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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题28 数列第四缉
1．【2021 年吉林预赛】已知数列{an} 的通项公式为an= 2n-17
2n-19 (n=1,2,⋯) ,则{an} 中最大的项是(
)
A.a1
B.a9
C.a10
D.a12
【答案】C
【解析】巡项公式an=1+
1
n-9.5
,当n≤9 时，有an<1 ，
当n⩾10 时，有an>1 ,且{an} 递减,从而{an} 中最大的项是a10
.
选C.
2．【2019 年贵州预赛】已知等差数列{an}的公差d≠0,且a5
2+a7
2+16d =a9
2+a11
2 ,则{an}的前15 项之和S15=(
)
A.15
B.16
C.30
D.32
【答案】A
【解析】因为等差数列{an}的公差d≠0,
由a5
2+a7
2+16d =a9
2+a11
2 ⇒a9
2-a5
2+a11
2 -a7
2=16d.
⇒a9+a5+a11+a7= 4⇒a1+a15=2⇒S15= 15(a1+a15)
2
=15
.
3．【2018 年贵州预赛】小王在word 文档中设计好一张A4 规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要
设计1000 张，小王欲使用“复制—粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word 文档中
“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制—粘贴”的次数至少为（ ）
A．9 次 B．10 次 C．11 次 D．12 次
【答案】B
【解析】
解：设需要“复制—粘贴”的次数至少为n．则由题意知，第1 次可以“复制—粘贴”1 张，第2 次“复制
—粘贴”2 张（包括原来设计好的那一张)，第3 次“复制—粘贴”4 张，…，第n 次“复制—粘贴”2n－1张．
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所以1+1+2+2
2+……+2
n-1≥1000⇒2
n≥1000 ．故n≥10．因此，需要“复制—粘贴”的次数至少为
10．故答案为：B．
4．【2018 年贵州预赛】己知等差数列{an}及{bn}．设An=a1+a2+⋯+an，Bn=b1+b2+⋯+bn，若对∀n∈N
*，
有An
Bn
= 3n+5
5n+3
，则a10
b6
=（ ）
A．35
33
B．31
29
C．175
99
D．155
87
【答案】B
【解析】
{an}、{bn}为等差数列，且前n 顶和之比An
Bn
= 3n+5
5n+3
，
故可设An=kn(3n+5)，Bn=kn(5n+3)，
从而a10= A10- A9=10k (30+5)-9k (27+5)=62k，
b6= B6- B6=6 k (30+3)-5k (25+3)=58k ⇒a10
b6
= 62k
58k = 31
29
．故答案为：B．
5．【2018 年贵州预赛】己知等差数列{an}及{bn}．设An=a1+a2+⋯+an，Bn=b1+b2+⋯+bn，若对∀n∈N
*，
有An
Bn
= 3n+5
5n+3
，则a10
b6
=（ ）
A．35
33
B．31
29
C．175
99
D．155
87
【答案】B
【解析】
{an}、{bn}为等差数列，且前n 顶和之比An
Bn
= 3n+5
5n+3
，
故可设An=kn(3n+5)，Bn=kn(5n+3)，
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从而a10= A10- A9=10k (30+5)-9k (27+5)=62k，
b6= B6- B6=6 k (30+3)-5k (25+3)=58k ⇒a10
b6
= 62k
58k = 31
29
．故答案为：B．
6．【2018 年天津预赛】等差数列{an}中，a2+a11+a14=-6，则前17 项的和a1+a2+⋯+a17
等于（ ）.
A．0
B．-34
C．17
D．34
【答案】B
【解析】
设公差为d，则a2+a11+a14=3a1+24 d =3a9，结合条件可知a9=-2，从而前17 项的和等于17⋅a9=-34.
故答案为：B
7．【2018 年四川预赛】设Sn、T n
分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，对任意正整数n，都有
Sn
T n
= 2n+6
n+1 .若am
bm
为质数，则正整数m的值为（ ）.
A．2
B．3
C．5
D．7
【答案】A
【解析】
由条件可设Sn=kn(2n+6),T n=kn(n+1)，
则m=1时，a1
b1
= S1
T 1
= 8
2 = 4，不满足题意，舍去.
当m≥2时，
am
bm
= Sm- Sm-1
T m-T m-1
= 4 m+ 4
2m
=2+ 2
m
，
于是仅在m=2时，am
bm
=3为质数.
所以，所求的正整数m=2.
故答案为：A
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8．【2017 年天津预赛】已知等差数列{an}的公差不为零,且a2、a3、a9
构成等比数列,则a4+a5+a6
a2+a3+a4
的值
是(
)
(A)8
3
(B)7
3
(C)3
(D)5
3
【答案】A
【解析】提示：设公差为d,则由a3
2=a2a9
可得(a2+d)
2=a2(a2+7 d),结合d ≠0可知d =5a2≠0. 因此,
a4+a5+a6=3a5=3(a2+3d)= 48a2,a2+a3+a4=3a3=3(a2+d)=18a2,可见两者的比值为48
18 = 8
3
,故选A.
9．【2017 年辽宁预赛】数列a0=134 ,a1=150,ak +1=ak -1- k
ak
(k =1,2,⋯,n-1).若
an=0,则n为(
)
(A)20
(B)201
(C)2017
(D)20101
【答案】B
【解析】提示：由an=an-2- n-1
an-1
及an=0知an-2an-1=n-1,
又由an-1=an-3- n-2
an-2
可知an-3an-2-an-2an-1=n-2，
同理an-4an-3-an-3an-2=n-3,⋯,a0a1-a1a2=1，
累加可得a0a1=(n-1)+(n-2)+⋯+1= n(n-1)
2
，
即n(n-1)= 40200.
又因为n≥0,所以n=201.
10．【2017 年四川预赛】已知数列{an}满足：an=(❑√2+1)
n-(❑√2-1)
n(n∈N ),用[x]表示不超过实数x的
最大整数,则[a2017]的个位数字是(
)
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
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【答案】A
【解析】提示：由条件知{
an+2=2❑√2an+1-an,
a0=0,a1=2,
①
则
a2k +1=2❑√2a2k -a2k -1=2❑√2(2❑√2a2k -1-a2k -2)-a2k -1=7 a2k -1-2❑√2a2k -2=7 a2k -1-(a2k -1+a2k -3)=6a2k -1-a2k -3.
记bk =a2k -1,则有bk +1=6bk -bk -1,
又由方程组①知a2= 4 ❑√2,a3=14 ,a4=24 ❑√2,a5=82,即b1=2,b2=14.
于是{
bk +2=6bk +1-bk(k ∈N +),
b1=2,b2=14 ,
，对任意的正整数k,有bk∈Z.
又{bk (mod10)}为:2,4 ,2,8,6,8,2,4 ,⋯是以6 为周期的周期数列. 而1009=6×168+1, 故
b1009≡2(mod10).
所以[a2017]的个位数字是b1009
除以10 的余数为2.
11．【2017 年陕西预赛】已知数列{an}的前n项和Sn=n
2-1(n∈N +),则a1+a3+a5+a7+a9
等于(
)
(A)40
(B)44
(C)45
(D)49
【答案】B
【解析】提示：当n=1时,a1= S1=0;
当n≥2时，an= Sn- Sn-1=n
2-1-[(n-1)
2-1]=2n-1.
所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17= 44.
12．【2017 年黑龙江预赛】已知数列{an}中,a1=1,以后各项由公式an=an-1+
1
n(n-1) (n≥2,n∈N +)给出,
则a4=(
)
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(A)7
4
(B)- 7
4
(C)4
7
(D)- 4
7
【答案】A
【解析】提示:因为an-an-1=
1
n-1 - 1
n
,所以a2-a1=1- 1
2 ,a3-a2= 1
2 - 1
3 ,a4-a3= 1
3 - 1
4 ,
以上各式两边分别相加.所以a4-a1=1- 1
4
,
所以a4=a1+ 3
4 =1+ 3
4 = 7
4 .
13．【2017 年湖南预赛】将石子摆成如图所示的梯形形状,称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列
{an}:5,9,14 ,20,⋯为“梯形数列”.根据“梯形”的构成,可知a624=(
)
(A)166247
(B)196248
(C)196249
(D)196250
【答案】D
【解析】由图可知这个数列的各项依次为a1=5,a2=a1+ 4 ,a3=a2+5,⋯,an=an-1+(n+2),
递推关系为a1=5且an=an-1+(n+2).
由此知a2-a1= 4 ,a3-a2=5,⋯,an-an-1=n+2,
这(n-1)个式子相加得an-a1= 1
2
(n-1)(n+6),
故a2017=5+ (624 -1)(624 +6)
2
=196250.
14．【2016 年吉林预赛】一个有限项的数列满足：任何是三个连续项之和均为负数，且任何四个连续项之
和均为正数.则此数列项数的最大值为（）
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A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】
一方面，可以构造五项的数列：2、2、-5、2、2，符合题设；
另一方面，证明满足条件的数列不超过五项.
否则，取出前六项，作出如下排列：
a1,a2,a3，
a2,a3,a4，
a3,a4,a5，
a4,a5,a6，
由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数.矛盾.
15．【2016 年吉林预赛】一个有限项的数列满足：任何是三个连续项之和均为负数，且任何四个连续项之
和均为正数.则此数列项数的最大值为（）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】
一方面，可以构造五项的数列：2、2、-5、2、2，符合题设；
另一方面，证明满足条件的数列不超过五项.
否则，取出前六项，作出如下排列：
a1,a2,a3，
a2,a3,a4，
a3,a4,a5，
a4,a5,a6，
由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数.矛盾.
16．【2016 年四川预赛】设数列{an}满足a1=6，an+1=[
5
4 an+ 3
4
❑√an
2-2](n∈Z+).若Sn 为{an}的前n 项
和，则S2016的个位数字为（）.
A．l B．2 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
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由a1=6，a2=11，a3=21，猜测：an=5×2
n-1+1(n∈N +)
用数学归纳法易证.
于是，n≥2时，an≡1(mod 10).
故S2016≡6+2015=1(mod 10).
17．【2016 年湖南预赛】设函数f ( x)=2 x -cos x，{an}是公差为π
8
的等差数列，∑
k =1
5
f (ak)=5π.则
f
2(a3)-a1a2=（ ）
A．0 B．π
2
16
C．π
2
8
D．13π
2
16
【答案】D
【解析】
由于{an}是公差为π
8
的等差数列，且
∑
k =1
5
f (ak)=∑
k =1
5
(2ak -cosak)=5π，
故10a3- ∑
k =-2
2
cos(a3+ k π
8 )=5π.
记g( x)=10 x -(2cosπ
4 +2cosπ
8 +1)cos x -5π.
则g
'( x)=10+(2cosπ
4 +2cosπ
8 +1)sin x>0，即g( x)在R上为单调递增函数，有唯一零点x =π
2
.
于是，a3=π
2
.
故f
2(a3)-a1a2=(2×π
5 -0)
2
-(π
2 -π
4 )(π
2 +π
4 )= 13π
2
16
.
18 ．【2015 年浙江预赛】已知数列{an}的通项an=
nx
(x +1)(2 x +1)⋅⋅⋅(nx +1) (n∈Z+). 若
a1+a2+⋅⋅⋅+a2015<1，则实数x的值为（ ）
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A．- 3
2
B．- 5
12
C．- 9
40
D．- 11
60
【答案】D
【解析】
由题意知
an=
1
(x +1)(2 x +1)⋅⋅⋅[(n-1) x +1]
-
1
(x +1)(2 x +1)⋅⋅⋅(nx +1)
.
则∑
k =1
2015
ak =1-
1
(x +1)(2 x +1)⋅⋅⋅(2015 x +1) <1
⇔(x +1)(2 x +1)⋅⋅⋅(2015 x +1)>0.
故x∈¿k =1¿1007(-
1
2k -1 ,- 1
2k)∪(-
1
2015 ,+∞)
.
经检验，只有x =- 11
60
符合题意.
19．【2015 年辽宁预赛】已知数列{an}为由正整数组成的递增数列,且an+2=an+1+2an(n∈Z+)若a5=52,
则a7= ( )
A．102 B．152 C．212 D．272
【答案】C
【解析】
由题意,知a5=5a2+6a1=52.
由a1、a2
均为正整数知,6|(52-5a2)→6|(a2-2).
设a2=6k +2(k ∈N )
注意到,52>5a2=30k +10.
于是,k =0 或1.
若k =0,则a2=2,a1=7,与数列{an}递增矛盾.
从而,k =1,a2=8,a1=2.
故a3=12,a4=28,a6=108,a7=212.
20．【2015 年吉林预赛】“a，b，c，d依次成等差数列”是“a+d =b+c”的
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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
a，b，c，d成等差数列⇒ a+d =b+c,而1+5=3+3 ,但1,3,3,5 不成等差数列,所以
“a，b，c，d成等差数列”是“a+d =b+c”的充分不必要条件,选A.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
21 ．【2015 年湖南预赛】已知数列{an}和{bn}对任意的n∈N
*都有an>bn，当n→+ ∞时，数列
{an}和{bn}的极限分别是A 和B，则（ ）
A．A >B B． A ≥B
C．A ≠B D．A 和B的大小关系不确定
【答案】B
【解析】
因为an>bn，故lim
n→+∞an≥lim
n→+∞bn即A ≥B，故选B.
22．【2015 年黑龙江预赛】设正项等比数列{an}的前n项和为且2
10 S30+ S10=(2
10+1)S20
.则数列{an}的公比
为（）。
A．1
8
B．1
4
C．1
2
D．1
【答案】C
【解析】
由已知得：S20- S10=2
10(S30- S20)⇒S30- S20
S20- S10
=2
-10=q
10.
因为an＞0，所以，q = 1
2
.
23．【2015 年黑龙江预赛】设等差数列
满足：
，
公差
．若当且仅当
时，数列
的前
项和
取得最大值，则首项
的取值范围是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析： 原式
,
,
,
则
, 由
, 对称轴方程为
由题意当且仅当
时, 数列
的前
项和
取得最大值,
,
解得：
,
首项
的取值范围是
.故选B.
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