十年（2014－2023）高考真题分项汇编—数列解答题
目录
题型一：数列的概念和通项公式...............................................................1
题型二：等差数列的定义与性质...............................................................2
题型三：等比数列的定义与性质...............................................................3
题型四：数列的求和...................................................................................3
题型五：数列中的新定义问题...................................................................7
题型六：数列中的证明问题.....................................................................11
题型七：数列与其他知识的交汇.............................................................14
题型八：数列的综合应用.........................................................................18
题型九：数列结构不良试题.....................................................................18
题型一：数列的概念和通项公式
1．(2021 年新高考Ⅰ卷·第17 题) 已知数列
满足
，
(1)记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
(2)求
的前20 项和．
2．(2014 高考数学湖南理科·第20 题) 已知数列
满足
，
(Ⅰ)若
是递增数列，且
成等差数列，求
的值；
(Ⅱ)若
，且
是递增数列，
是递减数列，求数列
的通项公式．
3 ．(2019· 全国Ⅱ· 理· 第19 题) 已知数列
和
满足
，
，
，
．
证明：
是等比数列，
是等差数列；
求
和
的通项公式．
4．(2014 高考数学广东理科·第19 题) 设数列
的前
和为
,满足
，且
．
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式．
5．(2014 高考数学湖北理科·第18 题) 已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1、a2 、a5 成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式．
(Ⅱ)记Sn 为数列{an}的前n 项和， 是否存在正整数n ，使得Sn>60n+800? 若存在， 求n 的最
小值；若不存在，说明理由．
6．(2021 年高考全国乙卷理科·第19 题) 记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
(1)证明：数列
是等差数列;
(2)求
的通项公式．
7．(2018 年高考数学浙江卷·第20 题) 已知等比数列
的公比
，且
，
是
的等差中项．数列
满足
，数列
的前项和为
．
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式．
题型二：等差数列的定义与性质
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第20 题) 设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别为数列
的前
项和．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
2．(2015 高考数学四川理科·第16 题) 设数列
的前
项和
，且
成等差数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和
，求得
成立的
的最小值．
3．(2022 年高考全国甲卷数学（理）·第17 题) 记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
4．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第17 题) 记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求使
成立的n 的最小值．
题型三：等比数列的定义与性质
1．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第17 题) (12 分)等比数列
中，
，
(1)求
的通项公式；
(2)记
为
的前
项和，若
，求
．
2．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第17 题) 已知数列
的前
项和
,其中
.
(Ⅰ)证明
是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若
,求
.
题型四：数列的求和
1．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第17 题) (12 分)记
为等差数列
的前
项和，已知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
，并求
的最小值．
2 ．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科· 第17 题) ( 本题满分12 分)
为等差数列
的前
项和，且
记
，其中
表示不超过
的最大整数，如
．
(I)求
；(II)求数列
的前1 000 项和．
3．(2020 年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18 题) 已知公比大于的等比数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
为
在区间
中的项的个数，求数列
的前
项和
．
4．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18 题) 已知公比大于的等比数列
满足
．
(1)求
通项公式；
(2)求
．
5．(2023 年全国甲卷理科·第17 题) 设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
6.(2020 天津高考·第19 题) 已知
为等差数列，
为等比数列，
．
(Ⅰ)求
和
的通项公式；
(Ⅱ)记
的前
项和为
，求证：
；
(Ⅲ)对任意的正整数
，设
求数列
的前
项和．
7．(2014 高考数学山东理科·第19 题) 已知等差数列
的公差为2，前
项和为
，且
成等比
数列．
(Ⅰ)求数列
的通项公式；
(Ⅱ)令
，求数列
的前
项和
．
8 ．(2014 高考数学江西理科·第18 题) 已知首项都是1 的两个数列
(
), 满足
．
(1)令
,求数列
的通项公式;
(2)若
1
3n
nb
,求数列
的前n 项和
9．(2014 高考数学大纲理科·第18 题) 等差数列
的前n 项和为
，已知
，
为整数，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
10．(2015 高考数学新课标1 理科·第17 题) (本小题满分12 分)
为数列
的前
项和．已知
(Ⅰ)求
的通项公式：
(Ⅱ)设
,求数列
的前
项和
11 ．(2015 高考数学天津理科· 第18 题) ( 本小题满分13 分) 已知数列{
}
na
满足
，且
2
3
3
4
4
5
,
,
a
a a
a a
a
+
+
+
成等差数列．
(Ⅰ)求q 的值和{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)设
，求数列{
}
nb
的前n 项和．
12．(2015 高考数学山东理科·第18 题) 设数列
的前
项和为
．已知
．
(Ⅰ)求
的通项公式；
(Ⅱ)若数列
满足
，求
的前
项和
．
13．(2015 高考数学湖北理科·第18 题) (本小题满分12 分)设等差数列
的公差为
，前n 项和为
，等
比数列
的公比为q ．已知
，
，
，
．
(Ⅰ)求数列
，
的通项公式；
(Ⅱ)当
时，记
，求数列
的前n 项和
．
14．(2017 年高考数学天津理科·第18 题) 已知{
}
na
为等差数列,前n 项和为
(
)
n
S
n
N
,{
}
nb
是首项为2 的
等比数列,且公比大于0 ,
2
3
12
b
b
,
3
4
1
2
b
a
a
,
11
4
11
S
b
．
(1)求{
}
na
和{
}
nb
的通项公式;
(2)求数列
2
2
1
{
}
n
n
a b
的前n 项和(
)
n
N
．
15．(2016 高考数学山东理科·第18 题) (本小题满分12 分)已知数列
的前n 项和
，
是等差数列，且
(Ⅰ)求数列
的通项公式；
(Ⅱ)令
求数列
的前
项和
．
16．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第17 题) 设
是公比不为1 的等比数列，
为
，
的等差中项．
(1)求
的公比；
(2)若
，求数列
的前
项和．
17．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第17 题) 设数列{an}满足a1=3，
．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n 项和Sn．
18．(2014 高考数学浙江理科·第19 题) 已知数列
f(x)=x
3
+3|x−a|(a∈R).
和
f (x)
满足[−1,1]
．若
M(a),m(a)
为等
比数列，且
M (a)−m(a)
(1)求
b∈R,
与
[f(x)+b]
2
≤4
；
(2)设
x∈[−1,1]
。记数列
3a+b
的前
O
项和为
l1
．
(i)求l
；
(ii)求正整数
P
，使得对任意
l1
，均有
a−b
．
19．(2014 高考数学上海理科·第23 题) 已知数列
满足
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)若
是公比为
的等比数列，
，若
，
，
求
的取值范围；
(3)若
成等差数列，且
，求正整数
的最大值，以及
取最大值时相应
数列
的公差．
题型五：数列中的新定义问题
1 ．(2017 年高考数学江苏文理科· 第19 题) 对于给定的正整数k , 若数列{
}
n
a
满足
1
1
1
1
n k
n k
n
n
n k
n k
a
a
a
a
a
a
2
n
ka
对
任
意
正
整
数
(
)
n n
k
总
成
立
,
则
称
数
列
{
}
n
a
是
“
( )
P k 数
列
”
．
(1)
证
明
:
等
差
数
列
{
}
n
a
是
“
(3)
P
数
列
”
;
(2)若数列{
}
n
a
既是“
(2)
P
数列”,又是“
(3)
P
数列”,证明:{
}
n
a
是等差数列．
2．(2023 年北京卷·第21 题) 已知数列
的项数均为m
，且
的前n 项和分别为
，并规定
．对于
，定义
，其中，
表示数集M 中最大的数．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，且
，求
；
(3)证明：存在
，满足
使得
．
3 ．(2019· 上海· 第21 题)
数列
有
项，
，对任意
，存在
，若
与前
项中某一项相等，则称
具有性质
.
(1)若
，求
可能的值；
(2)若
不为等差数列，求证：
中存在满足性质
；
(3)若
中恰有三项具有性质
，这三项和为
，使用
表示
.
4．(2019·江苏·第20 题) 定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“
－数列”.
(1)已知等比数列
满足：
，求证:数列
为“
－数列”；
(2)已知数列{bn}满足:
，其中
为数列
的前
项和．
①求数列
的通项公式；
②设
为正整数，若存在“
－数列”
，对任意正整数
，当
时，都有
成
立，求
的最大值．
5．(2019·北京·理·第20 题) 已知数列
，从中选取第
项、第
项、…、第
项(
<
<…<
)，若
，则称新数列
为
的长度为m 的递增子列．规定：数列
的任意
一项都是
的长度为1 的递增子列．
(Ⅰ)写出数列1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为4 的递增子列；
(Ⅱ)已知数列
的长度为p 的递增子列的末项的最小值为
，长度为q 的递增子列的末项的最小值为
．若p＜q，求证：
＜
；
(Ⅲ)设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若
的长度为
的递增子列末项的最小
值为
，且长度为
末项为
的递增子列恰有
个(
)，求数列
的通项公式．
6．(2018 年高考数学江苏卷·第26 题) (本小题满分10 分)设
，对1，2，···，n 的一个排列
，如
果当s<t 时，有
，则称
是排列
的一个逆序，排列
的所有逆序的总个数称为其逆序
数．例如：对1，2，3 的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231 的逆序数为2．记
为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．
(1)求
的值；
(2)求
的表达式(用n 表示)．
7．(2018 年高考数学上海·第21 题) (本题满分18 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分8 分)
给定无穷数列
，若无穷数列
满足：对任意n
*
N ，都有
，则称
与
“接
近”．
(1)设
是首项为1，公比为
的等比数列，
，
，判断数列
是否与
接近，并
说明理由；
(2)设数列
的前四项为：
，
，
，
，
是一个与
接近的数列，记集合
，求
中元素的个数
；
(3)已知
是公差为
的等差数列，若存在数列
满足：
与
接近，且在
，
，…，
中至少有100 个为正数，求
的取值范围．
8．(2014 高考数学江苏·第20 题) 设数列{an}的前n 项和为Sn ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使
得Sn=am，则称{an}是“H 数列”．
(1)若数列{an}的前n 项和Sn=2n
(n∈N
¿
)，证明: {an}是“H 数列”；
(2)设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d<0 ．若{an} 是“H 数列”，求d 的值；
(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H 数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn
(n∈N
¿
) 成立．
9．(2014 高考数学北京理科·第20 题) 对于数对序列f ( x )≤f (0)=0 , 记x >0 ,
sin x
x
> a
其中sin x−ax >0 表示
sin x
x
<b和sin x−bx <0 两个数中最大的数,
(1)对于数对序列g(x)=sin x−cx , 求g
'(x)=cosx−c的值
(2)记m 为a、b、c、d 四个数中最小的数， 对于由两个数对(a, b), (c, d)组成的数对序列c≤0
和g( x )>0 ， 试分别对m=a 和m=d 时两种情况比较
x∈(0, π
2 )和c≥1 的大小
(3)在由5 个数对(11, 8), (5, 2), (16, 11), (11, 11), (4, 6)组成的所有数对序列中, 写出一个数对序列P 使
x∈(0, π
2 )最小, 并写出g
'
(x)=cosx−c<0的值(只需写出结论)．
10．(2016 高考数学江苏文理科·第20 题) 记
．对数列
(
)和
的子集
，若
，定义
；
若
，定义
．例如：
时，
．
现设
(
)是公比为
的等比数列，且当
时，
．
(1) 求数列
的通项公式；
(2)对任意正整数
(
)，若
，求证：
；
(3)设
，
，
，求证：
．
11．(2016 高考数学北京理科·第20 题) (本小题13 分) 设数列
．如果对小于
的每个正整数
都有
，则称
是数列
的一个“
时刻”．记“
是数列
的
所有“
时刻”组成的集合．
(Ⅰ)对数列
：
，写出
的所有元素；
(Ⅱ)证明：若数列
中存在
使得
，则
；
(Ⅲ)证明：若数列
满足
，则
的元素个数不小于
．
12．(2016 高考数学上海理科·第23 题) (本题满分18 分)本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题
满分6 分，第3 小题满分8 分．
若无穷数列
满足：只要
，必有
，则称
具有性质
．
(1)若
具有性质
，且
，
，求
；
(2)若无穷数列
是等差数列，无穷数列
是公比为正数的等比数列，
，
，
判断
是否具有性质
，并说明理由；
(3)设
是无穷数列，已知
．求证：“对任意
都具有性质
”的充要
条件为“
是常数列”．
题型六：数列中的证明问题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第18 题) 已知
为等差数列，
，记
，
分别为数
列
，
前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
2．(2023 年天津卷·第19 题) 已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)已知
为等比数列，对于任意
，若
，则
，
(Ⅰ)当
时，求证：
；
(Ⅱ)求
的通项公式及其前
项和．
3．(2022 新高考全国I 卷·第17 题) 记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
4．(2014 高考数学课标1 理科·第17 题) 已知数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ,
1
1
a = ,
0
na
,
1
1
n
n
n
a a
S
,其
中为常数．
(1)证明:
2
n
n
a
a
l
+ -
=
;
(2)是否存在,使得{
}
na
为等差数列?并说明理由．
5．(2020 年浙江省高考数学试卷·第20 题) 已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
．
(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列，且公比
，且
，求q 与an的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且公差
，证明：
．
6．(2018 年高考数学天津（理）·第18 题) (本小题满分13 分) 设
是等比数列，公比大于0，其前
项
和为
，
是等差数列． 已知
，
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，
(i)求
；
(ii)证明
．
7．(2016 高考数学天津理科·第18 题) 已知{
}
na
是各项均为正数的等差数列，公差为d ．对任意的
*
n
N
，
nb 是
na 和
1
na 的等比中项．
(Ⅰ)设
2
2
*
1
,
n
n
n
c
b
b n
N
，求证：数列{ }
nc
是等差数列；
(Ⅱ)设
2
2
*
1
1
,
( 1)
,
n
k
n
k
k
a
d T
b
n
N
，求证
2
1
1
1
2
n
k
kT
d
．
8．(2019·浙江·第20 题) 设等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
3
4
a
，
4
3
a
S
．数列{ }
nb
满足：对任意
*
nN ，
n
n
S
b
，
1
n
n
S
b
，
2
n
n
S
b
成等比数列．
(Ⅰ)求数列{
}
na
，{ }
nb
的通项公式；
(Ⅱ)记
2
n
n
n
a
c
b
，
*
nN ，证明：
1
2
2
n
c
c
c
n
，
*
nN ．
9．(2018 年高考数学江苏卷·第20 题) (本小题满分16 分)设{
}
na
是首项为
1a ，公差为d 的等差数列，{ }
nb
是
首项为
1b ，公比为q 的等比数列．
(1)设
1
1
0,
1,
2
a
b
q
，若
1
|
|
n
n
a
b
b
≤
对
1,2,3,4
n
均成立，求d 的取值范围；
(2)若
*
1
1
0,
,
(1, 2]
m
a
b
m
q
N
，证明：存在d R ，使得
1
|
|
n
n
a
b
b
对
2,3,
,
1
n
m
均成立，并求d
的取值范围(用
1,
,
b m q 表示)．
10．(本小题满分14 分)已知数列
nx
满足
1
2
1
x
x
，并且
1
1
n
n
n
n
x
x
x
x
(为非零参数，
2 3 4
n ，，，… )．
(Ⅰ)若
1
3
5
x
x
x
，，
成等比数列，求参数的值；
(Ⅱ)设0
1
，常数k
N 且
3
k ≥
．证明
1
2
1
2
(
)
1
k
k
k
n k
k
n
x
x
x
n
x
x
x
N
…
．
11．(2014 高考数学重庆理科·第22 题) (本小题满分12 分，(1)问4 分，(2)问8 分)
设
)
(,
2
2
,1
2
1
1
N
n
b
a
a
a
a
n
n
n
．
（1）
若b
1
，求
2
3
a ,a 及数列{
}
na
的通项公式；
（2）
若b
1
，问：是否存在实数c 使得
2n
2n 1
a
c
a
对所有n
N
都成立?证明你的结论
12．(2014 高考数学课标2 理科·第17 题) (本小题满分12 分)
已知数列
na
满足
1a =1，
1
3
1
n
n
a
a
．
(Ⅰ)证明
1
2
na
是等比数列，并求
na
的通项公式；
(Ⅱ)证明：
1
2
3
1
1
1
2
n
a
a
a
… +
13．(2014 高考数学安徽理科·第21 题) 设实数
0
c
，整数
1
p
n
N
，
．
(Ⅰ)证明：当
1
x 且
0
x
时，(1
)
1
p
x
px
；
(Ⅱ)数列{
}
na
满足
1
1
1
1
1
p
p
n
n
n
p
c
a
c
a
a
a
p
p
，
．证明：
1
1
p
n
n
a
a
c
．
14．(2016 高考数学浙江理科·第20 题) (本题满分15 分)设数列{
}
na
满足
1
|
|
1
2
n
n
a
a
，
*
nN ．
(Ⅰ)证明：
1
1
|
|
2
(| |
2)
n
na
a
,
*
nN ；
(Ⅱ)若
3
|
|
( )
2
n
na
，
*
nN ，证明：|
| 2
na
，
*
nN ．
15．(2015 高考数学重庆理科·第22 题) (本小题满分12 分，(1)小问4 分，(2)小问8 分)
在数列
na
中，
2
1
1
1
3,
0
n
n
n
n
a
a
a
a
a
n
N
．
(1)若
0,
2,
求数列
na
的通项公式；
(2)若
0
0
0
1
,
2 ,
1,
k
k
k
N
证明：
0 1
0
0
1
1
2
2
3
1
2
1
ka
k
k
．
16．(2015 高考数学浙江理科·第20 题) (本题满分15 分)已知数列
na
满足
1a =
1
2 且
1
na =
na
2
na
(n
*
N )
(1)证明：1
1
2
n
n
a
a
(n
*
N )；
(2)设数列
2
na
的前n 项和为
n
S ，证明
1
1
2(
2)
2(
1)
n
S
n
n
n
(n
*
N )．
题型七：数列与其他知识的交汇
1 ．(2016 高考数学四川理科· 第19 题) 已知数列{
}
na
的首项为1，
n
S 为数列{
}
na
的前n 项和，
1
1
n
n
S
qS
，其中
0
q
，
*
n
N
．
(1)若
2
n
时，
2
3
2
2
,
,
2
a a a
成等差数列，求数列{
}
na
的通项公式；
(2)设双曲线
2
2
2
1
n
y
x
a
的离心率为
ne ，且
2
5
3
e
，求
1
2
1
4
3
3
n
n
n
n
e
e
e
．
2．(2015 高考数学江苏文理·第20 题) 设
1
2
3
4
,
,
,
a a a a 是各项为正数且公差为d (
0)
d
的等差数列．
(1)证明：
3
1
2
4
2 ,2 ,2 ,2
a
a
a
a
依次构成等比数列；
(2)是否存在
1,
a d ，使得
2
3
4
1
2
3
4
,
,
,
a a
a
a
依次构成等比数列？并说明理由；
(3)是否存在
1,
a d 及正整数,n k ，使得
k
n
k
n
k
n
n
a
a
a
a
3
4
2
3
2
1
,
,
,
依次构成等比数列？并说明理由．
3．(2014 高考数学四川理科·第19 题) 设等差数列
na
的公差为d ，点
n
n
a ,b
在函数
2x
f x
的图象上
(n
N*
)．
(Ⅰ)若
1
2
a ，点
8
7
4
a , b
在函数
f x 的图象上，求数列
na
的前n 项和
n
S ；
(Ⅱ)若
1
1
a
，函数
f x 的图象在点
2
2
a ,b
处的切线在x 轴上的截距为
1
2
2
ln
，求数列
n
n
a
b
的前n 项
和
nT ．
4．(2017 年高考数学上海（文理科）·第19 题) (本题满分14 分,第1 小题满分6 分,第2 小题满分8 分)
根据预测, 某地第n
*
(
)
nN
个月共享单车的投放量和损失量分别为
na 和
nb ( 单位: 辆), 其中
4
5
15, 1
3
10
470,
4
n
n
n
a
n
n
,
5
nb
n
,第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失
量的差．
(1)求该地区第4 个月底的共享单车的保有量;
(2)已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量
2
4(
46)
8800
n
S
n
(单位:辆)．设在某月底,共享
单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?
5．(2017 年高考数学山东理科·第19 题) 已知
{
}
nx
是各项均为正数的等比数列,且
1
2
3
2
3,
2
x
x
x
x
+
=
-
=
,
(Ⅰ)求数列
{
}
nx
的通项公式;
(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,依次连接点
1
1
2
2
( ,1),
(
,2)
P x
P x
,,
1
1
(
,
1)
n
n
P
x
n
+
+
+
得到折线
1
2
PP
1
nP + ,求由
该折线与直线
0
y =
,
i
x
x
=
(
{
}
n
x
x
)所围成的区域的面积
nT
．
6．(2022 高考北京卷·第21 题) 已知
1
2
:
,
,
,
k
Q a a
a
为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
{1,2,
, }
n
m
，在Q 中存在
1
2
,
,
,
,
(
0)
i
i
i
i
j
a a
a
a
j
，使得
1
2
i
i
i
i
j
a
a
a
a
n
，则称Q 为
m 连续可表数列．
(1)判断
: 2,1,4
Q
是否为5连续可表数列？是否为6 连续可表数列？说明理由；
(2)若
1
2
:
,
,
,
k
Q a a
a
为8连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
(3)若
1
2
:
,
,
,
k
Q a a
a
为20 连续可表数列，且
1
2
20
k
a
a
a
，求证：
7
k
．
7．(2021 年高考浙江卷·第20 题) 已知数列
n
a
前n 项和为
n
S ，
1
9
4
a
，且
1
4
3
91
n
n
S
S
．
(1)求数列
n
a
通项；
(2)设数列
nb
满足3
(
4)
0
n
n
b
n
a
，记
nb
的前n 项和为
nT ，若
n
n
T
b
对任意
N
n
恒成立，求的
范围．
8 ．(2019· 天津· 理· 第19 题)
设{
}
na
是等差数列，{ }
nb
是等比数列．已知
1
1
2
2
3
3
4,
6
2
2,
2
4
a
b
b
a
b
a
，
．
(Ⅰ)求{
}
na
和{ }
nb
的通项公式；
(Ⅱ)设数列{ }
nc
满足
1
1
1,
2
2
,
2
,
1,
,
k
k
n
k
k
c
n
c
b n
其中
*
k N ．
(i)求数列
2
2
1
n
n
a
c
的通项公式；
(ii)求
2
*
1
n
i
i
i
a c
n
N
．
9．(2015 高考数学上海理科·第22 题) (本题满分16 分)本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满
分6 分，第3 小题满分6 分
已知数列
na
与
nb
满足
*
1
1
2
,
N
n
n
n
n
a
a
b
b
n
．
(1)若
3
5
nb
n
，且
1
1
a ，求
na
的通项公式；
(2)设
na
的第
0n 项是最大项，即
0
*
N
n
n
a
a
n
，求证：
nb
的第
0n 项是最大项；
(3)设
*
1
0,
N
n
n
a
b
n
，求的取值范围，使得
na
有最大值M 与最小值m ，且
2,2
M
m
．
10．(2015 高考数学陕西理科·第21 题) (本小题满分12 分)设
nf
x 是等比数列，x ，
2x ，，
nx 的各项
和，其中
0
x
，n，
2
n
．
(Ⅰ)证明：函数
F
2
n
n
x
f
x
在
1 ,1
2
内有且仅有一个零点(记为
nx )，且
1
1
1
2
2
n
n
n
x
x
；
(Ⅱ)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为
n
g
x ，比较
nf
x
与
n
g
x 的大小，并加以证明．
11 ．(2015 高考数学北京理科·第20 题) ( 本小题13 分)已知数列
na
满足：
*
1a N ，
1
36
a ≤
，且
1
2
18
2
36
18
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，
≤
，
，
1 2
n ，，… ．记集合
*
|
n
M
a
n
N
．
(Ⅰ)若
1
6
a
，写出集合M 的所有元素；
(Ⅱ)若集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3 的倍数；
(Ⅲ)求集合M 的元素个数的最大值．
12．(2015 高考数学安徽理科·第18 题) (本小题满分12 分)设
*
n
N
，
nx 是曲线
2
2
1
n
y
x
在点(1 2)
，
处
的切线与x 轴交点的横坐标．
(Ⅰ)求数列{
}
nx
的通项公式；
(Ⅱ)记
2
2
2
1
3
2
1
n
n
T
x x
x
，证明
1
4
nT
n
．
13．(2017 年高考数学浙江文理科·第22 题) 已知数列{ }
nx
满足:
1
1
x
,
1
1
ln(1
)
n
n
n
x
x
x
(
)
n
N
．
证明:当n
N 时,
(Ⅰ)
1
0
n
n
x
x
;
(Ⅱ)
1
1
2
2
n
n
n
n
x x
x
x
;
(Ⅲ)
1
2
1
1
2
2
n
n
n
x
．
14 ．(2017 年高考数学北京理科· 第20 题)
设{
}
na
和{ }
nb
是两个等差数列, 记
1
1
2
2
max{
,
,
,
}
n
n
n
c
b
a n b
a n
b
a n
(
1,2,3,
)
n
,其中
1
2
max{ ,
,
,
}
s
x x
x
表示
1
2
,
,
,
s
x x
x
这s 个数
中最大的数．
(Ⅰ)若
na
n
,
2
1
nb
n
,求
1
2
3
,
,
c c c 的值,并证明{ }
nc
是等差数列;
(Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n
m
时,
nc
M
n
;或者存在正整数m ,使得
1
2
,
,
,
m
m
m
c
c
c
是等差数列．
题型八：数列的综合应用
1．(2022 新高考全国II 卷·第17 题) 已知
na
为等差数列，
nb
是公比为2 的等比数列，且
2
2
3
3
4
4
a
b
a
b
b
a
．
(1)证明：
1
1
a
b
；
(2)求集合
1,1
500
k
m
k b
a
a
m
中元素个数．
2．(2022 年浙江省高考数学试题·第20 题) 已知等差数列
na
的首项
1
1
a ，公差
1
d
．记
na
的前n
项和为
n
S
n
N
．
(1)若
4
2
3
2
6
0
S
a a
，求
n
S ；
(2)若对于每个n
N ，存在实数
nc ，使
1
2
,
4
,
15
n
n
n
n
n
n
a
c a
c a
c
成等比数列，求d 的取值范围．
3 ．(2016 高考数学四川理科· 第19 题) 已知数列{
}
na
的首项为1，
n
S 为数列{
}
na
的前n 项和，
1
1
n
n
S
qS
，其中
0
q
，
*
n
N
．
(1)若
2
n
时，
2
3
2
2
,
,
2
a a a
成等差数列，求数列{
}
na
的通项公式；
(2)设双曲线
2
2
2
1
n
y
x
a
的离心率为
ne ，且
2
5
3
e
，求
1
2
1
4
3
3
n
n
n
n
e
e
e
．
题型九：数列结构不良试题
1．(2021 年高考全国甲卷理科·第18 题) 已知数列
na
的各项均为正数，记
n
S 为
na
的前n 项和，从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
na
是等差数列：②数列
n
S
是等差数列；③
2
1
3
a
a
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
