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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题29 数列第五缉
1．【2021 年江西预赛】正整数数列{an} 满足a1=a2=a3=1 ,叱的任何连续四个项an,an+1,an+2,an+3
都满
足:anan+3-an+1an+2=1 .证明:对于它的任意三个连续项an,an+1,an+2 而言.其首尾两项之和an+an+2 必是
中间一项an+1 的倍数.
2．【2021 年福建预赛】已知数列{an},{bn} 满足a1=3, an+1=2an+2
n+1-1, bn= an-1
2
n
(n∈N
*) .
(1)求数列{bn} 的通项公式;
(2)设cn= (-1)
n
bn
,T n
是数列{cn} 的前n 项的和，求证:T 2n>-
❑√2
2
.
3．【2021 年福建预赛】设数列{an} 是正整数数列，满足:a1=a,an+1=an+(n+1,an),n=1,2,3,⋯.
（1）证明:当a=3 时，存在唯一一个正整数k ,使得ak =2k ;
(2)若a>3 ,试探究满足ak =2k 的正整数k 的存在性及其个数，并证明你的结论.
注:这里( x , y) 表示正整数x,y 的最大公约数.
4．【2021 年重庆预赛】数列{an} 的相邻两项an
和an+1
为二次方程x
2-3nx +cn=0(n=1,2,3,⋯) 的两个
根，当a1=1 时，求cn .
5 ．【2021 年四川预赛】给定正整数a,b, 其中a<b. 数列{Fn} 满足:F1=a, F2=b ,
Fn+2= Fn+1+ Fn(n∈N
*) ,若不存在无穷多个正整数k ,使得1+m Fk Fk +2
为完全平方数，则称m 具有性
质P.求证:存在无分多个正整数m 具有性质P.
6．【2021 年四川预赛】求最大的正整数n，使得对满足∏
i=1
n
ai=1 的任意正实数a1,a2,⋯ ,an
,均有
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∑
i=1
n
ai
ai+1
+∑
i=1
n ai+1
ai
≥2∑
i=1
n
ai
恒成立，其中an+1=a1 .
7．【2021 年浙江预赛】设n 为给定的正整数，a1,a2,⋯,an 为满足对每个m≤n 都有|∑
k =1
m ak
k |≤1 的一列
实数，求|∑
k =1
n
ak|
的最大值.
8．【2021 年浙江预赛】设数集P ={a1,a2,⋯,am} ,它的平均数C p= a1+a2+⋯+am
m
,现将S ={1,2,⋯,n}
分成两个非空且不相交子集A,B,求|C A -C B| 的最大值,并讨论取到最大值时不同的有序数对( A ,B) 的数
目.
9．【2021 年全国高中数学联赛A 卷二试】给定正整数k(k ≥2)与k个非零实数a1,a2,⋯,ak，证明：至多
有有限个k元正整数组(n1,n2,⋯,nk),满足n1,n2,⋯,nk
互不相同,且a1⋅n1!+a2⋅n2!+⋯+ak⋅nk!=0.
10．【2021 年全国高中数学联赛B 卷一试】数列{an}满足:a1=a2=a3=1，令bn=an+an+1+an+2(n∈N
*).
若{bn}是公比为3 的等比数列,求a100
的值.
11．【2021 年全国高中数学联赛B 卷二试】设a为正整数.数列{an}满足:a1=a,an+1=an
2+20,n=1,2,⋯.
(1)证明:存在一个非立方数的正整数a,使得数列{an}中有一项为立方数.
(2)证明：数列{an}中至多有一项为立方数.
12．【2020 高中数学联赛A 卷（第02 试）】给定整数n≥3.设a1,a2,⋯a2n,b,b2,⋯,b2n是4n 个非负实
数,满足
a1+a2+⋯+a2n=b1+b2+⋯+b2n>0,
且对任意i=1,2,⋯,2n,有aiai+2≥bi+bi+1(这里a2n+1=a1,a2n+2=a2,a2n+1=b1)
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求a1+a2+⋯+a2n的最小值.
13．【2020 高中数学联赛A 卷（第02 试）】设a1=1,a2=2,an=2an-1+an-2,n=3,4 ,⋯.证明:对整数
n≥5,an必有一个模4 余1 的素因子.
14．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设数列{an}的通项公式为an= 1
❑√5 [( 1+ ❑√5
2
)
n
-( 1- ❑√5
2
)
n
],
n=1,2,⋯.证明:存在无穷多个正整数m,使得am+ 4am-1是完全平方数.
15．【2020 高中数学联赛B 卷（第02 试）】给定整数n≥2.设a1,a2,⋯an,b1,b2,⋯,bn>0,满足
a1+a2+⋯+an=b1+b2+⋯+bn,且对任意i,j(1≤i<j≤n),均有aia j≥bi+b j.求a1+a2+⋯+an的最小值.
16．【2020 年福建预赛】已知数列{an} 满足:a1=1,a2=5 ,an+2= 4 an+1-3an(n∈Z+)
(1)求数列{an} 的通项公式;
(2)设bn=
3
n
anan+1
,T n
是数列{bn} 的前n 项的和,证明:T n< 3
4
.
17．【2020 年甘肃预赛】已知数列{an} :a1=a2=5 ,an+1=an+6an-1(n⩾2,n∈Z+)
证明:(1){an-3an-1} 是等比数列,并求数列{an} 的通项公式;
(2) 1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
< 1
2 .
18．【2020 年吉林预赛】已知各项均为正数的数列{an} 的前n 项和为Sn
,且an+1=2❑√Sn(n∈Z+).
(1) 求数列{an} 的通项公式;
(2)设bn=
an+2
anan+12
n
,数列bn
的前n 项和为T n
,证明: 5
6 ⩽T n< 1.
19．【2020 年浙江预赛】已知数列{an} 满足:
a1= ❑√2+1 ,
an- ❑√n
an-1- ❑√n-1 = ❑√1+ 1
n (n=2,3,⋯) .
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令bn= 1
an
,记数列{bn} 的前n 项和为Sn .
(1)求数列{an} 的通项公式;
(2)若对于任意的n∈Z+
,有❑√n+2⩽λ(Sn+1)⩽n+101 恒成立,求实数λ 的取值范围.
20．【2020 年浙江预赛】设正整数n⩾3,n 个数a1 ,a2,⋯,an ,记两两之和为bij=ai+a j (i> j) ,得到如图
1 的数表.
若在表格中任意取定k 个数,可以唯一确定出n 个数a1,a2,⋯,an ,求k 的最小值.
21．【2020 年重庆预赛】已知数列{an} 满足:
a1=1,a2=3,an+2=3an+1-an .
(1) 证明:1+anan+2(n∈Z+) 为完全平方数;
(2)记bn=[ an+1
2
an
]{an+1
2
an
} ,证明:∏
k =2
2020
bk
为整数,其中,[x]表示不超过实数x 的最大整数,{x }= x -[ x ].
22．【2020 年新疆预赛】已知正项数列{an} 的前n 项和为Sn
,且Sn
2=∑
i=1
n
ai
3 .
(I)求数列{an} 的通项公式;
(II)求证:∑
k =1
n
1
ak
2 <1.65 .
23．【2019 年全国】设整数a1,a2,⋯,a2019满足1=a1≤a2≤⋯≤a2019=99.
记f =(a1
2+a2
2+⋯+a2019
2
)-(a1a3+a2a4+a3a5+⋯+a201a2019).
求f 的最小值f 0
.并确定使f=f0成立的数组(a1,a2,⋯,a2019)的个数.
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24．【2019 年江苏预赛】在数列{an}中，已知a1= 1
p ,an+1=
an
nan+1 , p>0,n∈N
*.
(1)若p=1，求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=nan
.若在数列{bn}中，bn≤b8(n∈N
*)，求实数p的取值范围.
25．【2019 年江西预赛】将正整数数列1,2,3,……中凡是被4 整除以及被4 除余1 的项全部删去,剩下的数
按自小到大的顺序排成数列a1,a2,a3,⋯,再将数列{an}中,凡是下标被4 整除以及被4 除余1 的项全部删去,
剩下的项按白小到大的顺序排成数列b1,b2,b3,⋯.
证明:每个大于1 的奇平方数,都是数列{bn}中的两个相邻项的和.
26．【2019 年内蒙古预赛】已知a1,a2,a3,⋯,a2019∈R
+,且∑
i=1
2019
ai=1,
求证
a1
2
a1+a2
+
a2
2
a2+a3
+
a3
2
a3+a4
+⋯+
a2019
2
a2019+a1
≥1
2
.
27．【2019 年上海预赛】设数列{an}满足:a1=a2=a3=1，an+1= 2019+anan-1
an-2
(n=3,4 ,⋯).证明:数列{an}
的每一项均为正整数.
28 ．【2019 年新疆预赛】设a0,a1,a2,…,an是正整数，且a0>a1>a2>⋯>an>1并满足
(1- 1
a1)+(1- 1
a2)+⋯+(1- 1
an)=2(1- 1
a0)
.
试求出(a0,a1,a2,…,an)所有可能的解.
29．【2019 年重庆预赛】数列{an}满足a1=3，a2=6，an+2= an+1
2
+9
an
(n∈Z
+).
（1）证明：数列{an}是正整数数列；
（2）是否存在m∈Z
+，使得2109∣am，并说明理由.
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30．【2019 年福建预赛】已知数列{an}满足a1= 9
4 ,2an+1an-7an+1-3an+12=0(n∈N
*).
(1)记cn=an-2，求数列{cn}的通项公式
(2)记bn= n
2
n+1 an，求使[b1]+[b2]+[b3]+…+[bn]≤2019成立的最大正整数n 的值.(其中，符号[x]表示不超
过x 的最大整数)
31 ．【2019
年福建预赛】已知实数x1, x2,⋯, x100满足x1+ x2+⋯+ x100=1，且
|xk +1- xk|< 1
50 ,k =1,2,⋯,99.
证明:存在整数i1,i2,⋯,i50,1≤i1<i2<⋯<i50≤100，使得49
100 ≤xi1+ xi2+⋯+ xi0≤51
100
.
32．【2019 年广西预赛】设a1=1,an=n
2∑
k =1
n-1 1
k
2 (n≥2).求证:
(1)an+1
an+1
=
n
2
(n+1)
2 (n≥2)；
(2)(1+ 1
a1
)(1+ 1
a2
)⋯(1+ 1
an
)<4(n≥1).
33．【2019 年贵州预赛】已知正项数列{an}的前n 项和为Sn,且sn
2=∑
i=1
n
ai
3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:∑
k =1
n
❑√k
ak
2 <3.
34．【2019 年吉林预赛】已知等差数列{an}满足:a3=7 , a5+a7=26, {an}的前项和为Sn
.
(1)求an及Sn;
(2 令bn=
1
an
2-1
(n∈N
*),求数列{bn}的前n 和T n
.
35．【2019 高中数学联赛A 卷（第02 试）】设整数a1,a2,⋯,a2019满足1=a1⩽a2⩽⋯⩽a2019=99.
记f =(a1
2+a2
2+⋯+a2019
2
)-(a1a3+a2a4+a3a5+⋯+a2017a2019).
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求f 的最小值f0.并确定使f=f0成立的数组(a1,a2,⋯,a2019)的个数.
36．【2018 年山西预赛】已知在正整数n 的各位数字中，共含有a1个1，a2个2，⋯，an个n．证明：
2
a1×3
a2×⋯×10
a9≤n+1并确定使等号成立的条件．
37．【2018 年浙江预赛】设实数x1，x2，…，x2018满足xn+1
2
≤xn xn+2
(n=1，2，…，2016)和∏
n=1
2018
xn=1，证明：
x1009 x1010≤1.
38．【2018 年浙江预赛】将2n(n≥2)个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明：
∑
1≤i≤n
1≤j≤n
❑
|ai-b j|- ∑
1≤i< j≤n
❑
(|a j-ai|+|b j-bi|)≥n。
39．【2018 年湖南预赛】已知数列{an}的奇数项是首项为1 的等差数列，偶数项是首项为2 的等比数列.数
列{an}前n 项和为Sn，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4.
（1）求数列{an}的通项公式：
（2）若am+am+1=am+2，求正整数m 的值；
（3）是否存在正整数m，使得S2m
S2m-1
恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不
存在，说明理由.
40．【2018 年贵州预赛】证明：（1）1
2
k +
1
2
k +1
+
1
2
k +2
+…+
1
2
k +1-1
<1（k≥2，k∈N）；
（2）分别以1，1
2 ，1
3
，……，1
n
，……为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为3
2
的正方形内．
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