十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—概率统计解答题
目录
题型一：二项式定理..............................................................................1
题型二：事件的频率与概率...................................................................3
题型三：随机变量的分布列与期望、方差............................................8
题型四：概率统计中的决策建议..........................................................43
题型五：简单的随机抽样与用样本估计总体.......................................47
题型六：相关关系与回归分析.............................................................60
题型七：独立性检验............................................................................66
题型八：概率统计综合应用.................................................................73
题型一：二项式定理
1．(2019·江苏·第24 题)设
.已知
.
(1)求
的值；(2)设
，其中
，求
的值.
2．(2016 高考数学江苏文理科·第26 题)(1)求
的值；
(2)设
，
．
求证：
．
题型二：事件的频率与概率
1．(2022 新高考全国I 卷·第20 题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生
习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例(称为病例组)，同
时在未患该疾病的人群中随机调查了100 人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患
有该疾病”．
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，
记该指标为R．
(ⅰ)证明：
；
(ⅱ)利用该调查数据，给出
的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值．
附
，
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828
2．(2022 高考北京卷·第18 题)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上(含
)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、
丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9．80，9．70，9．55，9．54，9．48，9．42，9．40，935，9．30，9．25；
乙：9．78，9．56，9．51，9．36，9．32，9．23；
丙：9．85，9．65，9．20，9．16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E(X)；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)
3．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第19 题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两
场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比
赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被
淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率
都为
，
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
4．(2019·全国Ⅱ·理·第18 题)
分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成
平后，每球交
换发球权，先多得
分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲
得分的概率为
，乙发球时甲得分的概率为
，各球的结果相互独立．在某局双方
平后，
甲先发球，两人又打了
个球该局比赛结束．
求
；
求事件“
且甲获胜”的概率．
5．(本小题满分12 分)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0．9，乙机
床产品的正品率是0．95．
(Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取3 件，求其中恰有2 件正品的概率(用数字作答)；
(Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1 件，求其中至少有1 件正品的概率
(用数字作答)．
6．(2019·天津·理·第16 题)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为
．假定甲、
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(Ⅰ)用
表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量
的分布列和数学期望；
(Ⅱ)设
为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的
天数恰好多2”，求事件
发生的概率．
题型三：随机变量的分布列与期望、方差
1．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第19 题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项
目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学
校在三个项目中获胜的概率分别为0．5，0．4，0．8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
2．(2021 高考北京·第18 题)在核酸检测中, “k 合1” 混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进
行1 次检测,如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束:如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1 次检测,得到
每人的检测结果，检测结束．
现对100 人进行核酸检测，假设其中只有2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
(I)将这100 人随机分成10 组，每组10 人，且对每组都采用“10 合1”混采核酸检测．
(i)如果感染新冠病毒的2 人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2 人分在同一组的概率为
．设X 是检测的总次数，求X 的
分布列与数学期望E(X)．
(II)将这100 人随机分成20 组，每组5 人，且对每组都采用“5 合1”混采核酸检测．设Y 是检测的总次
数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小．(结论不要求证明)
3
．(2019· 江苏· 第25 题) 在平面直角坐标系xOy 中，设点集
，
令
.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.
(1)当
时，求X 的概率分布；
(2)对给定的正整数
，求概率
(用
表示).
4．(2014 高考数学陕西理科·第21 题)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000 元，此作物的
市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(
)
作物市场价格(元/
)
概率
概率
(1)设
表示在这块地上种植1 季此作物的利润，求
的分布列；
(2)若在这块地上连续3 季种植此作物，求这3 季中至少有2 季的利润不少于2000 元
的概率．
5．(2014 高考数学重庆理科·第18 题)一盒中装有9 张各写有一个数字的卡片，其中4 张卡片上的数字是
1,3 张卡片上的数字
是2,2 张卡片上的数字是3，从盒中任取3 张卡片．
(1)求所取3 张卡片上的数字完全相同的概率;
(2) X 表示所取3 张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列(注：若三个数
满足
，
则称b 为这三个数的中位数)．
6．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第21 题)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人
继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0．6，乙每
次投篮的命中率均为0．8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0．
5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．记前
次(即从第1 次到第
次投篮)中甲投篮的次数为
，求
．
7．(2020 江苏高考·第25 题)甲口袋中装有
个黑球和个白球，乙口袋中装有个白球．现从甲、乙两
口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复
次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为
，恰有
个
黑球的概率为
，恰有个黑球的概率为
．
(1)求
和
；
(2)求
与
的递推关系式和
的数学期望
(用
表示)．
8．(2014 高考数学课标1 理科·第18 题)从某企业的某种产品中抽取500 件,测量这些产品的一项质量指
标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差
2s (同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z 服从正态分布
2
( ,
)
N
,其中近似为样本
平均数x ,
2
近似为样本方差
2s ．
(i)利用该正态分布,求
(187.8
212.2)
P
Z
<
<
;
(ii)某用户从该企业购买了100 件这种产品,记X 表示这100 件产品中质量指标值为于区间(187．
8,212．2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX ．
附: 150
12.2
．
若Z ~
2
( ,
)
N
,则
(
)
0.6826
P
Z
m d
m d
-
<
<
+
=
(
2
2 )
0.9544
P
Z
m
d
m
d
-
<
<
+
=
．
9．(2014 高考数学四川理科·第17 题)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓
要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10 分，出现两次音乐
获得20 分，出现三次音乐获得100 分，没有出现音乐则扣除200 分(即获得-200 分)．设每次击鼓出
现音乐的概率为
，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为
，求
的分布列；
(Ⅱ)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(Ⅲ)玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请
运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
10．(2014 高考数学山东理科·第18 题)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相
交的区域
，乙被划分为两个不相交的区域
．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向
乙回球．规定：回球一次，落点在
上记3 分，在
上记1 分，其它情况记0 分．对落点在
上的来
球，队员小明回球的落点在
上的概率为
，在
上的概率为
；对落点在
上的来球，小明回球
的落点在
上的概率为
，在
上的概率为
．假设共有两次来球且落在
上各一次，小明的两
次回球互不影响．求：
(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
(Ⅱ)两次回球结束后，小明得分之和
的分布列与数学期望．
B
A
C
D
11．(2014 高考数学辽宁理科·第18 题)(本小题满分12 分)
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另一天的日销售量低于50 个的概
率；
(2)用X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望
及方差
．
12．(2014 高考数学江西理科·第22 题)随机将
1,2,
,2
,
2
n n
N
n
这2n 个连续正整数分成A,B 两
组,每组n 个数,A 组最小数为
1a ,最大数为
2a ;B 组最小数为
1b ,最大数为
2b ,记
2
1
2
1
,
a
a
b
b
(1)当
3
n
时,求的分布列和数学期望;
(2)令C 表示事件与的取值恰好相等,求事件C 发生的概率
p c ;
(3)对(2)中的事件C,c 表示C 的对立事件,判断
p c 和
p c 的大小关系,并说明理由．
13．(2014 高考数学湖南理科·第17 题)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
日销售量/个
250
200
0.002
150
0.004
100
0.006
50
0.005
0
0.003
和
．现安排甲组研发新产品
,乙组研发新产品
．设甲、乙两组的研发相互独立．
(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(Ⅱ)若新产品
研发成功,预计企业可获利润120 万元;若新产品
研发成功,预计企业可获利润100
万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
14．(2014 高考数学湖北理科·第20 题)计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站，过去50 年的
水文资料显示，水库年入流量
(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和． 单位：亿立方米)都在40 以上．其中，不足
80 的年份有10 年，不低于80 且不超过120 的年份有35 年，超过120 的年份有5 年．将年入流
量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(Ⅰ)求未来4 年中，至多有1 年的年入流量超过120 的概率；
(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，
并有如下关系:
若某台发电机运行，则该台年利润为5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800 万
元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
15．(2014 高考数学江苏·第25 题)盒中共有9 个球，其中有4 个红球，3 个黄球和2 个绿球，这些球除颜
色外完全相同．
(1)从盒中一次随机抽出2 个球，求取出的2 个球颜色相同的概率P；
(2)从盒中一次随机抽出4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1，x2，x3，随机变量X 表示
x1，x2，x3的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)．
16．(2014 高考数学福建理科·第18 题)(本小题满分13 分)
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对
位顾客进行奖励． 规定：每位顾客从一个装有
个标有面值的球的袋中一次性随机摸出２个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
年入流量X
40<X <80
80≤X≤120
X>120
发电量最多可运行
台数
1
2
3
(1)若袋中所装的
个球中有个所标的面值为
元，其余
个均为
元，求①顾客所获的奖励额为
的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2)商场对奖励总额的预算是
元，并规定袋中的
个球只能由标有面值为
元和
元的两种球
组成，或标有面值
元和
元的两种球组成． 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且
每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的
个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
17．(2014 高考数学大纲理科·第20 题)设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设备的概率分别为
0．6,0．5,,0．5,0．4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；
(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．
18．(2014 高考数学北京理科·第16 题)李明在10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛相互独立)：
场次
投篮次
数
命中次
数
场次
投篮次
数
命中次
数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
(1)从上述比赛中随机选择一场, 求李明在该场比赛中投篮命中率超过0．6 的概率．
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场, 求李明的投篮命中率一场超过0．6, 一场不超过
0．6 的 概率．
(3)记H 是表中10 个命中次数的平均数, 从上述比赛中随机选择一场, 记X 为李明在这比赛中的命中
次 数, 比较E(X)与
(
4
3
,
2
3
,
2
3
). 的大小(只需写出结论)
19．(2014 高考数学安徽理科·第17 题)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛
完5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛． 假设每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率
为
，各局比赛结果相互独立．
(Ⅰ)求甲在4 局以内(含4 局)赢得比赛的概率；
(Ⅱ)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．
20．(2015 高考数学重庆理科·第17 题)(本小题满分13 分，(1)小问5 分，(2)小问8 分)
端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽2 个，肉粽3 个，白粽5 个，
这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3 个。
(1)求三种粽子各取到1 个的概率；
(2)设
表示取到的豆沙粽个数，求
的分布列与数学期望．
21．(2015 高考数学天津理科·第16 题)(本小题满分13 分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许
不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3 名，其中种子选手2 名；乙协会的运动员5
名，其中种子选手3 名．从这8 名运动员中随机选择4 人参加比赛．
(Ⅰ)设
为事件“选出的4 人中恰有2 名种子选手，且这2 名种子选手来自同一个协会”求事件
发
生的概率；
(Ⅱ)设
为选出的4 人中种子选手的人数，求随机变量
的分布列和数学期望．
22．(2015 高考数学四川理科·第17 题)某市
两所中学的学生组队参加辩论赛，
中学推荐3 名男生，
2 名女生，
中学推荐了3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水
平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队
(1)求A
中学至少有1 名学生入选代表队的概率．
(2)某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，设
表示参赛的男生人数，求
得分布
列和数学期望．
23．(2015 高考数学陕西理科·第19 题)(本小题满分12 分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为
，
只与道路畅通状况有关，对其容量为
的样本进行统计，结果如下：
(
分
钟)
25
30
35
40
频
数
(次)
20
30
40
10
(Ⅰ)求
的分布列与数学期望
；
(Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授
从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．
24．(2015 高考数学山东理科·第19 题)若
是一个三位正整数，且
的个位数字大于十位数字，十位数
字大于百位数字，则称
为“三位递增数”(如
等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取个数，且只能抽取
一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被
整除，参加者得
分；若能
被
整除，但不能被
整除，得
分；若能被
整除，得分．
(I)写出所有个位数字是
的“三位递增数” ；
(II)若甲参加活动，求甲得分
的分布列和数学期望
．
25．(2015 高考数学湖南理科·第20 题)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，
每次抽奖都从装有4 个红球、6 个白球的甲箱和装有5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，
在摸出的2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获
奖．
(1)求顾客抽奖1 次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期
望．
26．(2015 高考数学湖北理科·第20 题)(本小题满分12 分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产
两种奶制
品．生产1 吨
产品需鲜牛奶2 吨，使用设备1 小时，获利1000 元；生产1 吨
产品需鲜牛奶1．5
吨，使用设备1．5 小时，获利1200 元．要求每天
产品的产量不超过
产品产量的2 倍，设备每天
生产
两种产品时间之和不超过12 小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机
变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0．3
0．5
0．2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利
(单位：元)是一个
随机变量．
(Ⅰ)求
的分布列和均值；
(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3 天中至少有1 天的最大获利超过10000 元的概率．
27．(2015 高考数学福建理科·第16 题)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误，该
银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确
密码是他常用的6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1 个进行尝试．若密码正确，则结束
尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X 的分布列和数学期望．
28．(2015 高考数学北京理科·第16 题)(本小题13 分)
，
两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的
康复时间(单位：天)记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从
，
两组随机各选1 人，
组选出的人记为甲，
组选出的
人记为乙．
(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14 天的概率；
(Ⅱ)如果
，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ)当
为何值时，
，
两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
29．(2015 高考数学安徽理科·第17 题)(本小题满分12 分)已知2 件次品和3 件正品混放在一起，现需要
通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2 件次品或者检测出3 件正
品时检测结束．
(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100 元，设X 表示直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时所需
要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．
30．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第19 题)(12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检
验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm )．根据长期生产经验，可以认
为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
2
( ,
)
N
．
(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(
3 ,
3 )
之外的零件数，
求
(
1)
P X
及X 的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(
3 ,
3 )
之外的零件，就认为这条生产线在这一天
的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
经计算得
16
1
1
9.97
16
i
i
x
x
，
16
16
2
2
2
2
1
1
1
1
(
)
(
16
)
0.212
16
16
i
i
i
i
s
x
x
x
x
，其中
ix 为抽取
的第i 个零件的尺寸，
1,2,
,16
i
．
用样本平均数x 作为的估计值ˆ，用样本标准差s 作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？剔除ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0．
01)．
附：若随机变量Z 服从正态分布
2
( ,
)
N
，则
(
3
3 )
0.997 4
P
Z
，
16
0.997 4
0.959 2
，
0.008
0.09
．
31．(2017 年高考数学天津理科·第16 题)从甲地到乙地要经过3 个十字路口,设各路口信号灯工作相互独
立,且在各路口遇到红灯的概率分别为
1 1 1
,
,
2 3 4 ．
(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望;
(2)若有2 辆车独立地从甲地到乙地,求这2 辆车共遇到1个红灯的概率．
32．(2017 年高考数学山东理科·第18 题)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人
的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙中心
理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6 名男志愿者
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
A A A A A A 和4 名
1
2
3
4
,
,
,
B B B B ,从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示,另5 人接受乙种心理
暗示．
(I)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含
1A
但不包含
3
B
的频率．
(II)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望EX ．
33．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第18 题)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本
每瓶4 元,售价每瓶6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经
验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关．如果最高气温不低于25,需求量为500 瓶;如果最高气
温位于区间[20,25),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20,需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购
计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(Ⅰ)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(Ⅱ)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为
多少时,Y 的数学期望达到最大值?
34．(2017 年高考数学江苏文理科·第26 题)已知一个口袋有m 个白球, n 个黑球(
,
*,
2
m n
n
N
≥
),这些球
除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1, 2, 3,
, m
n
的抽屉
内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(
1, 2, 3,
,
)
k
m
n
．
1
2
3
m
n
(1)试求编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p ;
(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,
(
)
E X 是X 的数学期望,证明:
(
)
(
)(
1)
n
E X
m
n n
35．(2017 年高考数学北京理科·第17 题)为了研究一种新药的疗效,选100 名患者随机分成两组,每组各
50 名,一组服药,另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,
其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者．
(Ⅰ)从服药的50 名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60 的概率;
(Ⅱ)从图中
, ,
,
A B C D 四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x 的值大于1.7 的人数,求的分
布列和数学期望
E ;
(Ⅲ)试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出
结论)
36．(2016 高考数学天津理科·第16 题)某小组共10 人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数
为1,2,3 的人数分别为3,3,4．现从这10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会．
(Ⅰ)设
为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件
发生的概率；
(Ⅱ)设
为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列和数学期望．
37．(2016 高考数学山东理科·第19 题)(本小题满分12 分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每
轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一个
人猜对，则“星队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分．已知甲每轮猜对的概率是
，
乙每轮猜对的概率是
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”
参加两轮活动，求：
(I)“星队”至少猜对3 个成语的概率；
(Ⅱ)“星队”两轮得分之和为
的分布列和数学期望
．
38．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第18 题)(本题满分12 分)某险种的基本保费为
(单位：元)，继续购
买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次
数
0
1
2
3
4
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概率
0．30
0．15
0．20
0．20
0．10
0． 05
(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
的概率；
(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
题型四：概率统计中的决策建议
1．(2023 年全国乙卷理科·第17 题)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10 次
配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用
乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
，
．试验结果如下：
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记
，记
样本平均数为
，样本方差为
．
(1)求
，
；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提
高，否则不认为有显著提高)
2．(2021 年高考全国乙卷理科·第17 题)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的
某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设
备
9．8
10．3
10 0
10 2
9．9
9．8
10．0
10．1
10．2
9．7
新设
备
10 1
10．4
10．1
10．0
10．1
10．3
10．6
10．5
10．4
10．5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和
，样本方差分别记为
和
．
(1)求
，
，
，
；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果
，则认
为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
3．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第18 题)(12 分)下图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额
(单位：亿元)的折线图．
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年份
20
0
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
投资额
14
19
25
35
37
42
42
47
53
56
122
129
148
171
184
209
220
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了
与时间变量的两个线性回归模型．根据
2000 年至2016 年的数据(时间变量的值依次为
)建立模型①：
；根据2010
年至2016 年的数据(时间变量的值依次为
)建立模型②：
．
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
4．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第20 题)(12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产
品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中
任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率
都为p(0< p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f ( p),求f ( p)的最大值点p0 ．
(2)现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以(1)中确定的p0 作为p 的值．已知每件产
品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用．
(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
5．(2021 年新高考Ⅰ卷·第18 题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题，每位参加比赛
的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回
答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题
中的每个问题回答正确得20 分，否则得0 分：B 类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分，
己知小明能正确回答A 类问题的概率为0．8，能正确回答B 类问题的概率为0．6，且能正确回答问题
的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A 类问题，记
为小明的累计得分，求
的分布列；
(2)为使累计得分
期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
题型五：简单的随机抽样与用样本估计总体
1．(2022 新高考全国II 卷·第19 题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，
得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，求此人患这种疾病的概率．(以样本
数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)．
2．(2019·全国Ⅲ·理·第17 题)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200
只小鼠随机分成
两组，每组100 只，其中
组小鼠给服甲离子溶液，
组小鼠给服乙离子溶液．
每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体
内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于
”，根据直方图得到
的估计值为
．
(1)求乙离子残留百分比直方图中
的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
3．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第18 题)(12 分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了
完成某项生产任务的两种生产方式，为比较两咱生产方式的效率，选取
名工人，将他们随机分成
两组，每组
人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生
产任务的工作时间(单位：
)绘制了如下茎叶图：
第一种生产方式
第二种生产方式
8
6
5
5
6
8
9
9
7
6
2
7
0
1
2
2
3
4
5
6
6
8
9
8
7
7
6
5
4
3
3
2
8
1
4
4
5
2
1
1
0
0
9
0
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求
名工人完成生产任务所需时间的中位数
，并将完成生产任务所需时间超过
和不超过
的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)的列联表，能否有
的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
4．(2014 高考数学广东理科·第17 题)随机观测生产某种零件的某工厂25 名工人的日加工零件数(单位：
件)，获得数据如下：
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0．12
(30,35]
5
0．20
(35,40]
8
0．32
(40,45]
(45,50]
(1)确定样本频率分布表中
和
的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4 人，至少有1 人的日加工零件数落在区间(30,35］的概
率．
5．(2015 高考数学广东理科·第17 题)(本小题满分12 分)
某工厂36 名工人的年龄数据如下表．
工人编号 年
龄
工人编号 年
龄
工人编号 年
龄
工人编号 年
龄
1 40
10 36
19 27
28 34
2 44
11 31
20 43
29 39
3 40
12 38
21 41
30 43
4 41
13 39
22 37
31 38
5 33
14 43
23 34
32 42
6 40
15 45
24 42
33 53
7 45
16 39
25 37
34 37
42
17 38
26 44
35 49
9 43
18 36
27 42
36 39
(1)用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据
为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的平均值¯x 和方差s2 ；
(3)36 名工人中年龄在¯x−s 与¯x+s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0．01％)？
6．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第18 题)(12 分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产
量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率直方图如下：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱
产量不低于50kg,估计A 的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0．01)
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d
7．(2016 高考数学四川理科·第16 题)(12 分)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约
用水，集合调整居民用水方案，拟确定一个合理的月用水标准
吨，一位居民的月用水量不超过
的
部分按平价收费，超出
的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年
位
居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照
，
，
，
分成
组，制成了如
图所示的频率分布直方图．
a
0.52
0.40
0.16
0.12
0.08
0.04
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
月均用水量（吨）
组距
频率
(1)求直方图中的
值；
(2)设该市有
万居民，估计全市居民中月均用水量不低于
吨的人数．
(3)若该市政府希望使
的居民每月的用水量不超过标准
吨，估计
的值，并说明理由．
8．(2016 高考数学北京理科·第16 题)(本小题13 分)
三个班共有100 名学生，为调查他们的体育
锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)；
A 班
6
7
8
B 班
6 7 8
10 11 12
C 班
3
6
9
12
(I)试估计
班的学生人数；
(II)从
班和
班抽出的学生中，各随机选取一人，
班选出的人记为甲，
班选出的人记为乙，
假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
(III)再从
三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8．25(单位：小
时)，这3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记
，表格中数据的平均数记为
，试
判断
和
的大小，(结论不要求证明)
9．(2019·北京·理·第17 题)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成
为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随
机抽取了100 人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A 和仅使用B 的
学生的支付金额分布情况如下：
交付金额
(元)
支付方式
(0，1000]
(1000，2000]
大于2000
仅使用A
18 人
9 人
3 人
仅使用B
10 人
14 人
1 人
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概率；
(Ⅱ)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月支付金额大于
1000 元的人数，求X 的分布列和数学期望；
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3 人，
发现他们本月的支付金额都大于2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付
金额大于2000 元的人数有变化？说明理由．
10．(2018 年高考数学天津(理)·第16 题)(本小题满分13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数
分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7 人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7 人中有4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查．
(i)用X 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；
(ii)设A 为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．
11．(2018 年高考数学北京(理)·第17 题)(本小题12 分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整
理得到下表：
电影类
型
第
一
类
第二
类
第
三
类
第四
类
第
五
类
第六
类
电影部
数
好评率
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(Ⅱ)从第
四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率；(Ⅲ)假设每类电影得到人们
喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“
”表示第k 类电影得到人们喜欢，“
”表示第
类电影没有得到人们喜欢(
)．写出方差
的
大小关系．
题型六：相关关系与回归分析
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第18 题)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有
所增加．为调查该地区某种野生动物
数量，将其分成面积相近的200 个地块，从这些地块中用简单
随机抽样的方法抽取20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表
示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
，
，
，
，
．
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数)；
(2)求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野
生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数r=
，
≈1．414．
2．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第19 题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为
估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：
)和材积量(单位：
)，得到如下数据：
样
本
号
ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总
和
根
部
横
截
面
积
0．
0
4
0．
0
6
0．
0
4
0．
0
8
0 08
0．
0
5
0．
0
5
0．
0
7
0．
0
7
0．
0
6
0．6
材
积
量
0．
2
5
0．
4
0
0．
2
2
0．
5
4
0．
5
1
0．
3
4
0．
3
6
0．
4
6
0．
4
2
0．
4
0
3．9
并计算得
．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为
．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材
积量的估计值．
附：相关系数
．
3．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第18 题)下图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿
吨)的折线图.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据:
,
,
,
.
参考公式:相关系数
回归方程
中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:
,
.
4．(2014 高考数学课标2 理科·第19 题)(本小题满分12 分)
某地区2007 年至2013 年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收
入y
2．9
3．3
3．6
4．4
4．8
5．2
5．9
(Ⅰ)求y 关于t 的线性回归方程；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，分析2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，
并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
5．(2015 高考数学新课标1 理科·第19 题)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传
费
(单位：千元)对年销售量
(单位：)和年利润
(单位：千元)的影响，对近8 年的年宣传费
和年销售量
( =1,2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
46．
56．
3
6 ．
289．8
1．6
1469
108．8
表中
，
。
(Ⅰ)根据散点图判断，
与
哪一个适宜作为年销售量
关于年宣传费
的回归
方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立
关于
的回归方程；
(Ⅲ)已知这种产品的年利率
与
、
的关系为
．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
(i)年宣传费
时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ii)年宣传费
为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据
,
，……，
,其回归线
的斜率和截距的最小二乘估
计分别为：
、
题型七：独立性检验
1．(2023 年全国甲卷理科·第19 题)一项试验旨在研究臭氧效应．实验方案如下：选40 只小白鼠，随机
地将其中20 只分配到实验组，另外20 只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对
照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．
(1)设
表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求
的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15．2 18．8 20．2 21．3 22．5 23．2 25．8 26．5 27．5 30．1
32．6 34．3 34．8 35．6 35．6 35．8 36．2 37．3 40．5 43．2
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7．8 9．2 11．4 12．4 13．2 15．5 16．5 18．0 18．8 19．2
19．8 20．2 21．6 22．8 23．6 23．9 25．1 28．2 32．3 36．5
(i)求40 只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成
如下列联表：
对照组
实验组
(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加
量有差异．
附：
0．100
0．050
0．010
2．706
3．841
6．635
2．(2021 年高考全国甲卷理科·第17 题)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，
为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828
3．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第18 题)某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和
当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4 的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1 或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或4，则
称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有95%
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：
，
P(K2≥k)
0．050
0．010
0．001
k
3 841
6．635
10．828
4．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第19 题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气
质量进行调研，随机抽查了
天空气中的
和
浓度(单位：
)，得下表：
32
18
4
6
8
12
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中
浓度不超过
，且
浓度不超过
”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的
列联表：
(3)根据(2)中
列联表，判断是否有
的把握认为该市一天空气中
浓度与
浓度有关？
附：
，
0．050 0．010 0．
001
3．841 6．635
10．828
5．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第19 题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市
空气质量进行调研，随机抽查了
天空气中的
和
浓度(单位：
)，得下表：
(1)估计事件“该市一天空气中
浓度不超过
，且
浓度不超过
”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的
列联表：
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有
的把握认为该市一天空气中
浓度与
浓度有关？
附：
，
题型八：概率统计综合应用
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第19 题)某研究小组经过研究发现某种疾病
患病者与未患病者的某项医学
指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c
人判定为阳性，小于或等于c 的
人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
；误诊率是将未患病者
判定为阳性的概率，记为
．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概
率．
(1)当漏诊率
％时，求临界值c 和误诊率
；
(2)设函数
，当
时，求
的解析式，并求
在区间
的最小值．
2．(2015 高考数学新课标2 理科·第18 题)(本题满分12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从
两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均
值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；
(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件
：“
地区用户的满意度等级高于
地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结
果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求
的概率．
0
40
20
8
9
10
11
更换的易损零件数
频数
3．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第21 题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生
物为第0 代，经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生物每代繁殖的个数
是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
．
(1)已知
，求
；
(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝
概率，p 是关于x 的方程：
的一个最小正实根，求证：当
时，
，当
时，
；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第21 题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，
为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机
选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈
的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述
问题，约定，对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得
－1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得－1 分；若都治愈或都
未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为
和
，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求X 的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
表示“甲药的累计得分为时，最终认为
甲药比乙药更有效”的概率，则
(
)，
其中
，
，
．假设
，
．
(i)证明：
为等比数列；
(ii)求
，并根据
的值解释这种试验方案的合理性．
5．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第19 题)(本小题满分12 分)某公司计划购买2 台机器，该种机器使用
三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．
在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损
零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记
表示2 台
机器三年内共需更换的易损零件数，
表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．
(I)求
的分布列；
(II)若要求
，确定
的最小值；
(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
与
之中选其一，应选用哪个？
