十年（2014－2023）高考真题分项汇编—数列解答题
目录
题型一：数列的概念和通项公式...............................................................1
题型二：等差数列的定义与性质...............................................................7
题型三：等比数列的定义与性质.............................................................10
题型四：数列的求和.................................................................................11
题型五：数列中的新定义问题.................................................................13
题型六：数列中的证明问题.....................................................................26
题型七：数列与其他知识的交汇.............................................................33
题型八：数列的综合应用.........................................................................43
题型一：数列的概念和通项公式
1．(2021 年新高考Ⅰ卷·第17 题) 已知数列
满足
，
(1)记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
(2)求
的前20 项和．
【答案】
；
．
解析:(1)由题设可得
又
，
，故
即
即
所以
为等差数列，故
．
(2)设
的前
项和为
，则
，
因为
，
所以
．
2．(2014 高考数学湖南理科·第20 题) 已知数列
满足
，
(Ⅰ)若
是递增数列，且
成等差数列，求
的值；
(Ⅱ)若
，且
是递增数列，
是递减数列，求数列
的通项公式．
【答案】(1)
(2)
解析：(I)因为
是递增数列，所以
。而
，因此又
成等差数
列，
解得
，但当
时，
，这与
是递增数列矛盾。故
．
(Ⅱ)由于
是递增数列，因而
，于是
①
但
，所以
． ②
又①，②知，
，因此
③
因为
是递减数列，同理可得，
故
④
由③，④即知，
。
于是
．
故数列
的通项公式为
3 ．(2019· 全国Ⅱ· 理· 第19 题) 已知数列
和
满足
，
，
，
．
证明：
是等比数列，
是等差数列；
求
和
的通项公式．
【答案】
见解析；
，
.
【官方解析】
由题设得
，即
．
又因为
，所以
是首项为，公比为
的等比数列．
由题设得
，即
．
又因为
，所以
是首项为，公差为
的等差数列．
由
知，
，
．
所以
，
．
【分析】
可通过题意中的
以及
对两式进行相加和相减即可推导
出数列
是等比数列以及数列
是等差数列；
可通过
中的结果推导出数列
以及数列
的通项公式，然后利用数列
以及
数列
的通项公式即可得出结果.
【解析】
由题意可知
1
4
3
4
n
n
n
a
a
b
，
1
4
3
4
n
n
n
b
b
a
，
1
1
1
a
b
+
= ，
1
1
1
a
b
，
所以
1
1
4
4
3
2
3
4
4
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
b
a
a
b
+
+ =
+
=
-
-
+
+
+
-
，即
，
所以数列
n
n
a
b
是首项为1、公比为
1
2 的等比数列，
( )
1
1
2
n
n
n
a
b
-
+
=
，
因为
(
)
1
1
4
4
3
4
3
4
4
4
8
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
b
a
a
b
+
+
-
-
-
=
+ -
=
-
+
-
，
所以
1
1
2
n
n
n
n
a
b
a
b
+
+ =
-
+
-
，数列
n
n
a
b
是首项1、公差为2
等差数列，
2
1
n
n
a
b
n
-
=
-
.
由
可知，
，
2
1
n
n
a
b
n
-
=
-
，
所以
，
.
【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数
列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档
题.
4．(2014 高考数学广东理科·第19 题) 设数列
的前
和为
,满足
，且
．
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式．
【答案】解：(1)当
时，
①
当
时，
②
③
由①②③解得
(2)当
时，
①
②
①—②化简得
(当
时也成立)
方法1：(凑配)
令
，求得
即
令
，则
，即
因为
，故必有
，即
方法2：(数学归纳法)由(1)
，猜想
，
下面用数学归纳法证明对
：
当
时，成立
假设当
时成立，即有
，
当
时，
所以
，成立
综上所述，对
5．(2014 高考数学湖北理科·第18 题) 已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1、a2、a5 成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式．
(Ⅱ)记Sn 为数列{an}的前n 项和， 是否存在正整数n ，使得Sn>60n+800? 若存在， 求n 的最
小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)an=2 或an=4 n−2；(2)详见解析．
解析：(1)设数列{an}的公差为d ，依题意，2,2+d ,2+4 d 成等比数列，所以(2+d)2=2(2+4 d)，解
得d=0 或d=4 ，当d=0 是，an=2；当d=4 时，an=2+(n−1)×4=4n−2，所以数列{an}的通
项公式为an=2 或an=4 n−2．
(2)当an=2 时，Sn=2n ，显然2n<60n+800，不存在正整数n ，使得．
当an=4 n−2时，
Sn=n[2+(4 n−2)]
2
=2n2
，令2n2>60n+800，即n2−30n−400>0 ，解得
n>40 或n<−10(舍去)，此时存在正整数n ，使得Sn>60n+800 成立，n 的最小值为41．
综上所述，当an=2 时，不存在正整数n ；
当an=4 n−2时，存在正整数n ，使得Sn>60n+800成立，n 的最小值为41．
6．(2021 年高考全国乙卷理科·第19 题) 记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
(1)证明：数列
是等差数列;
(2)求
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；(2)
．
解析：(1)由已知
得
,且
，
,
取
,由
得
,
由于
为数列
的前n 项积，
所以
,
所以
，
所以
,
由于
所以
，即
,其中
所以数列
是以
为首项，以
为公差等差数列;
(2)由(1)可得，数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，
,
,
当n=1 时，
,
当n≥2 时,
,显然对于n=1 不成立,
∴
．
【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n 项和与项的关系，数列的前n 项积与项的关系，其中
由
,得到
，进而得到
是关键
一步；要熟练掌握前n 项和，积与数列的项的关系，消和(积)得到项(或项的递推关系)，或者消项得到和
(积)的递推关系是常用的重要的思想方法．
7．(2018 年高考数学浙江卷·第20 题) 已知等比数列
的公比
，且
，
是
的等差中项．数列
满足
，数列
的前项和为
．
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式．
【答案】(1)
；(2)
．
【解析】(1)由题知
，
，
，解得
或
，
，
．
(2)方法一：错位相减法
设
，数列
前
项和为
，由
，解得
．
由(1)知
，所以
， 故
，
设
，
，
，
方法二：构造常数列
设
，数列
前
项和为
，由
，解得
．
由(1)知
，所以
，
而
，
所以
，
所以数列
是一个常数列。即
，
所以
．
说明：其中
是采用待定系数法求出的
可设
待定求出
．
题型二：等差数列的定义与性质
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第20 题) 设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别为数列
的前
项和．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)
，
，解得
，
，
又
，
，
即
，解得
或
(舍去)，
．
(2)
为等差数列，
，即
，
，即
，解得
或
，
，
，
又
，由等差数列性质知，
，即
，
，即
，解得
或
(舍去)
当
时，
，解得
，与
矛盾，无解；
当
时，
，解得
．
综上，
．
2 ．(2015 高考数学四川理科· 第16 题) 设数列
的前
项和
，且
成等差数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和
，求得
成立的
的最小值．
【答案】(1)
；(2)10．
解析：(1)由已知
，有
，
即
．
从而
．
又因为
成等差数列，即
．
所以
，解得
．
所以，数列
是首项为2，公比为2 的等比数列．
故
．
(2)由(1)得
．
所以
．
由
，得
，即
．
因为
，
所以
．
于是，使
成立的n 的最小值为10．
考点：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求
解能力．
3．(2022 年高考全国甲卷数学（理）·第17 题) 记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析； (2)
．
【解析】(1)解：因为
，即
①，
当
时，
②，
①
②得，
，
即
，
即
，所以
，
且
，
所以
是以为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得
，
，
，
又
，
，
成等比数列，所以
，
即
，解得
，
所以
，所以
，
所以，当
或
时
．
4．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第17 题) 记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求使
成立的n 的最小值．
【答案】解析:(1)由等差数列的性质可得：
，则：
，
设等差数列的公差为
，从而有：
，
，
从而：
，由于公差不为零，故：
，数列的通项公式为：
．
(2)由数列的通项公式可得：
，则：
，
则不等式
即：
，整理可得：
，解得：
或
，又
为正整数，
故
的最小值为
．
题型三：等比数列的定义与性质
1．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第17 题) (12 分)等比数列
中，
，
(1)求
的通项公式；
(2)记
为
的前
项和，若
，求
．
【答案】(1)
或
；(2)
【官方解析】(1)设
的公比为
，由题设得
由已知得
，解得
(舍去)，
或
故
或
(2)若
，则
，由
，得
，此方和没有正整数解
若
，则
，由
，得
，解得
综上，
．
【民间解析】(1)设等比数列
的公比为
，由
，
可得
，所以
所以
当
时，
；当
时，
(2)由(1)可知
当
时，由
即
，即
，所以
；
当
时，由
即
，即
，无解
综上可知
．
2．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第17 题) 已知数列
的前
项和
,其中
.
(Ⅰ)证明
是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若
,求
.
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ)由题意得
,故
,
,
.
由
,
得
,即
.
由
,
得
,所以
.
因此
是首项为
,公比为
的等比数列,于是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,由
得
,即
,解得
.
题型四：数列的求和
1．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第17 题) (12 分)记
为等差数列
的前
项和，已知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
，并求
的最小值．
【答案】解析：(1)设
的公差为
，由题意得
．
由
得
，所以
的通项公式为
．
(2)由(1)得
．
所以当
时，
取得最小值，最小值为
．
2．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第17 题) (本题满分12 分)
为等差数列
的前
项和，且
记
，其中
表示不超过
的最大整数，如
．
(I)求
；(II)求数列
的前1 000 项和．
【答案】(1)
，
，
；(2)
．
【解析】(1)设
的公差为
，据已知有
，解得
．
所以数列
的通项公式为
．
，
，
．
(2)因为
所以数列
的前
项和为
．
3．(2020 年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18 题) 已知公比大于的等比数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
为
在区间
中的项的个数，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
．
解析：(1)由于数列
是公比大于的等比数列，设首项为
，公比为
，依题意有
，
解得解得
，或
(舍)，
所以
，所以数列
的通项公式为
．
(2)由于
，所以
对应的区间为：
，则
；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
．
所以
．
4．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18 题) 已知公比大于的等比数列
满足
．
(1)求
通项公式；
(2)求
．
【答案】(1)
；(2)
解析：(1) 设等比数列
的公比为q(q>1)，则
，
整理可得：
，
，
数列的通项公式为：
．
(2)由于：
，故：
．
5．(2023 年全国甲卷理科·第17 题) 设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)因为
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
当
时，
，所以
，
化简得：
，当
时，
，即
，
当
时都满足上式，所以
．
(2)因为
，所以
，
，
两式相减得，
，
，即
，
．
6.(2020 天津高考·第19 题) 已知
为等差数列，
为等比数列，
．
(Ⅰ)求
和
的通项公式；
(Ⅱ)记
的前
项和为
，求证：
；
(Ⅲ)对任意的正整数
，设
求数列
的前
项和．
【答案】(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)
．
【解析】(Ⅰ)设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
．由
，
，可得
．
从而
的通项公式为
．由
，又
，可得
，解得
，
从而
的通项公式为
．
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得
，
故
，
，
从而
，所以
．
(Ⅲ)当
为奇数时，
，
当
为偶数时，
，
对任意的正整数
，有
，
和
①
由①得
②
由①②得
，
由于
，
从而得：
．
因此，
．所以，数列
的前
项和为
．
7．(2014 高考数学山东理科·第19 题) 已知等差数列
的公差为2，前
项和为
，且
成等比
数列．
(Ⅰ)求数列
的通项公式；
(Ⅱ)令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
(或
)
解析：(1)因为
，
，
，
由题意得
，解得
，
所以
．
(2)
．
当
为偶数时，
．
当
为奇数时，
．
所以
(或
)
8．(2014 高考数学江西理科·第18 题) 已知首项都是1 的两个数列
(
),满足
．
(1)令
,求数列
的通项公式;
(2)若
1
3n
nb
,求数列
的前n 项和
【答案】(1)
2
1.
nc
n
(2)
(
1) 3
1.
n
n
S
n
分析:(1)已知数列
,因此对
变形为
1
1
1
2,
2
n
n
n
n
n
n
a
a
c
c
b
b
所以数列
{ }
nc
是以首项
1
1
c ,公差
2
d
的等差数列,故
2
1.
nc
n
(2) 由
1
3n
nb
知
1
(2
1)3n
n
n
n
a
c b
n
, 是等差乘等比型, 所以求和用错位相减法．
0
1
1
1 3
3 3
(2
1) 3n
n
S
n
,
1
2
3
1 3
3 3
(2
1) 3n
n
S
n
相减得
1
2
1
2
1
2 (3
3
3
)
(2
1) 3
2
(2
2) 3
n
n
n
n
S
n
n
所以
(
1) 3
1.
n
n
S
n
解析:(1)因为
,
所以
1
1
1
2,
2
n
n
n
n
n
n
a
a
c
c
b
b
所以数列{ }
nc
是以首项
1
1
c ,公差
2
d
的等差数列,故
2
1.
nc
n
(2)由
1
3n
nb
知
1
(2
1)3n
n
n
n
a
c b
n
于是数列
前n 项和
0
1
1
1 3
3 3
(2
1) 3n
n
S
n
1
2
3
1 3
3 3
(2
1) 3n
n
S
n
相减得
1
2
1
2
1
2 (3
3
3
)
(2
1) 3
2
(2
2) 3
n
n
n
n
S
n
n
所以
(
1) 3
1.
n
n
S
n
考点:等差数列定义,错位相减求和
9．(2014 高考数学大纲理科·第18 题) 等差数列
的前n 项和为
，已知
，
为整数，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；(2)
解析：(1)设等差数列
的公差为
，而
，从而有
若
，
，此时
不成立
若
，数列
是一个单调递增数列，
随着
的增大而增大，也不满足
当
时，数列
是一个单调递减数列，要使
，则须满足
即
，又因为
为整数，所以
，所以
此时
(2)由(1)可得
所以
．
10．(2015 高考数学新课标1 理科·第17 题) (本小题满分12 分)
为数列
的前
项和．已知
(Ⅰ)求
的通项公式：
(Ⅱ)设
,求数列
的前
项和
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
分析：(Ⅰ)先用数列第
项与前
项和的关系求出数列{
}的递推公式，可以判断数列{
}是等差数列，
利用等差数列的通项公式即可写出数列{
}的通项公式；(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{
}的通项公式，再用拆项消去
法求其前
项和．
解析：(Ⅰ)当
时，
，因为
，所以
=3，
当
时，
=
=
，即
，因
为
，所以
=2，
所以数列{
}是首项为3，公差为2 的等差数列，
所以
=
；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
=
，
所以数列{
}前n 项和为
=
=
．
11 ．(2015 高考数学天津理科· 第18 题) ( 本小题满分13 分) 已知数列{
}
na
满足
，且
2
3
3
4
4
5
,
,
a
a a
a a
a
+
+
+
成等差数列．
(Ⅰ)求q 的值和{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)设
，求数列{
}
nb
的前n 项和．
【答案】(Ⅰ)
1
2
2
2
,
2 ,
.
n
n
n
n
a
n
为奇数,
为偶数
; (Ⅱ)
1
2
4
2
n
n
n
S
．
解析：(Ⅰ) 由已知，有(
)
(
)
(
)
(
)
3
4
2
3
4
5
3
4
a
a
a
a
a
a
a
a
+
-
+
=
+
-
+
，即
4
2
5
3
a
a
a
a
，
所以
2
3
(
1)
(
1)
a q
a q
，又因为
1
q
，故
3
2
2
a
a
，由
3
1
a
a q
，得
2
q
，
当
2
1(
*)
n
k
n
N
时，
1
1
2
2
1
2
2
n
k
n
k
a
a
，
当
2 (
*)
n
k n
N
时，
2
2
2
2
n
k
n
k
a
a
，
所以{
}
n
a
的通项公式为
1
2
2
2
,
2 ,
.
n
n
n
n
a
n
为奇数,
为偶数
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得
2
2
1
2
1
log
2
n
n
n
n
a
n
b
a
，设数列
nb
的前n 项和为
n
S ，则
0
1
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
n
n
S
n
，
1
2
3
1
1
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
2
n
n
S
n
两式相减得
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
，
整理得
1
2
4
2
n
n
n
S
所以数列
nb
的前n 项和为
1
2
4
,
*
2n
n
n
N
．
12．(2015 高考数学山东理科·第18 题) 设数列
的前
项和为
．已知
．
(Ⅰ)求
的通项公式；
(Ⅱ)若数列
满足
，求
的前
项和
．
【答案】(Ⅰ)
; (Ⅱ)
．
分析：(Ⅰ)利用数列前
项和
与通项
的关系求解；
(Ⅱ)结合第(Ⅰ)问的结果，利用关系式
求出数列
的通项公式，并结合其通项的结构特征，
采用错位相减法求其前n 项和
．
解析：
(Ⅰ)因为
所以，
，故
当
时，
此时，
即
所以，
(Ⅱ)因为
，所以
当
时，
所以
当
时，
所以
两式相减，得
所以
经检验，
时也适合，
综上可得：
13．(2015 高考数学湖北理科·第18 题) (本小题满分12 分)设等差数列
的公差为
，前n 项和为
，等
比数列
的公比为q ．已知
，
，
，
．
(Ⅰ)求数列
，
的通项公式；
(Ⅱ)当
时，记
，求数列
的前n 项和
．
【答案】解析：(Ⅰ)由题意有，
即
解得
或
故
或
(Ⅱ)由
，知
，
，故
，
于是
， ①
． ②
①-②可得
，
故
．
14．(2017 年高考数学天津理科·第18 题) 已知{
}
na
为等差数列,前n 项和为
(
)
n
S
n
N
,{
}
nb
是首项为2 的
等比数列,且公比大于0 ,
2
3
12
b
b
,
3
4
1
2
b
a
a
,
11
4
11
S
b
．
(1)求{
}
na
和{
}
nb
的通项公式;
(2)求数列
2
2
1
{
}
n
n
a b
的前n 项和(
)
n
N
．
【答案】(1)
2n
nb
(2)
1
3
2
8
4
3
3
n
n
【解析】(1)设等差数列
na
的公差为d ,等比数列
nb
的公比为q ．
由已知
2
3
12
b
b
,得
2
1(
)
12
b q
q
,而
1
2
b
,所以
2
6
0
q
q
．
又因为
0
q
,解得
2
q
．所以,
2n
nb
．
由
3
4
1
2
b
a
a
,可得
1
3
8
d
a
①．
由
11
4
=11
S
b ,可得
1
5
16
a
d
②,
联立①②,解得
1
1
a
,
3
d
,由此可得
3
2
na
n
．
所以,数列{
}
na
的通项公式为
3
2
na
n
,数列{
}
nb
的通项公式为
2n
nb
．
(2)解:设数列
2
2
1
{
}
n
n
a b
的前n 项和为
nT ,
由
2
6
2
n
a
n
,
1
2
1
2 4n
n
b
,有
2
2
1
(3
1) 4n
n
n
a b
n
,
故
2
3
2 4
5 4
8 4
(3
1) 4n
nT
n
,
2
3
4
1
4
2 4
5 4
8 4
(3
4) 4
(3
1) 4
n
n
nT
n
n
,
上述两式相减,得
2
3
1
3
2 4
3 4
3 4
3 4
(3
1) 4
n
n
nT
n
1
1
12 (1
4 )
4
(3
1) 4
1
4
(3
2) 4
8.
n
n
n
n
n
得
1
3
2
8
4
3
3
n
n
n
T
．
所以,数列
2
2
1
{
}
n
n
a b
的前n 项和为
1
3
2
8
4
3
3
n
n
．
15．(2016 高考数学山东理科·第18 题) (本小题满分12 分)已知数列
的前n 项和
，
是等差数列，且
(Ⅰ)求数列
的通项公式；
(Ⅱ)令
求数列
的前
项和
．
【答案】(Ⅰ)bn=3n+1；(Ⅱ)T n=3n⋅2n+2
．
【解析】(Ⅰ)由题意知当n≥2时，an=Sn−Sn−1=6n+5 ，当n=1时，a1=S1=11，
所以an=6n+5 ．设数列
的公差为d ，由{a1=b1+b2¿¿¿¿
，即{11=2b1+d¿¿¿¿
，
可解得b1=4 ,d=3 ,所以bn=3n+1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，又T n=c1+c2+c3+¿⋅¿+cn ，
得
，
，
两式作差，得
所以T n=3n⋅2n+2
16．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第17 题) 设
是公比不为1 的等比数列，
为
，
的等差中项．
(1)求
的公比；
(2)若
，求数列
的前
项和．
【答案】(1)
；(2)
．
【解析】(1)设
的公比为
，
为
的等差中项，
，
；
(2)设
前
项和为
，
，
，①
，②
①
②得，
，
．
17．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第17 题) 设数列{an}满足a1=3，
．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n 项和Sn．
【答案】(1)
，
，
，证明见解析；(2)
．
解析：(1)由题意可得
，
，
由数列
的前三项可猜想数列
是以
为首项，2 为公差的等差数列，即
，
证明如下：
当
时，
成立；
假设
时，
成立．
那么
时，
也成立．
则对任意的
，都有
成立；
(2)由(1)可知，
，①
，②
由①
②得：
，
即
．
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．
18．(2014 高考数学浙江理科·第19 题) 已知数列
f(x)=x
3
+3|x−a|(a∈R).
和
f (x)
满足[−1,1]
．若
M(a),m(a)
为
等比数列，且
M (a)−m(a)
(1)求
b∈R,
与
[f(x)+b]
2
≤4
；
(2)设
x∈[−1,1]
。记数列
3a+b
的前
O
项和为
l1
．
(i)求l
；
(ii)求正整数
P
，使得对任意
l1
，均有
a−b
．
【答案】解析：(I)由题意，[−1,1] ，
，知
，又有
，
得公比
(
舍去) ，所以数列
的通项公式为
，所以
，故数列
的通项公式为，
；
(II)(i)由(I)知，
，所以
；
(ii)
因
为
；
当
时
，
，
而
，得
，所以当
时，
，综
上对任意
恒有
，故
．
19．(2014 高考数学上海理科·第23 题) 已知数列
满足
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)若
是公比为
的等比数列，
，若
，
，
求
的取值范围；
(3)若
成等差数列，且
，求正整数
的最大值，以及
取最大值时相应
数列
的公差．
【答案】
解析:(1)由条件得
且
，解得
．
所以
的取值范围是[3,6]．……3 分
(2)由
，且
，得
，所以
……4 分
又
，所以
．……5 分
当
时，
，
，由
得
成立．……6 分
当
时，
即
．
①若
，则
由
得
，所以
……8 分
②若
，则
．
由
得
，所以
综上，
的取值范围为
．……10 分
(3)设数列
的公差为
．由
，且
，
得
即
当
时，
，
当
时，由
得
所以
……14 分
所以
，即
，
得
．……17 分
所以
的最大值为
，
时，
的公差为
．……18 分．
题型五：数列中的新定义问题
1 ．(2017 年高考数学江苏文理科· 第19 题)
对于给定的正整数k , 若数列{
}
n
a
满足
1
1
1
1
n k
n k
n
n
n k
n k
a
a
a
a
a
a
2
n
ka
对任意正整数(
)
n n
k
总成立,则称数列{
}
n
a
是“
( )
P k 数列”．
(1)证明:等差数列{
}
n
a
是“
(3)
P
数列”;
(2)若数列{
}
n
a
既是“
(2)
P
数列”,又是“
(3)
P
数列”,证明:{
}
n
a
是等差数列．
【答案】(1)见解析(2)见解析
解析:证明:(1)因为
{
}
n
a
是等差数列,设公差为d,则
1
(
1)
na
a
n
d
,
从而,当
4
n≥时,
1
1
=
(
1)
(
1)
n k
n k
a
a
a
n
k
d
a
n
k
d
1
=2
2(
1)
2
,
1,2,3
n
a
n
d
a k
所以
3
2
1
1
2
3
6
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
,
因此等差数列
{
}
n
a
是“
(3)
P
数列”;
(2)数列
{
}
n
a
既是“
(2)
P
数列”,又是“
(3)
P
数列”,因此,
当
3
n
时,
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
2
1
1
2
4
,①
当
4
n
时,
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1
1
2
3
6
．②
由①知,
n
n
n
a
a
a
3
2
1
4
1
(
)
n
n
a
a
,③
n
n
n
a
a
a
2
3
1
4
1
(
)
n
n
a
a
,④
将③④代入②,得
n
n
n
a
a
a ,n
1
1
2
≥4,
所以
3
4
5
,
,
,
a a a
是等差数列,设其公差为
/d
在①中,取
4
n
,则a
a
a
a
a
2
3
5
6
4
4
,所以
/
a
a
d
2
3
,
在①中,取
3
n
,则
1
2
4
5
3
4
a
a
a
a
a
,所以
/
1
2
2
a
a
d
,
所以
{
}
n
a
是等差数列．
2．(2023 年北京卷·第21 题) 已知数列
的项数均为m
，且
的前n 项和分别为
，并规定
．对于
，定义
，其中，
表示数集M 中最大的数．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，且
，求
；
(3)证明：存在
，满足
使得
．
【答案】(1)
，
，
，
(2)
(3)证明见详解
解析：(1)由题意可知：
，
当
时，则
，故
；
当
时，则
，故
；
当
时，则
故
；
当
时，则
，故
；
综上所述：
，
，
，
．
(2)由题意可知：
，且
，
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
又因为
，则
，即
，
可得
，
反证：假设满足
的最小正整数为
，
当
时，则
；当
时，则
，
则
，
又因为
，则
，
假设不成立，故
，
即数列
是以首项为1，公差为1 的等差数列，所以
．
(3)
(ⅰ)若
，构建
，由题意可得：
，且
为整数，
反证，假设存在正整数
，使得
，
则
，可得
，
这与
相矛盾，故对任意
，均有
①若存在正整数
，使得
，即
，
可取
，使得
；
②若不存在正整数
，使得
，
因为
，且
，
所以必存在
，使得
，
即
，可得
，
可取
，使得
；
(ⅱ)若
，构建
，由题意可得：
，且
为整数，
反证，假设存在正整数
，使得
，
则
，可得
，
这与
相矛盾，故对任意
，均有
．
①若存在正整数
，使得
，即
，
可取
，使得
；
②若不存在正整数
，使得
，
因为
，且
，
所以必存在
，使得
，
即
，可得
，
可取
，使得
；
综上所述：存在
使得
．
3 ．(2019· 上海· 第21 题)
数列
有
项，
，对任意
，存在
，若
与前
项中某一项相等，则称
具有性质
.
(1)若
，求
可能的值；
(2)若
不为等差数列，求证：
中存在满足性质
；
(3)若
中恰有三项具有性质
，这三项和为
，使用
表示
.
【答案】(1)3,5,7；(2);(3)
【解析】(1)由题意，
①若
具有性质
，则
②若
具有性质
而
不具有性质
，则
即
；
③若
不具有性质
，则必有
即
；
此时若
具有性质
，则
；若
不具有性质
，则
综上所述，
可能的值为3、5、7
（2）假设
中不存在满足性质
的项，即对任意
均有
；
下面数学归纳法证明，
是等差数列；
①当
时，
成立；
②设当
且
时，
；
则当
时，因为
不具有性质
，故
而又存在
故，
，即
；
综上所述，当
中不存在满足性质
的项时，
时等差数列成立；
故其逆否命题：当
不是等差数列时，
中存在满足性质
的项成立.
（3）由题意，不妨设这三项为
，其中
;且
故数列
为等差数列；
为等差数列；
为等差数列，
为等差数列；
若存在
或
或
的情况
则去掉相应的
、
、
每组等
差数列的公差均为
；
且
、
、
故当数列去掉
这三项后，构成首项为
，公差为
，项数97 项的等差数列；
故这97 项的和
；
故这100 个数的和
4．(2019·江苏·第20 题) 定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“
－数列”.
(1)已知等比数列
满足：
，求证:数列
为“
－数列”；
(2)已知数列{bn}满足:
，其中
为数列
的前
项和．
①求数列
的通项公式；
②设
为正整数，若存在“
－数列”
，对任意正整数
，当
时，都有
成
立，求
的最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)设等比数列
的公比为
，所以
，
由
，得
，解得
．
因此数列
为“M—数列”.
(2)①因为
，所以
由
得
，则
由
，得
当
时，由
，得
整理得
．
所以数列
是首项和公差均为1 的等差数列.
因此，数列
的通项公式为
.
②由①知，
，
.
因为数列
为“
–数列”，设公比为
，所以
，
.
因为
，所以
，其中
.
当
时，有
；
当
时，有
．
设f(x)=
，则
．
令
，得
.列表如下：
x
(1，e)
e
(e，+∞)
+
0
–
f(x)
极大值
因为
，所以
．
取
，当
时，
，即
，
经检验知
也成立．
因此所求
的最大值不小于5．
若
，分别取
，得
，且
，从而
，且
，
所以
不存在.因此所求
的最大值小于6.
5．(2019·北京·理·第20 题) 已知数列
，从中选取第
项、第
项、…、第
项(
<
<…<
)，若
，则称新数列
为
的长度为m 的递增子列．规定：数列
的任意
一项都是
的长度为1 的递增子列．
(Ⅰ)写出数列1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为4 的递增子列；
(Ⅱ)已知数列
的长度为p 的递增子列的末项的最小值为
，长度为q 的递增子列的末项的最小值为
．若p＜q，求证：
＜
；
(Ⅲ)设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若
的长度为
的递增子列末项的最小
值为
，且长度为
末项为
的递增子列恰有
个(
)，求数列
的通项公式．
【答案】【解析】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4 的递增子列为：1，3，5，6．
(Ⅱ)对于每一个长度为
的递增子列
，都能从其中找到若干个长度为
的递增子列
，此时
，
设所有长度为
的子列的末项分别为：
，
所有长度为
的子列的末项分别为：
，则
，
注意到长度为
的子列可能无法进一步找到长度为
的子列，故
，
据此可得：
．
(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是
，
下面说明此数列满足题意．
很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等．
长度为的递增子列末项的最小值为
，
下面用数学归纳法证明长度为
末项为
的递增子列恰有
个
：
当
时命题显然成立，
假设当
时命题成立，即长度为
末项为
的递增子列恰有
个，
则当
时，对于
时得到的每一个子列
，
可构造：
和
两个满足题意的递增
子列，则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有
个，
综上可得，数列
是一个满足题意的数列的通项公式．
注：当
时，所有满足题意的数列为：
，
当
时，数列
对应的两个递增子列为：
和
．
6．(2018 年高考数学江苏卷·第26 题) (本小题满分10 分)设
，对1，2，···，n 的一个排列
，
如果当s<t 时，有
，则称
是排列
的一个逆序，排列
的所有逆序的总个数称为其逆
序数．例如：对1，2，3 的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231 的逆序数为2．记
为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．
(1)求
的值；
(2)求
的表达式(用n 表示)．
【答案】(1)2 5；(2)n≥5 时，
．
解析：(1)记
为排列abc 的逆序数，对1，2，3 的所有排列，有
，
所以
．
对1，2，3，4 的排列，利用已有的1，2，3 的排列，将数字4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后
三个位置．
因此，
．
(2)对一般的n(n≥4)的情形，逆序数为0 的排列只有一个：12…n，所以
．
逆序数为1 的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以
．
为计算
，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的位置
只能是最后三个位置．
因此，
．
当n≥5 时，
，
因此，n≥5 时，
．
7．(2018 年高考数学上海·第21 题) (本题满分18 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分8 分)
给定无穷数列
，若无穷数列
满足：对任意n
*
N ，都有
，则称
与
“接
近”．
(1)设
是首项为1，公比为
的等比数列，
，
，判断数列
是否与
接近，并
说明理由；
(2)设数列
的前四项为：
，
，
，
，
是一个与
接近的数列，记集合
，求
中元素的个数
；
(3)已知
是公差为
的等差数列，若存在数列
满足：
与
接近，且在
，
，…，
中至少有100 个为正数，求
的取值范围．
【答案】(1)接近；(2)3 或4；(3)
．
解析：(1)易得
，
．所以
．
因为
，所以
．则对任意
，都有
．
所以
与
“接近”．
(2)由题设知
，
，
，
．
注意观察
，
，
．
再考虑集合
的特点以及“元素的互异性”知：
①
各不相同时，
；②
时，此时必有
与它们不同，则
；
③
时，此时必有
与它们不同，则
．
综上所述，
或4．
(3)由题意知：
，则
．同理
．
要使
，则
．(
在
左侧相
交)．所以
，即
．因为
是公差为
的等差数列，所以
．
8．(2014 高考数学江苏·第20 题) 设数列{an}的前n 项和为Sn ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使
得Sn=am，则称{an}是“H 数列”．
(1)若数列{an}的前n 项和Sn=2n
(n∈N
¿
)，证明: {an}是“H 数列”；
(2)设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d<0 ．若{an} 是“H 数列”，求d 的值；
(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H 数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn
(n∈N
¿
) 成立．
【答案】解析：(1) 证明：由已知，当
时，
，于是对任意的正整数n，总
存在正整数
，使得
，所以
是“H 数列”．
(2) 解法一：由已知，得
，因为
是“H 数列”，所以存在正整
数m，使得
，即
，于是
．
因为
，所以
，故
，从而
．
当
时，
，
是小于2 的整数，
．
于是对任意的正整数n，总存在正整数
，使得
，
所以
是“H 数列”，因此
的值为
．
解法二：由
是首项为1 的等差数列，则
，
，
又数列是“H 数列”，不妨取
时，存在满足条件的正整数
，
使得
，即
，
(i)当
时，此时
，不符合题意，应舍去；
(ii)当
时，不存在满足条件的
；
(iii)当
时，
． 此时数列
的通项公式为
，
下面我们一起来验证
为“H 数列”:
；
，此时
，容易验证
为正整数．
解法三：由题意设
；又等差数列
的前n 项和
；
由题意知对任意正整数
，总存在正整数
，使得
，
(*)；
那么
随着
的变化而变化，可设满足函数关系式
．
又
，那么要使(*)对任意自然数
恒成立，则
；
代入得：
，即有
；
又当
时，
，即
，由此可以解得
．
此时
．
解法四：由{an}是首项为1 的等差数列，且数列{an}是“H 数列”，
则
，又
，所以
，则
，从而
，
此时
，
，由
得，
为正整数，
从而数列{an}是“H 数列”．
(3) 解法一：设等差数列
的公差为
，
则
．
令
，则
．
下证
是“H 数列”．
设
的前n 项和为
，则
，
于是对任意的正整数n，总存在正整数
，使得
，所以
是“H 数列”．
同理可证
也是“H 数列”．
所以，对任意的等差数列
，总存在两个“H 数列”
和
，使得
成立．
解法二：由(2)的解答过程可知：等差数列
中若
时，
是“
数列”，
则
．
同理等差数列
中若
时，
是“
数列”，
．
任意的等差数列
，则可表示为
．
令
，
，此时
，
．
所以对任意的等差数列
，总存在两个等差“
数列”
和
，
使得
成立．
9．(2014 高考数学北京理科·第20 题) 对于数对序列f ( x )≤f (0)=0 , 记x >0 ,
sin x
x
> a
其中sin x−ax >0 表示
sin x
x
<b和sin x−bx <0 两个数中最大的数,
(1)对于数对序列g(x)=sin x−cx , 求g
'(x)=cosx−c的值
(2)记m 为a、b、c、d 四个数中最小的数， 对于由两个数对(a, b), (c, d)组成的数对序列c≤0
和g( x )>0 ， 试分别对m=a 和m=d 时两种情况比较
x∈(0, π
2 )和c≥1 的大小
(3)在由5 个数对(11, 8), (5, 2), (16, 11), (11, 11), (4, 6)组成的所有数对序列中, 写出一个数对序列P 使
x∈(0, π
2 )最小, 并写出g
'
(x)=cosx−c<0的值(只需写出结论)．
【答案】解析：(Ⅰ)T 1( P)=2+5=7,
T 2( P)=1+max{T 1( P),2+4}=1+max{7,6}=8.
(Ⅱ) T 2( P)=max{a+b+d ,a+c+d},
T 2( P')=max{c+d+b,c+a+b}.
当m=a时,T 2( P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.
因为a+b+d≤c+b+d ,且a+c+d≤c+b+d ,所以T 2(P)≤T 2(P').
当m=d 时,T 2( P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.
因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T 2(P)≤T 2(P').
所以无论m=a还是m=d ,T 2(P)≤T 2(P')都成立．
(Ⅲ) 数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T 5(P)值最小,
T 1(P)=10,T 2( P)=26,T 3( P)=42,T 4(P)=50,T 5(P)=52.
10．(2016 高考数学江苏文理科·第20 题) 记
．对数列
(
)和
的子集
，若
，定义
；
若
，定义
．例如：
时，
．
现设
(
)是公比为
的等比数列，且当
时，
．
(1) 求数列
的通项公式；
(2)对任意正整数
(
)，若
，求证：
；
(3)设
，
，
，求证：
．
【答案】(1)
；(2)(3)详见解析；
【官方解答】(1)由已知得
．
于是当
时，
．
又
，故
，即
．
所以数列
的通项公式为
．
(2)因为
，
，
所以
，
因此，
．
(3)下面分三种情况说明．
①若
是
的子集，则
．
②若
是
的子集，则
．
③若
不是
的子集，且
不是
的子集．
令
，
，则
，
，
．
于是
，
，进而由
得
．
设
为
中的最大数，为
中的最大数，则
，
，
．
由(2)知，
．于是
，所以
，即
．
又
，故
．从而
，
故
，所以
，即
．
综合①②③得，
．
民间解答：(1)当
时，
因此
，从而
，
；
(2)
；
(3)设
，
则
，
，
，
因此原题就等价于证明
．
由条件
可知
．
①若
，则
，所以
．
②若
，由
可知
，设
中最大元素为，
中最大元素为
若
，则由第⑵小题，
，矛盾．
因为
，所以
，所以
，
，即
．
综上所述，
，因此
．
11．(2016 高考数学北京理科·第20 题) (本小题13 分) 设数列
．如果对小于
的每个正整数
都有
，则称
是数列
的一个“
时刻”．记“
是数列
的
所有“
时刻”组成的集合．
(Ⅰ)对数列
：
，写出
的所有元素；
(Ⅱ)证明：若数列
中存在
使得
，则
；
(Ⅲ)证明：若数列
满足
，则
的元素个数不小于
．
【答案】（1）
；（2）略；（3）略．
【官方解答】（Ⅰ）
的元素为
和
．
（Ⅱ）因为存在
使得
，所以
．
记
，
则
，且对任意正整数
．
因此
，从而
．
（Ⅲ）当
时，结论成立．
以下设
．
由（Ⅱ）知
．
设
，记
．
则
．
对
，记
．
如果
，取
，则对任何
．
从而
且
．
又因为
是
中的最大元素，所以
．
从而对任意
，
，特别地，
．
对
．
因此
．
所以
．
因此
的元素个数
不小于
．
【民间解答】⑴
⑵ 因为存在
，设数列
中第一个大于
的项为
，则
，
其中
，所以
，
．
⑶ 设
数列的所有“
时刻”为
，
对于第一个“
时刻”
，有
，
，则
．
对于第二个“
时刻”
，有
（
）．
则
．
类似的
，…，
．
于是，
．
对于
，若
，则
；
若
，则
否则由⑵，知
中存在“
时刻”，与只有
个“
时刻”矛盾．
从而，
，证毕．
12．(2016 高考数学上海理科·第23 题) (本题满分18 分)本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题
满分6 分，第3 小题满分8 分．
若无穷数列
满足：只要
，必有
，则称
具有性质
．
(1)若
具有性质
，且
，
，求
；
(2)若无穷数列
是等差数列，无穷数列
是公比为正数的等比数列，
，
，
判断
是否具有性质
，并说明理由；
(3)设
是无穷数列，已知
．求证：“对任意
都具有性质
”的充要
条件为“
是常数列”．
【答案】(1)
．(2)
不具有性质
．(3)见解析．
解析：(1)因为
，所以
，
，
．
于是
，又因为
，解得
．
(2)
的公差为
，
的公比为
，
所以
，
．
．
，但
，
，
，
所以
不具有性质
．
(3)[证]充分性：
当
为常数列时，
．
对任意给定的
，只要
，则由
，必有
．
充分性得证．
必要性：用反证法证明．假设
不是常数列，则存在
，
使得
，而
．
下面证明存在满足
的
，使得
，但
．
设
，取
，使得
，则
，
，故存在
使得
．
取
，因为
(
)，所以
，
依此类推，得
．
但
，即
．
所以
不具有性质
，矛盾．
必要性得证．
综上，“对任意
，
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”．
题型六：数列中的证明问题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第18 题) 已知
为等差数列，
，记
，
分别为数
列
，
前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析．
解析：(1)
设等差数列
的公差为
，而
，
则
，
于是
，解得
，
，
所以数列
的通项公式是
．
(2)
方法1：由(1)知，
，
，
当
为偶数时，
，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
．
方法2：由(1)知，
，
，
当
为偶数时，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，若
，则
，显然
满足上式，因此当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
．
2．(2023 年天津卷·第19 题) 已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)已知
为等比数列，对于任意
，若
，则
，
(Ⅰ)当
时，求证：
；
(Ⅱ)求
的通项公式及其前
项和．
【答案】(1)
，
；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
，前
项和为
．
解析：(1)由题意可得
，解得
，
则数列
的通项公式为
，
求和得
．
(2)(Ⅰ)由题意可知，当
时，
，
取
，则
，即
，
当
时，
，
取
，此时
，
据此可得
，
综上可得：
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：
，
据此猜测
，
否则，若数列的公比
，则
，
注意到
，则
不恒成立，即
不恒成立，
此时无法保证
，
若数列的公比
，则
，
注意到
，则
不恒成立，即
不恒成立，
此时无法保证
，
综上，数列的公比为
，则数列的通项公式为
，
其前
项和为：
．
3．(2022 新高考全国I 卷·第17 题) 记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数
列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)见解析
解析：(1)∵
，∴
,∴
,又∵
是公差为
的等差数列，
∴
,∴
,∴当
时，
，
∴
,整理得：
,
即
,∴
，
显然对于
也成立，
∴
的通项公式
；
(2)
∴
4．(2014 高考数学课标1 理科·第17 题) 已知数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ,
1
1
a = ,
0
na
,
1
1
n
n
n
a a
S
,其
中为常数．
(1)证明:
2
n
n
a
a
l
+ -
=
;
(2)是否存在,使得{
}
na
为等差数列?并说明理由．
【答案】解析:(1)由题设
1
1
n
n
n
a a
S
l
+ =
-
,
1
2
1
1
n
n
n
a
a
S
l
+
+
+
=
-
,两式相减
(
)
1
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
l
+
+
+
-
=
,由于
0
na
,所以
2
n
n
a
a
l
+ -
=
．
(2) 由题设
1
1
a = ,
1
2
1
1
a a
S
l
=
-
,可得
2
1
1
a
l
=
- ,由(1)知
3
1
a
l
= +
假设{
}
na
为等差数列,则
1
2
3
,
,
a a a 成等差数列,∴
1
3
2
2
a
a
a
+
=
,解得
4
l = ;
证明
4
l = 时,{
}
na
为等差数列:由
2
4
n
n
a
a
+ -
= 知
数列奇数项构成的数列{
}
2
1
m
a
-
是首项为1,公差为4 的等差数列
2
1
4
3
m
a
m
- =
-
令
2
1,
n
m
=
-
则
1
2
n
m
+
=
,∴
2
1
na
n
=
-
(
2
1)
n
m
=
-
数列偶数项构成的数列{
}
2m
a
是首项为3,公差为4 的等差数列
2
4
1
m
a
m
=
-
令
2 ,
n
m
=
则
2
n
m =
,∴
2
1
na
n
=
-
(
2 )
n
m
=
∴
2
1
na
n
=
-
(
*
n
N
),
1
2
n
n
a
a
+ -
=
因此,存在存在
4
l = ,使得{
}
na
为等差数列．
5．(2020 年浙江省高考数学试卷·第20 题) 已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
．
(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列，且公比
，且
，求q 与an的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且公差
，证明：
．
【答案】(I)
；(II)证明见解析．
解析：(I)依题意
，而
，即
，由于
，所以解得
，所
以
．
所以
，故
，所以数列
是首项为，公比为
的等比数列，所以
．
所以
(
)．
所以
(II)依题意设
，由于
，
所以
，
故
．
所以
．
由于
，所以
，所以
．
即
，
．
6．(2018 年高考数学天津（理）·第18 题) (本小题满分13 分) 设
是等比数列，公比大于0，其前
项和为
，
是等差数列． 已知
，
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，
(i)求
；
(ii)证明
．
【答案】解析：(1)设等比数列
的公比为
．由
可得
．
因为
，可得
，故
．
设等差数列
的公差为
，由
，可得
由
，可得
从而
， 故
．
所以数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
．
(2)(i)由(1)，有
，故
．
(ii)证明：因为
，
所以，
．
7．(2016 高考数学天津理科·第18 题) 已知
是各项均为正数的等差数列，公差为
．对任意的
，
是
和
的等比中项．
(Ⅰ)设
，求证：数列
是等差数列；
(Ⅱ)设
，求证
．
【答案】(Ⅰ)详见解析 (Ⅱ)详见解析
解析：(Ⅰ)
为定值．
∴
为等差数列
(Ⅱ)
(*)
由已知
将
代入(*)式得
∴
，得证
8．(2019·浙江·第20 题) 设等差数列
的前
项和为
，
，
．数列
满足：对任意
，
，
，
成等比数列．
(Ⅰ)求数列
，
的通项公式；
(Ⅱ)记
，
，证明：
，
．
【答案】【意图】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算
求解能力和综合应用能力。满分15 分。
【解析】(Ⅰ)设数列
的公差为
，由题意得
解得
，
，
从而
，
，所以
，
．
解法一：由
，
，
成等比数列得
，
解得
，所以
，
．
解法二：由
，
，
成等比数列得
，两边同减去，得
，即
，再两边同减去，得
，所以
，
即
，所以
，
．
(Ⅱ)解法一：由于cn=√
an
2bn
=√
n−1
n(n+1)<√
1
n= 2
2√n <
2
√n−1+√n=2(√n−√n−1)，
从而
．
解法二：由于
，
．
我们用数学归纳法证明：
①当
时，
，不等式成立；
②假设
时不等式成立，即
．
则当
时，
，
即
时，不等式也成立．
根据①和②，不等式
对任意
成立．
9．(2018 年高考数学江苏卷·第20 题) (本小题满分16 分)设
是首项为
，公差为d 的等差数列，
是首项为
，公比为q 的等比数列．
(1)设
，若
对
均成立，求d 的取值范围；
(2)若
，证明：存在
，使得
对
均成立，并求
的取值范围(用
表示)．
【答案】解析：(1)由条件知：
，
，
因为
对n=1，2，3，4 均成立，
即
对n=1，2，3，4 均成立，
即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得
．
因此，d 的取值范围为
．
(2)由条件知：
，
．
若存在d，使得
(n=2，3，···，m+1)成立，
即
(n=2，3，···，m+1)，
即当n=2，3，···，m+1 时，d 满足
，
因为
，则
，
从而
，
，对n=2，3，···，m+1 均成立，
因此，取d=0 时，
对n=2，3，···，m+1 均成立．
下面讨论数列
的最大值和数列
的最小值(n=2，3，···，m+1)，
①当2≤n≤m 时，
，
当
时，有
，从而
，
因此，当
时，数列
单调递增，
故数列
的最大值为
．
①设
，当
时，
，
所以
单调递减，从而
．
当
时，
，
因此，当
时，数列
单调递减，
故数列
的最小值为
．
因此，d 的取值范围为
，
10．(本小题满分14 分)已知数列
满足
，并且
(
为非零参数，
)．
(Ⅰ)若
成等比数列，求参数
的值；
(Ⅱ)设
，常数
且
．证明
．
【答案】分析：本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前
项和公式、等差数
列前
项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分14 分。
(I)由已知
且
若
、
、
成等比数列，则
即
而
解得
(II)证明：设
由已知，数列
是以
为首项、
为公比的等比数列，故
则
因
此
，
对
任
意
当
且
时，
所以
11．(2014 高考数学重庆理科·第22 题) (本小题满分12 分，(1)问4 分，(2)问8 分)
设a1=1,an+1=√a
n2−2an+2+b,(n∈N
¿)
．
（1）
若
，求
及数列
的通项公式；
（2）
若
，问：是否存在实数c 使得
对所有
都成立?证明你的结论
【答案】(1)
(2)符合条件的
存在，其中的一个值为
．
解析：(1)解法一:当
时，
，
是公差为1，首项为
的等差数列，故
，即
解法二：
。
因此猜想
．
下面用数学归纳法证明上式：
当
时结论显然成立．
假设
时结论成立，即
．
则
即
时结论成立．
所以
，
（2）
解法：设
，则
．
令
,即
，解得
．
下用数学归纳法证明加强命题：
．
当
时，
，所以
，结论成立．
假设假设
时结论成立，即
．
易知
在
上为减函数，从而
，即
再由
在
上为减函数得
故
，因此
，即
时结论成立．
综上，符合条件的
存在，其中的一个值为
．
12．(2014 高考数学课标2 理科·第17 题) (本小题满分12 分)
已知数列
满足
=1，
．
(Ⅰ)证明
是等比数列，并求
的通项公式；
(Ⅱ)证明：
【答案】解析：(Ⅰ)由
，得
，且
所以
是首相为
，公比为
的等比数列。
因此
，所以
的通项公式为
．
(Ⅱ)由(1)知
当
时，
，所以
于是
所以
13．(2014 高考数学安徽理科·第21 题) 设实数
，整数
．
(Ⅰ)证明：当
且
时，
；
(Ⅱ)数列
满足
．证明：
．
【答案】(Ⅰ)证：用数学归纳法证明如下：
①当
时，(1+x)2=1=2 x+x2>1+2 x ，原不等式成立．
②假设p=k(k≥2，k ∈N
¿)时，(1+x)k>1+kx 成立．
当p=k+1时，(1+x)k+1>(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx )=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x ．
所以p=k+1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>−1，x≠0时，对一切整数p>1 ，不等式(1+x)p>1+px 均成立．
(Ⅱ)证法1：先用数学归纳法证明an>c
1
p
．
①当
时，由题设a1>c
1
p
知an>c
1
p
成立．
②假设
时，不等式ak>c
1
p
成立．
由
ak+1= p−1
p
an+an
1−p
易知an>0，n∈N
¿
．
当
时，
ak+1
ak
= p−1
p
+ c
p ak
−p=1+ 1
p ( c
ak
p −1)
．
由ak>c
1
p >0 得
−1<−1
p < 1
p ( c
ak
p−1)<0
．
由(Ⅰ)中的结论得
( ak+1
ak
)p=[1+ 1
p ( c
ak
p −1)]p>1+ p⋅1
p ( c
ak
p −1)= c
ak
p
．
因此ak+1
p
>c ，即ak+1>c
1
p
．
所以
时，不等式an>c
1
p
也成立．
综合①②可得，对一切正整数
，不等式an>c
1
p
均成立．
再由
an+1
an
=1+ 1
p ( c
an
p−1)
可得
an+1
an
<1
，即an+1<an ．
综上所述，an>an+1>c
1
p ，n∈N
¿
．
证法2：设
f ( x)= p−1
p
x+ c
p x1−p，x≥c
1
p
，则x p≥c ，并且
f
'( x)= p−1
p
+ c
p (1−p)x−p= p−1
p
(1−c
x p )>0，x≥c
1
p
．
由此可得，f ( x)在[c
1
p ，+∞)上单调递增，
因而，当x≥c
1
p 时，f ( x)>f (c
1
p )=c
1
p
．
①当
时，由题设a1>c
1
p >0 ，即a1
p>c 可知
a2= p−1
p
a1+ c
p a1
1−p=a1[1+ 1
p (
c
a1
p−1
)]<a1
，并且a2=f (a1)>c
1
p
，
从而a1>a2>c
1
p
．
故当
时，不等式an>an+1>c
1
p
．
②假设
(k≥1，k ∈N
¿
)时，不等式ak>ak+1>c
1
p
成立，
则当
时，f (ak)>f (ak+1)>f (c
1
p )，即有ak>ak+1>c
1
p
．
所以
时，原不等式也成立．
综合①②可得，对一切正整数
，不等式an>c
1
p
均成立．
14．(2016 高考数学浙江理科·第20 题) (本题满分15 分)设数列
满足
，
．
(Ⅰ)证明：
,
；
(Ⅱ)若
，
，证明：
，
．
【答案】【命题意图】本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论
证能力、分析问题和解决问题的能力．
解析：(Ⅰ)由
得
，故
，
，
所以
，
因此
．
(Ⅱ)任取
，由(Ⅰ)知，对于任意
，
，
故
．
从而对于任意
，均有
．由
的任意性得
． ①
否则，存在
，有
，取正整数
且
，
则
，与①式矛盾．
综上，对于任意
，均有
．
15．(2015 高考数学重庆理科·第22 题) (本小题满分12 分，(1)小问4 分，(2)小问8 分)
在数列
中，
．
(1)若
求数列
的通项公式；
(2)若
证明：
．
【答案】(1)
；(2)证明见解析．
分析：(1)由于
，因此把已知等式具体化得
，显然由于
，则
(否则
会得出
)，从而
，所以
是等比数列，由其通项公式可得结论；(2)本小题是数列与不等
式的综合性问题，数列的递推关系是
可变形为
,
由于
，因此
，于是可得
，即有
，又
，于是有
，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知
，因此
，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法．(1) 由
, 有
若存在某个
，使得
，则由上述递推公式易得
，重复上述过程可得
，此与
矛盾，所以对任意
,
．
从而
，即
是一个公比
的等比数列．
故
．
(2)由
，数列
的递推关系式变为
变形为
．
由上式及
，归纳可得
因为
，所以对
求和得
另一方面，由上已证的不等式知
得
综上：
16．(2015 高考数学浙江理科·第20 题) (本题满分15 分)已知数列
满足
=
且
=
(
)
(1)证明：1
(
)；
(2)设数列
的前n 项和为
，证明
(
)．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．
解析：
(1)首先根据递推公式可得
，再由递推公式变形可知
，从而得证；(2)由
和
得，
，从而可得
，即可得证．
解析：(1)由题意得，
，即
，
，由
得
，由
得，
，即
；(2)由题意得
，
∴
①，由
和
得，
，
∴
，因此
②，由①②得
．
题型七：数列与其他知识的交汇
1 ．(2016 高考数学四川理科· 第19 题) 已知数列
的首项为
，
为数列
的前
项和，
，其中
，
．
(1)若
时，
成等差数列，求数列
的通项公式；
(2)设双曲线
的离心率为
，且
，求
．
【答案】【官方解答】由已知由
，两式相减得到
又由
，故对所有的
都成立
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以数列
的通项公式为
因为
成等差数列，所以
所以数列
的通项公式为
(2)由(1)知
，所以双曲线
的离心率为
由于
，则有
因为
，所以
则有
．
【民间解析】当
时，
当
时，由
，
则有
，
，又知
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以数列
的通项公式为
因为
成等差数列，所以
所以数列
的通项公式为
(2)由题意和(1)知
，
因为
，所以
，
所以
所以
所以
2．(2015 高考数学江苏文理·第20 题) 设
是各项为正数且公差为
的等差数列．
(1)证明：
依次构成等比数列；
(2)是否存在
，使得
依次构成等比数列？并说明理由；
(3)是否存在
及正整数
，使得a1
n,a2
n+k ,a3
n+2k ,a4
n+3k 依次构成等比数列？并说明理由．
【答案】(1)详见解析(2)不存在(3)不存在
分析(1)根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可(2)本题列式简单，
变形较难，首先令
将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方
程：
，无解，所以不存在(3)同(2)先令
将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取
对数，消去n,k 得到关于t 的一元方程
，
从而将方程的解转化为研究函数
零点
情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在
上无零点
解析：(1)证明：因为
(
，
，
)是同一个常数，
所以
，
，
，
依次构成等比数列．
(2)令
，则
，
，
，
分别为
，
，
，
(
，
，
)．
假设存在
，
，使得
，
，
，
依次构成等比数列，
则
，且
．
令
，则
，且
(
，
)，
化简得
(
)，且
．将
代入(
)式，
，则
．
显然
不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在
，
，使得
，
，
，
依次构成等比数列．
(3)假设存在
，
及正整数
，
，使得
，
，
，
依次构成等比数列，
则
，且
．
分别在两个等式的两边同除以
及
，并令
(
，
)，
则
，且
．
将上述两个等式两边取对数，得
，
且
．
化简得
，
且
．
再将这两式相除，化简得
(
)．
令
，
则
．
令
，
则
．
令
，则
．
令
，则
．
由
，
，
知
，
，
，
在
和
上均单调．
故
只有唯一零点
，即方程(
)只有唯一解
，故假设不成立．
所以不存在
，
及正整数
，
，使得
，
，
，
依次构成等比数列．
3．(2014 高考数学四川理科·第19 题) 设等差数列
的公差为
，点
在函数
的图象
上(
)．
(Ⅰ)若
，点
在函数
的图象上，求数列
的前
项和
；
(Ⅱ)若
，函数
的图象在点
处的切线在
轴上的截距为
，求数列
的前
项
和
．
【答案】解析：(Ⅰ)由已知，
，
，有
．
解得
．
所以，
．
(Ⅱ)函数
在
处的切线方程为
，
它在
轴上的截距为
．
由题意，
，
解得
．
所以，
．
从而
，
．
所以
，
．
因此，
．
所以，
．
4．(2017 年高考数学上海（文理科）·第19 题) (本题满分14 分,第1 小题满分6 分,第2 小题满分8 分)
根据预测, 某地第n
*
(
)
nN
个月共享单车的投放量和损失量分别为
na 和
nb ( 单位: 辆), 其中
4
5
15, 1
3
10
470,
4
n
n
n
a
n
n
,
5
nb
n
,第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失
量的差．
(1)求该地区第4 个月底的共享单车的保有量;
(2)已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量
2
4(
46)
8800
n
S
n
(单位:辆)．设在某月底,共享
单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?
【答案】【解析】(1)
1
2
3
4
1
2
3
4
(
)
(
)
965
30
935
a
a
a
a
b
b
b
b
;
(2) 10
470
5
42
n
n
n
,即第42 个月底,保有量达到最大
1
2
3
4
1
2
3
4
(420
50) 38
(6
47) 42
(
)
(
)
[965
]
8782
2
2
a
a
a
a
b
b
b
b
2
42
4(42
46)
8800
8736
S
,∴此时保有量超过了容纳量．
5．(2017 年高考数学山东理科·第19 题) 已知{
}
nx
是各项均为正数的等比数列,且
1
2
3
2
3,
2
x
x
x
x
+
=
-
=
,
(Ⅰ)求数列{
}
nx
的通项公式;
(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点
1
1
2
2
( ,1),
(
,2)
P x
P x
,,
1
1
(
,
1)
n
n
P
x
n
+
+
+
得到折线
1
2
PP
1
nP + ,求由
该折线与直线
0
y =
,
i
x
x
=
(
{
}
n
x
x
)所围成的区域的面积
nT
．
【答案】 (I)
1
2
.
n
nx
(II)
(2
1) 2
1.
2
n
n
n
T
【分析】(1)依题意,列关于
1x 和q 的方程组;(2)利用梯形的面积公式,记梯形
1
1
n
n
n
n
P P Q
Q
的面积为
nb ,求得
1
2
(
1)
2
(2
1) 2
2
n
n
n
n
n
b
n
,利用错位相减法计算得到
(2
1) 2
1
2
n
n
n
T
．
【解析】
(I)设数列{
}
nx
的公比为q ,由已知
0
q
．
由题意得
1
1
2
1
1
3
2
x
x q
x q
x q
,所以
2
3
5
2
0
q
q
,
因为
0
q
,所以
1
2,
1
q
x
,
因此数列{
}
nx
的通项公式为
1
2
.
n
nx
(Ⅱ)过
1
2
3
1
,
,
,
,
n
P P P
P
向x 轴作垂线,垂足分别为
1
2
3
1
,
,
,
,
n
Q Q Q
Q
由(Ⅰ)得
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
x
x
．
记梯形
1
1
n
n
n
n
P P Q
Q
的面积为
nb ,由题意:
1
2
(
1)
2
(2
1) 2
2
n
n
n
n
n
b
n
所以:
1
2
3
n
n
T
b
b
b
b
1
0
1
2
3 2
5 2
7 2
(2
1) 2n
n
0
1
2
1
2
3 2
5 2
(2
1) 2
(2
1) 2
n
n
nT
n
n
两式相减得:
1
2
1
1
3 2
(2
2
......
2
)
(2
1) 2
n
n
nT
n
=
1
1
3
2(1 2
)
(2
1) 2
.
2
1 2
n
n
n
所以
(2
1) 2
1.
2
n
n
n
T
6．(2022 高考北京卷·第21 题) 已知
为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q 中存在
，使得
，则称Q 为
连续可表数列．
(1)判断
是否为
连续可表数列？是否为
连续可表数列？说明理由；
(2)若
为
连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
(3)若
为
连续可表数列，且
，求证：
．
【答案】解析:(1)
，
，
，
，
，所以
是
连续可表数列；易知，
不存在
使得
，所以
不是
连续可表数列．
(2)若
,设为
,则至多
，6 个数字，没有
个，矛盾；
当
时,数列
，满足
，
，
，
，
，
，
，
，
．
(3)
，若
最多有
种，若
，最多有
种，所以最多有
种，
若
，则
至多可表
个数，矛盾,
从而若
,则
，
至多可表
个数，
而
，所以其中有负的，从而
可表1~20 及那个负数(恰 21 个)，这表明
中仅一个负的，没有0，且这个负的在
中绝对值最小，同时
中没有两数相同,设那个负数
为
，
则所有数之和
，
，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足
个，
(仅一种方式)，
与2 相邻，
若
不在两端,则
形式，
若
，则
(有2 种结果相同，方式矛盾)，
， 同理
，故
在一端，不妨为
形式，
若
,则
(有2 种结果相同，矛盾)，
同理不行，
，则
(有2 种结果相同，矛盾)，从而
，
由于
,由表法唯一知3,4 不相邻,、
故只能
，①或
，②
这2 种情形，
对①：
，矛盾，
对②：
，也矛盾，综上
7．(2021 年高考浙江卷·第20 题) 已知数列
前n 项和为
，
，且
．
(1)求数列
通项；
(2)设数列
满足
，记
的前n 项和为
，若
对任意
恒成立，求
的
范围．
【答案】(1)
；(2)
．
解析:(1)当
时，
，
，
当
时，由
①，得
②，①
②得
，又
是首项为
，公比为
的等比数列，
；
(2)由
，得
，
所以
，
，
两式相减得
，
所以
，由
得
恒成立，
即
恒成立，
时不等式恒成立；
时，
，得
；
时，
，得
；
所以
．
8 ．(2019· 天津· 理· 第19 题)
设
是等差数列，
是等比数列．已知
．
(Ⅰ)求
和
的通项公式；
(Ⅱ)设数列
满足
其中
．
(i)求数列
的通项公式；
(ii)求
．
【答案】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前
项和公式等基础知识．考查化归与转化
思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．满分14 分．
(Ⅰ)解：设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
．依题意得
解得
故
．
所以，
的通项公式为
的通项公式为
．
(Ⅱ)(i)解：
．
所以，数列
的通项公式为
．
(ii)解：
．
9．(2015 高考数学上海理科·第22 题) (本题满分16 分)本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满
分6 分，第3 小题满分6 分
已知数列
与
满足
．
(1)若
，且
，求
的通项公式；
(2)设
的第
项是最大项，即
，求证：
的第
项是最大项；
(3)设
，求
的取值范围，使得
有最大值
与最小值
，且
．
【答案】(1)
；(2)证明见解析；(3)
；
解析：(1)由
可得：
，又
，所以数列
为以1 为首项，6
为公差的等差数列，即有
；
(2)由
可得：
将上述式子累加可得
，当
时，也成立，所以
，由此可得
，由于
为常数，所以当
的第
项是最大项时，
最大，即
的第
项是最大项；
(3)有(2)可知
，即
，结合
可得
，分三种情况进行讨论：
①当
时，则
为偶数时
，
为奇数时
，即有
，
，此时
，
由此，此情况不符合条件；
②当
时，则
为偶数时，
，由于
，所以
，从而
随着
增大值减
小，此时
，
，无最小值(无限靠近0)；
为奇数时，
，此时
，由于
，所以
，从而
随着
增大值减小，结合
，可知随着
增大
值增大，
此时
，无最大值(无限靠近0)；由此可知数列
的最大值
，最小值
，
，又
，所以
，解之
；
③当
时，则
为偶数时，
，由于
，所以
，从而
随着
增大值增大，
此时
，
，无最大值(无限靠近
)；
为奇数时，
，此时
，由于
，所以
，从而
随着
增大值增大，结合
，可知随着
增大
值减小，此时
，无最小值(无限靠近
)；由此可知，在
条件下，数列
无最值，显然不符合条件；
综上，符合条件的实数
的取值范围为
．
10．(2015 高考数学陕西理科·第21 题) (本小题满分12 分)设
是等比数列，
，
，
，
的各项
和，其中
，
，
．
(Ⅰ)证明：函数
在
内有且仅有一个零点(记为
)，且
；
(Ⅱ)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为
，比较
与
的大小，并加以证明．
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)当
时，
，当
时，
，证明见解析．
分析：(Ⅰ)先利用零点定理可证
在
内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证
在
内有且仅有一个零点，进而利用
是
的零点可证
；(Ⅱ) 先设
，再对
的取值范围进行讨论来判断
与
的大小，进而可得
和
的大小．
解析：(Ⅰ)
，则
所以
在
内至少存在一个零点
．
又
，故在
内单调递增，
所以
在
内有且仅有一个零点
．
因为
是
的零点，所以
，即
，故
．
(Ⅱ)解法一：由题设，
设
当
时，
当
时，
若
，
若
，
所以
在
上递增，在
上递减，
所以
，即
．
综上所述，当
时,
；当
时
解法二 由题设，
当
时,
当
时, 用数学归纳法可以证明
．
当
时,
所以
成立．
假设
时，不等式成立，即
．
那么，当
时，
．
又
令
，则
所以当
,
,
在
上递减；
当
,
,
在
上递增．
所以
，从而
故
．即
，不等式也成立．
所以，对于一切
的整数，都有
．
解法三:由已知，记等差数列为
,等比数列为
,
则
，
，
所以
,
令
当
时,
,所以
．
当
时,
而
，所以
，
．
若
，
，
，
当
，
，
，
从而
在
上递减，
在
上递增．所以
，
所以当
又
，
，故
综上所述，当
时，
；当
时
．
11．(2015 高考数学北京理科·第20 题) (本小题13 分)已知数列
满足：
，
，且
．记集合
．
(Ⅰ)若
，写出集合
的所有元素；
(Ⅱ)若集合
存在一个元素是3 的倍数，证明：
的所有元素都是3 的倍数；
(Ⅲ)求集合
的元素个数的最大值．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)证明见解析；(III )8．
解析：(Ⅰ)由已知
可知：
(Ⅱ)因为集合
存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设
是3 的倍数，由已知
，可
用用数学归纳法证明对任意
，
是3 的倍数，当
时，则M 中的所有元素都是3 的倍数，如
果
时，因为
或
，所以
是3 的倍数，于是
是3 的倍数，类似可得，
都是3 的倍数，从而对任意
，
是3 的倍数，因此
的所有元素都是3 的倍数．
(Ⅲ)由于
中的元素都不超过36，由
，易得
，类似可得
，其次
中的元素个
数最多除了前面两个数外，都是4 的倍数，因为第二个数必定为偶数，由
的定义可知，第三个数及后面
的数必定是4 的倍数，另外，M 中的数除以9 的余数,由定义可知，
和
除以9 的余数一样，
①若
中有3 的倍数，由(2)知：所有的
都是3 的倍数，所以
都是3 的倍数，所以
除以9 的余数为
为3，6，3，6，．．．．．． ,或6，3，6，3．．．．．．，或0，0，0，．．．．．． ,而除以9 余3 且
是4 的倍数只有12，除以9 余6 且是4 的倍数只有24，除以9 余0 且是4 的倍数只有36，则M 中的数从第
三项起最多2 项，加上前面两项，最多4 项．
②
中没有3 的倍数，则
都不是3 的倍数，对于
除以9 的余数只能是1，4，7，2，5，8 中的一个，
从
起，
除以9 的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，．．．．．． ,不断的6 项循环(可能从2，
4，8，7 或5 开始)，而除以9 的余数是1，2，4，8，5 且是4 的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，
16，32，所以M 中的项加上前两项最多8 项，则
时，
，项数为8，
所以集合
的元素个数的最大值为8．
12．(2015 高考数学安徽理科·第18 题) (本小题满分12 分)设
，
是曲线
在点
处
的切线与x 轴交点的横坐标．
(Ⅰ)求数列
的通项公式；
(Ⅱ)记
，证明
．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
．
分析：(Ⅰ)对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线
在点
处的切线斜率为
．
从而可以写出切线方程为
．令
．解得切线与
轴交点的横坐标
．
(Ⅱ)要证
，需考虑通项
，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明．思路如下：先表示出
，求出初始条件当
时，
．当
时，单独考虑
，并放缩得
，所以
，综上可得对任意的
，均有
．
解析：(Ⅰ)
，曲线
在点
处的切线斜率为
．
从而切线方程为
．令
，解得切线与
轴交点的横坐标
．
(Ⅱ)证：由题设和(Ⅰ)中的计算结果知
．
当
时，
．
当
时，因为
，
所以
．
综上可得对任意的
，均有
．
13．(2017 年高考数学浙江文理科·第22 题) 已知数列{ }
nx
满足:
1
1
x
,
1
1
ln(1
)
n
n
n
x
x
x
(
)
n
N
．
证明:当n
N 时,
(Ⅰ)
1
0
n
n
x
x
;
(Ⅱ)
1
1
2
2
n
n
n
n
x x
x
x
;
(Ⅲ)
1
2
1
1
2
2
n
n
n
x
．
【答案】详见解析
【解析】
(1)当
1
n
时,
1
1
0
x
;
假设n
k
时,
0
kx
,
那么
1
n
k
时,若
1
0
kx
,则
1
1
0
ln(1
)
0
k
k
k
x
x
x
矛盾,
故
1
0
nx
,即
1
1
1
ln(1
)
0(
)
n
n
n
n
x
x
x
x
n
N
．
(2)由
1
1
ln(1
)
n
n
n
x
x
x
,得
2
1
1
1
1
1
1
4
2
2
(
2)ln(1
)
n
n
n
n
n
n
n
n
x x
x
x
x
x
x
x
．
设函数
2
( )
2
(
2)ln(1
)(
0)
f x
x
x
x
x x
，
则
2
2
ln(1
)
0(
0)
1
x
x
f
x
x
x
x
,
故函数
( )
f x 在[0
)
，
上单调递增,于是有
( )
(0)
0
f x
f
,
因此
2
1
1
1
1
1
2
(
2)ln(1
)
(
)
0
n
n
n
n
n
x
x
x
x
f x
，即
1
1
2
(
)
2
n
n
n
n
x x
x
x
n
N
．
(3)
1
1
1
1
1
ln(1
)
2
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
,
1
1
2
n
n
x
．
由(2)知,
1
1
2
2
n
n
n
n
x x
x
x
,则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2(
)
2 (
)
2
2
2
2
n
n
n
n
x
x
x
,
故
2
2
1
1
1
2
2
2
n
n
n
x
．
综上,
1
2
1
1 (
)
2
2
n
n
n
x
n
N
得证．
14 ．(2017 年高考数学北京理科· 第20 题)
设{
}
na
和{ }
nb
是两个等差数列, 记
1
1
2
2
max{
,
,
,
}
n
n
n
c
b
a n b
a n
b
a n
(
1,2,3,
)
n
,其中
1
2
max{ ,
,
,
}
s
x x
x
表示
1
2
,
,
,
s
x x
x
这s 个数
中最大的数．
(Ⅰ)若
na
n
,
2
1
nb
n
,求
1
2
3
,
,
c c c 的值,并证明{ }
nc
是等差数列;
(Ⅱ)证明:或者对任意正数
,存在正整数
,当
时,
;或者存在正整数
,使得
1
2
,
,
,
m
m
m
c
c
c
是等差数列．
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析．
【解析】(Ⅰ)分别代入求
1
2
3
,
,
c c c ,观察规律,再证明当
3
n
时,
1
1
(
)
(
)
2
0
k
k
k
k
b
na
b
na
n
,
所以
k
k
b
na
关于
*
k N 单调递减． 所以
1
1
2
2
1
1
max{
,
,
,
}
1
n
n
n
c
b
a n b
a n
b
a n
b
a n
n
,得证;
(Ⅱ)首先求
nc
的通项公式,分
1
1
1
0,
0,
0
d
d
d
三种情况讨论证明．
解:(Ⅰ)
1
1
1
1 1
0
c
b
a
,
2
1
1
2
2
max
2 ,
2
max 1 3 1,3
2 2
1
c
b
a b
a
,
3
1
1
2
2
3
3
max
3 ,
3
,
3
max 1 3 1,3
3 2,5
3 3
2
c
b
a b
a b
a
,
当
3
n
时,
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0
k
k
k
k
k
k
k
k
b
na
b
na
b
b
n a
a
n
,
所以
k
k
b
na
关于
*
k N 单调递减．
所以
1
1
2
2
1
1
max{
,
,
,
}
1
n
n
n
c
b
a n b
a n
b
a n
b
a n
n
,
所以对于任意
1
n ,
1
nc
n
,于是
1
1
n
n
c
c
,
所以{ }
nc
是等差数列．
(Ⅱ)设数列{
}
na
和{
}
nb
的公差分别为
1
2
,
d d ,则
1
2
1
1
1
1
2
1
(
1)
[
(
1)
]
(
)(
1)
k
k
b
na
b
k
d
a
k
d n
b
a n
d
nd
k
．
所以
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
(
1)(
),
, (
n
b
a n
n
d
nd
d
nd
c
b
a n
d
nd
(
)
)
①当
1
0
d
时,取正整数
2
1
d
m
d
,则当n
m
时,
1
2
nd
d
,因此
1
1
nc
b
a n
．
此时,
1
2
,
,
,
m
m
m
c
c
c
是等差数列．
②当
1
0
d
时,对任意
1
n ,
1
1
2
1
1
2
1
(
1)max{
,0}
(
1)(max{
,0}
)
nc
b
a n
n
d
b
a
n
d
a
．
此时,
1
2
3
,
,
,
,
,
n
c c c
c
是等差数列．
③当
1
0
d
时,
当
2
1
d
n
d
时,有
1
2
nd
d
．
所以
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
(
1)(
)
(
)
nc
b
a n
n
d
nd
b
d
n
d
d
a
d
n
n
n
1
1
1
2
1
2
(
)
|
|
n
d
d
a
d
b
d
．
对任意正数M ,取正整数
1
2
1
1
2
2
1
1
|
|
max{
,
}
M
b
d
a
d
d
d
m
d
d
,故当n
m
时,
nc
M
n
．
题型八：数列的综合应用
1．(2022 新高考全国II 卷·第17 题) 已知
为等差数列，
是公比为2 的等比数列，且
．
(1)证明：
；
(2)求集合
中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
解析：(1)设数列
的公差为
，所以，
，即可解得，
，所以
原命题得证．
（2）由(1)知，
，所以
，即
，亦即
，解得
，所以满足等式的解
，故集合
中的元素个数为
．
2．(2022 年浙江省高考数学试题·第20 题) 已知等差数列
的首项
，公差
．记
的前n
项和为
．
(1)若
，求
；
(2)若对于每个
，存在实数
，使
成等比数列，求d 的取值范围．
【答案】解析:(1)因为
，
所以
，
所以
，又
，
所以
，
所以
，
所以
，
(2)因为
，
，
成等比数列，
所以
，
，
，
由已知方程
的判别式大于等于0，
所以
，
所以
对于任意的
恒成立，
所以
对于任意的
恒成立，
当
时，
，
当
时，由
，可得
当
时，
，
又
所以
3 ．(2016 高考数学四川理科· 第19 题) 已知数列
的首项为
，
为数列
的前
项和，
，其中
，
．
(1)若
时，
成等差数列，求数列
的通项公式；
(2)设双曲线
的离心率为
，且
，求
．
【答案】【官方解答】由已知由
，两式相减得到
又由
，故对所有的
都成立
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以数列
的通项公式为
因为
成等差数列，所以
所以数列
的通项公式为
(2)由(1)知
，所以双曲线
的离心率为
由于
，则有
因为
，所以
则有
．
【民间解析】当
时，
当
时，由
，
则有
，
，又知
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以数列
的通项公式为
因为
成等差数列，所以
所以数列
的通项公式为
(2)由题意和(1)知
，
因为
，所以
，
所以
所以
所以
题型九：数列结构不良试题
1．(2021 年高考全国甲卷理科·第18 题) 已知数列
的各项均为正数，记
为
的前n 项和，从下
面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
是等差数列：②数列
是等差数列；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
解析：选①②作条件证明③：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
也是等差数列，所以
，解得
；
所以
，所以
．
选①③作条件证明②：
因为
，
是等差数列，
所以公差
，
所以
，即
，
因为
，
所以
是等差数列．
选②③作条件证明①：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
，所以
，解得
或
；
当
时，
，当
时，
满足等差数列的定义，此时
为等差
数列；
当
时，
，
不合题意，舍去．
综上可知
为等差数列．
【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等
差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法．
