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专题九
解析几何
第二十九讲
曲线与方程
2019 年
1.（2019
8
北京理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
C x
:
2 + y
2
= +
1
x y就
是其中之一（如图）。给出下列三个结论：
①曲线
C
恰好经过
个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
6
②曲线
C 上任意一点到原点的距离都不超过
2 ;
③曲线
C
所围城的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
（
（）②
A）①
B
（）①②
（）①②③
C
D
2．（2019 浙江15）已知椭圆
2
2
1
9
5
x
y
+
= 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，
若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.
3．（
江苏
）
2019
17
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
的焦
点为F1（– 、
1 0），F2
（，
1 0）．过F2
作
轴的垂线
轴的上方，
x
l，在x
l
F
与圆
2:
2
2
2
(
1)
4
x
y
a
−
+
=
交于点
，与椭圆
交于点
A
C
D.连结AF1
并延长交圆F2
于点
，连结
B
BF2
交椭圆C 于点E，
连结DF1
．已知DF1= 5
2
．
（）求椭圆
的标准方程；
1
C
（）求点
的坐标．
2
E
4.（2019 全国III 理21（1））已知曲线C：y=
2
2
x ，D 为直线y=
1
2
−
上的动点，过D 作C
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的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E(0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE
的面积.
5.（2019 北京理18）已知抛物线
2
:
2
C x
py
= −
经过点
，
(2
-1).
(I) 求抛物线
的方程及其准线方程；
C
(II)
设
为原点，过抛物线
的焦点作斜率不为
的直线交抛物线
于两点
，
O
C
0
l
C
M
N，
直线y=-1 分别交直线
，
和点
，求证：以
为直径的圆经过
轴上的两上
OM
ON 于点A
B
AB
y
定点.
6.（2019全国II 理21）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M x( ,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积
为−1
2
.记M 的轨迹为曲线C.
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连结
QE 并延长交C 于点G.
（i）证明：
PQG
△
是直角三角形；
（ii）求
PQG
△
面积的最大值.
7.
2019
（
浙江21）如图，已知点
(10)
F ，为抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
的焦点，过点
的直线
F
交抛物线于
、
两点，点
在抛物线上，使得
A
B
C
ABC
△
的重心
在
轴上，直线
交
G
x
AC
x
轴于点Q，且
在点
记
Q
F 右侧.
,
AFG
CQG
△
△
的面积为
1
2
,
S S .
（）求
的值及抛物线的准线方程；
1
p
（）求
2
1
2
S
S
的最小值及此时点
的坐标
G
.
8.（
理
）设椭圆
2019 天津
18
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
的左焦点
为F ，上顶点为B
.已知椭圆的短轴长为，离心率为
4
5
5
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N
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在y 轴的负半轴上.若
|
| |
|
ON
OF
=
（O 为原点），且
OP
MN
⊥
，求直线PB 的斜率.
2010-2018
年
解答题
1．（
江苏）如图，在平面直角坐标系
2018
xOy 中，椭圆C 过点
1
( 3, )
2
，焦点
1
2
(
3,0),
( 3,0)
F
F
−
，圆O 的直径为
1
2
F F ．
y
x
O
F2
F1
(1)求椭圆C 及圆O 的方程；
(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C交于
,
A B 两点．若
OAB
△
的面积为2 6
7
，求直线l 的方程．
2
2017
．（
新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：
2
2
1
2
x
y
+
=
上，过M 做x 轴的
垂线，垂足为N ，点P 满足
2
NP
NM
=
．
（）求点
1
P 的轨迹方程；
（）设点
2
Q 在直线
3
x = −
上，且
1
OP PQ
=
．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过
C 的左焦点F ．
3．(2016 年山东)平面直角坐标系xOy
中，椭圆
：
C
(
)
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
＞＞
的离心率是
3
2
，
抛物线E：
2
2
x
y
=
的焦点
是
的一个顶点
F
C
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
C
（Ⅱ
是
上的动点，且位于第一象限，
）设P
E
E
P
在点
处的切线l
与
交与不同的两点
C
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A
B
，，线段
的中点为
AB
D，直线
且垂直于
轴的直线交于点
．
OD 与过P
x
M
（）求证：点
在定直线上；
i
M
（）直线
ii
l
与
轴交于点
y
G，记
PFG
△
的面积为
1
S ，
PDM
△
的面积为
2
S ，
求
1
2
S
S
的最大值及取得最大值时点
的坐标．
P
4
(2016
．
年天津)设椭圆
1
3
2
2
2
=
+ y
a
x
(
3)
a
的右焦点为F ，右顶点为A，已知
|
|
3
|
|
1
|
|
1
FA
e
OA
OF
=
+
，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．
（）求椭圆的方程；
Ⅰ
（）设过点
Ⅱ
A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点
M ，与y 轴交于点H ，若
HF
BF ⊥
，且
MOA
MAO
≤
，求直线l 的斜率
的取值范围．
5
(2016
．
年全国II)已知椭圆
:
E
2
2
1
3
x
y
t +
= 的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为
(
0)
k k
的直线交E 于,
A M 两点，点N 在E 上，
MA
NA
⊥
．
（Ⅰ）当
4,|
| |
|
t
AM
AN
=
=
时，求AMN
的面积；
（Ⅱ）当
2 AM
AN
=
时，求k 的取值范围．
6．（
）一种作图工具如图
所示．
2015 湖北
1
O是滑槽AB
的中点，短杆
转动，
ON 可绕O
长杆
处铰链与
连接，
MN 通过N
ON
MN 上的栓子
滑槽
D 可沿
AB 滑动，且
1
DN
ON
=
= ，
3
MN =
．当
内作往复运动时，
栓子D 在滑槽AB
带动
．． N 绕O
转动一周（D 不动时，N
也不动），
处的笔尖画出的曲线记为
M
C．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如
图
所示的平面直角坐标系．
2
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（Ⅰ）求曲线
的方程；
C
（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1
:
2
0
l
x
y
−
=
和
2
:
2
0
l
x
y
+
= 分别交于,
P Q 两点．若直线l
总与曲线C
有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若
存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
7
5
．（201 江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆
(
)
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
的离心
率为2
2
，且右焦点F 到左准线l
的距离为．
3
（）求椭圆的标准方程；
1
（）过
2
F 的直线与椭圆交于,
A B 两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l 和AB 于
点,
P C ，若
2
PC
AB
=
，求直线AB 的方程．
8
2015
．（
四川）如图，椭圆E ：
2
2
2
2
+
1(
0)
x
y
a
b
a
b
=
的离心率是2
2
，过点(0,1)
P
的动
直线l 与椭圆相交于,
A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长
为2 2 ．
（）求椭圆
1
E 的方程；
（）在平面直角坐标系
2
xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得
QA
PA
QB
PB
=
恒
成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
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9
2015
．（
北京）已知椭圆C ：
(
)
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
的离心率为2
2 ，点
(
)
0 1
P
，
和点
(
)
A m
n
，
(
)
0
m≠
都在椭圆C 上，直线PA交x 轴于点M ．
（）求椭圆
Ⅰ
C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；
（）设
Ⅱ
O为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是
否存在点Q，使得
OQM
ONQ
=
？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明
理由．
10．（ 2015 浙江）已知椭圆
2
2
1
2
x
y
+
=
上两个不同的点,
A B 关于直线
1
2
y
mx
=
+
对称．
（Ⅰ）求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）求AOB
面积的最大值（O 为坐标原点）．
11．（2014 广东）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
的一个焦点为 ( 5,0) ，离心率为5
3
，
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
C
（Ⅱ）若动点
0
0
(
,
)
P x
y
为椭圆外一点，且点
到椭圆
的两条切线相互垂直，求点
P
C
P
的轨迹方程．
12．（ 2014 辽宁）圆
2
2
4
x
y
+
=
的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该
三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线
2
2
1
2
2
:
1
x
y
C
a
b
−
= 过点P 且离心率为3 ．
（）求
1
1
C 的方程；
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（）椭圆
2
2
C 过点P 且与
1
C 有相同的焦点，直线l 过
2
C 的右焦点且与
2
C 交于A，B 两
点，若以线段AB为直径的圆心过点P ，求l 的方程．
x
P
O
y
13．
（2013 四川）已知椭圆
：
C
)
0
(1
2
2
2
2
=
+
b
a
b
y
a
x
的两个焦点分别为
1
( 1 0)
F −，，2
1 0
F（，），
且椭圆
经过点
C
）
，3
1
3
4
(
P
．
（Ⅰ）求椭圆
的离心率
C
（Ⅱ）设过点
）
，
（2
0
A
的直线l
与椭圆
，
两点，点
是
上的点，且
C 交于M
N
Q
MN
2
2
2
1
1
2
AN
AM
AQ
+
=
，求点
的轨迹方程．
Q
14．（2012 湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线
1
C 的点均在
2
C ：
2
2
(
5)
9
x
y
−
+
=
外，且对
1
C
上任意一点M ，M 到直线
2
x = −的距离等于该点与圆
2
C 上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线
1
C 的方程；
（Ⅱ）设
0
0
(
,
)
P x
y
（
3
y ）为圆
2
C 外一点，过P 作圆
2
C 的两条切线，分别与曲线
1
C
相交于点
，
A
B
C
和
，D.证明：当P 在直线
4
x = −
上运动时，四点
，
A
B，C，
D 的纵坐标之积为定值．
15．（ 2011 天津）在平面直角坐标系xOy 中，点
( , )
P a b
(
0)
a
b
为动点，
1
2
,
F F 分别为
椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= 的左右焦点．已知△
1
2
F PF 为等腰三角形．
（）求椭圆的离心率
Ⅰ
e ；
（）设直线
Ⅱ
2
PF 与椭圆相交于,
A B 两点，M 是直线
2
PF 上的点，满足
2
AM BM
= −
，
求点M 的轨迹方程．
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16．（2009 广东）已知曲线
2
:
C y
x
=
与直线
:
2
0
l x
y
−
+
=
交于两点
(
,
)
A
A
A x
y
和
(
,
)
B
B
B x
y
，且
A
B
x
x
．记曲线C 在点A和点B 之间那一段L 与线段AB所围成的平
面区域（含边界）为D ．设点
( , )
P s t
是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．
（）
1
若点Q 是线段AB的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；
（）若曲线
2
2
2
2
51
:
2
4
0
25
G x
ax
y
y
a
−
+
−
+
+
=
与D 有公共点，试求a 的最小值．
