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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题24 平面向量第三缉
1．【2020 年吉林预赛】已知向量⃗OA =(2,1),⃗OB =(-1,2) ,⃗OC =m⃗OA +n⃗OB(m,n>0). 若m+2n=1 ,
则|⃗OC | 的最小值为(
)
A.5
4
B.1
2
C.1
D.
❑√5
2
2．【2019 年吉林预赛】正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若⃑AC = λ⃑AM + μ⃑BD,则λ+ μ=( )
A.4
3
B.5
3
C.15
8
D.2
3．【2018 年陕西预赛】在边长为8 的正方形ABCD中，M 是BC的中点，N 是AD边上一点，且
DN =3 NA，若对于常数m，在正方形ABCD的标上恰有6 个不同的点P，使⃑PM ⋅⃑PN =m，则实数m的
取值范围是（ ）
A．(-8,8) B．(-1,24) C．(-1,8) D．(0,8)
4．【2018 年陕西预赛】在边长为8 的正方形ABCD中，M 是BC的中点，N 是AD边上一点，且
DN =3 NA，若对于常数m，在正方形ABCD的标上恰有6 个不同的点P，使⃑PM ⋅⃑PN =m，则实数m的
取值范围是（ ）
A．(-8,8) B．(-1,24) C．(-1,8) D．(0,8)
5．【2018 年陕西预赛】在边长为8 的正方形ABCD中，M 是BC的中点，N 是AD边上一点，且
DN =3 NA，若对于常数m，在正方形ABCD的标上恰有6 个不同的点P，使⃑PM ⋅⃑PN =m，则实数m的
取值范围是（ ）
A．(-8,8) B．(-1,24) C．(-1,8) D．(0,8)
6．【2018 年辽宁预赛】已知点P、Q 在△ABC 内，且⃑PA +2⃑PB+3⃑PC =2⃑QA +3⃑PB+5⃑PC =⃑0，则|⃑PQ|
|⃑AB|
等于（）.
A．1
30
B．1
31
C．1
32
D．1
33
7．【2016 年陕西预赛】设a、b、c 为同一平面内的三个单位向量，且a⊥b.则(c-a)•(c-b)的最大值为
（ ）.
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A．1+❑√2 B．1-❑√2 C．❑√2-1 D．1
8 ．【2016 年浙江预赛】已知向量⃑OA ⊥⃑OB，且|⃑OA|=|⃑OB|=24。若t ∈[0,1]，则
|t⃑AB -⃑AO|+|
5
12⃑OB -(1-t )⃑BA|
的最小值为（ ）。
A．2❑√193 B．26 C．24 ❑√2 D．24
9．【2016 年湖南预赛】给定平面向量（1，1）.则平面向量( 1- ❑√3
2
, 1+ ❑√3
2
)是将向量（1，1）经过（
）变换得到的.
A．顺时针旋转60°
B．顺时针旋转120°
C．逆时针旋转60°
D．逆时针旋转120°
10．【2015 年辽宁预赛】如图所示, M 、N分别为正六边形 ABCDEF的对角线AC 、CE的内分点,且
AM
AC = CN
CE = λ.若B、M 、N三点共线,则λ=( )
A．
❑√3
3
B．1
3 C．
❑√2
2
D．1
2
11．【2015 年吉林预赛】设向量a、b的夹角为60°，且|a|=1，|a-2b|= ❑√13.则b=（ ）.
A．❑√2 B．3
2
C．2❑√2 D．2
12 ．【2015 年黑龙江预赛】设A1、A2、A3、A4 为平面直角坐标系中两两不同的点。若⃑
A1 A3= λ⃑A1 A2(λ∈R)，⃑A1 A4= μ⃑A1 A2(μ∈R)，且1
λ + 1
μ =2，则称点A3、A4调和分割点A1、A2。
已知平面上点C 、D调和分割点A 、B.则下面说法正确的是（）。
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A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB 的中点
C．点C 、D 可能同时在线段AB上
D．点C 、D不可能同时在线段AB的延长线上
13．【2021 年上海预赛】给定整数n≥3. 设A1, A2,⋯, An (允许有重合)是以O 为圆心的单位圆Ω 上的
点.记dk =⃑O Ak⋅⃑Ak -1 Ak +1(k =1,2,⋯,n) ,其中A0= An, An+1= A1. 求S =|d1|+|d2|+⋯+|dn| 的最大值.
14．【2018 年河北预赛】已知O 是△ABC的外心，且3⃑OA + 4⃑OB+5⃑OC =⃑0，求cos∠BAC的值.
15．【2017 年黑龙江预赛】已知向量⃗m=(sin A ,cos A),⃗n=(cosB ,sin B),⃗m⋅⃗n=sin2C,且
∠A 、∠B、∠C分别是△ABC三边a,b,c所对的角.
(1)求∠C的大小;
(2)若sin A 、sinC 、sin B成等比数列,且⃗CA ⋅⃗CB =18,求c的值.
16．【2016 年全国】在△ABC中.⃑AB⋅⃑AC +2⃑BA ⋅⃑BC =3⃑CA ⋅⃑CB求sinC的最大值
17．【2016 高中数学联赛（第01 试）】在△ABC 中，已知⃑AB⋅⃑AC +2⃑BA ⋅⃑BC =3⃑CA ⋅⃑CB，求sinC 的
最大值.
18 ．【2015 年新疆预赛】设a 、b 为平面上两个相互垂直的单位向量. 令¿ ①其中，
c1、c2、d1、d2∈R. 若c 、d 也为相互垂直的单位向量，证明：（1 ）c1
2+d1
2=c2
2+d2
2=1，且
c1c2+d1d2=0；（2）¿
19．【2015 年黑龙江预赛】已知向量m=(❑√3sin wx ,cos wx)，n=(cos wx ,-cos wx)，其中，w ＞0.函
数f (x)=m⋅n的最小正周期为π
2
.
（1）求w的值；
（2）设ΔABC的三边a、b、c满足b
2=ac，且边b所对的角x，若关于x的方程f (x)=k有两个不同的实数
解，求实数k的取值范围。
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