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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题43 平面解析几何第三缉
1．【2016 年安徽预赛】已知抛物线C 以椭圆E 的中心为焦点，抛物线C 经过椭圆E 的两个焦点，且与椭
圆E 恰有三个交点.则椭圆E 的离心率为________.
2．【2016 年天津预赛】椭圆x
2+k y
2=1与双曲线x
2
4 - y
2
5 =1有相同的准线.则k=______.
3．【2016 年山西预赛】若椭圆两准线之间的距离为两焦点之间距离的两倍，则其离心率e=__________.
4．【2016 年全国】已知双曲线C：x
2- y
2
3 =1，左、右焦点分别为F1、F2.过点F2作一直线与双曲线C 的
右半支交于点P、Q，使得∠F1 PQ =90°.则△F1 PQ的内切圆半径为________.
5．【2016 年上海预赛】已知线段AB、CD 的长分别为a、b(a、b>0)。若线段AB、CD 分别在x 轴、y 轴
上滑动，且使得A、B、C、D 四点共圆，则这些圆的圆心轨迹方程为_____________。
6．【2016 年浙江预赛】在ΔABC中，∠B = π
4 ，∠C = 5 π
12 ，AC =2❑√6，AC的中点为D。若长度为3
的线段PQ（点P在点Q的左侧）在直线BC上滑动，则AP+ DQ的最小值为__________。
7 ．【2016 年新疆预赛】在△ABC中，∠C =90°，∠B =30°，AC =1，M 为AB的中点. 将
△ACM 沿CM折起，使A 、B两点间的距离为❑√2. 则点A到平面BCM的距离为______.
8．【2016 年辽宁预赛】如图,在△ABC 中, cos C
2 = 2❑√5
5
,⃑AH ⋅⃑BC =0,⃑AB⋅(⃑CA +⃑CB)=0则过点C 且以
A、H 为两焦点的双曲线的离心率为______.
9．【2016 年湖北预赛】已知△ABC 为等边三角形，椭圆Γ的一个焦点为A，另一个焦点F 在线段BC 上．
若椭圆Γ恰经过B、C 两点，则它的离心率为________.
10．【2016 年河南预赛】已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2
，过点F1
作圆
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x
2+ y
2=a
2的切线，与双曲线的右支交于点P，且∠F1 P F2= 45
∘。则双曲线的离心率为________________。
11．【2016 年甘肃预赛】已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>1,b>0)的焦距为2c，直线l 过点（a，0）、（b，
0），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s≥4
5 c.则双曲线离心率e 的取值范围
是__________.
12．【2016 高中数学联赛（第01 试）】双曲线C 的方程为x
2- y
2
3 =1，左、右焦点分别为F1, F2.过点F2
作一直线与双曲线C 的右半支交于点P、Q，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ 的内切圆半径是
.
13 ．【2015 年浙江预赛】已知点A (3,1)，F为抛物线y
2=5 x的焦点，M为抛物线上的动点. 当
|MA|+|MF|取最小值，点M的坐标为______.
14．【2015 年上海预赛】在直角坐标平面xOy 上，⊙O：x
2+ y
2=1，⊙O1：(x -3)
2+ y
2= 4.过x 轴的左半
轴上一点M 作⊙O 的切线，与⊙O 切于点A，与⊙O1 分别交于点B、C.若AB = BC，则点M 的坐标为
________.
15．【2015 年上海预赛】设点A(2，0)，B 为椭圆弧x
2
4 + y
2
3 =1(x>0, y >0)上一点，过点B 作y 轴的垂线，
垂足为C．则四边形OABC 面积的最大值为 ______.
16．【2015 年上海预赛】已知椭圆域D1：x
2
3 + y
2
2 ≤1 与圆域D2：x
2+ y
2≤2.5.则区域D1与D2公共部分的
面积为______（精确到0.01），注：可用结果：在椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)中，B 为上顶点，P（x0，y0）
为椭圆第一象限部分上一点，则S扇形OBP= ab
2 arcsin x0
a
.
17．【2015 年天津预赛】设O为原点，A为抛物线x = 1
4 y
2+1上的动点，B为抛物线y = x
2+ 4上的动点.则
ΔOAB面积的最小值为__________.
18．【2015 年安徽预赛】给定定点P(0,1)，动点Q满足线段PQ的垂直平分线与抛物线y = x
2相切.则点Q的
轨迹方程为______.
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19．【2015 年陕西预赛】如图，以双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a 、b>0)上一点M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲
线的一个焦点F，且与y轴交于P、Q两点.若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率为______.
20．【2015 年山西预赛】设椭圆x
2
a
2 + y
2
b2
=1(a>b>0)的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形三顶点.若
焦点到椭圆上的点的最短距离为❑√3，则(a,b)=________.
21．【2015 年辽宁预赛】设F1、F2为椭圆C 的两个焦点,AB为椭圆一条过点F2的弦,且在△FAB中,
|F1 A|=3,|AB|= 4 ,|B F1|=5.则tan ∠F2 F1B =______.
22．【2015 年江西预赛】设直线l过点M (1,2).若直线l被两平行线4 x +3 y +1=0与4 x +3 y +6=0所截得
的线段长为❑√2，则直线l的方程为________。
23．【2015 年江苏预赛】设以F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点的椭圆的离心率为e,以F1
为顶点、F2
为焦点的抛
物线与椭圆的一个交点为P，若|P F1|
|P F2|
=e，则e 的值为________.
24．【2015 年湖南预赛】设直线系
：
，对于下列四个命题：
①
中所有直线均经过一个定点；
②存在定点
不在
中的任一条直线上；
③对于任意整数
，存在正
边形，其所有边均在
中的直线上；
④
中的直线所能围成的正三角形面积都相等
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其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代号）
25．【2015 年湖北预赛】已知
是椭圆
的两个焦点，A、B 分别为该椭圆的左顶点、上顶
点，点P 在线段AB 上，则
的取值范围是 ________.
26．【2015 年黑龙江预赛】
为双曲线
右支上一点，
、
分别是圆
和
上的点，则
的最大值为________．
27．【2015 年河南预赛】设双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>1,b>1）的焦距为2c，直线l过点 (a,0)(0,b) ，且点
（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离和S≥4 c
5
. 则双曲线的离心率e 的取值范围是
__________.
28．【2015 年甘肃预赛】设双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,A 为双曲线渐近线上
的一点,A F2⊥F1 F2,原点O 到直线AF1的距离为1
3|O F1|.则双曲线的离心率为______.
29．【2015 年福建预赛】设F1、F2
为椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点.若椭圆C上存在一点P，
使得P F1⊥P F2，则椭圆离心率e的取值范围是__________.
30．【2015 高中数学联赛（第01 试）】在平面直角坐标系xOy 中，点集K=
{( x , y)|(| x|+|3 y |-6)(|3 x|+| y |-6)≤0}所对应的平面区域的面积为
.
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