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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题23 平面向量第二缉
1．【2018 年河北预赛】在矩形ABCD 中，已知AB=3，BC=1，动点P 在边CD 上.设
∠PAB=α ，∠PBA = β，则⃑PA ⋅⃑PB
cos(α + β)的最大值为________.
2．【2018 年浙江预赛】设|⃑AB|=10.若平面上点P 满足，对于任意t ∈R,有|⃑AP -t⃑AB|≥3，则⃑PA ⋅⃑PB
的最小值为________，此时⃑PA +⃑PB =________.
3．【2018 年全国】设O 为△ABC 的外心，若⃑AO =⃑AB+2⃑AC，则sin∠BAC 的值为
.
4．【2018 高中数学联赛A 卷（第01 试）】设O 为△ABC 的外心，若⃑AO =⃑AB+2⃑AC，则sin∠BAC 的值
为
.
5．【2017 年辽宁预赛】在△ABC中,AB = ❑√2, AC = ❑√3,∠BAC =30
∘, P是△ABC所在平面上任意一点,
则μ=⃗PA ⋅⃗PB+⃗PB⋅⃗PC +⃗PC ⋅⃗PA的最小值是
.
6．【2017 年山东预赛】设I为△ABC的内心,且3⃗IA + 4⃗IB+5⃗IC =⃗0,则角C的大小为
.
7．【2017 年湖北预赛】已知O为△ABC的外心,D为BC的中点,若⃗AO⋅⃗AD = 4 ,BC =2❑√6,则AD =
.
8．【2017 年甘肃预赛】已知⃗a=(λ+2, λ
2-cos
2α),⃗b=(m, m
2 +sinα)
,其中λ ,m、α为实数,若⃗a=2⃗b
,则
λ
m
的取值范围是
.
9．【2017 年黑龙江预赛】已知⃗a和⃗b的夹角为120
∘,且|⃗a|=2,|⃗b|=5,则(2⃗a-⃗b)⋅⃗a=
.
10．【2017 年贵州预赛】已知P为△ABC的外心,且⃗PA +⃗PB = λ⃗PC ,tanC = 12
5
,则实数λ的值为
.
11．【2017 年安徽预赛】设平面向量⃗α ,⃗β满足|⃗α +2⃗β|=3,|2⃗α +3⃗β|= 4,则⃗α ⋅⃗β的最小值是
.
12 ．【2017 年浙江预赛】已知平面向量⃗a,⃗b,⃗c, 满足|⃗a|=1,|⃗b|=2,|⃗c|=3,0< λ<1. 若⃗b⋅⃗c =0, 则
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|⃗a- λ⃗b-(1- λ)⃗c|
所有取不到的值为
.
13．【2017 年湖南预赛】已知A 、B、C为⊙O上三点,且⃗AO = 1
2 (⃗AB+⃗AC),则数量积⃗AB.⃗AC =
.
14．【2017 年新疆预赛】设平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a+⃗b|=3,则⃗a⋅⃗b的最大值为
.
15．【2016 年福建预赛】在空间四边形 ABCD 中，AB=2，BC=3，CD=4，DA=5.则⃗AC ·⃗BD =________.
16．【2016 年山东预赛】在P 为△ABC的外心，且⃑PA +⃑PB+ λ⃑PC =0,∠C =120°.则实数λ的值为
________.
17 ．【2016 年天津预赛】设向量a1=(1,5),a2=(4 ,-1),a3=(2,1), λ1、λ2、λ3
均为非负实数, 入
λ+ λ2
2 + λ3
3 =1.那么,|λ1a1+ λ2a2+ λ3a3|的最小值为______.
18．【2016 年吉林预赛】给定平面上四点O、A、B、C，满足OA = 4 ,OB =3,OC =2,⃑OB⋅⃑OC =3.则
S△ABC的最大值为________.
19 ．【2016 年新疆预赛】在平面直角坐标系xOy中，点A 、B在抛物线y
2=2 x上，满足⃑
OA ⋅⃑OB =-1，F为抛物线的焦点. 则S△OFA+ S△OFB的最小值为______.
20．【2016 年四川预赛】已知△ABC 的外心为O，且2⃑OA +3⃑OB+ 4⃑OC =0，则cos∠BAC =________.
21．【2016 年湖北预赛】已知MN 是边长为2❑√6的等边△ABC 的外接圆的一条动弦，MN=4，P 为△ABC
边上的动点．则|⃑MP⋅⃑PN|的最大值为_______.
22 ．【2016 年河南预赛】在ΔABC中，AB =2, AC =1,BC = ❑√7 ,O 为ΔABC的外心，且⃑
AO = λ⃑AB+ μ⃑AC。则λ+ μ=______________。
23．【2016 年甘肃预赛】已知⃑OP =(2,1),⃑OA =(1,7),⃑OB =(5,1).设C 为直线OP 上的一点（为为坐标原
点）.当⃑CA ⋅⃑CB取到最小值时，⃑OC的坐标为___________.
24．【2015 年全国】在矩形ABCD中，AB =2，AD =1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延
长线上（包含点B）的动点Q满足|⃗DP|=|⃗BQ|.则向量⃗PA 与⃗PQ的数量积⃗PA ⋅⃗PQ的最小值为______.
25 ．【2015 年浙江预赛】设向量a、b的夹角为π
3
，向量c -a、c -b的夹角为
2π
3 ，|a-b|=5，|c -a|=2❑√3.则a⋅c的最大值为______.
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26．【2015 年四川预赛】在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PA=2,
PC = ❑√21,则⃑PB⋅⃑PD = .
27．【2015 年安徽预赛】设平面向量α 、β满足1≤|α| 、|β| 、|α + β|≤3.则α ⋅β的取值范围是______.
28．【2015 年陕西预赛】设O 为△ABC的外心，且满足⃑OA +⃑OB =⃑OC.则∠ACB =______.
29．【2015 年黑龙江预赛】如图1，在△ABC 中，O为边BC 的中点，过O的直线分别与直线AB、AC交
于不同的两点M 、N.若⃑AB =m⃑AM ,⃑AC =n⃑AN,则m+n=___________.
30．【2015 高中数学联赛（第01 试）】在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，边DC 上(包含点D，C)的动点P
与CB 延长线上(包含点B)的动点Q 满足| DP|=|BQ|，则向量PA与向量PQ的数量积PA ⋅PQ的最小值
为
.
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