文档文本内容
专题18 圆锥曲线高频压轴解答题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................5
............................................................................................................................................16
考点一：轨迹方程.................................................................................................................................................16
考点二：向量搭桥进行翻译..................................................................................................................................20
考点三：弦长、面积背景的条件翻译...................................................................................................................24
考点四：斜率之和差商积问题..............................................................................................................................28
考点五：弦长、面积范围与最值问题...................................................................................................................32
考点六：定值问题.................................................................................................................................................36
考点七：中点弦与对称问题..................................................................................................................................39
考点八：定点问题.................................................................................................................................................42
考点九：三点共线问题..........................................................................................................................................45
考点十：四点共圆问题..........................................................................................................................................49
考点十一：切线问题..............................................................................................................................................54
考点十二：定比点差法..........................................................................................................................................57
考点十三：齐次化.................................................................................................................................................60
考点十四：极点极线问题......................................................................................................................................64
考点十五：同构问题..............................................................................................................................................69
考点十六：蝴蝶问题..............................................................................................................................................72
解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量
大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：
（1）解析几何通性通法研究；
（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；
（3）解析几何中的常见模型；
解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕
这八个字的内容与三大核心考点展开．
考点要求
考题统计
考情分析
轨迹问题
2023 年II 卷第21 题，12 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以解答
题形式出现，具体估计为：
（1）以解答题形式出现，考
查数学抽象、数学建模、逻
辑推理与数学运算四大核心
素养．
（2）热点是定点定值与极点
极线问题.
弦长、面积问题
2023 年甲卷第21 题，12 分
2023 年天津卷第18 题，15 分
2023 年I 卷第22 题，12 分
斜率之和差商积问题
2022 年甲卷第21 题，12 分
2021 年乙卷第20 题，12 分
2021 年I 卷第21 题，12 分
定点定值问题
2023 年乙卷第21 题，12 分
2023 年乙卷第20 题，12 分
1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
6、已知点
是椭圆上一个定点，椭圆
上有两动点
、
（1）若直线
，则直线
过定点
（2）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（3）若直线
，则直线
过定点
（4）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（5）当直线
过定点为原点时，则有
（第三定义）；
7、过双曲线
上任一点
，
、
为双曲线上两动点
（1）若
，则直线
恒过定点
．
（2）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（3）若
，则直线
恒过定点
．
（4）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（5）当直线
过定点为原点时，则有
（第三定义）；
8、过抛物线
上任一点
引两条弦
、
，
（1）若
，则直线
恒过定点
．（2018 全国一卷文科）
（2）若
，则直线
恒过定点
．
（3）若直线
，则直线
斜率为定值则
．
1．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线
中心为坐标原点，左焦点为
，
，离心率为
．
（1）求
的方程；
（2）记
的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与
的左支交于
，
两点，
在第二象限，
直线
与
交于
，证明
在定直线上．
【解析】（1）双曲线
中心为原点，左焦点为
，
，离心率为
，
则
，解得
，
故双曲线
的方程为
；
（2）证明：过点
的直线与
的左支交于
，
两点，
则可设直线
的方程为
，
，
，
，
，
记
的左，右顶点分别为
，
，
则
，
，
联立
，化简整理可得，
，
故△
且
，
，
，
直线
的方程为
，直线
方程
，
故
，
故
，解得
，
所以
，
故点
在定直线
上运动．
2．（2023•甲卷）已知直线
与抛物线
交于
，
两点，
．
（1）求
；
（2）设
为
的焦点，
，
为
上两点，且
，求
面积的最小值．
【解析】设
，
，
，
，联立
，
消去
得：
，
，
，△
，
，
，
，
，
，
，
，
（2）由（1）知
，所以
，显然直线
的斜率不可能为零，
设直线
，
，
，
，
由
，可得
，所以
，
，
△
，
因为
，所以
，
即
，即
，
将
，
，代入得
，
，所以
，且
，解得
或
．
设点
到直线
的距离为
，所以
，
，
所以
的面积
，
又
或
，所以当
时，
的面积
．
3．（2023•天津）设椭圆
的左、右顶点分别为
，
，右焦点为
，已知
，
．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点
是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线
交
轴于点
，若△
的面积是△
面积的二倍，求直线
的方程．
【解析】（Ⅰ）由题意可知，
，解得
，
．
则椭圆方程为
，椭圆的离心率为
；
（Ⅱ）由题意可知，直线
的斜率存在且不为0，
当
时，直线方程为
，取
，得
．
联立
，得
．
△
，
，得
，则
．
．
．
，即
，得
；
同理求得当
时，
．
直线
的方程为
．
4．（2023•乙卷）已知椭圆
的离心率为
，点
在
上．
（1）求
的方程；
（2）过点
的直线交
于点
，
两点，直线
，
与
轴的交点分别为
，
，证明：线段
的中点为定点．
【解析】（1）由题意，
，解得
．
椭圆
的方程为
；
证明：（2）如图，
要使过点
的直线交
于点
，
两点，则
的斜率存在且小于0，
设
，即
，
，
，
，
，
，
联立
，得
．
△
．
，
，
直线
，取
，得
；
直线
，取
，得
．
．
的中点为
，为定点．
5．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，记动点
的
轨迹为
．
（1）求
的方程；
（2）已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
【解析】
（1）设点
点坐标为
，由题意得
，
两边平方可得：
，
化简得：
，符合题意．
故
的方程为
．
（2）解法一：不妨设
，
，
三点在
上，且
．
设
，
，
，
则
，
．
由题意，
，即
，
显然
，于是
．
此时，
．
．于是
，
．
不妨设
，则
，
则
．
设
，则
，即
，
又
．
显然，
为最小值点．故
，
故矩形
的周长为
．
注意这里有两个取等条件，一个是
，另一个是
，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设
，
，
在抛物线
上，
不在抛物线
上，欲证命题为
．
由图象的平移可知，将抛物线
看作
不影响问题的证明．
设
，
，平移坐标系使
为坐标原点，
则新抛物线方程为
，写为极坐标方程，
即
，即
．
欲证明的结论为
，
也即
．
不妨设
，将不等式左边看成关于
的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当
即
时取得，
因此欲证不等式为
，即
，
根据均值不等式，有
，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
6．（2022•乙卷）已知椭圆
的中心为坐标原点，对称轴为
轴、
轴，且过
，
，
两点．
（1）求
的方程；
（2）设过点
的直线交
于
，
两点，过
且平行于
轴的直线与线段
交于点
，点
满
足
．证明：直线
过定点．
【解析】
（1）设
的方程为
，
且
，
将
两点代入得
，
解得
，
，
故
的方程为
；
（2）由
可得线段
（1）若过点
的直线斜率不存在，直线
．代入
，
可得
，
，将
代入
，可得
，得到
，
求得
方程：
，过点
．
②若过
的直线的斜率存在，设
，
，
，
，
，
联立
，得
，
故有
，
，
，
，
联立
，可得
，
，
，
，
，
又
，
，
，
三点共线，故直线
过点
，
综上，可得直线
过定点
．
7．（2022•甲卷）设抛物线
的焦点为
，点
，过
的直线交
于
，
两点．
当直线
垂直于
轴时，
．
（1）求
的方程；
（2）设直线
，
与
的另一个交点分别为
，
，记直线
，
的倾斜角分别为
，
．当
取得最大值时，求直线
的方程．
【解析】（1）由题意可知，当
时，
，得
，可知
，
．
则在
中，
，得
，解得
．
则
的方程为
；
（2）设
，
，
，
，
，
，
，
，
当
与
轴垂直时，由对称性可知，
也与
轴垂直，
此时
，则
，
由（1）可知
，
，则
，
又
、
、
三点共线，则
，即
，
，
得
，即
；
同理由
、
、
三点共线，得
．
则
．
由题意可知，直线
的斜率不为0，设
，
由
，得
，
，
，则
，
，
则
，
，
，
与
正负相同，
，
当
取得最大值时，
取得最大值，
当
时，
；当
时，
无最大值，
当且仅当
，即
时，等号成立，
取最大值，
此时
的直线方程为
，即
，
又
，
，
的方程为
，即
．
8．（2021•乙卷）已知抛物线
的焦点
到准线的距离为2．
（1）求
的方程；
（2）已知
为坐标原点，点
在
上，点
满足
，求直线
斜率的最大值．
【解析】（1）由题意知，
，
．
（2）由（1）知，抛物线
，
，
设点
的坐标为
，
则
，
点坐标为
，
将点
代入
得
，
整理得
，
当
时，
，
当
时，
，当且仅当
，即
时，等号成立，取得最大值．
故答案为：
．
9 ．（2021• 新高考Ⅰ）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，
，点
满足
．记
的轨迹为
．
（1）求
的方程；
（2 ）设点
在直线
上，过
的两条直线分别交
于
，
两点和
，
两点，且
，求直线
的斜率与直线
的斜率之和．
【解析】（1 ）由双曲线的定义可知，
的轨迹
是双曲线的右支，设
的方程为
，
根据题意
，解得
，
的方程为
；
（2）（法一）设
，直线
的参数方程为
，
将其代入
的方程并整理可得，
，
由参数的几何意义可知，
，
，则
，
设直线
的参数方程为
，
，
，同理可得，
，
依题意，
，则
，
又
，故
，则
，即直线
的斜率与直线
的斜率之和为0．
（法二）设
，直线
的方程为
，
，
，
，
，设
，
将直线
方程代入
的方程化简并整理可得，
，
由韦达定理有，
，
又由
可得
，
同理可得
，
，
设直线
的方程为
，设
，
同理可得
，
又
，则
，化简可得
，
又
，则
，即
，即直线
的斜率与直线
的斜率之和为0．
考点一：轨迹方程
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点
的坐标
、
表示相关点
的坐标
、
，然后代入点
的坐标
所
满足的曲线方程，整理化简可得出动点
的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标
、
之间的直接关系难以找到时，往往先寻找
、
与某一参数得到方
程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
【例1】（2024·河北衡水·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，点
满足方程
.
（1）求点
的轨迹
的方程；
（2）作曲线
关于
轴对称的曲线，记为
，在曲线
上任取一点
，过点
作曲线
的切线，
若切线与曲线
交于
、
两点，过点
、
分别作曲线
的切线、
，证明：、
的交点必在曲线
上.
【解析】（1）由
，
两边平方并化简
，得
，即
，
故点
的轨迹
的方程为
.
（2）依题可设点
，
，
曲线
切于点
的切线的斜率为
，
切线l 的方程为
，整理得
，
依题可知曲线
，
，
联立方程组
，即
，
，
设
，
，则
，
，
设曲线
上点
处的切线斜率为
，
切线方程为
，整理得
，
同理可得曲线
上点
处的切线方程为
，
联立方程组
，解得
，
因为
，
，
所以
，
，、
的交点坐标为
，
满足曲线
的方程
，即、
的交点必在曲线
上.
【变式1-1】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知椭圆C：
（
）的离
心率为
，左顶点A 到右焦点
的距离为3.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线与椭圆
交于不同两点
，
（不同于A），且直线
和
的斜率之积与椭圆的离心率互
为相反数，求
在上的射影
的轨迹方程.
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
所以椭圆方程为
.
（2）
当直线的斜率存在时，可设l：
，
，
，
与椭圆方程联立，
，
得
，
，
，
，
因为直线
和
的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，
所以
，
得
，即
，
所以
或
，
当
时，
经过定点
，与A 重合，舍去，
当
时，
，经过定点
，
当直线的斜率不存在时，l：
，此时，
，满足条件，
因为
，
，
所以点
的轨迹是以
为直径的圆（除去点
），圆心坐标为
，半径为
，
所以点
的轨迹方程为
.
【变式1-2】已知直线
交抛物线
于
两点.
（1）设直线与
轴的交点为
，若
，求实数
的值；
（2）若点
在抛物线
上，且关于直线对称，求证：
四点共圆：
（3）记
为抛物线
的焦点，过抛物线
上的点
作准线的垂线，垂足分别为点
，若
的面
积是
的面积的两倍，求线段
中点的轨迹方程.
【解析】（1）由
得
.
设
，则
因为直线与
相交，所以
，得
由
，得
，所以
，
解得
，从而
，
因为
，所以
，故
.
（2）设
，
因为
两点关于直线
对称，
则
，故
.
又
于是
，
即
.
由点
在抛物线上，有
.
因为
，所以
，
于是
因此
，同理
，
于是点
在以
为直径的圆上，
即
四点共圆.
（3）易知
设
，则
设直线
与
轴的交点为
，则
由题设
，可得
，
所以
或
.
设线段
的中点为
，有
当
时，当
与
轴不垂直时，
由
可得
，
即
而
，所以
.
同理，当
时，
.
当
与
轴垂直时，
与
重合.符合
综上，线段
的中点的轨迹方程
或
.
考点二：向量搭桥进行翻译
把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线
的离心率为2，焦点到一条渐近线
的距离为
．
(1)求双曲线
的方程．
(2)若过双曲线的左焦点
的直线交双曲线于
，
两点，交
轴于
，设
．试判断
是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【解析】（1）不妨取双曲线的一条渐近线方程为
，右焦点为
，
因为焦点
到一条渐近线
的距离为
，
所以
解得
.
又
，且
，解得
.
所以双曲线
的方程为
.
（2）由（1）可知左焦点
.
由题意可知，直线的斜率存在，且不等于
.如图所示
设直线的方程为
则
.
因为
，
所以
可得
由
，消去
整理得
所以
所以
为定值
.
【变式2-1】（2024·上海静安·高三统考期末）已知双曲线
：
，点
的坐标为
．
(1)设直线 过点
，斜率为
，它与双曲线
交于
、
两点，求线段
的长；
(2)设点
在双曲线
上，
是点
关于
轴的对称点．记
，求
的取值范围．
【解析】（1）直线的方程为
．
由方程组
得
．
设
,则
，
．
（2）设点
，则点
的坐标为
．
，
，
．
因为
，所以
．
【变式2-2】（2024·安徽蚌埠·统考一模）点
在以
、
为焦点的双曲线
上，
已知
，
，
为坐标原点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过点
作直线分别与双曲线渐近线相交于
、
两点，且
，
，求双曲线
的方程；
(3)若过点
（
为非零常数）的直线与（2）中双曲线
相交于不同于双曲线顶点的两点
、
，
且
（
为非零常数），问在
轴上是否存在定点
，使
？若存在，求出所有
这种定点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为
，则
，可得
，
因为
，由勾股定理可得
，即
，
所以，
，因此，该双曲线的离心率为
.
（2）因为
，则
，
所以，双曲线
的方程为
，即
，
双曲线
的渐近线方程为
，设点
、
、
，
，可得
，
因为
，即
，可得
，
即点
，
将点
的坐标代入双曲线
的方程可得
，可得
，
所以，
，所以，
，因此，双曲线
的方程为
.
（3）假设在
轴上存在定点
使得
，
设直线的方程为
，设点
、
，
联立
，可得
，
由题意可得
，可得
，
由韦达定理可得
，
，易知
、
，
所以，
，
，
因为
，所以，
，
即
，即
，
即
，（*）
由
可得
，则
，
将
代入（*）可得
，（**）
将
代入韦达定理可得
，所以，
，
将
代入（**）式可得
，
故在
轴上存在定点
使得
．
考点三：弦长、面积背景的条件翻译
首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点
设线、直由联立、看判别式、韦达定理．
将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公
式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）
关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数
间的关系．
【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点
到椭圆
：
的左焦点和右焦
点的距离之比为
．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)若直线
与
的轨迹相交于
，
，与椭圆
相交于
，
，求
的值．
【解析】（1）由题意得，
，所以左焦点为
，右焦点为
．
设点
的坐标为
，则
，化简得
，
所以点
的轨迹方程为
．
（2）由（1）得，点
的轨迹方程为
，
所以圆心到直线
距离为
，
所以直线
与
相交的线段
，
联立直线
与
的轨迹方程，
，得
，
由根与系数的关系得
，
直线
曲线
相交的线段
所以
．
【变式3-1】（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的右焦点为
，且经过点
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)已知
，
是双曲线
上关于原点对称的两点，垂直于
的直线与双曲线
相切于点
，当点
位于
第一象限，且
被
轴分割为面积比为
的两部分时，求直线
的方程.
【解析】（1）因为
的右焦点为
，且经过点
，
所以
，解得
．
故双曲线
的标准方程为
．
（2）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设
的方程为
．
联立
消去
，得
．
由
得
且
，
解得
．
因为与
垂直，所以设的方程为
．
联立
消去
，化简得
．
由
且
，得
．
因为与双曲线有且仅有一个公共点，
所以
，即
，
化简得
，且点
．
因为
点位于第一象限，所以
，
．
不妨设
，
分别位于双曲线的左、右两支上，记
与
轴的交点为
．
因为
被
轴分割为面积比为
的两部分，且
与
面积相等，
所以
与
的面积比为
，由此可得
．
因此
，即
．
又因为
，所以
，解得
．
因为
，所以
，
故直线
的方程为
．
【变式3-2】（2024·江西·校联考模拟预测）已知双曲线
，渐近线方程为
，
点
在
上；
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
的两条直线
，
分别与双曲线
交于
，
两点（不与
点重合），且两条直线的斜率
，
满足
，直线
与直线
，
轴分别交于
，
两点，求证：
的面积为定值.
【解析】（1）
，
，依题意，
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）依题意可知
斜率存在，设方程为
，
，
，
，
，
①，
，
整理得
.
1）
，
，过
舍去，
2）
，
，过点
，
此时，将
代入①得
，
与
交于点
，故
（定值）
考点四：斜率之和差商积问题
在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将
斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
【例4】（2024·陕西商洛·统考一模）已知点
，动点M 满足
，动点
的轨
迹记为
.
(1)求
的方程；
(2)若不垂直于
轴的直线过点
，与
交于
两点（点
在
轴的上方），
分别为
在
轴上
的左、右顶点，设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，试问
是否为定值?若是，求出该
定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为
，
所以
的轨迹是以
为焦点，且长轴长为4 的椭圆，
设
的轨迹方程为
，则
，可得
．
又
，所以
，所以
的方程为
．
（2）依题意，设直线
，
联立
，消去
得
．
易知
，且
．
由
，
得
．
（方法一）
因为
，所以
，
所以
，
所以
为定值，且定值为
．
（方法二）
因为
，
所以
，
所以
为定值，且定值为
．
【变式4-1】（2024·山东济南·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点
的距离与到
直线
的距离之比为
．
(1)求动点M 轨迹W 的方程；
(2)过点F 的两条直线分别交W 于A，B 两点和C，D 两点，线段AB，CD 的中点分别为P，Q．设直线
AB，CD 的斜率分别为
，
，且
，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不
是，请说明理由．
【解析】（1）设点M 的坐标为
，由题意可知，
，
化简整理得，W 的方程为
．
（2）由题意知，设直线AB 的方程为
，与W 的方程
联立可得，
，
设
，
，由韦达定理得，
，
则
，
所以，点P 的坐标为
．
同理可得，Q 的坐标为
．
所以，直线PQ 的斜率为
，
所以，直线PQ 的方程为
，
即
，
又
，则
，
所以直线PQ 的方程即为
，
所以，直线PQ 过定点
．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
，
，P 为平面内
一动点，记直线
的斜率为k，直线
的斜率为
，且
，记动点P 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线与曲线C 交于M，N 两点（点M 在第一象限，点N 在第四象限），记直线
，的斜率为
，
直线
的斜率为
，若
，求证：直线过定点．
【解析】（1）设
，则
，
，
整理得
，
曲线
的方程为
．
（2）
由题意知，直线的斜率不为0，设直线
，
与方程
联立并化简，得
，
设
，
，
则
，
，
点
在曲线
上，
，
，
又
，
，
，
，即
，
，
，
得
，
，
，
，
直线的方程为
，直线过定点
．
考点五：弦长、面积范围与最值问题
弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线
与椭圆相交得到的
为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于
，有以下三种常见的
表达式：
①
（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②
（横截距已知的条件下使用）
③
（纵截距已知的条件下使用）
【例5】（2024·江西南昌·高三校考学业考试）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，焦距为
，点
在
上.
(1)
是
上一动点，求
的范围；
(2)过
的右焦点
，且斜率不为零的直线交
于
，
两点，求
的面积的最大值.
【解析】（1）由题意知
，所以
.
将点
代入
，解得
，所以椭圆
的方程为
.
设点
，则
.
又因为
，所以
的范围是
.
（2）依题意可设直线的方程为
，
，
.
联立
得
.
，
所以
，
，
所以
，
又因为
，
当且仅当
时等号成立.所以
.
所以
的面积的最大值为2.
【变式5-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，焦距为
，点
在
上.
(1)
是
上一动点，求
的范围；
(2)过
的右焦点
，且斜率不为零的直线交
于
，
两点，求
的内切圆面积的最大值.
【解析】（1）由题意知
，所以
.
将点
代入
，解得
，所以椭圆
的方程为：
.
设点
，则
.
又因为
，所以
的范围是
.
（2）依题意可设直线的方程为
，
，
.
联立
得
.
所以
，
，
所以
，
又因为
，
当且仅当
时等号成立.所以
.
又因为三角形内切圆半径满足
.
所以
的内切圆面积的最大值为
.
【变式5-2】（2024·湖南·湖南师大附中校联考一模）已知抛物线
为抛物线外一点，过点
作抛
物线的两条切线，切点分别为
（
在
轴两侧），
与
分别交
轴于
.
(1)若点
在直线
上，证明直线
过定点，并求出该定点；
(2)若点
在曲线
上，求四边形
的面积的范围.
【解析】（1）设
，直线
，
联立
，可得
.
在
轴两侧，
，
，
由
得
，
所以
点处的切线方程为
，
整理得
，
同理可求得
点处的切线方程为
，
由
，可得
，
又
在直线
上，
.
直线
过定点
.
（2）由（1）可得
在曲线
上，
.
由（1）可知
，
，
，
令
在
单调递增，
四边形
的面积的范围为
.
考点六：定值问题
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【例6】（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）已知点
为椭圆C：
的左焦点，
在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)已知两点
与
，过点A 的直线l 与C 交于P，Q 两点，且
，
试判断mn 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【解析】（1）由已知可得
，且C 的另一焦点坐标为
，设为
，
所以有
，
所以
，所以
，所以C 的方程为
（2）
设l：
，代入C 整理可得：
，
设
，
，则
①，
②，
由
，可得
，
③，
由①②③可得：
，
恒成立，所以
，为定值．
【变式6-1】（2024·黑龙江鸡西·高三校考期末）已知椭圆E：
，已知椭圆过点M
，
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)已知直线l：
交E 于点A，B 两点、交x 轴于P 点，点A 关于x 轴的对称点为D，直线BD 交x
轴于Q 点. 试探究
是否为定值？若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知
，即
解得
，所以E 的标准方程为：
．
（2）因为直线l 的方程为
，显然
，则点P 的坐标为
设
，则
联立直线与椭圆方程有
，整理得
所以有
，即
，且
①
直线BD 的方程为
，
令
，得Q 的横坐标为
，
将①代入得
所以有
，
所以
为定值4 .
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆
的左、右顶点分别为
为
上一点，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，且
．
(1)求
的标准方程；
(2)若
为
上异于
的点，且直线
过点
，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求证：
为定值．
【解析】（1）由题意知
，
则
，得
．
因为点
在
上，所以
，得
，
故
的标准方程是
．
（2）由（1）知，
．
可设直线
，
联立得
，得
，
则
，
所以
．
所以
，为定值．
考点七：中点弦与对称问题
对于中点弦问题常用点差法解决．
【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l 与抛物线
交于A，B 两点，且线段AB 恰好被点
平分.
(1)求直线l 的方程；
(2)抛物线上是否存在点C 和D，使得C，D 关于直线l 对称?若存在，求出直线CD 的方程；若不存在，请
说明理由.
【解析】（1）依题意，直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为
，即
，
由
消去x 得：
，
，设
，则有
，
由
，得
，于是直线l 的方程
，即
，
所以直线l 的方程为
.
（2）假设抛物线上存在点C，D 满足条件，由（1）设直线
的方程为
，
由
消去x 得：
，有
，解得
，
设
，则
，于是线段
的中点坐标为
，
显然点
在直线
上，即
，解得
，
所以抛物线上不存在点C，D，使得C，D 关于直线l 对称.
【变式7-1】（2024·全国·高三专题练习）已知曲线C 的方程是
，其中
，
，直线l 的方程是
．
(1)请根据a 的不同取值，判断曲线C 是何种圆锥曲线；
(2)若直线l 交曲线C 于两点M，N，且线段
中点的横坐标是
，求a 的值；
(3)若
，试问曲线C 上是否存在不同的两点A，B，使得A，B 关于直线l 对称，并说明理由．
【解析】（1）
，即
，
当
时，曲线表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，曲线表示焦点在
轴上的双曲线；
（2）设
，
，
，
则
，
，
两式相减得到：
，
即
，故
，
故
的中点为
，代入直线得到
，
解得
或
（舍），故
.
（3）假设存在，直线方程为
，双曲线方程为
，
设
，
，
中点为
，则
，
，
两式相减得到
，
即
，
，又
，
解得
，
.
此时直线
方程为：
，即
，
，化简得到
，方程无解，故不存在.
【变式7-2】（2024·广东深圳·统考一模）已知双曲线E：
与直线l：
相交于A、B 两点，
M 为线段AB 的中点．
(1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；
(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C、D 两点，问：是否存在实数k，使得A、B 是线段CD 的两
个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设
，
，
，
联立直线l 与双曲线E 的方程，得
，
消去y，得
．
由
且
，得
且
．
由韦达定理，得
．
所以
，
．
由
消去k，得
．
由
且
，得
或
．
所以，点M 的轨迹方程为
，其中
或
．
（2）双曲线E 的渐近线方程为
．
设
，
，联立
得
，同理可得
，
因为
，
所以，线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点．
若A，B 为线段CD 的两个三等分点，则
．
即
，
．
而
，
．
所以，
，解得
，
所以
，存在实数，使得A、B 是线段CD 的两个三等分点．
考点八：定点问题
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明．
【例8】（2024·海南海口·高三校考阶段练习）已知抛物线
为E 上位于第一象
限的一点，点P 到E 的准线的距离为5.
（1）求E 的标准方程；
（2）设O 为坐标原点，F 为E 的焦点，A，B 为E 上异于P 的两点，且直线
与
斜率乘积为
，求证：
直线
过定点.
【解析】（1）由题可知
，解得
.
所以
的标准方程为
；
（2）由（1）知，
，且
，解得
，所以
.
设
，则
，同理可得，
，
则
，即
.
当直线
斜率存在时，直线
的方程为
，
整理得
.
所以
，即
，
所以直线
过定点
；
当直线
的斜率不存在时
，可得
.
综上，直线
过定点
.
【变式8-1】（2024·四川雅安·统考一模）已知
为坐标原点，过点
的动直线与抛物线
相交于
两点．
(1)求
；
(2)在平面直角坐标系
中，是否存在不同于点
的定点
，使得
恒成立？若存在，求出
点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）显然直线不垂直于y 轴，设直线的方程为
，
，
由
消去x 并整理得
，显然
，于是
，
所以
.
（2）由（1）知
，
假定存在不同于点
的定点
，使得
恒成立，由抛物线对称性知，点
在x 轴上，设
，
则直线
的斜率互为相反数，即
，即
，
整理得
，即
，亦即
，而不恒为0，则
，
所以存在不同于点
的定点
，使得
恒成立，点
的坐标为
.
【变式8-2】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知椭圆
的
左､右顶点分别为
为椭圆
上任意一点（与
不重合），直线
和
的斜率之积为
，点
在椭圆上．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作斜率之和为1 的两条直线分别与椭圆
交于
两点，直线
是否过定点？若过定点，求
出此定点；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1）依题意，
，设
，由点
在椭圆上，得
，
由直线
和
的斜率之积为
，得
，即
，
由点
在椭圆上，得
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）当直线
的斜率存在时，设其方程为
，点
，
由
消去y 并整理得
，
则
，
，
点
，由直线
之和为1，得
，即
，
于是
，
整理得
，
则
，整理得
，
即
，显然直线
不过点
，即
，
因此
，即
，直线
：
，过定点
，
当直线
的斜率不存在时，直线
与椭圆
交于
，
不妨设
，由
，解得
，此时，直线
过点
，
所以直线
过定点
.
考点九：三点共线问题
证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直
线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个
距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其
中两点的直线方程，在证明第3 点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，
计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形
的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思
想”．
【例9】（2024·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知椭圆
的左、右
焦点分别为
，过点
且与直线
垂直的直线交
轴负半轴于
，且
.
(1)若过
、
、
三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆
的方程；
(2)设
.过椭圆
右焦点
且不与坐标轴垂直的直线与椭圆
交于
、
两点，点
是点
关于
轴
的对称点，在
轴上是否存在一个定点
，使得
、
、
三点共线？若存在，求出点
的坐标；若不
存在，说明理由.
【解析】（1）依题意，设
，由
，得
是线段
的中点，则
，
由直线
与
垂直，得
，则
显然过
、
、
三点的圆的圆心为
，半径为
，
由过
、
、
三点的圆恰好与直线
相切，得
，解得
，
有
，
，所以椭圆
的方程为
.
（2）由（1）及
，得
，
，椭圆
的方程为
，
设直线方程为
，
，则
，
由
消去x 并整理得
，
，
，
直线
的方程为
，
令
得
，
所以在
轴上存在一个定点
，使得
、
、
三点共线.
【变式9-1】（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知
，
为椭圆
的两焦点，过点
作直线交椭圆
于
两点，
的周长为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)椭圆
的上顶点为
，下顶点为
，直线
交
于点
，求证：
，
，
三点共线.
【解析】（1）在椭圆
中，由
，可得
，
又由
的周长为
，根据由椭圆的定义，可得
，即
，
则
，所以椭圆
的标准方程为
.
（2）证明：如图所示，设直线
：
，且
，
，
，
联立方程
，整理得
，
则
，且
，
，
因为点
，
，
三点共线，可得
，即
，
所以
，
又由
，
则
，
将
，
代入得
，
所以
三点共线.
【变式9-2】（2024·广东广州·高三统考阶段练习）已知动点M 在圆
上，过点M 作x 轴的垂线，
垂足为N，点P 满足
，点P 的轨迹为C.
(1)求C 的方程；
(2)已知点
，设A，B 是曲线C 上的两点，直线AB 与曲线
相切.证明：A，B，F
三点共线的充要条件是
.
【解析】（1）设点P 为
，点M 为
，则点N 为
，
，
，
由
，可得
，
因为点
在圆
上，
所以
，即
，
所以C 的方程为
；
（2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB：
，不合题意；
当直线AB 的斜率存在时，设
，
，
必要性：
若A，B，F 三点共线，可设直线AB：
即
，
由直线AB 与曲线
相切可得
，解得
，
联立
可得
，
所以
，
，
所以
，
所以必要性成立；
充分性：
设直线AB：
，即
，
由直线AB 与曲线
相切可得
及（
），
所以
，
联立
可得
，
所以
，
，
所以
，
化简得
，所以
，
所以
或
，所以直线AB：
或
所以直线AB 过点
，A，B，F 三点共线，充分性成立；
所以A，B，F 三点共线的充要条件是
.
考点十：四点共圆问题
证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则
可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其
顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，
则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为
，并且任何一个外角都等于它的内
对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂
线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
【例10】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C：
的准线方程为
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若斜率为1 的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，点P，Q 在C 上且关于直线l 对称，求证：A，B，P，Q
四点共圆．
【解析】（1）由
得
，
所以抛物线C 的准线方程为
，得
，
所以抛物线C 的方程为
．
（2）设直线l 的方程为
，
，
，
，
，
将
代入
，得
，
则
，
，
．
连接PQ，由点P，Q 关于直线l 对称，得
，
所以
，得
，即
．
因为线段PQ 的中点在直线
上，
所以
，得
，
即
，
故
，
把
代入上式，得
，
即
，
连接PA，PB，
所以
，
故
，故点P 在以AB 为直径的圆上．
同理，点Q 在以AB 为直径的圆上，
故A，B，P，Q 四点共圆．
【变式10-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）在平面直角坐标系
中，
为坐标原点，动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离的比是常数
，设动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)已知定点
，
，过点
作垂直于
轴的直线，过点
作斜率大于0 的直线
与曲线
交于
点
、
，其中点
在
轴上方，点
在
轴下方.曲线
与
轴负半轴交于点
，直线
、
与直线
分别交于点
、
，若
、
、
、
四点共圆，求的值.
【解析】（1）由题得：
，两边平分并化简得
，
所以，曲线
的方程为
.
（2）设点
、
，设直线
的方程为
，
直线
的方程与椭圆
的方程
联立，
消去
得
.
则
，可得
，
由韦达定理：
，
.
由条件，直线
的方程为
，直线
的方程为
，
于是可得
，
.
因为
、
、
、
四点共圆，由相交弦定理可得
,
则
，化简得
，
又
，
，代入整理得：
.
将韦达定理代入化简得：
，即
.
【变式10-2】（2024·浙江·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系
中，O 为坐标原点，动点
与定点
的距离和D 到定直线
的距离的比是常数2，设动点D 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)已知定点
，
，过点P 作垂直于x 轴的直线，过点P 作斜率大于0 的直线
与曲线C 交于
点G，H，其中点G 在x 轴上方，点H 在x 轴下方．曲线C 与x 轴负半轴交于点A，直线
，
与直线
分别交于点M，N，若A，O，M，N 四点共圆，求t 的值．
【解析】（1）由已知得：
，两边平分并化简得：
即为曲线
的方程．
（2）
设点
，
．
直线
与双曲线C 的方程
联立，
消去y 得
．
由韦达定理：
，
．
由条件，直线AG 的方程为
，直线AH 的方程为
，
于是可得
，
．
因为A，O，M，N 四点共圆，所以
，
所以
，于是
．
即
，化简得
又
，
，代入整理得：
．
将韦达定理代入化简得：
．
考点十一：切线问题
（1）若点
是圆
上的点，则过点
的切线方程为
．
（2）若点
是圆
外的点，由点
向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB
所在直线方程为
．
（3）若点
是椭圆
上的点，则过点
的切线方程为
．
（4）若点
是椭圆
外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦
AB 所在直线方程为
．
【例11】（2024·山西临汾·校考模拟预测）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直线l：
交C 于M，Q 两点，且
．
(1)求C 的方程；
(2)若点P 是C 的准线上的一点，过点P 作C 的两条切线PA，PB，其中A，B 为切点，求点O 到直线AB 的
距离的最大值．
【解析】（1）依题意，由抛物线的对称性知，点
关于x 轴对称，由
，得
，
不妨令点
在第一象限，则
，设抛物线C 的方程为
，即有
，解得
，
所以抛物线C 的方程为
.
（2）由（1）知，抛物线C：
的准线方程为
，设点
，
显然切线
不垂直于坐标轴，设切线方程为
，
由
消去x 并整理得
①，于是
，
设方程
的一个根为
，则该方程的另一根为
，
不妨令切线
的方程为
，方程①中
取
得点
的纵坐标为
，其横坐标为
，
即点
，
同理得
，当
时，直线
方程为
，整理得
，
当
或
时，直线
方程为
，因此直线
过定点
，
为定值，
所以当
时，点O 到直线AB 的距离取得最大值1.
【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）已知圆
的圆心
是椭圆
的
左焦点，圆
与
轴的两个交点是
，其中
是椭圆的右顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过
且斜率不为0 的直线与椭圆交于
两点，直线
与圆
在点
处的切线分别交于
两点，
求证：
．
【解析】（1）圆
的方程
可化为
，
所以圆心
．
由
解得
或
，
易得
．因此
，
于是
，
故椭圆的标准方程为
．
（2）当直线
的斜率不存在时，不妨设
，
，从而直线
的方程分别为
和
，于是
，则
，
因此有
，所以
成立．
当直线
的斜率存在时，设斜率为
，则直线
的方程为
，
联立得
，消去
得
．
设
，
则
，得
．
易知直线
的方程为
，圆
在
点处的切线方程为
，
设
，则
，于是
，
同理可得
． 则直线
的斜率
，
直线
的斜率
，
，
所以
，即
，因此
，
即
， 故
成立．
综上，
．
【变式11-2】（2024·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知动点P 到点
的距离
与到直线
的距离相等.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)过动点
作曲线
的两条切线，切点分别为
，
，求证：
．
【解析】（1）由抛物线定义可得：
的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线．
所以曲线
的方程为
．
（2）
由题意，过点
的切线斜率存在，设切线方程为
，
联立
，消去
可得
，
所以
，即
（*），
因为
，所以方程（*）存在两个不等实根，设为
，
由韦达定理可得
，所以
．
考点十二：定比点差法
【例12】（2024·山东济南·统考一模）已知椭圆C 的焦点坐标为
和
，且椭圆经过点
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若
，椭圆C 上四点M，N，P，Q 满足
，
，求直线MN 的斜率.
【解析】（1）由题意可知，c=1，
设椭圆方程为
，将点
代入椭圆方程，
得
，
解得
（舍），
，
所以椭圆方程为
.
（2）设
，
，
，
，
，
因为
，所以
，即
，
又
，
都在椭圆上，
所以
，
，
即
，
②-①得
，
即
……③，
又
，同理得
……④
④-③得
，
所以
.
【变式12-1】（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆
：
的右焦点为
，点
，
是椭圆
上关于原点对称的两点，其中
点在第一象限内，射线
，
与椭圆
的交点分别为
，
.
（1）若
，
，求椭圆
的方程；
（2）若直线
的斜率是直线
的斜率的2 倍，求椭圆
的方程.
【解析】（1）由
，根据椭圆的对称性知
轴，
过右焦点
所以
，
，
，
则
，由
，可得
解得
，代入椭圆方程得
，解得
，
所以
，即
，所以
，故椭圆方程为
；
（2）设
，
，令
，则
，
代入椭圆方程得
，即
，
又
，所以
，化简得到
①
同理：令
，同理解得
，代入椭圆方程同理可得
②
由题知
，解得
，③
①
②得
，将③式代入得
，故
，
故椭圆方程为
.
【变式12-2】（2024·全国·高三专题练习）过
的直线与椭圆
交于P，Q，过P 作
轴且与椭圆交于另一点N，F 为椭圆的右焦点，若
，求证：
【解析】设
，则
设直线NQ 与x 轴相交于点
，
由题设知：
，所以
，
，即
，
①
设
，则
，
，即
，
②
比较①②得
，
，
又
，两式作差得
，
得到
，
得到
，即M 和F 重合．
所以
．
考点十三：齐次化
【例13】已知抛物线
，过点
的直线与抛物线
交于P，Q 两点，
为坐标原点．证明：
．
【解析】直线
由
，得
则由
，得：
，
整理得：
，即：
．
所以
，
则
，即：
．
【变式13-1】（2024·广东·统考一模）已知椭圆
的离心率为
，过椭圆C 右焦点并
垂直于x 轴的直线PM 交椭圆C 于P，M（点P 位于x 轴上方）两点，且△OPM（O 为坐标原点）的面积为
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 交椭圆C 于A，B（A，B 异于点P）两点，且直线PA 与PB 的斜率之积为
，求点P 到直线l
距离的最大值．
【解析】（1）由题意可得
，∴由题意可得
且
，解得
，
，
∴椭圆的方程为：
．
（2）解法1：由（1）可得
，
当直线 没有斜率时，设方程为：
，则
，此时
，化简得：
又
，解得
或
（舍
去），此时P 到直线l 的距离为
设直线l 有斜率时，设
，
，设其方程为：
，联立可得
且整理可得：
，
，且
，
，
，整理可得：
，
整理可得
，整理可得
，
即
，
或
，
若
，则直线方程为：
，直线恒过
，与P 点重合，
若
，则直线方程为：
，∴直线恒过定点
，∴P 到直线l 的距离的
最大值为
的值为
，
由于
∴点P 到直线l 距离的最大值
．
解法2：公共点
，左移1 个单位，下移
个单位，
，
，
，
，等式两边同时除以
，
，
，
，
，
过
，右移1 个单位，上移
个单位，过
，∴P 到直线l 的距离的最大值为
的值为
，
由于
∴点P 到直线l 距离的最大值
．
【变式13-2】（2024·广东汕头·高二汕头市第一中学校考期末）如图，点
为椭圆
的右焦点，过
且垂直于
轴的直线与椭圆
相交于
､
两点(
在
的上方)，
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
､
是椭圆
上位于直线
两侧的动点，且满足
，试问直线
的斜率是否为
定值，请说明理由.
【解析】（1）由
得：
，
椭圆
的方程：
（2）依题意知直线
的斜率存在，设
方程：
，
代入椭圆方程
得：
(*)
，
由
得
，
整理得：
或
当
时，直线
过定点
，不合题意
，
，
直线
的斜率是定值
另设直线
的方程为
椭圆
的方程即：
即：
联立得：
即
由
得
即：
直线
的斜率为
，是定值.
考点十四：极点极线问题
【例14】（2024·广西·校联考模拟预测）已知F 为抛物线
的焦点，直线
与C
交于A，B 两点且
.
（1）求C 的方程.
（2）若直线
与C 交于M，N 两点，且
与
相交于点T，证明：点T 在定直线上.
【解析】（1）设
，
，由
，得
，
则
，
从而
，
解得
，故
的方程为
.
（2）证明：设
，
，
，
.
因为
，所以
.
根据
得
，则
，
同理得
.
又
两式相加得
，
即
，由于
，所以
.
故点
在定直线
上.
【变式14-1】（2024·福建福州·统考一模）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，
为原点.以
为对角线的正方形
的顶点
，
在
上.
（1）求
的离心率；
（2）当
时，过
作与
轴不重合的直线与
交于
，
两点，直线
，
的斜率分别为
，
，试判断
是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.
【解析】解法一：（1）以
为对角线的正方形
的顶点坐标分别为
，
，
.
因为
，
在椭圆上，所以
，
所以
，
所以
，
所以椭圆的离心率
；
（2）当
时，
，所以椭圆的方程为
.
为定值
，理由如下：
①当直线的斜率不存在时，的方程为
，则
，
，
所以
，
，所以
.
②当直线的斜率存在时，设的方程为
，
，
设
，
，
不妨设
，且
.
由
可得
，
，
，
.
要证
，只要证明：
，
只要证：
，
只要证：
，
只要证：
，
因为
，
，即证
，
因为
，
，所以
.
所以
成立，
综上所述：
.
解法二：（1）同解法一；
（2）当
时，
，所以椭圆的方程为
.
设的方程为
，
，
设
，
，不妨设
.
由
可得
，
，
，
.
所以
，即
.
.
综上所述：
.
解法三：（1）同解法一；
（2）当
时，
，所以椭圆的方程为
.
设的方程为
，
，
设
，
，不防设
.
由
可得
，
，
，
.
因为
在椭圆上，所以
，即
，
所以
.
，
.
所以
.
综上所述：
.
解法四：（1）同解法一；
当
时，
，所以椭圆的方程为
.
设
，
，
因为
在椭圆上，所以
，所以
.
所以
，
同理
.
设
，则
，
所以
，①
，②
①+②得
，
当
时得
，不合题意，舍去.
当
时，
，
所以直线
经过点
，
又
过定点
，故
，解得
.
综上所述：
.
【变式14-2】（2024·安徽·高考真题）设椭圆
过点
，且左焦点为
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）当过点
的动直线 与椭圆
相交与两不同点
时，在线段
上取点
，满足
，证明：点
总在某定直线上
【解析】(1)由题意：
，解得
，所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B 的坐标分别为
．
由题设知
均不为零，记
,则
且
又A，P，B，Q 四点共线，从而
于是
，
，
从而
，
（1）
，
（2）
又点A、B 在椭圆C 上，即
（1）+（2）×2 并结合（3），（4）得
即点
总在定直线
上
方法二
设点
，由题设，
均不为零．
且
又
四点共线，可设
,于是
（1）
（2）
由于
在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程
整理得
（3）
(4)(4)－(3) 得
即点
总在定直线
上
考点十五：同构问题
【例15】（2024·贵州·校联考一模）抛物线
的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长．
(1)求抛物线
的方程；
(2)设
是抛物线
上位于第一象限的一点，过
作
（其中
）的两条切线，
分别交抛物线
于点
,
,证明：直线
经过定点．
【解析】（1）由椭圆方程
可知短轴长为
，
∴抛物线
的焦点到准线的距离
，
故抛物线方程为
．
（2）∵
是抛物线
上位于第一象限的点，∴
且
，∴
．
设
，
，则直线
方程为
，
即
，
∵直线DM：
与圆E：
相切，
∴
，整理可得，
，①
同理，直线DN 与圆E 相切可得，
，②
由①②得a，b 是方程
的两个实根，
∴
，
，
代入
，化简整理可得，
，
令
，解得
，
故直线MN 恒过定点
．
【变式15-1】（2024·湖北武汉·统考一模）设抛物线
的焦点为F，过F 作直线l 交抛物线
E 于A，B 两点.当l 与x 轴垂直时，
面积为8，其中O 为坐标原点.
（1）求抛物线E 的标准方程；
（2）若l 的斜率存在且为
点
，直线
与E 的另一交点为C，直线
与E 的另一交点为D，设直
线
的斜率为
，证明：
为定值.
【解析】（1）由题意不妨设
.
∴
.
；
（2）设
.
则直线l 的斜率为
，直线
为
.
则
.
又点
在直线上，则
.
同理，直线
为
.
点
在直线
上，则
.
同理，直线
为
.
点
在直线
上，则
.
又
，则
，
得证.
【变式15-2】（2024·江西吉安·高三统考期末）已知椭圆
的焦距为2，离心率为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）直线与
轴正半轴和
轴分别交于点
，与椭圆分别交于点
，各点均不重合且满足
．若
，证明：直线恒过定点．
【解析】（1）依题意，
．由
，得
．
故椭圆方程为
．
（2）设
，
．
由
，得
，
．
∵点
在椭圆上，
，整理得
．
同理，由
可得
．
为方程
的两不相等实数根，
．
．又
．∴直线恒过定点
．
考点十六：蝴蝶问题
【例16】（2024·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A，B，点M，N 是椭圆上异于A，B 的不同两点，直线
的斜率
为
，直线
的斜率为
，求证：直线
过定点．
【解析】（1）由椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆上，
可得
，所以
，
又点
在该椭圆上，所以
，所以
，
所以椭圆C 的标准方程为
（2）由于
的斜率为
，设
的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
所以
，所以
，
从而
，即
，
同理可得：由于
的斜率为
，则
，
联立方程组
，可得
，
即
，
所以
，所以
，
从而
，即
，
当
时即
；时，
，过点
，
当
时，
，
，即
，所以直线
过点
，
综上可得，直线
过点
.
【变式16-1】（2024·广东·高二校联考期末）椭圆有两个顶点
过其焦点
的直线与椭
圆交于
两点，并与
轴交于点
，直线
与
交于点
．
（1）当
时，求直线的方程；
（2）当
点异于
两点时，证明：
为定值．
【解析】（1）由题意，椭圆的方程为
易得直线不与两坐标轴垂直，
故可设的方程为
，设
，
由
消去
整理得
，判别式
由韦达定理得
，①
故
，解得
，
即直线的方程为
．
（2）证明：直线
的斜率为
，故其方程为
，
直线
的斜率为
，故其方程为
，
由
两式相除得
即
由（1）知
，
故
解得
．易得
，
故
，
所以
为定值1
【变式16-2】（2024·全国·高三专题练习）设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直
线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 另一个交点分别为A，B，记直线
的斜率为
，求
的值．
【解析】（1）由题意可得点
，故
，解得
所以抛物线C 的方程为
.
（2） 设
，直线
，
联立直线
，得
，
，
联立直线
，得
，
，
∴
，同理可得
，
由斜率公式可得
，
，∴
．
则
=2.
