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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题25 数列第一缉
1．【2021 年浙江预赛】设a0=0,a1=a2=1,a3n=an,a3n+1=a3n+2=an+1(n≥1) ,则a2021=
.
2．【2021 年浙江预赛】设数列an+1=[
an
2 ]+[
an
3 ],n=1,2,⋯,7 ,这里[x]表示不超过x 的最大整数。若
a8=8 ,则正整数a1 有
种可能的取值情况。
3 ．【2021 年新疆预赛】已知数列{an} 满足a1=1,a2= 4 ,a3=10 , 对任意的n≥2 有
an+1
2
-2an
2=anan+2-2an-1an+1
,则a21
的个位数字是
.
4．【2021 年全国高中数学联赛A 卷一试】等差数列{an}满足a2021=a20+a21=1,则a1
的值为
.
5．【2021 年全国高中数学联赛B 卷一试】等差数列{an}的公差d ≠0,且a2021=a20+a21,则a1
d
的值为
.
6．【2020 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在等比数列{an}中, a9=13,a3=1,则loga113的值为
.
7 ．【2020
年甘肃预赛】设数列{an} 满足:a1= 1
4 ,an+1=an+an
2(n∈Z+)
. 记
T 2020=
1
a1+1 +
1
a2+1 +⋯+
1
a2020+1 .若T 2020 的值在区间(k ,k +1) 内,则整数k 的值为
.
8．【2020 年广西预赛】设数列{an} 的前两项分别为a1=2 ,a2= 4. 设bn=an+1-an. 若数列{bn} 是公差
为1 的等差数列,则a2020=
.
9．【2020 年吉林预赛】数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,⋯ 该数
列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数均等于它前面两个数的和.把这样的一列数组成的数列
{an} 称为“斐波那契数列”.则
(a1a3+a2a4+a3a5+⋯+a2019a2021)- (a2
2+a3
2+a4
2+⋯+a2020
2
) =
.
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10．【2020 年四川预赛】已知数列{an} 满足:a0= ❑√6,an+1=[an]+
1
{an} ，其中,[a ]表示不超过实数a 的
最大整数,{a}=a-[a]. 则a2020=
.
11．【2020 年四川预赛】若数列{an} 满足an=[(2+ ❑√3)
2
n
](n∈Z+) ,则a2020 的末尾两位数字为
.
12．【2020 年浙江预赛】设i1,i2,⋯,in 为集合{1,2,⋯,n} 的一个排列.若存在k <l 且ik>il ,则称数对
(ik ,il) 为一个逆序,排列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数.比如,排列1432 的逆序为43、42、32,
此排列的逆序数就是3.则当n=6 时,且i3= 4 的所有排列的逆序数的和为
.
13．【2020 年重庆预赛】已知a1,a2 ,a3,a4 均为实数.若集合{a1,a2,a3,a4} 的所有非空真子集的元素之
和为28,则a1+a2+a3+a4=
.
14 ．【2020 年新疆预赛】等差数列{an} 的公差和等比数列{bn} 的公比都是d(d ≠1) , 且
a1=b1,a4=b4,a10=b10 .若存在m∈N 使得am=b22 ,则m=
.
15．【2019 年江西预赛】公差为d,各项皆为正整数的等差数列{an},若a1=1919,am=1949,an=2019,则正
整数m+n 的最小值是
.
16．【2019 年江西预赛】数列{an}满足:a0= ❑√3，an+1=[an]+ 1
{an}
,(其中[an]和{an}分别表示实数an的整数部
分与小数部分),则a2019=
.
17．【2019 年上海预赛】设等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n 项和为Sn若数列{❑√8 Sn+2n}也是公差为d
的等差数列,则数列{an}的通项an=
.
18．【2019 年新疆预赛】已知数列:2
3 , 2
9 , 4
9 , 6
9 , 8
9 , 2
27 , 4
27 ,⋯, 26
27 ,…, 2
3
n , 4
3
n ,⋯, 3
n-1
3
n
,⋯，那么
2020
2187
是该数列的第
项.
19．【2019 年浙江预赛】设0≤x1≤x2
，数列{xn}满足xn+2= xn+1+ xn,n≥1.若1≤x7≤2，则x8
的取值范围
为
.
20 ．【2019 年北京预赛】将正整数1,2,3,4 ,⋯,n,⋯按第k组含k +1个数分组:
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(1,2)
⏟
第1组
,(3,4,5)
⏟
第2组
,(6,7,8,9)
⏟
第3组
,(10,11,12,13,14)
⏟
第4 组
…则2019 在第
组中.
21．【2019 年广西预赛】从1,2,……,20 中任取3 个不同的数,则这3 个数构成等差数列的概率为
22．【2019 年贵州预赛】已知正项数列{an}的前n 项和为Sn，若{an},{❑√sn}均为公差为d 的等差数列,则
Sn=
.
23．【2019 年吉林预赛】我们把3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角
形,如下图所示,则第19 个三角形数是
.
24．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1=2019，且对任意正
整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+⋯+an=am.这样的数列{an}的个数为
.
25．【2018 年山西预赛】将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有1 个数，第
二段有3 个数，……，第n 段有2n-1 个数；那么，第20 段中的第18 个数是________.
26．【2018 年江苏预赛】已知等差数列{an}的前12 项的和为60，则|a1|+|a2|+⋯+|a12|的最小值为
________.
27．【2018 年浙江预赛】设数列{an
❑}满足a1=1 ，an+1=5an+1 (n=1，2，…），则 ∑
n=1
2018
an=________.
28．【2018 年湖北预赛】设数列{an}满足：a1=1,4 an+1-an+1an+ 4 an=9，则a2018=______.
29．【2018 年湖北预赛】设数列{an}的通项公式为an=n
3-n,n∈N
*，将该数列中个位数字为0 的项，按
从小到大的顺序排列构成数列{bn}，则b2018
被7 除所得的余数为______.
30．【2018 年甘肃预赛】已知数列{an}满足an+1= 3
n+1⋅an
an+3
n+1 ,a1=3，则数列{an}的通项公式是______．
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