文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
绝密☆启用前 试卷类型：A
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共4 页，22 小题，满分150 分.考试用时120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右
上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合
后可求
.
详解】
，故
，
故选：D
2. 若
，则
（ ）
A.
B.
C. 1
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法可求
，从而可求
.
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【详解】由题设有
，故
，故
，
故选：D
3. 在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
．
故选：B．
4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为
；水位为海拔
时，相应水面的面积为
，将该
水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
上升到
时，增加的水量约
为（
）（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为
(m)，所以增加的水量即为棱台的体积
．
棱台上底面积
，下底面积
，
∴
．
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故选：C．
5. 从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，共有
种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：
，共7 种，
故所求概率
.
故选：D.
6. 记函数
的最小正周期为T．若
，且
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A. 1
B.
C.
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
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【详解】由函数的最小正周期T 满足
，得
，解得
，
又因为函数图象关于点
对称，所以
，且
，
所以
，所以
，
，
所以
.
故选：A
7. 设
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数
， 导数判断其单调性，由此确定
大小.
【详解】设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
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令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且
，则该正
四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正四棱锥的高为
，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正
四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵ 球的体积为
，所以球的半径
,
设正四棱锥的底面边长为
，高为
，
则
，
,
所以
，
所以正四棱锥的体积
，
所以
，
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当
时，
，当
时，
，
所以当
时，正四棱锥的体积
取最大值，最大值为
，
又
时，
，
时，
,
所以正四棱锥的体积
的最小值为
，
所以该正四棱锥体积的取值范围是
.
故选：C.
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9. 已知正方体
，则（ ）
A. 直线
与
所成的角为
B. 直线
与
所成的角为
C. 直线
与平面
所成的角为
D. 直线
与平面ABCD 所成的角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接
、
，因为
，所以直线
与
所成的角即为直线
与
所
成的角，
因为四边形
为正方形，则
，故直线
与
所成的角为
，A 正确；
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连接
，因为
平面
，
平面
，则
，
因为
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故B 正确；
连接
，设
，连接
，
因为
平面
，
平面
，则
，
因为
，
，所以
平面
，
所以
为直线
与平面
所成的角，
设正方体棱长为，则
，
，
，
所以，直线
与平面
所成的角为
，故C 错误；
因为
平面
，所以
为直线
与平面
所成的角，易得
，故D 正
确.
故选：ABD
10. 已知函数
，则（ ）
A.
有两个极值点
B.
有三个零点
C. 点
是曲线
的对称中心
D. 直线
是曲线
的切线
【答案】AC
【解析】
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【分析】利用极值点的定义可判断A，结合
的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题，
，令
得
或
，
令
得
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
所以
是极值点，故A 正确；
因
，
，
，
所以，函数
在
上有一个零点，
当
时，
，即函数
在
上无零点，
综上所述，函数
有一个零点，故B 错误；
令
，该函数的定义域为
，
，
则
是奇函数，
是
的对称中心，
将
的图象向上移动一个单位得到
的图象，
所以点
是曲线
的对称中心，故C 正确；
令
，可得
，又
，
当切点为
时，切线方程为
，当切点为
时，切线方程为
，
故D 错误.
故选：AC
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11. 已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交C 于P，Q 两
点，则（ ）
A. C 的准线为
B. 直线AB 与C 相切
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可
判断C、D.
【详解】将点
的代入抛物线方程得
，所以抛物线方程为
，故准线方程为
，A 错误；
，所以直线
的方程为
，
联立
，可得
，解得
，故B 正确；
设过
的直线为，若直线与
轴重合，则直线与抛物线
只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为
，
，
联立
，得
，
所以
，所以
或
，
，
又
，
，
所以
，故C 正确；
因为
，
，
所以
，而
，故D 正确.
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故选：BCD
12. 已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶
函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可
得解.
【详解】因为
，
均为偶函数，
所以
即
，
，
所以
，
，则
，故C 正确；
函数
，
的图象分别关于直线
对称，
又
，且函数
可导，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象
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间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13.
的展开式中
的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【解析】
【分析】
可化为
，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为
，
所以
的展开式中含
的项为
，
的展开式中
的系数为-28
故答案为：-28
14. 写出与圆
和
都相切的一条直线的方程________________．
【答案】
或
或
【解析】
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】圆
的圆心为
，半径为，圆
的圆心
为
，半径
为
，
两圆圆心距为
，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l 时，因为
，所以
，设方程为
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O 到l 的距离
，解得
，所以l 的方程为
，
当切线为m 时，设直线方程为
，其中
，
，
由题意
，解得
，
当切线为n 时，易知切线方程为
，
故答案为：
或
或
.
15. 若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】设出切点横坐标
，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于
的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得
的取值范围.
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【详解】∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,
整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,
故答案为：
16. 已知椭圆
，C 的上顶点为A，两个焦点为
，
，离心率为
．过
且垂
直于
的直线与C 交于D，E 两点，
，则
的周长是________________．
【答案】13
【解析】
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为
，根据离心率得到直线
的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线
的斜率，写出直线
的方程：
，代入
椭圆方程
，整理化简得到：
，利用弦长公式求得
，得
，根据对称性将
的周长转化为
的周长，利用椭圆的定义得到周长为
.
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【详解】∵椭圆的离心率为
，∴
，∴
，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为
，右焦点为
，如图所示，∵
，∴
，∴
为正三角形，∵过
且垂直于
的直线与C
交于D，E 两点，
为线段
的垂直平分线，∴直线
的斜率为
，斜率倒数为
， 直线
的方程：
，代入椭圆方程
，整理化简得到：
，
判别式
，
∴
，
∴
， 得
，
∵
为线段
的垂直平分线，根据对称性，
，∴
的周长等于
的周长，利用椭圆的定义得到
周长为
.
故答案为：13.
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四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
（1）求
的通项公式；
（2）证明：
．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得
，得到
，利用和与
项的关系得到当
时，
,进而得：
，利用累乘法
求得
，检验对于
也成立，得到
的通项公式
；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到
，进而证得.
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【小问1 详解】
∵
，∴
,∴
,
又∵
是公差为
的等差数列，
∴
,∴
,
∴当
时，
，
∴
,
整理得：
,
即
,
∴
，
显然对于
也成立，
∴
的通项公式
；
【小问2 详解】
∴
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18. 记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）若
，求B；
（2）求
的最小值．
【答案】（1）
；
（2）
．
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将
化成
，
再结合
，即可求出；
（2）由（1）知，
，
，再利用正弦定理以及二倍角公式将
化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【小问1 详解】
因为
，即
，
而
，所以
；
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【小问2 详解】
由（1）知，
，所以
，
而
，
所以
，即有
．
所以
．
当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
．
19. 如图，直三棱柱
的体积为4，
的面积为
．
（1）求A 到平面
的距离；
（2）设D 为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的正弦值．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得
平面
，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1 详解】
在直三棱柱
中，设点A 到平面
的距离为h，
则
，
解得
，
所以点A 到平面
的距离为
；
【小问2 详解】
取
的中点E,连接AE,如图，因为
，所以
,
又平面
平面
，平面
平面
，
且
平面
，所以
平面
，
在直三棱柱
中，
平面
，
由
平面
，
平面
可得
，
，
又
平面
且相交，所以
平面
，
所以
两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
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由（1）得
，所以
，
，所以
，
则
,所以
的中点
，
则
，
,
设平面
的一个法向量
，则
，
可取
，
设平面
的一个法向量
，则
，
可取
，
则
，
所以二面角
的正弦值为
.
20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两
类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机
调查了100 人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好
良好
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病例组
40
60
对照组
10
90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该
疾病”．
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）利用该调查数据，给出
的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．
附
，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析；(ii)
；
【解析】
【分析】(1)由所给数据结合公式求出
的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为
患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；
(ii)根据（i）结合已知数据求
.
【小问1 详解】
由已知
，
又
，
，
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所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
【小问2 详解】
(i)因为
，
所以
所以
，
(ii)
由已知
，
，
又
，
，
所以
21. 已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于P，Q 两点，直线
的斜率
之和为0．
（1）求l 的斜率；
（2）若
，求
的面积．
【答案】（1）
；
（2）
．
【解析】
【分析】（1）由点
在双曲线上可求出
，易知直线l 的斜率存在，设
，
，再根据
，即可解出l 的斜率；
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（2）根据直线
的斜率之和为0 可知直线
的倾斜角互补，再根据
即可
求出直线
的斜率，再分别联立直线
与双曲线方程求出点
的坐标，即可得到直线
的方程以及
的长，由点到直线的距离公式求出点
到直线
的距离，即可得出
的面积．
【小问1 详解】
因为点
在双曲线
上，所以
，解得
，即双曲线
易知直线l 的斜率存在，设
，
，
联立
可得，
，
所以，
，
．
所以由
可得，
，
即
，
即
，
所以
，
化简得，
，即
，
所以
或
，
当
时，直线
过点
，与题意不符，舍去，
故
．
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【小问2 详解】
不妨设直线
的倾斜角为
，因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
即
，解得
，
于是，直线
，直线
，
联立
可得，
，
因为方程有一个根为
，所以
，
，
同理可得，
，
．
所以
，
，
点
到直线
的距离
，
故
的面积为
．
22. 已知函数
和
有相同
最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等差数列．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
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【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨
论.
（2）根据（1）可得当
时，
的解的个数、
的解的个数均为2，构建新函数
，利用导数可得该函数只有一个零点且可得
的大小关系，根据存在直线
与曲线
、
有三个不同的交点可得
的取值，再根据两类方程的根的关系可证明
三根成等差数列.
【小问1 详解】
的定义域为
，而
，
若
，则
，此时
无最小值，故
.
的定义域为
，而
.
当
时，
，故
在
上为减函数，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
.
当
时，
，故
在
上为减函数，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
.
因为
和
有相同的最小值，
故
，整理得到
，其中
，
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设
，则
，
故
为
上的减函数，而
，
故
的唯一解为
，故
的解为
.
综上，
.
【小问2 详解】
由（1）可得
和
的最小值为
.
当
时，考虑
的解的个数、
的解的个数.
设
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以
，
而
，
，
设
，其中
，则
，
故
在
上为增函数，故
，
故
，故
有两个不同的零点，即
的解的个数为2.
设
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
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所以
，
而
，
，
有两个不同的零点即
的解的个数为2.
当
，由（1）讨论可得
、
仅有一个零点，
当
时，由（1）讨论可得
、
均无零点，
故若存在直线
与曲线
、
有三个不同的交点，
则
.
设
，其中
，故
，
设
，
，则
，
故
在
上为增函数，故
即
，
所以
，所以
在
上为增函数，
而
，
，
故
在
上有且只有一个零点
，
且：
当
时，
即
即
，
当
时，
即
即
，
因此若存在直线
与曲线
、
有三个不同
交点，
故
，
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此时
有两个不同的零点
，
此时
有两个不同的零点
，
故
，
，
，
所以
即
即
，
故
为方程
的解，同理
也为方程
的解
又
可化为
即
即
，
故
为方程
的解，同理
也为方程
的解，
所以
，而
，
故
即
.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，
而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
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