十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—立体几何解答题
目录
题型一：证明平行问题..........................................................................1
题型二：证明垂直问题..........................................................................2
题型三：求线线角..................................................................................5
题型四：求线面角..................................................................................7
题型五：求二面角................................................................................16
题型六：求几何题的表面积和体积......................................................18
题型七：求距离的问题.........................................................................30
题型八：根据条件确定点的位置..........................................................31
题型九：立体几何中求最值问题..........................................................36
题型十：立体几何的综合应用.............................................................37
题型一：证明平行问题
1．(2019·江苏·第16 题)如图，在直三棱柱
中，
分别为
，
的中点，
．
求证：(1)
平面
；(2)
．
2．(2022 高考北京卷·第17 题)如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，M，N 分别为
，AC 的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3．(2016 高考数学山东理科·第17 题)(本小题满分12 分)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，
EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线．
(I)已知
分别为
，
的中点，求证：GH∥平面ABC；
(II)已知
，
．求二面角
的余弦值．
H
G
F
E
O
O'
B
C
A
题型二：证明垂直问题
1．(2020 江苏高考·第15 题)在三棱柱
中，
，
平面
，
分别是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
2 ．(2018 年高考数学江苏卷· 第15 题)( 本小题满分14 分) 在平行六面体
中，
．
求证：(1)
；
(2)
．
3．(本小题满分12 分)如图，在五面体
中，点
是矩形
的对角线的交点，面
是等
边三角形，棱
．
(Ⅰ)证明
平面
；
(Ⅱ)设
，证明
平面
．
D
C
A
B
E
O
F
4．(2014 高考数学江苏·第16 题)如图，在三棱锥P−ABC 中，D ，E，F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点．
已知PA ⊥AC ，PA=6,
(1)求证：直线PA //平面DEF ；
(2)求证：平面BDE ⊥¿ ¿平面ABC ．
（第16题）
P
D
C
E
F
B
A
5 ．(2015 高考数学江苏文理· 第16 题) 如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，已知AC ⊥BC ，
BC =CC 1 ，设AB 1的中点为D ，B1C∩BC 1=E ．
求证：(1)DE //平面AA1C1C ；
(2)BC 1⊥AB 1．
6．(2017 年高考数学江苏文理科·第15 题)如图,在三棱锥A
BCD
中, AB
AD
, BC
BD
, 平面ABD
⊥平面BCD , 点
,
E F ( E 与
,
A D 不重合)分别在棱AD , BD 上,且EF ⊥AD ．
求证:(1) EF ∥平面ABC ;
(2) AD ⊥AC ．
C1
B1
A1
E
D
C
B
A
7．(2016 高考数学江苏文理科·第16 题)如图，在直三棱柱
中，
分别为
的中
点，点
在侧棱
上，且
，
．
求证：(1)直线
平面
； (2)平面
平面
．
F
E
D
C
B
A
C1
B1
A1
8．(2023 年全国乙卷理科·第19 题)如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
正弦值．
F
E
B
D
A
题型三：求线线角
1．(2018 年高考数学上海·第17 题)(本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分)
已知圆锥的顶点为
，底面圆心为
，半径为2，
(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
(2)设
，
是底面半径，且
，
为线段
的中点，如图，求异面直线
与
所成的角的大小．
P
A
B
O
M
2．(2015 高考数学新课标1 理科·第18 题)如图，四边形
为菱形，
，
是平面
同一侧的两点，
⊥平面
，
⊥平面
，
，
．
(1)证明：平面
⊥平面
;
(2)求直线
与直线
所成角的余弦值．
3．(2016 高考数学上海理科·第19 题)(本题满分12 分)本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题
满分6 分．
将边长为1 的正方形
(及其内部)绕的
旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长
为
，其中
与
在平面
的同侧．
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求异面直线
与
所成的角的大小．
4．(2015 高考数学广东理科·第18 题)(本小题满分14 分)
如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．点E
是CD 边的中点，点F，G 分别在线段AB，BC 上，且AF=2FB，CG=2GB．
(1)证明：PE⊥FG；
(2)求二面角P—AD—C 的正切值；
(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．
A
B
C
D
F
G
P
题型四：求线面角
1．(2021 年高考浙江卷·第19 题)如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，M，N 分别为
的中点，
．
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
2．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第20 题)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是
矩形，M，N 分别为BC，B1C1的中点，P 为AM 上一点，过B1C1和P 的平面交AB 于E，交AC 于F．
1B
A
1A
C
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
(2)设O 为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E 与平面A1AMN 所成角的正弦
值．
3．(2020 北京高考·第16 题)如图，在正方体
中，
为
的中点．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值．
4．(2019·浙江·第19 题)如图，已知三棱柱
，平面
平面
，
，
，
，
，
分别是
，
的中点．
(Ⅰ)证明：
；
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的余弦值．
F
E
C1
A1
B1
C
B
A
5 ．(2019· 天津· 理· 第17 题) 如图，
平面
，
，
．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(Ⅲ)若二面角
的余弦值为
，求线段
的长．
A
B
C
D
E
F
6 ．(2023 年全国甲卷理科· 第18 题) 如图，在三棱柱
中，
底面ABC ，
，
到平面
的距离为1．
(1)证明：
；
(2)已知
与
的距离为2，求
与平面
所成角的正弦值．
7．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第20 题)如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PD
底面
ABCD．设平面PAD 与平面PBC 的交线为．
(1)证明：
平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q 为上的点，QB=
，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．
8．(2020 年浙江省高考数学试卷·第19 题)如图，三棱台DEF—ABC 中，面ADFC⊥面ABC，
∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
(I)证明：EF⊥DB；
(II)求DF 与面DBC 所成角的正弦值．
9．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第18 题)在四棱锥
中，
底面
．
(1)证明：
；
(2)求PD 与平面
所成的角的正弦值．
10．(2022 年浙江省高考数学试题·第19 题)如图，已知
和
都是直角梯形，
，
，
，
，
，
，二面角
的平面角
为
．设M，N 分别为
的中点．
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
11．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第18 题)如图，四面体
中，
，E 为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，点F 在
上，当
的面积最小时，求
与平面
所
成的角的正弦值．
12．(2018 年高考数学江苏卷·第25 题)(本小题满分10 分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，
点P，Q 分别为A1B1，BC 的中点．
(1)求异面直线BP 与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
13．(2018 年高考数学浙江卷·第19 题)(本题满分15 分)如图，已知多面体
，
均垂直于平面
，
，
，
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
A
B
C
A1
C1
B1
14．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第18 题)(12 分)如图，四边形
为正方形，
分别为
的中点，以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，且
．
(1)证明:平面
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
15．(2014 高考数学陕西理科·第19 题)四面体
及其三视图如图所示，过被
的中点
作平行于
，
的平面分别交四面体的棱
于点
．
⑴证明：四边形
是矩形；⑵求直线
与平面
夹角
的正弦值．
俯视图
左视图
主视图
2
2
1
16．(2014 高考数学福建理科·第17 题)(本小题满分12 分)
在平行四边形
中，
，
．
将
沿
折起，使得平面
平面
，如图：
(1)求证：
；
(2)若
为
中点，求直线
与平面
所成角的正弦值．
M
D
C
B
A
17．(2014 高考数学北京理科·第17 题)如图, 正方形AMDE 的边长为2, B, C 分别为AM、MD 的中点,
在五棱锥P−ABCDE 中, F 为棱PE 的中点, 平面ABF 与棱PD, PC 分别交于点G、H
(1)求证：AB // FG ；
(2)若PA⊥平面ABCDE, 且PA=AE, 求直线BC 与平面ABF 所成角的大小, 并求线段PH 的长．
18．(2015 高考数学新课标2 理科·第19 题)(本题满分12 分)如图，长方体
中,
，
，
，点
，
分别在
，
上，
．过点
，
的平
面
与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
H
G
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
1A
1
B
1
C
1
D
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值．
19．(2015 高考数学上海理科·第19 题)(本题满分12 分)如图，在长方体
中，
，
，
、
分别是棱
、
的中点，证明
、
、
、
四点共面，并求直线
与
平面
所成角的大小．
20．(2017 年高考数学浙江文理科·第19 题)如图,已知四棱锥P
ABCD
, PAD
是以AD 为斜边的等腰
直角三角
形, BC
AD
,CD
AD
,
2
2
PC
AD
DC
CB
, E 为PD 的中点．
(Ⅰ)证明:CE ∥平面PAB ;
(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
21．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第19 题)如图,四棱锥
中,
地面
,AD∥BC,
,
,
为线段
上一点,
,
为
的中点.
(Ⅰ)证明
∥平面
;
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值.
B1
C
B
A
F
E
A1
C1
D1
D
A
B
C
D
P
E
( 第19 题图)
22．(2016 高考数学天津理科·第17 题)如图，正方形
的中心为
，四边形
为矩形，平面
平面
，点
为
的中点，
．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求二面角
的正弦值；
(Ⅲ)设
为线段
上的点，且
，求直线
和平面
所成角的正弦值．
A
B
C
D
E
F
G
H
O
23 ．(2016 高考数学四川理科· 第18 题) 如图，在四棱锥
中，
，
，
，
为棱
的中点，异面直线
与
所成的角为
(1)在平面
内找一点
，使得直线
平面
，并说明理由；
(2)若二面角
的大小为
，求直线
与
所成的角正弦值．
D
C
B
A
M
N
P
24．(2017 年高考数学北京理科·第16 题)如图,在四棱锥P
ABCD
中,底面ABCD 为正方形,平面
PAD 平面ABCD ,点M 在线段PB 上,
//
PD
平面MAC ,
6
PA
PD
,
4
AB
．
(Ⅰ)求证: M 为PB 的中点;
(Ⅱ)求二面角B
PD
A
的大小;
(Ⅲ)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
题型五：求二面角
1．(2020 天津高考·第17 题)如图，在三棱柱
中，
平面
，
，点
分别在棱
和棱
上，且
为棱
的中点．
(Ⅰ)求证：
；
(Ⅱ)求二面角
的正弦值；
(Ⅲ)求直线
与平面
所成角的正弦值．
2．(2020 江苏高考·第24 题)在三棱锥
中，已知
,
，
为
的中点，
平面
，
，
为
的中点．
(1)求直线
与
所成角的余弦值；
(2)若点
在
上，满足
，设二面角
的大小为
，求
的值．
3．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第19 题)在四棱锥
中，底面
是正方形，若
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求二面角
平面角的余弦值．
4．(2021 年高考全国乙卷理科·第18 题)如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
，
为
的中点，且
．
(1)求
；
(2)求二面角
的正弦值．
5．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第18 题)如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直径，
．
是底面的内接正三角形，
为
上一点，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值．
6．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第19 题)如图，在长方体
中，点
分别在棱
上，且
，
．
(1)证明：点
平面
内；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
7．(2019·全国Ⅲ·理·第19 题)图1 是由矩形ADEB，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中
AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如图2．
(1)证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2 中的二面角B−CG−A 的大小．
D
图2
图1
E(F)
G
F
C
A
D
E
B
A
B
C
G
8．(2019·全国Ⅱ·理·第17 题)如图，长方体
的底面
是正方形，点
在棱
上，
．
证明：
平面
；
若
，求二面角
的正弦值．
9 ．(2019· 全国Ⅰ· 理· 第18 题) 如图，直四棱柱
的底面是菱形，
分别是
，
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
10．(2023 年北京卷·第16 题)如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
(1)求证：
平面PAB；
(2)求二面角
的大小．
11．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第20 题)如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
12．(2022 新高考全国II 卷·第20 题)如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
正弦值．
13．(2022 新高考全国I 卷·第19 题)如图，直三棱柱
的体积为4，
的面积为
．
(1)求A 到平面
的距离；
(2)设D 为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的正弦值．
14．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20 题)(12 分)
如图，在三棱锥
中，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若点
在棱
上，且二面角
为
，求
与平面
所成角的正弦值．
15．(2014 高考数学重庆理科·第19 题)如图(19)，四棱锥
，底面是以O 为中心的菱形，
底面
，
，
为
上一点，且
，
．
(1)求
的长；
(2)求二面角
的正弦值。
16 ．(2014 高考数学浙江理科· 第20 题) 如图，在四棱锥f (x)=x
3+3|x−a|(a∈R).中，平面f ( x ) 平面
[−1,1 ]
M(a),m(a)．
(1)证明：M(a)−m(a)平面b∈R,;
(2)求二面角[f (x)+b]
2≤4 的大小
O
C
M
B
A
P
17．(2014 高考数学四川理科·第18 题)三棱锥
及其侧视图、俯视图如图所示．设
分别为
线段
的中点，
为线段
上的点，且
．
(Ⅰ)证明：
是线段
的中点；
(Ⅱ)求二面角
的余弦值．
18．(2014 高考数学山东理科·第17 题)如图，在四棱柱
中，底面
是等腰梯形，
，
，
是线段
的中点．
(Ⅰ)求证：
∥平面
；
(Ⅱ)若
垂直于平面
且
，求平面
和平面
所成的角(锐角)的余弦值．
19．(2014 高考数学辽宁理科·第19 题)(本小题满分12 分)
如图，
和
所在平面互相垂直，且
，
，E、
F 分别为AC、DC 的中点．
(1)求证：
；
(2)求二面角
的正弦值．
F
E
B
C
A
D
20．(2014 高考数学课标1 理科·第19 题)如图三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中,侧面
1
1
BB C C 为菱形,
1
AB
B C
^
．
(1)证明:
1
AC
AB
=
;
(2)若
1
AC
AB
,
o
1
60
CBB
, AB
BC
=
, 求二面角
1
1
1
A
A B
C
-
-
的余弦值．
21 ．(2014 高考数学湖南理科· 第19 题) 如图, 四棱柱
的所有棱长都相等,
四边形
和四边形
均为矩形．
(Ⅰ)证明:
底面
;
(Ⅱ)若
,求二面角
的余弦值．
22．(2014 高考数学广东理科·第18 题)如图4，四边形
为正方形，
平面
，
，
于点
，
，交
于点
．
(1)证明：
；
(2)求二面角
的余弦值．
23．(2014 高考数学大纲理科·第19 题)如图，三棱柱
中，点
在平面
内的射影
在
上，
，
．
(1)证明：
；
(2)设直线
与平面
的距离为
，求二面角
的大小．
O1
O
D
D1
A
C
B
B1
C1
A1
D
B1
C
C1
A1
A
B
24．(2015 高考数学重庆理科·第19 题)(本小题满分13 分，(1)小问4 要，(2)小问9 分)
如图，三棱锥
中，
平面
．
分别为线段
上的
点，且
(1)证明：
平面
;
(2)求二面角
的余弦值．
25 ．(2015 高考数学浙江理科· 第17 题)( 本题满分15 分) 如图，在三棱柱
- 中，
，
，
，
在底面
的射影为
的中点，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值．
26．(2015 高考数学四川理科·第18 题)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，
在正方体中，设
的中点为
，
的中点为
．
C
B
A
D
G
E
H
F
M
E
A
B
C
D
(1)请将字母
标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)
(2)证明：直线
平面
(3)求二面角
的余弦值．
27．(2015 高考数学陕西理科·第18 题)(本小题满分12 分)如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
是
的中点，
是
与
的交点．将
沿
折起到
的位置，如图
．
(Ⅰ)证明：
平面
；
(Ⅱ)若平面
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
28．(2015 高考数学山东理科·第17 题)如图，在三棱台
中，
分别为
的中点．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)若
平面
，
，
,求平面
与平面
所
成的角(锐角)的大小．
29．(2015 高考数学福建理科·第17 题)如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB
平面BEC，
BE
EC，AB=BE=EC=2，G，F 分别是线段BE，DC 的中点．
G
F
B
A
C
D
E
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．
30．(2015 高考数学北京理科·第17 题)(本小题14 分)如图，在四棱锥
中，
为等边三角
形，平面
平面
，
，
，
，
，
为
的中
点．
O
F
E
C
B
A
(Ⅰ)求证：
；
(Ⅱ)求二面角
的余弦值；
(Ⅲ)若
平面
，求
的值．
31．(2015 高考数学安徽理科·第19 题)(本小题满分13 分)如图所示，在多面体
，四边形
，
均为正方形，
为
的中点，过
的平面交
于F．
(Ⅰ)证明：
；
(Ⅱ)求二面角
的余弦值．
32 ．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科· 第18 题) 如图, 在四棱锥P
ABCD
中,
/ /
AB
CD , 且
90
BAP
CDP
．
(1)证明:平面PAB 平面PAD ;
(2)若PA
PD
AB
DC
,
90
APD
,求二面角A
PB
C
的余弦值．
33．(2017 年高考数学山东理科·第17 题)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD (及其内部)以
AB 边所在直线为旋转轴旋转120得到的,G 是DF 的中点．
(Ⅰ)设P 是CE 上的一点,且AP
BE
,求
CBP
的大小;
(Ⅱ)当
3
AB
,
2
AD
,求二面角E
AG
C
的大小．
34．(2017 年高考数学江苏文理科·第25 题)如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且
AB=AD=2,AA1=
3 ,
120
BAD
．
(1)求异面直线A1B 与AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A 的正弦值．
35．(2016 高考数学浙江理科·第17 题)(本题满分15 分)如图，在三棱台
中，平面
⊥平
面
，
．
(Ⅰ)求证：
；
(Ⅱ)求二面角
的平面角的余弦值．
35．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第19 题)(本小题满分)如图，菱形
的对角线
与
交于点
，
，点
分别在
上，
，
交
于点
．将
沿
折到
的位置，
．
(I)证明：
平面
；
(II)求二面角
的正弦值．
D'
B
C
F
A
H
E
D
O
37．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第18 题)(本题满分为12 分)如图，在以
为顶点的五面
D
C
B
D1
B1
C1
A1
A
体中，面
为正方形，
，
，且二面角
与二面角
都是
．
(I)证明平面
；
(II)求二面角
的余弦值．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
题型六：求几何题的表面积和体积
1．(2016 高考数学江苏文理科·第17 题)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正
四棱锥
，下部分的形状是正四棱柱
(如图所示)，并要求正四棱柱的
高
是正四棱锥的高
的
倍．
(1)若
，
，则仓库的容积是多少；
(2)若正四棱锥的侧棱长为
，当
为多少时，仓库的容积最大？
O1
P
O
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
2．(2014 高考数学上海理科·第19 题)底面边长为2 的正三棱锥
，其表面展开图是三角形
，
如图．求
的各边长及此三棱锥的体积
．
C
A
P3
B
P1
P2
3．(2014 高考数学课标2 理科·第18 题)(本小题满分12 分)
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点．
(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；
(Ⅱ)设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=
，求三棱锥E-ACD 的体积．
4．(2014 高考数学安徽理科·第20 题)如图，四棱柱{a=3 ¿ ¿¿¿中，
底面
．四边形
为梯形，
，且
．过
三点的平面记为
，
与
的交点为
．
(Ⅰ)证明：
为
的中点；
(Ⅱ)求此四棱柱被平面
所分成上下两部分的体积之比；
(Ⅲ)若
，梯形
的面积为
，求平面
与底面
所成二面角的大小．
5．(2015 高考数学湖南理科·第21 题)如图，已知四棱台
上、下底面分别是边长为3
和6 的正方形，
，且
底面
，点
，
分别在棱
，BC 上．
A
B
C
D
E
P
(1)若
是
的中点，证明：
；
(2)若
平面
，二面角
的余弦值为
，求四面体
的体积．
题型七：求距离的问题
1．(2019·上海·第17 题)如图，在长方体
中，
为
上一点，已知
，
，
，
.
(1)求直线
与平面
的夹角；
(2)求点
到平面
的距离.
2
．
(2023
年
天
津
卷
·
第
17
题
)
三
棱
台
中
，
若
面
，
分别是
中点．
(1)求证：
//平面
；
(2)求平面
与平面
所成夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
题型八：根据条件确定点的位置
1．(2021 高考北京·第17 题)如图：在正方体
中，
为
中点，
与平面
交于点
．
(1)求证：
为
的中点；
(2)点
是棱
上一点，且二面角
的余弦值为
，求
的值．
2．(2014 高考数学湖北理科·第19 题) 如图，在棱长为2 的正方体
中，E 、F 、M 、
N 分别是棱AB 、AD 、A1B1、
A1D1的中点，点P 、Q 分别在棱
、
上移动，且DP =BQ =λ(0<λ<2) ．
(Ⅰ)当λ=1 时，证明：直线BC 1//平面EFPQ ；
(Ⅱ)是否存在λ ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？
若存在，求出λ 的值；若不存在，说明理由．
3．(2021 年高考全国甲卷理科·第19 题)已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分别为
和
中点，D 为棱
上的点．
(1)证明：
；
(2)当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
4．(2021 年新高考Ⅰ卷·第20 题)如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点．
(1)证明：
；
(2)若
是边长为1
等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
的大小为
，求三棱锥
的体积．
5．(2016 高考数学北京理科·第17 题)(本小题14 分)如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
,
，
．
(I)求证：
平面
;
(II)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(Ⅲ)在棱
上是否存在点
，使得
平面
?若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
6．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第18 题)如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
7．(2018 年高考数学天津(理)·第17 题)(本小题满分13 分)如图，
且
，
，
且
，
，且
，
平面
，
．
(1)若
为
的中点，
为
的中点，求证：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)若点
在线段
上，且直线
与平面
所成的角为
，求线段
的长．
A
B
C
D
E
F
G
M
N
8．(2014 高考数学天津理科·第17 题)如图,在四棱锥
中,
底面
,
,
,
,点
为棱
的中点．
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)若
为棱
上一点,满足
,求二面角
的余弦值．
9．(2015 高考数学湖北理科·第19 题)(本小题满分12 分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧
棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马
中，侧棱
底面
，且
，过棱
的中点
，作
交
于点
，连接
(Ⅰ)证明：
．试判断四面体
是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出
结论)；若不是，说明理由；
(Ⅱ)若面
与面
所成二面角的大小为
，求
的值．
10．(2017 年高考数学天津理科·第17 题)如图,在三棱锥
ABC
P
中,
PA
底面ABC ,
90
BAC
．
点D , E , N 分别为棱PA , PC , BC 的中点, M 是线段AD 的中点,
4
AC
PA
,
2
AB
．
(1)求证:
//
MN
平面BDE ;
(2)求二面角
N
EM
C
的正弦值;
(3)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
7
21 ,求线段AH 的长．
11．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19 题)如图，四面体ABCD 中，ABC
是正三角形，ACD
是
直角三角形，
ABD
CBD
，AB
BD
．
(1)证明：平面ACD 平面ABC ；
(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角
D
AE
C
的余弦值．
12．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19 题)如图，四棱锥P
ABCD
中，侧面PAD 为等比三角形
且垂直于底面ABCD ，
o
1
,
90 ,
2
AB
BC
AD
BAD
ABC
E 是PD 的中点．
(1)证明：直线
/ /
CE
平面PAB ；
(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为
o
45 ，求二面角M
AB
D
的
余弦值．
题型九：立体几何中求最值问题
1．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第20 题)如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设
平面PAD 与平面PBC 的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
2．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19 题)(12 分)如图，边长为
的正方形
所在平面与半圆弧
所在的平面垂直，
是弧
上异于
的点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)当三棱锥
体积最大时，求面
与面
所成二面角的正弦值．
3．(2014 高考数学江西理科·第20 题)如图,四棱锥
ABCD
P
中, ABCD 为矩形,平面
PAD
平面
ABCD ．
求证:
;
PD
AB
若
,2
,
2
,
90
PC
PB
BPC
问AB 为何值时,四棱锥
ABCD
P
的体积最大?并求此时平面
PBC 与平面DPC 夹角的余弦值．
4．(2015 高考数学江苏文理·第25 题)如图，在四棱锥
中，已知
平面
，且四边
形
为直角梯形，
,
．
(1)求平面
与平面
所成二面角的余弦值；
(2)点
是线段
上的动点，当直线
与
所成角最小时，求线段
的长．
题型十：立体几何的综合应用
1．(2019·北京·理·第16 题)如图，在四棱锥P–ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，
PA=AD=CD=2，BC=3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
．
(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)求二面角F–AE–P 的余弦值；
(Ⅲ)设点G 在PB 上，且
．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．
Q
D
C
B
A
P
P
D
C
2．(2017 年高考数学江苏文理科·第18 题)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容
器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为10
7 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,
1
1
E G 的长分
别为14cm 和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm． 现有一根玻璃棒l,其长度为
40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱
1
CC 上,求l 没入水中部分的长度;
(2)将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧棱
1
GG 上,求l 没入水中部分的长度．
容器Ⅱ
容器Ⅰ
G
O
H
F
E
D
C
B
A
O1
H1
G1
F1
E1
D1
C1
B1
A1
(第18 题)
