文档文本内容
专题18 圆锥曲线高频压轴解答题
【目录】
...........................................................................................................................................2
.............................................................................................................................................3
...........................................................................................................................................4
...........................................................................................................................................5
...........................................................................................................................................7
考点一：轨迹方程.................................................................................................................................................7
考点二：向量搭桥进行翻译..................................................................................................................................8
考点三：弦长、面积背景的条件翻译...................................................................................................................9
考点四：斜率之和差商积问题............................................................................................................................ 11
考点五：弦长、面积范围与最值问题.................................................................................................................12
考点六：定值问题...............................................................................................................................................13
考点七：中点弦与对称问题................................................................................................................................15
考点八：定点问题...............................................................................................................................................16
考点九：三点共线问题....................................................................................................................................... 17
考点十：四点共圆问题....................................................................................................................................... 18
考点十一：切线问题...........................................................................................................................................19
考点十二：定比点差法....................................................................................................................................... 21
考点十三：齐次化...............................................................................................................................................22
考点十四：极点极线问题....................................................................................................................................23
考点十五：同构问题...........................................................................................................................................24
考点十六：蝴蝶问题...........................................................................................................................................25
解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量
大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：
（1）解析几何通性通法研究；
（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；
（3）解析几何中的常见模型；
解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕
这八个字的内容与三大核心考点展开．
考点要求
考题统计
考情分析
轨迹问题
2023 年II 卷第21 题，12 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以解答
题形式出现，具体估计为：
（1）以解答题形式出现，考
查数学抽象、数学建模、逻
辑推理与数学运算四大核心
素养．
（2）热点是定点定值与极点
极线问题.
弦长、面积问题
2023 年甲卷第21 题，12 分
2023 年天津卷第18 题，15 分
2023 年I 卷第22 题，12 分
斜率之和差商积问题
2022 年甲卷第21 题，12 分
2021 年乙卷第20 题，12 分
2021 年I 卷第21 题，12 分
定点定值问题
2023 年乙卷第21 题，12 分
2023 年乙卷第20 题，12 分
1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
6、已知点
是椭圆上一个定点，椭圆
上有两动点
、
（1）若直线
，则直线
过定点
（2）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（3）若直线
，则直线
过定点
（4）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（5）当直线
过定点为原点时，则有
（第三定义）；
7、过双曲线
上任一点
，
、
为双曲线上两动点
（1）若
，则直线
恒过定点
．
（2）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（3）若
，则直线
恒过定点
．
（4）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（5）当直线
过定点为原点时，则有
（第三定义）；
8、过抛物线
上任一点
引两条弦
、
，
（1）若
，则直线
恒过定点
．（2018 全国一卷文科）
（2）若
，则直线
恒过定点
．
（3）若直线
，则直线
斜率为定值则
．
1．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线
中心为坐标原点，左焦点为
，
，离心率为
．
（1）求
的方程；
（2）记
的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与
的左支交于
，
两点，
在第二象限，
直线
与
交于
，证明
在定直线上．
2．（2023•甲卷）已知直线
与抛物线
交于
，
两点，
．
（1）求
；
（2）设
为
的焦点，
，
为
上两点，且
，求
面积的最小值．
3．（2023•天津）设椭圆
的左、右顶点分别为
，
，右焦点为
，已知
，
．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点
是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线
交
轴于点
，若△
的面积是△
面积的二倍，求直线
的方程．
4．（2023•乙卷）已知椭圆
的离心率为
，点
在
上．
（1）求
的方程；
（2）过点
的直线交
于点
，
两点，直线
，
与
轴的交点分别为
，
，证明：线段
的中点为定点．
5．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，记动点
的
轨迹为
．
（1）求
的方程；
（2）已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
6．（2022•乙卷）已知椭圆
的中心为坐标原点，对称轴为
轴、
轴，且过
，
，
两点．
（1）求
的方程；
（2）设过点
的直线交
于
，
两点，过
且平行于
轴的直线与线段
交于点
，点
满
足
．证明：直线
过定点．
7．（2022•甲卷）设抛物线
的焦点为
，点
，过
的直线交
于
，
两点．
当直线
垂直于
轴时，
．
（1）求
的方程；
（2）设直线
，
与
的另一个交点分别为
，
，记直线
，
的倾斜角分别为
，
．当
取得最大值时，求直线
的方程．
8．（2021•乙卷）已知抛物线
的焦点
到准线的距离为2．
（1）求
的方程；
（2）已知
为坐标原点，点
在
上，点
满足
，求直线
斜率的最大值．
9 ．（2021• 新高考Ⅰ）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，
，点
满足
．记
的轨迹为
．
（1）求
的方程；
（2 ）设点
在直线
上，过
的两条直线分别交
于
，
两点和
，
两点，且
，求直线
的斜率与直线
的斜率之和．
考点一：轨迹方程
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点
的坐标
、
表示相关点
的坐标
、
，然后代入点
的坐标
所
满足的曲线方程，整理化简可得出动点
的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标
、
之间的直接关系难以找到时，往往先寻找
、
与某一参数得到方
程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
【例1】（2024·河北衡水·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，点
满足方程
.
（1）求点
的轨迹
的方程；
（2）作曲线
关于
轴对称的曲线，记为
，在曲线
上任取一点
，过点
作曲线
的切线，
若切线与曲线
交于
、
两点，过点
、
分别作曲线
的切线、
，证明：、
的交点必在曲线
上.
【变式1-1】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知椭圆C：
（
）的离
心率为
，左顶点A 到右焦点
的距离为3.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线与椭圆
交于不同两点
，
（不同于A），且直线
和
的斜率之积与椭圆的离心率互
为相反数，求
在上的射影
的轨迹方程.
【变式1-2】已知直线
交抛物线
于
两点.
（1）设直线与
轴的交点为
，若
，求实数
的值；
（2）若点
在抛物线
上，且关于直线对称，求证：
四点共圆：
（3）记
为抛物线
的焦点，过抛物线
上的点
作准线的垂线，垂足分别为点
，若
的面
积是
的面积的两倍，求线段
中点的轨迹方程.
考点二：向量搭桥进行翻译
把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线
的离心率为2，焦点到一条渐近线
的距离为
．
(1)求双曲线
的方程．
(2)若过双曲线的左焦点
的直线交双曲线于
，
两点，交
轴于
，设
．试判断
是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【变式2-1】（2024·上海静安·高三统考期末）已知双曲线
：
，点
的坐标为
．
(1)设直线 过点
，斜率为
，它与双曲线
交于
、
两点，求线段
的长；
(2)设点
在双曲线
上，
是点
关于
轴的对称点．记
，求
的取值范围．
【变式2-2】（2024·安徽蚌埠·统考一模）点
在以
、
为焦点的双曲线
上，
已知
，
，
为坐标原点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过点
作直线分别与双曲线渐近线相交于
、
两点，且
，
，求双曲线
的方程；
(3)若过点
（
为非零常数）的直线与（2）中双曲线
相交于不同于双曲线顶点的两点
、
，
且
（
为非零常数），问在
轴上是否存在定点
，使
？若存在，求出所有
这种定点
的坐标；若不存在，请说明理由．
考点三：弦长、面积背景的条件翻译
首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点
设线、直由联立、看判别式、韦达定理．
将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公
式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）
关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数
间的关系．
【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点
到椭圆
：
的左焦点和右焦
点的距离之比为
．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)若直线
与
的轨迹相交于
，
，与椭圆
相交于
，
，求
的值．
【变式3-1】（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的右焦点为
，且经过点
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)已知
，
是双曲线
上关于原点对称的两点，垂直于
的直线与双曲线
相切于点
，当点
位于
第一象限，且
被
轴分割为面积比为
的两部分时，求直线
的方程.
【变式3-2】（2024·江西·校联考模拟预测）已知双曲线
，渐近线方程为
，
点
在
上；
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
的两条直线
，
分别与双曲线
交于
，
两点（不与
点重合），且两条直线的斜率
，
满足
，直线
与直线
，
轴分别交于
，
两点，求证：
的面积为定值.
考点四：斜率之和差商积问题
在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将
斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
【例4】（2024·陕西商洛·统考一模）已知点
，动点M 满足
，动点
的轨
迹记为
.
(1)求
的方程；
(2)若不垂直于
轴的直线过点
，与
交于
两点（点
在
轴的上方），
分别为
在
轴上
的左、右顶点，设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，试问
是否为定值?若是，求出该
定值；若不是，请说明理由.
【变式4-1】（2024·山东济南·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点
的距离与到
直线
的距离之比为
．
(1)求动点M 轨迹W 的方程；
(2)过点F 的两条直线分别交W 于A，B 两点和C，D 两点，线段AB，CD 的中点分别为P，Q．设直线
AB，CD 的斜率分别为
，
，且
，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不
是，请说明理由．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
，
，P 为平面内
一动点，记直线
的斜率为k，直线
的斜率为
，且
，记动点P 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线与曲线C 交于M，N 两点（点M 在第一象限，点N 在第四象限），记直线
，的斜率为
，
直线
的斜率为
，若
，求证：直线过定点．
考点五：弦长、面积范围与最值问题
弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线
与椭圆相交得到的
为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于
，有以下三种常见的
表达式：
①
（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②
（横截距已知的条件下使用）
③
（纵截距已知的条件下使用）
【例5】（2024·江西南昌·高三校考学业考试）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，焦距为
，点
在
上.
(1)
是
上一动点，求
的范围；
(2)过
的右焦点
，且斜率不为零的直线交
于
，
两点，求
的面积的最大值.
【变式5-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，焦距为
，点
在
上.
(1)
是
上一动点，求
的范围；
(2)过
的右焦点
，且斜率不为零的直线交
于
，
两点，求
的内切圆面积的最大值.
【变式5-2】（2024·湖南·湖南师大附中校联考一模）已知抛物线
为抛物线外一点，过点
作抛
物线的两条切线，切点分别为
（
在
轴两侧），
与
分别交
轴于
.
(1)若点
在直线
上，证明直线
过定点，并求出该定点；
(2)若点
在曲线
上，求四边形
的面积的范围.
考点六：定值问题
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【例6】（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）已知点
为椭圆C：
的左焦点，
在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)已知两点
与
，过点A 的直线l 与C 交于P，Q 两点，且
，
试判断mn 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【变式6-1】（2024·黑龙江鸡西·高三校考期末）已知椭圆E：
，已知椭圆过点M
，
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)已知直线l：
交E 于点A，B 两点、交x 轴于P 点，点A 关于x 轴的对称点为D，直线BD 交x
轴于Q 点. 试探究
是否为定值？若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆
的左、右顶点分别为
为
上一点，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，且
．
(1)求
的标准方程；
(2)若
为
上异于
的点，且直线
过点
，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求证：
为定值．
考点七：中点弦与对称问题
对于中点弦问题常用点差法解决．
【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l 与抛物线
交于A，B 两点，且线段AB 恰好被点
平分.
(1)求直线l 的方程；
(2)抛物线上是否存在点C 和D，使得C，D 关于直线l 对称?若存在，求出直线CD 的方程；若不存在，请
说明理由.
【变式7-1】（2024·全国·高三专题练习）已知曲线C 的方程是
，其中
，
，直线l 的方程是
．
(1)请根据a 的不同取值，判断曲线C 是何种圆锥曲线；
(2)若直线l 交曲线C 于两点M，N，且线段
中点的横坐标是
，求a 的值；
(3)若
，试问曲线C 上是否存在不同的两点A，B，使得A，B 关于直线l 对称，并说明理由．
【变式7-2】（2024·广东深圳·统考一模）已知双曲线E：
与直线l：
相交于A、B 两点，
M 为线段AB 的中点．
(1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；
(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C、D 两点，问：是否存在实数k，使得A、B 是线段CD 的两
个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
考点八：定点问题
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明．
【例8】（2024·海南海口·高三校考阶段练习）已知抛物线
为E 上位于第一象
限的一点，点P 到E 的准线的距离为5.
（1）求E 的标准方程；
（2）设O 为坐标原点，F 为E 的焦点，A，B 为E 上异于P 的两点，且直线
与
斜率乘积为
，求证：
直线
过定点.
【变式8-1】（2024·四川雅安·统考一模）已知
为坐标原点，过点
的动直线与抛物线
相交于
两点．
(1)求
；
(2)在平面直角坐标系
中，是否存在不同于点
的定点
，使得
恒成立？若存在，求出
点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知椭圆
的
左､右顶点分别为
为椭圆
上任意一点（与
不重合），直线
和
的斜率之积为
，点
在椭圆上．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作斜率之和为1 的两条直线分别与椭圆
交于
两点，直线
是否过定点？若过定点，求
出此定点；若不过定点，请说明理由．
考点九：三点共线问题
证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直
线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个
距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其
中两点的直线方程，在证明第3 点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，
计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形
的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思
想”．
【例9】（2024·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知椭圆
的左、右
焦点分别为
，过点
且与直线
垂直的直线交
轴负半轴于
，且
.
(1)若过
、
、
三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆
的方程；
(2)设
.过椭圆
右焦点
且不与坐标轴垂直的直线与椭圆
交于
、
两点，点
是点
关于
轴
的对称点，在
轴上是否存在一个定点
，使得
、
、
三点共线？若存在，求出点
的坐标；若不
存在，说明理由.
【变式9-1】（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知
，
为椭圆
的两焦点，过点
作直线交椭圆
于
两点，
的周长为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)椭圆
的上顶点为
，下顶点为
，直线
交
于点
，求证：
，
，
三点共线.
【变式9-2】（2024·广东广州·高三统考阶段练习）已知动点M 在圆
上，过点M 作x 轴的垂线，
垂足为N，点P 满足
，点P 的轨迹为C.
(1)求C 的方程；
(2)已知点
，设A，B 是曲线C 上的两点，直线AB 与曲线
相切.证明：A，B，F
三点共线的充要条件是
.
考点十：四点共圆问题
证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则
可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其
顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，
则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为
，并且任何一个外角都等于它的内
对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂
线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
【例10】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C：
的准线方程为
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若斜率为1 的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，点P，Q 在C 上且关于直线l 对称，求证：A，B，P，Q
四点共圆．
【变式10-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）在平面直角坐标系
中，
为坐标原点，动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离的比是常数
，设动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)已知定点
，
，过点
作垂直于
轴的直线，过点
作斜率大于0 的直线
与曲线
交于
点
、
，其中点
在
轴上方，点
在
轴下方.曲线
与
轴负半轴交于点
，直线
、
与直线
分别交于点
、
，若
、
、
、
四点共圆，求的值.
【变式10-2】（2024·浙江·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系
中，O 为坐标原点，动点
与定点
的距离和D 到定直线
的距离的比是常数2，设动点D 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)已知定点
，
，过点P 作垂直于x 轴的直线，过点P 作斜率大于0 的直线
与曲线C 交于
点G，H，其中点G 在x 轴上方，点H 在x 轴下方．曲线C 与x 轴负半轴交于点A，直线
，
与直线
分别交于点M，N，若A，O，M，N 四点共圆，求t 的值．
考点十一：切线问题
（1）若点
是圆
上的点，则过点
的切线方程为
．
（2）若点
是圆
外的点，由点
向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB
所在直线方程为
．
（3）若点
是椭圆
上的点，则过点
的切线方程为
．
（4）若点
是椭圆
外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦
AB 所在直线方程为
．
【例11】（2024·山西临汾·校考模拟预测）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直线l：
交C 于M，Q 两点，且
．
(1)求C 的方程；
(2)若点P 是C 的准线上的一点，过点P 作C 的两条切线PA，PB，其中A，B 为切点，求点O 到直线AB 的
距离的最大值．
【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）已知圆
的圆心
是椭圆
的
左焦点，圆
与
轴的两个交点是
，其中
是椭圆的右顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过
且斜率不为0 的直线与椭圆交于
两点，直线
与圆
在点
处的切线分别交于
两点，
求证：
．
【变式11-2】（2024·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知动点P 到点
的距离
与到直线
的距离相等.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)过动点
作曲线
的两条切线，切点分别为
，
，求证：
．
考点十二：定比点差法
【例12】（2024·山东济南·统考一模）已知椭圆C 的焦点坐标为
和
，且椭圆经过点
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若
，椭圆C 上四点M，N，P，Q 满足
，
，求直线MN 的斜率.
【变式12-1】（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆
：
的右焦点为
，点
，
是椭圆
上关于原点对称的两点，其中
点在第一象限内，射线
，
与椭圆
的交点分别为
，
.
（1）若
，
，求椭圆
的方程；
（2）若直线
的斜率是直线
的斜率的2 倍，求椭圆
的方程.
【变式12-2】（2024·全国·高三专题练习）过
的直线与椭圆
交于P，Q，过P 作
轴且与椭圆交于另一点N，F 为椭圆的右焦点，若
，求证：
考点十三：齐次化
【例13】已知抛物线
，过点
的直线与抛物线
交于P，Q 两点，
为坐标原点．证明：
．
【变式13-1】（2024·广东·统考一模）已知椭圆
的离心率为
，过椭圆C 右焦点并
垂直于x 轴的直线PM 交椭圆C 于P，M（点P 位于x 轴上方）两点，且△OPM（O 为坐标原点）的面积为
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 交椭圆C 于A，B（A，B 异于点P）两点，且直线PA 与PB 的斜率之积为
，求点P 到直线l
距离的最大值．
【变式13-2】（2024·广东汕头·高二汕头市第一中学校考期末）如图，点
为椭圆
的右焦点，过
且垂直于
轴的直线与椭圆
相交于
､
两点(
在
的上方)，
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
､
是椭圆
上位于直线
两侧的动点，且满足
，试问直线
的斜率是否为
定值，请说明理由.
考点十四：极点极线问题
【例14】（2024·广西·校联考模拟预测）已知F 为抛物线
的焦点，直线
与C
交于A，B 两点且
.
（1）求C 的方程.
（2）若直线
与C 交于M，N 两点，且
与
相交于点T，证明：点T 在定直线上.
【变式14-1】（2024·福建福州·统考一模）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，
为原点.以
为对角线的正方形
的顶点
，
在
上.
（1）求
的离心率；
（2）当
时，过
作与
轴不重合的直线与
交于
，
两点，直线
，
的斜率分别为
，
，试判断
是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.
【变式14-2】（2024·安徽·高考真题）设椭圆
过点
，且左焦点为
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）当过点
的动直线 与椭圆
相交与两不同点
时，在线段
上取点
，满足
，证明：点
总在某定直线上
考点十五：同构问题
【例15】（2024·贵州·校联考一模）抛物线
的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长．
(1)求抛物线
的方程；
(2)设
是抛物线
上位于第一象限的一点，过
作
（其中
）的两条切线，
分别交抛物线
于点
,
,证明：直线
经过定点．
【变式15-1】（2024·湖北武汉·统考一模）设抛物线
的焦点为F，过F 作直线l 交抛物线
E 于A，B 两点.当l 与x 轴垂直时，
面积为8，其中O 为坐标原点.
（1）求抛物线E 的标准方程；
（2）若l 的斜率存在且为
点
，直线
与E 的另一交点为C，直线
与E 的另一交点为D，设直
线
的斜率为
，证明：
为定值.
【变式15-2】（2024·江西吉安·高三统考期末）已知椭圆
的焦距为2，离心率为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）直线与
轴正半轴和
轴分别交于点
，与椭圆分别交于点
，各点均不重合且满足
．若
，证明：直线恒过定点．
考点十六：蝴蝶问题
【例16】（2024·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A，B，点M，N 是椭圆上异于A，B 的不同两点，直线
的斜率
为
，直线
的斜率为
，求证：直线
过定点．
【变式16-1】（2024·广东·高二校联考期末）椭圆有两个顶点
过其焦点
的直线与椭
圆交于
两点，并与
轴交于点
，直线
与
交于点
．
（1）当
时，求直线的方程；
（2）当
点异于
两点时，证明：
为定值．
【变式16-2】（2024·全国·高三专题练习）设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直
线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 另一个交点分别为A，B，记直线
的斜率为
，求
的值．
