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专题五
平面向量
第十三讲平面向量的概念与运算
2019
年
1.（2019 全国Ⅱ理3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，BC =1，则
AB BC
=
A．
-3
B．
-2
C．
2
D．3
2.
2019
·
（
全国Ⅲ理13 ）已知a
b
a
，
为单位向量，且
b=0，若
2
5
=
−
c
a
b ，则
cos
,
=
a c
___________.
2010-2018
年
一、选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)在
ABC
△
中，AD为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
EB =
A．3
1
4
4
AB
AC
−
B．1
3
4
4
AB
AC
−
C．3
1
4
4
AB
AC
+
D．1
3
4
4
AB
AC
+
2
(2018
)
．
北京设a ，b 均为单位向量，则“
3
3
−
=
+
a
b
a
b ”
“
是a ⊥b ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3
(2018
．
全国卷Ⅱ已知向量
)
a ，b 满足
|
|
1
=
a
，
1
= −
a b
，则
(2
)
−
=
a
a
b
A
4
B
3
C
2
D
0
．
．
．
．
4．（2017 北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数，使得
=
m
n ”是“
0
m n
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5
2016
．
（
年山东）已知非零向量m,n满足
4|
3|
=
m |
n| ，
1
cos
,
3
=
m n
．若
(
)
t
⊥
+
n
m
n ，
则实数的值为
t
A
4
B
4
C
．
．–
．9
4
D．– 9
4
6
2016
．（
年天津）已知ΔABC
是边长为
的等边三角形，点
1
E
D,
分别是边
BC
AB,
的中点，
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连接DE 并延长到点F ，使得
EF
DE
2
=
，则
AF BC
的值为
A．
8
5
−
B．
8
1
C．
4
1
D
．
8
11
7．（2016 年全国II）已知向量
(1,
)
(3, 2)
m
=
−
，=
a
b
，且
(
)
+
⊥
a
b
b，则m =
A．8
−
B
．6
−
C
6
D
8
．
．
8
2016
．（
年全国III）已知向量
1
3
( ,
)
2
2
BA =
uuv
,
3 1
(
, ),
2
2
BC =
uuuv
则
ABC
=
A．30
B．45
C．60
D．120
9．(2015 重庆)若非零向量a，b 满足
2 2
3
=
a
b ，且
(
)
(3
2 )
−
⊥
+
a
b
a
b ，则a 与b 的夹
角为
A．4
B．2
C．3
4
D．
10．（ 2015 陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是
A．
|
| |
||
|
≤
a b
a b
B．
|
| ||
|
|
||
−
−
≤
a
b
a
b
C．
2
2
(
)
|
|
+
=
+
a
b
a
b
D．
2
2
(
)(
)
+
−
=
−
a
b a
b
a
b
11．（2015 安徽）ΑΒC
是边长为2 的等边三角形，已知向量a ，b 满足
2
ΑΒ = a ，
2
ΑC =
+
a
b
，则下列结论正确的是
A．
1
=
b
B．
⊥
a
b
C．
1
=
a b
D． (
)
4
ΒC
−
⊥
a
b
12．（ 2014 新课标1）设
F
E
D
,
,
分别为ABC
的三边
AB
CA
BC
,
,
的中点，则
=
+ FC
EB
A．AD
B
．
AD
2
1
C
．
BC
2
1
D
．BC
13．（ 2014 新课标）设向量
2
a , b 满足
| + |= 10
a b
，
|
|= 6
−
a
b
，则
=
a b
A
1 B
2 C
3 D
5
．
．
．
．
14．(2014
)
山东已知向量
(1, 3),
(3, )
m
=
=
a
b
. 若向量,a b 的夹角为6
，则实数
m =
A．2 3
B．3
C
0
D
．
．
3
−
15．（2014 安徽）设,a b 为非零向量，
2
=
b
a ，两组向量
1
2
3
4
,
,
,
x x x x 和
1
2
3
4
,
,
,
y y y y
均由
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2 个a
和
个
2
b 排列而成，若
1
1
2
2
3
3
4
4
x
y
x
y
x
y
x
y
+
+
+
所有可能取值中的最小值
为
2
4 a ，则a 与b 的夹角为
A．2
3
B．3
C．6
D
0
．
16．（ 2014 福建）在下列向量组中，可以把向量
(
)
3,2
=
a
表示出来的是
A．1
2
(0,0),
(1,2)
=
=
e
e
B．
1
2
( 1,2),
(5, 2)
= −
=
−
e
e
C．1
2
(3,5),
(6,10)
=
=
e
e
D．1
2
(2, 3),
( 2,3)
=
−
= −
e
e
17．（ 2014 浙江）设为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|
|
t
+
b
a 是最小值
为1
A．若确定，则|
|
a 唯一确定 B．若确定，则|
|
b 唯一确定
C．若|
|
a 确定，则唯一确定
．若
D
|
|
b 确定，则唯一确定
18．（ 2014 重庆）已知向量
( ,3)
k
=
a
,
(1,4)
=
b
,
(2,1)
=
c
,且
(2
3 )
−
⊥
a
b
c ，则实数 k =
A．9
2
−
B．0 C．3 D．15
2
19．（
福建）在四边形
2013
ABCD 中，
)
2,4
(
),
2,1(
−
=
=
BD
AC
，则该四边形的面积为
A．5
B．
5
2
C
5
D
．
．10
20．（2013 浙江）设ABC
，
0
P 是边AB上一定点，满足
0
1
4
PB
AB
=
，且对于边AB 上任
一点P ，恒有
0
0
PB PC
PB PC
≥
．则
A．
0
90
=
ABC
B．
0
90
=
BAC
C．
AC
AB =
D．
BC
AC =
21．（2013 辽宁）已知点(1,3)
A
，
(4, 1)
B
−
，则与向量AB 同方向的单位向量为
A．3
4
5
5
，-
B．4
3
5
5
，-
C．
3 4
5 5
−
，
D．
4 3
5 5
−
，
22．（2013 湖北）已知点
( 1, 1)
A −
、
(1, 2)
B
、
( 2,
1)
C −
−
、
(3, 4)
D
，则向量AB 在CD 方向上
的投影为
A．3 2
2
B． 3 15
2
C．
3 2
2
−
D．
3 15
2
−
23．（ 2013 湖南）已知,a b 是单位向量，
0
a b =
．若向量c 满足
1
−−
=
c
a
b
，则c 的最
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大值为
A．2
1
− B．
2 C．2
1
+
D．2
2
+
24．
（2013 重庆）在平面上，
1
2
AB
AB
⊥
，
1
2
1
OB
OB
=
=
,
1
2
AP
AB
AB
=
+
．若
1
2
OP
，
则OA 的取值范围是
A．
5
0, 2
B
．
5
7
,
2
2
C
．
5 ,
2
2
D．
7 ,
2
2
25．（ 2013 广东）设a 是已知的平面向量且
0
a
，关于向量a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量b ，总存在向量c ，使
=
+
a
b
c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数和，使
=
+
a
b
c ；
③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使
=
+
a
b
c ；
④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使
=
+
a
b
c ；
上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A
1
B
2 C
3 D
4
．
．
．
．
26．（ 2012 陕西）设向量a =
1,
（cos）与b=（−1,2cos）垂直，则cos2等于
A．
2
2
B．1
2
C
0 D
1
．
．－
27．（ 2012 浙江）设a ，b 是两个非零向量
A．若
|
| |
|
|
|
+
=
−
a
b
a
b ，则⊥
a
b
B．若
⊥
a
b，则
|
| |
|
|
|
+
=
−
a
b
a
b
C．若
|
| |
|
|
|
+
=
−
a
b
a
b ，则存在实数，使得
=
b
a
D．若存在实数，使得
=
b
a ，则
|
| |
|
|
|
+
=
−
a
b
a
b
28．（2011 广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（
）．若
3,4
为实数， (
)
+
∥
a
b
c ，
则=
A
．1
4
B．1
2
C
1
D
2
．
．
29．（ 2011 辽宁）已知向量
(2,1)
=
a
，
( 1, )
k
= −
b
，
(2
)
0
−
=
a
a
b
，则=
k
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A．12
−
B．6
−
C
6
D
．
．12
30．（ 2010 辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，
OB = b ，则△OAB 的面积
等于
A．
2
2
2
| | |
(
)
|
−
a
b
a b
B．
2
2
2
| | |
(
)
|
+
a
b
a b
C．
2
2
2
1
| |
|
(
)
2
|
−
a
b
a b
D．
2
2
2
1
| |
|
(
)
2
|
+
a
b
a b
31．
（2010 山东）定义平面向量之间的一种运算“
”如下：对任意的
( , )
m n
=
a
，
( , )
p q
=
b
，
令
mq
np
=
−
a
b
，下面说法错误的是
A．若a 与b 共线，则
0
=
a
b
B．
=
a
b
b
a
C．对任意的
R
，有
(
)
(
)
=
a
b
a
b
D．
2
2
2
2
(
)
(
)
|
| |
|
+
•
=
a
b
a b
a
b
二、填空题
32．(2018 全国卷Ⅲ)已知向量
(1,2)
=
a
，
(2, 2)
=
−
b
，
(1, )
=
c
．若
(2
)
+
∥
c
a
b ，
则= ．
33．(2017 新课标Ⅰ)已知向量a ，b
的夹角为60°，
|
| 2
=
a
，
|
| 1
=
b
，则
|
2 |
+
a
b =
．
34．(2017
)
浙江已知向量a , b 满足
|
| 1
=
a
,
|
| 2
=
b
,则
|
|
|
|
+
+
−
a
b
a
b 的最小值是
，
最大值是
．
35．(2017
)
山东已知
1e ，
2e 是互相垂直的单位向量，若
1
2
3
−
e
e 与1
2
+
e
e 的夹角为60 ，
则实数的值是
．
36．（2017 江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC
的模分别为，
1 1，2 ，OA
与OC的夹角为，且
tan
7
=
，OB 与OC 的夹角为45 ．若OC =m OA+n OB
（m ，n R ），则m n
+
=
．
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37．(2016 全国I)设向量
( ,1)
m
=
a
，
(1,2)
=
b
，且
2
2
2
|
|
|
|
|
|
+
=
+
a
b
a
b
，则m =
.
38．(2015
)
江苏已知向量
(2,1)
=
a
，
(1, 2)
=
−
b
，若
(9, 8)
m
n
+
=
−
a
b
（,
m n
R
），
则m
n
−
的值为
．
___
39．（
湖北）已知向量
2015
OA
AB
⊥
，
|
| 3
OA =
，则
OA OB
=
．
40．(2015 新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量+
a
b 与
2
+
a
b 平行，则实数= ___．
41．（ 2015 浙江）已知
1
2
,
e e 是空间单位向量，
1
2
1
2
=
e e
，若空间向量b 满足
1
2
=
b e
，
2
5
2
=
b e
，且对于任意
,x y
R
，
1
2
0 1
0 2
0
0
(
)
(
)
1(
,
)
x
y
x
y
x y
R
−
+
−
+
=
≥
b
e
e
b
e
e
，
则
0 x = ____，
0 y = _____，
=
b
_____．
42．（2014 新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若
1 (
)
2
AO
AB
AC
=
+
，则AB 与
AC 的夹角为
．
43．(2014
)
山东在ABC
V
中，已知
tan
AB AC
A
=
uuur uuur
，当
6
A
=
时，ABC
V
的面积为
．
44．（ 2014 安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x
x
x
x
x 和
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y
y
y
y
y
均由
个
2
a
3
和
个b 排列而成．记
1
1
2
2
3
3
S
x y
x
y
x
y
=
+
+
4
4
5
5
x
y
x
y
+
+
，min
S
表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写
出所有正确命题的编号）．
①S
有
个不同的值．
5
②若
⊥
a
b 则
min
S
与|
|
a 无关．
③若
∥
a
b则
min
S
与|
|
b 无关．
④若
|
| 4|
|
b
a ，则
0
min
S
．
⑤若
|
| 2|
|
=
b
a ，
2
min
8|
|
S
=
a
，则a 与b 的夹角为4
．
45．(2014 北京)已知向量a 、b 满足
1
=
a
，
(2,1)
=
b
，且
0
+
=
a
b
(
R
)，则= __．
46．（ 2014 陕西）设
2
0
，向量
(
)
sin2
cos
=
，
a
，
(
)
cos
1
，
b
，若∥
a
b ，则
=
tan
_______．
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47．（ 2014 四川）平面向量
(1,2)
=
a
，
(4,2)
=
b
，
m
=
+
c
a
b （m
R
），且c 与a 的夹角
等于c 与b 的夹角，则 m = ____________．
48．（ 2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60 ，
(1
)
=
+
−
c
ta
t b ，若
0
=
b c
，
则 t =_____．
49．（ 2013 新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2 ,E 为CD的中点则
,
AE BD
= ．
50．（ 2013 山东）已知向量AB 与AC 的夹角120 ，且| AB |=3
|
，AC |=2
，若
AP
AB
AC
=
+
，且
AP
BC
⊥
，则实数的值为_____．
51．（ 2013浙江）设1e ，
2
e 为单位向量，非零向量
1
2
x
y
=
+
b
e
e ，
,x yR ，若
1e ，
2
e 的
夹角为6
，则|
|
|
|
x
b
的最大值等于________．
52．
（2013 天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，
60
BAD
=
，E 为CD 的中点．若
·
1
AC BE =
，
则
的长为
．
AB
53．（ 2013 北京）向量
，
a
b
c
，
在正方形网格中的位置如图所示，若
=
+
c
a
b (λ
μ
，∈
R)，则
=
．
54．（
北京）已知向量
2013
a ，b 夹角为
o
45 ，且
|
| 1
=
a
，
|2
|
10
−
=
a
b
，则|
|=
b
．
55．（
湖北）已知向量
2012
a =
1
（，0），b =
1
（，），则
1
（）与
Ⅰ
2 +
a
b 同向的单位向量的坐标表示为____________
；
（）向量
Ⅱ
3
−
b
a 与向量a 夹角的余弦值为____________。
56．（ 2012 安徽）若平面向量a ，b 满足：
2
3
−
≤
a
b
；则
a b 的最小值是_____．
57．（ 2011 浙江）若平面向量，满足||
|
=1，|
1
≤，且以向量，为邻边的
平行四边形的面积为1
2
，则与的夹角的取值范围是
．
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58．（2011 江苏）已知
1e ，
2
e 是夹角为
3
2
的两个单位向量，
1
2
2
=
−
a
e
e ，
1
2
k
=
+
b
e
e ，
若
0
=
a b
，则k 的值为
．
59．（2011 新课标）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a + b与向量
k a -b 垂直，则k =_____________
．
60．（2011 安徽）已知向量,a b 满足
(
) (
)
+
−
= −
a
b
a
b
，且
1
=
a
，
2
=
b
，则a 与b 的
夹角为 .
61．（ 2010 陕西）已知向量a =（，
2
−1），b =（−1，m），c =（−1,2），若（a + b）∥c ，
则m =
．
三、解答题
62．（
）已知向量
2017 江苏
(cos ,sin )
x
x
=
a
，
(3,
3)
=
−
b
，
[0, ]
x
．
（）若
1
∥
a
b ，求x 的值；
（）记
2
( )
f x =
a b，求
( )
f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
