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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题27 数列第三缉
1．【2016 年新疆预赛】设数列{an}满足(2-an+1)(4+an)=8(n≥1),且a1=2.则1
a1
+ 1
a2
+...+ 1
an
= ______.
2．【2016 年山西预赛】设集合A =¿,若将集合A ∩B的元素按自小到大的顺序排成一个数列{ak}，则数列
{ak}的通项公式ak
＝__________.
3．【2016 年山西预赛】设ak =
2
k
3
2k +1
(k ∈N )，令A =a0+a1+⋯a9 ，B =a0a1⋯a9
.则A
B =__________.
4 ．【2016 年全国】设a1、a2、a3、a4为1 ，2 ，… ，100 中的四个互不相同的数，满足
(a1
2+a2
2+a3
2)(a2
2+a3
2+a4
2)=(a1a2+a2a3+a3a4)
2.则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为________.
5．【2016 年吉林预赛】在公差不为0 的等差数列{an}中，a4=10，且a3、a6、a10
成等比数列．则数列
{an}的通项公式为________.
6．【2016 年吉林预赛】在公差不为0 的等差数列{an}中，a4=10，且a3、a6、a10
成等比数列．则数列
{an}的通项公式为________.
7 ．【2016 年上海预赛】数列{xn}定义如下:x1= 2
3 , xn+1=
xn
2(2n+1) xn+1 (n∈Z+)，则
x1+ x2+⋅⋅⋅+ x2014=___________。
8 ．【2016 年上海预赛】设a1,a2,⋅⋅⋅+a2014为正整数1 ，2 ，··· ，2014 的一个排列。记
Sk =a1,a2,⋅⋅⋅+ak (k =1,2,⋅⋅⋅,2014)。则a1,a2,⋅⋅⋅+a2014
中奇数个数的最大值为___________。
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．
【
2016
年
浙
江
预
赛
】
已
知
数
列
{an}、{bn}满
足
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a1=-1，b1=2，an+1=-bn，bn+1=2an-3bn(n∈Z+)。则b2015+b2016=__________。
10．【2016 年新疆预赛】已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+ 4 ❑√an+1+ 4 (n≥1)，则an=______.
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．
【
2016
年
辽
宁
预
赛
】
已
知
数
列
{an}共
有
100
项
,
满
足
a1=0,
a100= 475, 且|ak +1-ak|=5(k =1,2,…,99).则符合条件的不同数列有______个.
12．【2016 年江西预赛】已知数列{xn}满足xn=
n
n+2016 若x2016= xm xn,则正整数m、n 的一组解为{m,n}
=______.
13．【2016 年江西预赛】等差数列2,5,8,…,2015 与4,9,14,…,2014 的公共项(具有相同数值的项)的个数为
______.
14．【2016 年河南预赛】定义数列{an}：an
为1+2+…+n的末位数字，Sn
为数列{an}的前n项之和，则S2016
=______________。
15．【2016 年甘肃预赛】数列a0,a1,⋯,an满足a0= ❑√3,an+1=[an]+
1
{an}，其中，[x]表示不超过实数x 的
最大整数，{x }= x -[x].则a2016=__________.
16．【2016 高中数学联赛（第01 试）】设a1,a2,a3,a4是1，2，…，100 中的4 个互不相同的数，满足
(a1
2+a2
2+a3
2)(a2
2+a3
2+a4
2)=(a1a2+a2a3+a3a4)
2，则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为
.
17．【2015 年浙江预赛】若数列{an}的前n项和Sn=n
3-n
2(n∈Z+)，则∑
i=1
2015
1
ai+8i-2 =______.
18．【2015 年上海预赛】等差数列{an}中，对任意正整数n ，均有an+1+an= 4 n-58.则a2015=_________.
19．【2015 年上海预赛】定义数列{an}：a1=1,a2=3,a3=5，an=an-1-an-2+an-3(n= 4,5⋯).则此数列
前2015 项 和S2015=______.
20．【2015 年上海预赛】设Sn=1+ 1
2 +⋯+ 1
n
(n=1,2,⋯).则使得Sn>10 成立的最小正整数为______.
21．【2015 年新疆预赛】一个正实数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该正实数的小数部
分为________.
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22．【2015 年天津预赛】设An、Bn
分别为等差数列{an}、{bn}的前n项之和.若An
Bn
= 5n-3
n+9
，则a8
b8
=
__________.
23．【2015 年安徽预赛】设x1=1，xn= xn-1-1
2 xn-1+ 4
(n≥2).数列{xn}的通项公式为xn=______.
24．【2015 年陕西预赛】设单调递增数列{an}的各项均为正整数，且a7=120，an+2=an+an+1(n∈Z+).
则a8=______。
25 ．【2015 年山西预赛】数列{an}的各项为互异正数，且其倒数构成等差数列．则
a1a2+a2a3+⋯+a2014a2015
a1a2015
=________.
26．【2015 年山西预赛】将各位数字和为8 的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列{an}，称为P 数
列.则2015 为其中第________项.
27．【2015 年山东预赛】将正整数数列{1,2,…}中的所有完全平方数去掉后,按原顺序构成数列
{an}则a2015=______.
28 ．【2015 年辽宁预赛】已知数列{an}前n项和为Sn,a1= 1
5 ,且对任意正整数m、n, 均有
am+n=aman若Sn<a对任意的n∈Z+恒成立,则实数a的最小值为______.
29 ．【2015 年江苏预赛】已知正项数列{an}的首项为1 ，且对于一切正整数n ，均有
an(nan-an+1)=(n+1)an+1
2
则an=_____.
30．【2015 年吉林预赛】设数列{an}的前n项和为Sn
，且Sn= 4 an-3(n=1,2,⋅⋅⋅).则数列{an}的通项公式
为______.
31．【2015 年湖南预赛】对任一实数序列A =(a1,a2,⋅⋅⋅)，定义ΔA =(a2-a1,a3-a2,⋅⋅⋅)，其第n项
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为an+1-an.假定序列Δ(ΔA)的所有的项均为1，且a19=a93=0.则a1的值为__________.
32．【2015 年湖北预赛】设an=2
n，bn=5n-1(n∈Z)，S =|a1,a2,⋅⋅⋅,a2015|∩|b1,b2,⋅⋅⋅,b2015|中
的元素个数为_______
33．【2015 年甘肃预赛】在数列{an}中, a1=2, a2=10,对所有的正整数n 均有an+2=an+1-an 则a2015=
______.
34．【2015 年福建预赛】已知函数f ( x)= x
2cos πx
2
，数列{an}中，an= f (n)+ f (n+1)(n∈N
*)，则数
列{an}的前100 项之和S100=__________．
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