程’并整理得7鳃2ˉ｜4绷＋÷＝0
故蹦｜＋源』＝2,嚣｜缠2二六Ⅱ代人@解得｜威｜＝3器
所以该数列的公差为3i:上或ˉ1券上
.32
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C
√可
广
目＝
α
2
,
10a（l）［解］
由题意得＋αb＝l ,
解得侧＝2’b＝l
凸
坠α2＝b2＋C2,
2
所以椭圆C的方程为÷＋γ2＝l
（2）［证明］
由（l）知,A（2,0）,B（0’1）.
设P（鳃0,jb）,则则;＋4筛＝4
“＋坠2（鳃—2》
当z0≠0时,直线R4的方程为y≡
令≡0｝得翔ˉ—羔｀从丽｜删｜ˉ‖ˉ,翻｜ˉ川错｜
直线PB的方程为γ＝h二1厕＋L
冗0
令γˉ0得鳃厂＿盖》从而M＂｜≡｛2—鳃删｛ˉ ｜2＋羔!（
』;坠! ｜川会
所以｜AⅣ｜
·
｜BM｜
＝｜2＋
勺
句
＝｜厕6＋4y6＋4箍0γ0ˉ4鳃0—8γ0＋4｜
冗0γ0-卯0ˉ2y0＋2
≡｜4卯0γ0＿4卯0-8y0＋8
卯0y0-卯0-2y0＋2
｜
＝4
当z0＝0时’γ0＝—1’ ｜B″｜＝2’ ｜A／V
≡2’
所以｜A／V｜
°
｜B″｜
＝4。
综上, ｜AⅣ｜
。｜B″｜为定值
［解］
（l）把圆C‖的方程化为标准方程得（绷-3）2＋y2≡4,
所以圆Cl的圆心坐标为Cl（3,0）。
（2）设M（匆’y）’因为A’B为过原点的直线l与圆Cl的交点,
（2）设M（匆’y）’因为A’B为过原点的直线l与圆Cl的交点,
109
且M为AB的中点,
所以由圆的性质知:MCl ˉ1MO,
---≥—》
所以MC］.MO≡0。
-ˉ—〉
→
又因为MCl≡（3-嘶,-y）’MO＝（-苑,-y）
’
所以由向量的数量积公式得如2—3绷＋y2＝0。
易知直线′的斜率存在,所以设直线′的方程为y＝m知,
2√百
笔戮′与圆q撇切时d～祟十～2糯得蹦～辈丁
把相切时直线′的万程代人圆c｜的力程化简得9x2ˉ］0蹦＋25＝0,解得蕊＝÷
当直线′经过圆Cl的圆心时,″的坐标为（3,0）.
又因为直线′与圆Cl交于A’B两点,M为AB的中点’
33
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所以÷＜躯≡队
所以点″的轨迹c的方程为鳃2ˉ3叶γ2＝0′其中÷＜鞭≡3.其轨迹为＿段圆弧
（3）由题意知直线L表示过定点（4,0）’斜率为内的直线’
把直线L的方程代人轨迹c的方程膊2ˉ3膨＋γ2＝0,其中÷≤露≤3』
化简得;（k2＋｜）鳃』—（3伞栅2）露＋｜6账2＝0,其中÷＜藏≤3,
记∧膊）二（账2刊）撼2ˉ（3带毗2）藏刊6″勘,其中÷≤蕊≤凯
若直线L与曲线C只有＿个交点,令／（舞）＝0.
当△＝0时,解得″』＝荒,即庶二土÷,
此时方程可化为25匆2-］20郎＋144＝0,即（5z—l2）2＝0,
解得撼二号匡（÷,3｜,
所以k＝童÷满足条件
当△＞0时’
o若瞩二3是方程的解,则′（3）二0＝k二0＝另＿根为撼二0＜÷｀故任区间（÷』3｜上有且仅有＿个根,满足题意
酷鳃-÷是方程的解则′（÷）～0一隐＝婴另外一根为瓣≡男.÷＜:毫3.…间（÷,］｜上有且仅有
＿个根’满足题意.
畦露-〕和瓣-÷均不是方程的解则方程在区间（÷’3）上有且仅有一个搬.只需（÷）′（3）≤0≡孪＜′
＜竿故在篮间（÷3｜上有且仅有—个根瞒足题意
综上所述,胀的取值范围晨ˉ竿＝腮≡钨你＝÷
1
3e
110（解］
（l）设′（＾0）,由而＋『∏I「ˉ∏可’
即ˉL＋—L＝
′3c
｀’可得α2—c2＝3c2’
C
α
α＼α-C／
又α2ˉC2≡b2≡3’
所以C2≡1 ,因此α2≡4。
所以,椭圆的方程为÷＋÷＝l
（2）设直线′的斜率为片（内≠0）’则直线′的方程为y≡片（z—2）
2
2
｛1向
设B（zB’yB）’由方程组
消去y,整理得（4片2＋3）x2＿16k2z＋l6k2—l2＝0.
·34。
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解得撕＝2’或獭＝鸣二且’
4胀＋3
由题意得缴厂糕,从师厂JF丁了
-12附
由（1）知’F（l’0）,设H（0,γH）,有硒＝（ˉl ,γ〃）’琉＝（2二』丘
→
△72
∩
｀
）
／
〕
∏
〃
＋
勺
～
∑］
汾
斗
’
凸
］
片
』
＋
〗
内
’
牛
●
○
~~
→
〃
■
→
″
得
了
~
’
哪
上
尸
Ⅱ
由
顺以糕＿隙糕～队解得翰—等
l
9-4∧2
因此直线MH的方程为y≡ˉ丁如＋—
l2片
.
γ＝片（z-2）,
［ˉˉ十俱器,
设M（如″,γM）’由方程组
20∧2＋9
消去y,解得匆″＝l2（片～＋1）
勺
◆
在△MAO中,△MOA＝乙M4O●｜M4｜
≡｜MO｜,
即（则″ˉ2）2＋y》＝颜》＋γh化简得匆″＝l,
即!;糕）-! 』
解得股≡乎或账-乎,
所以直线′的斜率为ˉ乎或乎
［解］
（1）由题意知2α≡4,则α≡2。
又÷-粤,‘』＿.』＝』』,可得b≡」｀
2
所以椭圆c的方程为÷＋y2＝L
2
2
（2）由（l）知椭圆E的方程为六＋÷＝L
o设P（躯o,γ0）,船ˉ＝入,由题意知0（ˉMo,—
2
因为子＋′;＝l ,
（-∧卯0）2
（—入y0）2
＋
ˉ卿子（禁』;）≡」
又
l6
4
所以∧＝2,即册＝2
@设A（缅l ,yⅡ）’B（鲸2’γ2）.
111
入y0）
将y≡脑＋′′l代人椭圆E的方程,可得（1＋4内2）鳃2＋8附′m＋4′＂2＿l6≡0
由△＞0’可得′n2＜4＋l6片2. （＊）
8内m
4m2-16
则有氮!＋〃2＝ˉIˉ干JP’躯!“2＝l＋4k2
.
.35
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所以｜鳃｜ˉx2
｜＝4√l6k2＋,ˉ厕2
l＋4片△
因为直线γ≡肛＋m与y轴交点的坐标为（0’′n）
,
所以△OAB的面积
S＝ˉL｜m｜｜鳃l-z2
｜
2
.
″
勺
士
加
△
·
＋
勺
全
∧
β
′
√
∑
~~
l＋4k2
2√（16∧2＋4ˉ″l2）″!2
~~
l＋4R2
~／
2
2
√（4—｜辛旅）｜耻』
〗~~
7
设′∏
1＋4片2＝‖。
将y＝肚＋加代人椭圆C的方程’
可得（l＋4片2）x2＋8km筋＋4″!2-4＝0’
由△≥0,可得m2≤］＋4R2。
（＊＊）
由（＊）（＊＊）可知0＜′≤1’
因此S＝2√（4ˉ‘）′＝2√ˉ′2＋4‘,故S≤2√可Ⅲ
当且仅当t＝l ’即m2≡l＋4内2时取得最大值2厄
由o知,△ABQ的面积为3S’
所以△AB0的面积的最大值为6厄
u2［解］
（｜）巾题意得÷-粤且‘十子-］』
解得α＝√Zc＝l ’则6＝1 ,
2
所以椭圆的标准方程为÷＋γ2＝l
＝
（2）当AB上颠轴时’AB≡√Z又CP≡3’不合题意
当AB与鳃轴不垂直时’设直线AB的方程为y≡k（则—l）,A（匆l ’γl ）,B（嘶2’y2）
’
将AB的方程代人椭圆方程,得（l＋2k2）鳃2ˉ4k2如＋2（片2-I）＝0’
鳞Ⅺ±√2（｜雅:）,c的坐标为（｜釜, ｜盖』）
,
则xl ’2＝
l＋2片2
且AB＝√（鳃2ˉ虹｜）2＋（γ2ˉγ］）2＝√（l＋附2）（鳃2ˉ贝! ）2＝2√百（l＋胀2）
l＋2片2
°
若片＝0’则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意
从而臆ˉ＂故直线′腮的方程为狞｜志’＝十（甄—!芳）
则′点的坐标为（—2』隙（湍））
·36
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句
~／
厂0
从而PC＝2（3R▲＋1）√1＋k△
∩
｜内｜（1＋2k叁）
勺
~／
而
因为PC＝2AB’所以2（3k＝＋l）√l＋k△
句
≡＝
｜片｜（l＋2内垒）
4√豆（l＋k2）,解得k＝±l
l＋2k2
此时直线AB的方程为y≡匆＿1或y≡-匆＋l
6＝］
,
｜嚣…≡
113. ［解］
（1）由题意得
2
故椭圆c的方程为÷＋′2＝L
设M（勿M,0）.因为′n≠0,所以—1＜n＜l ,
直线川的方程为yˉl≡L二ˉ1z.
刀〗
所以露＂二击』即删（尚’0）
（2）因为点B与点A关于x轴对称’
所以B（肌,ˉ″）.则直线PB的方程为y—1≡ˉl—土卫勿.
′Ⅶ
设M躯″,0）,则蜒″＝击
“存在点0（0,Ⅱ,）使得△o0″～么o″α等价予存在点0（0,γ‘）使得栅ˉ｝船’ ｀即,°满足′;二｜瓤＂｜｜瞧＂｜
2
因为憋″＝尚,鳃＂＝击,÷＋＂2＝l
’
2
所以y;＝｜鲸卿‖葱″｜＝芒万r＝2
所以y0≡√百或y0＝ˉ√区
故在y轴上存在点Q’使得乙OQ″＝乙OⅣQ,且点0的坐标为（0’√巨）或（0,ˉ√5）.
u纵［解］
（］）双曲线的渐近线方程为γ＝圭÷撼’焦点为′（±c’0）,焦点到渐近线的距离为
2
2
又2α＝4√了,所以“＝2√可,即双曲线的方程为舌ˉ÷ˉ＝l
（2）设点M（腮l ,yl ）,Ⅳ（z, ,y,）,D（鳃0’y0）,
｜宾（岭….
由
所以撼!十腿』二｜6何…』≡乎（醚｜韧』）—4-｜2｀
｜!琴
-—≥
-＋
—-广
因为OM＋OⅣ＝tOD’所以』（x0’y0）≡（如l＋勿2,yl＋γ2）,即
卷苛＋闷,
37·
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.铝辑十＾…嗡↑≡‖
÷.↓ˉkˉ十-」
＋＋｛ˉ↓」
!＃｝三｜
又点D（z0,y0）在双曲线上,
酗l?）, （;「ˉ』僻…且…岭…
所以‘＞0,即t＝4’此时点D（4何’3）.
［评析］
本题主要考查双曲线的几何性质及直线与圆锥曲线
（l）利用焦点到渐近线的距离求出b’已知α的值,代人即可求解;
（2）将直线方程与双曲线方程联立’利用根与系数的关系表示出点D的坐标,并利用点D在双曲线上求解未知数‖
2
ll5｛解］
（」）由已知得删（0Ⅱ!）｀P（云.′）
2
又″为″关十点P的对称点,故″（÷’′）o＂的方程
2t2
厕2＝丁
圈此〃（手2』）
所以″为OH的中点,即删＝2
（2）直线MH与C除H以外没有其他公共点。理由如下
直线M′的方程为γˉ』＝劳x,即则二丝（γˉ』）
p
代人y2≡2p熊得y2-4〗y＋4t2≡0’解得γl＝y2＝2t,
即直线MH与C只有＿个公共点,
所以除H以外直线″H与C没有其他公共点.
,OⅣ的方程为γ＝千腿』代人γ2＝2p憋’整理得p膊2ˉ2′2蕊＝0,解得卿］二0,
2
2
l16（l）［解］
由已知｀°＝√z则椭圆E的方程为靠啃丁二k
2
2
方＋卡＝｜』得3鳃2ˉ｜2药＋（｜8＿2b2）＝0。
｛
由方程组
y≡一卯＋3,
方程o的判别式为A＝24（b2ˉ3）,由△≡0’得b2＝3,
此时方程O的解为x＝2’
2
2
所以椭圆E的方程为÷＋÷＝L
点T的坐标为（2’ l）。
（2）［证明］
由已知可设直线』』的方程为y＝÷叶砸（砸≠0）.
仁兰
1
｛（烈~霄.
由方程组
所以P点的坐标为（2—宁,l＋芋）, ｜P′｜』＝:顾马
设点A,B的坐标分别为A（z｜,γl ）,B（卯2,y2）.
38
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2
2
瘫篷｜i重司………
方程@的判别式为△二‖6（9ˉ2″′）｀由△≥0’解得＿竿＜″』＜型
全
2
4m
4Jn2-12
由@得期l＋绷2≡ˉˉ丁’则l腮2＝
3
.
√（2＿芋—露｜）,÷（!等ˉ,｜）2 -粤｜2＿芋＿慰」
所以｜PA｜
＝
｜司埋｜PB｜≡亨2＿宁—鹏』
所以｜PA卜｜PB｜二÷（2ˉ芋—腑｜）（2—平—膊2
（2ˉ午）』ˉ（2ˉ芋）（瓣｜＋獭2）＋躯｜鹏2
5
≡≡
4
）
｜
（2＿芋）2—（2＿等）（ˉ掣）辨4′厕2＿l2
5
三≡—
4
3
10
2
≡丁″0
.
故存在常数入二÷·使得｜P7｜2二儿｜PA卜｜PB｝
11饥［解］
（l）根据题意可知腮｜＝走火2＝☆,
2
2
所以志×古＝ˉ＋,整理得÷＋／二』’即轨迹C的方程为÷＋γ2二l（～2）
（2）设M（卯l ’yl）’／V（鳃2’y2）’
勺
O
巾｛怠饰』
,得（4儿2＋1）鳃2＋8内′m＋4m2-4＝0’
8k加
4m2-4
由根与系数的关系得鳃1＋如2≡-4k2＋l ,xl匆2＝4k2＋1 ,
因为OM上OⅣ,所以允1z2＋y1y2＝0,
所以zlz2＋（肛1＋m）（脑2＋m）＝（k2＋1）z1x2＋儿m（蹲l＋z2）＋m2＝0’
所以物』ˉ4（萨十｜）带枷（—藉1）腮,≡0,化简得;ˉ蛾2—5测』抖≡（）
4k2＋1
4k2＋1
因为靴』带」≡」.所以靴』ˉ5砸』剁≡0｀即腮』≡幽÷兰
直线／的方程为肋＿y＋m＝0,
所以o点到直线′的距离为〃＝弓粤←
√k乡＋1
4内2＋4
2
所以d2＝!二,所以d愈≡六＝÷,所以d-竿
k奎＋l
所以O点到直线′的距离为竿
39
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（评析｜
（｜）根据你｜k2＝ˉ十叫得γ与撼的关系式,继而化简求解即可;
（2）设点M（xl ’yl
）’Ⅳ（z2’y2）’然后由直线方程与曲线C的方程联立方程组,利用根与系数的关系、OM上0Ⅳ以及
点到直线的距离公式求解即可。
l1a（」）［解］
山题意得÷≡粤o′鲤』-h』＋c』°
又凰为点』（1 ,粤）在椭圆c上.所以＋谎二◎,
2
由O@O联立方程组解得α＝2,b＝l 』c＝√Z所以椭圆c的方程为÷＋′2二l
1
（2）［证明］
当直线′的斜率不存在时,由题意知′的方程为鳃＝±2,则直线OPl ｀OP2的斜率之积片｜.R2＝ˉ丁,
当直线′的斜率存在时,设直线′的方程为y＝kz＋m’
｛实｛辩;｛……丰』
由方程组
因为直线‖与椭圆C有且仅有—个公共点’
所以△＝（8km）2—4（4片2＋］）（4′Ⅶ2＿4）＝0’即m2≡4k2＋l
＂…｛「:凶隐（…理…←α
设Pl （匆l ,γl ）’P2（x2,y2）’
-2Rm
m2-5
则鳃｜＋鳃2＝Pˉ干丁,腮｜卿2＝Pˉ∏,
yly2
（脑l＋加）（脑2＋肌）
k2厕l卵2＋枷（zl＋鳃2）＋加2
所以附｜′b2二丽＝
“l厕2
＝
”｜“2
将夏严』～丙辫』鳃』≡窑代人上式得叭≡爷等
≡内2＋1
l
将Ⅲ2＝4片2＋l代人上式’得k｜片2≡4k2-4＝
4
综上｀k｜咐2为定值ˉ÷
［评析］
（｜）由椭圆离心率叫知÷≡粤.点烈（｜,粤）在椭圆c上代人方程,冉结合。』二』』十您凰即可求出椭圆的
标准方程;
（2）当直线斜率尔存在时,确定直线方程.计算隐｜吮2＝—＋;当直线斜率存在时’利用解的性质盯得砸2二4腮2＋｜’
＂｜辨露气了∏』露｜露』-窍,代人啡』二雨-
｀、
—2账咖
γ』γ2
（脑!＋咖）（脑2十哪）得至肌′2为定值＿＋
11叭（l）［解］
设直线AB的方程为《γ＝颠—÷,A为（鳃! ,γ｜）,B为（颠2,γ2）,
仁＋德;…产Ⅷ
由
y2≡2p如,
.40
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因为△＞0’yly2＝-p2＝-4’
所以p＝2或p≡—2（舍去）
’
所以C的方程为:y2＝4“。
（2）［证明］
假设存在定点,设定点坐标为M（m’0）
,
测…n胸点的直鳞方橇为;γ≡盏（艘ˉ叭
令露ˉ—1′得＼′≡ˉ羔即′（＿! ′—盖）直线』…＊
O
‰≡六直线Ⅷ的斜率‰-
5γ2
（m＋1）（勿2-4）
’
因为A｀P、M共线,所以kAM＝kP″’
｀ˉ″
（『砷｜）（鳃』—4）,挪″｜÷｛ˉ. （耐｜赵＿』）,
则-1—＝
＝
整理上式得:（m＋1）（叮ly2—3yl）＝5［tγlγ2＋（l—′n）y2］
’
因为yly2＝-4,yl＋y2＝4′,
所以（m＋1）（—4t—3yl ）＝5［—4t＋（1ˉm）γ2］,
所以（m＋1）［ˉ（yl＋y2）—3yl ］＝5［ˉ（yl＋γ2）＋（1ˉ肌）γ2］
’
所以4（m＋1）y1＋（m＋l）γ2＝5γ1＋5my2’
所以（4m-1）yl＝（4m＿l）y2’
因为yl与y2不恒等’
所以4′nˉl二0｀所以咖≡十·
所以直线川P与躯轴交于—个定点（十』0）
［评析］
（l）根据直线AB的方程与抛物线方程联立’由△＞0和γly2＝ˉp2≡—4解得p＝2,从而写出抛物线C的
方程;
（2）假设存在定点″（砸′0）,根掘▲R″共线,即k州≡‰解得′＂＝十,所以假设成立直线AP与瓤轴交于—个定
点（＋’0）
｜戳了l!上＾
（1）［解］
由已知可得
解得α2＝6,b2＝2,
2
2
所以椭圆c的标准方程是÷＋÷＝L
（2）@［证明］
由（1）可得F的坐标是（—2,0）
,
设T点的坐标为（-3’m）
’
m-0
则直线TF的斜率k〃≡—3ˉ（ˉ2）≡-m.
当厕≠0时’直线P0的斜率附′0＝÷,
直线PQ的方程是匆＝my＿2.
＾
Ⅶ
’
■
】
4l
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当′n＝0时’直线P0的方程是则≡—2’也符合x＝′ny—2的形式
｛即｛
设P（虹l ,yl 〉’Q（虹,’γ,）,将直线P0的方程与椭圆C的方程联立,得
消去Z’得（m2＋3）y2-4mγ—2＝0’
其判别式△≡l6加2＋8（m2＋3）＞0,
4m
-2
ˉ12
所以y｜＋y2＝丽万,ylγ2＝而豆ˉ百’财l＋甄2＝′厕（γl＋y2）ˉ4＝丽Iˉ百
所以P0的中点删的坐标为（孟｀哉）
刀〗
所以直线OM的斜率片oM＝ˉ3
刀〗
又直线OT的斜率∧07≡ˉ丁’
所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.
o［解］
由@可得｜TF｜＝√m2＋1’
｜PQ｜＝√（鳃｜ˉ缆2）2＋（γ!ˉγ2）2
＝√（厕2＋l）［（γ｜＋γ2）2ˉ4γlγ2］
√娜』判）｜（满）』ˉ斗蒜｜
√须（m2＋l）
≡≡
m2＋3
●
］
—
凹
／
了
″
”
以
『
『
∑
＼
／
句
〕
＋
∑
Ⅶ
『
／
‖
｀
何
丁
~~
们
岭
（
×
］
＿
叫
／
√
≥
√
）
△
。
＋
］
＋
斗
∑
∏
′
＋
』
＋
勺
←
川
′
（
l
页
］
＋
∩
丝
Ⅲ
′
当目仪当狮』刊≡六即砸二圭!时,等号成立,此时骨取得最小值
所以当儡最小时.,点的槛标是（ˉ3,1）或（ˉ3,ˉ｜）
（1）［解］
设椭圆的半焦距为c,
由题意知2α＝4,2c二2徊’
所以α＝2’c＝抠,则b＝√α2ˉc2＝沤
2
2
所以椭圆c的方程为÷＋÷＝L
（2）@［证明］
设P（匆0’y0）（如0＞0,y0＞0）
由M（0,m）,可得P（x0’2′n）,0（x0,—2m）,
所以直线PM的斜率片＝2∏l—′n≡m
卯0
冗0
直线QM的斜率乃′＝—2mˉ′n＝虹
九0
冗0
此时÷＝＿1
所以÷为定值＿1
121
42
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@［解］
设A（财l ,γl 〉,B（x2’y2）,直线PA的方程为γ二肋＋″0’直线0B的方程为γ＝-3脑＋″!
y＝肚＋『n,
｛÷÷山…』………』＂
联立
…｜≡笨÷.可得躯!≡舶‖＂
7
2k（m2—2）＋m.
所以γl＝脑l＋加≡
司
（2k鱼＋l）z0
2（州』—2）〕』』≡「鹏∩;｝
同理鳃2＝（l8k2＋l）鳃0
＋′∏
2（m2-2）
2（″l2-2）
＝
-32k2（″a2-2）
-6R（加2-2）＋m-
ˉ″!＝
2k（m2-2）
＿8k（6k2＋l ）（″l2ˉ2）
y2＿y1＝（18k2＋1）z0
（2片2＋l）刀o
（l8内2＋1）（2片2＋l）冗0
所以隐鹏二÷二｝ˉ宁-十（6陆十）
由m＞0’熊0＞0,可知k＞0,
所以6肿十≡2佰当且仅当腮-粤时取等号
意
题
△
口
符
呵
—
气
′
~~
几
即
佰
—
β
~~
页
丽
加
吓
寸
日
此
所以直线Aβ的斜率的最｜植为乎
2
2
122｛解］
（!）设椭圆c的方程为÷卞＝l（α≥b＞0）,
因为椭圆的左焦点为Fl （-2’0）,所以α2-b2≡4.
设椭圆的右焦点为F,（2’0）’已知点B（2,√百）在椭圆C上, ｜BI
则2α＝3徊＋√百≡4√区
所以α＝2√Z又c＝2’所以b＝2.
2
2
所以椭圆C的方程为÷＋÷＝L
（2）因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为（＿2√Z0）.
2
2
因为直线γ＝脑（k≠0）与椭圆十＋÷＝l交于两点E』F’
设点E（匆0,y0）（不妨设觅0＞0）’则点F（-卿0,-γ0）.
｛二÷』…淌…
联立方程组
＂以输ˉ√」哩砂ˉ措』所以直缓…橇为Ⅱˉ
2徊
k, ｜BF
所以鳃,-√「万矿,＂ˉ湍了断以…的方程为Ⅱ～
1
｜＋｜BF2 ｜＝2α’
｀（…）
2徊
k
l＋√1＋2胀
1｀》除测氯删（0′｜＋等蒜）
因为直线AE与y轴交于点M,令x≡0得y＝
43
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阔理…（＂］—瓷霞）
／
→→
假设在虾轴上存在点P（t,0）,使得4ⅧW为直角,则″P. ／VP＝0.
即′2＋
ˉ2√虱
｜″√「丁I霞｜ˉ羔了～肌哪』』—4～α
×
解得t≡2或〖＝-2。
故存在点P（2’0）或P（—2’0）’无论非零实数k怎样变化,总有△MPⅣ为直角
［评析］
（］）已知焦点坐标和椭圆上＿点坐标’即可求出椭圆的方程;
（2）联立直线与椭圆的方程,求得直线AE的方程’因为直线AE与y轴交于点M’可以解出
≡—≥→
的坐标’因为』′P. ／VP≡0,可求出P的坐标.
M的坐标,同理解出∧
2
l
冗
-—
4
1
［解］
（1）设直线AP的斜率为k,∧＝
1
＝xˉ丁’
卯＋-丁
＝
因为ˉ＋…÷,所以直线AP斜率的取值范围是（ˉ］.］）
l
（2）由已知B0上AP’则片A尸＝-∧B0,
所以直线AP的方程为;y—十＝附（x＋÷）,即》脑ˉγ＋＋附＋十≡0o｀
直线B0的方程为;γ—÷≡—十（蹦＿÷）,即;鞭＋滁y＿÷kˉ÷二0°
-片2＋4内＋3
联立O@’解方程组解得点Q的横坐标是勿0＝2（k2＋l）
因为｜剐｜＝√∏庐（蘸＋÷）＝√丁丁F（附＋l）, ｜P0｜＝√∏了（甄0ˉ绷）＝—（附ˉl）（附」）2
｀／P可,
所以｜PA｜
。｜P0｜＝＿（片—l）（内＋l）3。令／（R）＝—（∧ˉl）（片＋l）3’
因为′（腮）＝（靴＿2）（k刊）2』所以∧庶）任区间（—l ,÷）上单调递增,（÷｀l）上单调递减
因此当雁＝＋时, ｜川卜｜P0｜取得最大值器
123
124［解］
（｜）设′的坐标为（—c＂0）依题意｀:二十.÷＝α,“ˉc＝丁
1
解得α＝l 』c＝÷,p＝2.于是b2＝α2ˉc2＝二
么
4
°
所以』椭圆的方程为憋』＋等＝l ,抛物线的方程为γ2＝4躯~
（2）设直线AP的方程为躯＝叼带l（′＂≠0）.与直线′的方程蕊＝ˉ」联立｀可得点P（ˉl ,ˉ÷）,故0（ˉ
鳃≡呵刊与颧』十芋ˉ｜联立捎去x整现得（』砸』斜）′』十6呵≡0,解得y≡0｀或y-］肃黑由点B异
得点″（繁罢.京铝）由0（ˉ｜÷）可得直线“翻方程为（3羔ˉ÷）（※
（羔尘｜）（Ⅱ÷）≡0冷γ≡0解得襄-;羔故′（;器.0）所以M″｜-｜ˉ2—』狐:ˉ互
3加2＋2
］m2↓
）,故0（ˉ
由点B异
个
勺
3m垒＋2
3′n鱼＋
l ,÷）将
于点A’可
—÷）（Ⅸ＋
」
）
＿
又因为
2
·44
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佰
—
旦
~~
∑
—
刚
×
勺
～
∑
＋
加
〗
／
◎
Ⅶ
『
〕
×
］
—
∑
故
’
佰
丁
为
积
面
勺
自
″
∧
△
整埋得3狮』—2佰｜卿｜十2-0｀解得｜′娜｜≡乎
佰
—
＾
±
~~
‖
″
以
所
司
勺
…
所以,直线AP的方程为3“＋√6｝ˉ3二0,或3鳃ˉ√6γˉ3＝0
考点六曲线与方程
［解］
（］）由抛物线的性质可知’抛物线y2＝8鳃的准线为如＝-2,
抛物线上的点B到焦点F（2,0）的距离等于点B到准线绷＝-2的距离,
由题意知’点B的横坐标为t’则｜BF｜＝t＋2.
（2）当′＝3时,A（3’0）.
由曲线厂:γ2＝8z（0≤躯≤t,y＞0）知:
点B的纵坐标为√〖ˉ叉了＝2佰’则B（3’2√6）.
由于Q在线段AB上,则点Q的纵坐标取值在［0,2佰］之间.
由题意F（2’0）, ｜FQ｜＝2’则Q的纵坐标为√I丁可丁＝√丁,
故0（3,何）,00的中点槛标为（÷.粤）
■
·
’
□
】
由十;≠2’由题意叮知″的斜率存任则司设直线P′的方程为
所以将点（÷,粤）的坐标代人方程得粤-腮（;ˉ2）,
勺
、
｝
／
’
≈
勿
〃
｛
＼
百
内
~
γ
解得片≡—何,则直线PF的方程为y＝ˉ√可（躯ˉ2）.
7
代人抛物线方程得鳃＝＿
p
3
°
由于A、Q均在直线绷＝3上’则△A0P的AQ边边长为√可-0≡√可’
叫边上＂高等于｜蕊删—蕊僻｛-
｛］÷二÷’
则s鱼叫′二＋渊删0｜3ˉ躯′｜＝＋×何×÷二鄂
（3）存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ’使得点E在厂上
当′＝8时’A（8’0）,点B的纵坐标为√叮雨＝8’则B（8’8）.
2
设′（÷,厕）’0≤…
2
O若÷＝2,则点P（2’4）,而点F（2』0）’则PF上鳃轴
若以FP、F0为邻边的四边形FPEQ为矩形,则PFˉLFQ’
则F0上y轴’故点Q（8’0）.此时点E（8’4）,由于√gˉ叉百≡8≠4,
则点E不在厂上’此情况不成立.
2
8′l
@当÷≠2时』直线PF的斜率可以表示为k″＝亏尘＝
坠ˉ7
∏2-l6
8
由于pF上FQ,则直线FQ的斜率可以表示为附′0＝l6丽鱼
45
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所以直线0F的方程为γ＝l6丽厕≡（聪ˉ2）,
当膊＝8时,γ＝l6丽″』（8ˉ2）＝48蒜′』:,
勺
所以0（8,48了′;厕ˉ）
而在以FP、F0为邻边的四边形FPE0中,
F｀E为不相邻的两个顶点,
→—≥＿〉
则FP＋FQ＝FE.
掘三（『—2』＂）而-（6』蝎丁:腑』）』
则雨＝（÷＋4,厕尝8）
乙
气
2
勺
故点E（÷十6’48蔬旅）
当点圆在r上时,有（48蔬″2）』二8（十＋6）
2
移项后去分母整埋得｜5＂2二48’解得厕2＝等
而0≤″≤:则阅＝竿故P（÷鄂）
综上所述,存在以″、F0为邻边的矩彤″E0,使得点E在r上’此时点P（÷,鄂）
l26［解］
（l）由题可设C（鳃’γ）’则C（÷,十）、〃（撼,十）’丽＝（x—l,十）茄＝（鳃刊｀γ）｀因为H为垂心,
所以萌茄二撼2—!带÷-0整理可得腮』÷二! ,
2
即动点C的轨迹厂的方程为腮2＋÷—＝l（鳃γ≠0）
（2）显然直线AC的斜率存在’设AC方程为y＝片（如＋l）,C的坐标为（匆0’yo）
’
将Ⅱ～删砷｜）代人椭侧方霍得（』峨＂）翼』带…』ˉj～0解碍敷,～器删,-哉｀＂M（器,盖）
原点O到直线AC的距离d＝′｜内｜
、
′
√1＋A≡
由题可知k兰ˉ9ˉ2k2＋片4
l＋内2
9＋6k2＋k4,即7片4＋2片2-9≡0,
解得k2≡1 ,即片＝l或-1,
故所求直线AC的方程为y≡z＋l或y≡—x—1
--广→
［评析］
（1）设C（匆,y）,根据题意可得G、／Ⅱ的坐标,进而由BH.AC≡0求得轨迹方程
（2）设直线方程为y＝片（z＋l
）,联立椭圆方程可得点C的坐标’从而得到H的坐标,然
得k’即得直线方程
联立椭圆方程可得点C的坐标’从而得到H的坐标,然后由直线与圆相切的条件求
。46.
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第三章三角函数＆平面向量＆三角恒等变换＆解三角形
考点-三角函数
127. ［答案］
B
［解析］
cos2α≡lˉ2sin2α＝l-2×
】
｀
｀
‖
／
］
—
〕
丁
—
’~~
（
128。［答案］
C
［解析］
根耀题意及三角形的面积公式知÷…‘上fˉ僻凰,所以…-α』带b2＿·2 ＝cosC,所以在△ABC
2αb
中,C＝子
129. ［答案］
B
［解析］∧鞭）二hˉ2.in』…n露＝ˉ2（…—÷）』＋÷,因为…［ˉl ’』］,所以当…二l时′（葱）取得最
大值且／（筛）m醒＝5.
130。［答案］
D
［解概M翼）二÷（｜ˉ·…）十＋闺…—＋÷…—丁…～经in（。撼ˉ子）当“』-十时′（撼）-
1
祭颠（＋鳃ˉ÷）｀疟（愉｀2丽）时旷（蕊）筐（÷｀乎］｀无零点排除A,B;邹-荒βM露）-粤詹m（讳瓣＿子）,瞧≡
（∏’2∏）时’0巨／（勿）’有零点,排除C.故选D.
易错项分析:解答本题的关键是将目标函数处理为单个正弦或余弦的形式,再将区间（∏’2∏）内没有零点这个条件
转化为／（∏）和／（2∏）同号,此处学生容易忽略同为负号的情况而漏解,另外还要注意这两点在同＿个半周期里,以
及不等式合并的原则
［答案］
B
［解析］
由于∧熊）＝sin2匆＋bsin鳃＋c≡l＿晋s2憋＋bsm…当b＝0时:／（箍）的最小正周期为丽;当b≠0时』
／（z）的最小正周期为2∏。c的变化会引起／（卯）图象的上下平移’不会影响其最小正周期故选B.
易错项分析:本题中字母6是否为零’影响是否存在bSinz这—项,从而整体影响Sin2卯＋bSin鳃的周期性变化,两个
周期函数的和的函数周期变化应考虑为两个函数周期的最小公倍数
131
132。［答案］
A
（解析｜
因为点′（÷,』）在圈数》-鼠i＂（2蕴—于）胸闺象上.所以』-爵m（2×÷—于）-鼠m÷-÷又
P′（于ˉ‘,＋）在嗣数γ＝鼠m2腮的图象上,所以＋二息m2（子ˉ‘）则2（矛—‘）＝2肺＋÷或2（于—』）＝2肺＋
粤』胀匡z’得』＝ˉ肺＋÷或‘＝ˉ航ˉ÷,附匡z又』＞0,故』的最小值为÷故选A
133. ［答案］
A
［解析］
由／（于）＝2′（宁）＝M蕊）的最小正周期′≥2丽,可得宁—于＝￥＝÷,所以′＝3丽,所以o-嘉
＝÷再由′（于）＝2及｜帜｜＜丽得嘲＝舌故选A
·47.
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~~
］
—
↓
＋
允
吕
◎
压
＋
卯
〗
吕
●
℃
~~
司
〕
—
〃
仆
冗
·
吕
伍
＋
勿
∑
Ⅱ
·
■
且
吕
~~
）
冗
讽
意
题
依
］
］
］
案
析
答
解
［
［
斗
〕
】
~～2
…—鱼）
＋｜
2
（
［0·÷｜｀所
因为蹲巨
］
~~
Ⅺ
已
Ⅲ
）
卯
（
矿
□
寸
日
何
丁
~~
冗
吕
◎
●
当
七
卜
」
因
’
］
］
’
○
［
巨
九
吕
○
旧
‖
八
肪
l疆［解］
（1）在△咽D中,由正弦定翅得揣】ˉ鼠in△川Dg
AB
由题设则,.m÷5. .n六nB,所以.…D‘-等
≡≡
′
2
｀／页可
由题设知,△ADB＜90.,所以窿…DB√—万＝了
（2）由题设及（｜）知,…BDC＝…MB＝罕
在△BCD中’由余弦定理得
BC2≡BD2＋DC2-2°BD.DC. cos▲BDC
＝25＋8ˉ2×5×2√可×罕
〕
≡25·
所以BC＝5.
（
］
＋
）
工
△
『
136｛解］
（l）因为／（厕）＝sin2卯＋cos2卿＋2sin”cos厕＋cos2“＝l＋sin2卿＋cos2则＝√mn（2卯＋子
所以函数∧厕）的最小正周期为T＝芋＝丽
△
（2）巾（｜）的计算结果知抓鳃）≡√mn（2x十子）＋｜
当膊匡［0,÷｜时,2蒸带÷巨｜于.￥｜
］
肺
—
↓
’
∏
—
〃
斗
｜
由正弦函数γ＝sinz在
k的图象知’
当2绷＋÷＝÷’即撼＝;时｀∧腮）取得最大值√zl ;
当2蕊＋于＝￥.即x＝÷时,∧狐）取得最小值α
综上′（撼）在［0,÷｜上的最大值为抠十l｀最小值为0
（x＋÷）—何｀
137。［解］
（1）因为／（膊）＝slnz＋伍:oszˉ何＝2sin
所以／（鳃）的最小正周期为2∏
（2）因为0≡芋,所以÷≤缆＋÷≤丽
当躯十÷＝丽,即x＝芋时抓蕊）取得最小值
所以∧躯）在区间｜0』芋｜上的最小值为′（芋）≡—归:
·48
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l3a［解］
（l）∧撼）的最小正周期为…o＝宁,γo＝1
（2）囚为鞭匡｜—于,ˉ舌｜,所以2蕊滑匡｜ˉ干’0｝
于是』当2撼＋苦＝0』即则＝ˉ舌时讽鳃）取得最大值0;
当2撼＋÷＝ˉ苦,即撼＝ˉ子时,／（鳃）取得最小值ˉ乱
1J9｛解｜
（l）由角α的终边过点P（ˉ÷,ˉ÷）得smα＝＿了
4
4
所以sin（α＋∏）≡ˉsinα≡了·
（2）由角α的终边过点P（＿÷｀ˉ÷）得…二ˉ÷,
由霞in（α＋β）＝古得c。霞（α带β）＝堂号
由β≡（α＋β）—α得cosβ≡cos（α＋β）cosα＋sin〈α＋β）sinα’
所以c°.β＝—器或c。詹β二器
考点二平面向量的墓本概念
140［答案］
D
［解析］
取α≡-b≠0,则｜α｜≡｜b｜≠0, ｜α＋b｜＝｜0｜＝0’ ｜α＿b｜≡｜2〃｜≠0,所以｜α＋b｜≠｜α-b｜’故由｜α｜≡｜b｜推
不出｜α＋b｜＝｜α-b｜.由｜α＋b｜＝｜α＿b｜,得｜α＋b｜2＝｜α-b｜2,整理得α 。b＝0,所以α」-b,不＿定能得出｜α｜
＝
｜b｜’故由｜α＋b｜≡｜α—b｜推不出｜α｜
＝｜b｜.故“ ｜α｜＝｜b｜”是“ ｜α＋b｜
＝｜α—b｜’,的既不充分也不必要条件故
选I）ˉ
考点三平面向量的线性运算
141［答案］
A
［解析］
由题可砸-丽带荫＝＋（荫＋茄）硒-掘—颖
142. ［答案］
B
［解析］
根据题意:荫＝肪＋而＋而＝I商＝÷（αˉb）’AD＝AC＋CBˉ卜BD＝
→-—》
--≥
--〉
丝
÷（“十b儿砸＝』〗志’′!屈＝‘（I商磕）＝』（荫＋÷丽）＝÷侧带十b由茄
D
F
C
A
〃
目
皇
程
方
解
’
’
州
—
∑
…
—
∑
~
~
~
~
』
—
∑
』
斗
｜
儿
肚
『
『
’
力
…
—
∑
＋
α
叫
—
∑
~~
→
″
儿
肚
所
｝
》
＄
—
勺
～
α
＄
—
勺
△
~~
→
″
’
）
∏
〃
＋
α
（
］
—
∑
~~
》
〃
＿
＾
仕
‖
贝
●
≥
∩
儿
—
〃
＄
~~
＋
厂
～
〃
令
’
＋
厂
＿
〃
＋
＋
〃
—
∧
~~
49·
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143. ［答案］
B
［解析］
如图’因为A,B,C是圆0上不同的三点,线段AB,OC相交于点D,则不妨取
-→—-≥→
△AOB≡l20。,乙AOC＝△BOC＝60°,那么四边形AOBC是菱形,所以OC≡OA＋OB,又因为
—》
→
＿-沪
OC＝入OA＋以OB,所以人＝以≡l’入＋队＝2,于是可以排除A,C’D三个选项。故选B.
易错项分析:在解答本题时’大多数学生不会用取特殊值即特定形状的方法来利用排除法求
解设乙AOC＝120。,4AOC和乙BOC分别等于60。,四边形AOBC为菱形这个特殊形状再结
合向量知识来求解’就可以利用排除法得出正确答案了.
B
考点四平面向量墓本定理及坐标表示
1“［答案］÷
＝
［解析］
2α＋b＝（4｀2）｀因为c＝（! ,∧）,且c〃（2醒＋b）.所以l×2二4儿·即入＝÷
145［答案］
B
—→
l-→
［解析］
因为″是BC的中点,所以B″＝丁BC
→
姻
→
仙
队
＋
→
″
＿
〃
＋
→
佃
∧
＋
∏
＿
β
严
＋
→
侧
入
→
“
以
所
4
｜二刷川…
入-以＝1,
｛十…解.
匠→—→
人（荫÷瓦）带′』（瓦ˉ7荫）＝（』—腆）7萌＋（l壮″
＝姻带腐C｀即
气
亏故选B
146。［答案］
D
—广＿》
-→-＋＿广—》—≥
l—》一＋
1-＋
—十
＿〉
［解析］
以AB’AD为基底向量’则由题意可知AC≡AB＋AD’AM＝AB＋ˉ丁AD,B／V＝—ˉ丁AB＋AD,所以AC≡
＝
▲
＄
—
日
~~
儿
／
＋
｀
∧
人
陛
所
’
β
—
日
∑
—
日
~
~
~
~
入
以｜
得
解
·
’
］
］
~
~
~
~
ˉ
丛
∑
入
—
∑
＋
入
以｜
八
脏
了
β
’
＋
〃
′
陛
＋
入
—
∑
（
＋
雁
以
—
】
∧
（
~~
）
→
仙
＋
＋
∏
□
＿
∧
］
—
∑
（
么
／
＋
）
＋
〃
＿
∧
］
—
∑
＋
＋
而
β
—
∧
（
∧
故选D
147［答案］
A
［解析］
以A为坐标原点’AB,AD所在直线分别为匆’y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则A（0,0）,B（l’0）,C（l ,2）,D（0,2）’可得直线BD的方程为2x＋y—2＝0’点C到直线BD的距离为
∏盖÷圆c;（甄—｜）』带（′—2）』÷因…侧‘上撕以′（｜带鄂触2孕晌〃）,
D
’
驰
入
~
~
~
~
β
β
吕
·
□
Ⅲ
娠
＝
行
愚
勺
～
—
≡
〕
八
＋
＋
选
］
∩
′
▲
’
「
｜
）
＼
｜
［
∑
以
＿
＿
所
吵
∏
’
α
）
〔
儿
句
午
］
’
≤
入
（
）
甲
~~
＋
》
、
／
—
〃
佃
严
Ⅲ
＋
吕
→
姻
＞
∧
＿
＝
＝
＿
β
》
口
∏
·
Ⅲ
＿
则
仕
吕
占
—
日
’
）
勺
～
＋
’
◎
β
（
吕
ˉ
＿
◎
℃
→
仙
呐
—
尸
〕
’
）
＋
）
（
’
∑
】
~~
（
＝
严
→
佃
壮
A｜
B
冗
148. ［答案］
7
［解析］
因为α＋b＝（′n-1,3）,α＋b与α垂直,所以（m—l）×（ˉ1）＋3×2≡0’解得′n≡7
·50·
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149. ［答案］
5
｛「｀宣（｝:—川肿』＝2…ˉ……＂
-→→
［解析］
设A（虹l ’yl ）,B（z2,y2）,由AP≡2PB,得
芋襟（』—2施）2二厕＾
区№
‰………＿÷峙～!｝
圆上,所以
5）2＋4≤4’所以当″!＝5时,点B横坐标的绝对值最大’最大值为2.
150. ［答案］
7
［解析］
因为α＋b＝（m—1,3）,α＋b与α垂直’所以（m—I）×（-1）＋3×2＝0,解得′＂≡7
151. （l）［证明］
由题意得｜α-b｜2≡2,即（αˉb）2＝｜α｜2ˉ2α.b＋｜b｜2,
因为｜α｜2＝｜b｜2＝1’
所以2-2α.b＝2,即α.b≡0’故α上h
（2）［解］
已知α＋b＝C’可得cosα＋cosβ≡0且sinα＋sinβ＝l
』
由此得;Cosα＝cos（∏—β）.
因为0＜β＜α＜∏’所以0＜而-β＜竹,则α＝∏—β’代人sinα＋sjnβ＝l ,
可得smα＝sinβ＝＋’们α＞β,
所以α二芋’β二÷
［评析］
本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示,简单的三角恒等变换
（1）根据向量模的表示’求得α·b＝0即可证明α上b;
（2）问量c用坐标表示’经简单三角恒等变换’结合α、β的范围即可求解。
考点五平面向量的数量积
152. ［答案］
B
［解析］
根据α.b≡｜α｜｜b｜cos0,又cos0≤1 ’知｜α。b｜≤｜α｜｜b｜,A恒成立.当向量α和b方向不相同时, ｜α～
b｜＞
｜｜α｜—｜b｜
｜’B不恒成立.根据｜α＋b｜2＝α2＋2α.b＋b2＝（α＋b）2,C恒成立.根据向量的运算性质得（α＋b）
。（αˉb）＝α2—b2’D恒成立.
153. ［答案］
A
--＋
—〉
［解析］
法—:设O为坐标原点’α＝OA’b＝OB≡（狐,y）’c＝（l ,0）’由b2-4c 。b
＋3＝0得x2＋y2-4z＋3＝0’即（卵-2）2＋y2＝1’所以点B的轨迹是以C（2’0）为
圆心,l为半径的圆因为α与‘的夹角为÷,所以不妨令点A在射线γ＝√g宽（狐＞
-—〉
—〉
0）上,如图’数形结合可知｜αˉb｜min≡｜G4｜ˉ｜CB｜＝√百ˉ-1.故选A.
法二:由b2-4e.b＋3＝0得b2-4e.b＋3e2＝（b—e）
. （b-3C）≡0。
-一广
ˉ—广
-→
-—≥
ˉ-〉
--广
-》
o｜
＼二／”
设b＝OB’3e＝OE’3e＝OF,所以b-e＝EB,b—3c≡′B,所以EB.FB≡0,取EF的中点为c’则B在以C为圆心,
5l
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ˉ-＋
EF为直径的圆上,如图设α＝OA’作射线OA’使得△A〔）E＝÷,所以｜α—b｜＝
｜（αˉ2‘）＋（2cˉb）｜≥｜αˉ2c｜—
ˉ-〉
→
｜2eˉb｜
＝｜CA｜
ˉ ｜BC｜≥何ˉ1.故选A.
F
。
‘＼上／
154［答案］
B
ˉ—〉
＝-ˉ≥
［解析］
法—:AC为Rt△ABC的斜边,则AC为圆鳃2＋广＝l的＿条直径’故AC必经过原点O,如图,则州＋PC＝
--〉
ˉ→—≥
ˉ-今
→-ˉ广
--〉
--〉
2PO, ｜剧＋PB＋PC｜≡｜2PO＋PB｜≤2｜PO｜
＋｜PB｜,当P’O,B三点共线时取等号’即当B落在点（ˉl ’0）处时’
ˉ-≥
ˉ-≥→
-—〉
-＋
-＋
—〉
＿广-＋
ˉ-广
｜PA＋／〕B＋′〕C｜取得最大值此时’P0≡（—2’0）’PB二（—3,0）,2｜PO＋｜PB｜＝2×2＋3＝7,故｜〃＋PB＋PC｜的
最大值为7.
仙
』
l
3勿
ˉ—〉
-—〉
-—〉
-—〉
-ˉ》
法二:同法＿’得｜PA＋PB＋PC｜＝｜2P（）＋PB｜
。
ˉ-＋
ˉ-＋-＝》
又PB＝OB-OP,
--〉
ˉ-＋
ˉ-＋
ˉ＿十-＋—〉
＿广
ˉ＿◆
所以｜PA＋PB＋PC｜≡｜2PO＋OB-OP｜＝｜OB—3OP
＋
尸
＿
○
■
＋
日
＿
○
β
勺
～
~
十
尸
～
○
□
′
＋
勺
亡
→
泅
＿
／
［
／
√
~
√l2＋9×22ˉ6×l×2cos乙POB
~~
≡√37—l2cos△POB≤√万-干ˉI百＝7,
＝-ˉ≥
≡—〉
ˉ-》
当且仅当乙POB≡l80°时取“等号”’故｜PA＋PB＋PC｜的最大值为7.
ˉ-广—〉
-＝〉
—→
ˉ-〉
→--〉
法三:同法＿’得｜PA＋PB＋PC｜
＝｜2PO＋′〕B｜.设B（cosα’sinα）,则｜2P（）＋′〕B｜
＝｜2×（—2,0）＋（cosα—2,
sinα）
｜＝
｜（ˉ6＋cosα’sinα）
｜＝√（ˉ6＋cosα）2＋sin2α＝√37ˉ］2cosα≤√万不T页ˉ＝7（当cosα＝ˉ1 ’即B落
在点（ˉ1 ,0）处时取等号）.
—-》
--》→
故｜PA＋PB＋PC｜的最大值为7.
155. ［答案］
B
（解析］
法—; （通性通法）如图建立平面直角坐标系则4（0.÷）,β（＿＋’0）,
‘（十,0）,E（0,0）,D（÷｀￥）｀由丽-2苏得′（÷, —?）, 』‖茄-
（÷,ˉ乎）,茄-（｜.0）所以绷Ec一
-＋-ˉ≥
l
8
—〉
～一》
＿》
3—〉
—≥
l—≥
3—〉
＿＋
1＿〉—广
法二:（速解法）AF。BC≡（AI）＋丁I）E）.BC＝（ˉTAB＋丁AC）.BC≡ˉ丁AB。BC
q—》—》
l
3
l
＋一-AC.BC≡-—＋
≡—
4
4
8
8
）
』
~
勿
℃
啼
叭
｀
Ⅱ
）
○
（
Ⅱ
日
52
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156. ［答案］
D
｛豆（……….
［解析］
法ˉ;过点（＿2,0）且斜率为÷的直线的方稗为y＝÷（叶2）｀由
』～域缀ˉ4所以｛》二』域｛慧不…］,2）,…）,撼知′（! ,0）所以丽≡（0,2）｀丽～（』,铡所以丽
—＋
·FγV≡8。故选D。
｛俞』』翱……..｝
勺
勺
法二过点（ˉ2,0）且斜率为亏的直线的方程为γ＝÷（厕＋2）’由
ˉ—〉
→
／V（鳃2,y2）,则yl＞0,y2＞0’根据根与系数的关系,得卯］＋剿2＝5’匆l勿2＝4。易知F（1’0）,所以FⅧ≡（如l —l,y1
）’FⅣ
-→→
＝（厕2ˉ1,γ2）’所以FⅧ.F／V＝（厕!ˉ1）（卯2—1）＋y｜y2＝“lm2ˉ（〃l＋则2）＋1＋4｀／万『万＝4ˉ5＋I＋8＝8.故选D.
157. ｛答案］
C
［解析］
因为α上（2α＋b）’所以α。（2α＋b）＝0,所以2｜α｜2＋α.b＝0,即2｜α｜2＋｜α｜｜b｜cos〈α’b〉＝0
＋,所以〈′,』〉＝÷佩
因为｜b｜＝4｜α｜’所以2｜α｜2＋4｜α｜2cos〈α’b〉≡0’所以cos〈α,b〉＝—
158［答案］
B
—〉
--＞
-＋
［解析］
由｜DA｜＝｜DB｜＝｜DC｜知,D为△ABC的外心
≡-〉-＋—〉
＿-〉
-＋—-〉
由DA.DB≡DB.DC≡DC.DA知’D为△ABC的内心’所以△ABC为正三角形,易知其边长为2√5:取AC的中点
E’因为删是Pc的中点,所以圆″＝絮P＝÷｀所以｜丽｜…＝｜巫｜＋＋＝÷则｜丽｜志＝桨,故选圆
159. ［答案］
C
［解析］
如图所示’四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AO＜AF,而
--〉
乙AFB＝90。,所以△AOB与▲C〔）D为钝角’乙A（）D与乙BOC为锐角根据题意,′1 —I2≡OA
-十
-—≥—》
--〉
-＋
--≥
＝-＋
ˉ-ˉ〉
--＋
ˉ-〉
°OBˉOB°OC＝OB。（OAˉOC）≡0B.CA≡｜OB｜
.
｜CA｜
. cos△AOB＜0,所以′l＜吗’同
理得’′2＞′3,作AC上BD于G,又AB≡AD’所以OB＜BG＝GD＜OD,而OA＜AF＝FC＜（）C’
-—〉
—〉
ˉ—＋
—-〉
--〉—〉
--＋
--→
所以｜OA｜
·
｜OB｜＜｜OC｜
·
｜OD｜,而cos△AOB＝cos兰COD＜0,所以OA.OB＞OC.OD’即
′l＞I3.所以′j＜′l＜I2’故选C.
D
A
E
C
B
160. ［答案］
B
［解析］
如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为期轴,以BC的垂直平分线为）
ˉ—ˉ≥
轴建立平面直角坐标系’则＾4（0,√可）’B（ˉl ’0）’C（l ,0）.设P（Z,y）,则PA≡（—箍,√了ˉ
—〉
＿→
＝-ˉ≥
—广
--≥
y）’PB＝（ˉlˉ绷’ˉy）’PC＝（lˉx,ˉy）,所以R4
。（PB＋PC）＝（ˉ期,何ˉy）
。（ˉ2期,
ˉ2γ）二2膊』＋2（》＿粤）』ˉ÷,当藏＝0,γ＝粤时虱（两屁）取得最小值为＿÷,
故选B。
γ
∧
B
O｜
C
卯
161。［答案］
√7
［解析］
由α.b＝1
’ ｜α｜＝l’ ｜b｜＝2可得两向量的夹角为60。’建立平面直角坐标系’可设α＝（l,0）,b＝（l ,√了〉
,
C≡（cos0’sin0）’则｜α。C｜
＋｜b。e｜
＝｜cos0｜
＋｜cos0＋√3sin0｜≤｜cos0｜
＋｜cos0｜
＋√j—｜sin0｜＝√3｜sin0｜
＋
2 ｜cos0｜≤｀／7,所以｜α.C｜＋｜b.C｜的最大值为师
.53.
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l62｛答案］器
［解析］
在等腰梯形ABCl）中,由AB／／／I）C,AB＝2,BC＝l ,△4BC＝60。’可得AD＝
［解析］
I）C＝l
°
y｜
｜
DF
C
建立乎丽直角坐标系如图所示贝M（0,0）,B（2,0）,C（;｀粤）′〕（＋,粤）
瓦-（÷.粤）—（2,0）≡（ˉ÷.粤）,
茄-（÷,粤）＿（十.亨）≡（」,0）
固为琉≡入瓦≡（ˉ÷入｀粤入）,所以z（2＿＋入,粤入）
因为茄二赤茄-（六0）.所以′（＋带六,粤）
所唾丽≡（2ˉ＋入｀粤入）（÷十六.粤）
-（2ˉ士入）（←六）÷人-÷六带十入≥粉2√六＋儿-器
当且仅当六＝＋人即人＝÷时取等号,符合题意
所顺丽的最小值为器
〃
～
叫
—
B
勿
2
16乱（答案］器
—＞—〉
—〉
-→—》
2—≥—≥
［解析］
取BA’BC为—组基底’则AE＝BEˉBA≡ˉ丁BC＿BA’
—＋—→—〉
--〉
--〉
--〉
气-—〉
7ˉ-〉-十
AF＝AB＋BC＋CF＝—酗＋BC＋市BA＝ˉ＿BA＋BC,
12
所哑丽＝（飘＿煎）（＿颗＋茄）
＝古｜丽｜2—粮瓦÷｜瓦｜,
＝舌×4ˉ器×2×｜×÷＋兰
≈
3
29
≡≡
l8.
1
164. ［答案］—
2
［解析］
由题意,令e≡（l ,0）’α＝（cosα,smα）,b＝（2cosβ’2sinβ）,
则由｜α。e｜＋｜b.e｜≤√百’可得｜cosα｜＋2｜cosβ｜≤√m。令sinα＋2sinβ≡′′l@’
O2＋@2得4［｜cosαcosβ｜＋slnαsinβ］≤1＋′n2对＿切实数α,β恒成立,
1
所以4［｜cosαcosβ｜＋slnαsjnβ］≤1 ’即｜cosαcosβ｜＋smαsinβ≤丁.
l
故α。b＝2（cosαcosβ＋smαsinβ）≤2［｜cosαcosβ｜＋slnαsinβ］≤ˉ丁
≡
54。
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7
16氢［答案］丁
［解析］
法一:（通性通法）以D为坐标原点’BC所在直线为聪轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
设B（ˉ。｀0）,c（α,0）’‖（b, ‘）则E（÷h÷c）′（十b,÷c）,丽＝（b＋α｀c）｀苗＝（bˉα,°）’茄＝
（÷＋α,÷）茄＝（÷ˉα.÷）,丽＝（÷b＋°,÷c）.苗＝（÷b—α,÷c）,由蕊两＝b2＿α2带c2＝4』丽
—广
b2
2
c′＝丁＿α』辨÷二ˉ｜》解得h2＋c2＝爷’α遭二÷测琉而二÷（b2＋c』）—α2＝÷
-—广
～≡〉
—〉
-—〉
∩
气
～〉→
法二:（速解法）设BI）≡α’DF＝b’则BA.CA＝（α＋3b）
· （-α＋3b）＝9｜b｜△＝｜α｜‘＝4,BF·CF＝（dJ＋b）
.
（＿′＋b）＝｜b｜2ˉ｜α｜』＝ˉ｜’解得｜侧｜』＝号, ｜0｜2＝÷则琉丽＝（…》（—…）＝4｜b｜1ˉ｜°｜2二工
8
.
考点六两角积与差公式
166. ［答案］
B
（解析］
由已知可得讽卿）二＋…—粤瓢u2…2x-÷…ˉ祭…ˉ压俞（酞—于）所山（熟）的
撮幅为A-
｜ˉ何｜-侗凋期为′- ｜等｜-顿故选＂
考点七倍角公式与半角公式
167. ［答案］
B
［解析］
法＿:（通性通法）
由题意得／（绷）＝3sin鳃cos鳃ˉ√可sin2卿＋√7cos2鳃ˉsin熊cos鳃＝sin2匆＋√3cos2腮＝
2愚in（2缆号）故该函数的最小正周期T＝宁＝丽放选Ⅱ
法二;（速解法）
由题意得／（鳃）＝2爵in（露带÷）×2c°s（腮＋÷）＝2sm（2叶子）故该函数的最小止周期′＝午
＝∏.故选B
168. ［答案］
A
［解析］
由题意得2α.［苦｀2丽｜,又因为0＜巍n2α≡粤＜｜,所以…（苦.丽）敞°…＝孪则α.
（于,÷）,又圃为詹m′βˉα）-乎｀所以c。圈（βˉα）＝乎,又β詹［丽,芋｜则…匡（￥.2丽）,巍n（α十β）
＝sm［（βˉα）＋2α］＝息in（βˉα）c。s2…s（β＿α）瓢n2α＝ˉ÷·故α＋β＝￥故选A
易错项分析:忽视三角函数值自身可以约束角的范围,导致无法缩小角的范围而易错;在三角变换中的给值求解问
题中’涉及角的范围常见的有:o题目给定范围就可以确定角的大小;@利用三角函数值的范围与特殊角比较而缩
小角的范围
考点八简单的三角恒等变换
）
∏
＿
句
〕
＋
卯
勺
＝
（
∏
■
】
几
吕
~~
徊
丁
何
—
∑
＋
卯
勺
←
吕
◎
℃
徊
丁
＋
勿
勺
占
∏
『
■
■
丛
吕
］
—
∑
·
~~
日
徊
丁
日
●
卯
∑
吕
◎
任
＋
’
卯
∏
∏
ˉ
＿
■
】
』
吕
绅
—
∑
卯
吕
◎
＿
＝
℃
＿
＝
『
期
）
卯
司
（
／
）
正
得
｀
可
』
最
知
·
勺
已
泊
市
团
允
∧
）
】
数
（
函
］
义
解
脏
所
［
’
β
】
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令—子＋2师≤2蹦＋于≤÷令2肺（k匡Z）.
解得＿晋辨肺≡舌州丽（庶匡z）
｀
所以函数∧惩）的单调递增区间是［＿普带肺｀舌＋肺｜（册匡z）
（2）根据（!）则知g（鳃）≡鲁m｜2（…）＋÷｜＝铡n（2鳃十2α号）,
因为g（撼）是奇函数’所以2α＋÷＝肺（k巨z）
』
所以α＝昔十粤（庶匡z）,
又因为α＞0,当k＝l时,α取得最小值α的最小值是÷
［评析］
（! ）利用三角龋数的诱导公式将∧慈）化简为′（甄）＝瓢n（2鲸＋÷）即可得到／（聪）的最小正周期及单调递
增区间;
〗
（2）根据（l）得到函数g（抛）的解析式,因为g（躯）是奇函数’得到α＝ˉ÷＋乎,从而求得α的最小值
l70（!）!解］
囚为′（慈）-｜0压m奇…÷带!0c＂鼠』÷二5压m……5三｜0鼠m卜带苦｜＋5』
′
所以函数／（x）的最小正周期T＝2而。
（2）o［解］
将／（勉）的图象向石平移÷个单位长度后得到γ＝l0sm鳃十5的图象’再向下平移α（α＞0）个单位长度
后得到g（z）≡l0sin剪＋5ˉα的图象
又已知函数g（冗）的最大值为2,
所以10＋5—α＝2,解得α＝13.
所以g（z）＝l0sin舞-8.
@［证明］
要证明存在无穷多个互不相同的正整数冗0,使得g（z0）＞0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整
4
数z0,使得l0sinx0ˉ8＞0’即sin苑0＞了.
由÷＜粤知存在0＜“,＜于.使得瓢nα＂-丁
4
由正弦函数的性质可知,
4
当z巨（α0’∏—α0）时,均有sinz＞丁.
因为y≡sin撕的周期为2∏,
所以当如巨（2肺＋αo’2R∏＋∏ˉα0）（肉匡Z）时,
4
均有sin绷＞了.
因为对任意的整数k,（2肺＋丽ˉα0）ˉ（2k∏＋α0）＝∏—2α0＞÷＞l ,
4
所以对任意的正整数k,都存在正整数魔k巨（2k∏＋αo’2∧∏＋∏ˉα0）’使得sin鳃k＞了.
即存在无穷多个互不相同的正整数如0使得g（匆0）＞0.
·56
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）
∏
—
∩
〕
＋
冗
贝
α
（
171［解］
（l）由已知可得,／（鳃）＝3cosα加＋压inα′x≡2√g自in
所以函数／（腮）的值域为［ˉ2何,2打］.
因为正三角形△』BC的高为2√可,
所以BC＝4,则函数∧膊）的周期7＝4×2＝8,即生＝8,解得°＝于
α）
（2）因为′（蜒°）二芋,由（」）得抓鳃＂）≡2压in（子蜒,骨）～竿｜
所以sin（矛瓣0号）二÷
因为躯o巨（—粤’÷）则芋＋于筐（ˉ苦’÷）’
〕
—
日
~~
）
∏
—
司
〕
＋
迅
斗
／
』
‖
‖
＼
吕
◎
℃
以
所
故∧慈0辩｜）-2压in（宁÷带子）
＝2归§in ｜（芋号）半于｜
＝2归ˉ 卜＂（芋十于）c°舅子…（芋.号.m÷
）
｜
~广□-
-2徊（÷×乎÷×粤）-毕
［评析］
本题主要考查两角和与差公式’倍角公式,正弦函数的图象与性质
（］）根搪儒角公式以歧两角利与差公式得肌蕊）-』…叶压i…-2压航（…÷）然后根据△咽c为正＝
角形得到高以及边长,从而得到／（如）的周期’进而求得@以及值域;
（2）将∧鞭°）二竿以及（!）中求得的′（瓣）表达式联立碍到息m（矛颜0带子）≡÷通过鳃,.（ˉ4｀÷）得到
…（宁号）～÷然后利用卿角和与霍公式对∧蕊,带!）迸行求解
考点九∏弦窍理与余弦定理
172. ［答案］
A
［解析］
由题意可知sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin（A＋C）,即2sinBcosC＝sinAcosC’又cosC≠0’故
2sinB≡sinA,由正弦定理可知α＝26ˉ故选A.
173. ［答案］
D
［解析］
由题意可得右图:所以BC＝MD’AC＝√AD2＋DC2＝√百ⅪD,由正弦定理
可得;黑-黑,所以瓢M三册锄n‘-方粤—乎敬选∏
C
B
D
174［答案］
B
［解析］
因为co.亏ˉ等,而cosB＝2c。·亏ˉl’所以l＋…等’即cosB＝三’根据余弦定理;c。sB＝
2B
2B
■＝
～
～
2
C
α＋C2-b2
2
＿坠,整理得α2＋b2＝c2,由勾股定理可知△ABC是直角二角形故选B.
二＝
2αC
C
·57
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175. ［答案］
D
［解析］
根据正弦定理,÷＜…’即;:器＜c。s＂,又因为在△奶c中,0.＜△‘＜｜80.,所以.sinc＜sin‘…
根据三角形内角和公式,由sinC＜sinBcosA得:sin（A＋B）＜sinBcosA,即:sinAcosB＋cosAsinB＜sinBcosA,可
得,sinAcosB＜0。又因为在△ABC中,sinA＞0’所以,cosB＜0,9（）。＜乙B＜l80。,△ABC为钝角三角形.故选I）.
∏
—
勺
〕
176。［答案）
［解析］
依题意得2b×α2＋c2—b2＝α×
2＋c×
2
2
α2＋b2-C
b2＋C
-α
2αC
2αb
2bC
…＝÷又0＜B＜颓,所以β＝÷
即α2＋c2—b2≡αc’所以2αccosB＝αc＞0
177. ［苔案］
8
［解析］
由sinA＝sin（B＋C）＝2sinBsinC得sinBcosC＋coSBsinC＝2sinBsinC’两边同时｜涂以cosBcosC得
tanB＋tanC＝2tanBtanC,令tanB＋tanC＝2tanBtanC≡′n’因为△ABC是锐角三角形,所以2tanBtanC＞
″l
2√tanB. tanC,则tanBtanC＞1,m＞2.又存三角形中有tanAtanBtanC＝ˉtan（B＋C）tanBtanC＝ˉ
°
1
1ˉˉr″!
1
m2
4
√（腮ˉ2）而坐2＋4≡魁,当且仅当厕』ˉ2-六,即网二4时取等号,故
mˉ2＝m-2＋＿＋4≥2
丁m≡
m-2
tanAtanBtanC的最小值为8.
7徊~
3
178。［答案）
［解析］
设α＝3’6＝5,c≡7,则由余弦定理∏］得cosA＝62＋c2—α2＝52＋72—32
2bC
2×5×7
等因为α-2硒M,其中R为外接圆的半径则R≡谅≡孪
~~
∧
】
吕
·
●
］
√
~~
‖
仕
Ⅱ
●
■
Ⅲ
吕
‖
‖
｜
『
了
■
—
‖
~~
179· ［答案］
√6—√百
4
［解析］
由sinA＋√回binB＝2sinC’结合正弦定理得α＋√Z≡2c.
由余弦定理得cosC＝α2＋62ˉc2
α2＋b2ˉ（α＋√Z）2二α2＋上b2ˉ但gh
2
~产■
√（÷侧』）（＋』』）
4
4
2
2
2αb
2α6
≡
2αb
≥
2αb
吕≡
√6可徊’故√6丁徊≤cosC＜l ’故cosC的最小值为√6可但
√面h6
2
180. （l）［证明］
由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB,
故2sinAcosB＝sinB＋sin（A＋B）＝sinB＋sjnAcosB＋cosAsinB’
于是sinB≡sjn（A—B）。
又A’B巨（0,∏）,故0＜A-B＜∏,
所以,B＝∏-（AˉB）或B＝AˉB,
因此A＝∏（舍去）或A＝2B,所以A≡2B.
（2）［解｜由5-子得÷…c-子,故禄m…-÷瓤＂2′-蔚i＂…,
因为sinB≠0,所以sinC＝cosB,
58.
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又B’C巨（0,丽）,所以C＝子±B
乙
当B＋C＝芋时,A＝苦;
垄
当C＿B＝÷时’A＝矛
综上,A＝子或A二二
＝
4
181. ［解］
（l）由余弦定理及题设得cosB＝α2＋c2-b2
2αC
徊hc徊
吕＝
■＝
2αc
2
又0＜△B≤丽,所以△B＝矛
（2）由＂）知…△c＝￥’贝｛征。sA＋…二口!。…°s（宁＿d）
≡伍°.』—粤…带争m＂
≡粤…十祭m』
＝c°s（｜—于）
因为0…＜￥｀
所以当△A＝于时,√面b°SA＋αosC取得最大值l
182. （l）［证明］
由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB’
故2sinAcosB＝sinB＋sin（A＋B）＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB,
于是sinB＝sin（A—B）。
.又』’B巴（0,∏）’故0＜AˉB＜∏’
所以’B＝∏-（A-B）或B＝A—B.
因此A＝∏（舍去）或A≡2B’
所以,A＝2R
~～
（2）［解］
由c。爵B二÷得愚m‘＝迫
q
’
~
丁,sinA＝全巨
1
°。s2B＝2c°s2Bˉl＝÷.放…＝—
9
’
勺勺
。osC＝ˉcos（A＋B）＝—cosAcosB＋sinAsinB＝羔
叁~′
183。［解］
（l）由已知条件和正弦定理可得sinCcosB-2sinCcosA≡2sinAcosC—sinBcosC,
所以sjnCcosB＋sinBcosC＝2（sinCcosA＋sinAcosC）
’
所以sin（B＋C）＝2sin（A＋C）
,
因为A＋B＋C＝而,
所以siM＝2sinB,所以÷＝2
（2）由余弦定理’cosA＝b2赤9急α2＝b2＋9ˉ4b2
9ˉ3b2
ˉ＿6厂＜0,所以b＞厄o
6b
因为b＋c＞α’所以b＋3＞26’
。59。
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所以b＜a@
由o@得b的取值范围是（徊,3）·
［评析］
本题主要考查三角函数、正弦定理与余弦定理的应用.
（1）首先用正弦定理,将已知条件转化为三角函数的问题’接着移项整理,再根据三角形内角和的特殊性即可得出
答案
（2）根据已知条件使用余弦定理得出b的取值范围b＞扛再根据三角形两边之和大于第三边,得出6的取值范围
b＜3.所以b的取值范围是（√可’3）·
184. ［解］
（1）由已知’结合正弦定理可得:sinC≡√5bjnAsjnCˉsjnCcosA,
因为smC≠0,所以l＝压iM＿c…2sm（Aˉ÷）,即愚m（dˉ÷）二÷
又因为d匡（0,丽）’所以A＿÷匡（ˉ÷,粤）,
所以Aˉ÷＝÷,所以A＝÷
（2）由「s-÷…｀即卓-十6c粤.所以b＝』
又因为α2＝b2＋c2ˉ2bCcosA＝（b＋C）2ˉ2bcˉ2bccos子,即l＝（h＋c）2—3,且b｀c为正数』所以b＋c＝2
所以可解得b＝c≡l.
［评析］
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用
（!）根据止弦定理｀可将所给式子进行化简’求得sm（Aˉ÷）二＋.即叮求出角d的人小;
（2）利用S＝＋bcsjnA,将已知值代人｀可求得bc＝l然后利用余弦定理’可得α2＝b2＋c2ˉ2bccosA＝（b＋c）2ˉ
～
2bcˉ2b…÷,进而求得b＋c＝2,联立可求得b＝c＝｜
185. ［解］
（l）因为2αcosA＝ccosB＋bcosC’
由正弦定理得:2sinA· cosA＝sinCcosB＋sinBcosC,
可推得2sinA。cosA≡sin（B＋C）＝sjnA,
又因为0＜A＜∏’
所以sinA≠0’
所以cosA≡ˉL
2
·
（2）由窿…-÷叫得…-粤｀
由盂＝2R＝2（其中R为△ABC外接圆半径）可得侧＝2siM＝何
由余弦定理α2≡b2＋c2-26ccosA可得bc＝b2＋c2-α2＝4ˉ3＝l.
~一
~ˉ
所以s…＝＋bc愚iM＝÷×÷＝子
≈
［评析］
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用
（1）根据正弦定理:2αcosA≡ccosB＋6coSC≡2sinA.cosA≡sinCcosB＋sinBcosC,即可求出cos』的值
（2）根据余弦定理求出bc的值,再通过三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
.60.
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｀
■
』
／
∩
乙
℃
］
＋
】
α
（
】
~
∑
℃
∑
〗
″
＋
∑
α
186. ［解］
（1）因为b≡l ,所以α＋ˉL＝4cosC＝4×
α
所以2c2＝α2＋l·
又因为A＝90。’所以（Z2＝62＋c2＝C2＋1
可以解得c≡√Zα＝厄
所以s…＝＋‖csiM二＋‖‘＝罕
（2）因为△“c的面积为罕,
所以s≡÷…c-乎｀可得瓢〗!c≡亭
因为α＋ˉL＝4CosC’
α
2αb
α
所以｜士（叶÷）｜』十（粤）,≡｜｀化简得（α』ˉ7）』～（）,
解得α＝行,α＋ˉL＝4cosC＝4×α2＋b2ˉc2
α
2αb
,
所以行非上＝4×7牛c2’解得c＝2
√7
2√7
［评析］
（l）根据题中所给条件以及余弦定理即可求出c的值,进而可求出直角三角形的面积
（2）首先求出sinC＝互’根据题中所给条件可求得α＝行’再根据余弦定理即可求得c＝2.
α
］
＋
佰
β
∑
~~
』
吕
◎
℃
制
』
—
勺
～
＋
∧
’
乃
Ⅱ
’
则
八
。
引
Ⅱ
灯
—
旦
∏
。
副
·
■
■
Ⅲ
伍
ˉ
ˉ
吕
】
○
~~
Ⅱ
＝
＿
）
∧
行
—
β
Ⅶ
■
】
』
吕
Ⅲ
＋
α
吕
屁
叫
得
可
＿
＿
刨
’
日
‖
·
＿
＝
β
』
○
Ⅱ
“
贝
）
Ⅱ
·
■
几
吕
巴
徊
］
＋
β
~~
∏
勺
～
‘
八
八
口
·
引
／
＼
α
Ⅲ
α
＿
ˉ
°
Ⅲ
吕
＾
乙
△
仕
吕
□
】
』
由
得
∏
—
／
◎
。
皿
卜
’
『
尸
∧
ˉ
＿
）
得
β
［
℃
ˉ
皿
日
可
＋
β
得
’
∧
屁
］
—
］
（
∧
△
徊
丁
~~
在
Ⅱ
＝
—
＝
—
而
』
厂
〖
）
∑
‖
Ⅲ
］
问
皿
吕
。
Ⅲ
／
＼
°
∏
吕
○
吕
吕
◎
●
α
℃
＿
＿
由
℃
］
由
以
）
解
∑
~
Ⅲ
又
所
（
目
［
γ
β
】
l8a［解］
（l）′（鳃）＝sm（2…）＋伍°s（2鞭＋B）＝2sm（2露＋B＋÷）
由∧卿）为偶函数可知B＋于＝÷＋肺,k匡z,
所以B＝÷＋k而,k巨Z,
又0＜B＜丽,故B＝÷’
所以∧嚣）＝2愚in（2叶÷）＝2c°息2躯,b＝′（舌）＝厄
（2）因为E-÷,‘≡何｀由正弦定理得题M-竿粤,
吕二
所以儿＝于或A＝芋,
6l
.
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当A-÷时,△姻c的闽积s乎.
当』-芋时,△姐c的丽积s乎
［评析］
本题主要考查简单的三角恒等变换和正弦定理的应用
（l）对／（勿）的表达式进行整理化简’并利用∧加）是偶函数的性质得到B,进而求得6;
（2）根据（l）得到的结论』利用正弦定理求得A,对不同的A进行分类讨论』根据S＝＋αbsmC求得△ABC的面积
←
考点十正余弦定理的应用
l89｛解］
（l）因为pB≡÷,BC＝l ,△BPC二90°,
垄
所以△CBP≡60°,△PBA≡30。.
打ˉ
由余弦定理得pA＝√pB2＋BA2ˉ2PB×BA×cos▲PBA＝亏.
（2）设乙PBA≡α’由已知条件得PB＝sinα,
由正弦定理得詹m畏0.
.n（器.坐α）,化简微灭·……’
吕二
√丁
故tanα≡丁
（评析］
本题主要考查三角函数的正弦定理和余弦定理
（l）根据已知条件,在△川B中用余弦定理可求得PA;
（2）设乙pBA≡α’所以乙川B≡30°—α’又在△PBC中求得PB＝sjnα,故根据正弦定理可求得tanα
l9o［解］
（l）在△姻D中,由余弦定理得,BD2＝AB2十AD』＿2A厌AD…＝l』ˉ卜22—2×｜×2×十＝3,所以BD
＝√可,
在△BCD中,由余弦定理得cos乙BCD＝BC2＋CD2ˉBD2＝12＋12ˉ（何）2
十,因为乙BcD匡（0。
｀｜80。）,
＝＝
2BC.CD
2×1×l
所以乙BCD＝120°,
所以T＝÷‘OcD鲁…cD＝上×｜×l×五＝但
2
2
4
（2）s＝÷AD.ABsin△BAD＝sin0,
垄
BD2≡AB2＋AD2-2AB.ADcos0＝5-4cos0,
勺
勺
勺
cos△BCD＝BC≡＋CD垒＿BD气＝4cos0-3
2BC.CD
2
′≡÷BOCDs…cD＝十sm△BCD｀
因为s＝T’所以副n0＝÷雹in△BCD｀
所以4爵m20＝爵in2么BC″-｜ˉ∩。鼠2△BcD＝｜ˉ（4俩。乎—3）2,化简得…＝÷
［评析］
本题主要考查余弦定理
（l）利用三角形各边的关系和余弦定理’求出三角形面积
（2）利用三角函数的知识和余弦定理,求出cos0.
62.
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第四章数列＆不等式
考点-等差数列
191［答案］
B
［解析］
设等差数列｛°腮｜的公差为‘’因为3s乳＝s2十s缴｀所以3（3α｜＋竿d）二2α｜＋刷＋4α!＋竿d解得d＝
ˉ;α』,因为α｜＝2,所以‘＝ˉ3,断以α’＝α｜＋4‘二2带4×（ˉ3）＝ˉ10故选a
192［答案］
C
［解析］
因为｛α″｝为等差数列’所以S」＋S6＝4α｜＋6d＋6αl ＋15d＝l0α｜＋2M,2S5＝l0αl＋20d’S4＋S6-2S5≡
d,所以d＞（）●S4＋S6＞2S5 ,故选C.
193。［答案］
A
［解析］
如图’记h皿为△A″B″B″＋l的边B＂B″＋l上的高（″巨N＊）’设锐角的大小为0’根
据图象可知,h＂＋1 ＝h鹏＋｜AA
｜Sin0’又｜BnB′l＋l
｜
＝｜B＂＋lB则＋2
｜,所以S
-S＝
∏
几＋l
′l＋l
n
＋｜B特｜B腮捏｜仇恃｜—＋｜B腮B雁刊｜仇＂＝』｜B＾襟｜卜（咖州—h卿）＝＋｜B卿B畔｜
｜
。
｜A″A＂＋l ｜sin0。根据题意, ｜BB
｜
≡｜Bn＋lB＂＋2
｜
’ ｜A″A＂＋l
｜
≡
｜A＂＋lA＂＋2
｜,所以
H
凡＋l
÷｜B慰B砷!卜M∧辩｜｜息m0为常数｀所以｜s厕｜为等蓑数列｀放选A
B厕
B闸＋1
B侧＋2
194. ［答案］
B
［解析］
因为α3 ’α4
5‘2,即《』｜〃＝ˉ÷d2
7
勺
-÷d垒＜0。
j
α‘成等比数列’所以αi＝α3α8 ’所以（αl＋M）2＝（αl＋2d）（α!＋7d）,展开整理,得ˉ3α!d＝
因为d≠0’所以α］刨＜0因为S＂二nα］＋＂（＂丁l）d,所以S4＝4α｜＋6d’dS4＝4α｜d＋6d2＝
195. ［答案］
A
［解析］
因为α2 ’α4,α;成等比数列’所以α:＝α2α8 ,即（α‖＋6）2＝（α! ＋2）（α!＋l4）’解得α｜＝2’所以α＝2″,S
n
凡
＂（212厕）｀即S厂厕（＂＋l）故选A
吕＝
196. ［答案］
C
［解析］
设等差数列｛α厕｝的公差为〃,若αl＋α2＞0,α2＋α3＝αl＋Ⅲ＋α2＋α≡（αl＋α2）＋2‘’由于d正负不确定’
因而α2＋α3符号不确定,故选项A错;若αl＋α3＜0’αl＋o2≡α1＋α3ˉd＝（αl＋α3）—d’由于〃正负不确定’因而
α］＋α2符号不确定｀故选项B错;若0＜α｜＜α2’可知α｜＞0,刨＞0,α2＞0’α’＞0,所以αiˉα］α3＝（α｜＋‘）2ˉα｜（α｜
＋2d）＝d2＞0,所以α2＞｀／而丙,故选项C正确;若α］＜0’则（α2—α｜）（α2ˉα3）＝刨. （ˉd）＝ˉ‘2≤0’故选项
D错
197. ［答案］
C
［解析］
因为等差数列｛α邵｝的公差为α,所以可以设α厕＝αl＋（′!ˉl）〃。又因为数列｛2α｜α撼｝为递减数列’所以αlα″
随着″的增大而减小,即α｜α″为关于″的递减函数设／（则）＝α］α厕＝α｜［α! ＋（′』ˉl）d］＝α｜创′』＋α｝ˉα｜Ⅲ,可以看
63
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出／（′l）是关于′l的＿次函数,且＿次性系数为α1〃,因为／（几）为关于Ⅶ的递减函数’所以αld＜0。故本题正确答案
为C。
易错项分析:本题容易认为第1项与第n项的乘积是递减的,该数列也是递减的,数列递减等价于公差小于0,而第
l项与第″项的乘积是递减的还与首项的正负有关,考虑到首项的正负和公差的正负的综合性才能得出正确答案
198. ［答案］
20
［解析］
设等差数列｛α＂｝的公差为d’则αl＋α2＝αl＋（αl＋d）2＝ˉ3’S5＝5αl＋l0α≡］0,解得αl＝-4,〃＝3,则
2
α9＝αl ＋8d≡-4＋24＝20°
［解］
（l）由题意知当″≥2时,α″≡S″—S厕
l≡6′‖＋5,当n＝l时,αl＝S‖ ＝1l
,
所以α＝6几＋5.
n
设数列｛b厕｝的公差为d,
｛萝趾!鹤｛‖二;‖｜勤~
由
可解得bl ＝4’创＝3.
所以b
≡3n＋l.
n
（2）由（l）知c ＝（6则＋6）皿＋l
＂
（3n＋3）n
＝3（′!＋1）.2＂＋l .
又T≡C
＋C
＋…＋C
,
n
1
2
几
所以T″＝3×［2×22＋3×23＋…＋（″＋l）×2″＋l ］,2Tn＝3×［2×23＋3×24＋…＋（″＋l）×2″＋2］,
两式作差得—′雁＝］×［2×22＋2』十2』＋…＋2砷｜ˉ（″辨l）×2碾旬＝3×［4＋4（｜二;腿）ˉ（厕带l）×2…］＝
-3几.2n＋2,
所以T＝3″.2侧＋2.
199
200［解］
（l）因为2Sn＝α:＋入″’故当n≥2时’2S厕ˉ｜＝α:ˉl＋∧（″ˉl）’两式相减得’2〔』n＝α爵ˉα:ˉ｜＋∧’
即,α:
l＝α:ˉ2α＂＋入’
又因为｛α脑｝为等差数列,故设等差数列｛α＂｝的公差为〃,
则α舟—l＝（α鹏ˉd）2＝α:＿2dα厕＋d2’所以2〃＝2,α2＝∧,所以d＝1 ,∧二1.
（2）由2S侧＝α爵＋入″’∧＝l得2αl ＝α｛＋l,故α｜＝l ,
由（l）中可知〃＝l ’故α皿≡αl＋d（nˉl ）＝Ⅶ’
故
l
α』雁ˉ!…（2鹏ˉ］）（2〃＋l）二士（六六）,
吕二
故前″项和7厕＝＋（｜ˉ十十＋ˉ÷＋…＋i万＿『六）＝÷（｜ˉ六）＝I★
1
考点二等比数列
201. ［答案］
［解析］
αl （l-2
B
每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为｜α″｝,则前7项的和S7＝381 ,公比q＝2,依题意,得
—＝38l ’解得αl＝3,故选B.
l＿2
64
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202. ［答案］
C
［解析］
由题意得,α＂＝αlq＂ˉ1 （αl ＞0）’α2网ˉl＋α2见＝α］q2见ˉ2＋α1q2见ˉ｜≡α1q2厕ˉ2（l＋q）.若q＜0,因为］＋q的符
号不确定’所以无法判断α2″ˉl＋α2″的符号;反之’若α2＂ˉl ＋α2则＜0’即αlq2′』ˉ2（1＋q）＜0,可得q＜ˉl＜0.故‘‘q＜
0”是“对任意的正整数″,α2厕ˉl＋α2″＜0,’的必要而不充分条件,故选C.
203. ［解］
（1）因为2S见＝3″＋3’所以2α ＝3＋3,故αl ＝3.当′!≥2时,2S
≡3′』＿l ＋3,
′I＝l
此时2α＝2S—2S
＝3＂—3＂ˉl≡2×3″ˉl ,即α＝3′↓ˉl
,
见
厂‖
见
l
几
｛;＄ˉ｛′忌~
所以α＝
门
（2）因为叭』二l°g』α雁,所以0｜＝÷」比时?｜＝b｜＝＋;
当则≥2时’b″＝3（ˉ〃log33＂ˉl＝（n—l）。3lˉ″.
所以′附＝b｜＋b』带h』＋…＋q』二＋辨［］×3＿｜余2×3ˉ2＋…辨（腮ˉ｜）×3!ˉ卿］,
所以3T＝l＋［1×30＋2×3ˉl＋…＋（n—l）×32ˉn］,
带］恩—鹏）ˉ（＂＿｜）×3｜—″-÷＋｛己!｜Ⅲ′ˉ（′』—!）×3｛
两式相减,得2T＝÷＋（30＋3ˉ｜＋3 2＋
几
〕
6几＋3
2×3＂’
所以T厂器尝经憾验『』-｜时也遁合
综上可得T＝旦6n＋3
n
l2
4×3则
l3
日≡
6
n
204［解｜
（［）设｜α碾｝的公差为‘则由已厕条件得α｜带M＝2,3α｜＋半d＝÷,
化简得α｜＋2感＝2’α｜＋‘二÷’解得α｜＝M＝＋,
故｜α鹏｜的通项公式α硼＝l辨导,即α卿二宁
（2）由（!）得‖｜＝｜｀』剑＝α｜’＝罕＝a
谩叫的公比为叫』』÷:′瞬以,≡2
』｜（l—q腮）
」×｜与2＂）＝2愿—l
故｛b＂｝的前＂项和T＝
＝
＂
1＿q
205。（1）［解］
由已知,α＝α4＿α3＝2’αl ＋α2≡2αl＋Ⅲ＝l0,
所以αl＝4.故通项公式α＂＝4＋2（∏—l）＝2n＋2.
（2）［证明］
依题意,62＝blq＝α3≡2×3＋2＝8,63＝blq2＝α7＝2×7＋2≡l6,
解得q＝2,bl≡4’所以b侧＝4×2皿ˉl
。b6＝4×25＝l28,
令α＂＝］28,即2n＋2＝l28’解得″＝63。
所以b6与数列｛αn｝的第63项相等
［评析］
本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式.
（1）根据已知条件解出α‖和〃’即可求得｛α″ ｝的通项公式;
（2）先解出bl和q’再得出｛bn ｝的通项公式’之后算出b6的值,令α＂＝b而,解出
再得出｛b网｝的通项公式’之后算出b6的值,令α′』≡b6,解出′!,即为所求
65
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考点三数列的递推与通顶
［答案］
B
［解析］
由题意,α′p＋l—α〃＝′〗＋1 ,所以α″ˉα″ˉl ＝′l,α′!≡α′』＿αn—l ＋α′lˉlˉα′』ˉ2＋
′l（′l＋l）
l
2
1
2
,α·
＂（′叶｜）＝2（÷—击）所以上-…＋
＂（＂】l）,即α＂＝
＝
＋n≡
α1
（】2
争叶丽厉赤）＝2×糕ˉ器故选∏
l
′
206
＋α2-〔】l＋αl ＝l＋2＋
］
—
〕
］
—
’
＝
＋
］
—
）
≈
〗
Ⅲ
／
』
‖
‖
‖
＼
’
＝
~~
l
α2016
207. ［答案］
（n2—2n＋3）。2＂＋1—6或（n2＋l）2″＋l -（几ˉl ）2＂＋2ˉ6
［解析］
对于／（虹）有唯＿零点,即／（施）＝如4＋α厕＋lcos2卯—（2α″＋1）＝0只有唯＿＿个解因为∧-卯）＝（ˉx）4＋
α″＋lcos（ˉ2鳃）—（2α″＋］）＝勿4＋α见＋lcos2zˉ（2α″＋l）≡／（匆）,所以／（绷）为偶函数’则当且仅当卯＝0时’／（0）＝
0,所以α″＋｜≡2α″＋1所以α厕十l＋1＝2（α厕＋1）’且αl＋1≡2≠0,所以α″＋l是首项为2,公比为2的等比数列,所
以α见＋l≡2n,数列｛α＂｝的通项为α皿≡2＂—l.令数列｛n2（α鹏＋l）｝的通项为b＂＝＂2 .2″,因为b＂≡几2 .2″’所以b″
≡几（则＋l）.2＂—＂.2n,令c″≡″（Ⅶ＋1〉
.2′』,t＂≡几。2n’则b见≡c见—′＂。令｛t厕｝的前′〗项和为T″,则T″≡tl＋t2＋t3
＋′4＋′5＋…＋lnˉl ＋t＂＝l ·2l＋2 。22＋3 ·23＋4.24＋5 .25＋…＋（几—1）·2″ˉl＋n.2＂’2T＂＝1 .22＋2.23
＋3 .24＋4.25＋5 .26＋…＋（n≡l）.2″＋″.2侧＋l ,所以T哪≡2T″-Tn≡-2-22-23-24-25＿…ˉ2见＋Ⅶ·
2见十l ’化简得:Tn≡则。2＂＋l—2″＋l＋2＝（n-l）.2″＋l＋2’令｛cn｝的前″项和为C厕’则C″＝cl ＋c2＋c3＋c4＋c5＋
…＋c贝ˉl＋c＂≡1 ·2.2l＋2 ·3 ·22＋3 .4.23＋…＋（n-1）.n。2＂ˉl＋n. （几＋l）。2″,2C几≡1 ·2.22＋2。3
.23＋3 ·4.24＋…＋（＂—l）.n。2孤＋则· （″＋l ）.2网＋l ,C＂＝2C＂ˉC＂≡-2.
l .2l-2 。2 ,22—2·3 .23—
…ˉ2.厕.2＂＋n. （n＋1）
·2网＋l ,化简得:C″＝n（则＋l）2n＋l —2（l .2l＋2·22＋3 .23＋…＋n.2＂）＝见（n＋1〉
.2n＋l-2T″,所以数列｛″2（αn＋l）｝的和S＂＝（c｜—‖l ）＋（c2—t2）＋…＋（c厕—『见）≡C＂ˉT″＝n（″＋l）.2n＋l
—
3T〃＝n（＂＋1）.2厕十lˉ3［（″—l）2″＋l ＋2］≡n（＂＋1）2＂十l —6—3（″—l）2″＋l＝″2 .2＂＋l＋n.2n＋l -3″.2″＋l 十
3 °2厕＋l—6＝（n2ˉ2几＋3）.2厕＋l-6;或S厕＝肌（n＋1）.2″＋l —3［（″—1）2n＋l＋2］＝″2 。2n＋l ＋川。2厕＋l—3＂.
2＂＋l ＋3 .2n＋l—6＝n2 .2＂＋l —2″·2网＋l ＋3 。2侧＋l —6＝n2
.2侧＋｜＋2n＋l —2n.2n＋l ＋2 .2n＋l -6＝（Ⅶ2＋l）
2″＋l-（n-l）2″＋2-6.
1
1
208. ［解］
（1）由题意可得α2＝丁,α3≡丁.
（2）由α:ˉ（2α鹏韦｜ˉl）α厕ˉ2α叶!＝0得2α厕带｜（α″＋l）＝α厕（α厕＋l）~
因为｛°撼｜的各项都为正数,所以芋＝十故｜侧慰｜是曹项为! ,公比为÷的霉比数列｀固此侧厕＝盂
l
几
（解］
（｜）｜0腮｜与｛α雁｜接近理由如下;由题叫知α厂｜×（＋『ˉ｜-六,鹏霍N＾则b慰＝α州＋｜≡士＋」.＂＝
N·故』厂侧厂去＋］—六＿!ˉ六,雕匡N.因为腮筐N.则…』故寸匡（0,÷｜所以｜!＿士≡］即
｜6厕-α则｜≤1 ,″巨N＊.故｛6n｝与｛α＂｜接近
（2）因为αl≡1 ’α2≡2,α3≡4’α4≡8,又｛b见｝与｛α″｝接近’所以｜6见—α＂｜≤1 ’n巨N＊.所以b则巨［α＂-1 ,α″＋l］则
6l 匡［0’2］,b2巨［l ,3］,b3巨［3,5］,b4巨［7,9］则当bl ≡b2巨［l ’2］时,M中只有bl （b2）’b3 ,b4三个元素,m＝3;
当bl≠b2时,″中有b｜,b2,63,64四个元素’m＝4.故M中元素的个数m为:m＝3或m≡4
（3）因为｜bn＿αn ｜≤l ,所以b〃巨［α厕-l ,α厕＋l］,6n＋l匡［α厕＋l—l ,α″＋l＋l］,所以6＂＋l ˉb网巨［α″＋l —α″—2,α厕＋l
—α″＋2］,即6见＋l—6腮匡［d—2,α＋2］,n巨N＊O若α≤-2’则6〃＋l ˉ6厕≤0恒成立’不符合条件;@若刨＞—2,令
b″≡α″＋（—l）″’′leN＊.则｜b＂—α见｜＝｜（—l）＂｜≤1 , ｛6″｝与｛α厕｝接近此时b″＋l-bn≡d—2（-1）″,当″为偶数
时,b″＋l＿6″≡d—2＜0,当n为奇数时’b″＋｜—b则≡〃＋2＞0,当″从l取到200时’恰可以取到］00个奇数’］00个
’
‖
’
□
·66·
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偶数,即在b2ˉ61 ,b3—b2’…,b20l ˉb20o中,存在100个正数与100个负数故〃＞—2时,存在数列｛b厕｝’其通项公
式为6″≡α″＋（ˉ1）″’″匡N＊’在b2ˉ6l ,b3＝b2,…’6201ˉb200中有100个为正数,此数列｛b厕｝是满足题意的.综上
所述,若存在数列｛bn｝满足: ｛b厕｝与｛α″｝接近,且在62-6l ’b3ˉ62’…,b20lˉ6200中至少有100个为正数’则d的取
值范围为d＞—2
考点四数列的求利
210. ［解］
（］）设等差数列｛αⅦ｝的公差为d,等比数列｛bn ｝的公比为q.
由已知b2＋b3＝12’得bl （q＋q2）＝l2’而bl ＝2,所以q2＋q—6＝0.
又因为q＞0,解得q＝2.所以,b″＝2＂.
由b3＝α4—2αl ,可得3d—αl≡8o
由Sll≡1lb4,可得αl＋5d≡l6@’
联立@@’解得α］＝l ’α＝3’由此可得α厕＝3″＿2.
所以数列｛α″｝的通项公式为α厕≡3″-2,数列｛b″｝的通项公式为b厕＝2则.
（2）设数列｛α2测b2＂ˉ］｝的前′!项和为Th’由α2＂＝6″ˉ2,62nˉ｜≡2×4＂ˉl ’有α2＂b2＂ˉl＝（3′lˉ1）×4＂’
故T″＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋（3″—l）×4厕,
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋（3′』-4）×4则＋（3n-1）×4＂＋1 ,
上述两式相减’得
＿3吗＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4＂ˉ（3nˉl）×4＂带l
l2×（l—4＂）ˉ4ˉ（3n-］）×4n＋l
三≡
1-4
＝—（3n—2）×4几＋l-8。
得T≡1Ⅱˉ二旦×4＂＋l＋丛
n
3
3
.
所以数列｜α鳃』2硼ˉ｜｝的前″项和为罕×4州＋兰
3
［解］
（l）由已知,α｜b』也＝h｜,b｜＝l ’h2＝＋得“｜＝2
数列｛α＂｝是首项为2,公差为3的等差数列,所以通项公式为α厕＝3″—l.
b
（2）由（｜）和“∧剁＋b厕厂＂b厕』得6畔］＝十,圃此数列｛b＂｜是首项为l ,公比为＋的等比数列
lˉ（÷）,
3
｜
记｛b厕｝的前Ⅶ项和为S″,则S厕＝
≡
1—ˉL
2
2×3厕＿l .
3
211
［鹏］（!）…｛h‖n（…）≡晦臃｛》霉丁↑….｛.№—M干』
（2）由（l）可得b′!＝2网＋′!。
所以6l＋b2＋b3＋…＋bl0＝（2＋1）＋（22＋2）＋（23＋3）＋…＋（2lo＋10）
＝（2ˉ卜22＋2］＋…＋2l0）＋（l…十…＋l0）＝2（｛二;＂）＋（｜＋］0）×｜0＝（2＂ˉ2）＋55;
2
［评析］
本题主要考查等差数列的通项公式与数列的求和
（1）根据已知条件列出方程组,解出｛α厕｝的首项和公差的值;
（2）根据（1）求得数列｛b＂｝的通项公式,再求和.
≡（2l1-2）＋55≡
212
2ll＋53≡210l
67
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213. ［解］
（l）设数列｛α″｝的公差为α,由题意有2αl＋5d≡4,αl＋5Ⅲ≡3
7
解得αl ＝］,〃＝二
5
2n＋3
所以｛α″｝的通项公式为α＝
见
5
（2）由（l）知,b鹏＝［2测÷3］
当＂二‖ ’2’3时｀l≤2罕＜2’6 ＝l ;
门
当厕＝4,5时,2＜2竿＜3.b ＝2;
n
当＂＝6,7’8时,3≤2宁＜4’b ＝3;
n
当＂＝9.l0时,4＜2厕÷3＜5’b＝4
∏
所以数列｛b
｝的前l0项和为l×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24
几
｛;!工;;厂:｜~则｛;!二‖~
［解］
（l）由题意得
又当″≥2时,由α＂＋l ＿α＂＝（2S网＋l）-（2Snˉl＋l）＝2α厕,得αn＋l
所以,数列｛α″｝的通项公式为α″＝3＂ˉl ,neN＊
。
（2）设6＂＝｜3nˉl-n-2｜,则巨N＊,6‖ ＝2’b,＝l.
当″≥3时’由于3nˉl＞″＋2,故6＂≡3＂ˉl—nˉ2,′!≥3.
设数列｛b厕｝的前则项和为T＂’则Tl ＝2,见＝3.
当″≥3时,T＂＝3＋9（l-3＂ˉ2）
（则＋7）（见ˉ2）＝3″—″2—5n＋ll
lˉ3
2
2
｛;泻」了加!」…＼
所以T＝
n
214
α
句
〕~~
215. ［解］
（l）设数列｛α″｝的公比为q.
由已知,有上ˉ上ˉ÷,解得9＝2,或q＝—l
αl
αlq
α‖q△
2陶s.二碰片→-‘］知q←｜,
所以叶苦-6］得感｜-1
所以α＝2〃ˉl .
∏
（2）由题意｀得0腮＝＋（lo陶α厕＋log2α赋刊）＝＋（｜og:2腮ˉ｜＋｜og22厕）＝′』ˉ亏｀
即｜6耐｜是营项为十｀公差为l的悸差数列
设数列｛（ˉ｜）厕b:｝的前″项和为′h,则
′i＂＝（ˉb｝＋b;）＋（ˉb;＋bi）＋…＋（—6;厕＿｜＋bi赋）
≡bl ＋62＋b3＋bq＋…＋O2nˉ］＋62＂
2Ⅶ（bl ＋b2″）
2
＝＝
≡2Ⅶ
。
2
68·
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216. ［解］
（l）由α4＋2是α3’α5的等差中项得α3＋α5＝2α4＋4,
所以α3＋α4＋α5≡3α4＋4≡28’解得α4＝8.
由°』扭’～20得s（叶＋）≡20,
解得q＝2或,＝十’因为q＞｜.所以q＝2
（2）设c″＝（b＂＋l—b测）α″,数列｜c厕｝前n项和为S″.
｛蕊l…蹦得..…ˉ1
由cn＝
由（l〉可知αn＝2″ˉl
,
所以b畔｜ˉb鹏≡（4″ˉl）（＋）″ˉ｜
』
′
］
｀′lˉ2
故b.-b卿ˉ｜＝（4nˉ5）（丁）
,厕≥2’
b＂-bl＝（6测-6n—｜）＋（b″ˉ1—b＂ˉ2）＋…＋（63—62）＋（62-bl
）
＝（4〃ˉ5）（＋）卿ˉ2＋（4＂—9）（＋）厕ˉ』铝…卜7＋虱
设′厕二3＋7÷＋川（＋）』＋…伞（4＂＿5）（十）硼ˉ2Ⅱ″≥2,
＋T鹏＝3÷辨7（＋）2带…啡（4″—9）（＋）腮2＋（4″ˉ5）（÷）愿ˉ｜,
所以十『鹏＝3＋4÷＋4（十）』＋…＋4（＋）厕ˉ2ˉ（4厕—5）（÷厂’
因此吗＝｜4ˉ（4＂带］）（十厂,＂≥2.
又b｜＝l.所以…ˉ（4叶3）（＋广
217. ［解］
（l）因为4Sl ,3S2,2S3成等差数列’所以6S,≡4Sl＋2Sq
’
即6（αl＋α2）＝4αl＋2（αl＋α2＋α3）
,
则o3＝2α2,所以q＝2’所以α＂≡2＂.
（2）当′!＝l ,2时’2几ˉ5＜0’当几≥3时’2′l＿5＞0;
所以Tl ＝6Jb＝10;
当″≥3时,T″＝l0＋l×23＋3×24＋…＋（2′!ˉ5）。2＂,
2Tn≡2（）＋1×24＋3×25＋…＋（2n-7）。2″＋（2几ˉ5）.2n＋1 ;
两式相减得,-T＂＝-l0＋8＋2（24＋25＋…＋2＂）＿（2n—5）.2″＋｜＝—2＋2×24（l-2网3）
l-2
-34＋（7-2几）
.2见＋l
’
所以T≡34＋（2Ⅶ—7）
·2＂＋l
;
门
6,
几≡l
,
｛｛!＼!!『1;』…』
综上,T″＝
［评析］
（l）根据已知条件4Sl ’3S2,2S3成等差数列,求出q≡2’从而得出数列的通项公式;
（2）当几≥3时,运用错位相减法求得T.
n
~~
＋
′
〗
’
＝
●
）
气
√
〗
′
●
～
（
·69·
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［解］
（l）设数列｛α＂｝的公比为q,因为α2＝4,
所以α3≡4q,α4≡4q2。
因为α3＋2是α2和α4的等差中项,
所以2（α3＋2）≡α2＋α4.
即2（4q＋2）＝4＋4q2,化简得q2—2q≡0』
因为公比q≠（）,所以q＝2.
所以αⅦ＝α2q侧ˉ2＝4×2＂ˉ2＝2″（n巨N＊）.
（2）因为α网＝2n,所以6＂＝2log2α皿-1＝2n-1 ,α＂b″＝（2n-l）2n~
则T侧＝l×2＋3×22＋5×23＋…＋（2＂ˉ3）2雁ˉl＋（2＂-l〉2厕,o
2T＂≡l×22＋3×23＋5×24＋…＋（2′!—3）2″＋（2n-l）2厕十l ’@
oˉ@得,
ˉr腮二…2』十2×2』带…带2×2.ˉ（2厕＿!）2叫二…×4（｜「3iˉ』）ˉ（2＂ˉ‖）2州＝ˉ6ˉ（2＂—3）2州,
所以吼＝6＋（2Ⅶˉ3）2厕＋l .
［评析］
（l）因为α3＋2是α2和α4的等差中项’且α,≡4’即可解出公比和首项’从而求出数列｜α＂｝的通项公式;
（2）因为α″6腮＝（2n-l）2″’利用错位相减法’通过T＂-2T几得到Tn＝6＋（2〃—3）2厄＋l .
218
…］｛川…膘［｝剿些袁』″
α3
→廖』-:;代人°2耙｀扭厂鳃叮得丁扭』…÷…q≡鳃｀
解碍,』～÷｀陶～』;由｜.撼伪…增的霉比数列故,～:所以鹏!÷～÷2,
则数列｛α″｝的通项公式为α厕＝αlq″ˉ1＝2×2＂ˉ1＝2n。
（2）将｛α腿｝的通项公式代人b″的表达式可得6″≡αnlog十α＂＝2几log＋2″＝—n.2n,
则S网＝bl＋b2＋…＋b″≡—（2＋2×22＋3×23＋…＋n.2＂）,则2S＂≡—（22＋2×23＋3×24＋…＋″.2厕＋l ）＝
S≡2S—S≡2＋22＋…＋2〃—Ⅶ·2″＋l＝2（l—2厕）-n·2＂＋l ＝2n＋l—2-n.2孤＋l .则S＋′l .2n十l＝2n＋l-2,
n
n
门
l-2
n
令2见＋lˉ2＞50,由25≡32,26≡64可得正整数n的最小值为6—l＝5.
［评析］
（1）由等比数列的通项公式α″≡αlqn
l ’联立2（α3＋2）＝α2＋α4即可求得αl和q.
（2）将｛α″｝的通项公式代人’得到b＂的表达式;利用错位相减法得到数列｛b″ ｝的前网项和S网,然后代人S″＋″.
2″＋1＞50即可求解
［解］
（l）设正项等差数列｛α＂｝的首项为αl ,公差为d’α″＞0.
O
气
因为α｜＋α3＝2α3＝亏α;,解得α3＝7或α］＝0（舍）
所以αl＋2d＝7,又S7＝7αl＋21〃＝63,解得αl＝3,〃≡2.
故α′!＝3＋2（′!—1）≡2几＋1。
（2）因为6n＋1—6″＝αn＋l ,α＂＝2′l＋l ,
所以6网＋1-6″≡2几＋3.
当＂≥2时,b′↓＝（b″—6″—｜）＋（b＂ˉl—bnˉ2）＋…＋（b3ˉb2）＋bl≡（2′l＋1）＋（2川—1）＋
当n＝l时’bl＝3满足上式,所以b侧＝n（n＋2）。
所以＋-腿（鹏!翘）二十（÷—志）
‖
∑
’
≈
＋5＋3＝′‖（′Ⅱ＋2）
.70
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所以T≡ˉ上＋ˉL＋…＋『—丁＋了
1
1
n
6‖
b2
″＿1
n
～＋｜（｜ˉ÷）十（』＿』）带（＋ˉ÷）带…带（古ˉ击）十（÷＿志）｜
＝＋（l带÷ˉ六—志）
≡÷—÷（六＋击）
［评析］
本题主要考查等差数列和数列求和
（1）根据等差数列的性质和等差数列的求和公式’得到等差数列的首项和公差’从而求得通项公式
（2）根据（1）中的通项公式,求出｛b几｝的通项公式’再根据裂项相消法求得T″.
考点五数列综台
221. ［答案］
A
［解析］
设第＿项为第l组’接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组’依此类推,则第n组的项数为n,
前＂组的项数和为n（n÷l）由题意可知’l｀′＞l00’令″（厕jl）＞l00’所以n≥l4』厕筐N＊’即l｀′出现在第l3组之后
易得第＂组的所有项的利为苦＝2腮＿［,前＂组的所有项的和为2（｛≡;鹏）ˉ″＝2州ˉ＂—2设满足条件的″在
第k＋l（k巨N＊,k≥13）组’且第Ⅳ项为第k＋1组的第〗（t巨N＊）个数’第k＋l组的前t项的和2′ˉl应与ˉ2ˉ片
互为相反数’即2!ˉ］＝k＋2,所以2!＝片＋3,所以′＝log2（∧＋3）’所以当t＝4,k＝13时,／V＝l3×（l3＋l）＋4＝95＜
2
l00,不满足题意’当′＝5’∧＝29时’Ⅳ≡29×（29＋1）
2
＋5≡“0’当t＞5时’Ⅳ＞440’故选A
222. （1）［解］
cl ≡bl-α｜＝l—1＝0,
c2≡max｛6｛ˉ2αl ,b2—2α2｝≡max｛1—2×1’3—2×2｝＝—l ,
c3＝max｛6l-3αl ,b2-3α2’63—3α3
｝＝max｛1ˉ3×1 ’3—3×2’5ˉ3×3｝≡ˉ2.
当n≥3时,（6k＋lˉ″α片＋l ）-（b儿—几α∧）≡（bk＋l ˉbk）—′l（α∧＋l-αk）≡2-″＜0,
所以6k-″αk关于k巨N＊单调递减.
所以c网＝max｜bl＝α｜′l’b2—α2＂,…,6″-α＂n｝＝bl-αln＝1＝n.
所以对任意n≥1,c腮＝lˉn,于是c厕＋l—C见≡—1 ,所以｛c″｝是等差数列
（2）［证明］
设数列｛αn｝和｛6″｝的公差分别为〃l ’d2,则
b∧—′m‖＝6l＋（附-l）α2＿［αl＋（片ˉl）dl］′l＝bl-αln＋（d2-ndl ）（k-l）。
＂以乍｛!｜Ⅲ:｜‖』叫狱｀叭…』＂』
o邹｛≥0蹦…数卿÷.则当侧＝…侧‘｜≥呜′陶雌｀ˉ‘｛ˉ徽｛№
此时,C咖’C厕＋l ’CⅧ＋2’…是等差数列
@当dl＝0时’对任意n≥1 ’C″＝b］-αln＋（″ˉ1）max｛〃,,0｝＝6l—αl＋（′l～1）（max｛Ⅲ,,0｝ˉαl）
此时,C1 ,C2,C3’…’c＂’…是等差数列.
锄当刷｛≤0时′封÷＂…｀≤＂Ⅱ
所以三≡blˉα｜n＋（″ˉl）（d2ˉnd｜）
n
∏
71
·
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bl ˉd2
＝∏（ˉdl ）＋dl＿αl ＋d2＋—
几
≥′l（—〃1）＋d｜—α｜＋d2-｜b‖ -d2
｜.
｛沁Ⅷ｜ˉ4」》艘｛—硼｛—吟÷｝
对任意正数M,取正整数″!＞max
C
故当′l≥′7!时,—△＞M
『l
（l）［解］
由已知’S侧＋｜＝qS见＋l ,S″＋2＝qS″＋l＋1 ,两式相减得到α″＋2＝qα厕＋l ,厕≥l.
又由S2≡qSl＋l得到α2＝qαl
,
故α″＋｜＝qα′』对所有″≥l都成立.
所以’数列｛α″ ｝是首项为l ,公比为q的等比数列.
门-l
从而α′』≡q
.
由2α2’α3,α2＋2成等差数列’可得2α3＝3o2＋2,得2q2＝3q＋2,则（2q＋l）（9—2）＝0’
由已知,q＞0,故q＝2.
所以α厕＝2＂ˉl （′I巨N＊）。
∏＝l
（2）［证明］
由（l）可知’α″≡q
.
2
′
T
′
2（nˉ1）
所以双曲线蹦』—÷＝｜的离心率.,二√l＋α员＝√｜＋′
几
〕
’
≈
∑
√I了＝÷得q＝丁
4
√
由e,＝
√1＋q2（∧＝l）＞q kˉl （片巨N＊
）
因为l＋q2（片ˉl）＞q2（kˉl）,所以
’
」
』
＿
」
′
坠
『
~~
』
∏
『
＋
＋
〃
】
Ⅶ
＋
气
」
】~
~
］
∏
＞
∏
勺
〕
斗
∏
＞
巴
＋
′
巴
＋
＋
∑
＋
巴
＋
佬
叁
尸
Ⅵ
＋
是
巴
于
故
224ˉ ［解］
（l）设等比数列｛α″ ｝的公比为q,由α‖ ＝1 ’α3≡α2＋2,可得q2-q—2＝0.因为9＞0,可得q＝2’故α″
＝2nˉl .
设等差数列｛b厕｝的公差为d.由α4＝b］＋b5 ,可得bl＋M＝4由α5＝b4＋2b6,可得36｜＋l3d＝16’从而bl≡1,‘＝
l ’故b″＝″.
所以,数列｛αn｝的通项公式为α″＝2厕ˉl数列｛6″ ｝的通项公式为b″≡″。
（2）（!）由（｜）’有s＂二臀＝2厕＿! .
2×（1-2″）-″＝2′!＋l-n-2.
故T鹏＝g｜（2』ˉl）＝自2』ˉ′』＝
1-2
（｛咽为｛删淌～（2牌｜—滁＿2辩…-
』也腮Ⅶ
2片＋2
2几＋l
二二
（k＋l）（片＋2）
（片＋1）（k＋2）
A＋2
片＋l ,
所以自（删汹-（等—÷）带（子—等）卜…带（瓷ˉ碧）-瓷—2
J~
22鼠（」）［证阴］
因为侧州ˉ十＝3吗』ˉ｜ˉ十≡3（‘厂＋）,0』二α｜＋｜,芋＝3,
几
门
所以数列6是以l为首项,以3为公比的等比数列.
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（2）［解］
由（l）知’6＂＝3″ˉl ,
陶＂芳」｜霉卿得舶］…哈与（虱‖—｜）
≤∏l,
设c＝—L＋
4
n
3
3（3″—1）
’
所以数列｛c′』｝为减函数’
所以当则≡1时’c″取最大值1
’
所以肌≥1.
［评析］
本题主要考查数列综合问题,
（］）欲证铡｜b鹏｜为等比数,‖测需…等比数,‖胸性臆求出午-卿可
R
b
＋l
（2）因为不等式0厕;｜＿l≤腮对γ″巨N.恒成立,求实数咖的取臆范围
226‖解］
（l）设等差数列｛α卿｝的公差为‘,由α｜＝｜』s』二3α｜＋半砌＝6’
所以d＝1,故αn≡″;
由已知bl .b2 °b3 .….b腮＝2S＂
O,bl .b2
。b3…. b厕＋l ＝2s叶」
@,
@÷o得6鹏＋l＝2s叶｜＿s.≡2α叶!≡2厕＋l（″≥2）’所以b＂＝2厕.
因为bl＝2S｜≡2l≡2｀满足通项公式’
所以b皿＝2厕（n巳N＊）.
（2）由儿b删＞α阀恒成立可得A＞÷恒成立｀
设‘·寸测导等当＂≡2毗苦＜叫‘」单…,
所以（c腿）…＝c｜＝＋,故∧≥÷
［评析］
本题主要考查数列的递推.
（1）等差数列通项公式为α肌≡α1＋（″-1）d,根据已知的αl和S3可求得公差‘’即可得｛α厕｝的通项公式;前″＋1
项乘积为6l 。b2 .b3…6″＋l＝2S厕令］,则联立两方程即可得数列｜bn｝的通项公式’并验证当′l≡l时公式也成立;
（2）川（!）知鹏厂＂,＂腮-2憾,代入不等式中》将实蜘穗割堡边转化为不等式恒成立问题‖‖∧＞｛刽哪,山数列
单调性,得到数列｛÷枷最大值:阿求得实数入的顺值范腻
227. ［解］
（1）因为数列｛α＂｝是首项与公比均为α的等比数列,
所以αn＝α·αnˉl＝α＂’从而6＂≡α＂
· lgα＂＝″α＂lgα’
所以T网＝6l＋b2＋…＋b＂≡（α＋2α2＋3α3＋…＋′lα″）lgα,
设u＂＝α＋2α2＋3α3＋…＋′lα＂’
则α〖』n＝α2＋2α3＋3α4＋…＋mn＋l
p
所以（l—α〉u则＝α＋α2＋α3＋…＋α＂-″α网＋l＝α（α＂ˉl）-＂α＂十1
’
α-］
票十
‘怕｛／』所以瓜-
＂″Ⅶ
·（“.＿』川｜篇α
［αˉl
（αˉl）』｜
所以u″＝＿
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（2）由b＂＜b″＋1得nα″lgα＜（则＋l）α则＋l lgα。
O当α＞｜时,｜g侧＞0,可得o＞击’所以击＜l（＂匡N＝
）’α＞l ,
所以α＞击对＿切厕巨N＊都成立,此时的解为α＞｜;
@当0＜α＜1时’lgα＜0,可得α＜-Ⅱ-
Jl＋1
’
囚为击≥＋（″匡N＊）,0…l
｀
所以0＜侧＜击对＿切n匡N·都成立时0…丁
由O,@可知,对＿切〃匡N,都有b厕＜b鹏刊的α的取值范围是0＜α≤÷或α＞｜
228· ［证明］
（l）S″≡″么α″-n（网＿l）
’
当n≥2时’S″＝″2（S皿—Snˉl）-几（＂-1）,
即″≥2时,（腿2ˉ｜）s碾ˉ″2S佩ˉ｜＝厕（″—」）,宁s测ˉ★s卿ˉ｜二］,
而毕s｜≡!所以数列｛宁s椎…! 』公霍为｜的筹差数列,宁s.-＂,3广羔
S
（2）b雁＝＂3＋;阀2≡（n令l）（…）＝』（六ˉ志）’
l
』｜也带…＋』.-÷（十＿士＋÷带…＋丙ˉ志）-＋（＋＋☆—志）≤＋÷告
1
［评析］
（l）根据α腮＝s腮ˉs删ˉ｜,整埋原等式,得宁s卿—古S蹦ˉ｜＝!,从们证明｛宁s腮提等差数列,并通过
首项和公差求得S的通项公式.
见
（2）由（l）可得｛6″｝的通项公式,利用裂项相消法即可证明不等式
229。（1）［解］
y′≡（x2网＋2＋1）′＝（2n＋2）卯2＂＋‖ ,曲线y＝x2则十2＋1在点（l ,2）处的切线斜率为2′!＋2’
从而切线方程为γ-2≡（2″＋2）（厕-l）。
令y≡0解得切线与z轴交点的横坐标虹＝1——二--尘
n
几＋l
见＋l
,
所以数列｛撼腿｝的通项公式躯凰＝击
（2）（证阴｜
由题设和（l）中的计算结果知.Ⅸ二缠｝题;≡绷;腮ˉ｜＝（＋）2（÷）2…（等）』
当＂≡｜时’T!＝＋
当…』因为露i间-（罢）』-（｝!∏｜｝』≥（2″ˉ｜）』＿｜
2″—2
′!＿』
（2几）2
＝
＝
2n
Ⅶ
所以Z＞（十）2×＋×÷…宁二六综上可得对仟意的″匡N. ,均有r≥上
″
4∏°
α
23o（l）［证明］
由α｜＝l ,α厕＋｜＝厂÷了（″巨N＊）可得
几
—L-3÷带｜,从而得到六＋3（＋辩十）
α几＋1
见
∏
74。
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’
］
—
’
≈
~~｜
—
’
～
＋
】
—
约
又
所以数列｛士÷挨以÷为曹项3为公比胸等比徽列
所以ˉ上＋ˉL＝二×3＂ˉl＝工
α
2
2
2
,
n
2
所以α＝—
n
3网-1
（2）［解］
由（」）知』鹏≠｀r厂」×士带2×士＋3×士铝啡（厕ˉ｜）×六韧×丙｀
1
T
二-M＋带2×士带…十（＂—」）×六韧←
1
2
7″
,
两式相减得÷二六÷寸非…带六—′‘×上-2＿丝
2n
2见
,
所以＂＝4ˉ转′所以（—l）＂人≤4一坠
7∏＝l
0
勺
若厕为偶数.则入≤4＿户,因为＂≥2、所以入＜3;
若厕为奇数则—入≤4ˉ六.因为＂≡1｀所以—入＜2.所以入＞—2;
所以入的取值范围为-2＜∧＜3.
!评析｜
（!）逾过…化可以↑割数列｛÷＋提等比数列,然后根掘定义可以求出｛÷＋柳遮项公式,
即可得到｛α″｝的通项公式;
（2）根据｛αn｝的通项公式得到｛6″｝的表达式’利用错位相减法化简T″,然后根据″的不同取值得到关于人的不等
式,即可得到入的取值范围
［证明］
（l）用数学归纳法证明:如肥＞0.当n＝l时’如l＝1＞0.
假设则＝片时’豹内＞0’那么n≡k＋1时,若匆k＋1≤0时’则0＜xk≡zk＋l＋ln（l＋匆‖＋1 ）≤（）’矛盾’故冗片十l＞0.
因此如见＞0（Ⅶ匡N＊）.所以x＂＝熊＂十l＋ln（1＋匆几＋1）＞zn＋l
。
因此0＜z网＋l＜勿＂（＂巨N＊）.
（2）由”＂＝“…＋ln（l＋绷＂＋l ）得’腮＂厕叶lˉ4则＂＋l＋2孤鹏＝腮点｜ˉ2腮鹏辈］＋（“＂带l＋2）ln（l＋“厕带1）
记函数∧瓢）-瓢』—2叶（露带2）!n（］牺）（瓢≡0）√（蕴）-2急鹏十｜n（］十蕊）＞0（蜒＞0）』酮数′（惑）在［0,…）上单
231
调递增,所以／（虹）≥／（0）＝0
Ⅺ『L如『L＋l
因此财:带｜ˉ2卯鹏十!＋（虹叶｜＋2）ln（l＋“′』带］）＝／（“′叶］）≥0’故2＂
—＂≤
「l＋l
∏
l
（3）因为z″＝鳃＂＋l＋ln（］＋如′』＋l ）≤z′‘＋l＋缅′l＋1＝2xn＋l ,所以z≥＿
见
勺∏-l
·
乙
由敷午＝2露州—戮·得六—÷≥2（÷ˉ吉）＞0,
所以÷ˉ÷＝2（古—÷）≡…＝妒—｜（片＿÷）-2鹏ˉ』,敬露产六
综上,六≤狮愿≤六（＂匡N.）
叁
←
（『】巴N＊
）
2
75
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［解］
（l）｛b″ ｝与｜αn ｝接近理由如下:
由题叮知α厂!×（＋厂-六,＂霍邮
则6腻＝α砷｜＋l＝去＋l 』＂匡№
＝
故』—α -上十｜ˉ六≡｜ˉ寸｀″詹№
测
＂
2Ⅶ
闺为撼屋N. ,则…故去筐（0,＋｜所以｜｜—讣［
即｜b＂-α则｜≤l ,″匡N＊.故数列｛6n｝与｛α＂｝接近
（2）因为α1≡1 ’α2＝2,α3＝4’α4＝8,
又｛6″｝与｛α″｝接近,所以｜6″—α＂｜≤l ’＂巨N＊.
所以b＂匡［α厕ˉl ,α″＋l］.
则bl巨［0,2］,b2巨［l ,3］,b3e［3,5］,b4巨［7,9］
则当bl＝62巨［l ,2］时〃中只有bl（b2）、b3、b4三个元素’矾＝3;
当bl≠62时,M中有bl ｀b2、63、b4四个元素,′n＝4.
故″中元素的个数m为;肌＝3或m≡4
（3）因为｜b厕ˉαn ｜≤l ,所以b″巨［α″—1 ,α厕＋l］,bn＋l巨［α厕＋l—l ’α″＋l＋1］,
所以b″＋｜-b″巳［α厕＋｜-α″—2’α″＋l ˉα皿＋2］
,
即b″十l＿6n匡［d-2,d＋2］,″巨N＊
O若〃≤—2,则6″＋］ˉ6n≤0恒成立,不符合条件
@若〃＞ˉ2,令b″＝α″＋（—l）″’＂巨N＊
。
则｜b″ˉα″
｜＝
｜（—l）＂｜≤1 , ｛b″｝与｜α厕｝接近
此时b网＋l—6″＝d—2（ˉl ）Ⅲ’
当n为偶数时,6″＋1—b″＝′—2＜0’
当n为奇数时,6″＋l ˉ6″≡d＋2＞0,
当″从l取到200时’恰可以取到100个奇数’100个偶数,
即在b2—6｜,63—62 』…’6201 —b200中,存在100个正数与l00个负数.
故d＞—2时,存在数列｛bn｝’其通项公式为b″≡α＂＋（-l）＂,n巨N＊
,
在b2-61 ’b3—b2,…,620｜ˉb20O中有l00个为正数’此数列｛6″｝是满足题意的.
综上所述,若存在数列｛b″｝满足: ｛b″ ｝与｛α厕｝接近,且在b2＿6l ,b3—』2’…’b20l
的取值范围为d＞-2.
232
ˉ6200中至少有100个为正数,则〃
考点六二元＿次不等式组
233. ［答案］
B
x＋y-3≥0,
｜:iI喇……………』…斟嘛″
［解析］
不等式组
行直线间的距离最小时’两平行直线分别过点A与B’又两平行直线的斜率为1 ,直线AB的斜率为ˉl ’所以
.76·
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线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离’易得｜AB｜≡√Z即两条平行直线间的距离的最小值是
√百刷故选B·
-2y＋3＝0
＼
3
3
2
／／／
／／旦
O
~／2
′~
2勿-γ＝3＝0
＼,
3
勿＋y-3＝0
234［答案］
D
［解擂｜铃（黔…!｛;1诅孵褐艘≥÷腑以当监…÷』……｜）
考点七线性规划
235. ［答案］
I）
［解析］
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z＝如＋2y,得y≡
ˉ＋x＋÷’所以÷是直线γ＝ˉ＋鞭＋÷在γ轴上的截距,根据图形知,当直线
』＿＋峙…蹦÷呻最′｜值南｛瑟｛;!α
得如≡2’y＝l ,即A（2,
l）,此时’z＝4’所以z≥4,故选D.
y
剁／卜…
卯＋
／6｜｀
＼＼
z
、＼
勿＋v-3＝0
″
236。［答案］
D
［解析］
作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示’由2≡z＋y得y≡ˉx＋z｀作出直线γ≡—则’平移使之
经过可行域’观察可知’最优解在B（0,3）处取得’故zma＂＝0＋3＝3,故选D.
γ＝3
-2≡0
237. ［答案］
C
［解析］
对于选项A’当m≡—2时’可行域如图（1）,直线γ＝2聪—z在γ轴上的截距可以无限小’z不存在最大值,
不符合题意,故A不正确;
对于选项B,当m≡＿l时,′m—y≤0等同于虹＋y≥0’可行域如图（2）,直线y＝2z-z在y轴上的截距可以无限小,z
不存在最大值,不符合题意,故B不正确;
.77
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对于选项C’当′n≡l时可行域如图（3）’当直线γ≡2刀—z过点A（2’2）时在y轴上的截距最小,z最大为2’满足题
意,故C正确;
对于选项D,当m＝2时’可行域如图（4）’直线y＝2卯-z与直线OB平行,在y轴」二的截距最小值为0,z最大为0’不
符合题意’故D不正确.故选C.
兄
●
田
γ
√
｀
｜
／
’
＝
／
『
＼
（1）
｝y
y
＋2＝0
＼″f≠
2y＋2≡0
／／
“
引＼＝
勘-γ
＜／6＼′
Z-y＝0
z＋γ＝0
（3）
（4）
238. ［答案］
9
［解析］
画出不等式组所表示的平面区域’如图中阴影部分所示.作出直线嘶＋y≡0,平移该直线,当直线过点B（5,
4）时’z取得最大值,z
≡5＋4＝9.
max
／
Ⅱ
勿＋y＝0
｀～＼
≥≤
／
C～Z
勿＋2γ-5≡0
O｜、、
卯-2y＋3≡0
勿＝5
［答案］
2l6＂0
［解析］
设某高科技企业生产产品A和产品B分别为匆件,y件,生产
产品A、产品B的利润之和为z元’依题意得
″1.5冗＋0·5y≤150,
′3卯＋y≤300,
九＋O3y≤90,
10卯＋3y≤900,
钳5匆＋3y≤600,
即《5匆＋3y≤6＂,
如巨N,
卯巨N,
≈y巨N,
≈y巨N,
目标函数为z＝2l0Ox＋900γ.
239
V
凸
＼
＼
｀
～～≤
｀
M
7、、
-可勿｀｀、｀
3y≡600
＝—方
y＝
vI脑盂
O
、
1毗＋3y≡90O
78
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其可行域为四边形O‖′］VC及其内部区域中的整点,其中点O（0’0）’M（0’200）’Ⅳ（60’l00）’C（90’0）’当直线z＝
2100卯＋900y经过点／V（60’100）时,Z取得最大值,Zmax＝21＂×刨＋Ⅻ×1＂≡2lm,即生产产品A、产品B的利润之
和的最大值为21m）元
考点八均值不等式
240。［答案］
C
［解狮｜由l＋√丽知…＞0』所以倾二l＋÷w哥却…沤所以酬』的最川值为2沤
l
2
｜耳顾』……→
当且仅当
241［苔案］
D
［解析］
本题主要考查圆与方程和均值不等式.
由题意可知,圆Cl的圆心为（—2α’0）’半径为2,圆C2的圆心为（0’6）’半径为l
,
因为圆Cl和圆C2只有＿条公切线’
√（-2αˉ0）2＋（0—b）2 ＝2-l’整理得4α2＋b2＝］
则圆C1和圆C2内切,所以
所以÷带古-（÷带☆）（4“2十膀）-5十÷爷≡5＋帐爷≡9,
当且仅当÷-等,且4鹏2＋膀-｜即α』-÷,』2-＋时等号成立
气
所以寺＋÷的最小值为9故本题正确答案为D
α～
O≈
242ˉ ［答案］
C
［解析］
因为蹦,γ都是正数,所以撼＞0.y＞0.所以撼令2＞0.γ＋］≥0,囚为躯＋’二］,所以獭…γ＋｜＝4,走＋
丙-」（露十2十′十」）×（走带六）-十［5ˉ｝4?;／）错｜,4则）错≡2拧;／）萧二4,当
l
且仅当4财）-诺,即鳃-丁,Ⅱ≡＋时咸立,所以走带丙≥十（5斜）-÷即走六的最小值为÷
2
l
故选（】。
243. ［答案］
4
α4＋4b4＋l≥2｀／4α4b4＋1＝4α2b2＋1
αb
α6
αb
｀／.
＝4α6＋亩≥2
αh六＝4,当且仅当
因为α』＞0’所以
时取等号,故α碘＋凿『刊的最小值是4
244［答案］
3徊
［解析］
令‘≡√丽ˉ「＋√〗ˉ下丁’则′2≡α＋1＋b＋3＋2√（α＋1）（6＋3）＝9＋2√（α＋l）（b＋3）≤9＋（J＋1＋b＋
3＝l3＋α＋b＝l3＋5＝l8当且仅当α＋l＝6＋3时取等号,此时α＝÷,b＝÷.
～
▲
所以′max＝√I∏＝3徊
79
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第五章导数＆计数原理＆推理与证朋＆复数＆选讲部分
考点—导数的计算
245. ［答案］
A
［解析］
因为／（z）＝（鲍2＋α勿ˉ1）e露
l ,所以／γ（x）≡（2鳃＋α）exˉl ＋（绷2＋α鳃ˉl）ex—l ＝［如2＋（α＋2）则＋α-
1］e翼ˉl .因为则≡—2是函数／（卿）≡（x2＋砸-l）ex＿l的极值点,所以勿＝—2是箍2＋（α＋2）如＋α—l≡0的根,所以α
≡ˉl兔′（鲍）＝（鳃2＋兔ˉ2）e蘑ˉl＝（绷＋2）（xˉl）exˉl .令／（z）＞0’解得卯＜ˉ2或x＞l ;令／（鳃）＜0,解得—2＜鳃＜
l ,所以／（鳃）在（-的,ˉ2）上单调递增,在（ˉ2,l）上单调递减在（‖ ,＋的）上单调递增,所以当匆＝1时’／（如）取得
极小值’且／（x）极小值≡／（l）＝-l ’故选A.
246. ［答案］
A
［解析］
令函数g（如）≡匹卫1’对其求导得到g′（勉）＝巫1卫』—＝血△,根据已知条件可知’当如＞0时’√（愈）ˉ∧z）＜
卯
冗
2
0｀所以当蹦＞0时｀g』（x）＜0则g（蕊）在（0』＋国止单调递减则g（l）二毕＝巡—｜）＝0,所以当艘匡（0,｜）时,
‘（躯）＝粤＞0则′（鳃）＞0;当缠匡（｜,＋函）时,g（露）＝粤＜0,贝Mx）＜0又因沟g（腮）＝竿是偶函数（侧个奇
函数相除是偶函数）｀所以当蕊匡（ˉ｜’0）时,g（躯）＝粤＞0则j（躯）＜0;当x匡（＿函,ˉ｜）时,g（鞭）＝粤＜0,贝‖
／（“）＞0.综上所述乳／（绷）＞0的取值范围是（—的,—l）（ˉ」（0,1）故选A.
247［苔案］
C
［解析｜
令‘（慈）-／（蜒）—膨带｜则‘（＂）＿′（0）＋｜-0,凰（古）三′（六）—愉古刊二′（古）—古
因为g′（嘶）≡／（期）-∧＞0,所以g（卿）在［0,＋助）上为增函数
义圈为＂＞｜所以古≥0』所以:（六）≥‘（0）二α
所以／（古）—古＞0,即′（六）＞古
248. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查指数与指数函数、导数的计算、导数在研究函数中的应用以及函数的概念与性质
因为指数函数／（绷）＝α膊（α＞0,且α≠1）在R上是减函数,所以0＜α＜1
,
而g』（x）＝—2（:了2）｀囚为αˉ2＜0’所以当瓣＜0时,g』（腿）＜0’g（x）单调递减;
当豹＞0时,g′（如）＞0,g（x）单调递增故本题正确答案为C.
249。［答案］
D
［解桐』杆筹式〃（…敏（露）÷因为甄＞0故此等式可化为:′（鹏）-筐.＿γ山1.目′（2）-詹兰胖1
Z
冗
＝0.令g（躯）＝e蜒ˉ2厕q／（缅）’g（2）＝0.g′（躯）＝e篡ˉ2［〃（则）＋2x／（“）］＝e＂ˉ2二＝二（鳃—2）.当0＜加＜2时’
卯
九
g′（如）＜0’g（卯）单调递减’卯＞2时,g′（鳃）＞0’g（氮）单调递增,故min｛g（勿）
｜＝g（2）＝0,因此当匆＞0时’g（却）≥0恒
·80·
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成立,因为／（鳃）＝丛笋』所以／（躯）≥0恒成立但不恒为0因此’／（撼）在氮匡（0’…）上单调递增,无极大值』也无
卯
极小值故选D
250. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用
由题意可知∧0）＝0。
构遣酮数′（瓣）二垫曾1（鹏≤0）,
所以F′（勉）≡［2√（熊）＋“丫′（苑）］e延ˉz抓躯）e＂
e2工
化简得′′（鳃）＝去｛蕊「叭撼）＋v』（鳃）—叭瓣）］卜
因为2／（z）＋v′（鳃）＜叭x）’z＜0,所以F′（z）＞0,
所以函数F（虹）在（—切,0）内单调递增,
又F（0）＝0’
所以当鳃＜0’F（灯）＜F（0）≡0恒成立,
2
又因为对任意匆＜0,÷＞0,所以∧卿）＜O
e
由于／（如）是奇函数’
所以勿＞0时肌红）＞0’
所以／（卵）≡0有且只有＿解z＝0.
故本题正确答案为D
251［答案］
B
［解析］
由题可得,√（卿）＞2／（厕）,左右两边同时乘以厕’可得〃（”）＞2v（厕）,即赃7（则）ˉ2矿（“）＞0’设G（狐）＝
粤即G′（鳃）＞0所以庄区｜旬（0』＋囤）上,G（瓢）…数故c（!）≤懈（2）』所喘｛＞缴〃（黎）≤叭露）,左右两
边同时乘以蕊: ,可得〃（绷）—3熊马／（鞭）＜0’设H（x）＝粤,即″（鳃）＜α所以在区间（0’＋函）上’H（獭）为减函数
卯
敞〃（1）＞Ⅱ（2）,所嘴｝≤8综上所述』4揣＜:故选Ⅱ
252［答案］
ˉ3
［解析］
y′＝（αz＋1＋α）e鳃’由曲线在点（0,l）处的切线的斜率为—2,得γ′ ｜x二o≡（α卿＋l＋α）e膊｜愿＝0＝l＋α＝
-2,所以α≡-3。
考点二导数在研究函数中的应用
253. ［答案］
C
［解析］
函数∧鲸）＝篮ˉ上…鲸…加“在（ˉ·°
｀＋函）单调递增’等价干′（獭）≡lˉ÷c°惠2……＝
3
—丁……°…÷≥0在（—…国）恒成立设c。…』则g（′）＝ˉ÷‘2扭′＋÷≥0在［ˉ」.l］恒成立,
4
2
.8l
·
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254［答案］
A
［解析］
根据函数的图象可知’该函数先增再减,再增,且极值点都大于0’函数图象与y轴的交点在y轴的正半
轴上
ˉˉ—止＞0,
法ˉ;由图象知′（0）＝d＞0因为′（腮）＝3″』＋2…＝0有两个小相等的雁实根,所以α＞0,—器
3α
所以6＜0。又／（0）＝c＞0’所以α＞0,6＜0’C＞0’〃＞0.
法二:由图象知／（0）＝创＞0’首先排除选项Di／,（卯）＝3α氮2＋2加＋c≡3α（勿-鳃l ）（匆-撼2）≡3α匆2—3α（知l＋卿2）匆＋
3αxl匆2’令卯l＜卯2’因为匆巨（-·° ,卯l）时’／v（z）＞0,所以α＞0’排除C;又c＝3αxl期2＞0’2b≡—3α（z1 ＋鳃2）＜0,所
以c＞0,b＜0,故选A。
易错项分析:根据函数图象大致确定函数各项系数的范围,此类问题的大致方向有:根据特殊点函数值的正负确定
部分范围’根据图象的单调性确定导函数中各项系数的大致范围’利用极值点进＿步缩小各项系数的范围.
255。［答案］
C
［解析］
囚为…＞0,故竿＞硕又／（墓）＝lnx（蕊＞0）为增函数,所山（宁）＞∧√而）,即『＞′
又′二＋Mα）十∧‖）］＝十（｜n叶］n』）二｜n√丽＝′所以p二『＜q故选α
256. ［答案］
B
（瓣析｜
设（蹦＂,鳃;…—÷）…′（颜）阁象上怔意ˉ点』该氯关于》输的对枷点（ˉ烈』,露;托窥,—＋）…
‘（狮）的图象上则獭;＋e擞,ˉ＋≡螺;＋ln（α—獭o）,即ln（αˉ膊＂）＝e露,ˉ＋’
x
←
所以α≡x0＋ee°-2 （x＜（））.
记h（狮）＝鳃＋ee缀—＋二缅＋上ec凰,则″（厕）＝l＋上ee. .e”＝l＋上e…＞0’
√e
√百
√百
所以h（z）在（ˉ助’0）上是增函数’
所以α＜e了＝亿故选B
易错项分析;本题易错项为C.解决函数与方程的｜可题,根据函数的图象和方程的根及函数的零点之间的关系,构造
函数是＿个难点,通过构造函数将方程的根与函数图象联系起来,是解题最容易出错的地方,学会等价转化和化归
思想在解函数问题中至关重要.
257［答案］
D
［解析］
因为／（鳃）＝ex（鳃3—3期＋3）—αe蹲＿鲸（勿≥—2）,若／（鳃）≤0有解,则e剪（鳃3ˉ3冗＋3）—冗≤αe∑有解,即α≥
“〕ˉ3鳃＋3ˉ÷有解;
e
设g（蕊）＝撕』ˉ3蹦＋3—÷（醚≥—2）｀得g′（箍）＝3撼2—3＋净＝3（瓣ˉl）（鳃＋l＋去）;
e
e
〕e
令删（聪）-露十」带☆（蕊≡ˉ2）.所以″（露）≡｜ˉ志,由于h』（x）单调递增.当″（蹦）≥0时,琴＞ˉM｀咖（露）单调递
增当″（膊）≤0时,ˉ…＜ˉln』｀″（篮）单调递减;所以h（甄）≥h（＿!n3）＝!n］裴」＋｜≥0即叶｜带六≥0恒
成立,所以对于g′（蕊）-3（xˉ」）（叶｜带六）｀当疟（—2｀｜）时,g′（甄）＜0,g（甄）单调递减当甄霍（」, ＋函）时,
·82
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g′（鳃）＞0.g（鳃）单调递增;所以g（鳃）顾帅二g（l）＝lˉ÷;所以’若.≥鳃』—…＿÷有解’则α≥lˉ÷,即α的最
小值为］ˉˉ上。故选u
e
易错项分析:本题的难点是将解不等式问题转化为求函数的最值问题:首先应用分离参数法’通过构造新函数和求
导’判断函数的单调性’然后用分类讨论法’根据函数单调性求出最小值
258. ［答案］
（0’1）O（2’3）
［解析］
对函数求导可得′（撼）＝瓣＋4—÷二4ˉ（叶÷）,令′（躯）＝0可得鞭二l ’虱
／（x）＞0时,1＜箍＜3i′（x）＜0时,0＜嘶＜I或x＞3’所以／（箍）在（0’l）上单调递减,（1,3）上单调递增’（3’＋切）」
单调递减
因为∧期）在［t,′＋l］上不单调’则舞＝l或绷＝3在区间［t’′＋1］内’可得t＜1＜t＋l或t＜3＜t＋1’
解得0＜′＜1或2＜‖＜3。
259。［解］
（1）由已知可得／（卿）的定义域为（0’＋°。）。／（匆）≡—L-α.
卯
o当α＜0时,／（鳃）＞0恒成立风／（厕）在（0,＋的）上单调递增
@当α＞0时,令／（鳃）＞0’＿L—α＞0,得z＜上;
卯
α
令／（卵）＜0,ˉL-α＜0,得勿＞—L.
勿
α
所以综上’当α＜0时’／（匆）的增区间为（0’＋够）;
当α＞M蕊）的增隧间为（0,÷）减匹间为（÷,…）
（2）根据（1）知’因为∧如）有最大值,
所以α≥M缠）…＝／（＋）二ln÷＋α（l＿＋）＝α—l—ln“
因为最大值大于2α-2’即α-1-lnα＞2α—2 ’所以lnα＋αˉ1＜0.
令h（α）＝lnα＋α—l ,则h′（α）＞0恒成立,即h（α）在（0,＋的）上单调递增,
又h（l）＝ln1＋1＿1＝0,所以当α＞1时,h（α）＞0;
当0＜α＜1时,h（α）＜0’所以α的取值范围是（0’l）。
［评析］
本题主要考查导数的计算以及导数在函数单调性和最值方面的应用
（1）求出函数／（匆）的导数′（绷）＝ˉLˉα’然后对α进行讨论;
卯
（2）因为函数存在最大值,显然只有α＞0的情况’根据（1）可知函数的最值’然后建立不等式求解
260。（l ）［证明］
当α＝1时’／（勿）≥1等价于（卿2＋1）eˉ＂-1≤0。
设函数g（卯）＝（兔2＋1）eˉx-1 ,则g′（施）＝-（匆2-2x＋1）eˉⅪ＝＝（绷—1）2eˉz.
当卯≠l时’g′（z）＜0’所以g（撕）在（0,＋的）单调递减而g（0）＝0,故当绷≥0时’g（卵）≤0’即／（“）≥l
（2）［解］
设函数h（匆）≡l—哑2eˉz.
／（如）在（0,＋哟）只有＿个零点当且仅当h（绷）在（0’＋的〉只有＿个零点.
（
j ）当α≤0时,h（鳃）＞0,h（匆）没有零点;
（ll）当α＞0时,h′（卯）＝α卿（卯—2）eˉz.当施巨（0’2）时,h′（卯）＜0;当z匡（2’＋的）时’h′（z）＞0.
·83.
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所以h（兔）在（0,2）单调递减’在（2,＋的）单调递增。
故h（2）＝lˉ粤是h（鳃）在［0』＋唾）的最小值
e
2
o若h（2）＞0,即α＜÷’h（撼）在（0,…）没有零点;
2
@若h（2）＝0』即α＝÷』h（x）在（0,…〉只有＿个零点;
2
o若h（2）＜0,即侧＞÷,由于h（0）＝l 』所以h（憋）在（0’2）有-个零点
由（l）知,当z＞0时’ex＞z2,所以
肌纵°）≡｜—譬≡｜—僻≥｜ˉ器～｜÷≥α
故h（卯）在（2,4α）有-个零点.因此h（卵）在（0’＋凹）有两个零点
2
综上,／（鳃）在（0,…）只有-个零点时.“＝÷
261. （l）［解］
／（x）＝（如-l）ex＋2α（xˉl ）≡（卯-l）（ex＋2α）.
（
l ）设α≡0’则／（卯）≡（膊—2）e工’／（匆）只有＿个零点.
（li）设α＞0,则当勿巨（—四,l）时’／（缅）＜0’当嘶匡（1 ,＋的）时’／（嘶）＞0’所以／（虹）在（-切’I）上单调递减,在
（l ,＋鲍）上单调递增
又∧!）＝ˉe抓2）二α,取0满足b＜0且b＜!n÷.贝Mb）＞÷（』—2）余α（0ˉl）2＝α（b型—÷b）＞0,
故∧匆）存在两个零点.
（Ⅲ）设α＜0,由／（z）≡0得x≡l或z≡ln（ˉ2α）。
若α≥ˉ÷,则｜门（ˉ2侧）≤l ,故当撼巨（l,…）时』／（欠）＞0,因此／（则）在（｜
’ ＋函）上单调递增又当勉≤｜时
／（x）＜0’所以／（匆）不存在两个零点.
若α＜-÷,则ln（ˉ2α）＞l ’故当鳃匡（l ,ln（ˉ2α））时,／（躯）＜0;当厕匡（ln（ˉ2α）’＋°°）时’／（颠）＞0.因』lM厕）
在（1,ln（-2α））上单调递减,在（ln（—2α）’＋的）上单调递增.又当z≤1时／（z）＜0’所以／（郧）不存在两个零点。
综上,α的取值范围为（0,＋的）.
（2）［证明］
设如l＜匆2。由（1）知’匆l巨（-的’l）,匆2e（1,＋田）,2—匆2匡（＿四,1）,
又／（冗）在（—四,l）上单调递减,所以如l＋x2＜2等价于／（zl ）＞／（2-卯2）’即／（2-匆2）＜0.
由于／（2-躯2）＝—则2e2ˉz2＋α（虹2—l）2’而／（z2）＝（x2-2）e霹2＋α（匆2—l）2＝0,
所以／（2＿勿2）＝＿如2e2ˉ翼2-（匆2-2）ez2.
设g（z）＝ˉ鳃e2—Ⅸ—（如ˉ2）e霹’则g′（匆）＝（匆-1）（e2ˉⅪ—ex）。
所以当勿＞1时’g′（熊）＜0,而g（1〉＝0’故当如＞l时’g（Z）＜0.
从而g（x2）＝∧2—z2）＜0,故卯｜＋x2＜2.
蛔!证喇（M露）锄定义域为（—露｀ˉ2）O（ˉ…）′（蕊）ˉ（骡ˉ｜）（…）健露＿（…≡（塞）＝0.
（x＋2）2
当且仅当蹲≡0时′（勿）＝0’所以∧z）在（-@,-2）,（-2,＋@）上单调递增.
因此当卯巨（0’＋的）时乳／（红）＞／（（））＝—l.所以（匆ˉ2）ex＞—（卯＋2）
! （即-2）ez＋冗＋2＞0.
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（2）g′（趣）＝（憋ˉ2）e鳃了α（勉＋2）＝罕［／（鳃）＋α］
卯
卯
由（l）知’／（匆）＋α单调递增.对任意的α巨［0’1）＂／（0）＋α＝α—1＜0’／（2）＋α＝α≥（）。
因此’存在唯＿匆α巨（0,2］,使得∧zα）＋α＝0,即g′（卿α）≡0.
当0＜z＜卯α时,／（z）＋α＜0’g′（z）＜0’g（勿）单调递减;
当卯＞xα时√（匆）＋α＞0’g′（匆）＞0’g（鳃）单调递增。
e霹α-α（鳃α＋1）
exα＋／（勿α）（匆α＋1）
因此g（z）在如≡zα处取得最小值’最小值为g（如α）＝
2
＝
2
冗
卯
α
α
α
曰」≈●＼≈′
卜■…≈
≈
＾←尸P、】v」·咏≈′』
, ↓旦9』北民″』.l旦／√○＼～α／
2
冗
α
’
≈
α
＋
允
●
α
卯
~~
于…）二蒜｀陶（最）′-则f≥0得羞…增
所以,由蕊.匡（0,2］,得÷-走＜刷鹏）-盖≡盖-÷
α
因为走巢调通增』对任意的入匡（÷｀÷｜,存在罐ˉ的绷.筐（α2］,赋- ˉ／（zα）匡［0’1）’使得h（α）≡∧,
所以隐（赃）的…（＋,子｝
综上,当·霍［0』｜）时噶（蕊）有最川植h（醛）』h（·）的值域是（＋』÷｜
［解］
（1）由／（x）＝ln卿-2哑＋2α’可得g（允）＝ln如-2α勿＋2α,如巨（0’＋的）
则g′（勿）≡—L—2α＝1ˉ2α匆
勿
卯
当α≤0时’熊巨（0,＋的）时,g′（几）＞0,函数g（卯）单调递增;
当α≥0时,卿皇（0’六）时滔′（x）＞0,函数g（鳃）单调递增.
鞭巨（六,…）时’函数g（藏）单调递减
所以当α≤0时’g（如）的单调增区间为（0’＋函）
;
当α≥0时,g（撼）的单调增区间为（0’六）,单调喊区间为（六』…）
（2）由（l）知／（1）≡0。
o当α≤0时′（则）单调递增,
所以当如巨（0,1）时′（z）＜0黔／（卯）单调递减;
当匆巨（1 ’＋的）时典／v（鳃）＞Q／（匆）单调递增
所以／（匆）在匆＝l处取得极小值’不合题意
@当0…＋时｀赤＞｜,由（］）知′（缚）在（0,六）内单调递增,
叮得当瓣匡（0,川时′（獭）≤0Ⅱ缠匡（l,士）时′（膨）≥α
所以∧x）在（0,l）内单调递减’在（l ’六）内单调递增·
所以∧匆）在勿＝1处取得极小值,不合题意
o当α＝＋时·六二l′（撼）在（0’』）内单调递增,在（l ｀＋°°）内单调递减,
所以当缅巨（0,＋“）时′（如）≤0’∧熊）单调递减,不合题意
·85·
263
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@当α≥十时.0≤六＜l当撼巨（六,l）时′（鳃）＞M艇）单调递增’
当卵巨（1 ,＋的）时′（z）＜0旷（刀）单调递减’
所以／（缅）在卿≡l处取得极大值,符合题意
综上可知,实数α的取值范围为α＞÷
乙
α
2
2
（“2ˉ2）（熊—1）
（1）［解］
／（厕）的定义域为（0’＋°。M（绷）＝α—丁ˉ了＋了＝
则3
当α≤0时,鳃巨（0’1）时,／（如）＞0’∧龙）单调递增,
知巨（l ,＋的）时／（匆）＜0√（匆）单调递减
当哩＞0时′（敷）二鹏（÷了!）（愈亏√子）（蜒悲√子）
o0…2时,仔＞! ,
当蕴霍（0』］）或夏匡（仔,…）时′（愈）＞M缀）单调递增,
当蕊筐（｜,仔）时′（露）≤＂√（蕊）…减
圆醛＿2时』仔-｜在憨匡（0…）内,′（蕊）≥0′（露）单调遮增
o…时,0＜仔≤｜,
当翼匡（0,仔）或疟（…）时训,（瓢）≥M蒸）单调递增』
当露匡（仔』｜）时′（蕊）≤0′（虱）…减
综上所述’当α≤0时’／（z）在（0’l）内单调递增’在（1 ,＋的）内单调递减;
当0…2时《（虱）在（0』｜）内单…在（］,仔）内单调递赋在（仔』…）
当α＝2时,／（厕）在（0,＋的）内单调递增;
264. （1）［解）
内单调递增;
当醚＞2＂M翼）住（0,仔）内掣调递增』在（仔』｜）内单调递减在（…）内单调递增
（2）［证明］
由（1）知’α＝1时,
′（鳃）ˉ′（露）→』…罕ˉ（』＋÷÷）→l…上带÷÷ˉ!｀撼筐［」,2］
九
欠
勿
冗
设g（躯）＝憋ˉ｜皿’h（撼）＝L＋÷—÷—l ,撼筐［l ,2］
卯
冗
卯
则／（觅〉ˉ／（则）＝g（x）＋′l（z）.
由g′（匆）＝匹ˉ＝ˉ1≥0’
卯
可得g（z）≥g（l）＝1 ,
当且仅当嘶＝1时取得等号’
又h′（厕）＝—3”2］2卿＋6.
九
.86
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设甲（鳃）≡—3卿2ˉ2嘶＋6,则甲（施）在鞭巨［1,2］上单调递减,
因为@（l）＝1 ,华（2）≡—10’
所以】厕0匡（1 ’2）,使得则巨（1 ,卿0）时,甲（卯）＞0,卯匡（x0,2）时’p（绷）＜0
所以h（卿）在（1,鳃0）内单调递增,在（z0’2）内单调递减.
由h（l）＝Lh（2）＝÷.可得h（躯）≥h（2）＝÷,
＝
乙
当且仅当孵≡2时取得等号
所以∧蕊）ˉ′（鳃）＞g（l）＋h（2）二÷’
即／（则）＞′（鳃）＋÷对于任意的卯巨［l ’2］成立
么
［解］
（1）由已知得／（0）＝2’g（0）＝2′（0）＝4,g′（0）＝4’而／（如）＝2撼＋α’g′（匆）＝e膊（cz＋d＋c）,故b＝2,〃＝
2,α＝4,′＋c＝4’从而α＝4’b＝2’c≡2’α＝2;
（2）由（1）知／（鳃）≡z2＋4z＋2’g（鳃）＝2e雾（绷＋l）
’
设函数F（卯）≡kg（卿）-／（则）＝2ke氮（卯＋l）—鳃2—4如-2’
则F′（鳃）≡2内ex（则＋2）-2獭ˉ4＝2（鳃＋2）（内e＂—l）
’
由题设可得F（0）≥0’即k≥1,令F′（匆）＝0,得匆l≡ˉlnk,匆2＝—2’
（l ）若l≤A＜e2,则-2＜匆l≤0,从而当期巨（-2’匆l ）时,F′（卯）＜0;
当Ⅺ巨（鳃l ’＋哟）时,F′（如）＞0.
即F（知）在（-2,匆l ）上单调递减,在（熊l ,＋山）上单调递增.
故F（觅）在［＿2,＋如）的最小值为F（鳃｜）.
而F（如l ）＝2卯l＋2—撼2—4匆＿2＝-龙l （鲍1＋2）≥0.
l
l
故当卯≥—2时,F（z）≥0,即／（允）≤kg（则）恒成立
（ll）若k≡e2’则F′（鲍）＝2e2（如＋2）（e嚣—eˉ2）.
从而当匆≥-2时,F′（匆）≥0,即F（郎）在（-2,＋的）上单调递增
而F（-2）＝0,故当蹲≥ˉ2时’F（见）≥0’即／（绷）≤帕（虹）恒成立.
（Ⅲ）若k＞e2 ,F′（则）≥0,则F（鳃）在（—2,＋的）单调递增’而F（-2）≡ˉ2片eˉ2＋2≡ˉ2eˉ2（片-e2）＜0.
从而当苑≥-2时,／（绷）≤kg（卯）不可能恒成立
综上所述,∧的取值范围是［1 ,e2］
［评析］
本题主要考查导数在函数中的应用
（l）由题意得出四个方程’联立即可解得四个未知数;
（2）构造函数F（匆）＝此g（卯）＝／（箍）＝2kex（缅＋l）-如2—4财—2,利用导数分类讨论该函数的单调性,求得F（卯）在卯匡
（-2,＋·°）的最小值’而F（勿）mm≤0,从而求得k的取值范围
尸
□
β
∑
｜
～
九
α
勺
△
266｛解］
（｜）／（x）＝2侧xˉ＋ˉ2侧鳃贡—｜（鞭≥0）
当α≤0时′（如）＜0’／（狐）在（〔）’＋的）内单调递减
1
当α＞0时,由／（卯）＝0’有则＝万亏
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此时』当翼匡（0』六）时′（露）≤队∧鳃惮…;
当愿筐（方,…）时′（露）≥M露）…增
（2）令g（鳃）≡＋—六,』（鳃）＝霹ˉ!ˉ‰
则s′（z）＝e嚣ˉl—1.
而当卯＞1时,s′（勿）＞0’
所以s（鳃）在区间（l ’＋凹）内单调递增.
又由s（l）＝0’有s（匆）＞0’
从而当虹＞1时’g（z）＞0.
当α≤0’如＞l时√（z）＝α（x2-1）—lnz＜0.
故当／（x）＞g（x）在区间（1 ,＋的）内恒成立时’必有α＞0.
当0…÷时,志≥［
由（!）裔′（忘）＜′（1）-0而‘（方）＞0,
所以此时／（z）＞g（z）在区间（1’＋“）内不恒成立
当α≥÷时,令h（腮）≡／（鳃）ˉg（腮）（鳃≥l）
垄
当膊＞l时’″（鲍）＝2皿ˉˉL＋÷ˉe｜ˉ＂＞xˉ—＋＝ˉ—ˉ
l
l
l
冗
卯
z
卯＝
z
因此,h（力）在区间（l ’＋酌）内单调递增
又h（l）＝0,
所以当熊＞l时,h（卯）≡／（冗）＿g（绷）＞0,即／（z）＞g（x）恒成立
综上,“匡［＋,…）
］
＋
耻
＝
∑
冗
＞
］
＋
卯
勺
▲
＝
］
卯
2
勺
＞0
垄
卯
卯
267. ［解］
（l）由题意知,曲线γ＝／（如）在点（l乳／（l））处的切线斜率为2’
所以／（l）＝2.
又／（z）＝lnjz＋ˉ坠＋1 ,所以α＝l。
卯
（2）片＝l时,方程∧z）≡g（匆）在（1,2）内存在唯—的根
2
设h（卯）＝／（匆）—g（煎）≡（匆＋l）ln匆ˉ三
工
’
e
当z巨（0,1］时,h（剿）＜0。
又h（2）＝3ln2ˉ今＝ln8ˉ今＞l＿｜＝0.
e
e
所以存在z0巳（l ’2）,使得h（允0）＝O
因为门′（卿）≡ln如＋上＋1＋施（鳃＿2）
允
e
Z
0
所以当卿巨（l ,2）时’h′（氮）＞1-上＞0,
e
当匆巨（2,＋鲍）时,h′（鳃）＞0’所以当勿巨（l ,＋助）时’h（匆）单调递增
所以当片＝1时’方程／（匆）≡g（卯）在（片,k＋l）内存在唯＿的根
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（3）由（2）知,方程／（x）≡g（卯）在（l ,2）内存在唯＿的根鲸o,且卯巴（0’鳃0）时则／（卿）＜g（卯）’匆e（虹o’＋。°）时｀／（鳃）＞g（卯）
’
｛剿二｜了」
所以′n（m）＝
当z巨（0,鳃0）时’若膊巨（0,l］,″l（x）≤0;
若鞭匡（! ’瓣o）′由哪′（蕴）二l…÷］≥0,
可知0＜′n（x）≤′n（匆0）.
故加（勿）≤加（鳃0）;
当z巨（勿0’＋°°）时’由m′（缚）＝鳃（2—z）
文
■
e
可得卯匡（如0,2）时,加′（购）＞0’′n（刀）单调递增;勿巨（2’＋的）时’″‖′（惩）＜0
可知m（躯）≤厕（2）＝冬’且厕（“0）＜m（2）
e
综上可得,函数m（鳃）的最大值为÷
e
砸（则）单调递减
（1）［解］
O由题意可得,力′（绷）＝［／（x）ˉg（绷）］′≡（e霹ˉ′mˉn）′＝e膊ˉ′n,
所以函数h（匆）在勿≡0处的切线斜率k≡1一″!’
又h（0）＝1-n’所以函数h（z）在z≡0处的切线方程为y-（l—n）＝（1-″l）匆’
将点（l ,0）代人方程可得,m＋几≡2。
@当n≡0时’e霹＝′m,
l :当z≡0时’可知上式不成立;
jl ;当鳃＞—咀躯≠0时’砸＝÷’令y＝÷则γ′＝宁』
.氨（rˉ」）
2
≡
2
’
x
当ˉ1＜匆＜0时’y′＜0’函数y＝二单调递减;
卯
268
Z
当0＜勿＜1时,y′＜0’函数y≡二单调递减;
九
Z
当z＞l时,y′＞0,函数y＝二单调递增’
勿
勿
刀
又因为卯从左边趋近于0时’y＝二趋近于ˉ的,勿从石边趋近于0时’y≡二趋近于＋“
z
允
勿
所以y＝÷在（ˉl ,0）u（0,…）上的取值范围为（ˉ·° ’y｜翅ˉ—!）u［γ｜缆ˉ｜,…）
＼
■
〗
』
■
』
′
●
’
口
』
—
巳
｜
故由题意知’″l巨［y｜x＝ˉl ,y｜愿＝l ）≡
几
（2）［耀碉｜＂题…）ˉ志倘÷长一＿
∏
e则
卯＋4,
m
则（瓣）÷带盖≡｜筹价于c艘（3瓣ˉ4）十叶4≥0,
令F（腮）≡ez（3卯—4）＋z＋4,
则F（0）＝0’且F′（勿）＝ez（3匆-1）＋1 ,F′（0）＝〔）’
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令G（匆）≡F′（鳃）’则G′（x）≡e厕（3匆＋2）
,
因为z≥0,所以G′（z）＞0’
故C（如）的原函数F′（鳃）在［0’＋m）上单调递增,于是F′（z）≥F′（0）≡0,
从而函数F（龙）在［0’＋的）上单调递增且不恒为0’F（x）≥F（0）＝0。
因此,当z≥0时’r（熊）≥l
［评析］
本题主要考查导数的运算以及导数在研究函数中的应用
（l）o通过计算h（氮）的导数得出函数在如≡0处的切线表达式’再将点（l ,0）代人切线表达式,得到′n＋′l的值;
冗
@将篮的取值范围分段讨论’“函数h（匆）在（—l ’（））（」（0, ＋的）无零点”等价于方程″!≡旦在（—］,0）L」（0,
卯
＋的）上无解,因此通过计算函数y＝二在（-l ’0）□（0’＋°。）上的取值范围可以得到′n的取值范围;
冗
（2）通过条件化简′（如）≥l得e箕（3熊ˉ4）＋嘶＋4≥0,计算F（期）＝e鳃（3勿—4）＋觅＋4在［0,＋钩）的＿阶导数、二阶
导数可得F（知）在［0』＋呻）的取值范围,从而证明当氮≥0时,F（匆）＝e剿（3x—4）＋卯＋4≥0即厂（卯）≥l
269. （1）［解］
／（匆）＝ex-匆2＋α’所以／（卯）＝eⅪ—2卯’
『‖）二｜!呀0解褥｛;二「｜
由已知
故／（卯）≡e蒸＿匆2—1
;
（2）［证明］
令g（鳃）＝／（匆）＋如2—绷≡ex—鳃—l ,
由g′（鳃）＝e熙ˉ1＝0,得匆＝0,当鳃巴（ˉ的,0）时,g′（卯）＜0’g（冗）单调递减;
当z巨（0,＋鲍）时,g′（如）＞0,g（z）单调递增’
所以g（绷）mm＝g（0）≡0,从而／（见）≥—卯2＋卵;
（3）［解］
／（x）＞脑对任意的颠匡（0’＋。。）恒成立,可得且卫1＞k对任意的卯巨（0,＋的）恒成立,
刀
令@（x）＝且王1,x＞0,所以@′（匆）＝业如）ˉ／（腮）
（zˉl）（e翼ˉ鳃ˉl）
2
≡
2
卯
卯
卯
由（2）可知当z巴（0,＋鲍）时,e露一zˉl＞0恒成立’
令@′（匆）＞0,得z＞l ;甲′（苑）＜0’得0＜匆＜l
,
所以甲（Z）的增区间为（1 ’＋鲍）,减区间为（0,l）,甲（嘶）mi∏＝@（l）＝e—2’
所以内＜9（熊）mi＂＝@（l）＝e—2,
所以实数k的取值范围为（—鳃’e—2）ˉ
［评析］
（1）由题意知函数／（匆）≡e膊ˉ匆2＋α的图象在点勿＝0处的切线为y≡b绷’
因为函数γ＝6如过点（0’0）’因此函数／（匆）也过点（0,0）且在x＝0处的导数为b’
『‖）二!｜虱≡0……∧…—鳃』—‖
故
（2）要证／（如）≥—期2＋卯’只需证明如巨R时′（z）＋z2—鳃≥0,可令函数g（绷）＝／（匆）＋勿2—鳃’因此利用导数证明函
数g（如）的最小值大于等于0即可;
（3）凶为鞭＞0.故∧缠）＞隐膊可变形为府≤粤、叮令鹏（鳃）＝粤,因此雁小于函数吵（惩）的最小值即叫｀利用导数叫
得函数p（熊）的最小值为e-2,故内＜e—2.
270. ［解］
（l）／（匆）的定义域为（—m,＋的）′（刀）＝2αe2x＋（αˉ2）exˉl＝（αex—1）（2e膊＋l）
（
l ）若α≤0,则／（x）＜0,所以／（x）在（—酌,＋鲍）单调递减。
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（ll）若α＞0’则由／（匆）＝0得如＝ˉlnα。
当如巨（—的,ˉlnα）时′（卿）＜（）;当绷巨（ˉlnα, ＋切）时,／v（嘶）＞（）.所以／（狐）在（ˉ的
（ˉlnα’＋四）单调递增
（2）（
l ）若α≤0’由（l〉知,／（如）至多有—个零点。
（ll ）若α＞0’由（1）知,当肛＝ˉlnα时鬼／（勿）取得最小值,最小值为∧＿lnα）＝lˉˉL＋lnα
α
o当α≡1时,由于∧—lnα）＝0’故／（卯）只有＿个零点;
@当α巨（l,＋G.）时,由于lˉ—L＋lnα＞0,即／（ˉlnα）＞0,故／（卵）没有零点;
α
o当αe（0,］）时’1—上＋lnα＜0,即／（＿lnα）＜0。
α
又／（ˉ2）≡αeˉ4＋（α-2）e 2＋2＞—2eˉ2＋2＞0’故／（鳃）在（-鲍,-lnα）有＿个零点。
设止整数″0满足″‘≥｜n（÷ˉ」）,侧M″o）二e腿,（αe腿』余αˉ2）ˉ厕o＞e嗡ˉ＂0≥2腮,—″o＞α
由于!n（÷ˉ』）≥ˉlnα,因此／（瓣）在（＿lnα｀…唁—个零点
综上,α的取值范围为（0’1）.
所以／（鳃）在（-的’ˉlnα）单调递减’在
271【解］
（l）由／（卿）＝箍ˉl＋÷,得／（躯）＝l—ˉ坠
勿
9
e
e
又曲线y≡／（卯）在点（l旷（l））处的切线平行于匆轴,得／（l）＝0,即lˉ—坠＝0,解得α≡e
侣
（2）由／（厕）＝1ˉ÷可得;
e
当α≤0时γ／（卯）＞0’／（卯）为（-的,＋助）上的增函数,所以函数／（如）无极值;
当α＞0时’令／（允）＝0,得e嚣＝α,卿≡lnα。绷巨（—山,lnα）′（匆）＜0;卯巨（lnα,＋的）’／（施）＞0
所以／（允）在（—的,lnα）上单调递减’在（lnα,＋的）上单调递增,
故／（x）在如＝lnα处取得极小值,且极小值为／（lnα）≡lnα,无极大值
综上’当α≤0时,函数／（期）无极值;
当α＞0时／（卿）在匆≡lnα处取得极小值lnα’无极大值
（3）当α二l时匙／（鳃）＝翅ˉl＋÷
e
直线′;′＝肛ˉl与曲线γ＝／（腮）没有公共点』等价于关于撼的方程枷ˉ｜＝绷ˉl＋÷在R上没有实数解』即关于＂
e
的方程（kˉl）箍＝＋（＊）在R上没有实数解
e
当k＝l时,方程（＊）可化为半＝0,在R上没有实数解,
e
当脚≡」时,方程（＊）化为六＝鞭e蕊,令g（鞭）＝濒e艘则有g′（缠）＝（…）e蕊,
令g′（匆）≡0’得如＝—l,当绷变化时,g′（嘶）的变化情况如下表:
（-鲍,-1）
~
（-1 ,＋酌）
＋
刀
-1
卜…………＝….
H…………………咱
0
宁≡
＝＝二＝≡≡≡＝＝…→巴…
1
e
卯
g′（熊）
g（匆）
｜
｜
＋
｜
迅
·9l
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当鳃＝—l时,g（膊）瞬帅＝＿÷伺时当鞭趋于…时,g（藏）趋于…,
l
—,＋钩
e
｜
）
从而g（匆）的取值范围为
所以当古匡（ˉ。。｀ˉ÷）时,方程（＊）无实数解解得腑的取值范围是（l＿e’」）,
综上,R的取值范围是（l—e,l］
［评析］
（l）由曲线y＝／（力）在点（l则／（l））处的切线平行于嘶轴得／,（l）＝0,从而求得α;
（2）对／（匆）求导后对参数α分类讨论确定有无极值;
（3）由已知条件直线′;γ＝肚ˉl与曲线γ＝／（撼）没有公共点｀其等价于关于x的方程k膨ˉl＝狐ˉl＋÷在R上没有
e
实数解,即关于厕的方程（kˉl）则＝÷（＊）在R上没有实数解分别讨论k＝l和k≠l时满足的条件,即可得到实
e
数∧的取值范围
（l）［解］
／（勿）的定义域为（0,＋助）.
设g（苑）≡皿—α—ln列,则∧卯）≡卵g（如）扩（觅）≥0等价于g（鲍）≥0.
因为g（l）＝0’g（z）≥0,故g′（1）＝0,而g′（绷）≡αˉˉL,g′（l）≡α—l ’得α≡1.
冗
若α＝1 ,则g′（鳃）≡1—ˉL.
卯
当0＜卯＜l时,g′（鳃）＜0’g（卯）单调递减;当z＞］时,g′（红）＞0,g（聪）单调递增
所以鳃＝1是g（卵）的极小值点’故g（勿）≥g（l）＝0.
综上,α＝l
（2）［证明］
由（l）知／（z）＝匆2＝熊—卯ln勿,／（匆）＝2如＿2—ln匆.
设h（鲸）≡2卯ˉ2ˉln鳃’则h′（鳃）≡2＿上.
尤
当蹦匡（0,十）时’h′（财）＜0;当鳃匡（＋’…）时’＂′（惠）＞α
所以h（瓣）在（0’＋）单调递减′在（÷,…）单调递增
又h（eˉ2）＞0’h（＋）＜0｀h（l）＝0,
所以h（惠）在（0.÷）有唯—零点膊o’在［÷,＋屡）有唯—零点l .且当躯匡（0,鲸＂）时,″（葱）≥0;当恋匡（躯＂｀l）时｀
h（虹）＜0;当勿匡（l ,＋的）时’h（z）＞0.
因为／（勿）＝h（卯）
,
所以z≡勿0是／（匆）的唯＿极大值点.
由／（匆0）≡0得｜n刀0≡2（如o-1）,故∧如0）＝勿0（l—z0）ˉ
由x0匡（0｀十）得∧露＂）＜＋
因为财≡匆0是／（虹）在（0’l）的最大值点,
由eˉl巨（0,l）’／（eˉl ）≠0得∧鳃0）＞／（eˉl ）＝eˉ2.
所以e
2＜／（如0）＜2ˉ2。
∑
丁
’
≈
92
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273. ［解］
（1）／（匆）＝（1-2虹ˉ匆2〉e掘.
令／（z）＝0得憋＝ˉ1-√豆或卯＝ˉ1＋√Z
当虹匡（ˉ酌,＿1ˉ√可）时,／（购）＜0;当x巨（—lˉ√Zˉ1＋√豆）时’／（z）＞0;
当鳃匡（ˉl＋√Z＋鲍）时,／（舞）＜0.
所以／（勉）在（ˉ@,ˉIˉ√可）和（ˉ1＋徊,＋西）单调递减,在（ˉlˉ√Zˉ1＋√百）单调递增·
（2）／（鳃）＝（1＋如）（l—卯）ex.
当α≥1时’设函数h（z）≡（lˉ匆）e雾’内′（卯）≡-如e瓣＜0（如＞0）,
因此h（熊）在［0,＋由）单调递减,而h（0）＝1,故h（卯）≤1 ,所以／（匆）＝（匆＋1）h（匆）≤勿＋1≤α卿＋l.
当0＜α＜l时,设函数g（x）＝ezˉ匆-1,g′（卿）＝ex-1＞0（卿＞0）
’
所以g（卿）在［0,＋凹）单调递增’而g（0）≡0,故e冀≥匆＋1.
当0＜嘶＜1时’／（虹）＞（1-期）（l＋z）2,（lˉ鳃）（1＋“）2—“ˉ1≡卯（lˉα-苑—虹2）’取鳃0＝√5—4α—］
2
则施0≡（0,1）’（1-施O）（1＋绷0）2—mb—1＝0’故／（虹0）＞砸0＋1.
当倒≤0时取鳃,-罕则瓣0匡（0｀］）.∧蕊0）＞（」＿颜,）（｜十甄＂）』-」…,带」
综上,α的取值范围是［1’＋的）.
274｛解］
（1）／（虹）的定义域为（0,＋切）。
O若α≤0,因为／（＋）＝＋＋αln2≤0.所以不满足题意;
@若α＞0,由／（施）＝1—ˉ坠＝匹ˉ＝ˉg知’当如巨（0,α）时乳／v（匆）＜0;当虹匡（α,＋鲍）时′（躯）＞0.
冗
如
所以／（匆）在（0’α）单调递减’在（α,＋四）单调递增.故剿＝α是／（撕）在（0,＋四）的唯＿最小值点
由于／（1）＝0,所以当且仅当α＝1时肌卯）≥0.故α≡l。
（2）由（］）知当蜒筐（…）时′聪ˉ｜—』…0令篡≡1÷得］n（」＋六）≤六
从丽!＂（］带＋）带h（」十扑…十ln（」寸）＜←＿＋＋
故（」÷）（」寸）（」寸）≤·
厕（］÷）（｜÷）（｜寸）＞2｀所以卿的最小…
］
＜
］
—
妙
］
~~
＜
』
—
邻
≡
＋
275. ［解］
（］）由题意／（∏）≡而2—2。
又／（匆）＝2匆-2sin鳃’所以／（∏）＝2∏,
因此曲线y＝／（撼）在点（∏／（∏））处的切线方程为yˉ（∏2-2）＝2∏（匆-∏）
,
即γ≡2∏鳃-∏2-2.
（2）由题意得h（z）＝e露（cos勿—sin匆＋2勿—2）—α（缅2＋2cos如）
’
因为∧′（匆）＝e鳃（cos虹—sin躯＋2z—2）＋ex（-sinz—cos苑＋2）ˉα（2匆-2sinx）
＝2e露（卵-sinz）-2α（卯-sinz）
＝2（e愿-α）（鳃—sin虹）,
令m（如）≡冗ˉsin如,则m′（嘶）＝1-cos匆≥0,
93·
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所以矾（匆）在R上单调递增
因为m（0）＝0’所以当搏＞0时,m（勉）＞0;
当如＜0时,加（冗）＜0.
O当α≤0时,e剪—α＞0,
当勿＜0时,h′（郧）＜0,∧（如）单调递减’
当卯＞0时,h′（施）＞0,h（z）单调递增,
所以当鳃≡0时h（师）取到极小值,极小值是h（0）≡—2α＿l
;
@当α＞0时,∧′（x）≡2（e＂—elnα）（觅ˉsin卯）
’
由h′（z）＝0得卯l＝lnα,如2＝0.
（i）当0＜α＜l时’lnα＜0,
当涎e（—的,lnα）时’e剪ˉelnα＜0’h′（如）＞0,h（x）单调递增;
当鳃巨（lnα,0）时’e厕-elnα＞0,h′（虹）＜0’h（如）单调递减;
当搏e（0’＋鲍）时’e愿—elnα＞0’h′（匆）＞0’h（卵）单调递增
所以当z＝lnα时h（卯）取到极大值’极大值为∧（lnα）≡—α［ln2αˉ2lnα＋sin（lnα）＋cos（lnα）＋2］
’
当x＝0时h（x）取到极小值,极小值是h（0）＝-2α—l ;
（ii）当α＝l时,lnα＝0,
所以当如巨（-的,＋@）时,h′（匆）≥0’函数内（虹）在（-的,＋的）上单调递增’无极值;
（iii）当α＞l时,lnα＞0,
所以当绷巨（—m,0）时,e蹲≡elnα＜0,h′（绷）＞0’h（x）单调递增;
当鳃e（0,lnα）时,ex-elnα＜0’h′（“）＜0,h（匆）单调递减;
当坏匡（lnα’＋m）时’e鳃—elnα＞0’h′（匆）＞0,h（x）单调递增.
所以当x≡0时h（x）取到极大值,极大值是h（0）＝ˉ2αˉ1 ;当虾＝lnα时h（勿）取到极小值’
极小值是h（lnα）＝ˉα［ln2αˉ2lnα＋sin（lnα）＋cos（lnα）＋2］
综上所述:当α≤0’h（鳃）在（—四’0）上单调递减,在（0,＋“）上单调递增,函数内（嘶）有极小值,极小值是h（0）≡
-2α-l
;
当0＜α＜1时’函数h（x）在（—的,lnα）和（0,＋@）上单调递增’在（lnα’0）上单调递减’函数h（刃）有极大值’也有
极小值’极大值是h（lnα）≡—α［ln2α—2lnα＋sin（lnα）＋cos（lnα）＋2］,极小值是h（0）＝ˉ2α—1 ;
当α≡l时,函数h（腮）在（ˉ凹,＋的）上单调递增,无极值;
当α＞1时,函数h（鳃）在（-鳃,0）和（lnα’＋切）上单调递增’
在（0’lnα）上单调递减,函数′l（狮）有极大值0也有极小值,
极大值是h（0）＝ˉ2α—］,极小值是门（lnα）＝—α［ln2αˉ2lnα＋sin（lnα）＋cos（lnα）＋2］
27‘（!）（解）
由′（慈）＿鳃』…!十顺十］得′（…』十2…-」（叶÷）』带b—宁
2
当憋＝—÷时′（箍）有极小值hˉ÷
’
◎
~~
］
＋
站
—
〕
〕
α
—
’
＋
］
α
—
”
~~
）
α
—
∩
〕
因为′（撼）的极值点是′（x）的零点’所以′（
∩
」
—
α
＋
甲
亚
’
~~β
故
『
∩
Ⅱ
＞
α
又
94·
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因为∧撼）有搬值故′（撼）-0育实棍从而‖—等二六（2’＿幽』）≤0,即α＝3当α-3时′（腮）＞0（鳃＝—!）,故
~／
T
／（剿）在R上是增函数’／（匆）没有极值;当α＞3时,／’ （z）≡0有两个相异的实根卯l ≡一α—√α＝＿3b,匆2＝
3
~~／
勺
-α＋√α＾-3b.列表如下:
3
（勿1 ’鳃2）
≡≡＝-…….- ≡＝尸＝＝当
~
~
卯
（-@,如1
）
／,（匆）
＋
＋
（熊2’＋@）
卯］
叮7
二■
0
0
＋
~
~
~
~~
~
~~
＝
刀
极大值
刀
极小值
／（z）
凶
故／（鳃）的极值点是勿l ’卯2。从而α＞3。
勺
因此0二等＋÷,定义域为（3,…）
（2）!证鹏｜山（］）知,片三竿市
设瞥（』）＋＋测‘′（o÷÷ˉ2｜;了卫
滞′霍（孪,十函）时,‘』（‘）≥0｀从＂g（』）在（乎,…）上单调递增
因为α＞3’所以α伍＞3何,故g（α伍）＞g（3何）＝√可,即垒＞亿
√α
因此62＞3α。
（3）（解］
由（｜）》M瓣）的极值点是慈｜’躯』,且缠］＋膊2＝＿÷°,缠｝带鞭;＝4窿÷60从而（蜒｜）余′（”2）＝襄↑…｝＋
6Ⅸ＋」＋腮i…i＋b蜒2＋｜-÷（3鳃｝＋2“｜＋b）＋÷（3腮i＋2“2十b）＋＋α（鞭｝＋露;）＋÷b（缆! ＋缆』）＋2＝
4α』＿6αb—竿芋2＝o
27
记／（匆）’／（z）所有极值之和为h（α）
,
2
］
2
3
因为／（“）的极值为b—÷＝ˉ丁o＋丁’
所以″（α）＝ˉ;α』＋÷,…
圃为h′（侧）＝÷铡ˉ÷＜0.于是h（侧）在（…）上单调递减
因为h（6）＝ˉ÷,于是h（α）≥h（6）,故α≤6
丝
因此α的取值范围为（3’6］
考点三排列与组台
27饥［答案］市
［解析］
记2名男生分别为A’B,3名女生分别为α,6’c’则从中任选2名学生有AB,Aα,Ab,Ac’Bα’B6’Bc,αb,αc
司
bc’共l0种情况,其中恰好选中2名女生有ob』αc,bc’共3种情况,故所求概率为市
95.
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278. ［答案］
D
［解析］
因为安排3名志愿者完成4项工作’每人至少完成1项’每项工作由l人完成’所以必有l人完成2项工
作…工作…斟鹏M响笺止.滁…输扑人…削…顾以不…辩…‘×
6＝36（种）.故选D
279. ［答案］
C
［解析］
本题可采用反向相减法,先求出所有的取法,然后减掉相反的取法即可,根据组合的思想’所有的取法为
c↑6与所求相反的取法有;O从四种颜色中选择＿种,然后在此颜色下任取3张’此时’这3张卡片颜色相同,共有
4Cj种取法;@先选择两张红色卡片,然后从剩余三种颜色的卡片,共l2张中选择l张,共有C;C｜2种取法’此时,这
3张卡片有两张颜色相同;则要求所取3张卡片不能是同＿颜色’且红色卡片至多l张,不同的取法共有C↑6ˉ4Ci
—CiC｜2＝472种故选C
易错项分析:对题干的意思理解不到位是误选答案B的重要原因’本题的关键词“不能是”千万不能误认为是互不相
同的三种颜色.再就是用间接法解题过程中’不能准确把握红色卡片至多l张应该怎么分类,从而少减了CiC｜2或
者4Cj~
考点四二项式定理
280。［答案］
C
［解析］
Z余｜≡C;（鳃2）’ˉ′（÷）′二C;2鳃｜oˉ］′’由l0＿3『＝4｀得′二2,所以绷4的系数为C;×22＝40
281［答案］
3
2
3
4
5
［解析］
设（α＋刃）（l＋卯）4≡α0＋αl卯＋α2x＋α3舞＋α4匆
＋α5勿
令鳃＝l ’得（α＋l）×24＝α0＋αl＋α2＋α3＋α4＋α5.O
令厕＝-1 ’得0＝α0ˉαl＋α2—α3＋α4-α5.@
o—@,得16（α＋l）＝2（α］＋α3＋α5）＝2×32,所以α≡3.
282. ［答案］
—40
［解析］
（鳃2—如ˉ2）4＝（卯ˉ2）4（卯＋l ）4,含有躯3的项之和为Cj卯3
. （ˉ2）C!z0l‘＋C;厕2
. （ˉ2）2C』躯. l〕＋
C』“. （ˉ2）3C;鳃2l2＋C!如0
. （ˉ2）4C』”3
. l＝ˉ8虹3＋96虹3ˉl92厕3＋64狐3＝ˉ40腮3,所以厕3的系数为ˉ4O
考点五复数
283. ［答案］
（〕
［解析］
法ˉ;闪为:＝针2!＝（｜!］i「（i｝i｛）＋2〔＝』＋2!二!,所以｜舅｜＝｜』故选c
诱二;阀为舅～针』』二—』刊｜带』）≡带所以｜到ˉ ｜羔｛卜｜｜苛～÷｜故遮‘
.96
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284. ［答案］
D
［解析］古＝毕二←＋』,其共辆复数为÷ˉ＋i,对应的点为（十ˉ÷）’故选『）
285。［答案］
B
7
［解析］
因为台＝
｀
‖
／
■
】
几
＋
】
（
∑
2｛串）二｜十!,所以复数台的共腿复数为］—［,故选＂
吕＝
（1-i）（1＋i）
286。［答案］
2
［解析］
复数z＝兰21＝（1＋2i）（ˉi）＝2ˉi的实部是2
1
考点六台情推理与演绎推理
287。［答案］
D
［解析］
依题意’由于甲看后还是不知道自己的成绩,说明乙｀丙两人必是＿个优秀、-个良好’则甲、丁两人必是
-个优秀、＿个良好,因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩’丁看了甲的成绩就清楚自己的成绩’综合以上
信息可知’乙、丁可以知道自己的成绩,故选D.
考点七两个墓本原理
288. ［答案］
B
［解析］
由题意可知E→F最短路径共有6种走法,F→G最短路径共有3种走法,由乘法计数原理知,共有6×3＝
18种走法,故选R
易错项分析:本题综合考查了分步乘法的知识.本题为20l6年全国Ⅱ卷的改编题,本题的易错点是能否在不遗漏的
情况下正确地运用分类加法或分步乘法的方法解决相关问题’本题易错项是因为遗漏了F点到G点的最短路径的
条数.
考点∧参数方程与极坐标
289. ［解］
（1）由勿＝pcos0’y＝psin0得C2的直角坐标方程为（z＋1）2＋y2≡4.
（2）由（1）知C2是圆心为A（-1’0）,半径为2的圆.
由题设知’Cl是过点B（0’2）且关于γ轴对称的两条射线记γ轴右边的射线为′l ’y轴左边的射线为′2.由于B在
圆C勺的外面’故Cl与C2有且仅有三个公共点等价于′1与C2只有＿个公共点且′呵与C旬有两个公共点,或′呵与
C2只有＿个公共点且′l与C2有两个公共点。
当!』与c,只有＿个…时倒′｜…线的距离为2所以｜7器ˉ2赦腮＝÷…经险验当腮～0
时,』｜与c2没有公共点;当隐＝÷时,′｜与c2只有＿个公共点,′2与c2有胸个公共点
当』』与c』只育ˉ个公共点时倒′』所往直线的距离为』所以涛兰≡2,敬…偷ˉ÷…当腮～0
时’′｜与c2没有公共点;当附＝÷时,′2与c2没有公共点
综上′所求c｜的灯程为γ＝÷｜鲸｜半2
97·
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290［解］
（l）半圆C的极坐标方程为p＝2cos0’即p2＝2pcos0,所以期2＋γ2＝2抛’即（鲍—1）2＋y2＝l（0≤y≤］）.可得
‘愉…为｛忌蒜…
（t为参数’0≤t≤而）
（2）设D（1＋cos‖’sint）’由（l）知,C是以点C（l ,0）为圆心’1为半径的上半圆’因为C在D处的切线与直线!:y＝
伍＋2垂直所以直线cD与直线′的斜率相同｀tan ′＝徊ˉ｀』≡于,故D的直角坐标为（l…÷.爵m÷）,
即（÷,粤）
［评析］
本题主要考查极坐标及参数方程和直线的倾斜角.
（l ）先将半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程,再由半圆C的直角坐标方程得到C的参数方程;
（2）由半圆C在D处的切线与直线′垂直,可得直线CD与直线′平行’即斜率相同,于是可得直线CD的斜率,求得
倾斜角,进而求得D的直角坐标
29L［解］
（｜）曲线c的直角坐标方程为子喘≡［
当cosα≠0时,／的直角坐标方程为y≡tanα。卯＋2—lanα,
当cosα≡0时,′的直角坐标方程为匆≡l
（2）将′的参数方程代人C的直角坐标方程’
整理得关于t的方程（1＋3cos2α）』2＋4（2cosα＋sinα）t-8＝0
因为曲线C截直线』所得线段的中点（l ’2）在C内,
所以O有两个解’设为tl ’t2’则t｜＋t2＝0.
4（2cosα＋sinα）
又由O得tl＋t2≡ˉ
1＋3COS2α
,
故2cosα＋sinα＝0,
于是直线′的斜率∧＝tanα＝—2｀
（D
…｜（｜｜们｛二:臆!!呵融……方翟为奋÷｜左撬…阀川代人…铡…·
得″l＝ˉ2徊
｜罩呻;｛…………｛＝
所以直线AB的参数方程是
（2）设椭圆C的内接矩形的顶点为（2√5bos0’2sin0）
, （ˉ2√可bos0’2sin0）
, （2√5bos0,ˉ2sin0）,（＿2√可bos0
ˉ2爵ln0）（0＜〃＜子）
所以椭圆c的内接矩形的周长为8伍,舅″＋8愚m0≡｜6瓢n（〃十÷）
当0＋÷＝苦时,即0＝÷时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值为l6
。98.
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［评析］
本题主要考查极坐标与参数方程
（!）糯｛｝二删′代人…滥戮‘购直…系方稳确定悠……惨敷方橇′代八椭…阿膘＂
｜FⅦ｜
°
｜FB｜
·
（2）将椭圆C的内接矩形的顶点用极坐标表示出来’得到椭圆C的内接矩形的周长的表达式’即可求出最大值
293. ［解］
（1）直线』的极坐标方程为′sin0＝8,圆C的普通方程为（匆ˉ2）2＋γ2＝4,化为极坐标方程为:p≡4cos0.
（2）山题……擞…』为｛属…颓｛;野～‘
所以｜OP｜≡4cosα, ｜O″｜≡-生
sinα,
从而册—sin…sα
2
,
°n（α＋÷）［ˉc。霞（α带苦）｜
同理｝斜＝
2
所以册~册ˉ愚m…α .in（α＋÷）［ˉc°s（α｛÷）｜
.n凰（2α）
2
2
≡
16
’
故当α＝÷时, ｜｜册｜「册的值最大,该最大值是六
［评析］
本题主要考查极坐标系方程和参数方程.
（1）因为卿≡pcos0’y≡psin0’可得直线和圆的极坐标方程
（2）写出点′〃的极坐标可得｛″′｜, ｜″删｜的值从而可得册~附—苇α利闹＝角圈数的最值可得最大值
是六
…［解｜（｜）州腰…（』ˉ于）＿｜ˉ0,膊′』ˉ…—2…十o,利用仁:;豁!糯岭c化…＊
标方程为绷2＋y2ˉ2厕ˉ2仍ˉl＝0’即得圆C的方程（则＿l）2＋（yˉ徊）2＝5;
仁隐…代人圃铡瘫隐临…—｜）』…）』ˉ’
（2）将
化简为t2ˉ2tcosαˉ4≡0,
｛｜｜揖…
设A、B两点对应的参数分别为tl 、』2,则
所以MB｜＝
｜′! ˉ′2
｜＝√（′｜＋‘2）2ˉ4′!t2＝√4cos2α＋l6＝3√可,
所以…2α-2｀…-弯,α-于或。-乎
（评桐（｜）化简三…利用｛;二簇!!将岭c的…方橇化为直…方橇;
（2）将参数方程代人圆的方程,设A、B两点对应的参数分别为rl ｀′2,利用根与系数的关系与公式｜AB｜＝
｜Ⅱl ˉt2 ｜可
得4cos2α＝2,即可得到α的值
·99。
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295. ［解］
（l）曲线C的普通方程为:（刀ˉ1）2＋y2≡l ,化简得勿2＋y2＝2z’
即p2＝2Pcos0’则曲线C的极坐标方程为:p≡2cos0’
［至争…｛
直线′的参数方程为
（2）设A,B两点对应的参数分别为βl 、‘2,将直线l的参数方程代人鳃2＋γ2＝2匆中,得‘2＋（√5加ˉ何）Ⅱ＋′″2＿2m≡
0’所以』lt2＝m2—2m,
由题意得’ ｜m2-2m｜＝l ,所以′Ⅶ＝l ,1＋√回或lˉ√页
考点九不等式选讲
296. ［解］
（1）当α＝l时,
｜i羔三』~
∧z）≡
可得∧勿）≥0的解集为｛卯｜-2≤如≤3｝
。
（2）／（缅）≤1等价于｜熊＋α｜
＋｜鳃＿2｜≥4.
而｜卯＋α｜＋｜露ˉ2｜≥｜α＋2｜’且当则≡2时等号成立。故∧x）≤1等价于｜α＋2｜≥4
由｜α＋2｜≥4可得α≤-6或α≥2.所以α的取值范围是（—m,—6］□［2,＋西）.
1
-3Z,虹＜ˉ丁,
297｛解］
（｛）∧鳃）＝.獭＋2.ˉ÷≤鳃＜l ,
3卯,冗≥1.
y≡∧匆）的图象如图所示.
γ』‖
＝
■
旧
Ⅲ
■
｝
‖
｜
‖
』
∏
′
团
■
■
■
■
凹
∏
∏
】■司
■■■■
冗
（2）由（1）知,y＝／（z）的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当α≥3且b
≥2时J（绷）≤α鳃＋6在［0,＋助）成立,因此α＋6的最小值为5。
←
【
÷
…
～
锣
中
田
乓
『
孕
l00
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第六章统计＆概率
考点-随机抽样
298。［答案］
C
l
懈析｜麓＂｛‖:二｝构赎…锄…啸喻:…＂阎露＂…卿以÷罕÷断α
而＝他,故选C
∏
299. ［答案］
D
［解析］
无论采取随机抽样还是系统抽样’或者是分层抽样’个体被抽到的概率都相同,因此pl≡p2＝p3.故选D
考点二事件＆概率＆几何模型
300. ［答案］
C
［解析］
不超过30的素数有2,3’5’7’ll ,l3’17,l9,23,29,共l0个’从中随机选取两个不同的数有C｝0种不同的
取法｝遮!0个数中两个不阀的数的慰等于…』对｀所以…率腰～甫～古｀…
301。［答案］
C
［解析］
从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在＿个花坛中’余下的2种花种在另＿个花坛中,共有6种
选法红色和紫色的花不在同＿花坛的有4种选法’根搬占典概型的概率计算公式’所求的概率为÷二÷故选o
302. ［苔案］
B
［解析］
由题意得下图:
｜
｜
｜
｜
｜
7吕50
8吕00
8吕10
8吕20
8:30
由图得等车时间不超过l0分钟的概率为＋
凸
303. ［答案］
B
［解析］
设正方形的边长为2’则正方形的面积为4,正方形的内切圆的半径为1,面积为∏.由于正方形内切圆中
的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,所以黑色部分的面积为÷,故此点取自黑色部分的概率为
∏
÷二÷’故选R
30纵!解］
（l）事件A发生当且仅当＿年内出险次数小于2由所给数据知’拜内出险次数小「2的频率为6揣0
三≡
0°55,
故P（A）的估计值为0.55.
（2）事件B发生当且仅当＿年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,＿年内出险次数大于1且小于4的频率
为3湍0＝α3』故P（B）的估讣值为（13
。l0l
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（3）由所给数据得
2α
l°75α
~~~~~~
0° l0
｜
1.25α
α
（）°25
O15
α
日
〗
］
α
l。5α
保费
0.85α
0.05
气
…
］
○
频率
｜
（）.30
调查的200名续保人的平均保费为（）.85α×0.30＋α×0。25＋l。25α×0. 15＋1. 5α×0. l5＋l。75α×0。10＋2α×
0,05≡l1925α°
因此’续保人本年度平均保费的估计值为1l925α。
305. ［解］
（l）由频率直方图得,最大需求量为l50的频率为0.0l5×20＝（）.3.
这个开学季内市场需求量的x众数的估计值为150;
需求量为［100,l20）的频率＝0.005×20＝0. l
;
需求量为［l20,l40）的频率＝0。0l×20＝0.2;
需求量为［l40, l60）的频率＝0.015×20＝0.3;
需求量为［l60,l80）的频率＝0。0l25×20＝0。25;
需求量为［180’200）的频率＝0.0075×20＝0. l5,
则平均数万＝ll0×0. 1＋l30×0。2＋］50×0.3＋170×0.25＋l90×0. l5＝l53.
（2）因为每售出l盒该产品获利润50元’未售出的产品’每盒亏损30元
所以当l00≤卯≤l60时,y＝50匆＿30×（160-匆）≡80x—4800’
当160＜冗≤2＂时,γ＝l60×50＝8000’
＂以厂｛!腻‖婴蒜｜6α
（3）因为利润不少于4800元所以解得80躯-4800≥4800,解得卿≥l20’
所以由（1）知利润不少于4800的概率p≡l—0. 1＝0.9.
［评析］
（1）以各组的中间值为各组需求量的代表值,计算出各组的频率为概率’频率最大对应的需求量即为需求
量的众数,各组代表需求量与对应频率乘积的和就是需求量的平均数
（2）由已知条件推导出当l00≤z≤l60时,y＝50卯—30×（l60—知）＝80勿ˉ4800当l60＜匆≤200时,y＝l6（）×
50＝8000°
（3）根据（2）中利润与需求量的关系式’令y≥4800,列出关于需求量的不等式,求出需求量卯的取值范围,再根据题
中的频率分布表计算出对应的概率。
考点三随机变量及旦分布
306. ［答案］
A
［解析］
根据题意得E（省《）＝′′ ,D（彦′）＝′》′（［ˉ′》′）｀』≡｜,2,因为0＜′｜＜p2＜＋｀所以E（皆! ）＜圆（皆』）令′（x）＝
”（］—鲸）,侧M颠）在（0｀＋）上单调递增,所以j（′｜）≤∧p2）,即D（皆｜）＜〃（岛）｀故选A
307。［解］
（l）记事件A;“甲第＿轮猜对,, ,记事件B:“乙第＿轮猜对
记事件C: ‘‘甲第二轮猜对,, ,记事件D:“乙第二轮猜对”,
记事件E:“‘星队!至少猜对3个成语”.
由题意,E≡ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD.
由事件的独立性与互斥性,得
· l02
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P（E）＝P（ABCD）＋P（ABCD）＋P（ABCD）＋′〕（ABCD）＋P（ABCD）
＝P（A）P（B）P（C）P（D）＋P（A）P（B）P（C）P（D）＋P（A）′〕（B）P（C）P（D）
P（A）P（B）P（C）′〕（D）
~
＋P（A）P（B）P（C）P（D）＋
∑
—
〕
~~
）
〗
—
〕
×
〕
＿
斗
×
］
—
〕
×
〕
—
↓
＋
〗
—
］
×
〕
—
斗
×
∑
—
〕
×
］
—
斗
（
×
勺
～
＋
∑
—
］
×
〕
—
斗
×
∑
—
］
×
〕
—
↓
~~
勺
所以‘‘星队,,至少猜对3个成语的概率为÷
（2）由题意,随机变量X可能的取值为0’1 ,2,3,4,6
由事件的独立性与互斥性,得
巾
巧
—
叫
~~
∑
—
〕
×
】
—
斗
×
∑
—
］
×
］
—
斗
＋
］
—
〕
×
日
—
旭
］
—
斗
~~
＂
—
叫
∑
尹
~~
×
）
］
—
〕
］
—
▲
×
＋
］
—
▲
∑
—
〕
×
×
∑
—
臼
］
—
▲
×
×
］
＿
斗
］
—
〕
＋
×
’
］
—
叫
】
—
〕
〕
—
斗
ˉ
＿
×
＋
］
］
］
—
斗
］
—
〕
×
×
×
］
—
』
］
—
〕
〕
—
斗
×
×
×
］
—
〕
〕
斗
］
—
〕
×
／
＼
×
］
—
斗
×
〕
—
斗
∑
~
~
~
~
~
~
）
）
）
○
］
∑
~
~
~
~
~
~
Ⅺ
Ⅺ
Ⅺ
（
（
（
〕
尸
尸
尸
’
日
—
皿
~~
【
—
皿
印
—
叫
~
~
~
~
品
争
＿
ˉ
×
∑
—
〕
】
—
斗
×
×
〕
—
斗
∑
—
］
×
×
］
—
牛
】
—
〕
〕
—
↓
×
＋
＿
ˉ
］
—
斗
］
—
〕
％
—
叫
＋
×
一
＝
］
—
〕
］
—
斗
∑
—
〕
×
×
×
】
—
』
〗
—
〕
〕
—
斗
×
×
×
已
—
〕
〕
—
斗
∑
—
〕
×
／
＼
×
〕
—
斗
×
〕
—
▲
∑
~
~
~
~
~
~
）
）
）
〕
斗
β
~
~
~
~
~
~
Ⅱ
Ⅺ
Ⅱ
／
『
＼
（
（
尸
尸
尸
可得随机变量X的分布列为
∑
…
巧
—
叫
］
尸
〕
—
沤
‖
＿
］
—
叫
Ⅺ
罢
尸
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
3
1
l2
4
5
l2
◎
＿
］
—
斗
所以数学期望圆（x）＝0×～｜×≡2×备3×古…÷6×＋＝曾
144
72
［解］
（l）由已知,有P（A）＝C』C』＋C;
l
C2
＝
3
°
l0
所以事件A发生的概率为÷
（2）随机变量X的所有可能取值为0,l ,2.
C;＋C;＋C;
4
P（X≡0）＝
∩
＝
C垒
15,
10
C』C』＋C』C』
7
P（X＝l）＝
＝
C｝0
15
’
308
P（X＝2）＝虫ˉ土
C↑0
l5~
所以’随机变量X的分布列为
随机变量x的数学期望圆（Ⅱ）＝0×÷｜×÷2×告＝l
。103·
∑
一
』
—
归
］
丁
—
旧
◎
斗
—
归
Ⅺ
尸
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309. ［解］
（1）设“这4人中恰有t人抽到500元代金券”为事件At
’
卫
—
刚
）
∑
—
〕
（
）
］
—
〕
（
〔
∧
尸
（2）易知占可取0’3’4
P（皆二0）＝P（A0）＋P（川则）＝C』（＋）o（÷「＋ci（＋「（÷）o＝肾＋古二爵;
P（曹＝3）二P（A｜）＋P（川』）＝c』（÷）｜（÷）』带c』（＋）』（÷）｜＝器＋箭＝耕;
勺
勺
P（皆＝4）＝P（‖2）＝Ci（＋「（÷）二耕＝÷
所以苫的分布列为
4
句
〕
0
f
8
77
▲~′
40~
8l
l7~
81
P
圃（‘）＝0×爵＋3×升4×:＝÷
［评析］
本题主要考查事件与概率和随机变量及其分布.
（l）四人中＿人抽到500元代金券的概率用二项分布即可.
（2）因为f＝XY,所以‘可取0,3’4,分别计算P（f＝0）’P（f＝3）,P（f≡4）,并列出‘的分布列即可
310. ［解］
（1）由题意知,样本中电影的总部数是l40＋50＋3（）0＋20O＋800＋510＝2000,第四类电影中获得好评的电
影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为揣＝α02虱
（2）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”’事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好
评,, 。
故所求概率为P（AB＋AB）≡P（AB）＋P（IB）
＝P（A）（1＿P（B））＋（I-P（A））P（B）.
由题意知:P（A）估计为0。25,P（B）估计为0。2.
故所求概率估计为0。25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.
（3）Dfl＞贴4＞Df2＝Df5＞Df3＞贴6.
考点四统计案例
311· ［解］
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数盂和样本方差s2分别为万＝l70×0.02＋180×0。09＋190×0.22＋
200×0.33＋2l0×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200,‘2＝（—30）2×0.02＋（-20）2×0。09＋（-l0）2×0.22＋0
×0·33＋102×0·24＋202×0°08＋302×0·02≡l50°
（2）（
l ）由（1）知Z～／V（200’l50）’从而P（l87.8＜Z＜2l2。2）＝P（2＂-12.2＜Z＜200＋12。2）＝0.6827;
（ll）由（
l ）知,一件产品的质量指标值位于区间（187.8,2l2。2）的概率为0.6827’依题意得X～B（l00,0.6827）
’
所以E（X）＝l00×0.6827≡68.27。
［评析］
本题主要考查频数分布直方图、数字特征以及正态分布.
（l）根据频数分布直方图可求得平均数卯和样本方差s2;
（2）（
l ）由（l）知Z～Ⅳ（200’150）,根据所给数据即可求得概率;
（
ll ）依题意得X＝B（l＂’0.6827）’然后根据正态分布特征求得E（X）即可。
l04·
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