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资料来源：微信公众号 智慧学库
专题20 概率与统计常考小题归类
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................5
............................................................................................................................................11
考点一：抽样方法与随机数表..............................................................................................................................11
考点二：统计图表及其数字特征...........................................................................................................................12
考点三：传统线性拟合..........................................................................................................................................15
考点四：非线性拟合处理......................................................................................................................................17
考点五：传统独立性检验......................................................................................................................................18
考点六：创新类定义统计......................................................................................................................................21
考点七：正态分布.................................................................................................................................................24
考点八：超几何分布与二项分布...........................................................................................................................25
考点九：随机变量的分布列、期望、方差............................................................................................................26
考点十：古典概型.................................................................................................................................................27
考点十一：条件概率与全概率..............................................................................................................................28
考点十二：概统结合问题......................................................................................................................................30
考点十三：传统规则的概率问题...........................................................................................................................31
考点十四：新赛制概率问题..................................................................................................................................33
考点十五：递推型概率命题..................................................................................................................................35
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概率与统计小题是每年高考必考的内容．一是求统计图表、方差、平均数；二是求古典概型；三是相
互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．多以选择、填空题的形式考查，难度容易或中等．
考点要求
考题统计
考情分析
统计图表、方差、平均数、中位数
2023 年上海卷第14 题，4 分
2022 年甲卷第2 题，5 分
2021 年甲卷第2 题，5 分
2021 年I 卷第9 题，5 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以小题
形式出现，也有可能会将其
渗透在解答题的表达之中，
相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式
出现，考查逻辑推理与数学
运算两大核心素养．
（2）热点是古典概型.
古典概型
2023 年乙卷第9 题，5 分
2023 年甲卷第4 题，5 分
2022 年I 卷第5 题，5 分
2022 年甲卷第6 题，5 分
相互独立事件和相互独立事件的概
率乘法公式
2022 年乙卷第10 题，5 分
2021 年天津卷第14 题，5 分
回归方程、正态分布
2023 年天津卷第7 题，5 分
2021 年II 卷第5 题，5 分
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1、加强识图能力，理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系；折线图注意上升趋
势以及波动性；扇形图数据可先用表格列出，再计算、判断．
2、在频率分布直方图中，注意小矩形的
，小矩形的面积
，所有小矩形
的面积之和为1．
3、求回归方程
（1）根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．
（2）利用公式，求出回归系数
．
（3）待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数
．
4、回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当
越趋近于1 时，两变量的线性相关性越强．
5、比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法
（1）通过计算
的大小判断：
越大，两变量有关联的可能性越大．
（2）通过计算
的大小判断：
越大，两变量有关联的可能性越大．
6、独立性检验的一般步骤
（1）根据样本数据制成
列联表．
（2）根据公式
，计算
的观测值
．
（3）比较
与临界值的大小关系，进行统计推断．
7、概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力
（1）与数列结合的实际问题
（2）与函数导数结合的实际问题
（3）与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题
（4）与统计结合的实际问题
（5）与其他背景结合的实际问题
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1．（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数
，下列说
法正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【答案】
【解析】
相关系数
，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．
故选：
．
2．（2023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则
甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】某学校举办作文比赛，共6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，
甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数
，
其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数
，
则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为
．
故选：
．
3．（2023•甲卷）某校文艺部有4 名学生，其中高一、高二年级各2 名．从这4 名学生中随机选2 名组织
校文艺汇演，则这2 名学生来自不同年级的概率为
A．
B．
C．
D．
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【答案】
【解析】某校文艺部有4 名学生，其中高一、高二年级各2 名，
从这4 名学生中随机选2 名组织校文艺汇演，
基本事件总数
，
这2 名学生来自不同年级包含的基本事件个数
，
则这2 名学生来自不同年级的概率为
．
故选：
．
4．（2023•上海）如图为
年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描
述错误的是
A．从2018 年开始，2021 年的进出口总额增长率最大
B．从2018 年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018 年开始，进口总额逐年增大
D．从2018 年开始，2020 年的进出口总额增长率最小
【答案】
【解析】显然2021 年相对于2020 年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，
对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故
对；
2020 年相对于2019 的进口总额是减少的，故
错；
显然进出口总额2021 年的增长率最大，而2020 年相对于2019 年的增量比2019 年相对于2018 年的增量小，
且计算增长率时前者的分母还大，故2020 年的增长率一定最小，
正确．
故选：
．
5．（2022•新高考Ⅰ）从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】从2 至8 的7 个整数中任取两个数共有
种方式，
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其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14 种，
故所求概率为
．
故选：
．
6．（2022•乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、
乙、丙比赛获胜的概率分别为
，
，
，且
．记该棋手连胜两盘的概率为
，则
A．
与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，
最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，
最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，
最大
【答案】
【解析】
选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以
受比赛次序影响，故
错误；
设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为
，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为
，棋手在第
二盘与丙比赛连赢两盘的概率为
，
，
同理可得，
，
，
，
，
最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．
故选：
．
7．（2022•甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6 的6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到的2 张卡片上
的数字之积是4 的倍数的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】根据题意，从6 张卡片中无放回随机抽取2 张，有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15 种取法，
其中抽到的2 张卡片上的数字之积是4 的倍数有
，
，
，
，
，
，共6 种情况，
则抽到的2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率
；
故选：
．
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8．（2022•甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10 位
社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10 位社区居民在讲座前和讲座后问
卷答题的正确率如图：
则
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】
【解析】对于
，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
讲座前问卷答题的正确率的中位数为：
，故
错误；
对于
，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
，故
正确；
对于
，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，
讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故
错误；
对于
，讲座后问卷答题的正确率的极差为：
，
讲座前正确率的极差为：
，
讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故
错误．
故选：
．
9．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
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根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间
【答案】
【解析】对于
，该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率为
，故选项
正确；
对于
，该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率为
，故选项
正确；
对
于
，
估
计
该
地
农
户
家
庭
年
收
入
的
平
均
值
为
万元，故选
项
错误；
对于
，家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间的频率为
，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间，故选项
正确．
故选：
．
10．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布
，则下列结论中不正确的是
A．
越小，该物理量在一次测量中落在
内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10 的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99 与大于10.01 的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在
与落在
的概率相等
【答案】
【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布
，
所以测量的结果的概率分布关于10 对称，且方差
越小，则分布越集中，
对于
，
越小，概率越集中在10 左右，则该物理量一次测量结果落在
内的概率越大，故选项
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正确；
对于
，测量结果大于10 的概率为0.5，故选项
正确；
对于
，由于概率分布关于10 对称，所以测量结果大于10.01 的概率等于小于9.99 的概率，故选项
正确；
对于
，由于概率分布是集中在10 附近的，
分布在10 附近的区域大于
分布在10 附近
的区域，
故测量结果落在
内的概率大于落在
内的概率，故选项
错误．
故选：
．
11．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据
，
，
，
，由这组数据得到新样本数据
，
，
，
，其中
，2，
，
，
为非零常数，则
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】
【解析】对于
，两组数据的平均数的差为
，故
错误；
对于
，两组样本数据的样本中位数的差是
，故
错误；
对于
，
标准差
，
两组样本数据的样本标准差相同，故
正确；
对于
，
，2，
，
，
为非零常数，
的极差为
，
的极差为
，
两组样本数据的样本极差相同，故
正确．
故选：
．
12．（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一
方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
和
，且每次活动中甲、乙猜对与
否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3 次活动中，甲至少获
胜2 次的概率为 ．
【答案】
；
．
【解析】
一次活动中，甲获胜的概率为
，
次活动中，甲至少获胜2 次的概率为
．
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故答案为：
；
．
考点一：抽样方法与随机数表
【例1】（2024·青海西宁·高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500 名男居民和700 名女居民中选
取12 人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（ ）
A．8 人
B．6 人
C．4 人
D．2 人
【答案】D
【解析】由题可知，男居民选取
人，女居民选取
人，
则女居民比男居民多选取2 人.
故选：D.
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）总体由编号为01，02，…，19，20 的20 个个体组成，利用下面
的随机数表选取5 个个体，选取方法是从随机数表第1 行的第5 列和第6 列数字开始由左到右依次选取两
个数字，则选出来的第5 个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08
B．02
C．63
D．01
【答案】D
【解析】根据题意，依次读出的数据为65（舍去），72（舍去），08，02，63（舍去），14，07，02（舍
去，重复），43（舍去），69（舍去），97（舍去），28（舍去），01.即第5 个数字为01.
故选:D.
【变式1-2】（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）某饮料厂生产A，B 两种型号的饮料，每小
时可生产两种饮料共1000 瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000 瓶中抽取了60 瓶进行质量检测，
其中抽到A 型号饮料15 瓶，则每小时B 型号饮料的产量为（ ）
A．600 瓶
B．750 瓶
C．800 瓶
D．900 瓶
【答案】B
【解析】设每小时B 型号饮料的产量为
，
所以有
，
故选：B
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考点二：统计图表及其数字特征
【例2】（多选题）（2024·江西·高三玉山一中校联考阶段练习）江西省2017 年到2022 年常住人口变化图
如图所示，则（ ）
A．江西省2017 年到2022 年这6 年的常住人口在2019 年取得最大值
B．江西省2017 年到2022 年这6 年的常住人口的极差为148.70 万
C．江西省2017 年到2022 年这6 年的常住人口的中位数为4527.98 万
D．江西省2017 年到2022 年这6 年的常住人口的第80 百分位数为4647.60 万
【答案】ABD
【解析】由图可知，将江西省2017 年到2022 年这6 年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列
为4517.40，4518.86，4527.98，4622.10，4647.60，4666.10，
对于A 项，这6 年的常住人口在2019 年取得最大值，故A 项正确；
对于B 项，极差为
万，故B 项正确；
对于C 项，中位数为
万，故C 项错误；
对于D 项，因为
，所以第80 百分位数为4647.60 万，故D 项正确.
故选：ABD.
【变式2-1】（多选题）（2024·广东惠州·高三惠州一中校考阶段练习）某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、
丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10 天每天的空气质量指数均不大于100，则认为
该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10 天检测所得数据的数字特征推断，
环境治理一定达标的地区是（ ）
A．甲地区：平均数为90，方差为10
B．乙地区：平均数为60，众数为50
C．丙地区：中位数为50，极差为70
D．丁地区：极差为20，80%分位数为80
【答案】AD
【解析】设每天的空气质量指数为
（
，2，…，10），则方差
.
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对于A，由
，得
，若这10 天中有1 天的空气质量指数大于100，则必
有
，矛盾，所以这10 天每天的空气质量指数都不大于100，故A 正确；
对于B，假设有8 天为50，有1 天为140，有1 天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的环境治
理不达标，故B 错误；
对于C，假设第1 天为120，后面9 天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不达标，
故
错误；
对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与
分位数为80 矛盾，故最大值
不大于100，故D 正确.
故选：AD
【变式2-2】（多选题）（2024·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）某单位为了解职工健康情况，采
用分层随机抽样的方法从5000 名职工中抽取了一个容量为100 的样本．其中，男性平均体重为64 千克，
方差为151；女性平均体重为56 千克，方差为159，男女人数之比为
，下列说法正确的是（ ）
A．样本为该单位的职工
B．每一位职工被抽中的可能性为
C．该单位职工平均体重
D．单位职工的方差
【答案】BCD
【解析】A 项，样本为该单位的职工的健康情况，所以A 项错误；
B 项，由题可知，每一位职工被抽中的可能性为
，所以B 项正确；
C 项，D 项，设设男性人数为
，女性人数为
，
该单位全体人员体重的平均数为：
，
方差
，
所以C、D 项正确；
故选：BCD.
【变式2-3】（多选题）（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）（多选）“搜索指数”是网民通过搜索
引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数
越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018 年9 月到2019 年2 月这半年中，某个关键词
的搜索指数变化的走势图．
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根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018 年10 月份的方差大于11 月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018 年12 月份的平均值大于2019 年1 月份的平均值
【答案】CD
【解析】在A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误；
在B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，而不是不断减弱，故B 错误；
在C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018 年10 月份的方差大于11 月份的方差，故C 正确；
在D 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018 年12 月份的平均值大于2019 年1 月份的平均值，故D
正确．
故选：CD．
【变式2-4】（多选题）（2024·河南·模拟预测）某地教师招聘考试，有3200 人参加笔试，满分为100 分，
笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和
扇形统计图所示，则（ ）
A．90 后考生比00 后考生多150 人
B．笔试成绩的60%分位数为80
C．参加面试的考生的成绩最低为86 分
D．笔试成绩的平均分为76 分
【答案】BD
【解析】对于A 中，由年龄的扇形统计图，可得90 后的考生有
人，
00 后的考生有
人，可得
人，所以A 不正确；
对于B 中，由频率分布直方图性质，可得
，
解得
，则前三个矩形的面积和
，
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所以试成绩的
分位数为
分，所以B 正确；
对于C 中，设面试成绩的最低分为
，由前三个矩形的面积和为
，第四个矩形的面积为
，则
分，所以C 不正确；
对于D 中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：
分，所以D 正确.
故选：BD.
考点三：传统线性拟合
【例3】某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步
探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量
（个）与温度
的部分数据如下表：
温度
4
8
10
18
微生物数量
（个）
30
2
2
18
14
由表中数据算得回归方程为
，预测当温度为
时，微生物数量为 个.
【答案】9
【解析】由表格数据可知，
，
，
因为点
在直线
上，所以
，
即
，故当
时，
，
即预测当温度为
时，微生物数量为9 个.
故答案为：9
【变式3-1】（2024·广东深圳·高三统考期末）某同学收集了变量
，
的相关数据如下：
x
0.5
2
3
3.5
4
5
y
15
为了研究
，
的相关关系，他由最小二乘法求得
关于
的线性回归方程为
，经验证回归直线
正好经过样本点
，则
．
【答案】69
【解析】因为线性回归方程
经过样本点
，所以
.
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因为：
，所以
.
所以：
.
故答案为：69
【变式3-2】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到
如下数据:
单价(元)
销量(件)
由表中数据，求得线性回归方程
，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率
为
【答案】
/
【解析】由已知
，
，
又样本中心
在回归直线
上，
即
，解得
，
所以回归直线方程为
，
当
时，
，所以点
在回归直线上；
当
时，
，所以点
在回归直线左下方；
当
时，
，所以点
在回归直线右上方；
当
时，
，所以点
在回归直线右上方；
当
时，
，所以点
在回归直线右上方；
当
时，
，所以点
在回归直线左下方；
所以个样本点中在回归直线右上方的有个，
所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为
，
故答案为：
.
考点四：非线性拟合处理
【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）用模型
拟合一组数据组
，其
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中
，设
，得变换后的线性回归方程为
，则
（ ）
A．
B．
C．35
D．21
【答案】B
【解析】由题意得
，
故
，
即
，
故
，解得
.
故选：B
【变式4-1】（2024·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）下表为某外来生物物种入侵某
河流生态后的前3 个月繁殖数量
（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型
对
与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7 个月该物种的繁殖数量为（ ）
第个月
1
2
3
繁殖数量
A．
百只
B．
百只
C．
百只
D．
百只
【答案】D
【解析】由题意，
两边取自然对数得
，
令
，则
，
，
，
∵回归直线必过样本点的中心，∴
，
得
，∴
，则
，
当
时，
．
故选：D.
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）兰溪杨梅从5 月15 日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅
销售价格（单位：Q 元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示：
时间t/（单位：天）
10
20
70
销售价格Q（单位：元/千克）
100
50
100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q 与上市时间t 的变化关系：
.利用你选取的函数模型，在以下四个日期末，杨梅销售价格
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最低的日期为（ ）
A．6 月5 日
B．6 月15 日
C．6 月25 日
D．7 月5 日
【答案】C
【解析】根据表中数据，描述杨梅销售价格Q 与上市时间t 的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单
调函数，
函数
在
时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合，
所以应选取
进行描述，
将表中数据
代入
可得
，解得
，所以
，
，所以当
时杨梅销售价格最低，
而6 月5 日时
，6 月15 日时
，6 月25 日时
，7 月5 日时
，
所以
时杨梅销售价格最低.
故选：C.
考点五：传统独立性检验
【例5】（2024·全国·高三专题练习）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取
女性人数是男性的2 倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的
，女性喜爱足球的人数占女性人数的
，若
本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男
性至少有（ ）人
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【解析】设男性人数为
，依题意，得
列联表如下：
喜爱足
球
不喜爱足球
合计
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男性
女性
合计
则
的观测值为
，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
于是
，即
，解得
，而
，因此
故选：B
【变式5-1】（2024·四川达州·统考一模）四川省将从2022 年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合
改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，
对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（
）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【答案】C
【解析】根据等高条形图图1 可知样本中选择物理学科的人数较多，故C 正确；
根据等高条形图图2 可知样本中男生人数多于女生人数，故D 错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女
生比例低，
所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A 错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B 错误.
故选：C.
【变式5-2】（2024·浙江温州·高三苍南中学校联考阶段练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7
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选3 的
模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信
息技术和通用技术）7 门课中选考3 门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）
选物理
不选物理
总计
男
生
340
110
450
女
生
140
210
350
总
计
480
320
800
表一
选生物
不选生物
总计
男
生
150
300
450
女
生
150
200
350
总
计
300
500
800
表二
试根据小概率值
的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（ ）
附:
A．选物理与性别有关，选生物与性别有关
B．选物理与性别无关，选生物与性别有关
C．选物理与性别有关，选生物与性别无关
D．选物理与性别无关，选生物与性别无关
【答案】C
【解析】由题意，先分析物理课是否与性别有关：
根据表格数据，
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结合题干表格数据，
，
因此，有充分证据推断选择物理学科与性别有关
再分析生物课是否与性别有关：
根据表格数据，
结合题干表格数据，
，
因此，没有充分证据推断选择生物学科与性别有关
故选：C
考点六：创新类定义统计
【例6】（多选题）（2024·全国·模拟预测）教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，
通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数
，其中
为原始分数，
为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩
，
标准差
，转化为标准分数后，记平均成绩为
，标准差为
，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】根据平均数与方差公式，得
，
，
即
，
．
故选：BD．
【变式6-1】（2024·湖北·高三校联考开学考试）定义空间直角坐标系中的任意点
的“
数”为：
在
点的坐标中不同数字的个数，如：
，若点
的坐标
，
则所有这些点
的“
数”的平均值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，点
的坐标中不同数字的个数，可分为三类：
（1）恰有3 个相同数字的排列为
种，则
共有
个；
（2）恰有2 个相同数字的排列为
种，则
共有
个；
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（3）恰有0 个相同数字的排列为
种，则
共有
个；
所以平均值为
故选：A.
【变式6-2】（2023·甘肃兰州·统考一模）一组数据
的平均数为
，现定义这组数据的平均差
.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图
根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】C
【解析】由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小.
甲乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，即指数据落在此处的概率，甲图中，不同组距区间的概率相差不大，
即指数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处指代的区间，其他区间分布
的比较少，故乙图平均差比较小.
故选：C
【变式6-3】（2024·江西九江·统考一模）恩格尔系数(Engel’sCoefficien)是食品支出总额占个人消费支出总
额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图
为我国2013 年至2019 年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.
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给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是（ ）
A．①
B．②
C．①②
D．②③
【答案】C
【解析】由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，
故两者之间存在负相关关系，结论①正确；
恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论②正确；
家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论③错误.
故选：C
考点七：正态分布
【例7】已知某社区居民每周运动总时间为随机变量
（单位：小时），且
，
．现从该社区中随机抽取3 名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5 至6 小时的概率
为（ ）
A．0.642
B．0.648
C．0.722
D．0.748
【答案】B
【解析】由题意得
，则
，
则
，
则至少有两名居民每周运动总时间为5 至6 小时的概率为
,
故选：B.
【变式7-1】（2024·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公
交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
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A．Y 的数据较X 更集中
B．若有34min 可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min 可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
【答案】D
【解析】观察图象知，
，
对于A，
的密度曲线瘦高、
的密度曲线矮胖，即随机变量
的标准差小于
的标准差，即
，
因此Y 的数据较X 更集中，A 正确；
对于B，显然
，则当有34min 可用时，坐公交车不迟到的概率大，B 正确；
对于C，显然
，则当有38min 可用时，骑自行车不迟到的概率大，C 正确；
对于D，显然
，因此
，D 错误.
故选：D
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量
（单位：个），估计300 天内小笼包的销售量约在950 到1100 个的天数大约是（ ）
（若随机变量
，则
，
，
）
A．236
B．246
C．270
D．275
【答案】B
【解析】由题可知，
，
，
.
所以300 天内小笼包的销售量约在950 到1100 个的天数大约是
天．
故选：B．
考点八：超几何分布与二项分布
资料来源：微信公众号 智慧学库
【例8】（2023 上·上海浦东新·高三统考期末）在100 件产品中有90 件一等品、10 件二等品，从中随机抽
取3 件产品，则恰好含1 件二等品的概率为 （结果精确到0.01）．
【答案】0.25
【解析】从这批产品中抽取3 件，则事件总数为
，
其中恰好有一件二等品的事件有
，
所以恰好有一件二等品的概率为
.
故答案为：0.25
【变式8-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4 或5 或6，则
称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ．
【答案】
【解析】一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4 的情况有3 种，
两枚骰子点数之和为5 的情况有4 种，
两枚骰子点数之和为6 的情况有5 种，
在一次试验中，出现成功试验的概率
，
设出现成功试验的次数为
，则
，
所以重复做这样的试验4 次，则恰出现一次成功试验的概率为
，
故答案为：
．
【变式8-2】（2023 上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）设随机变量
，记
，
．在研究
的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若
为正整数，当
时，
，此时这两项概率均为最大值；若
不为正整数，则
当且仅当
取
的整数部分时，
取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1
出现的次数．当投掷到第20 次时，记录到此时点数1 出现4 次，若继续再进行80 次投掷试验，则在这100
次投掷试验中，点数1 总共出现的次数为 的概率最大．
【答案】17
【解析】继续再进行80 次投掷试验，出现点数为1 次数
服从二项分布
，
由
，结合题中结论可知，
时概率最大，即后面80 次中出现13 次点数1
的概率最大，
加上前面20 次中的4 次，所以出现17 次的概率最大.
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故答案为：17.
考点九：随机变量的分布列、期望、方差
【例9】（2024·全国·高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20 道题，已知该同
学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3 分，答错一题扣1 分，则该同学总
得分的数学期望为 ，方差为 ．
【答案】 28 76.8
【解析】设该同学答对题目的数量为
，因为该同学每道题答对的概率为
，共答
道题，
所以
，所以
，
．
设该同学总得分为
，则
，
，
．
故答案为：
；
.
【变式9-1】（2024·全国·高三专题练习）有一批产品，其中有12 件正品和4 件次品，从中有放回地任取3
件，若X 表示取到次品的次数，则
，
．
【答案】
【解析】由题意得
服从二项分布，且每次取到次品的概率为
，所以
，
所以
，
．
故答案为：
；
.
【变式9-2】（2023 上·全国·高三专题练习）有一批产品，其中有6 件正品和4 件次品，从中任取3 件，其
中次品的件数记为X，则次品件数X 的期望为 ．
【答案】1.2
【解析】由题意知随机变量X 服从超几何分布，其中
，
，
，
于是次品件数X 的期望
，
故答案为：1.2
考点十：古典概型
【例10】（2024·全国·模拟预测）某艺术展览会的工作人员要将A，B，C 三幅作品排成一排，则A，B 这
两幅作品排在一起的概率为 ．
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【答案】
【解析】根据题意A，B，C 三幅作品排成一行，有ABC，ACB，BAC，BCA，CBA，CAB 共6 种情况，
A，B 这两幅作品排在一起的情况有ABC，BAC，CBA，CAB，共4 种，
则A，B 这两幅作品排在一起的概率
.
故答案为：
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）如图，
三个开关控制着
号四盏灯，其中开关
控制着
号灯，开关
控制着
号灯，开关
控制着1，2，4 号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动
这三个开关中的两个不同的开关，则其中1 号灯或2 号灯亮的概率为 ．
【答案】
【解析】先后按动
中的两个不同的开关，有
（种）按法．
若要1 号灯亮，则先按第一个开关时，1 号灯灭，再按第二个开关时，1 号灯亮，
此时对应的按法有2 种，即
；
同理可得，若要2 号灯亮，有
，即2 种按法．
综上，要1 号灯或2 号灯亮有
（种）按法，故所求的概率
．
故答案为：
【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）2023 年10 月18 日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京
举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文
化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅
贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道
菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为 ．
【答案】
/0.25
【解析】服务员随机上这八道菜有
种排法，
“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有
种排法，
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所以所求概率
．
故答案为：
.
考点十一：条件概率与全概率
【例11】（2024·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10 个除颜色外完全相同的球，其中甲
箱中有4 个红球、3 个白球和3 个黑球，乙箱中有5 个红球、2 个白球和3 个黑球．先从甲箱中随机取出一
球放入乙箱，分别用
、
和
表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出
一球，用B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则
【答案】
【解析】由题意得
，
，
，
若
发生，此时乙箱中有6 个红球，2 个白球和3 个黑球，则
，
先
发生，此时乙箱中有5 个红球，3 个白球和3 个黑球，则
，
先
发生，此时乙箱中有5 个红球，2 个白球和4 个黑球，则
．
，
；
.
故答案为：
【变式11-1】（2024·河南·模拟预测）设同一随机试验中的两个事件A，B 满足
，
，
，则
.
【答案】
/0.375
【解析】由
，得
；
由全概率公式：
，
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则
.
故答案是：
.
【变式11-2】某校高三1 班第一小组有男生4 人，女生2 人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现
需从中抽取2 人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；
在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ．
【答案】
【解析】由题设，抽取2 人，恰有一名女生参加，其概率
，
至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2 人都是女生，其概率
，
所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率
.
故答案为：
，
考点十二：概统结合问题
【例12】（2024·黑龙江大庆·铁人中学校考模拟预测）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着
若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口
落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会
均等，则小球最终落入④号球槽的的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设这个球落入④号球槽为时间
，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，
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所以
.
故选：D.
【变式12-1】（2024·海南·统考模拟预测）我国实行个人所得税专项附加扣除制度，涉及子女教育、继续
教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等多项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员
工分别有90 人、270 人、180 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取6 人调查专项附加扣
除的情况，再从这6 人中任选2 人，则选取的2 人中恰有一名是中年员工的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由分层抽样等比例性质知：老年、中年、青年员工分别抽取了1 人、3 人、2 人，
所以6 人中任选2 人中恰有一名是中年员工的概率为
.
故选：B
【变式12-2】（2024·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知
、
的对应值如下表所示:
x
y
与
具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程
近似刻画，则在
的取值中任取两个数均
不大于的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由表格中的数据可得
，
，
所以这组数据的样本点的中心的坐标为
，
又因为点
在回归直线上，所以
，解得
，
所以
的取值分别为、、、、
，
在这个数中，任取两个，取到的两个数都不大于的概率为
.
故选：B.
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考点十三：传统规则的概率问题
【例13】（2024·浙江宁波·效实中学校考模拟预测）盒中有5 个小球，其中3 个白球，2 个黑球，从中任取
个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为
，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】
，
，
∵
，∴
.
∵
，
，
，
∴
，
故选：C.
【变式13-1】（2024·全国·高三专题练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其
中豆沙粽2 个，肉粽3 个，白粽5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3 个，则三种粽子各取
到1 个的概率是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题可先算出10 个元素中取出3 个的所有基本事件为；
种情况；
而三种粽子各取到1 个有
种情况，则可由古典概率得；
考点：古典概率的算法．
【例14】（2024·广东清远·高二统考期末）盒中有a 个红球，b 个黑球，c 个白球，今随机地从中取出一个，
观察其颜色后放回，并加上同色球d 个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【解析】设事件
“第一次抽出的是红球”，事件
“第一次抽出的是黑球”，事件
“第一次抽出
的是白球”，事件
“第二次抽出的是黑球”.
由全概率公式知
由题意
，
，
，
，
，
，则
,
故选：A
考点十四：新赛制概率问题
【例15】（2024·河南信阳·高二统考期末）2022 年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120 分钟比
赛中
战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分
战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马
丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选
择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而
且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑
出点球的个数X 的期望为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为
．
门将在前四次扑出点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，4．
，
，
，1，2，3，4．
期望
．
故选：C．
【变式15-1】通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是
将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一
个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳
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性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3 合1”混检，“5 合1”混检，“10 合1”混检
等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成
本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸
检测，记采用“10 合1”混检方式共需检测X 次，采用“5 合1”混检方式共需检测Y 次，已知当
时，
，据此计算
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，
若进行10 合1 混检，对任意一个10 人组进行检测，总检测次数有两种结果：1 次和11 次，概率分别为
和
，
故这10 人组检测次数的期望为
，相当于每个个体平均检测
次，
同理，采用5 合1 混检，每个个体平均检测
次，
∴
.
故选：B
【变式15-2】（2024·辽宁本溪·高二校考期末）疫情期间，甲、乙、丙三人均来自高风险地区，需要进行
核酸检测，假设每个人的检测结果是否为阳性相互独立，若甲和乙都不是阳性的概率为
，甲和丙都不是
阳性的概率为
，乙和丙都不是阳性的概率为
，则甲、乙、丙三人中最多有2 人是阳性的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】记甲、乙、丙三人核酸检测结果是阳性分别为事件
，
，
，
则
，所以
，
所以
，
，
，
所以
，
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以男、乙、丙三人核酸检测结果都是阳性的概率为
，
所以最多有2 人是阳性的概率为
．
故选:A．
【变式15-3】（2023 下·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在数字通信中，信号是由数字“0”
和“1”组成的序列.现连续发射信号
次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为
.
①当
时，
；
②已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量
，若其数学期望
和方差
均存在，则对任意正实数
，有
.根据该不等式可以对事件“
”的概率作出下限估计.为了至
少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4 与0.6 之间，估计信号发射次数的最小值为 .
【答案】
1250
【解析】①当
时，由已知
，
所以
；
②由已知
，所以
，
若
，则
，即
，
即
.
由切比雪夫不等式
，
要使得至少有
的把握使发射信号“1”的频率在
与
之间，则
，
解得
，所以估计信号发射次数的最小值为1250.
故答案为：
；1250.
考点十五：递推型概率命题
【例16】（2023·广东佛山·统考二模）有
个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1 个盒子中有2 个白球1
个黑球，其余盒子中均为1 个白球1 个黑球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，再从第2 个盒
资料来源：微信公众号 智慧学库
子中任取一球放入第3 个盒子，以此类推，则从第2 个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中
取到白球的概率是 ．
【答案】
【解析】记事件
表示从第
个盒子里取出白球，则
，
，
所以
，
，
，
进而可得
，
，
又
，
，
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，即
，
故答案为：
；
.
【变式16-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）盒子里装有5 个小球，其中2 个红球，3 个黑球，从盒子中随
机取出1 个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：
（1）取了3 次后，取出红球的个数的数学期望为 ；
（2）取了
次后，所有红球刚好全部取出的概率为 .
【答案】
/
【解析】（1）设取出红球的个数为
,则
的可能取值为
.
,
,
,
的分布列为
资料来源：微信公众号 智慧学库
（2）次取完表示最后一次是红球，则前
次中
有一次取得红球，
所以
故答案为：
；
【变式16-2】（2024 上·甘肃·高三统考阶段练习）某学校有
、
两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在
这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有
的可能性换另一个餐厅就餐，
假如第天甲选择了
餐厅，则第天选择
餐厅的概率
为 .
【答案】
【解析】当
且
时，若甲在第
天选择了
餐厅，
那么在第
天有
的可能性选择
餐厅，
若甲在第
天选择了
餐厅，那么在第
天有
的可能性选择
餐厅，
所以第
天选择
餐厅的概率
，
即
，所以
.
又由题意得，
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，所以
.
故答案为：
.
