苏教版数学选择性必修第一册_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

主　编　单　墫　李善良
副主编　葛　军　徐稼红　石志群
本册主编　樊亚东
编写人员　孙旭东　张松年　葛　军　徐稼红　樊亚东　李善良
祁建新　石志群　仇炳生　张乃达　单　墫
责任编辑　田　鹏
　　　　　　　　　　　普通高中教科书
书　　名　数学（选择性必修第一册）
主　　编　单　墫　李善良
责任编辑　田　鹏
出版发行　江苏凤凰教育出版社（南京市湖南路１号Ａ楼　邮编２１０００９）
照　　排　南京展望文化发展有限公司
印　　刷　江苏凤凰扬州鑫华印刷有限公司（电话：０５１４８５８６８８５５）
厂　　址　扬州市江阳工业园蜀岗西路９号（邮编：２２５００８）
开　　本　８９０毫米×１２４０毫米　１／１６
印　　张　１４．２５
版　　次　２０２１年４月第１版
印　　次　２０２１年４月第１次印刷
书　　号　ＩＳＢＮ９７８７５４９９９１６３１
定　　价　１２．８６元
盗版举报　０２５８３６５８５７９
苏教版图书若有印装错误可向出版社联系调换
　质量热线：０２５８３６５８５２８　０２５８３６５８５２６
１　
大自然这本书是用数学语言写成的．
———伽利略
一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完
善的地步．
———马克思
致　同　学
亲爱的同学，高中阶段的数学学习生活有趣吗？
我们知道，数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学
等学科的基础，而且可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生
活，对我们的终身发展有较大的影响．
怎样学习数学？
第一，要学会发现问题、提出问题．面对各种情境（生活的、数学
的、科学的），我们需要学会观察、实验、归纳，学会从特殊到一般、从
具体到抽象、从模糊到清晰，大胆地提出数学问题．
第二，要尝试分析并解决所提出的问题．通过抽象、推理、建模、
运算等多种活动，建立数学理论，并运用这些数学理论去解决
问题．　　
第三，要学会回顾反思．在解决完问题之后，要思考：我们是如何
解决这个问题的，从中可以得到哪些启发，还能提出哪些问题．
在数学学习过程中，我们要主动地学习数学基础知识、基本技
能，自觉地感悟基本数学思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽
象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，
并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言
表达世界．
通过数学学习，我们会发现数学非常奇妙，非常有趣．数学将给
我们以新奇和动力，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会
得到发展．我们将快乐地成长．
２　
考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间．
书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、本
章回顾、本章测试等内容构成一个完整的体系．它体现了教科书的基
本要求，是所有学生应当掌握的内容，相信你一定能学好这部分
内容．
本书还设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、问
题与探究、应用与建模，以及习题中的“思考·运用”“探究·拓展”
等．在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，相信你
会更加喜欢数学．
１　
目　　录
第１章
直线与方程
１．１　直线的斜率与倾斜角
５
…………………………………………
１．２　直线的方程
１０
……………………………………………………
１．３　两条直线的平行与垂直
２０
………………………………………
１．４　两条直线的交点
２７
………………………………………………
１．５　平面上的距离
３１
…………………………………………………
问题与探究　向量方法在直线中的应用
４１
…………………………
阅读　解析几何的产生
４２
……………………………………………
第２章
圆与方程
２．１　圆的方程
５１
………………………………………………………
２．２　直线与圆的位置关系
５８
…………………………………………
２．３　圆与圆的位置关系
６３
……………………………………………
问题与探究　圆的切线与切点弦
６７
…………………………………
阅读　数学问题（节选）
６８
……………………………………………
第３章
圆锥曲线与方程
３．１　椭圆
７５
……………………………………………………………
３．２　双曲线
８８
…………………………………………………………
３．３　抛物线
１０１
………………………………………………………
应用与建模　双曲线时差定位法
１１１
…………………………………
阅读　圆锥曲线的起源
１１２
……………………………………………
第４章
数列
４．１　数列
１２３
…………………………………………………………
４．２　等差数列
１２９
……………………………………………………
２　
４．３　等比数列
１４３
……………………………………………………
４．４　数学归纳法
１５７
…………………………………………………
问题与探究　数列的转化
１６３
…………………………………………
阅读　斐波那契数列
１６４
………………………………………………
第５章
导数及其应用
５．１　导数的概念
１７３
…………………………………………………
５．２　导数的运算
１８６
…………………………………………………
５．３　导数在研究函数中的应用
１９６
…………………………………
应用与建模　三次样条模型
２０９
………………………………………
阅读　微积分的建立
２１１
………………………………………………
专题
数学建模与数学探究
案例分析
２１６
……………………………………………………………
课题推荐
２２１
……………………………………………………………
本书部分常用符号
犽犾（或犽犃犅）　　　　　　　　直线犾的斜率（或直线犃犅的斜率）
犃犅或｜犃犅｜　　　　
线段犃犅的长度
直线狔＝±犫犪狓
两条直线狔＝犫犪狓和狔＝－犫犪狓
曲线犆：犳（狓，狔）＝０
曲线犆，它的方程是犳（狓，狔）＝０，方
程是犳（狓，狔）＝０的曲线犆
犪狀
数列｛犪狀｝的第狀项
犛狀
数列的前狀项和
Δ狓
自变量狓的增量
Δ狔
函数狔的增量
犳′（狓０）
函数犳（狓）在狓０处的导数
犳′（狓）
函数犳（狓）的导函数
狔′
函数狔的导函数
第１章　直线与方程
４　
如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分
缓慢，而且应用范围也很有限．但若两者互相结合而共同发
展，则会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进．
———拉格朗日
　　现实世界中，到处有美妙的曲线，从飞逝的流星到雨后的彩虹，
从古代的石拱桥到现代的立交桥……
行星围绕太阳运行，人们可以建立行星运动的轨迹方程，并借助
方程进一步认识它的运动规律．
在建造桥梁时，我们可以根据要求，首先确定桥拱所对应的曲线
的方程，然后进行进一步的设计和施工．
　　　
曲线可以看成满足某种条件的点的集合．引进平面直角坐标系
后，平面内的点可以用坐标（狓，狔）来表示．根据曲线的几何特征，可
以得到曲线上任意一点的坐标（狓，狔）满足的一个方程犉（狓，狔）＝０；
反过来，以方程犉（狓，狔）＝０的解（狓，狔）为坐标的点也都在曲线上．
这样，对曲线性质的研究就可以通过对方程犉（狓，狔）＝０的研究来
进行．直线是最常见的几何图形，直线也可以看成满足某种条件的点的
集合．在平面直角坐标系中，当点用坐标（狓，狔）表示后，直线便可用一
个方程犉（狓，狔）＝０表示，进而通过对方程的研究来研究直线．
●如何建立直线的方程？
●如何利用直线的方程研究直线的性质？
直线与方程
第１章
５　
１．１
直线的斜率与倾斜角
　　我们知道，过一点可以画出无数条直线．如图１１１，过点犘的
两条直线犘犃，犘犅的区别在于它们的倾斜程度不同．
图１１１
●如何刻画直线的倾斜程度呢？
在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用坡度来刻画
（图１１２）．
　　坡度指坡面的铅
直高度与水平宽度的
比．铁路坡度用千分率
（‰）表示，公路坡度用
百分率（％）表示．
图１１２
可以看出，如果楼梯台阶的高度（级高）与宽度（级宽）的比值越
大，那么坡度就越大，楼梯就越陡．
在平面直角坐标系中，我们可以采用类似的方法来刻画直线的
倾斜程度．
对于直线犾上的任意两点犘（狓１，狔１），犙（狓２，狔２），如果狓１≠狓２
（图１１３（１）），那么由相似三角形的知识可知，狔２－狔１
狓２－狓１是一个定
值，我们将其称为直线犾的斜率（ｓｌｏｐｅ）．
犽＝狔２－狔１
狓２－狓１　（狓１≠狓２）．
如果狓１＝狓２（图１１３（２）），那么直线犾的斜率不存在．
选择性必修第一册
数学
６　
　　　　　
图１１３
　　对于与狓轴不垂直的直线犾，它的斜率也可以看作
犽＝狔２－狔１
狓２－狓１＝纵坐标的增量
横坐标的增量＝Δ狔Δ狓．
例１　如图１１４，直线犾１，犾２，犾３都经过点犘（３，２），又犾１，犾２，
犾３分别经过点犙１（－２，－１），犙２（４，－２），犙３（－３，２），试计算直线
犾１，犾２，犾３的斜率．
图１１４
解　设犽１，犽２，犽３分别表示直线犾１，犾２，犾３的斜率，则
犽１＝－１－２
－２－３＝３５，犽２＝－２－２
４－３＝－４，犽３＝２－２
－３－３＝０．
由图１１４可以看出：
（１）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；
（２）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
（３）当直线的斜率为零时，直线与狓轴平行或重合．
例２　经过点（３，２）画直线，使直线的斜率分别为
（１）３４；　　　　　　　　　　（２）－４５．
分析　要画出直线，只需再确定直线上另一个点的位置．
解　（１）根据
斜率＝Δ狔Δ狓，
直线与方程
第１章
７　
斜率为３４表示直线上的任一点沿狓轴方向向右平移４个单位长度，再
沿狔轴方向向上平移３个单位长度后仍在此直线上．
如果我们从点（３，２）开始，向右平移４个单位长度，再向上平移３
个单位长度，就得到点（７，５）．
因此，通过点（７，５）和点（３，２）画直线，即为所求（图１１５（１））．
　　由于－４５＝４－５，
因此也可以将点（３，
２）先向左平移５个单
位长度，再向上平移４
个单位长度，得到点
（－２，６）．再通过点
（－２，６）和点（３，２）画
直线，即为所求．还有
其他作法吗？为什么？
（２）由于－４５＝－４５，因此，将点（３，２）先向右平移５个单位长
度，再向下平移４个单位长度，得到点（８，－２）．通过点（８，－２）和点
（３，２）画直线，即为所求（图１１５（２））．
图１１５
　　在平面直角坐标系中，对于一条与狓轴相交的直线，把狓轴绕着
交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻
画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角（ａｎｇｌｅｏｆ
ｉｎｃｌｉｎａｔｉｏｎ），并规定：
与狓轴平行或重合的直线的倾斜角为０．
由定义可知，直线的倾斜角α的取值范围是
｛α狘０≤α＜π｝．
当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角（图１１６（１）），
此时，
犽＝Δ狔Δ狓＝犖犅
犃犖＝ｔａｎα．
图１１６
选择性必修第一册
数学
８　
　　当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角（图１１６（２）），
此时，
犽＝Δ狔Δ狓＝犖犅
－犃犖＝－ｔａｎθ＝－ｔａｎ（π－α）＝ｔａｎα．
　　因此，当直线与狓轴不垂直时，该直线的斜率犽与倾斜角α之间
的关系为
犽＝ｔａｎ（
αα≠π）
２．
信息技术
在ＧＧＢ中任画一条直线犃犅，度量直线犃犅的斜率，以及直线
犃犅与狓轴形成的倾斜角α（图１１７）．拖动点犅，观察斜率与倾斜
角变化的规律．
图１１７
练　习
１．分别求经过下列两点的直线的斜率：
（１）（２，３），（４，５）；　　　　　　　　　（２）（－２，３），（２，１）；
（３）（－３，－１），（２，－１）；　　
（４）（１，０），（０，－２）．
２．分别求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角：
（１）（－１，２），（－２，１）；
（２）（－１，３），（槡３，－槡３）；
（３）（３，槡３），（－２，槡３）；
（４）（犪＋１，犪－１），（犪，犪）．
３．设过点犃的直线的斜率为犽，分别根据下列条件写出直线上另一点犅的坐标
（答案不唯一）：
（１）犽＝４，犃（１，２）；　　
（２）犽＝－２，犃（－２，－３）；
（３）犽＝－３２，犃（２，－４）；　　
（４）犽＝４３，犃（－３，２）．
４．根据下列条件，分别画出经过点犘，且斜率为犽的直线：
（１）犘（１，２），犽＝３；　　
（２）犘（２，４），犽＝－３４；
（３）犘（－１，３），犽＝０；　　
（４）犘（－２，０），斜率不存在．
直线与方程
第１章
９　
５．分别判断下列三点是否在同一直线上：
（１）（０，２），（２，５），（３，７）；　　
（２）（－１，４），（２，１），（－２，５）；
（３）（１，２），（１，３），（１，－１）．
习题１．１
感受·理解
１．分别求经过下列两点的直线的斜率：
（１）（－３，２），（２，－１）；
（２）（２，０），（０，－４）；
（３）（２，１），（３，１）；
（４）（犪，犪），（犪－１，犪＋３）．
２．设狓，狔为实数，已知直线的斜率犽＝２，且犃（３，５），犅（狓，７），犆（－１，狔）是
这条直线上的三个点，求狓和狔的值．
３．（１）当实数犿为何值时，经过两点犃（－犿，６），犅（１，３犿）的直线的斜率是
１２？
（２）当实数犿为何值时，经过两点犃（犿，２），犅（－犿，－２犿－１）的直线的倾
斜角是６０°？
（３）当实数犿为何值时，经过两点犃（１，犿），犅（犿－１，３）的直线的倾斜角
是钝角？
４．已知直线犾上一点向右平移４个单位长度，再向下平移２个单位长度后，仍
在该直线上，求直线犾的斜率犽．
５．设犿为实数，若犃（１，２），犅（３，犿），犆（７，犿＋２）三点共线，求犿的值．
思考·运用６．已知犪，犫，犮是两两不相等的实数，分别求经过下列两点的直线的倾斜角：
（１）犃（犪，犮），犅（犫，犮）；
（２）犃（犪，犫），犅（犪，犮）；
（３）犃（犫，犫＋犮），犅（犪，犮＋犪）．
７．设犿为实数，过两点犃（犿２＋２，犿２－３），犅（３－犿－犿２，２犿）的直线犾的倾
斜角为４５°，求犿的值．
８．经过点犘（０，－１）作直线犾，且直线犾与连接点犃（１，－２），犅（２，１）的线段总
有公共点，求直线犾的倾斜角α和斜率犽的取值范围．
探究·拓展９．如图，“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系？
坡度为４％的道路很陡吗？调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流．
（第９题）
选择性必修第一册
数学
１０
　
１．２
直线的方程
在平面直角坐标系中，若已知直线犾上一点犘１（狓１，狔１）和直线犾
的斜率犽，或者已知直线犾上不同的两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２），则
直线犾唯一确定．
在上述两种情况下，当点犘（狓，狔）在直线犾上运动时，点犘的坐
标应该满足某种关系．
●如何得到直线犾上点犘（狓，狔）的坐标狓，狔之间的关系？
１．２．１　直线的点斜式方程
直线犾经过点犃（－１，３），斜率为－２（图１２１（１））．如果点
犘（狓，狔）在直线犾上运动，那么，
●狓，狔满足什么关系？
　　　
图１２１
当点犘（狓，狔）在直线犾上运动时（除点犃外），点犘与定点
犃（－１，３）所确定的直线的斜率恒等于－２，
所以
狔－３
狓－（－１）＝－２，
因此
狔－３＝－２［狓－（－１）］．
显然，点犃（－１，３）的坐标也满足此方程．
因此，当点犘在直线犾上运动时，其坐标（狓，狔）满足方程
狔－３＝－２［狓－（－１）］，
即
２狓＋狔－１＝０．
直线与方程
第１章
１１
　
反过来，若点犘′（狓′，狔′）的坐标满足方程２狓＋狔－１＝０，即
２狓′＋狔′－１＝０．
当狓′＝－１时，狔′＝３，此时点犘′与点犃重合，即点犘′在直线犾上．
当狓′≠－１时，狔′－３＝－２［狓′－（－１）］，即狔′－３
狓′－（－１）＝－２，
这表明过点犘′，犃的直线的斜率为－２，从而点犘′在直线犾上．
因此，以方程２狓＋狔－１＝０的解为坐标的点（狓，狔）也都在直线
犾上．
综上，当点犘在直线犾上时，其坐标（狓，狔）满足方程２狓＋狔－１＝
０，并且以方程２狓＋狔－１＝０的解狓，狔为坐标的点（狓，狔）都在直线
犾上．这时，我们将方程２狓＋狔－１＝０称为直线犾的方程，也称直线犾
为方程２狓＋狔－１＝０的直线．
　　一般地，当点犘在
曲线犆上时，其坐标（狓，
狔）满足方程犉（狓，狔）＝
０，并且以方程犉（狓，狔）
＝０的解为坐标的点
（狓，狔）都在曲线犆上．
这时，我们将方程犉（狓，
狔）＝０称为曲线犆的方
程，也称曲线犆为方程
犉（狓，狔）＝０的曲线．
一般地，如果直线犾经过点犘１（狓１，狔１），斜率为犽，那么，如何建
立直线犾的方程呢？
如图１２１（２），设直线犾上任意一点犘的坐标是（狓，狔）．
当点犘（狓，狔）（不同于点犘１）在直线犾上运动时，直线犘犘１的斜
率恒等于犽，即
狔－狔１
狓－狓１＝犽，
故
狔－狔１＝犽（狓－狓１）．
（）
因为点犘１（狓１，狔１）的坐标也满足方程（），所以直线犾上的每个
点的坐标都是这个方程的解；反过来，可以验证，以方程（）的解为
坐标的点都在直线犾上．因此，方程（）就是过点犘１，斜率为犽的直
线犾的方程．
　　方程
狔－狔１＝犽（狓－狓１）
叫作直线的点斜式方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｐｏｉｎｔｓｌｏｐｅｆｏｒｍ）．
当直线犾与狓轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示．
但因为犾上每一点的横坐标都等于狓１，所以它的方程是
狓＝狓１．
例１　已知一直线经过点犘（－２，３），斜率为２，求这条直线的方程．
解　由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为
狔－３＝２（狓＋２），
即
２狓－狔＋７＝０．
选择性必修第一册
数学
１２
　
　　例２　已知直线犾的斜率为犽，与狔轴的交点是犘（０，犫），求直
线犾的方程．
解　由直线的点斜式方程，得直线犾的方程为
狔－犫＝犽（狓－０），
即
狔＝犽狓＋犫．
我们把直线犾与狔轴的交点（０，犫）的纵坐标犫称为直线犾在狔轴
上的截距（ｉｎｔｅｒｃｅｐｔ）．这个方程由直线犾的斜率和它在狔轴上的截距
确定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｌｏｐｅ
ｉｎｔｅｒｃｅｐｔｆｏｒｍ）．
　　这说明，初中学习的一次函数狔＝犽狓＋犫，它的图象确实是一条
直线，其中常数犽是直线的斜率，常数犫就是直线在狔轴上的截距．
探　究
　　在同一直角坐标系中作出直线
狔＝２，狔＝狓＋２，狔＝－狓＋２，狔＝３狓＋２，狔＝－３狓＋２，
　　尝试用计算器或
计算机作出这些
直线．
根据图１２２（１），你能推测直线狔＝犽狓＋２有什么特点吗？
在同一直角坐标系中作出直线
狔＝２狓，狔＝２狓＋１，狔＝２狓－１，狔＝２狓＋４，狔＝２狓－４，
根据图１２２（２），你能推测直线狔＝２狓＋犫有什么特点吗？
图１２２
练　习
１．根据下列条件，分别写出直线的方程：
（１）经过点（４，－２），斜率为３；　　
（２）经过点（３，１），斜率为１２；
（３）经过点（２，０），斜率为－１；
（４）经过点（０，－１），斜率为０；
（５）斜率为－２，在狔轴上的截距为－２；
（６）斜率为槡３２，与狓轴交点的横坐标为－７．
２．直线狔＝犽（狓＋１）（犽＞０）可能是（　　）．
直线与方程
第１章
１３
　
３．根据下列条件，分别写出直线的方程：
（１）过点犘（－槡３，３），倾斜角为３０°；
（２）过点犘（－４，－３），倾斜角为１３５°；
（３）过点犘（０，４），倾斜角为０°；
（４）过点犘（３，２），倾斜角为９０°．
４．已知直线犾１：狔＝－２狓＋３．直线犾２过点犘（１，２），且它的斜率与直线犾１的斜
率相等．写出直线犾２的方程，并在同一直角坐标系中画出直线犾１和犾２．
５．分别写出经过下列两点的直线的方程：
（１）犘（１，２），犙（－１，４）；
（２）犘（１，０），犙（０，２）．
６．任一条直线都可以用点斜式方程表示吗？斜截式方程可以改写成点斜式方
程吗？
１．２．２　直线的两点式方程
若直线犾经过两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２），则直线犾唯一确定．
那么，
●如何建立直线犾的方程呢？
如果狓１≠狓２，那么直线犾的斜率犽＝狔２－狔１
狓２－狓１．由直线的点斜式方
程，得
狔－狔１＝狔２－狔１
狓２－狓１（狓－狓１）．
当狔１≠狔２时，方程可以写成
狔－狔１
狔２－狔１＝狓－狓１
狓２－狓１．
这个方程是由直线上两点确定的．
　　还有其他方法可
以得到直线的两点式
方程吗？
　　方程
狔－狔１
狔２－狔１＝狓－狓１
狓２－狓１
叫作直线的两点式方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｗｏｐｏｉｎｔｆｏｒｍ）．
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数学
１４
　
当狔１＝狔２时，由狓１≠狓２知直线犾与狔轴垂直，它的方程为狔＝狔１．
如果狓１＝狓２，那么狔１≠狔２，直线犾与狓轴垂直，它的方程为
狓＝狓１．
思　考
　　（１）方程狔－狔１
狓－狓１＝狔２－狔１
狓２－狓１的左、右两边各具有怎样的几何意
义？它表示什么图形？
（２）方程狔－狔１
狓－狓１＝狔２－狔１
狓２－狓１和方程狔－狔１
狔２－狔１＝狓－狓１
狓２－狓１表示同一图形吗？
例３　已知直线犾经过两点犃（犪，０），犅（０，犫）（图１２３），其
中犪≠０，犫≠０，求直线犾的方程．
图１２３
　　解　直线犾经过两点犃（犪，０），犅（０，犫），其中犪≠０，犫≠０，由直
线的两点式方程，得直线犾的方程为
狔－０
犫－０＝狓－犪
０－犪，
即
狓犪＋狔犫＝１．
　　当直线犾经过原
点时，犾在狓轴和狔轴
上的截距都为０．
　　我们把直线犾与狓轴的交点（犪，０）的横坐标犪称为直线犾在狓轴
上的截距，此时直线犾在狔轴上的截距为犫．方程狓犪＋狔犫＝１由直线在
狓轴和狔轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式
方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｉｎｔｅｒｃｅｐｔｆｏｒｍ）．
例４　已知三角形的顶点是犃（－５，０），犅（３，－３），犆（０，２）
（图１２４），分别求这个三角形三边所在直线的方程．
图１２４
直线与方程
第１章
１５
　
　　解　直线犃犅过犃（－５，０），犅（３，－３）两点，由直线的两点式方
程，得
狔－０
－３－０＝狓－（－５）
３－（－５），
即
３狓＋８狔＋１５＝０，
这就是直线犃犅的方程．
直线犅犆在狔轴上的截距为２，斜率是
犽＝２－（－３）
０－３＝－５３，
由直线的斜截式方程，得
狔＝－５３狓＋２，
即
５狓＋３狔－６＝０，
这就是直线犅犆的方程．
直线犃犆在狓轴、狔轴上的截距分别是－５，２，由直线的截距式方
程，得
狓－５＋狔２＝１，
即
２狓－５狔＋１０＝０，
这就是直线犃犆的方程．
练　习
１．分别写出经过下列两点的直线的方程：
（１）（１，３），（－１，２）；　　　　　　　　（２）（２，３），（０，２）；
（３）（３，３），（３，４）；
（４）（－２，３），（３，３）；
（５）（０，３），（－２，０）；
（６）（２，０），（０，－２）．
２．根据下列条件，分别写出直线的方程：
（１）在狓轴、狔轴上的截距分别是３，－４；
（２）过点犘（１，５），且在狔轴上的截距为６；
（３）过点犘（－３，４），且在狓轴上的截距为３．
３．已知两点犃（３，２），犅（８，１２）．
（１）求直线犃犅的方程；
（２）设犪为实数，若点犆（－２，犪）在直线犃犅上，求犪的值．
４．回答下列问题：
（１）如果两条直线有相同的斜率，但在狓轴上的截距不同，那么它们在狔轴
上的截距可能相同吗？
（２）如果两条直线在狔轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在狓轴上
的截距可能相同吗？
（３）任一条直线都可以用截距式方程表示吗？
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１６
　
１．２．３　直线的一般式方程
我们已经学习了直线方程的几种特殊形式，它们都是关于狓，狔
的二元一次方程，那么，
●任意一条直线的方程都是关于狓，狔的二元一次方程吗？
事实上，在平面直角坐标系中，直线可以分成两类：一类是与狓
轴不垂直的直线，另一类是与狓轴垂直的直线．
当直线与狓轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点犘１（狓１，
狔１），斜率为犽的直线的方程为狔－狔１＝犽（狓－狓１），即
犽狓－狔＋狔１－犽狓１＝０，
此方程是关于狓，狔的二元一次方程．
当直线与狓轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点犘１（狓１，
狔１）的直线的方程为狓＝狓１，即
　　在平面直角坐标
系中，动点由横坐标、
纵坐标决定，所以方
程狓＝狓１也可以看成
二元一次方程．
狓＋０×狔－狓１＝０，
此方程也可看作是关于狓，狔的二元一次方程．
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于
狓，狔的二元一次方程犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不全为０）来表示．
反过来，关于狓，狔的二元一次方程犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不
全为０）都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
显然，当犅≠０时，方程犃狓＋犅狔＋犆＝０可以写成
狔＝－犃犅狓－犆犅，
它表示斜率为－犃犅，在狔轴上的截距为－犆犅的直线．
当犅＝０时，犃≠０，方程犃狓＋犅狔＋犆＝０可以写成
狓＝－犆犃，
它表示垂直于狓轴的直线．
因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于狓，狔的二元一次方程
犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不全为０）都表示一条直线．
直线与方程
第１章
１７
　
　　方程（）也称为
关于狓，狔的线性方程．
　　方程
犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不全为０）
（）
叫作直线的一般式方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｇｅｎｅｒａｌｆｏｒｍ）．
例５　求直线
犾：３狓＋５狔－１５＝０
的斜率以及它在狓轴、狔轴上的截距，并作图．
解　将直线犾的方程３狓＋５狔－１５＝０写成
狔＝－３５狓＋３，
图１２５
因此，直线犾的斜率为
犽＝－３５．
在方程３狓＋５狔－１５＝０中，当狓＝０时，狔＝３；当狔＝０时，
狓＝５．所以，直线犾在狔轴上的截距为３，在狓轴上的截距为５．
过两点（５，０），（０，３）作直线，就得到直线犾（图１２５）．
例６　设犿为实数，若直线犾的方程为
狓＋犿狔－２犿＋６＝０，
根据下列条件分别确定犿的值：
（１）直线犾在狓轴上的截距是－３；
（２）直线犾的斜率是１．
解　（１）令狔＝０，得狓＝２犿－６．
由题意知
２犿－６＝－３，
解得
犿＝３２．
（２）因为直线犾的斜率存在，所以犿≠０，于是直线犾的方程化为
狔＝－１犿狓＋２犿－６
犿．
由题意知
－１犿＝１，
解得
犿＝－１．
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１８
　
练　习
１．分别写出下列直线的斜率以及它们在狓轴、狔轴上的截距：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）狓＋２狔＝４；
（２）狔＝１２（狓＋３）；
（３）狔－１＝－３（狓－２）；
（４）狓２＋狔３＝１．
２．设直线５狓－２狔－１０＝０在狓轴上的截距为犪，在狔轴上的截距为犫，则（　　）．
Ａ．犪＝２，犫＝５　　
Ｂ．犪＝２，犫＝－５
Ｃ．犪＝－２，犫＝５　　
Ｄ．犪＝－２，犫＝－５
３．设犿为实数，若直线犾的方程为犿狓＋（犿－１）狔＋３＝０，根据下列条件分
别确定犿的值：
（１）直线犾在狔轴上的截距为６；（２）直线犾的斜率为２；
（３）直线犾垂直于狓轴；
（４）直线犾经过点（１，３）．
４．设犃，犅，犆为实数，且犃，犅不同时为０．若直线犾的方程为犃狓＋犅狔＋犆＝
０，根据下列条件，分别求出犃，犅，犆应满足的条件：
（１）直线犾过原点；
（２）直线犾垂直于狓轴；
（３）直线犾垂直于狔轴；
（４）直线犾与两条坐标轴都相交．
５．写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：
（第５题）
习题１．２
感受·理解
１．分别写出下列直线的斜率以及它们在狓轴、狔轴上的截距：
（１）２狓＋狔－４＝０；
（２）３狓－６狔＋１０＝０．
２．根据下列条件，分别写出直线的方程：
（１）过点（３，－２），斜率为槡３３；
（２）过点（－３，０），与狓轴垂直；
（３）斜率为－４，在狔轴上的截距为７；
（４）斜率为３，在狓轴上的截距为－２；
（５）过点（－１，８），（４，－２）；
直线与方程
第１章
１９
　
（６）过点（２，０），（０，－３）．
３．写出过点犘（３，１），且分别满足下列条件的直线犾的方程：
（１）垂直于狓轴；
（２）垂直于狔轴；
（３）过原点；
（４）与直线狓＋２狔－３＝０的斜率相等．
４．分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积：
（１）狓＋狔－２＝０；
（２）２狓－３狔－６＝０；
（３）５狓＋３狔＋２＝０．
５．一根弹簧挂４ｋｇ的物体时，长２０ｃｍ．在弹性限度内，所挂物体的质量每增
加１ｋｇ，弹簧伸长１．５ｃｍ．试写出弹簧的长度犾（单位：ｃｍ）和所挂物体质量
犿（单位：ｋｇ）之间的关系．
６．一根铁棒在４０℃时长１２．５０６ｍ，在８０℃时长１２．５１２ｍ．已知铁棒的长度
犾（单位：ｍ）和温度狋（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出
这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在１００℃时的长度．
７．已知菱形的两条对角线长分别为８和６，以菱形的中心为坐标原点，较长对
角线所在的直线为狓轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程．
８．已知直线犾经过点（３，－１），且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求
直线犾的方程．
思考·运用
９．设犽为实数，若直线犾的方程为２狓＋（犽－３）狔－２犽＋６＝０（犽≠３），根据
下列条件分别确定犽的值：
（１）直线犾的斜率为－１；
（２）直线犾在狓轴、狔轴上截距之和等于１．
１０．已知点犘０（狓０，狔０）不在直线犾１：２狓＋３狔＋４＝０上，直线犾２过点犘０（狓０，
狔０），且它的斜率与直线犾１的斜率相等，证明：直线犾２的方程可以写成２（狓－
狓０）＋３（狔－狔０）＝０．
１１．已知直线犾过点犘（２，３），根据下列条件分别求直线犾的方程：
（１）犾在狓轴、狔轴上的截距之和等于０；
（２）犾与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为１６．
探究·拓展１２．设直线犾的方程为狔－３＝犽（狓＋２），当犽取任意实数时，这样的直线具有
什么共同的特点？
１３．已知两条直线犪１狓＋犫１狔＋１＝０和犪２狓＋犫２狔＋１＝０都过点犃（１，２），求
过两点犘１（犪１，犫１），犘２（犪２，犫２）的直线的方程．
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２０
　
１．３
两条直线的平行与垂直
在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两
条直线平行或垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关．那么，
●怎样通过直线的斜率来判断两条直线平行或垂直的位置关
系呢？
首先我们研究两条直线平行的情形．
当直线犾１，犾２的斜率均存在时，设直线犾１，犾２的斜截式方程分别为
犾１：狔＝犽１狓＋犫１，
犾２：狔＝犽２狓＋犫２，
它们的倾斜角分别是α１，α２．
如果直线犾１∥犾２（图１３１（１）），那么它们的倾斜角相等，
　　　
图１３１
即
α１＝α２，
所以
ｔａｎα１＝ｔａｎα２，
从而
犽１＝犽２．
反之，如果犽１＝犽２，那么
ｔａｎα１＝ｔａｎα２．
因为０≤α１＜π，０≤α２＜π，根据正切函数的性质可知
α１＝α２，
从而
犾１∥犾２．
因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相平行，那么它
们的斜率相等；反之，如果两条直线的斜率相等，那么它们互相平行．
　　这里犾１，犾２指不
重合的两条直线．
犾１∥犾２犽１＝犽２（犽１，犽２均存在）．
直线与方程
第１章
２１
　
如果直线犾１，犾２的斜率都不存在，那么它们都与狓轴垂直，所以
犾１∥犾２（图１３１（２））．
例１　证明：顺次连接犃（２，－３），犅５，－
（
）
７２，犆（２，３），
犇（－４，４）四点所得的四边形是梯形（图１３２）．
图１３２
　　分析　要证明一个四边形是梯形，即要证明该四边形的一组对
边平行，另一组对边不平行．
证明　因为
犽犃犅＝－７２－（－３）
５－２
＝－１６，
犽犆犇＝４－３
－４－２＝－１６，
所以
犽犃犅＝犽犆犇，
从而
犃犅∥犆犇．
又因为
犽犅犆＝３－－７
（）
２
２－５＝－１３６，
犽犇犃＝－３－４
２－（－４）＝－７６，
所以
犽犅犆≠犽犇犃，
从而直线犅犆与犇犃不平行．
因此，四边形犃犅犆犇是梯形．
例２　判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
（１）犾１：狔＝２狓＋１，　　　犾２：狔＝２狓－１；
（２）犾１：２狓－狔－７＝０，犾２：狓＋２狔－１＝０．
解　设直线犾１，犾２的斜率分别为犽１，犽２．
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２２
　
（１）由直线犾１，犾２的方程可知
犽１＝２，犽２＝２，
所以
犽１＝犽２．
又直线犾１，犾２在狔轴上的截距分别为１和－１，所以犾１与犾２不重合，
从而
犾１∥犾２．
（２）由直线犾１，犾２的方程可知
犽１＝２，犽２＝－１２，
所以犽１≠犽２，从而犾１与犾２不平行．
例３　求过点犃（２，－３），且与直线
２狓＋狔－５＝０
平行的直线的方程．
解　已知直线的斜率是－２，因为所求直线与已知直线平行，所
以所求直线的斜率也是－２．
根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为
狔＋３＝－２（狓－２），
即
２狓＋狔－１＝０．
练　习
１．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线犃犅与犆犇是否平行：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）犃（３，－１），犅（－１，１），犆（－３，５），犇（５，１）；
（２）犃（２，－４），犅（－槡３，－４），犆（０，１），犇（４，１）；
（３）犃（２，３），犅（２，－１），犆（－１，４），犇（－１，１）；
（４）犃（－１，－２），犅（２，１），犆（３，４），犇（－１，－１）．
２．已知点犃（－４，－２），犅（１，－１），犆（５，５），犇－１３，７
（
）
２，求证：四边形
犃犅犆犇是梯形．
３．判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
（１）犾１：狔＝－狓＋１，　　　　犾２：狔＝－狓＋３；
（２）犾１：３狓－２狔－１＝０，犾２：６狓－４狔－１＝０；
（３）犾１：２狓－５狔－７＝０，犾２：５狓－２狔－１＝０；
（４）犾１：狔－２＝０，
犾２：狔＋１＝０．
４．分别求过点犃（２，３），且平行于下列直线的直线的方程：
（１）２狓＋５狔－３＝０；
（２）４狓－狔＝０；
（３）狓－５＝０；
（４）狔＋６＝０．
直线与方程
第１章
２３
　
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如图１３３，如果直线犾１⊥犾２（犾１，犾２都不与狓轴垂直），那么直
线犾１，犾２的倾斜角α１，α２中必定一个是锐角，另一个是钝角．不妨设α２
是钝角，则
α２＝α１＋π２，
从而
犽２＝ｔａｎα２＝（
ｔａｎα１＋π）
２＝－１
ｔａｎα１＝－１犽１，
　　你能用其他方法
得到这一结果吗？
即
犽１犽２＝－１．
图１３３
反过来，如果
犽１犽２＝－１，
那么可以证明犾１⊥犾２（注：留作习题１．３第８题）．
因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它
们斜率的乘积等于－１；反之，如果它们斜率的乘积等于－１，那么它
们互相垂直．
犾１⊥犾２犽１犽２＝－１　（犽１，犽２均存在）．
思　考
　　如果两条直线犾１，犾２中的一条的斜率不存在，那么何时这两条直
线互相垂直？
例４　（１）已知四点犃（５，３），犅（１０，６），犆（３，－４），
犇（－６，１１），求证：犃犅⊥犆犇；
（２）已知直线犾１：３狓＋５狔－１０＝０，犾２：１５狓－９狔＋８＝０，求证：
犾１⊥犾２．
证明　（１）由斜率公式，得
　　　　犽犃犅＝６－３
１０－５＝３５，犽犆犇＝１１－（－４）
－６－３＝－５３，
则　
犽犃犅犽犆犇＝３５× －５
（）
３＝－１，
所以
犃犅⊥犆犇．
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２４
　
（２）由犾１，犾２的方程可知，它们的斜率犽１＝－３５，犽２＝１５９＝５３，
从而
犽１犽２＝－（）
３５×５３＝－１，
所以
犾１⊥犾２．
例５　如图１３４，已知三角形的顶点为犃（２，４），犅（１，
－２），犆（－２，３），求犅犆边上的高犃犇所在直线的方程．
解　直线犅犆的斜率为
犽犅犆＝３－（－２）
－２－１＝－５３．
图１３４
因为犃犇⊥犅犆，
所以
犽犃犇＝－１犽犅犆＝３５．
根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为
狔－４＝３５（狓－２），
即
３狓－５狔＋１４＝０．
例６　在路边安装路灯，路宽２３ｍ，灯杆长２．５ｍ，且与灯柱成
１２０°角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高为多少
米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到０．０１ｍ）？
解　如图１３５，记灯柱顶端为犅，灯罩顶为犃，灯杆为犃犅，灯
罩轴线与道路中线交于点犆，灯柱的高为犺ｍ．以灯柱底端犗点为原
点，灯柱犗犅所在直线为狔轴，建立如图所示的直角坐标系．
图１３５
点犅的坐标为（０，犺），点犆的坐标为（１１．５，０）．因为∠犗犅犃＝
１２０°，所以直线犅犃的倾斜角为３０°，从而点犃的坐标为
（２．５ｃｏｓ３０°，犺＋２．５ｓｉｎ３０°），
即
（１．２５槡３，犺＋１．２５）．
直线与方程
第１章
２５
　
因为犆犃⊥犅犃，所以
犽犆犃＝－１犽犅犃＝－１
ｔａｎ３０°＝－槡３，
从而直线犆犃的方程是
狔－（犺＋１．２５）＝－槡３（狓－１．槡
２５３）．
又灯罩轴线犆犃过点犆（１１．５，０），则
－（犺＋１．２５）＝－槡３（１１．５－１．槡
２５３），
解得
犺≈１４．９２．
答　灯柱高约为１４．９２ｍ．
练　习
１．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线犃犅与犆犇是否垂直：
（１）犃（－１，－２），犅（１，２），犆（－２，１），犇（２，－１）；
（２）犃（０，２），犅（１，０），犆（３，２），犇（５，３）；
（３）犃（３，４），犅（３，－２），犆（－１，４），犇（１，４）；
（４）犃（－３，１），犅（１，５），犆（２，４），犇（０，３）．
２．以点犃（－１，１），犅（２，－１），犆（１，４）为顶点的三角形是（　　）．
Ａ．锐角三角形　　　　Ｂ．直角三角形　　　　Ｃ．钝角三角形
３．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
（１）犾１：狔＝－２狓＋１，　　　　犾２：狔＝１２狓＋３；
（２）犾１：３狓－狔－１＝０，　　　　犾２：２狓＋６狔－１＝０；
（３）犾１：２狓－５狔－７＝０，　　　　犾２：５狓－２狔－１＝０；
（４）犾１：狔－２＝０，
　　　　犾２：狓＋１＝０．
４．分别求过点犃（２，３），且垂直于下列直线的直线的方程：
（１）狓－狔－３＝０；　　　　　　（２）３狓＋２狔－１＝０；
（３）狓－１＝０；
　　　　（４）狔＋２＝０．
５．直线犾１，犾２的方程为
犾１：２狓＋３狔－２＝０，
犾２：犿狓＋（２犿－１）狔＋１＝０．
设犿为实数，分别根据下列条件求犿的值：
（１）犾１∥犾２；
　　　　（２）犾１⊥犾２．
习题１．３
感受·理解
１．判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
（１）犾１：狔＝－１２狓＋１，　　　　犾２：狔＝－１２狓＋３；
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数学
２６
　
（２）犾１：３狓＋槡３狔－１＝０，
　　　　犾２：槡３狓＋狔－１＝０；
（３）犾１：狓＋３狔＝３，　　　　犾２：狔＝－１３狓＋１；
（４）犾１：狓－２＝０，　　　　犾２：５狓＋１＝０．
２．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
（１）犾１：狔＝槡２狓＋１，　　　　犾２：狔＝－槡２２狓＋３；
（２）犾１：槡３狓－狔－１＝０，　　　　犾２：槡３狓＋３狔－１＝０；
（３）犾１：３狓＋４狔－７＝０，　　　　犾２：４狓＋３狔－１＝０；
（４）犾１：３狓＋２＝０，　　　　犾２：５狓＋８＝０．
３．分别求满足下列条件的直线的方程：
（１）过点犃（３，２），且与直线４狓＋狔－２＝０平行；
（２）过点犅（３，０），且与直线２狓＋狔－５＝０垂直；
（３）过点（５，４），且与狓轴垂直；
（４）过点犆（２，－３），且平行于过两点犕（１，２）和犖（－１，－５）的直线．
４．已知点犃（－１，３），犅（３，－２），犆（６，－１），犇（２，４），求证：四边形犃犅犆犇
为平行四边形．
５．已知三角形的三个顶点是犃（４，０），犅（６，７），犆（０，３），求边犃犅上的高所在
直线的方程．
６．设犪为实数，若直线犪狓＋２犪狔＋１＝０垂直于直线（犪－１）狓－（犪＋１）狔－
１＝０，求犪的值．
思考·运用
７．（１）已知直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，其中犃，犅不全为０，且直线犾１∥犾，求
证：直线犾１的方程总可以写成犃狓＋犅狔＋犆１＝０（犆１≠犆）；
（２）已知直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，其中犃，犅不全为０，且直线犾２⊥犾，求
证：直线犾２的方程总可以写成犅狓－犃狔＋犆２＝０．
８．证明：如果两条直线斜率的乘积等于－１，那么这两条直线互相垂直．
９．（１）已知直线犾过点犘（狓０，狔０），且与直线犾１：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犘不在犾１
上）平行，其中犃，犅不全为０，求证：直线犾的方程为犃（狓－狓０）＋
犅（狔－狔０）＝０；
（２）已知直线犾过点犘（狓０，狔０），且与直线犃狓＋犅狔＋犆＝０垂直，其中犃，
犅不全为０，求证：直线犾的方程为犅（狓－狓０）－犃（狔－狔０）＝０．
探究·拓展
１０已知两条直线犾１，犾２的斜率分别为犽１，犽２（０＜犽１＜犽２），设犾１，犾２的夹角（锐
角）为θ．
（１）求证：ｔａｎθ＝犽２－犽１
１＋犽１犽２；
（２）求直线２狓－狔＋１＝０与直线狓－３狔－３＝０的夹角θ．
直线与方程
第１章
２７
　
１．４
两条直线的交点
我们已经知道，在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用方
程来表示，那么，
●能否用直线方程来研究两条直线的交点问题？
设两条直线的方程分别是
犾１：犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０，犾２：犃２狓＋犅２狔＋犆２＝０．
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐
标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有
一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线犾１和犾２的交点．
据此，我们有
方程组犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０，
犃２狓＋犅２狔＋犆２＝
｛
０的解
一　组
无数组
无　解
直线犾１，犾２的公共点
一　个
无数个
零　个
直线犾１，犾２的位置关系
相　交
重　合
平　行
　　例１　分别判断下列直线犾１与犾２是否相交．若相交，求出它们
交点的坐标：
（１）犾１：２狓－狔＝７，　　　犾２：３狓＋２狔－７＝０；
（２）犾１：２狓－６狔＋４＝０，犾２：４狓－１２狔＋８＝０；
（３）犾１：４狓＋２狔＋４＝０，犾２：狔＝－２狓＋３．
解　（１）因为方程组
２狓－狔－７＝０，
３狓＋２狔－７＝
烅烄
烆
０
的解为
狓＝３，
狔＝－１
烅烄
烆
，
所以直线犾１和犾２相交，且交点坐标为（３，－１）．
（２）因为方程组
２狓－６狔＋４＝０，
４狓－１２狔＋８＝
烅烄
烆
０
有无数组解，所以直线犾１和犾２重合．
选择性必修第一册
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２８
　
（３）因为方程组
４狓＋２狔＋４＝０，
２狓＋狔－３＝
烅烄
烆
０
无解，所以犾１∥犾２．
例２　设犪为实数，直线犾１：２狓＋３狔－１＝０，犾２：狓＋（犪－１）狔＋
２＝０．若犾１∥犾２，求犪的值．
解法１　因为犾１∥犾２，所以方程组
２狓＋３狔－１＝０，
狓＋（犪－１）狔＋２＝
烅烄
烆
０
①②
无解．由②×２－①，得　　　（２犪－５）狔＝－５．
③
从而③无解，即
２犪－５＝０，
解得
犪＝５２．
解法２　由直线犾１的方程可知，它的斜率犽１＝－２３．
因为犾１∥犾２，所以直线犾２的斜率存在，设为犽２，且犽２＝－２３．
又由直线犾２的方程可知，它的斜率犽２＝－１
犪－１，
所以
－１
犪－１＝－２３，
解得
犪＝５２．
例３　已知直线犾经过原点，且经过如下两条直线
２狓＋３狔＋８＝０，狓－狔－１＝０
的交点，求直线犾的方程．
解　因为方程组
２狓＋３狔＋８＝０，
狓－狔－１＝
烅烄
烆
０
直线与方程
第１章
２９
　
的解为　
狓＝－１，
狔＝－２
烅烄
烆
，
所以两条直线２狓＋３狔＋８＝０和狓－狔－１＝０的交点坐标为
（－１，－２），从而由题意知直线犾经过点（－１，－２）．
又直线犾经过原点，所以直线犾的方程为
狔－０
－２－０＝狓－０
－１－０，
即
２狓－狔＝０．
思　考
　　已知直线
犾１：２狓＋３狔＋８＝０，
犾２：狓－狔－１＝０，
则方程２狓＋３狔＋８＋λ（狓－狔－１）＝０（λ为任意实数）表示的直线有
什么特点？
练　习
１．与直线２狓－狔－３＝０相交的直线的方程是（　　）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ．４狓－２狔－６＝０　　
Ｂ．狔＝２狓
Ｃ．狔＝２狓＋５　　
Ｄ．狔＝－２狓＋３
２．判断下列各组直线犾１与犾２是否相交．若相交，求出它们的交点．
（１）犾１：２狓＋狔－３＝０，
犾２：狓＋２狔－３＝０；
（２）犾１：３狓＋４狔－１＝０，
犾２：６狓＋８狔－３＝０．
３．设犽为实数，若三条直线２狓＋３狔＋８＝０，狓－狔－１＝０和狓＋犽狔＋犽＋
１２＝０相交于一点，则犽的值为（　　）．
Ａ．－２　　
Ｂ．－１２　
Ｃ．２　　
Ｄ．１２
４．已知直线犾过两条直线２狓－３狔－３＝０和狓＋狔＋２＝０的交点，且与直线
３狓＋狔－１＝０平行，求直线犾的方程．
５．已知直线犾过两条直线狓－狔＋２＝０和２狓＋狔＋１＝０的交点，且与直线
狓－３狔－２＝０垂直，求直线犾的方程．
习题１．４
感受·理解
１．判断下列各组直线犾１与犾２是否相交．若相交，求出它们的交点．
（１）犾１：狓－４狔－１＝０，
犾２：狓＋２狔－４＝０；
（２）犾１：槡３狓－狔－２槡３＝０，
犾２：狓＋槡３狔＋２＝０；
（３）犾１：槡２狓－３狔－２＝０，
犾２：２狓－３槡２狔＋１＝０．
２．分别根据下列条件，求直线的方程：
（１）斜率为－２，且过两条直线３狓－狔＋４＝０和狓＋狔－４＝０的交点；
选择性必修第一册
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３０
　
（２）过两条直线狓－２狔＋３＝０和狓＋２狔－９＝０的交点和原点；
（３）过两条直线狓－狔＋５＝０和３狓＋４狔－２＝０的交点，且垂直于直线
３狓－２狔＋４＝０；
（４）过两条直线２狓＋狔－８＝０和狓－２狔＋１＝０的交点，且平行于直线
４狓－３狔－７＝０．
３．设犪为实数，若三条直线犪狓＋２狔＋８＝０，４狓＋３狔＝１０和２狓－狔＝１０相
交于一点，求犪的值．
４．求两条互相垂直的直线２狓＋狔＋２＝０与犪狓＋４狔－２＝０的交点坐标．
５．设犽为实数，若直线狔＝犽狓＋３与直线狔＝１犽狓－５的交点在直线狔＝狓上，
求犽的值．
６．设犿为实数，已知两条直线犾１：（３＋犿）狓＋４狔＝５－３犿，犾２：
２狓＋（５＋犿）狔＝８．当犿为何值时，犾１与犾２：
（１）相交？　（２）平行？
思考·运用
７．设犪为实数，若三条直线狓＋狔＋１＝０，２狓－狔＋８＝０和犪狓＋３狔－５＝
０共有三个不同的交点，求犪满足的条件．
８．设犪为实数，若三条直线狓＋狔－１＝０，２狓＋３狔－５＝０和狓－犪狔＋８＝０共
有两个不同的交点，求犪的值．
探究·拓展
９．已知直线犾１：犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０（犃１，犅１不全为０）与直线犾２：犃２狓＋
犅２狔＋犆２＝０（犃２，犅２不全为０）相交于点犘，求证：过点犘的直线可以写成
犿（犃１狓＋犅１狔＋犆１）＋狀（犃２狓＋犅２狔＋犆２）＝０的形式．
１０．直线犾１和犾２的方程分别是犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０和犃２狓＋犅２狔＋犆２＝０，其
中犃１，犅１不全为０，犃２，犅２也不全为０．
（１）当犾１∥犾２时，直线方程中的系数应满足什么关系？
（２）当犾１⊥犾２时，直线方程中的系数应满足什么关系？
直线与方程
第１章
３１
　
１．５
平面上的距离
在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应
关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系，那么，
●怎样借助点的坐标和直线的方程，来探求点与点、点与直线以
及两平行直线之间的距离？
１．５．１　平面上两点间的距离
●对于平面上的两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２），如何求这两点间
的距离？
我们先看一个具体的例子．
图１５１
已知点犘１（－１，３），犘２（３，－２），下面探求犘１，犘２两点间的距离
犘１犘２．如图１５１，过点犘１向狓轴作垂线，过点犘２向狔轴作垂线，两
条垂线交于点犙，则犙点的坐标是（－１，－２），且
犙犘１＝狘３－（－２）狘＝５，犙犘２＝狘３－（－１）狘＝４．
　　在Ｒｔ△犘１犙犘２中，
犘１犘２２＝犙犘１２＋犙犘２２＝５２＋４２＝４１．
因此，犘１，犘２两点之间的距离为
犘１犘２＝槡４１．
一般地，如果狓１≠狓２，狔１≠狔２，过点犘１，犘２分别向狔轴、狓轴
作垂线，两条垂线交于点犙（图１５２（１）），则点犙的坐标是（狓２，
狔１），且
　　狓轴上两点
犘１（狓１，０），犘２（狓２，０）
之间的距离可以表示
为犘１犘２＝狘狓２－狓１狘．
当点犘１在点犘２的左侧
时，犘１犘２＝狓２－狓１．
图１５２
选择性必修第一册
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３２
　
犙犘１＝狘狓２－狓１狘，犙犘２＝狘狔２－狔１狘．
在Ｒｔ△犘１犙犘２中，
犘１犘２２＝犙犘１２＋犙犘２２　　　　　
＝（狓２－狓１）２＋（狔２－狔１）２．
（）
如果狓１＝狓２（图１５２（２）），那么
犘１犘２＝狘狔２－狔１狘，
（）式也成立．
　　如果狔１＝狔２，那么
犘１犘２＝狘狓２－狓１狘，
（）式仍成立．
由此，我们得到平面上犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）两点间的距离
公式
　　能用其他方法得
到这一结果吗？
犘１犘２＝（狓２－狓１）２＋（狔２－狔１）
槡
２．
例１　（１）求犃（－１，３），犅（２，５）两点间的距离；
（２）设犪为实数，已知犃（０，１０），犅（犪，－５）两点间的距离是１７，
求犪的值．
解　（１）由两点间距离公式，得
犃犅＝［２－（－１）］２＋（５－３）
槡
２＝槡１３．
（２）由两点间距离公式，得
（犪－０）２＋（－５－１０）
槡
２＝１７，
解得
犪＝±８．
故所求实数犪的值为８或－８．
　　例２　已知△犃犅犆的三个顶点为犃（－１，５），犅（－２，－１），
犆（４，７），求犅犆边上的中线犃犕的长和犃犕所在直线的方程．
解　如图１５３，设点犕的坐标为（狓，狔），过点犅，犕，犆向狓
轴作垂线，垂足分别为点犅′，犕′，犆′，则点犅′，犕′，犆′的横坐标分别
为－２，狓，４．
因为点犕是线段犅犆的中点，所以点犕′是线段犅′犆′的中点，即
犅′犕′＝犕′犆′，从而
直线与方程
第１章
３３
　
图１５３
狓－（－２）＝４－狓，
所以
狓＝（－２）＋４
２
＝１．
同理可得
狔＝（－１）＋７
２
＝３．
所以点犕的坐标为（１，３）．
由两点间距离公式，得
犃犕＝［１－（－１）］２＋（３－５）
槡
２＝２槡２．
因此，犅犆边上的中线犃犕的长为２槡２．
由直线的两点式方程，得中线犃犕所在直线的方程为
狔－３
５－３＝狓－１
－１－１，
即
狓＋狔－４＝０．
对于平面上的两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２），线段犘１犘２的中点
是犕（狓０，狔０），则
狓０＝狓１＋狓２
２，
狔０＝狔１＋狔２
２
烅
烄
烆
．
图１５４
例３　在直角三角形犃犅犆中，点犕为斜边犅犆的中点，试建立
适当的直角坐标系，求证：犃犕＝１２犅犆．
证明　如图１５４，以Ｒｔ△犃犅犆的直角边犃犅，犃犆所在直线
为坐标轴，建立直角坐标系．设犅，犆两点的坐标分别为（犫，０），
（０，犮）．
选择性必修第一册
数学
３４
　
因为点犕是犅犆的中点，所以点犕的坐标为０＋犫
２，０＋犮
（
）
２，即
犫２，犮
（
）
２．
由两点间距离公式，得
犅犆＝（０－犫）２＋（犮－０）
槡
２＝犫２＋犮
槡
２，
犃犕＝犫２－
（
）
０２＋犮２－
（
）
０
槡
２＝１２犫２＋犮
槡
２．
所以
犃犕＝１２犅犆．
练　习
１．分别根据下列条件，求线段犃犅的长及线段犃犅中点的坐标：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）犃（８，１０），犅（－４，４）；
（２）犃（－槡３，槡２），犅（－槡２，槡３）．
２．（１）已知△犃犅犆的顶点为犃（３，２），犅（１，０），犆（槡
２＋３，槡
１－３），求犃犅边
上的中线犆犕的长；
（２）已知△犃犅犆的顶点为犃（０，１），犅（２，５），犆（－４，３），分别求三条中位
线的长．
３．已知两点犘（１，－４），犃（３，２），求点犃关于点犘的对称点犅的坐标．
４．证明：点犕（１，１）与点犖（５，－１）关于直线犾：２狓－狔－６＝０对称．
１．５．２　点到直线的距离
●对于平面上确定的直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不全为０）
和直线犾外一点犘（狓０，狔０），如何求点犘到直线犾的距离呢？
我们先看一个具体的例子．
已知点犘（２，４）和直线犾：５狓＋４狔－７＝０，下面探求点犘到直线
犾的距离．
图１５５
如图１５５，过点犘作犘犈⊥犾，垂足为犈，则点犘到直线犾的距
离就是线段犘犈的长．
方法１　通过求点犈的坐标，用两点间距离公式求犘犈．
第一步　由犘犈⊥犾，可知犘犈所在直线的斜率为４５；
第二步　写出犘犈所在直线的方程：狔－４＝４５（狓－２），即
４狓－５狔＋１２＝０；
第三步　由犾和犘犈所在直线的方程联立方程组
５狓＋４狔－７＝０，
４狓－５狔＋１２＝０
烅烄
烆
，
直线与方程
第１章
３５
　
解得垂足犈的坐标为（－１３４１，８８４１）；
第四步　利用两点间距离公式，求出点犘到直线犾的距离
犘犈＝（－１３４１－２）
２＋（８８４１－４）
槡
２＝１９槡４１
４１．
方法２　通过构造三角形，利用面积关系求点犘到直线犾的
距离．如图１５６，过点犘分别作狔轴、狓轴的垂线，交直线犾于点
犕，犖．我们通过计算Ｒｔ△犘犕犖的面积求犘犈．
第一步　求出犕（－９５，４），犖（２，－３４）；
第二步　计算
犘犕＝－９５－２＝１９５，犘犖＝－３４－４＝１９４；
　　还可用两点间距
离公式求犕犖．
第三步　由勾股定理，得
犕犖＝犘犕２＋犘犖
槡
２＝１９（）
５
２＋１９（）
４
槡
２＝１９２０槡４１；
第四步　由三角形面积公式可知
犘犈＝犘犕·犘犖
犕犖＝
１９５×１９４
１９２０槡４１＝１９槡４１
４１．
图１５６
　　
图１５７
一般地，对于直线
犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃≠０，犅≠０）
和直线犾外一点犘（狓０，狔０），过点犘作犘犙⊥犾，垂足为犙．过点犘分别
作狔轴、狓轴的垂线，交犾于点犕（狓１，狔０），犖（狓０，狔２）（图１５７）．
选择性必修第一册
数学
３６
　
由
犃狓１＋犅狔０＋犆＝０，犃狓０＋犅狔２＋犆＝０，
得
狓１＝－犅狔０－犆
犃
，狔２＝－犃狓０－犆
犅
．
所以
犘犕＝狘狓１－狓０狘＝犃狓０＋犅狔０＋犆
犃
，
犘犖＝狘狔２－狔０狘＝犃狓０＋犅狔０＋犆
犅
．
因为犘犙是Ｒｔ△犘犕犖斜边上的高，所以由三角形面积公式可知
　　当犃＝０或犅＝０
时，此式仍然成立．
犘犙＝犘犕·犘犖
犕犖＝犘犕·犘犖
犘犕２＋犘犖
槡
２＝狘犃狓０＋犅狔０＋犆狘
犃２＋犅
槡
２
．
由此，我们得到点犘（狓０，狔０）到直线
犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０
的距离为
犱＝狘犃狓０＋犅狔０＋犆狘
犃２＋犅
槡
２
．
思　考
　　你还能通过其他途径求点犘到直线犾的距离吗？
例４　分别求点犘（－１，２）到下列直线的距离：
（１）２狓＋狔－１０＝０；　　　　　（２）３狓＝２．
解　（１）根据点到直线的距离公式，得
犱＝狘２×（－１）＋２－１０狘
２２＋１
槡
２
＝１０槡５＝２槡５．
　　当犃＝０或犅＝
０时，可直接利用图形
性质求出点到直线的
距离．
　　（２）因为直线３狓＝２平行于狔轴，所以
犱＝２３－（－１）＝５３．
例５　求两条平行直线狓＋３狔－４＝０与２狓＋６狔－９＝０之间
的距离．
分析　在两条平行直线中的一条直线上任取一点，将两条平行
直线之间的距离转化为点到直线的距离．
解　在直线狓＋３狔－４＝０上取点犘（４，０），点犘（４，０）到直线
２狓＋６狔－９＝０的距离犱就是两条平行直线之间的距离．
直线与方程
第１章
３７
　
因此，两条平行直线之间的距离为
犱＝狘２×４＋６×０－９狘
２２＋６
槡
２
＝１４槡０＝槡１０
２０．
思　考
　　已知两条平行直线
犾１：犃狓＋犅狔＋犆１＝０，
犾２：犃狓＋犅狔＋犆２＝０（犆１≠犆２）．
你能证明直线犾１和犾２之间的距离为犱＝狘犆１－犆２狘
犃２＋犅
槡
２吗？
例６　建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意
一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
证明　设△犃犅犆是等腰三角形，以底边犆犃所在直线为狓轴，过
顶点犅且垂直于犆犃的直线为狔轴，建立直角坐标系（图１５８）．
图１５８
　　设犃（犪，０），犅（０，犫）（犪＞０，犫＞０），则犆（－犪，０）．
直线犃犅的方程为
狓犪＋狔犫＝１，
即
犫狓＋犪狔－犪犫＝０．
直线犅犆的方程为
狓－犪＋狔犫＝１，
即
犫狓－犪狔＋犪犫＝０．
设底边犃犆上任意一点为犘（狓，０）（－犪≤狓≤犪），则
点犘到直线犃犅的距离为
犘犈＝狘犫狓－犪犫狘
犪２＋犫
槡
２＝犫（犪－狓）
犪２＋犫
槡
２，
点犘到直线犅犆的距离为
犘犉＝狘犫狓＋犪犫狘
犪２＋犫
槡
２＝犫（犪＋狓）
犪２＋犫
槡
２，
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数学
３８
　
点犃到直线犅犆的距离为
犺＝狘犫犪＋犪犫狘
犪２＋犫
槡
２＝２犪犫
犪２＋犫
槡
２．
所以
犘犈＋犘犉＝犫（犪－狓）
犪２＋犫
槡
２＋犫（犪＋狓）
犪２＋犫
槡
２＝２犪犫
犪２＋犫
槡
２＝犺．
因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰
上的高．
练　习
１．分别根据下列条件，求点犘到直线犾的距离：
（１）犘（３，－２），犾：３狓＋４狔－２５＝０；
（２）犘（－２，１），犾：３狔＋５＝０．
２．分别求下列两条平行直线之间的距离：
（１）５狓－１２狔－２＝０与５狓－１２狔＋１５＝０；
（２）６狓－４狔＋５＝０与狔＝３２狓．
３．已知直线犾过原点，且点犕（５，０）到直线犾的距离等于３，求直线犾的方程．
４．已知△犃犅犆的三个顶点为犃（１，１），犅（３，４），犆（４，－１），求犃犅边上高
的长．
习题１．５
感受·理解
１．分别根据下列条件，求犃，犅两点之间的距离：
（１）犃（－２，０），犅（－２，－３）；
（２）犃（０，－３），犅（－３，－３）；
（３）犃（３，５），犅（－３，３）．
２．已知点犘（－１，２），求点犘分别关于原点、狓轴和狔轴的对称点的坐标．
３．已知点犃在狓轴上，点犅在狔轴上，线段犃犅的中点犕的坐标是（２，－１），求线
段犃犅的长．
４．已知犃，犅两点都在直线狔＝狓－１上，且犃，犅两点横坐标之差为槡２，求犃，犅两
点之间的距离．
５．已知两点犃（２，３），犅（－１，４），且点犘（狓，狔）到点犃，犅的距离相等，求实
数狓，狔满足的条件．
６．已知点犘（狓，狔）在直线狓＋狔－４＝０上，犗是坐标原点，求犗犘的最小值．
７．分别根据下列条件，求点犘到直线犾的距离：
（１）犘（２，１），犾：２狓＋３＝０；
（２）犘（－３，４），犾：３狓－４狔＋３０＝０．
８．已知直线犾到两条平行直线２狓－狔＋２＝０和２狓－狔＋４＝０的距离相等，
求直线犾的方程．
直线与方程
第１章
３９
　
９．已知直线犾在狔轴上的截距为１０，且原点到直线犾的距离是８，求直线犾的方程．
１０．已知点犘在直线３狓＋狔－５＝０上，且点犘到直线狓－狔－１＝０的距离等
于槡２，求点犘的坐标．
１１．已知点犃（７，８），犅（１０，４），犆（２，－４），求△犃犅犆的面积．
１２．已知直线犾过点（－２，３），且原点到直线犾的距离是２，求直线犾的方程．
１３．在△犃犅犆中，犈，犉分别为犃犅，犃犆的中点，建立适当的直角坐标系，求证：
犈犉∥犅犆，且犈犉＝１２犅犆．
思考·运用１４．过点犘（３，０）作直线犾，使它被两条相交直线２狓－狔－２＝０和狓＋狔＋３＝０
所截得的线段恰好被点犘平分，求直线犾的方程．
１５．已知光线通过点犃（－２，３），经狓轴反射，其反射光线通过点犅（５，７），求：
（１）入射光线所在直线的方程；
（２）反射光线所在直线的方程．
１６．已知点犃（２，１），直线犾：狓－狔＋１＝０，求点犃关于直线犾的对称点犅的坐标．
１７．在直线狓＋２狔＝０上求一点犘，使它到原点的距离与到直线狓＋２狔－３＝０
的距离相等．
１８．已知直线犾：狔＝３狓＋３，求：
（１）直线犾关于点犕（３，２）对称的直线的方程；
（２）直线狓－狔－２＝０关于直线犾对称的直线的方程．
１９．建立适当的直角坐标系，证明：平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平
方和．
２０证明：点犃（犪，犫），犅（犫，犪）关于直线狔＝狓对称．
探究·拓展２１．求函数犳（狓）＝（狓＋１）２＋
槡
９＋（狓－６）２＋
槡
４的最小值．
２２．如图，点犘是角α的终边与单位圆的交点，点犙是角－β的终边与单位圆的交点．
（１）求犘犙；
（２）求证：ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ．
（第２２题）
２３．某人上午８时从山下大本营出发登山，下午４时到达山顶．次日上午８时从
山顶沿原路返回，下午４时回到山下大本营．如果该人以同样的速度匀速上
山、下山，那么两天中他可能在同一时刻经过途中同一地点吗？如果他在上
山、下山过程中不是匀速行进的，他还可能在同一时刻经过途中同一地
点吗？
２４．（阅读题）点到直线的距离．
已知直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０）和直线犾外一点
选择性必修第一册
数学
４０
　
犘０（狓０，狔０），过点犘０且与直线犾垂直的直线犾′的方程为犅（狓－狓０）－犃（狔－
狔０）＝０，直线犾与犾′的交点为犘１（狓１，狔１），则点犘０到直线犾的距离为
犱＝犘０犘１＝（狓１－狓０）２＋（狔１－狔０）
槡
２．
（）
因为点犘１是直线犾与犾′的交点，
所以
犃狓１＋犅狔１＋犆＝０，
①
犅（狓１－狓０）－犃（狔１－狔０）＝０．
②
策略１：由①②联立，解出狓１，狔１，然后代入（）式，求出犱．
策略２：由于犱＝（狓１－狓０）２＋（狔１－狔０）
槡
２，
而①式等价于
犃（狓１－狓０）＋犅（狔１－狔０）＝－犃狓０－犅狔０－犆．
③
将狓１－狓０，狔１－狔０看作整体，由②③解出狓１－狓０，狔１－狔０，然后代入
（）式，求出犱．
策略３：注意到②③和犱＝（狓１－狓０）２＋（狔１－狔０）
槡
２的特点，将②式
的两边平方与③式的两边平方相加，得
（犃２＋犅２）［（狓１－狓０）２＋（狔１－狔０）２］＝（犃狓０＋犅狔０＋犆）２，
故
犱＝（狓１－狓０）２＋（狔１－狔０）
槡
２＝狘犃狓０＋犅狔０＋犆狘
犃２＋犅
槡
２
．
直线与方程
第１章
４１
　
问题与探究
向量方法在直线中的应用
借助平面直角坐标系，可以建立点与坐标、直线与方程之间的对
应关系，而向量也是沟通几何与代数的一种重要工具，利用向量也可
以有效地研究与直线、直线方程有关的问题．那么，如何利用向量来
研究与直线有关的问题呢？
如图，设犘（狓１，狔１），犙（狓２，狔２）是直线犾上不同的两点，直线犾上
的向量→
犘犙以及与它平行的非零向量都称为直线犾的方向向量．直线犾
的一个方向向量→
犘犙的坐标是（狓２－狓１，狔２－狔１）．
当直线犾′⊥犾时，直线犾′的方向向量称为直线犾的法向量．
对于直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０），则
犃狓１＋犅狔１＋犆＝０，
犃狓２＋犅狔２＋犆＝０
烅烄
烆
．
从而得犃（狓２－狓１）＋犅（狔２－狔１）＝０，即向量（狓２－狓１，狔２－狔１）
与向量（－犅，犃）平行，与向量（犃，犅）垂直，因此，向量（－犅，犃）是直
线犾的一个方向向量，向量（犃，犅）是直线犾的一个法向量．
问题１　已知直线犾经过点犘０（狓０，狔０），且它的一个法向量为
犿＝（犃，犅）（犃，犅不同时为０），求直线犾的方程．
解　设犘（狓，狔）为直线犾上的任意一点．
当点犘异于点犘０时，因为犿＝（犃，犅）是直线犾的法向量，所以
犿⊥犘０→
犘，即犿·犘０→
犘＝０，从而
（犃，犅）·（狓－狓０，狔－狔０）＝０．
因此
犃（狓－狓０）＋犅（狔－狔０）＝０．
当点犘与点犘０重合时，显然有
犃（狓－狓０）＋犅（狔－狔０）＝０．
反之，对于方程犃（狓－狓０）＋犅（狔－狔０）＝０的任意一组解（狓，
狔），它满足
（犃，犅）·（狓－狓０，狔－狔０）＝０，
选择性必修第一册
数学
４２
　
从而（狓，狔）对应的点犘满足犿·犘０→
犘＝０，即点犘在直线犾上．
因此，所求直线犾的方程为犃（狓－狓０）＋犅（狔－狔０）＝０．
问题２　已知直线犾１：犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０（犃１，犅１不同时为０），
犾２：犃２狓＋犅２狔＋犆２＝０（犃２，犅２不同时为０），利用向量的方法探究两
直线平行的条件．
　　直线犾１，犾２不重
合．
解　直线犾１的一个方向向量为犪＝（－犅１，犃１），直线犾２的一个方
向向量为犫＝（－犅２，犃２）．
若犾１∥犾２，则犪∥犫，所以（－犅１）犃２－（－犅２）犃１＝０，
即
犃１犅２－犃２犅１＝０．
反之，若犃１犅２－犃２犅１＝０，则（－犅１）犃２－（－犅２）犃１＝０，
故犪∥犫，从而犾１∥犾２．
综上，
犾１∥犾２犃１犅２－犃２犅１＝０．
探究　请你用向量的方法推导：
（１）直线犾１：犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０与直线犾２：犃２狓＋犅２狔＋犆２＝
０垂直的条件；
（２）点犘０（狓０，狔０）到直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０）
的距离公式．
阅　读
解析几何的产生
对于曲线性质的研究，一直是古希腊几何学的一大内容．古希腊
数学家通过对众多曲线的研究，开始对曲线的本质有了统一的认识，
他们把曲线看成由符合一定条件的所有点组成的集合，从而把曲线
称为动点的轨迹．
认识是统一了，但是在具体的研究中，又各不相同，对于各种不
同的曲线，缺少一种一般的表示方法和统一的研究手段．
１７世纪前半叶，一个崭新的数学分支———解析几何学的创立，标
志着近代数学的开端，并为数学的应用开辟了广阔的领域．在创建解
析几何学的过程中，法国数学家笛卡儿（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６—１６５０）
和费马（Ｐ．ｄｅＦｅｒｍａｔ，１６０１—１６６５）做出了最重要的贡献，成为解析
几何学的创立者．
笛卡儿
笛卡儿１５９６年３月３１日出生于法国，１６５０年２月１１日卒于瑞
典．１６３７年，笛卡儿发表了《几何学》，它确立了笛卡儿在数学史上的
地位．在《几何学》卷一中，笛卡儿用平面上一点到两条固定直线的距
离来确定点的位置，用坐标来描述平面上的点．
笛卡儿的解析几何有两个基本的思想：
（１）用有序数对表示点的坐标；
直线与方程
第１章
４３
　
（２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条
曲线．对于坐标，笛卡儿与前人所不同的是，他不仅用坐标表示点的位
置，而且通过“点动成线”的思想，把坐标具体用到了建立曲线的方程
上；对于方程，笛卡儿则不仅把它看成未知数与已知数之间的关系
式，而且更多地把它看作两个变量之间的关系式．
费马
这样，他就建立了点和有序实数对之间以及曲线和方程之间的
对应关系，从而把研究曲线的几何问题转化为研究方程的代数问题，
通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质．
费马１６０１年８月出生于法国，他是一位业余数学家，被后人誉为
“业余数学之王”．费马在他的《平面和立体轨迹引论》一书中，指出了
对轨迹要给予一般的表示，就只能借助于代数．
费马所建立的一般方法，就是坐标法，即通过引进坐标把曲线用
代数方程表示出来．费马所用的坐标实际上是斜角坐标，但是没有标
明狔轴，而且他不用负数．尽管他的坐标法并不那么简便，但其本质
与现代解析几何是一致的．
由此，历史上公认笛卡儿和费马为解析几何的奠基人．但是笛卡
儿和费马的解析几何和现在通用的有很大的不同．他们的书中都没
有出现过现在称为“笛卡儿坐标”的直角坐标系．笛卡儿是根据问题
特点选用他的轴系，仍然属于斜角坐标．他们的书中都没有使用“坐
标”等术语．“坐标”（ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ）一词是由德国数学家莱布尼茨
（Ｇ．Ｗ．Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４６—１７１６）于１６９２年首先使用的．
我们知道，曲线可以看作按照某种规律运动的点的集合或轨迹．
在平面直角坐标系中，设动点犘的坐标是（狓，狔），点犘在运动，它的
坐标狓和狔也随之相应地变化．由于点犘是按照某种规律在运动，因
此狓和狔这两个变量相互依赖和制约，也就是说，它们之间应满足一
定的关系．这种关系用代数方法表示出来，就可以得到一个含有狓，狔
两个变量的方程犉（狓，狔）＝０．这样，就建立了曲线和方程之间的对
应关系．
写　作
　　解析几何的形成与发展
收集解析几何的形成与发展的历史资料，撰写论文，论述解析几
何发展的过程，重要的结果，解析几何发展中的重要人物、事件及其
对人类文明的贡献．
选择性必修第一册
数学
４４
　
本章回顾
本章概览
　　本章主要研究了平面直角坐标系中直线的有关知识．学习本章
时，应充分体会用坐标法研究问题的一般思路和基本方法，也就是用
坐标、斜率、二元一次方程描述点和直线，建立点与坐标、直线与方程
之间的对应关系，进而用代数方法研究与直线有关的问题．
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种被广泛用
于其他领域的重要数学方法．通过坐标系，把点和坐标、曲线与方程
联系起来，沟通了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的重要数
学思想．
复习题
感受·理解
１．设犪为实数，已知直线犪狓＋３狔－５＝０经过点犃（２，１），求犪的值．
２．设犪为实数，已知过两点犃（－犪，３），犅（５，－犪）的直线的斜率为１，求犪的
值及犃，犅两点间的距离．
３．如果犃犆＜０，犅犆＞０，那么直线犃狓＋犅狔＋犆＝０不通过（　　）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ．第一象限　　
Ｂ．第二象限　　
Ｃ．第三象限　　
Ｄ．第四象限
直线与方程
第１章
４５
　
４．设犿，狀为实数，若直线犿狓＋狀狔－１＝０经过第一、三、四象限，求犿，狀满
足的条件．
５．已知直线犾过点犘（－５，－４），且与两坐标轴围成的三角形的面积为５，求
直线犾的方程．
６．已知直线过点犘（５，６），它在狓轴上的截距是在狔轴上的截距的２倍，求此
直线的方程．
７．设犪为实数，若直线狓＋犪狔＝２犪＋２与直线犪狓＋狔＝犪＋１平行，求犪的值．
８．已知直线犾１：狓＋３狔－７＝０，犾２：狓－狔＋１＝０，求经过犾１与犾２的交点且
垂直于犾１的直线的方程．
９．已知点犃（１，３）关于直线犾的对称点为犅（－５，１），求直线犾的方程．
１０．已知光线通过点犃（２，３），经直线狓＋狔＋１＝０反射，其反射光线通过点
犅（１，１），分别求入射光线和反射光线所在直线的方程．
１１．已知点犃与点犘（１，－１）的距离为５，且到狔轴的距离等于４，求犃点的坐标．
１２．设犪为实数，若两条平行直线２狓＋３狔－６＝０和２狓＋３狔＋犪＝０之间的距
离等于２，求犪的值．
１３．已知直线犾过点犘（１，２），点犕（２，３）和犖（４，－５）到犾的距离相等，求直线
犾的方程．
思考·运用
１４．设犽为实数，已知点犃（－４，１），犅（３，－１），且直线狔＝犽狓＋２与线段犃犅
恒有公共点，求犽的取值范围．
１５．证明：无论犽取任何实数，直线（１＋４犽）狓－（２－３犽）狔＋（２－１４犽）＝０必
经过一个定点，并求出定点的坐标．
１６．求函数犳（狓）＝（狓－１）２＋
槡
９－（狓－５）２＋
槡
４的最大值．
１７．如图，在矩形犃犅犆犇中，已知犃犅＝３犃犇，犈，犉为犃犅的两个三等分点，犃犆
与犇犉交于点犌．建立适当的直角坐标系，求证：犈犌⊥犇犉．
　（第１７题）
１８．已知△犃犅犆的一条内角平分线犆犇的方程为２狓＋狔－１＝０，两个顶点为
犃（１，２），犅（－１，－１），求顶点犆的坐标．
１９．在直角坐标系狓犗狔中，已知射线犗犃：狓－狔＝０（狓≥０），犗犅：槡３狓＋３狔＝
０（狓≥０），过点犘（１，０）作直线分别交射线犗犃，犗犅于点犃，犅．
（１）当线段犃犅的中点为犘时，求直线犃犅的方程；
（２）当线段犃犅的中点在直线狔＝１２狓上时，求直线犃犅的方程．
探究·拓展
２０．如图，由原点犗向直线犾作垂线犗犖，垂足为犖．设犗犖＝狆，犗犖与狓轴正
方向所成的角为θ（０≤θ＜２π）．
（１）求证：直线犾的方程为
选择性必修第一册
数学
４６
　
狓ｃｏｓθ＋狔ｓｉｎθ－狆＝０；
（２）利用上面的方程推导点犘（狓０，狔０）到直线犃狓＋犅狔＋犆＝０的距离
公式．
（第２０题）
２１．把函数狔＝犳（狓）在狓＝犪和狓＝犫之间的一段图象近似地看作线段，且设
犪＜犮＜犫，试用犳（犪），犳（犫）估计犳（犮）．
直线与方程
第１章
４７
　
本章测试
一、填空题
１．若直线犾经过点犃（１，２），犅（３，６），则犾的斜率为　　　　．
２．过点（３，５）且斜率为－２的直线的方程为　　　　　　　　．
３．设犿为实数，若直线犾：狓－２狔＋犿－１＝０在狔轴上的截距为１２，则犿的值
为　　　　．
４．过点（０，１）且与直线２狓－狔＋３＝０平行的直线的方程为
　．
５．两条平行直线４狓＋３狔＋３＝０与８狓＋６狔－９＝０间的距离为　　　　．
６．设犽为实数，若直线犾：狔－１＝犽（狓－槡３）不经过第四象限，则犽的取值范围
为　　　　．
二、选择题
７．若直线狔＝２狓＋１的斜率为犽，在狔轴上的截距为犫，则（　　）．
Ａ．犽＝－１２，犫＝１
Ｂ．犽＝２，犫＝１
Ｃ．犽＝－１２，犫＝１２
Ｄ．犽＝－２，犫＝１２
８．过两点（－２，４）和（４，－１）的直线在狔轴上的截距为（　　）．
Ａ．１４５
Ｂ．－１４５
Ｃ．７３
Ｄ．－７３
９．若△犃犅犆的三个顶点为犃（１，０），犅（２，１），犆（０，２），则犅犆边上的高所在
直线的方程为（　　）．
Ａ．３狓＋２狔－３＝０
Ｂ．２狓－狔－２＝０
Ｃ．２狓－狔＋１＝０
Ｄ．２狓＋狔－２＝０
１０．若直线犾与直线狔＝１交于点犘，与直线狓－狔－７＝０交于点犙，且线段犘犙
的中点是（１，－１），则犾的斜率为（　　）．
Ａ．２３
Ｂ．３２
Ｃ．－３２
Ｄ．－２３
三、解答题
１１．求过点（－２，３）且与直线２狓＋狔＋１＝０垂直的直线犾的方程．
１２．设犿为实数，已知三条直线狓＋狔－３＝０，３狓－狔－１＝０和２狓＋３狔＋犿＝０
相交于一点，求犿的值．
１３．已知点犃（２，４），直线犾：狓－２狔＋１＝０，且点犕在直线犾上，犃犕⊥犾，求点
犕的坐标．
１４．已知直线犾与直线３狓＋４狔＝０平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为６，
求直线犾的方程．
１５．过点（２，３）的直线犾被两平行直线犾１：２狓－５狔＋９＝０与犾２：２狓－５狔－７＝０
所截得的线段犃犅的中点恰好在直线狓－４狔－１＝０上，求直线犾的方程．
第２章　圆与方程
５０
　
　　我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题
的法则．
笛卡儿
在“直线与方程”一章中，我们借助平面直角坐标系，建立了直线
的方程，并通过方程来研究直线的性质和位置关系，初步体会了解析
几何研究问题的一般思路和数形结合的思想方法．
圆是常见的几何图形，圆也可以看成满足某种条件的点的集合．
在平面直角坐标系中，当点用坐标（狓，狔）表示后，圆便可以用一个方
程犉（狓，狔）＝０表示，进而通过对方程的研究来研究圆．
●如何建立圆的方程？
●如何利用圆的方程研究圆的性质？
圆与方程
第２章
５１
　
２．１
圆的方程
圆是最完美的曲线，它是平面内到定点的距离等于定长的点的
集合．定点就是圆心，定长就是半径．
●如何建立圆的方程？
以定点犗为圆心，定长狉为半径，画出一个圆（图２１１（１）），我
们来建立它的方程．
图２１１
第一步　以定点犗为原点建立直角坐标系（图２１１（２））．
第二步　设犘（狓，狔）是圆上的任意一点．
第三步　依题意，犗犘＝狉，得
（狓－０）２＋（狔－０）
槡
２＝狉．
　　以原点为圆心，
半径为１的圆通常称
为单位圆．
第四步　化简，得
狓２＋狔２＝狉２．
反过来，设（狓０，狔０）是方程狓２＋狔２＝狉２的一组解，即
狓０２＋狔０２＝狉２，从而
狓２０＋狔２
槡
０＝狉，
所以点犘０（狓０，狔０）满足犗犘０＝狉，即点犘０在圆犗上．
因此，所求圆的方程是
狓２＋狔２＝狉２．
一般地，设点犘（狓，狔）是以犆（犪，犫）为圆心，狉为半径的圆上的任
意一点（图２１２），则犆犘＝狉．由两点间的距离公式得
（狓－犪）２＋（狔－犫）
槡
２＝狉，
即
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２．
①
反过来，若点犘１的坐标（狓１，狔１）是方程①的解，则
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５２
　
图２１２
（狓１－犪）２＋（狔１－犫）２＝狉２，
即
（狓１－犪）２＋（狔１－犫）
槡
２＝狉．
这说明点犘１（狓１，狔１）在以犆（犪，犫）为圆心，狉为半径的圆上．
　　确定圆的标准方
程，只要确定方程中
的三个常数犪，犫，狉．
　　方程
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２（狉＞０）
叫作以点（犪，犫）为圆心，狉为半径的圆的标准方程（ｓｔａｎｄａｒｄ
ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｉｒｃｌｅ）．
例１　求圆心是犆（２，－３），且经过坐标原点的圆的方程．
解　因为圆犆经过坐标原点，所以圆犆的半径是
狉＝２２＋（－３）
槡
２＝槡１３．
因此，所求圆的方程是
（狓－２）２＋（狔＋３）２＝１３．
例２　已知隧道的截面是半径为４ｍ的半圆，车辆只能在道路中
心线一侧行驶，一辆宽为２．７ｍ，高为３ｍ的货车能不能驶入这个隧道？
解　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径犃犅所在的
直线为狓轴，建立直角坐标系（图２１３），那么半圆的方程为
图２１３
狓２＋狔２＝１６（狔≥０）．
将狓＝２．７代入，得
圆与方程
第２章
５３
　
狔＝１６－２．７
槡
２＝槡８．７１＜３，
即在离中心线２．７ｍ处，隧道的高度低于货车的高度．
因此，货车不能驶入这个隧道．
思　考
假设货车的最大宽度为犪ｍ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
由圆的标准方程（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２
得
狓２＋狔２－２犪狓－２犫狔＋犪２＋犫２－狉２＝０．
由此可见，圆的方程具有如下形式：
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０，
②
其中犇，犈，犉为常数．
那么，形如②的方程是否都表示圆呢？
由方程
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０
得
狓＋犇
（
）
２
２＋狔＋犈
（
）
２
２＝１４（犇２＋犈２－４犉）．
③
与圆的标准方程比较，可知：
（１）当
犇２＋犈２－４犉＞０
时，方程②表示以点－犇２，－犈
（
）
２为圆心，１２犇２＋犈２－４
槡
犉为半径
的圆；（２）当
犇２＋犈２－４犉＝０
时，方程②只有一解，表示一个点－犇２，－犈
（
）
２；
（３）当
犇２＋犈２－４犉＜０
时，方程②无实数解，不表示任何图形．
　　确定圆的一般方
程，只要确定方程中
的三个常数犇，
犈，犉．
　　方程
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０（犇２＋犈２－４犉＞０）
叫作圆的一般方程（ｇｅｎｅｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｉｒｃｌｅ）．
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数学
５４
　
例３　已知△犃犅犆的三个顶点为犃（４，３），犅（５，２），犆（１，０），
求△犃犅犆外接圆的方程．
解　设所求圆的方程为
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０．
因为点犃，犅，犆在所求的圆上，所以
４犇＋３犈＋犉＋２５＝０，
５犇＋２犈＋犉＋２９＝０，
犇＋犉＋１＝０
烅烄
烆
，
解得
犇＝－６，
犈＝－２，
犉＝５
烅烄
烆
．
故所求圆的方程是
狓２＋狔２－６狓－２狔＋５＝０．
思　考
　　本题还有其他解法吗？
例４　已知点犕（狓，狔）到两个定点犃（－３，０），犅（３，０）的距离
之比为２，求狓，狔满足的关系式，并指出满足条件的点犕所构成的
曲线．解　依题意，点犕满足
犕犃
犕犅＝２．
由犕犃＝（狓＋３）２＋狔
槡
２，犕犅＝（狓－３）２＋狔
槡
２，得
（狓＋３）２＋狔
槡
２
（狓－３）２＋狔
槡
２＝２．
化简整理，得
狓２＋狔２－１０狓＋９＝０．
（）
反过来，可以验证，当狓，狔满足（）式时，点犕到点犃，犅的距
离之比为２．
因此狓，狔满足的关系式为
狓２＋狔２－１０狓＋９＝０．
由狓２＋狔２－１０狓＋９＝０，得
（狓－５）２＋狔２＝１６．
因此，满足条件的点犕所构成的曲线为以点（５，０）为圆心，４为
半径的圆．
圆与方程
第２章
５５
　
满足条件的点犕所构成的曲线即为动点犕的轨迹，对应的方程
即为动点犕的轨迹方程．
思　考
　　已知平面上两个定点犃，犅，动点犕满足犕犃
犕犅＝λ（λ＞０），则点
犕的轨迹是什么？建立适当的直角坐标系，写出点犕的轨迹方程．
例５　某圆拱梁的示意图如图２１４所示．该圆拱的跨度犃犅
是３６ｍ，拱高犗犘是６ｍ，在建造时，每隔３ｍ需要一个支柱支撑，求
支柱犃２犘２的长（精确到０．０１ｍ）．
图２１４
　　解　以线段犃犅所在的直线为狓轴，线段犃犅的中点犗为坐标原
点，建立直角坐标系狓犗狔，那么点犃，犅，犘的坐标分别为（－１８，０），
（１８，０），（０，６）．
设圆拱所在的圆的方程是
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０．
因为点犃，犅，犘在所求的圆上，所以
１８２＋１８犇＋犉＝０，
１８２－１８犇＋犉＝０，
６２＋６犈＋犉＝０
烅
烄
烆
，
解得
犇＝０，
犈＝４８，
犉＝－３２４
烅烄
烆
．
故圆拱所在的圆的方程是
狓２＋狔２＋４８狔－３２４＝０．
将点犘２的横坐标狓＝６代入上述方程，解得
狔＝－２４＋１２槡６≈５．３９（负值舍去）．
答　支柱犃２犘２的长约为５．３９ｍ．
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５６
　
练　习
１．分别根据下列条件，求出圆的方程：
（１）圆心在原点，半径为６；
（２）圆心为点（３，－４），半径为槡５；
（３）过点犘（６，３），圆心为犆（２，－２）；
（４）过原点，圆心为点（１，２）．
２．分别根据下列条件，求出圆的方程：
（１）圆心为犆（－１，－５），且与狔轴相切；
（２）圆心为犆（１，３），且与直线３狓－４狔－６＝０相切；
（３）半径为２，且与狓轴相切于原点；
（４）过点犕（０，１），犖（２，１），半径为槡５．
３．（１）已知点犃（－４，－５），犅（６，－１），求以线段犃犅为直径的圆的方程；
（２）求圆心在直线狔＝－狓上，且过两点犃（２，０），犅（０，－４）的圆的方程．
４．下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心的坐标和半径．
（１）狓２＋狔２－４狓＝０；
（２）狓２＋狔２－４狓－２狔＋５＝０；
（３）狓２＋狔２＋狓＋２狔＋２＝０．
５．分别判断点犃（１，１），犅（１，槡３），犆（１，２）与圆狓２＋狔２＝４的位置关系．
６．求过三点犃（４，１），犅（－６，３），犆（３，０）的圆的方程．
７．如果方程狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０（犇２＋犈２－４犉＞０）表示的曲线关于
直线狔＝狓对称，那么必有（　　）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ．犇＝犈　　
Ｂ．犇＝犉
Ｃ．犈＝犉　　
Ｄ．犇＝犈＝犉
８．设犿为实数，若方程狓２＋狔２＋４犿狓－２狔＋４犿２－犿＝０表示圆，求犿的取
值范围．
习题２．１
感受·理解
１．分别根据下列条件，求圆的方程：
（１）过点犘（－２，２），圆心为犆（３，０）；
（２）与两坐标轴都相切，且圆心在直线２狓－３狔＋５＝０上；
（３）过点犃（３，５），犅（－３，７），且圆心在狓轴上；
（４）过点犃（－４，０），犅（０，２）和原点．
２．已知圆的内接正方形相对的两个顶点分别是犃（５，６），犆（３，－４），求这个
圆的方程．
３．已知半径为５的圆过点犘（－４，３），且圆心在直线２狓－狔＋１＝０上，求这
个圆的方程．
４．已知△犃犅犆的顶点为犃（－１，５），犅（５，５），犆（６，－２），求△犃犅犆的外接
圆的方程．
５．证明：犕（２，０），犖（１０，０），犘（１１，３），犙（１０，６）四点共圆．
６．设犫为实数，若圆狓２＋狔２＋４狓＋２犫狔＋犫２＝０与狓轴相切，求犫的值．
７．求过两点犃（０，４），犅（４，６），且圆心在直线狓－２狔－２＝０上的圆的标准方程．
圆与方程
第２章
５７
　
８．已知线段犃犅的长为２，动点犕到犃，犅两点的距离的平方和为１０，求点犕
的轨迹．　　
思考·运用
９．设犪为实数，若点犘（１，１）在圆（狓－犪）２＋（狔＋犪）２＝４的内部，求犪的取
值范围．
１０．画出方程狓－１＝１－狔
槡
２表示的曲线．
１１．求圆狓２＋狔２＋２狓－２狔＋１＝０关于直线狓－狔＋３＝０对称的圆的方程．
１２．已知点犕（狓，狔）到两个定点犗（０，０），犃（３，０）的距离之比为１２，问：点犕
的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点犕所构成的曲线．
１３．如图，长为２犪（犪是正常数）的线段犃犅的两个端点犃，犅分别在互相垂直的
两条直线上滑动，求线段犃犅的中点犕的轨迹．
（第１３题）
探究·拓展１４．已知点犃（４，０），若犘是圆狓２＋狔２＝４上的一个动点，点犙（狓，狔）是线段
犃犘的中点，求点犙的轨迹方程．
１５．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面９ｍ，拱圈内水面
宽２２ｍ．一条船在水面以上部分高６．５ｍ，船顶部宽４ｍ，可以通行无阻．近
日水位暴涨了２．７ｍ，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：
船身应该降低多少？
（第１５题）
选择性必修第一册
数学
５８
　
２．２
直线与圆的位置关系
　　我们知道，在平面几何中，直线与圆有三种位置关系，即相离、相
切和相交，而圆心到直线的距离犱与圆的半径狉之间的大小关系决定
了直线与圆的位置关系．
相　　离
相　　切
相　　交
犱＞狉
犱＝狉
犱＜狉
　　在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，那么，
●怎样根据方程来判断直线与圆的位置关系呢？
设直线犾和圆犆的方程分别为
犃狓＋犅狔＋犆＝０，狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０．
如果直线犾与圆犆有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方
程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的
点必是直线犾与圆犆的公共点．
直线犾与圆犆的方程联立方程组
犃狓＋犅狔＋犆＝０，
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０
烅烄
烆
．
我们有如下结论：
方程组无解
方程组仅有一组解
方程组有两组不同的解
直线与圆没有公共点直线与圆有且只有一个
公共点
直线与圆有两个公共点
相离
相切
相交
例１　求直线４狓＋３狔＝４０和圆狓２＋狔２＝１００的公共点的坐
标，并判断它们的位置关系．
圆与方程
第２章
５９
　
解　直线４狓＋３狔＝４０和圆狓２＋狔２＝１００的公共点的坐标就
是方程组
４狓＋３狔＝４０，
狓２＋狔２＝
烅烄
烆
１００
的解．解这个方程组，得
狓１＝１０，
狔１＝０
烅烄
烆
，　狓２＝１４５，
狔２＝４８５
烅
烄
烆
．
所以公共点的坐标为（１０，０），１４５，４８
（
）
５．
因为直线４狓＋３狔＝４０和圆狓２＋狔２＝１００有两个公共点，所以
直线和圆相交．
例２　自点犃（－１，４）作圆（狓－２）２＋（狔－３）２＝１的切线犾，求
切线犾的方程．
解法１　当直线犾垂直于狓轴时，直线犾：狓＝－１与圆相离，不满
足条件．
　　当直线犾不垂直于狓轴时，可设直线犾的方程为
狔－４＝犽（狓＋１），
即
犽狓－狔＋（犽＋４）＝０．
如图２２１，因为直线与圆相切，所以圆心（２，３）到直线犾的距
离等于圆的半径，从而
狘２犽－３＋（犽＋４）狘
犽２＋
槡１
＝１，
解得
犽＝０或犽＝－３４．
　　当点犃的坐标为
（２，２）或（１，１）时，结
果分别有什么变化？
因此，所求直线犾的方程是狔＝４或３狓＋４狔－１３＝０．
图２２１
　　解法２　当直线犾垂直于狓轴时，直线犾：狓＝－１与圆相离，不满
选择性必修第一册
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６０
　
足条件．
当直线犾不垂直于狓轴时，可设直线犾的方程为
狔－４＝犽（狓＋１）．
因为直线犾与圆相切，所以方程组
狔－４＝犽（狓＋１），
（狓－２）２＋（狔－３）２＝
烅烄
烆
１
仅有一组解．
由方程组消去狔，得到关于狓的一元二次方程
（１＋犽２）狓２＋（２犽２＋２犽－４）狓＋犽２＋２犽＋４＝０．
依题意，这个一元二次方程有两个相等的实数根，所以判别式
Δ＝（２犽２＋２犽－４）２－４（１＋犽２）（犽２＋２犽＋４）＝０，
解得
犽＝０或犽＝－３４．
因此，所求直线犾的方程是狔＝４或３狓＋４狔－１３＝０．
例３　求直线狓－槡３狔＋槡
２３＝０被圆狓２＋狔２＝４截得的弦长．
解法１　直线狓－槡３狔＋２槡３＝０和圆狓２＋狔２＝４的公共点的
坐标就是方程组
狓－槡３狔＋２槡３＝０，
狓２＋狔２＝
烅烄
烆
４
的解．解这个方程组，得
狓１＝－槡３，
狔１＝１
烅烄
烆
，　　狓２＝０，
狔２＝２
烅烄
烆
，
所以公共点的坐标为（－槡３，１），（０，２）．
从而知直线狓－槡３狔＋２槡３＝０被圆狓２＋狔２＝４截得的弦长为
（－槡３－０）２＋（１－２）
槡
２＝２．
图２２２
解法２　如图２２２，设直线狓－槡３狔＋２槡３＝０与圆狓２＋狔２＝４
交于犃，犅两点，弦犃犅的中点为犕，则犗犕⊥犃犅（犗为坐标原点），
所以
犗犕＝狘０－０＋２槡３狘
１２＋（－槡３）
槡
２＝槡３，
从而
圆与方程
第２章
６１
　
犃犅＝２犃犕＝２犗犃２－犗犕
槡
２＝２２２－（槡３）
槡
２＝２．
练　习
１分别根据下列条件，判断直线犾与圆犆的位置关系：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）犾：狓＋狔－１＝０，　　　　　　犆：狓２＋狔２＝４；
（２）犾：４狓－３狔－８＝０，
犆：狓２＋（狔＋１）２＝１；
（３）犾：狓＋狔－４＝０，
犆：狓２＋狔２＋２狓＝０；
（４）犾：狔＝０，
犆：（狓－１）２＋（狔－１）２＝１．
２．设犪，犫为实数，若直线犪狓＋犫狔＝１与圆狓２＋狔２＝１相交，则点犘（犪，犫）与
圆的位置关系是（　　）．
Ａ．在圆上　　　
Ｂ．在圆外　　
Ｃ．在圆内　　　
Ｄ．不能确定
３．（１）求过点（１，槡３）且与圆狓２＋狔２＝４相切的直线的方程；
（２）求过原点且与圆（狓－１）２＋（狔－２）２＝１相切的直线的方程；
（３）求与圆狓２＋狔２＝８相切，且斜率为－１的直线的方程．
４．设犪为实数，若直线２狓＋狔＋犪＝０与圆狓２＋狔２－２狓＋４狔＝０没有公共
点，求犪的取值范围．
５．求直线狓＋２狔－３＝０被圆（狓－２）２＋（狔＋１）２＝４截得的弦长．
６．从圆（狓－１）２＋（狔－１）２＝１外一点犘（２，３）向圆引切线，求此切线的长．
７．若一个圆的圆心在直线狔＝－２狓上，且此圆与直线狔＝１－狓相切于点
（２，－１），求此圆的方程．
习题２．２
感受·理解
１．分别根据下列条件，判断直线犾与圆犆的位置关系：
（１）犾：狓＋狔＋４＝０，　　　犆：狓２＋狔２＝２；
（２）犾：３狓－４狔＋４＝０，
犆：（狓－２）２＋狔２＝４；
（３）犾：２狓＋狔－１＝０，
犆：狓２＋（狔－２）２＝１．
２．过点犘（－３，－４）作直线犾，当犾的斜率为何值时：
（１）直线犾将圆（狓－１）２＋（狔＋２）２＝４平分？
（２）直线犾与圆（狓－１）２＋（狔＋２）２＝４相切？
（３）直线犾与圆（狓－１）２＋（狔＋２）２＝４相交，且所截得的弦长为２？
３．已知过点犃（－１，－１）的直线犾与圆狓２＋狔２－２狓＋６狔＋６＝０相交，求直
线犾的斜率的取值范围．
４．求半径为槡１３，且与直线２狓＋３狔－１０＝０相切于点犘（２，２）的圆的方程．
５．若一个圆的圆心在狔轴上，且此圆与直线犾１：４狓－３狔＋１２＝０，直线犾２：３狓－
４狔－１２＝０都相切，求此圆的方程．
６．若一个圆的圆心在直线３狓－狔＝０上，此圆与狓轴相切，且被直线狓－狔＝
０截得的弦长为２槡７，求此圆的方程．
选择性必修第一册
数学
６２
　
思考·运用
７．如图，圆狓２＋狔２＝８内有一点犘０（－１，２），犃犅为过点犘０且倾斜角为α
的弦．
（第７题）
（１）当α＝１３５°时，求弦犃犅的长；
（２）当弦犃犅被点犘０平分时，求直线犃犅的方程．
８．已知直线犾经过点犘０（３，－１），且被圆狓２＋狔２－８狓－２狔＋１２＝０截得的
弦长为４，求犾的方程．
９．设犽为实数，证明：无论犽取何值，直线犾：犽狓－狔－４犽＋３＝０与圆犆：
狓２＋狔２－６狓－８狔＋２１＝０都有两个交点．
１０．已知圆犆的方程是狓２＋狔２＝狉２，求证：经过圆犆上一点犕（狓０，狔０）的切线
方程是狓０狓＋狔０狔＝狉２．
１１．设犫为实数，已知圆狓２＋狔２＝４，直线犾：狔＝狓＋犫．当犫为何值时，圆狓２＋
狔２＝４上恰有３个点到直线犾的距离都等于１？
探究·拓展１２．对于圆犆：狓２＋狔２＝狉２，直线犾：犪狓＋犫狔＝狉２，分别根据下列条件，判断直
线犾与圆犆的位置关系：
（１）点犘（犪，犫）在圆犆上；
（２）点犘（犪，犫）在圆犆外．
圆与方程
第２章
６３
　
２．３
圆与圆的位置关系
　　我们知道，在平面几何中，圆与圆的位置关系有：外离、外切、相
交、内切和内含．这五种位置关系可以通过下面的步骤来判断：
第一步　计算两圆的半径狉１，狉２；
第二步　计算两圆的圆心距犱；
第三步　根据犱与狉１，狉２之间的关系，判断两圆的位置关系．
外　离
内　含
外　切
内　切
相　


交


犱＞狉１＋狉２犱＜｜狉１－狉２｜犱＝狉１＋狉２犱＝｜狉１－狉２｜｜狉１－狉２｜＜犱＜狉１＋狉


２
　　在平面直角坐标系中，圆可以用方程来表示，那么，
●怎样根据方程来判断圆与圆的位置关系呢？
设圆犆１和圆犆２的方程分别为
狓２＋狔２＋犇１狓＋犈１狔＋犉１＝０，
狓２＋狔２＋犇２狓＋犈２狔＋犉２＝０．
如果圆犆１和圆犆２有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方
程的公共解；反之，这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点
必是圆犆１和圆犆２的公共点．
圆犆１和圆犆２的方程联立方程组
狓２＋狔２＋犇１狓＋犈１狔＋犉１＝０，
狓２＋狔２＋犇２狓＋犈２狔＋犉２＝０
烅烄
烆
．
我们有如下结论：
方程组无解
方程组仅有一组解
方程组有两组不同的解
两个圆没有公共点
两个圆有且只有一个公共点两个圆有两个公共点
外离
内含
外切
内切


相交
　　例１　判断下列两个圆的位置关系：
（１）（狓＋２）２＋（狔－２）２＝１与（狓－２）２＋（狔－５）２＝１６；
（２）狓２＋狔２－２狓－３＝０与狓２＋狔２－４狓＋２狔＋３＝０．
解　（１）根据题意得，两个圆的半径分别为狉１＝１和狉２＝４，两个
圆的圆心距
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６４
　
犱＝［２－（－２）］２＋（５－２）
槡
２＝５．
因为
犱＝狉１＋狉２，
所以两个圆外切．
（２）方法１　将两个圆的方程联立方程组
狓２＋狔２－２狓－３＝０，
狓２＋狔２－４狓＋２狔＋３＝０
烅烄
烆
．
①②
　　二元一次方程③
表示的直线与两个圆
之间有怎样的关系？
能说明理由吗？
　　①－②，得
狓－狔－３＝０．
③
由③，得
狔＝狓－３．
代入①式，并整理，得狓２－４狓＋３＝０，
解得
狓１＝１，狓２＝３．
从而狔１＝－２，狔２＝０，即方程组有两组不同的解，所以两个圆
相交．方法２　将两个圆的方程都化为标准方程，得
（狓－１）２＋狔２＝４，（狓－２）２＋（狔＋１）２＝２．
那么两个圆的半径分别为狉１＝２和狉２＝槡２，两个圆的圆心距
犱＝（１－２）２＋［０－（－１）］
槡
２＝槡２．
因为
狘狉１－狉２狘＜犱＜狉１＋狉２，
所以两个圆相交．
例２　求过点犃（０，６）且与圆犆：狓２＋狔２＋１０狓＋１０狔＝０相切
于原点的圆的方程．
分析　如图２３１，所求圆经过原点和犃（０，６），且圆心应在已
知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．
图２３１
　　解　将圆犆的方程化为标准方程，得
（狓＋５）２＋（狔＋５）２＝５０，
圆与方程
第２章
６５
　
则圆心为犆（－５，－５），半径为槡
５２．
所以经过此圆心和原点的直线的方程为狓－狔＝０．
设所求圆的方程为
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２．
由题意知，犗（０，０），犃（０，６）在所求圆上，且圆心犕（犪，犫）在直线
狓－狔＝０上，则有
（０－犪）２＋（０－犫）２＝狉２，
（０－犪）２＋（６－犫）２＝狉２，
犪－犫＝０
烅烄
烆
．
解得
犪＝３，
犫＝３，
狉＝槡
３２
烅
烄
烆
．
　　本题还有其他解
法吗？
　　因此，所求圆的方程是
（狓－３）２＋（狔－３）２＝１８．
练　习
１．分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系：
（１）（狓－３）２＋（狔＋２）２＝１与（狓－７）２＋（狔－１）２＝３６；
（２）狓２＋狔２－４狓＋２狔＝０与狓２＋狔２－２狓－２狔＝０．
２．设犿为实数，若圆狓２＋狔２＝犿与圆狓２＋狔２＋６狓－８狔－１１＝０相交，求犿
的取值范围．
３．两圆犆１：狓２＋狔２＝１与犆２：（狓＋３）２＋狔２＝４的公切线有几条？
４．求过点犃（１，－１）且与圆犆：狓２＋狔２＝１００相切于点犅（８，６）的圆的方程．
５．已知圆犆１：狓２＋狔２＝１，圆犆２：狓２＋狔２－２狓－２狔＋１＝０，试求这两个圆
的公共弦所在直线的方程．
习题２．３
感受·理解
１．分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系：
（１）狓２＋狔２－１０狓－１０狔＝０和狓２＋狔２＋６狓＋２狔－４０＝０；
（２）狓２＋狔２－６狓＋４狔＋１２＝０和狓２＋狔２－１４狓－２狔＋１４＝０．
２．设犪为正实数，若圆（狓－犪）２＋狔２＝１与圆狓２＋狔２＝２５没有公共点，求
犪的取值范围．
３已知以犆（－４，３）为圆心的圆与圆狓２＋狔２＝１相切，求圆犆的方程．
４．若一个圆的圆心在直线狓－狔－４＝０上，且此圆经过圆狓２＋狔２＋６狓－４＝
０与圆狓２＋狔２＋６狔－２８＝０的交点，求此圆的方程．
５．若一个圆经过点犕（３，－１），且与圆狓２＋狔２＋２狓－６狔＋５＝０相切于点
犖（１，２），求此圆的方程．
选择性必修第一册
数学
６６
　
思考·运用
６．求圆狓２＋狔２＝９与圆狓２＋狔２－４狓＋２狔－３＝０的公共弦的长．
７．若一个圆经过点犕（２，－２）及圆狓２＋狔２－６狓＝０与圆狓２＋狔２＝４的交点，
求此圆的方程．
探究·拓展
８．设犪，犫为实数，已知圆犘：狓２＋狔２＝９，点犙（犪，犫）在圆犘外，以线段犘犙为
直径作圆犕，与圆犘相交于犃，犅两点．
（１）试分别确定直线犙犃，犙犅与圆犘的位置关系．
（２）当犙犃＝犙犅＝４时，点犙在什么曲线上运动？
（３）当犪＝－２，犫＝－３时，求直线犃犅的方程．
圆与方程
第２章
６７
　
问题与探究
圆的切线与切点弦
若犘０（狓０，狔０）是圆犗：狓２＋狔２＝狉２上一点，则圆犗的过点犘０的
切线方程是狓０狓＋狔０狔＝狉２．
事实上，因为点犘０（狓０，狔０）在圆犗：狓２＋狔２＝狉２上，所以狓２０＋
狔２０＝狉２，即狓０·狓０＋狔０·狔０＝狉２，从而点犘０在直线狓０狓＋狔０狔＝狉２上．
又因为圆心犗到直线狓０狓＋狔０狔＝狉２的距离
犱＝
狉２
狓２０＋狔
槡
２０＝狉，
　　尝试用其他方法
证明狓０狓＋狔０狔＝狉２是
圆犗的过点犘０的切
线方程．
所以狓０狓＋狔０狔＝狉２是圆犗的过点犘０的切线方程．
当点犘０（狓０，狔０）在圆犗外时，方程狓０狓＋狔０狔＝狉２表示怎样的直
线呢？如图，过犘０（狓０，狔０）作圆犗的两条切线，切点分别为犃，犅．
设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），则直线犘０犃的方程为
狓１狓＋狔１狔＝狉２．
因为犘０（狓０，狔０）在直线犘０犃上，所以
狓１狓０＋狔１狔０＝狉２，
故（狓１，狔１）满足方程
狓０狓＋狔０狔＝狉２，
即点犃在直线狓０狓＋狔０狔＝狉２上．
同理点犅在直线狓０狓＋狔０狔＝狉２上．
所以狓０狓＋狔０狔＝狉２是直线犃犅的方程，即切点弦所在直线的
方程．探究：当点犘０（狓０，狔０）在圆犗内（异于犗）时，方程狓０狓＋狔０狔＝
狉２表示怎样的直线呢？
选择性必修第一册
数学
６８
　
阅　读
数学问题（节选）
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问
题缺乏则预示着这门科学独立发展的衰亡或中止．正如人类的每项
事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题．正是通
过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，
达到更为广阔和自由的境界．
一个数学问题应该是困难的，但却不应该是完全不可解决而致
使我们白费力气的．在通向那隐藏的真理的曲折道路上，它应该是指
引我们前进的一盏明灯，并最终以成功的喜悦作为对我们的报偿．
在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于
我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串
有关问题中的一个环节．采取这样的观点之后，不仅使我们所研究的
问题更容易得到解决，同时还会获得一种能应用于有关问题的普遍
方法．这种寻求一般方法的途径肯定是最行得通也是最可靠的，因为
手中没有明确的问题而去寻求一般方法的人，他们的工作多半是徒
劳无益的．
在讨论数学问题时，我们相信特殊化比一般化起着更为重要的
作用．可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未能成功的原
因在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没
有完全解决或是完全没有解决．这时，一切都有赖于找出这些比较容
易的问题，并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们．
这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一，我认为人们是经常
使用它的，虽然也许并不自觉．
　　希尔伯特（Ｄ．
Ｈｉｌｂｅｒｔ，１８６２—１９４３），
德国数学家，在几何
和数学基础方面有影
响深远的研究．
有时会碰到这样的情况：我们是在不充分的前提下或不正确的
意义上寻求问题的解答，因此不能获得成功．于是就会产生这样的任
务：证明在所给的前提和所考虑的意义下原来的问题是不可能解
决的．
说明：本文是德国数学家希尔伯特在１９００年巴黎国际数学家代表会上的
讲演的节选．在这次大会上，希尔伯特提出了２３个数学问题，对２０世纪的数学
发展产生了较大的影响．
圆与方程
第２章
６９
　
本章回顾
本章概览
　　本章再一次借助平面直角坐标系，运用坐标法，研究了圆的有关
知识．学习本章时，应该进一步体会用坐标法研究问题的一般思路和
基本方法，也就是在明确了圆的定义，即圆上的点到圆心的距离为定
值后，通过建立直角坐标系，将圆转化为方程，进而通过圆的方程等
代数方法来研究点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系．
本章以圆为载体，再一次展示了坐标法这一研究几何曲线的重
要数学方法，即通过坐标系，把圆与方程联系起来，沟通了圆与方程
之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想．
圆的标准方程和一般方程都含有三个参变量（标准方程中为犪，
犫，狉；一般方程中为犇，犈，犉），也就是说，从解方程的角度看，要确定
一个圆的方程，需要三个独立的条件，这与不共线的三点确定一个圆
是一致的．
复习题
感受·理解
１．已知圆经过点犘（１，１）和坐标原点，且圆心在直线２狓＋３狔＋１＝０上，求圆
的方程．
２．已知圆经过三点犃（１，１２），犅（７，１０），犆（－９，２），求圆的方程．
选择性必修第一册
数学
７０
　
３．已知直线３狓－４狔＋１２＝０与两坐标轴分别交于点犃，犅，求以线段犃犅为
直径的圆的方程．
４．求圆狓２＋狔２－４狓＋４狔＋４＝０被直线狓－狔－５＝０所截得的弦长．
５．已知一直线与圆犆：狓２＋（狔＋５）２＝３相切，且在狓轴、狔轴上的截距相等，
求此直线的方程．
６．已知圆犆的半径为１，圆心在第一象限，若圆犆与狔轴相切，与狓轴相交于
点犃，犅，且犃犅＝槡３，求圆犆的方程．
７．判断两个圆狓２＋狔２＋狓－２狔－２０＝０与狓２＋狔２＝２５的位置关系．
８．若一个圆过点犘（４，－１），且与圆犆：狓２＋狔２＋２狓－６狔＋５＝０相切于点
犕（１，２），求此圆的方程．
９．河北省赵县的赵州桥，是世界上现存最古老的石拱桥之一．赵州桥的跨度约
为３７．４ｍ，圆拱高约为７．２ｍ．试建立适当的直角坐标系，求出这个圆拱所
在的圆的方程．
１０．已知圆犗：狓２＋狔２＝１和定点犃（４，０），犘为圆犗外一点，直线犘犙与圆犗
相切于点犙．若犘犙＝２犘犃，求点犘的轨迹方程．
思考·运用１１．已知犕（１，０）是圆犆：狓２＋狔２－４狓－２狔＝０内一点，求过点犕的最短弦所
在直线的方程．
１２．设犽为实数，若直线狔＝犽狓＋３与圆（狓－２）２＋（狔－３）２＝４相交于犕，犖
两点，且犕犖≥槡
２３，求犽的取值范围．
１３．光线沿直线３狓＋４狔＋６＝０射入，经过狓轴反射后，反射光线与以点（２，８）
为圆心的圆犆相切，求圆犆的方程．
１４．已知两圆狓２＋狔２＝１０和（狓－１）２＋（狔－３）２＝２０相交于犃，犅两点，求
直线犃犅的方程．
１５．设狉为正实数，若集合犕＝｛（狓，狔）狘狓２＋狔２≤４｝，犖＝｛（狓，狔）狘（狓－
１）２＋（狔－１）２≤狉２｝．当犕∩犖＝犖时，求狉的取值范围．
１６．设犫为实数，若直线狔＝狓＋犫与曲线狓＝１－狔
槡
２恰有一个公共点，求犫的
取值范围．
探究·拓展１７．已知圆犆：狓２＋狔２－２狓＋４狔－４＝０，是否存在斜率为１的直线犾，使以犾被
圆犆截得的弦犃犅为直径的圆过原点？若存在，求出直线犾的方程；若不存
在，说明理由．
１８．已知直线犾：狓＝－２和圆犆：（狓－３）２＋狔２＝１．若圆犕与直线犾相切，与圆
犆外切，求圆犕的圆心犕的轨迹方程．
圆与方程
第２章
７１
　
本章测试
一、填空题
１圆心为点（－１，１），半径为３的圆的方程为
．
２圆狓２＋狔２－２狓＋４狔＝０的面积为　　　　．
３经过两点（３，５）和（－３，７），且圆心在狓轴上的圆的方程为
．
４圆狓２＋狔２－２狓＋２狔＋１＝０关于狓轴对称的圆的方程为
．
５设犿为实数，若方程狓２＋狔２－２狓＋４狔＋犿＝０表示圆，则犿的取值范围为
　　　　．
６圆狓２＋狔２－２狓－２狔＋１＝０上的点到直线狓－狔＝２的距离的最大值为
　　　　．
二、选择题
７已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是（５，６），
（３，－４），则这个圆的方程为（　　）．
Ａ．狓２＋狔２＋４狓－２狔＋７＝０
Ｂ．狓２＋狔２－８狓－２狔－９＝０
Ｃ．狓２＋狔２＋８狓＋２狔－６＝０
Ｄ．狓２＋狔２－４狓＋２狔－５＝０
８过圆狓２＋狔２＝５上一点犕（１，－２）作圆的切线犾，则犾的方程为（　　）．
Ａ．狓＋２狔－３＝０
Ｂ．狓－２狔－５＝０
Ｃ．２狓－狔－５＝０
Ｄ．２狓＋狔－５＝０
９圆犗１：狓２＋狔２－２狓＝０与圆犗２：狓２＋狔２＋４狔＝０的位置关系为（　　）．
Ａ．外离
Ｂ．外切
Ｃ．相交
Ｄ．内切
１０若圆（狓＋槡
２３）２＋（狔－槡
２７）２＝狉２与狓轴相切，则这个圆截狔轴所得的弦
长为（　　）．
槡
槡
Ａ．２７
Ｂ．４３
Ｃ．６
Ｄ．８
三、解答题
１１若圆犆过两点犃（０，４），犅（４，６），且圆心在直线狓－２狔－２＝０上，求圆犆
的标准方程．
１２设犿为实数，直线狔＝犿（狓－１）和圆犆：狓２＋狔２－狔＝０相交于犘，犙两
点，若犘犙＝槡２２，求犿的值．
１３若圆犆的圆心在直线３狓＋２狔＝０上，且圆犆与狓轴的交点分别为（－２，
０），（６，０），求圆犆的方程．
１４．已知直线犾１：２狓－狔－３＝０，犾２：狓－２狔＋３＝０，若圆犆的圆心在狓轴上，
且与直线犾１，犾２都相切，求圆犆的方程．
１５．设犪为实数，若直线犾与圆犆：狓２＋狔２＋２狓－４狔＋犪＝０相交于犃，犅两点，
弦犃犅的中点为犕（０，１），求犪的取值范围及直线犾的方程．
第３章　圆锥曲线与方程
７４
　
　　解析几何彻底改变了数学的研究方法．Ｍ．克莱因
在必修课程的“数学建模与数学探究”中，我们知道，用一个垂直
于圆锥的轴的平面截圆锥，截面与圆锥面的交线是一个圆．改变平面
与圆锥轴的夹角，会得到不同的截面，截面与圆锥面的交线可以是椭
圆、双曲线、抛物线，因此，我们通常把椭圆、双曲线和抛物线称为圆
锥曲线．
对于某一圆锥曲线，例如椭圆，也可以看成满足某种条件的点的
集合．在平面直角坐标系中，当点用坐标（狓，狔）表示后，椭圆便可用一
个方程犉（狓，狔）＝０表示，进而通过对方程的研究来研究椭圆．
●怎样建立圆锥曲线的方程？
●如何通过方程来研究圆锥曲线的性质？
圆锥曲线与方程
第３章
７５
　
３．１
椭　圆
太阳系中行星的运动轨迹是椭圆．用点光源照射一个放在地面
上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是
椭圆．在画板上取两个定点犉１和犉２，把一条长度为定值且大于犉１犉２的
细绳的两端固定在犉１，犉２两点（图３１１），用笔尖把细绳拉紧，并
使笔尖在画板上移动一周，画出的图形是一个椭圆．
图３１１
　　平面内到两个定点犉１，犉２的距离之和等于常数（大于犉１犉２）
的点的轨迹叫作椭圆（ｅｌｌｉｐｓｅ），两个定点犉１，犉２叫作椭圆的焦点
（ｆｏｃｕｓ），两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距（ｆｏｃａｌｄｉｓｔａｎｃｅ）．
类似于直线和圆，对于椭圆的研究，我们自然关注下面的问题：
●怎样建立椭圆的方程？
●如何根据椭圆的方程研究椭圆的性质？
３．１．１　椭圆的标准方程
　　设椭圆犆的两个焦点分别为犉１，犉２，它们之间的距离为２犮，椭圆
上任意一点到犉１，犉２的距离之和为２犪（２犪＞２犮）．
●怎样求椭圆犆的方程？
以犉１，犉２所在的直线为狓轴，线段犉１犉２的垂直平分线为狔轴，
建立直角坐标系狓犗狔（图３１２），则犉１，犉２的坐标分别为（－犮，
０），（犮，０）．
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数学
７６
　
图３１２
设犘（狓，狔）为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知
犘犉１＋犘犉２＝２犪，
即
（狓＋犮）２＋狔
槡
２＋（狓－犮）２＋狔
槡
２＝２犪．
将这个方程移项后两边平方，得
（狓＋犮）２＋狔２＝４犪２－４犪（狓－犮）２＋狔
槡
２＋（狓－犮）２＋狔２，
整理得
犪２－犮狓＝犪（狓－犮）２＋狔
槡
２．
两边再平方，得
犪４－２犪２犮狓＋犮２狓２＝犪２狓２－２犪２犮狓＋犪２犮２＋犪２狔２，
整理得
（犪２－犮２）狓２＋犪２狔２＝犪２（犪２－犮２）．
因为犪２－犮２＞０，所以可设犪２－犮２＝犫２（犫＞０），于是得
犫２狓２＋犪２狔２＝犪２犫２．
两边同除以犪２犫２，得狓２
犪２＋狔２
犫２＝１．
由上述过程可知，椭圆上的点的坐标（狓，狔）都满足上面这个方
程．可以证明以上面这个方程的解为坐标的点（狓，狔）都在已知的椭
圆上．这样，焦点为犉１（－犮，０），犉２（犮，０）的椭圆的方程为
　　狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）．
类似地，在图３１３所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点为
犉１（０，－犮），犉２（０，犮）的椭圆的方程为
　　狔２
犪２＋狓２
犫２＝１（犪＞犫＞０）．
圆锥曲线与方程
第３章
７７
　
以上两种方程都叫作椭圆的标准方程（ｓｔａｎｄａｒｄｅｑｕａｔｉｏｎｏｆ
ｅｌｌｉｐｓｅ），其中犫２＝犪２－犮２．
图３１３
思　考
　　怎样推导焦点在狔轴上的椭圆的标准方程？
例１　已知椭圆的两个焦点分别是犉１（－３，０），犉２（３，０），椭
圆上一点犘到两个焦点的距离之和为１０，求椭圆的标准方程．
解　因为椭圆的焦点在狓轴上，所以设椭圆的标准方程为
狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）．
由已知得２犪＝１０，即犪＝５．
又因为椭圆的两个焦点为犉１（－３，０），犉２（３，０），所以犮＝３，
从而
犫２＝犪２－犮２＝５２－３２＝１６．
因此，所求椭圆的标准方程为
狓２
２５＋狔２
１６＝１．
例２　已知椭圆的两个焦点坐标分别是（－２槡２，０），（２槡２，
０），且该椭圆经过点（２槡２，－２），求椭圆的标准方程．
解法１　因为椭圆的焦点在狓轴上，所以设椭圆的标准方程为
狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）．
因为椭圆的两个焦点坐标分别是（－２槡２，０），（２槡２，０），且点
（２槡２，－２）在椭圆上，所以由椭圆的定义知
２犪＝（２槡２＋２槡２）２＋（－２－０）
槡
２＋（２槡２－２槡２）２＋（－２－０）
槡
２
＝８，
选择性必修第一册
数学
７８
　
所以犪＝４．
又因为犮＝槡
２２，所以犫２＝犪２－犮２＝１６－８＝８．
因此，所求椭圆的标准方程为
狓２
１６＋狔２
８＝１．
解法２　因为椭圆的焦点在狓轴上，所以设椭圆的标准方程为
狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）．
因为椭圆的两个焦点坐标分别是（－２槡２，０），（２槡２，０），
所以犮＝２槡２，
从而
犪２－犫２＝犮２＝８．
①
又因为点（２槡２，－２）在椭圆上，
所以
８犪２＋４犫２＝１．
②
由①②解得犪２＝１６，犫２＝８．
因此，所求椭圆的标准方程为
狓２
１６＋狔２
８＝１．
例３　将圆狓２＋狔２＝４上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为
原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．
解　设所得曲线上任一点的坐标为（狓，狔），圆狓２＋狔２＝４上的对
应点的坐标为（狓′，狔′）．
由题意可得
狓′＝狓，
狔′＝２狔
烅烄
烆
．
因为
狓′２＋狔′２＝４，
所以
狓２＋４狔２＝４，
即
狓２
４＋狔２＝１．
这就是所得曲线的方程，该曲线是一个椭圆．
例４　求直线槡３狓－２狔－２＝０和椭圆狓２
４＋狔２＝１的公共点的
坐标．
圆锥曲线与方程
第３章
７９
　
解　直线槡３狓－２狔－２＝０和椭圆狓２
４＋狔２＝１的公共点的坐标
就是方程组
槡３狓－２狔－２＝０，
狓２
４＋狔２＝
烅
烄
烆
１
的解．解这个方程组，得
狓１＝０，
狔１＝－１
烅烄
烆
，　狓２＝槡３，
狔２＝１２
烅
烄
烆
．
因此，所求公共点的坐标为（０，－１（
），槡３，１）
２．
练　习
１．在△犃犅犆中，若犅犆的长为６，周长为１６，则顶点犃在怎样的曲线上运动？
２．下列方程中哪些是椭圆的方程？若是，指出焦点在哪条坐标轴上．
（１）狓２
４＋狔２
３＝１；
（２）狓２＋狔２
２＝１；
（３）２狓２＋２狔２＝１；
（４）２狓２＋３狔２＝６．
３．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）犪＝４，犫＝３，焦点在狓轴上；
（２）犫＝１，犮＝槡１５，焦点在狔轴上；
（３）犪＝１０，犮＝６．
４．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）焦点为犉１（－３，０），犉２（３，０），且经过点犘（０，２）；
（２）焦点为犉１（－２，０），犉２（２，０），且经过点犘５２，－３
（
）
２；
（３）经过点犘（－４，０），犙（２，槡３）．
５．求下列椭圆的焦点坐标：
（１）狓２
９＋狔２
４＝１；
（２）狓２
３＋狔２
９＝１；
（３）１６狓２＋７狔２＝１１２；
（４）狓２＋２狔２＝１．
６．已知椭圆狓２
１００＋狔２
３６＝１上一点犘到左焦点的距离为７，求点犘到右焦点
的距离．
７．判断直线狓＋２狔－２槡２＝０与椭圆狓２
４＋狔２＝１的公共点的个数．
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８０
　
习题３．１（１）
感受·理解
１．在△犃犅犆中，犅（－３，０），犆（３，０），且犃犅＋犃犆＝２犅犆．
（１）求证：点犃在一个椭圆上运动；
（２）写出这个椭圆的焦点坐标．
２．求下列椭圆的焦点坐标：
（１）狓２
９＋狔２＝１；　
（２）狓２
３＋狔２
１２＝１；
（３）狓２＋２狔２＝４；　
（４）１６狓２＋９狔２＝１４４．
３．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）犪＝槡６，犫＝１，焦点在狓轴上；
（２）焦点为犉１（０，－３），犉２（０，３），且犪＝５；
（３）一个焦点为犉（２槡３，０），犪＝２犮；
（４）焦点在狓轴上，焦距是４，且经过点犕（３，－２槡６）．
４．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）与椭圆狓２
２＋狔２＝１有相同的焦点，且经过点１，３
（）
２；
（２）经过犃２，－槡２
（
）
２，犅－槡２，－槡３
（
）
２两点．
５．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为２．４ｍ，外轮廓
线上的点到两个焦点距离的和为３ｍ，求这个椭圆的标准方程．
６．若犉１，犉２是椭圆狓２
１６＋狔２
９＝１的两个焦点，过犉１作直线与椭圆交于犃，犅两
点，试求△犃犅犉２的周长．
７．已知椭圆狓２
６＋狔２
３＝１，直线狓－狔＋１＝０与该椭圆交于犃，犅两点，求线
段犃犅中点的坐标和线段犃犅的长．
８．设犿为实数，若方程狓２
犿－１＋狔２
２－犿＝１表示焦点在狔轴上的椭圆，求犿的
取值范围．
９．已知椭圆狓２
２５＋狔２
９＝１上一点犘的横坐标是２，求：
（１）点犘到椭圆左焦点的距离犘犉１；
（２）点犘到椭圆右焦点的距离犘犉２．
思考·运用１０．已知圆犉１：（狓＋１）２＋狔２＝１，圆犉２：（狓－１）２＋狔２＝９．若动圆犆与圆犉１
外切，且与圆犉２内切，求动圆的圆心犆的轨迹方程．
１１．已知动点犘到点犉（１，０）的距离是到直线狓＝９的距离的１３，试判断点犘
的轨迹是什么图形．
１２．将椭圆狓２
４＋狔２
１６＝１上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的２倍，求所
圆锥曲线与方程
第３章
８１
　
得曲线的方程，并说明它是什么曲线．
１３．已知点犃，犅的坐标分别为（－２，０），（２，０），直线犃犕，犅犕相交于点犕，
且它们的斜率之积是－３４，求点犕的轨迹方程．
１４．船上两根高７．５ｍ的桅杆相距１５ｍ，一条３０ｍ长的绳子两端系在桅杆的
顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求
绳子与甲板接触点犘到桅杆犃犅的距离（精确到０．０１ｍ）．
（第１４题）
探究·拓展
１５．已知狓２０犪２＋狔２０犫２＝１（犪＞犫＞０），犮＝犪２－犫
槡
２．记犘（狓０，狔０），犉１（－犮，０），
犉２（犮，０），求证：犘犉１＋犘犉２＝２犪．
１６．（操作题）准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点犉，将纸片折
起，使圆周过点犉（如图），然后将纸片展开，就得到一条折痕犾（为了看清楚，
可把直线犾画出来）．这样继续折下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的
轮廓，它是什么曲线？
（第１６题）
３．１．２　椭圆的几何性质
　　在建立了椭圆的标准方程之后，就可以利用方程来研究椭圆的
几何性质．那么，
　　利用方程研究曲
线的几何性质是解析
几何的基本思想．
●如何利用椭圆的方程狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）来研究椭圆的
性质？
１．范围
由方程狓２
犪２＋狔２
犫２＝１可知，椭圆上任意一点的坐标（狓，狔）都满足
选择性必修第一册
数学
８２
　
狓２
犪２＝１－狔２
犫２≤１，
即狓２≤犪２，所以
－犪≤狓≤犪．
同理可得
－犫≤狔≤犫．
这说明椭圆位于直线狓＝±犪和狔＝±犫所围成的矩形内（图
３１４）．
图３１４
２．对称性
在椭圆的标准方程中，把狓换成－狓，方程并不改变，这说明当点
犘（狓，狔）在椭圆上时，它关于狔轴的对称点犘′（－狓，狔）也在椭圆上，
所以椭圆关于狔轴对称．
同理，把狔换成－狔，或同时把狓，狔分别换成－狓，－狔，方程都不
变，所以椭圆关于狓轴和原点都是对称的．因此，坐标轴是椭圆的对
称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫作椭圆的中心．
３．顶点
在椭圆的标准方程中，令狓＝０，得狔＝±犫，这说明点犅１（０，－犫），
犅２（０，犫）是椭圆与狔轴的两个交点．同理，点犃１（－犪，０），犃２（犪，０）是
椭圆与狓轴的两个交点．这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆
的顶点．
线段犃１犃２，犅１犅２分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等
于２犪和２犫，犪和犫分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．
思　考
　　已知椭圆的长轴犃１犃２和短轴犅１犅２，怎样确定椭圆焦点的位置？
４．离心率
圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”．
用什么样的量来刻画椭圆的“扁”的程度呢？
探　究
（１）将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平
面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度（分别加长、缩短），观察椭圆
的“扁”的程度的变化规律；
圆锥曲线与方程
第３章
８３
　
（２）细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的
“扁”的程度的变化规律．
从上面的探索过程可以发现，当犮犪越接近于０时，椭圆越接近于
圆；当犮犪越接近于１时，椭圆越扁．也就是说，随着犮犪的增大，椭圆越来
越扁．
由犪２＝犫２＋犮２，得犫犪＝１－犮２犪
槡
２．当犮犪越接近于０时，犫犪越接近于
１，此时椭圆越接近于圆；当犮犪越接近于１时，犫犪越接近于０，此时椭圆
越扁．也就是说，随着犮犪的增大，椭圆越来越扁．
焦距与长轴长的比犮犪叫作椭圆的离心率（ｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙ），记为犲．显
然，０＜犲＜１．
例１　求椭圆狓２
２５＋狔２
９＝１的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标
和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
分析　由椭圆的标准方程狓２
２５＋狔２
９＝１可以知道犪＝５，犫＝３，则
椭圆位于四条直线狓＝±５，狔＝±３所围成的矩形内．又椭圆以两坐
标轴为对称轴，所以只要画出在第一象限内的图形就可画出整个
椭圆．
解　根据椭圆的方程狓２
２５＋狔２
９＝１，得
犪＝５，犫＝３，犮＝２５－
槡
９＝４，
所以，椭圆的长轴长２犪＝１０，短轴长２犫＝６，离心率犲＝犮犪＝４５，焦点
为犉１（－４，０），犉２（４，０），顶点为犃１（－５，０），犃２（５，０），犅１（０，
－３），犅２（０，３）．
　　将方程变形为狔＝±３５２５－狓
槡
２，根据狔＝３５２５－狓
槡
２算出椭圆
在第一象限内的几个点的坐标（如下表所示）：
狓
０
１
２
３
４
５
狔
３
２．９４
２．７５
２．４
１．８
０
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数学
８４
　
　　在ＧＧＢ的输入
框中，输入“狓∧２／２５＋
狔∧２／９＝１”，即可作出
椭圆．
　　先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整
个椭圆（图３１５）．
图３１５
　　例２　我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的
中心（简称“地心”）犉２为一个焦点的椭圆．已知它的近地点犃（长轴端
点中离地面最近的点）距地面４３９ｋｍ，远地点犅（长轴端点中离地面
最远的点）距地面２３８４ｋｍ，犃犅是椭圆的长轴，地球的半径约为
６３７１ｋｍ，求卫星运行的轨道方程．
解　如图３１６，以直线犃犅为狓轴，线段犃犅的垂直平分线为狔
轴，建立直角坐标系狓犗狔，犃犅与地球交于犆，犇两点．设椭圆方程为
狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）．
由题意知
犃犆＝４３９，犅犇＝２３８４，犉２犆＝犉２犇＝６３７１．
犪－犮＝犗犃－犗犉２＝犉２犃＝４３９＋６３７１＝６８１０，
犪＋犮＝犗犅＋犗犉２＝犉２犅＝２３８４＋６３７１＝８７５５．
　　太阳系中有的行
星运动轨迹的离心率
与０很接近，因此近似
于圆．如地球、火星、
天王星运动轨迹的离
心率分别为０．０１７，
０．０９３，０．０４６．水星
和冥王星相对稍扁一
些，离心率分别为
０．２０６和０．２４９．哈雷
彗星的轨道非常扁，
其离心率为０．９６７．
图３１６
　　解得
犪＝７７８２．５，犮＝９７２．５，
从而
犫＝犪２－犮
槡
２＝（犪＋犮）（犪－犮
槡
）≈７７２２．
因此，卫星运行轨道的方程是
狓２
７７８３２＋狔２
７７２２２＝１．
圆锥曲线与方程
第３章
８５
　
练　习
１．求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
（１）狓２
３＋狔２
２＝１；
（２）狓２
３６＋狔２
１００＝１；
（３）１６狓２＋２５狔２＝４００；
（４）４狓２＋狔２＝１６．
２．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）中心在原点，焦点在狓轴上，长轴长、短轴长分别为８和６；
（２）中心在原点，一个焦点坐标为（０，５），短轴长为４；
（３）对称轴都在坐标轴上，长半轴长为１０，离心率是０．６；
（４）中心在原点，焦点在狓轴上，右焦点到短轴端点的距离为２，到右顶点
的距离为１．
３．下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？
（１）４狓２＋９狔２＝３６与狓２
２５＋狔２
２０＝１；
（２）９狓２＋４狔２＝３６与狓２
１２＋狔２
１６＝１．
４．已知椭圆的焦距为４，离心率为２３，求椭圆的短轴长．
５．已知椭圆狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）过点（３，－２），离心率为槡３３，求犪，犫的值．
６．（１）已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是２和４，求椭圆的离
心率；
（２）设犉是椭圆的一个焦点，犅１犅２是短轴，若∠犅１犉犅２＝６０°，求椭圆的离
心率．
习题３．１（２）
感受·理解
１．求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
（１）狓２
８＋狔２
４＝１；
（２）狓２＋狔２
９＝１；
（３）４狓２＋９狔２＝３６．
２．讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形．
（１）狓２
４＋狔２
３＝１；　　　　　　　　（２）４狓２＋狔２＝１．
（第３题）
３．如图，要把一个边长为１００ｃｍ和６４ｃｍ的矩形木板锯成椭圆形，使椭圆的
长轴长和短轴长分别为１００ｃｍ与６４ｃｍ，用简便的方法在木板上画出这个
椭圆的草图．
４．设犽为实数，若椭圆的方程为狓２
９－犽＋狔２
犽－１＝１，求满足下列条件的犽的取
值范围：
（１）椭圆的焦点在狓轴上；
（２）椭圆的焦点在狔轴上．
５．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）焦点在狓轴上，长轴长为４，焦距为２；
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数学
８６
　
（２）一个焦点坐标为（２，０），短轴长为２；
（３）离心率为槡５３，短轴长为４．
６．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离
心率．
７．求以正方形犃犅犆犇的两个顶点犃，犅为焦点，且过犆，犇两点的椭圆的离心率．
８．地球运行的轨道是长半轴长为１．５０×１０８ｋｍ、离心率为０．０２的椭圆，太阳
在此椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最远距离．
（第９题）
９．如图，犃，犃′，犅分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点犘向狓轴作垂线，垂足为
焦点犉，且犃犅∥犗犘，犉犃′＝槡１０－槡５，求椭圆的方程．
１０．判断下列方程所表示的曲线是否关于狓轴、狔轴或原点对称：
（１）３狓２＋８狔２＝２０；
（２）狓２－狔２
３＝１；
（３）狓２＋２狔＝０；
（４）狓２＋２狓狔＋狔＝０．
１１．已知点犕到椭圆狓２
１６９＋狔２
１４４＝１的左焦点和右焦点的距离之比为２∶３，求
点犕的轨迹方程．
思考·运用１２．设椭圆狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）的两个焦点分别为犉１，犉２，短轴的一个
端点为犘．
（１）若∠犉１犘犉２为直角，求椭圆的离心率；
（２）若∠犉１犘犉２为钝角，求椭圆离心率的取值范围．
１３．已知圆柱的底面半径为４，与圆柱底面成３０°角的平面截这个圆柱得到一个
椭圆，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程和离心率．
１４．在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程
犪２－犮狓＝犪（狓－犮）２＋狔
槡
２，
将其变形为　
（狓－犮）２＋狔
槡
２
犪２犮－狓
＝犮犪，
你能解释这个方程的几何意义吗？
探究·拓展１５．（阅读题）猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪———一架立在光滑地板上的梯子
抵墙下滑，一只猫坐在梯子的正中间不动．试求在梯子下滑过程中猫的运动
轨迹．在这一生动有趣的叙述后面，我们可见到下面的数学问题：
已知一个直角，一条长度为犱的线段的两个端点分别在这个直角的两
边上滑动，求线段中点的轨迹．
这个问题在习题２．１第１３题中已经得到解决．
如果这只猫没有坐在梯子的正中间，那么在梯子下滑过程中，它沿怎样
的一条路线运动？下面我们用解析法求猫运动的轨迹．
圆锥曲线与方程
第３章
８７
　
　　　
（第１５题）
　　以直角的两边所在的直线分别作为狓轴和狔轴，建立直角坐标系
（图（１）），过点犕作犕犆⊥犃犗于点犆，犕犇⊥犅犗于点犇．设犅犕＝犪，
犃犕＝犫，犕（狓，狔），犃（犿，０），犅（０，狀）．根据△犅犕犇∽△犅犃犗，得
狓犿＝犪
犪＋犫，
即
犿＝（犪＋犫）狓
犪．
同理
狀＝（犪＋犫）狔
犫．
因为犿２＋狀２＝（犪＋犫）２，将上面的犿，狀代入并化简，得
狓２
犪２＋狔２
犫２＝１，
其中狓，狔均为正数．因此，这只猫沿着一段椭圆弧运动．
上面的结果与用来作椭圆的“达·芬奇椭圆仪”（图（２））的工作原理非
常相似．制作椭圆仪的方法如下：用两根木条钉成十字架，木条中间挖一道
槽．在另一活动木条犘犅犃的犘处钻一小孔，可以容纳笔尖，犃，犅是两个螺
钉，可以放松移动以配合犃犘＝犪，犅犘＝犫的长度．当犃，犅各在一条槽内
移动时，犘处笔尖就画出一个椭圆．你能解释它的原理吗？尝试用ＧＧＢ软
件来模拟这一过程．
１６．椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成．运用椭圆与圆
之间的这种关系，你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗？
１７．把矩形的各边狀等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆
上，为什么？
（第１７题）
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８８
　
３．２
双曲线
　　发电厂冷却塔轴截面的外轮廓线的形状是双曲线．用点光源照
射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的
外轮廓线可以是双曲线的一部分．
取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分
别固定在画板上的犉１，犉２两点（图３２１）．把笔尖放在点犘处，随
着拉链拉开或者闭拢，笔尖画出的曲线就是双曲线的一部分．
图３２１
　　平面内到两个定点犉１，犉２的距离之差的绝对值等于常数
（小于犉１犉２的正数）的点的轨迹叫作双曲线（ｈｙｐｅｒｂｏｌａ），两个
定点犉１，犉２叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲
线的焦距．
在椭圆的研究中，我们借助平面直角坐标系，得到了椭圆的方
程，并利用方程研究了椭圆的性质．现在我们将运用相同的方法来研
究双曲线．那么，
●怎样建立双曲线的方程？
●如何根据双曲线的方程研究双曲线的性质？
３．２．１　双曲线的标准方程
　　我们知道，椭圆上的点到两个定点的距离之和等于常数．当焦点
在狓轴上时，椭圆的标准方程为狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）．
圆锥曲线与方程
第３章
８９
　
双曲线上的点到两个定点距离之差的绝对值等于常数，那么，
●双曲线的标准方程是什么形式呢？
设双曲线的焦距为２犮，双曲线上任意一点到焦点犉１，犉２的距离
之差的绝对值等于常数２犪（２犮＞２犪）．
以犉１，犉２所在的直线为狓轴，线段犉１犉２的垂直平分线为狔轴，
建立直角坐标系狓犗狔（图３２２），则犉１，犉２的坐标分别为（－犮，
０），（犮，０）．
图３２２
设犘（狓，狔）为双曲线上任意一点，根据双曲线的定义知
狘犘犉１－犘犉２狘＝２犪，
即
狘（狓＋犮）２＋狔
槡
２－（狓－犮）２＋狔
槡
２狘＝２犪，
化简，得
（犮２－犪２）狓２－犪２狔２＝犪２（犮２－犪２）．
因为犮２－犪２＞０，所以可设犮２－犪２＝犫２（犫＞０），得
犫２狓２－犪２狔２＝犪２犫２．
两边同除以犪２犫２，得狓２
犪２－狔２
犫２＝１．
由上述过程可知，双曲线上的点的坐标（狓，狔）都满足上面这个
方程．可以证明以上面这个方程的解为坐标的点（狓，狔）都在已知的
双曲线上．
这样，焦点为犉１（－犮，０），犉２（犮，０）的双曲线的方程为
　　狓２
犪２－狔２
犫２＝１（犪＞０，犫＞０）．
类似地，焦点为犉１（０，－犮），犉２（０，犮）的双曲线的方程为
　　狔２
犪２－狓２
犫２＝１（犪＞０，犫＞０）．
以上两种方程都叫作双曲线的标准方程（ｓｔａｎｄａｒｄｅｑｕａｔｉｏｎｏｆａ
选择性必修第一册
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９０
　
ｈｙｐｅｒｂｏｌａ），其中犫２＝犮２－犪２．
思　考
　　怎样推导出焦点在狔轴上的双曲线的标准方程？
例１　已知双曲线的两个焦点分别为犉１（－５，０），犉２（５，０），
双曲线上一点犘到犉１，犉２的距离的差的绝对值等于８，求双曲线的
标准方程．
解　由题意可设双曲线的标准方程为
狓２
犪２－狔２
犫２＝１（犪＞０，犫＞０）．
因为
２犪＝８，犮＝５，
所以
犪＝４，
犫２＝犮２－犪２＝５２－４２＝９．
故所求双曲线的标准方程为
狓２
１６－狔２
９＝１．
例２　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）犪＝３，犫＝４，焦点在狓轴上；
（２）犪＝２槡５，经过点犃（２，－５），焦点在狔轴上．
解　（１）依题意犪＝３，犫＝４，且焦点在狓轴上，所以双曲线的标
准方程为
狓２
９－狔２
１６＝１．
（２）因为焦点在狔轴上，所以可设双曲线的标准方程为
狔２
犪２－狓２
犫２＝１（犪＞０，犫＞０）．
由犪＝２槡５，且点犃（２，－５）在双曲线上，可得
犪＝２槡５，
２５犪２－４犫２＝１
烅
烄
烆
，
解得
犫２＝１６．
因此，所求双曲线的标准方程为
狔２
２０－狓２
１６＝１．
圆锥曲线与方程
第３章
９１
　
例３　已知犃，犅两地相距８００ｍ，一炮弹在某处爆炸，在犃处
听到爆炸声的时间比在犅处迟２ｓ，设声速为３４０ｍ／ｓ．
（１）爆炸点在什么曲线上？
（２）求这条曲线的方程．
解　（１）设犕为爆炸点，由题意得
犕犃－犕犅＝３４０×２＝６８０．
因为爆炸点离犃点比离犅点距离更远，所以爆炸点在以犃，犅为
焦点且距犅较近的双曲线的一支上（图３２３）．
（２）如图３２３，以直线犃犅为狓轴，线段犃犅的垂直平分线为
狔轴，建立直角坐标系狓犗狔．设犕（狓，狔）为曲线上任一点．
图３２３
由犕犃－犕犅＝６８０，得２犪＝６８０，即犪＝３４０．
由犃犅＝８００，得２犮＝８００，即犮＝４００，
所以
犫２＝犮２－犪２＝４４４００．
因为
犕犃－犕犅＝６８０＞０，
所以
狓＞０．
因此，所求曲线的方程为
狓２
１１５６００－狔２
４４４００＝１（狓＞０）．
思　考
　　确定爆炸点或出事地点的位置，在军事上或抢险救灾时都有重
要意义．从例３看出，利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的
曲线，但不能完全确定爆炸点的位置．要有几个观测点才能确定爆炸
点的位置呢？
例４　已知双曲线犆：狓２
４－狔２
３＝１，直线犾：狓－２狔＋２＝０，求直
线犾与双曲线犆的公共点的坐标．
解　直线犾：狓－２狔＋２＝０与双曲线犆：狓２
４－狔２
３＝１的公共点
的坐标就是方程组
选择性必修第一册
数学
９２
　
狓－２狔＋２＝０，
狓２
４－狔２
３＝
烅烄
烆
１
的解．解这个方程组，得
狓１＝－２，
狔１＝０
烅烄
烆
，　狓２＝４，
狔２＝３
烅烄
烆
．
因此，所求公共点的坐标为（－２，０），（４，３）．
练　习
１．在△犃犅犆中，犅犆的长为２，狘犃犅－犃犆狘＝１，试确定点犃在怎样的曲线上
运动．
２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）犮＝５，犫＝３，焦点在狓轴上；
（２）焦点为犉１（０，－６），犉２（０，６），且犪＝３；
（３）犪＝４，犫＝３．
３．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）一个焦点为犉（－３，０），且经过点（２，０）；
（２）与双曲线狓２
１６－狔２
４＝１有相同的焦点，且经过点（槡
３２，２）；
（３）经过犕－槡
４３３，
（
）
１和犖（４，－３）两点．
４．设犽为实数，若双曲线８犽狓２－犽狔２＝８的一个焦点坐标为（０，３），则犽的值
为（　　）．
Ａ．１　　　　
Ｂ．－１　　　　Ｃ．１３槡６５　　　Ｄ．－１３槡６５
５．判断直线狔＝槡３（狓－１）与双曲线狓２－狔２＝１的公共点的个数．
６．设犿为实数，求双曲线狓２
犿２＋１２－狔２
４－犿２＝１的焦距．
习题３．２（１）
感受·理解
１．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）犪＝槡２，犫＝槡３，焦点在狓轴上；　
（２）犫＝４，犮＝５，焦点在狔轴上；
（３）犪＝犫，一个焦点为犉（０，２槡２）；　
（４）犪＝１２，犮＝１．
２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）经过点（槡６，０），（３，２）；
圆锥曲线与方程
第３章
９３
　
（２）焦点为（０，－５），（０，５），
（
经过点槡
４３３，槡）
２３；
（３）犪＝犫，经过点（３，－１）；
（４）经过（３，－槡
４２）和９４，
（）
５两点．
３．已知双曲线４狓２－狔２＋６４＝０上一点犕到它的一个焦点的距离等于１，求
点犕到另一个焦点的距离．
４．证明：椭圆狓２
２５＋狔２
９＝１与双曲线狓２－１５狔２＝１５的焦点相同．
５．在△犃犅犆中，犅（－６，０），犆（６，０），直线犃犅，犃犆的斜率乘积为９４，求顶点
犃的轨迹．
６．已知双曲线过点（３，－２），且与椭圆４狓２＋９狔２＝３６有相同的焦点，求双曲
线的方程．
７．已知双曲线犆：狓２
３－狔２＝１，直线犾：狓－槡３狔－１＝０，求直线犾与双曲线犆
的公共点的坐标．
思考·运用
８．设犽为实数，若方程狓２
２－犽＋狔２
犽－１＝１表示双曲线，求犽的取值范围，并写出
焦点坐标．
９．设犪为实数，若椭圆狓２
４＋狔２
犪２＝１与双曲线狓２
犪－狔２
２＝１有相同的焦点，
求犪的值．
１０．已知双曲线狓２
６４－狔２
３６＝１的焦点为犉１，犉２，点犘在双曲线上，且犘犉１⊥犘犉２，
求△犉１犘犉２的面积．
１１．已知双曲线狓２－狔２
８＝１的左、右焦点分别为犉１，犉２，过犉１作斜率为槡
２６
的弦犃犅．求：
（１）犃犅的长；
（２）△犉２犃犅的周长．
探究·拓展１２．已知定圆犗１和犗２的半径分别为１和２，犗１犗２＝４，动圆犕与圆犗１内切，且
与圆犗２外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心犕的轨迹方程，并说明
轨迹是何种曲线．
（第１４题）
１３．已知狓０２
犪２－狔０２
犫２＝１（犪＞０，犫＞０），犮＝犪２＋犫
槡
２．记犘（狓０，狔０），犉１（－犮，
０），犉２（犮，０）．求证：狘犘犉１－犘犉２狘＝２犪．
１４．（操作题）在纸上画一个圆犗，在圆外任取一定点犉，将纸片折起，使圆周通
过犉，然后展开纸片，得到一条折痕犾（为了看清楚，可把直线犾画出来）．这
样继续下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？
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９４
　
３．２．２　双曲线的几何性质
　　在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线
的几何性质．那么，
●如何利用双曲线的方程狓２
犪２－狔２
犫２＝１（犪＞０，犫＞０）来研究它
的性质？
１．范围
由方程狓２
犪２－狔２
犫２＝１可知，双曲线上任意一点的坐标（狓，狔）都
满足
狓２
犪２＝１＋狔２
犫２≥１，
所以
狓２
犪２≥１，
即
狓≥犪或狓≤－犪．
这说明双曲线位于不等式狓≥犪与狓≤－犪所表示的平面区域内
（图３２４）．
图３２４
思　考
　　根据双曲线的标准方程狓２
犪２－狔２
犫２＝１，你能发现双曲线的范围还
受到怎样的限制？
由双曲线的标准方程狓２
犪２－狔２
犫２＝１可知
狓２
犪２－狔２
犫２＞０，
（
即
狓犪＋狔）（
犫狓犪－狔）
犫＞０，
圆锥曲线与方程
第３章
９５
　
从而
狓犪＋狔犫＞０，
狓犪－狔犫＞０
烅
烄
烆
，　或　
狓犪＋狔犫＜０，
狓犪－狔犫＜０
烅
烄
烆
．
所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就
是以直线狔＝犫犪狓和狔＝－犫犪狓为边界的平面区域内（图３２５）．
图３２５
２．对称性
在双曲线的标准方程中，分别把狓换成－狓，或把狔换成－狔，或
同时把狓，狔分别换成－狓，－狔，方程都不变．所以双曲线分别关于狔
轴、狓轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是
双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
３．顶点
在双曲线的标准方程中，令狔＝０，得狓＝±犪．这说明犃１（－犪，
０），犃２（犪，０）是双曲线与狓轴的两个交点，且犃１是左支上最右边的
点，犃２是右支上最左边的点．我们把这两个点称为双曲线的顶点．
令狓＝０，得狔２＝－犫２，这个方程没有实数根，说明双曲线与狔轴
没有交点，但为了便于画图，我们把犅１（０，－犫），犅２（０，犫）也画在
狔轴上．
线段犃１犃２叫作双曲线的实轴，它的长等于２犪，犪叫作双曲线的
实半轴长；线段犅１犅２叫作双曲线的虚轴，它的长等于２犫，犫叫作双曲
线的虚半轴长．
４．渐近线
我们已经知道，双曲线的范围在以直线狔＝犫犪狓和狔＝－犫犪狓为边
界的平面区域内（图３２５），那么，从狓，狔的变化趋势看，双曲线
狓２
犪２－狔２
犫２＝１与直线狔＝±犫犪狓具有怎样的关系？
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限内的部分与直线狔＝
选择性必修第一册
数学
９６
　
犫犪狓的关系．
如图３２６，设犕（狓，狔）为双曲线在第一象限内的点，过点犕
作犕犖⊥狓轴，垂足为犖（狓，０）．直线犕犖交直线狔＝犫犪狓于点犘．当
点犖向右移动时，观察犘犕长度的变化情况．
图３２６
我们发现，随着狓的增大，犘犕长度越来越接近于０．事实上，对
于相同的横坐标狓，直线狔＝犫犪狓上对应的点犘的纵坐标为犫犪狓，所以
犘犕的长为
犘犕＝犫犪狓－犫犪狓２－犪
槡
２＝犫犪·
犪２
狓＋狓２－犪
槡
２．
当狓趋向于正无穷大时，狓＋狓２－犪
槡
２也趋向于正无穷大，
犫犪·
犪２
狓＋狓２－犪
槡
２趋向于０，即犘犕的长趋向于０．这说明，随着狓的增
大，双曲线在第一象限内的点在直线狔＝犫犪狓的下方且无限接近于这
条直线．
　　能用其他方法说
明这个结论吗？
同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线狔＝犫犪狓的上方且无
限接近于这条直线．
根据对称性，直线狔＝－犫犪狓也有相同的性质．
我们把两条直线狔＝±犫犪狓叫作双曲线狓２
犪２－狔２
犫２＝１的渐近线
（ａｓｙｍｐｔｏｔｅ）．
利用直线狓＝±犪和狔＝±犫所围成的矩形，先画出双曲线的两条
渐近线，就可以画出双曲线的简图（图３２６）．
在双曲线的标准方程狓２
犪２－狔２
犫２＝１中，如果犪＝犫，那么方程可
化为
狓２－狔２＝犪２，
圆锥曲线与方程
第３章
９７
　
此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等于２犪，且两条渐近线互相垂直．
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线．
５．离心率
椭圆的离心率犲＝犮犪反映了图形的“扁”的程度，那么在双曲线
中，犮犪是否也与双曲线的形状有关？
从图３２６中可以看出，双曲线狓２
犪２－狔２
犫２＝１夹在两条渐近线
狔＝±犫犪狓之间，这说明犫犪的大小决定了双曲线的开口的大小．犫犪越
大，双曲线的开口就越大；犫犪越小，双曲线的开口就越小．
由
犮犪＝１＋犫（）
犪
槡
２
可知，犮犪越大，双曲线的开口就越大；犮犪越小，双曲线的开口也就越
小．因此犮犪反映了双曲线开口的大小．
焦距与实轴长的比犮犪叫作双曲线的离心率，记为犲．显然，双曲线
的离心率犲＞１．
例１　求双曲线狓２
４－狔２
３＝１的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点
坐标、离心率及渐近线方程．
解　由题意知犪２＝４，犫２＝３，所以
犮２＝犪２＋犫２＝４＋３＝７，
解得
犪＝２，犫＝槡３，犮＝槡７．
因此，双曲线的实轴长２犪＝４，虚轴长２犫＝２槡３．
焦点坐标为（－槡７，０），（槡７，０），顶点坐标为（－２，０），（２，０）．
离心率犲＝犮犪＝槡７２．
渐近线方程为狔＝±槡３２狓．
选择性必修第一册
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９８
　
　　例２　已知双曲线的中心在原点，焦点在狔轴上，焦距为１６，离
心率为４３，求双曲线的方程．
解　根据题意知２犮＝１６，犮犪＝４３，
解得
犪＝６，犮＝８，
从而
犫２＝犮２－犪２＝８２－６２＝２８．
因为双曲线的中心在原点，焦点在狔轴上，所以所求双曲线方程为
狔２
３６－狓２
２８＝１．
练　习
１．求双曲线狓２
９－狔２
７＝１的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐
近线方程．
２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）焦点在狓轴上，犪＝４，离心率为３２；
（２）焦点的坐标为（５，０），（－５，０），渐近线方程为狔＝±４３狓；
（３）虚轴长为１２，离心率为５４；
（４）离心率犲＝槡２，且经过点犘（４，－槡１０）．
３．若双曲线经过点（－槡３，６），且它的两条渐近线方程是狔＝±３狓，则双曲线
的方程是（　　）．
Ａ．狔２
９－狓２＝１　　
Ｂ．狓２
９－狔２＝１　　
Ｃ．狔２
２７－狓２
３＝１　　
Ｄ．狓２
２７－狔２
３＝１
４．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为犉（０，２槡２），求双曲线的
方程．
５．设犽为实数，已知双曲线狓２
４－狔２
犽＝１的离心率犲∈（１，２），求犽的取值
范围．
习题３．２（２）
感受·理解
１．求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线
方程：
（１）狓２－８狔２＝３２；
（２）９狓２－狔２＝８１；
（３）狓２－狔２＝－４；
（４）狔２
４９－狓２
２５＝１．
圆锥曲线与方程
第３章
９９
　
２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）顶点在狓轴上，焦距为１０，离心率是５４；
（２）一个顶点的坐标为（０，２），一个焦点的坐标为（０，－槡５）；
（３）焦点在狔轴上，一条渐近线方程为狔＝３４狓，实轴长为１２；
（４）渐近线方程为狔＝±３４狓，焦点坐标为（－槡
５２，０）和（槡
５２，０）．
３．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）实轴长为６，渐近线方程为狔＝±３２狓；
（２）焦距为２０，渐近线方程为狔＝±１２狓．
４．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为２，焦点到渐近线的距
离为槡２，求双曲线的标准方程．
５．已知离心率为５３的双曲线与椭圆狓２
４０＋狔２
１５＝１的焦点相同，求双曲线的方程．
６．求以椭圆狓２
８＋狔２
５＝１的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的
方程．
７．求经过点犃（３，－１），且对称轴是坐标轴的等轴双曲线的方程．
８．设双曲线的方程为狓２
犪２－狔２
犫２＝１，过点（犪，０），（０，犫）的直线的倾斜角为
１５０°，求双曲线的离心率．
思考·运用
９．求与双曲线狓２
９－狔２
１６＝１有公共的渐近线，且经过点犃（－３，槡
２３）的双曲线
的方程．
１０．已知双曲线的两条渐近线的夹角为６０°，求双曲线的离心率．
１１．一种冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）．现
要求制造一个最小半径为８ｍ，下口半径为１５ｍ，下口到最小半径圆面的
距离为２４ｍ，高为２７ｍ的双曲线冷却塔，试计算上口的半径（精确到
０．０１ｍ）．
（第１１题）
１２．设双曲线狓２
犪２－狔２
犫２＝１的半焦距为犮，直线犾过（犪，０），（０，犫）两点，原点到
直线犾的距离为槡３４犮，求双曲线的离心率．
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１００
　
探究·拓展１３．动点犕（狓，狔）与定点犉（犮，０）的距离和它到定直线犾：狓＝犪２
犮的距离之比是
常数犮犪（犮＞犪＞０），求动点犕的轨迹．
１４．以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双
曲线．求证：
（１）双曲线与它的共轭双曲线有共同的渐近线；
（２）双曲线与它的共轭双曲线的焦点在同一个圆上．
１５．如图，在矩形犃犅犅′犃′中，把边犃犅分成狀等份．在边犅′犅的延长线上，以
犅犅′的狀分之一为单位长度连续取点．过边犃犅上各分点和犃′作直线，过
犅′犅延长线上的对应分点和点犃作直线，这两条直线的交点为犘，犘在什
么曲线上运动？
（第１５题）
圆锥曲线与方程
第３章
１０１
　
３．３
抛物线
　　探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一
个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮
廓线可以是抛物线的一部分．
如图３３１，在画板上画一条直线犾，把一个直角三角板的一边
紧贴直线犾，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点犃处，取细绳长
等于点犃到直角顶点犎的距离，并且把细绳的另一端固定在点犉
处．用笔尖靠着直角三角板的边犃犎，并扣紧细绳，然后上下移动三角
板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分．
图３３１
　　平面内到一个定点犉和一条定直线犾（犉不在犾上）的距离相
等的点的轨迹叫作抛物线（ｐａｒａｂｏｌａ），定点犉叫作抛物线的焦点，
定直线犾叫作抛物线的准线（ｄｉｒｅｃｔｒｉｘ）．
类似于椭圆和双曲线，我们继续借助平面直角坐标系，利用解析
几何研究问题的一般方法来研究抛物线．那么，
●怎样建立抛物线的方程？
●如何根据抛物线的方程研究抛物线的性质？
３．３．１　抛物线的标准方程
　　抛物线的焦点为犉，准线为犾，
●怎样求抛物线的方程？
过犉作直线犉犖⊥直线犾，垂足为犖．以直线犖犉为狓轴，线段犖犉
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１０２
　
的垂直平分线为狔轴，建立如图３３２所示的直角坐标系狓犗狔．
图３３２
设焦点犉到准线犾的距离为狆，则犉狆２，
（）
０．又设犘（狓，狔）为抛物
线上任意一点．过点犘作犘犎⊥犾，垂足为犎，则犘犉＝犘犎，得
狓－狆
（
）
２
２＋狔
槡
２＝狓＋狆２．
将上式两边平方并化简，得
狔２＝２狆狓．
由上述过程可知，抛物线上的点的坐标（狓，狔）都满足上面这个
方程．可以证明以上面这个方程的解为坐标的点（狓，狔）都在已知的
抛物线上．
这样，焦点为狆２，
（）
０的抛物线的方程为
　　狔２＝２狆狓（狆＞０）．
类似地，我们可以建立如下表所示的坐标系，从而得到抛物线方
程的另外三种形式狔２＝－２狆狓，狓２＝２狆狔，狓２＝－２狆狔（狆＞０）．这四
种方程都叫作抛物线的标准方程（ｓｔａｎｄａｒｄｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｐａｒａｂｏｌａ）．
标准方程
狔２＝２狆狓
狔２＝－２狆狓
狓２＝２狆狔
狓２＝－２狆狔
图　　形
焦点坐标
狆２，
（）
０
－狆２，
（
）
０
０，狆
（）
２
０，－狆
（
）
２
准线方程
狓＝－狆２
狓＝狆２
狔＝－狆２
狔＝狆２
开口方向
向　右
向　左
向　上
向　下
圆锥曲线与方程
第３章
１０３
　
　　例１　已知抛物线的焦点为犉（５，０），求抛物线的标准方程和
准线方程．
解　因为抛物线的焦点为犉（５，０），所以可设抛物线的标准方程为
狔２＝２狆狓（狆＞０），
其中狆２＝５，即狆＝１０，２狆＝２０．
因此，所求抛物线的标准方程是
狔２＝２０狓，
准线方程是狓＝－５．
例２　求经过点犘（－２，－４）的抛物线的标准方程．
解　如图３３３，因为点犘在第三象限，所以满足条件的抛物
线的标准方程有两种情形
狔２＝－２狆１狓（狆１＞０）和狓２＝－２狆２狔（狆２＞０）．
图３３３
分别将点犘的坐标代入方程可以解得
狆１＝４，狆２＝１２．
因此，满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为
狔２＝－８狓，狓２＝－狔．
例３　已知探照灯的轴截面是抛物线狔２＝狓（图３３４），平行
于狓轴的光线照射到抛物线上的点犘（１，－１），反射光线经过抛物线
的焦点后又照射到抛物线上的犙点．试确定点犙的坐标．
解　因为抛物线狔２＝狓的焦点为犉１４，
（）
０，所以直线犘犉的方
程为
狔＝－４３狓－１
（
）
４．
选择性必修第一册
数学
１０４
　
图３３４
由于犙（狓，狔）是抛物线与直线犘犉的公共点，解方程组
狔＝－４３狓－１
（
）
４，
狔２＝狓
烅烄
烆
，
得
狓１＝１１６，
狔１＝１
烅
烄
烆
４
　或　狓２＝１，
狔２＝－
烅烄
烆
１（舍去）．
故点犙的坐标为１１６，１
（
）
４．
练　习
１．过点（１，－２）的抛物线的标准方程是（　　）．
Ａ．狔２＝４狓或狓２＝１２狔
Ｂ．狔２＝４狓
Ｃ．狔２＝４狓或狓２＝－１２狔
Ｄ．狓２＝－１２狔
２．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（１）焦点为犉（６，０）；
（２）焦点为犉（０，－５）；
（３）准线方程为狔＝２３；
（４）焦点到准线的距离为５．
３．已知抛物线犆的焦点是直线２狓－３狔＋６＝０与坐标轴的一个交点，求抛物线
犆的标准方程．
４．已知直线犾过点（１，２）且与抛物线狔２＝４狓只有一个公共点，求直线犾的方程．
５．已知点犘在抛物线狔２＝２狓上．
（１）若点犘的横坐标为２，求点犘到抛物线焦点的距离；
（２）若点犘到抛物线焦点的距离为４，求点犘的坐标．
６．已知动点犕（狓，狔）到点犉（４，０）的距离比到直线狓＋５＝０的距离小１，试判
断点犕的轨迹是什么图形．
习题３．３（１）
感受·理解
１求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（１）焦点为犉（－２，０）；
（２）准线方程是狔＝１３；
圆锥曲线与方程
第３章
１０５
　
（３）焦点到准线的距离为３；
（４）经过点（－２，３）．
２．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线狓－２狔－４＝０上，
求抛物线的方程．
３．如图，吊车梁的鱼腹部分犃犗犅是一段抛物线，宽７ｍ，高０．７ｍ，求这条抛
物线的方程．
（第３题）
４．已知抛物线的顶点、焦点分别是双曲线１６狓２－９狔２＝１４４的中心、左顶点，
求抛物线的方程．
５．已知圆犉：（狓＋３）２＋狔２＝１，直线犾：狓＝２，求与直线犾相切且与圆犉外切
的圆的圆心犕的轨迹方程．
６已知直线２狓－狔－４＝０与抛物线狔２＝４狓相交于犃，犅两点，求犃犅的长．
思考·运用
７从抛物线狔２＝１６狓上任意一点向狓轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方
程，并说明它表示什么曲线．
８已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线狔２＝６狓上，
求这个等边三角形的边长．
９．过抛物线狔２＝４狓的焦点犉作斜率为４３的弦犃犅，其中点犃在第一象限，求
犃犉
犉犅的值．
１０．在平面直角坐标系狓犗狔中，已知直线狔＝狓－２与抛物线狔２＝２狓相交于点
犃，犅．求证：犗犃⊥犗犅．
探究·拓展１１．已知狔０２＝２狆狓０（狆＞０），点犘（狓０，狔０），犉狆２，
（）
０，直线犾：狓＝－狆２．求证：
点犘到直线犾的距离等于犘犉．
１２．（操作题）如图，将一张长方形纸片犃犅犆犇的一只角斜折，使点犇总是落在
对边犃犅上，然后展开纸片，得到一条折痕犾（为了看清楚，可把直线犾画出
来）．这样继续下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么
曲线？
（第１２题）
选择性必修第一册
数学
１０６
　
３．３．２　抛物线的几何性质
　　●根据抛物线的标准方程狔２＝２狆狓（狆＞０）可以得到抛物线的
哪些几何性质？
抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的主要性质归纳如下：
　　抛物线的对称轴
叫作抛物线的轴．
范　　围
在狔轴的右侧
对称性
关于狓轴对称
顶　　点
原　　点
开口方向
向　　右
　　在抛物线的标准方程狔２＝２狆狓（狆＞０）中，令狓＝狆２，则狔＝
±狆．这就是说，通过抛物线的焦点且垂直于狓轴的直线与抛物线交
于点犕１狆２，－
（
）
狆和犕２狆２，
（）
狆．线段犕１犕２叫作抛物线的通径，它的
长为２狆．这样，利用抛物线的几何性质和通径的两个端点，可以方便
地画出反映抛物线基本特征的简图（图３３５）．
图３３５
例１　求抛物线狔２＝４狓的焦点坐标和准线方程．
解　因为２狆＝４，即狆＝２，狆２＝１，
所以抛物线的焦点坐标为（１，０），准线方程为狓＝－１．
图３３６
例２　某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一
段，灯口直径为１９７ｍｍ，反光曲面的顶点到灯口的距离是６９ｍｍ．由
抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反
射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确
到１ｍｍ）？
解　如图３３６，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系狓犗狔．
圆锥曲线与方程
第３章
１０７
　
设抛物线的方程为狔２＝２狆狓（狆＞０），灯泡应安装在其焦点犉处．
在狓轴上取一点犆，使犗犆＝６９．过犆作狓轴的垂线，交抛物线于
犃，犅两点，线段犃犅就是灯口的直径，即犃犅＝１９７，所以点犃的坐标
为６９，１９７
（
）
２．
将点犃的坐标代入方程狔２＝２狆狓，解得狆≈７０．３．
所以抛物线的焦点坐标约为（３５，０）．
答　灯泡应该安装在距顶点约３５ｍｍ处．
练　习
１．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（１）狔２＝６狓；
（２）狓２＝－４狔；
（３）狔２＝－３２狓；
（４）狓２＝４２狔．
２．抛物线狔＝２狓２的焦点坐标是（　　）．
Ａ．１２，
（）
０
Ｂ．１８，
（）
０
Ｃ．０，１
（）
２
Ｄ．０，１
（）
８
３．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（１）焦点为（０，－５）；
（２）准线方程为狓＝３；
（３）经过点（－３，４）；
（４）焦点在狔轴上，通径的长等于４．
４．若犘（狓０，狔０）是抛物线狔２＝－３２狓上一点，犉为抛物线的焦点，则犘犉＝
（　　）．
Ａ．狓０＋８　　　　
Ｂ．狓０－８
Ｃ．８－狓０　　　　
Ｄ．狓０＋１６
５．如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶２ｍ时，水面宽４ｍ．若水面下降
１ｍ，求水面宽度（精确到０．０１ｍ）．
（第５题）
习题３．３（２）
感受·理解
１．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（１）狔２＝－狓；
（２）狓２＝８狔；
（３）狔２＝犪狓（犪＞０）；
（４）２狔２＋７狓＝０．
选择性必修第一册
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１０８
　
２．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（１）焦点为（１，０）；
（２）准线方程是狔＝１２；
（３）对称轴为狓轴，焦点到准线的距离是４．
３．已知抛物线狔２＝４狓上一点到焦点的距离为５，求该点的坐标．
４．经过抛物线狔２＝２狆狓的焦点犉作一条直线与抛物线相交于犘１，犘２两点，
求证：以线段犘１犘２为直径的圆与抛物线的准线相切．
思考·运用
５．设犿为实数，已知抛物线的焦点在狔轴上，点犕（犿，－３）是抛物线上的一
点，犕到焦点的距离是５，求犿的值及抛物线的标准方程、准线方程．
６．已知犕是抛物线狔２＝８狓上一点，犉是抛物线的焦点，犗为坐标原点．若
∠犕犉犗＝１２０°，求线段犕犉的长．
７．设过抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点犉的直线交抛物线于犃，犅两点，犃，
犅在抛物线准线上的射影分别为犃１，犅１．求证：∠犃１犉犅１是直角．
８．设过抛物线狔２＝２狆狓的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点
的纵坐标分别为狔１，狔２．求证：狔１狔２＝－狆２．
探究·拓展
９．（阅读题）在工程中，画拱宽为２犪，拱高为犺的抛物线，常用下面的画法：
（１）作矩形犃犅犆犇，使犃犅＝２犪，犇犃＝犺；
（２）分别取犆犇，犃犅的中点犗，犎，把线段犇犃，犗犇，犎犃各狀等分；
（３）如图连线得到各交点，将交点连成光滑曲线，就得到抛物线的一半；
（４）用同样的方法画出抛物线的另一半．
你能说明上述画法的正确性吗？
（第９题）
　　　
圆锥曲线与方程
第３章
１０９
　
链　接
圆锥曲线的统一定义
我们知道，平面内到一个定点犉的距离和到一条定直线犾（犉不
在犾上）的距离之比等于１的动点犘的轨迹是抛物线．
当这个比值是一个不等于１的常数时，动点犘的轨迹又是什么
曲线呢？
图１和图２分别给出常数为０．８和１．５时动点犘的轨迹．
图１
　
图２
容易看到，图１中的轨迹像椭圆，图２中的轨迹像双曲线．
例　已知点犘（狓，狔）到定点犉（犮，０）的距离与它到定直线
犾：狓＝犪２犮的距离之比是常数犮犪（犪＞犮＞０），求点犘的轨迹（图３）．
图３
　　解　根据题意可得
（狓－犮）２＋狔
槡
２
犪２犮－狓
＝犮犪，
化简得
（犪２－犮２）狓２＋犪２狔２＝犪２（犪２－犮２）．
令犪２－犮２＝犫２（犫＞０），上述方程就可化为
狓２
犪２＋狔２
犫２＝１（犪＞犫＞０）．
这是椭圆的标准方程．
所以点犘的轨迹是焦点为（－犮，０），（犮，０），长轴长、短轴长分别
选择性必修第一册
数学
１１０
　
为２犪，２犫的椭圆．这个椭圆的离心率犲就是点犘到定点犉的距离和
它到定直线犾（犉不在犾上）的距离之比．
类似地，我们可以得到：当点犘到定点犉（犮，０）的距离和它到定
直线犾：狓＝犪２犮的距离之比是常数犮犪（犮＞犪＞０）时，这个点的轨迹是
双曲线，方程为狓２
犪２－狔２
犫２＝１（其中犫２＝犮２－犪２），这个常数就是双曲线
的离心率．
这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点犉和到一条
定直线犾（犉不在犾上）的距离之比等于常数犲的点的轨迹．
当０＜犲＜１时，它是椭圆；
当犲＞１时，它是双曲线；
当犲＝１时，它是抛物线．
其中犲是圆锥曲线的离心率，定点犉是圆锥曲线的焦点，定直线
犾是圆锥曲线的准线．
根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心
在原点，焦点在狓轴上的椭圆或双曲线，与焦点犉１（－犮，０），
犉２（犮，０）对应的准线方程分别为狓＝－犪２犮，狓＝犪２犮．
圆锥曲线与方程
第３章
１１１
　
应用与建模
双曲线时差定位法
船在海上航行时，常采用“双曲线时差定位法”测定自己在海上
的位置．其主要思想是：
在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台犉１和
两个副导航台犉２，犉３，如图１所示．船犛上的定位仪能接收从三个台
发来的无线电信号．因为船犛到各导航台的距离不等，因此三处同时
发出的信号到达船犛上的时间就有先后，于是定位仪的读数栏里就
表示出从犉１和犉２以及从犉１和犉３发来的信号到达船犛上的时间
差．根据无线电波在空气中传播的速度为３×１０５ｋｍ／ｓ，就可知道船犛
离开各导航台的距离差，因而船犛在以犉１，犉２为焦点的双曲线和以
犉１，犉３为焦点的另一双曲线的交点上．
图１
下面以具体实例加以说明．
现设导航台犉１和犉２相距５００ｎｍｉｌｅ（１ｎｍｉｌｅ＝１．８５２ｋｍ），在
船犛的定位仪上读得两台发出的无线电信号到达的时间差均为
２０００μｓ（μｓ表示微秒，１μｓ＝１０－６ｓ），试确定船犛所在的双曲线
方程．根据上面的分析与计算，在上图的基础上绘制一幅双曲线时差
定位图．
分析与求解　（１）建立直角坐标系（如图２所示）．已知
２犮＝犉１犉２＝５００（ｎｍｉｌｅ），犮＝２５０．又知犉１犛－犉２犛＝±２０００×
１０－６×３×１０５＝±６００（ｋｍ）≈±３２４（ｎｍｉｌｅ），得犪＝１６２，所以犫＝
　　　　
图２
　　　　
图３
选择性必修第一册
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１１２
　
犮２－犪
槡
２＝２５０２－１６２
槡
２≈１９０．因此，船犛所在的双曲线方程为
狓２
１６２２－狔２
１９０２＝１，在此双曲线上标注２０００μｓ的字样，表示时差为
２０００μｓ的双曲线．
（２）在图３中，画出以犉１，犉２为焦点，时差分别为１０００μｓ，
２０００μｓ，３０００μｓ，…的双曲线．同样画出以犉１，犉３为焦点，时差分
别为１０００μｓ，２０００μｓ，３０００μｓ，…的双曲线．就得到“双曲线时差
定位图”．
“双曲线时差定位图”实际上是海图的一种，它在海洋地图上标
有主导航台犉１和副导航台犉２之间的等时差线，每条曲线上注有时
差，表示在这些曲线上海轮接收到从犉１，犉２发出的信号的时差，其中
线段犉１犉２的垂直平分线也是一条等时差线，时差为０μｓ．在主导航
台犉１和另一副导航台犉３之间则用另一种颜色画出以它们为焦点的
等时差线．航海时，只需从定位仪上分别读出从犉１和犉２以及从犉１
和犉３发来的信号的时差，就能在图上找到船所在的两双曲线的交
点，便知船在海上的位置了．
对应于同一时差的双曲线有两支，因此交点可能会有四个，其中
哪一个交点是船的位置呢？
阅　读
圆锥曲线的起源
圆锥曲线的研究起源于希腊，它与三大几何作图问题中的“立方
倍积”问题有关．
　　“立方倍积”问题
是指：求作一个正方
体，使其体积是已知
正方体体积的２倍．
后来被证明，这一问
题不能用“尺规作图”
完成．
　　不少古希腊学者研究过“立方倍积”问题．梅内克缪斯
（Ｍｅｎａｅｃｈｍｕｓ）的解法是：取三个圆锥，其轴截面顶角分别为直角、锐
角和钝角．各作一平面垂直于一条母线，并与圆锥相截，称截线为“直
角圆锥截线”“锐角圆锥截线”和“钝角圆锥截线”，即现在的抛物线、
椭圆和一支等轴双曲线．这是最早对圆锥曲线的定名．他用两条抛物
线的交点或一抛物线与一双曲线的交点解决了二倍立方问题．
梅内克缪斯的著作早已失传，他的大部分发明是推测出来的．根
据德国学者布莱慈纳德（Ｂｒｅｔｓｃｈｎｅｉｔｅｒ，１８０８—１８７８）考证，推出“直角
圆锥截线”（抛物线）的方法如下：
图４
如图４，Ｒｔ△犃犅犆为直角圆锥轴截面，截面犇犈犉垂直于母线
犃犆，交轴截面于犇犈．在犇犈上任取一点犑，过犑作与圆锥的轴垂直的
截面犎犓犌，与面犇犈犉交于犑犓．作犇犔∥犎犌，犔犕⊥犔犇．于是得
犑犓２＝犎犑·犑犌＝犔犇·犑犌＝犑犇·犇犕．
设狓＝犑犇，狔＝犑犓，狆＝犇犕，由上式得
狔２＝狆狓．
圆锥曲线与方程
第３章
１１３
　
布莱慈纳德还认为，由锐角圆锥、钝角圆锥，同样地也可推得“锐
角圆锥截线”“钝角圆锥截线”．
公元前３世纪，古希腊学者欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）、阿基米德
（Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ）和阿波罗尼斯（Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ）在前人的基础上，进一步发
展了圆锥曲线的理论．
欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，但
欧几里得在这方面的著作都散失了．阿基米德是第一个成功计算出
抛物线弓形面积的学者，椭圆作图所用的辅助圆也是他的发明．
阿波罗尼斯处理圆锥曲线的方法与前人不同，他不用三个圆锥，
只用一个圆锥，仅需改变截面的位置就可产生三种曲线（欧几里得、
阿基米德可能都知道），他也注意到截面垂直于轴时是一个圆．他最
先发现双曲线是有对称中心的曲线，并有两个分支．他对圆锥曲线的
叙述很接近现代方式．根据他的叙述，圆锥曲线方程应该是狔２＝
狆狓（抛物线），狔２＝狆狓－狆犱狓２（椭圆），狔２＝狆狓＋狆犱狓２（双曲线）（其中狆
为通径，犱为与之对应的直径）．因此，可以认为阿波罗尼斯时代已经
有了文字叙述的圆锥曲线方程．
选择性必修第一册
数学
１１４
　
　　
本章回顾
本章概览
　　本章学习了圆锥曲线的概念，建立了圆锥曲线的方程，并通过方
程研究了圆锥曲线的基本性质，运用圆锥曲线的方程和性质解决了
一些实际问题．
圆锥曲线是一类重要的曲线，圆锥曲线的几何性质在日常生活、
社会生产及其他学科中都有着重要而广泛的应用．
运用曲线方程研究曲线的性质及相互关系，是解析几何的基本
方法，体现了数形结合的数学思想．
复习题
感受·理解
１．以椭圆狓２
２＋狔２＝１的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程
是（　　）．
Ａ．狔２＝４狓
Ｂ．狔２＝－４狓或狓２＝４狔
Ｃ．狓２＝４狔
Ｄ．狔２＝４狓或狔２＝－４狓
２．若双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为２狓－狔＝０，则双曲线的离
心率为（　　）．
圆锥曲线与方程
第３章
１１５
　
Ａ．５或５４
槡
Ｂ．５或槡５２
槡
Ｃ．３或槡３２
Ｄ．５或５３
３．已知α∈［０，π］，试讨论方程狓２ｓｉｎα＋狔２ｃｏｓα＝１所表示的曲线的类型．
４．已知点犕到椭圆狓２
２５＋狔２
９＝１的右焦点的距离与到直线狓＝６的距离相等，
求点犕的轨迹方程．
５．在椭圆狔２
４５＋狓２
２０＝１上求一点，使它与椭圆两个焦点的连线互相垂直．
６．设犿，犫为实数，已知椭圆狓２
１０＋狔２
犿＝１与双曲线狓２－狔２
犫＝１有相同的焦点，
且椭圆与双曲线交于点犘槡１０３，
（
）
狔，求犿，犫的值．
７．求与双曲线狓２
５－狔２
３＝１有公共渐近线，且焦距为８的双曲线方程．
８．设等轴双曲线犆的中心为犗，焦点为犉１，犉２，犘为犆上任意一点，求证：
犘犗２＝犘犉１·犘犉２．
９．若直线犾过抛物线狔２＝４狓的焦点，与抛物线交于犃，犅两点，且线段犃犅中
点的横坐标为２，求线段犃犅的长．
思考·运用１０．设犽为实数，已知双曲线犆的方程为狓２
４－狔２＝１，直线犾的方程为狔＝犽狓＋
１．当犽为何值时，直线犾与双曲线犆：
（１）有两个公共点？
（２）仅有一个公共点？
（３）没有公共点？
１１．设抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点为犉，经过点犉的直线交抛物线于犃，
犅两点，点犆在抛物线的准线上，且犅犆∥狓轴，求证：直线犃犆经过原
点犗．
１２．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和
水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的４个溢流孔，桥拱和溢流孔
的轮廓线均为抛物线的一部分，且４个溢流孔的轮廓线相同．根据图上尺
寸，试分别求出这些抛物线的方程，及溢流孔与桥拱交点犃，犅，犆的位置．
（第１２题）
１３．直线狔＝犪狓＋１与双曲线３狓２－狔２＝１相交于犃，犅两点．
（１）求犃犅的长；
（２）当犪为何值时，以犃犅为直径的圆经过坐标原点？
１４．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示．
为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度
之差至少要有０．５ｍ．若行车道总宽度犃犅为６ｍ，请计算车辆通过隧道时
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１１６
　
的限制高度（精确到０．１ｍ）．
（第１４题）
１５．设犪，犫是实数，若椭圆犪狓２＋犫狔２＝１与直线狓＋狔＝１交于点犃，犅，点犕
为犃犅的中点，直线犗犕（犗为原点）的斜率为槡２２，又犗犃⊥犗犅，求犪，犫
的值．
探究·拓展１６．（写作题）离心率相同的二次曲线“形状都相同”．
我们知道，椭圆的离心率决定了它的“扁圆”程度，双曲线的离心率决定
了它的“开口”大小．那么，离心率对抛物线的形状有何影响？为什么所有抛
物线的离心率都等于１？
结论只有一个，任何抛物线的形状都相同（即相似）．
抛物线的开口明显有大有小，形状怎么会相同呢？
我们可先用放大镜原理作一个直观的说明．图（１）中的△犃犅犆在３倍
放大镜下观察，得到图（２）中的△犃犅犆，这两个三角形是相似的，即“形状
相同”．
（第１６题）
对于抛物线，我们以狔＝狓２为例，图（３）中画有抛物线狔＝狓２和狔＝
１４狓２，图（４）是将图（３）中狔＝狓２的图象在４倍放大镜下观察得到的形状，
它和图（３）中狔＝１４狓２的图象是可以重合的，故两条抛物线的形状相同．
上面的结论对任意给出的两条抛物线都是成立的．
下面我们进一步说明抛物线狔＝犪狓２（犪＞０）与狔＝犃狓２（犃＞０）是位
圆锥曲线与方程
第３章
１１７
　
似形，原点是位似中心．
设直线犗犘的方程为狔＝犿狓（犿＞０），不难求出这条直线与两条已知
抛物线的交点犕犿犪，犿２
（
）
犪和犖犿犃，犿２
（
）
犃，于是
犗犕＝犿犪１＋犿
槡
２，犗犖＝犿犃１＋犿
槡
２，
所以犗犕
犗犖＝犃犪，这是一个与直线犗犘无关的常数．因此，任何两个抛物线的
形状都是相同的．
根据上述思路，请你尝试证明：离心率相同的圆锥曲线“形状都相同”．
并以此为素材，写一篇小论文．
１７（阅读题）圆锥曲线的光学性质．
椭圆形的反射面能使从一个焦点发出的信号在另一个焦点汇聚，如从
一个焦点发出的光线将汇聚到另一个焦点处（图（１））．
椭圆的这一光学性质应用非常广泛．碎石机是一种现代医疗仪器，它运
用高能冲击波击碎肾结石．经过准确的测量，将病人的结石置于一个焦点
处，而高频冲击波从另一个焦点处射出，经反射的冲击波可击碎焦点处的结
石．用此项医疗技术治疗只需３～４天的恢复时间，而传统外科手术治疗约
需２～３周的恢复时间．更值得一提的是，其治疗中的死亡率仅为０．０１％，
而传统外科手术的约为２％～３％．
　　
　　抛物线也有类似的光学性质．平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线
壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源．运用抛物线的这
一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶．反过来，从焦点处发出
的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用
这一性质，人们制造了探照灯．
从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开
的，它们好像是从另一个焦点射出的一样（图（２）），因此，用双曲线绕实轴旋
转形成的曲面（双叶旋转双曲面）应用也很广泛．
（１）
　　　　
（２）
（第１７题）
　　为了既获得足够的亮度，又使光线尽可能地均匀柔和，专门为摄影师设
计的照明灯就往往利用双曲线的光学性质，把反射镜的表面做成双叶旋转
双曲面的形状，并让灯丝恰好位于焦点．
请查阅有关资料，了解圆锥曲线光学性质的应用．
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１１８
　
　　
本章测试
一、填空题
１．椭圆狓２
２５＋狔２
１６＝１的离心率为　　　　．
２．抛物线狓２＝４狔的焦点到准线的距离为　　　　．
３．以双曲线狓２
１６－狔２
９＝１的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为　　　　．
４．椭圆狓２
１６＋狔２
７＝１上横坐标为２的点到右焦点的距离为　　　　．
５．若经过双曲线狔２
１６－狓２
８＝１的一个焦点，且垂直于实轴的直线犾与双曲线
交于犃，犅两点，则线段犃犅的长为　　　　．
６．椭圆经过点（２，－槡６）和（槡
２２，槡３），则该椭圆的标准方程为
　　　　　　　．
二、选择题
７．椭圆狓２
９＋狔２
５＝１的焦点的坐标为（　　）．
Ａ．（－槡１４，０），（槡１４，０）
Ｂ．（－２，０），（２，０）
Ｃ．（０，－槡１４），（０，槡１４）
Ｄ．（０，－２），（０，２）
８．设双曲线犆以椭圆狓２
２５＋狔２
９＝１长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为
顶点，则双曲线犆的方程为（　　）．
Ａ．狓２
２５－狔２
９＝１
Ｂ．狓２
１６－狔２
４＝１
Ｃ．狓２
１６－狔２
９＝１
Ｄ．狓２
９－狔２
１６＝１
９．已知双曲线经过点（－槡３，６），若它的两条渐近线方程是狔＝±３狓，则双曲
线的方程为（　　）．
Ａ．狓２
９－狔２＝１
Ｂ．狔２
９－狓２＝１
Ｃ．狓２
２７－狔２
３＝１
Ｄ．狔２
２７－狓２
３＝１
１０．若抛物线狔２＝２狓上的一点犕到坐标原点犗的距离为槡３，则点犕到该抛
物线焦点的距离为（　　）．
Ａ．３
Ｂ．２
Ｃ．３２
Ｄ．１
三、解答题
１１．已知抛物线的准线方程为狔＝－２，求抛物线的标准方程．
１２．已知双曲线的实轴长为８，离心率为３２，求双曲线的标准方程．
圆锥曲线与方程
第３章
１１９
　
１３．已知椭圆的焦点为犉１（－６，０），犉２（６，０），且该椭圆过点犘（５，２）．
（１）求椭圆的标准方程；
（２）若椭圆上的点犕（狓０，狔０）满足犕犉１⊥犕犉２，求狔０的值．
１４．设犿为实数，已知方程狓２
４－犿－狔２
２＋犿＝１表示双曲线．
（１）求犿的取值范围；
（２）若犿＝２，求双曲线的焦点到渐近线的距离．
１５．已知抛物线犆：狔２＝２狆狓（狆＞０）与直线犾：狔＝狓＋犫相交于犃，犅两点，线
段犃犅中点的横坐标为５，且抛物线犆的焦点到直线犾的距离为槡２，试求狆，犫
的值．
第４章　数　　列
１２２
　
数学揭示着事物的本质与内核，它以形式简单而内涵
丰富为其特征．
———狄尔曼
自然世界呈现各式各样的现象，有些现象与“数”紧密联系着：树
木生长过程中枝丫的数目，果实的个数与排列方式……
这些纷杂的现象背后有规律吗？
观察某株树木的枝丫数，第一年为１，第二年为１，第三年为２，第
四年为３，第五年为５，第六年为８，第七年为１３，第八年为２１，第九年
为３４，第十年为５５，第十一年为８９，第十二年为１４４……
将它们按年份排列起来，就是下面的一列数：
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，…
可以发现，这列数有许多规律．例如，从第三个数开始，每一个数
都等于前两个数的和；再如，相邻两个数的比值（前一个数与后一个
数之比）越来越接近于某个确定的常数……
上面的研究过程，大致思路是：
（１）首先，用“数”刻画现象中的状态；
（２）将这些数按一定的顺序排成一列（与正整数建立对应关系）；
（３）研究这列数的规律，用这些规律刻画并认识变化的状态和
过程．仿照这个过程，我们可以进一步去研究自然界、社会生活中的类
似现象，探索这些现象背后的规律，以解决具体的实际问题．在研究
过程中，我们
●应该建立怎样的数学模型来刻画这类现象？
●用这些数学模型能够解决哪些问题？
１２３
　
４．１
数列
考察下面的问题：
某剧场有３０排座位，第一排有２０个座位，从第二排起，后一排都
比前一排多２个座位（图４１１），那么各排的座位数依次为
２０，２２，２４，２６，２８，…．
①
图４１１
人类在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔８３年出
现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为
１７４０，１８２３，１９０６，１９８９，２０７２，…．
②
某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为２个，那么每过１分钟，
１个细胞分裂的个数依次为
１，２，４，８，１６，…．
③
　　“捶”同“棰”．
“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日
取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之捶”视为１份，那么每日剩下
的部分依次为
１２，１４，１８，１１６，１３２，…．
④
某种树木第１年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生
出幼枝（图４１２），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为
１，１，２，３，５，８，…．
⑤
图４１２
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１２４
　
从１９８４年到２０１６年，我国共参加了９次夏季奥运会，各次参赛
获得的金牌总数依次为
１５，５，１６，１６，２８，３２，５１，３８，２６．
⑥
●这些问题有什么共同的特点？
按照一定次序排列的一列数称为数列（ｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｎｕｍｂｅｒ），数
列中的每个数都叫作这个数列的项（ｔｅｒｍ）．项数有限的数列叫作有
穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
数列的一般形式可以写成
犪１，犪２，犪３，…，犪狀，…，
简记为｛犪狀｝，其中犪１称为数列｛犪狀｝的第１项或首项（ｌｅａｄｉｎｇｔｅｒｍ），犪２
称为第２项……犪狀称为第狀项．
在数列｛犪狀｝中，对于每一个正整数狀（或狀∈｛１，２，…，犽｝），都
有一个数犪狀与之对应，因此，数列可以看成以正整数集犖（或它的有
限子集｛１，２，…，犽｝）为定义域的函数犪狀＝犳（狀），当自变量按照从小
到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数狔＝
犳（狓），如果犳（犻）（犻＝１，２，３，…）有意义，那么我们可以得到一
个数列
犳（１），犳（２），犳（３），…，犳（狀），…．
例１　已知数列的第狀项犪狀为２狀－１，写出这个数列的首项、
第２项和第３项．
解　首项为
犪１＝２×１－１＝１；
第２项为
犪２＝２×２－１＝３；
第３项为
犪３＝２×３－１＝５．
在例１中，第狀项犪狀可用一个公式２狀－１来表示．只要依次用１，
２，３，…代替公式中的狀，就可以求出这个数列的各项犪１，犪２，犪３，…
一般地，如果数列｛犪狀｝的第狀项与序号狀之间的关系可以用一个
公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．例如：
数列①的通项公式为犪狀＝２狀＋１８，其中狀∈犖，狀≤３０；数列
③的通项公式为犪狀＝２狀－１，其中狀∈犖；等等．
数列可以由通项公式来给定，也可以通过列表或图象来表示．
例２　已知数列｛犪狀｝的通项公式，写出这个数列的前５项，并作
出它的图象：
（１）犪狀＝狀
狀＋１；　　　　　（２）犪狀＝（－１）狀
２狀．
数　列
第４章
１２５
　
解　我们用列表法分别给出这两个数列的前５项．
狀
１
２
３
４
５
犪狀＝狀
狀＋１
１２
２３
３４
４５
５６
犪狀＝（－１）狀
２狀
－１２
１４
－１８
１１６
－１３２
　　它们的图象如图４１３所示．
图４１３
不难发现，在数列①中，某剧场有３０排座位，第一排有２０个座
位，从第二排起，后一排都比前一排多２个座位，也就是说，
犪１＝２０，　　　　　　　　　
犪２＝犪１＋２，
犪３＝犪２＋２，
…
犪３０＝犪２９＋２．
即有
犪１＝２０，
犪狀＋１＝犪狀＋２（狀∈犖，狀≤２９）．
由上面数列的第１项，以及犪狀＋１与犪狀的关系，可以写出这个数列
的各项．
一般地，如果已知一个数列｛犪狀｝的第１项（或前几项），且任一项
犪狀与它的前一项犪狀－１（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．递推公式也是给定数列
的一种方法．
例如，数列⑤可以用下列递推公式给出
犪１＝１，
犪２＝１，
犪狀＋２＝犪狀＋１＋犪狀，其中狀∈犖．
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１２６
　
例３　试分别根据下列条件，写出数列｛犪狀｝的前５项：
（１）犪１＝１，犪２＝２，犪狀＋２＝犪狀＋１＋２犪狀，其中狀∈犖；
（２）犪１＝２，犪狀＋１＝２－１犪狀，其中狀∈犖．
解　（１）因为犪１＝１，犪２＝２，犪狀＋２＝犪狀＋１＋２犪狀，其中狀∈犖，
所以
犪３＝犪２＋２犪１＝２＋２×１＝４，
犪４＝犪３＋２犪２＝４＋２×２＝８，
犪５＝犪４＋２犪３＝８＋２×４＝１６．
因此，数列｛犪狀｝的前５项依次为１，２，４，８，１６．
（２）因为犪１＝２，犪狀＋１＝２－１犪狀，其中狀∈犖，所以
犪２＝２－１犪１＝２－１２＝３２，
犪３＝２－１犪２＝２－２３＝４３，
犪４＝２－１犪３＝２－３４＝５４，
犪５＝２－１犪４＝２－４５＝６５．
因此，数列｛犪狀｝的前５项依次为２，３２，４３，５４，６５．
例４　写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列
各数：
（１）１
１×２，－１
２×３，１
３×４，－１
４×５；
（２）０，２，０，２．
　　求数列的通项公
式，就是求犪狀与狀的
对应关系犪狀＝犳（狀）．
解　（１）这个数列的前４项的绝对值都是分数，分子都为１，分母
都等于序号与序号加１的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一
个通项公式是
犪狀＝（－１）狀＋１
狀（狀＋１）．
（２）这个数列的奇数项是０，偶数项是２，所以它的一个通项
公式是
犪狀＝１＋（－１）狀．
信息技术
　　●ＥＸＣＥＬ
　　已知数列的通项公式，我们可以在Ｅｘｃｅｌ中方便地作出这个数列
的图象，进而观察它的变化趋势．
数　列
第４章
１２７
　
例如，在单元格Ａ１，Ａ２内分别输入１，２，选中这两个单元格后向
下拖曳填充柄，生成序号１，２，３，…．在Ｂ１内输入“＝Ａ１／（Ａ１＋１）”，
双击Ｂ１的填充柄，就得到与序号相对应的项．
选中Ａ，Ｂ两列，插入“图表”，选择“ＸＹ散点图”，可得数列犪狀＝
狀
狀＋１的图象（图４１４）．
图４１４
●ＧＧＢ
在ＧＧＢ中，可用“序列［］”得到数列及图象．例如，在输入框中输
入“序列［（狀，狀／（狀＋１）），狀，１，２０］”就可得到数列犪狀＝狀
狀＋１的２０
个序对（狀，犪狀）及图象（图４１５）．
图４１５
练　习
１举出一些数列的例子．
２根据数列｛犪狀｝的通项公式，写出它的前５项：
（１）犪狀＝１－３狀；　　　　　　　　（２）犪狀＝（－１）狀２狀．
３根据数列｛犪狀｝的通项公式，写出它的第６项和第１０项：
（１）犪狀＝狀２＋狀；　
（２）犪狀＝５－２狀－１．
４３７是否为数列｛３狀＋１｝中的项？如果是，那么是第几项？
５写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（１）－１，２，－３，４；
（２）２，４，６，８；
（３）１，４，９，１６；
（４）１－１２，１２－１３，１３－１４，１４－１５．
６分别作出本节开始问题中数列①③的图象．
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数学
１２８
　
习题４．１
感受·理解
１．分别写出下面的数列：
（１）在０到１６之间的奇数按从小到大的顺序构成的数列；
（２）在０到１６之间的质数按从小到大的顺序构成的数列．
２．根据数列｛犪狀｝的通项公式，写出它的前５项：
（１）犪狀＝１狀２；
（２）犪狀＝（－１）狀（狀２－１）；
（３）犪狀＝狘２狀－７狘．
３写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（１）２，４，８，１６；　
（２）１，８，２７，６４；
（３）－１，１２，－１３，１４；　
（４）１，槡２，槡３，２．
４．写出一个分别满足下列条件的数列｛犪狀｝的通项公式：
（１）从第２项起，每一项都比它的前一项大２；
（２）各项均不为０，且从第二项起，每一项都是它的前一项的３倍．
５已知数列｛狀（狀＋２）｝．
（１）写出这个数列的第８项和第２０项；
（２）３２３是不是这个数列中的项？如果是，那么是第几项？
６写出数列｛犪狀｝的前５项，并作出它的图象：
（１）犪狀＝２狀＋３；　
（２）犪狀＝３；
（３）犪狀＝１３（２狀－１）；　
（４）犪狀＝１，
２狀－１
烅烄烆
，狀为奇数；
狀为偶数．
思考·运用
７已知数列｛犪狀｝的通项公式是犪狀＝狀２＋３狀＋２，那么５６是这个数列中的项
吗？如果是，那么是第几项？
８已知数列｛犪狀｝的通项公式是犪狀＝狀２－８狀＋５．
（１）写出这个数列的前５项，并作出它的图象；
（２）这个数列中有没有最小的项？
探究·拓展
９．下图中的三角形称为谢尔宾斯基（Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ）三角形．图中从左向右的四个
三角形中，着色三角形的个数依次构成数列｛犪狀｝的前４项，写出数列｛犪狀｝的
一个通项公式，并作出它的图象．
（第９题）
数　列
第４章
１２９
　
４．２
等差数列
回顾本章４．１节开始我们遇到的数列①②，再考察下面的问题：
第２３届到第３１届奥运会举行的年份依次为
１９８４，１９８８，１９９２，１９９６，２０００，２００４，２００８，２０１２，２０１６．
某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过３ｍｉｎ，收话费
０．２元，以后每分钟（不足１ｍｉｎ按１ｍｉｎ计）收话费０．１元．那么通话
费按从小到大的次序依次为
０．２，０．２＋０．１，０．２＋０．１×２，０．２＋０．１×３，…．
　　“本利和”是指本
金与利息的和，按照
单利计算本利和的公
式是
本利和＝本金×
（１＋利率×存期）．
如果１年期储蓄的月利率为１．６５‰，那么将１００００元分别存
１个月、２个月、３个月……１２个月，所得的本利和依次为
１００００＋１６．５，１００００＋１６．５×２，…，１００００＋１６．５×１２．
●上面这些数列有什么共同的特点？
４２１　等差数列的概念
　　在等差数列｛犪狀｝
中，始终有
犪狀＋１－犪狀＝犱．
　　一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得
的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列（ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ
ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ），这个常数叫作等差数列的公差（ｃｏｍｍｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ），公
差通常用犱表示．
思　考
　　你能再举出一些等差数列的例子吗？
例１　判断下列数列是否为等差数列：
（１）１，１，１，１，１；
（２）４，７，１０，１３，１６；
（３）－３，－２，－１，１，２，３．
解　（１）所给数列是首项为１，公差为０的等差数列．
（２）所给数列是首项为４，公差为３的等差数列．
（３）因为
（－１）－（－２）≠１－（－１），
所以这个数列不是等差数列．
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１３０
　
　　例２　求出下列等差数列中的未知项：
（１）３，犪，５；
（２）３，犫，犮，－９．
解　（１）根据题意，得
犪－３＝５－犪，
解得
犪＝４．
（２）根据题意，得
犫－３＝犮－犫，
犮－犫＝－９－犮
烅烄
烆
，
解得
犫＝－１，
犮＝－５
烅烄
烆
．
例３　（１）在等差数列｛犪狀｝中，是否有
犪狀＝犪狀－１＋犪狀＋１
２
（狀≥２）？
（２）在数列｛犪狀｝中，如果对于任意的正整数狀（狀≥２），都有
犪狀＝犪狀－１＋犪狀＋１
２
，
那么数列｛犪狀｝一定是等差数列吗？
解　（１）因为｛犪狀｝是等差数列，所以
犪狀＋１－犪狀＝犪狀－犪狀－１（狀≥２），
所以
犪狀＝犪狀－１＋犪狀＋１
２
．
（２）在数列｛犪狀｝中，如果对于任意的正整数狀（狀≥２），都有
犪狀＝犪狀－１＋犪狀＋１
２
，
从而
犪狀＋１－犪狀＝犪狀－犪狀－１（狀≥２）．
这表明，这个数列从第２项起，后一项减去前一项所得的差始终
相等，所以数列｛犪狀｝是等差数列．
练　习
１．判断下列数列是否为等差数列：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）－１，－１，－１，－１，－１；
（２）１，１２，１３，１４；
（３）１，０，１，０，１，０；
（４）２，４，６，８，１０，１２；
（５）７，１２，１７，２２，２７．
数　列
第４章
１３１
　
２．从下面的月历表中，请你用彩笔涂出３个等差数列，满足以下要求：
（１）每个数列的项所在的框是相连接的（顶点相连或者边相连）；
（２）三个数列的公差是不同的．
日
一
二
三
四
五
六
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
１３
１４
１５
１６
１７
１８
１９
２０
２１
２２
２３
２４
２５
２６
２７
２８
２９
３０
３１
３．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
（１）（　），５，１０；
（２）１，槡２，（　）；
（３）３１，（　），（　），１０．
４．已知数列｛犪狀｝是等差数列．
（１）如果犪１＝２，犪３＝６，求公差犱和犪２；
（２）如果犪２＝２，犪３＝５，求公差犱和犪１；
（３）如果犪１＝１，犪２＝４，求公差犱和犪６．
５．已知数列｛犪狀｝的通项公式，判断它是否为等差数列：
（１）犪狀＝３狀＋１；
（２）犪狀＝４－２狀；
（３）犪狀＝狀２；
（４）犪狀＝０．
６．已知犪１，犪２，犪３，…，犪狀，犪狀＋１，…，犪２狀是公差为犱的等差数列．
（１）犪狀，犪狀－１，…，犪２，犪１也是等差数列吗？如果是，试求出公差；
（２）犪２，犪４，犪６，…，犪２狀也是等差数列吗？如果是，试求出公差．
４．２．２　等差数列的通项公式
　　观察等差数列｛犪狀｝
４，７，１０，１３，１６，…，
如何写出它的第１００项犪１００呢？
我们有　　　　犪１＝４，
犪２＝７＝４＋３，
犪３＝１０＝４＋３×２，
犪４＝１３＝４＋３×３，
…
从而
犪１００＝４＋３×９９＝３０１．
设｛犪狀｝是一个首项为犪１，公差为犱的等差数列，你能写出它的第
狀项犪狀吗？
一般地，对于等差数列｛犪狀｝的第狀项犪狀，有
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１３２
　
犪狀＝犪１＋（狀－１）犱．
这就是等差数列｛犪狀｝的通项公式，其中犪１为首项，犱为公差．
证明　因为｛犪狀｝为等差数列，所以当狀≥２时，有
犪２－犪１＝犱，
犪３－犪２＝犱，
…犪狀－犪狀－１＝犱．
将上面狀－１个等式的两边分别相加，得
犪狀－犪１＝（狀－１）犱，
所以
犪狀＝犪１＋（狀－１）犱．
当狀＝１时，上面的等式也成立．
例４　在等差数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪１＝３，公差犱＝－２，求犪６；
（２）已知犪３＝１０，犪９＝２８，求犪狀．
解　（１）由等差数列的通项公式，得
犪６＝３＋（６－１）（－２）＝－７．
（２）设等差数列的公差为犱，那么
犪１＋２犱＝１０，
犪１＋８犱＝２８
烅烄
烆
，
解得
犪１＝４，
犱＝３
烅烄
烆
．
所以
犪狀＝４＋（狀－１）·３＝３狀＋１．
例５　第一届现代奥运会于１８９６年在希腊雅典举行，此后每４
年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．按此规则，问：２０５０
年举行奥运会吗？
解　由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以１８９６为
首项，４为公差的等差数列．这个数列的通项公式为
犪狀＝１８９６＋４（狀－１）
＝１８９２＋４狀　（狀∈犖）．
假设犪狀＝２０５０，则２０５０＝１８９２＋４狀，解得狀＝３９．５．
所以犪狀＝２０５０无正整数解．
　　答　按此规则，２０５０年不举行奥运会．
数　列
第４章
１３３
　
例６　已知等差数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝２狀－１，求首项犪１
和公差犱．
　　或犱＝犪狀＋１－犪狀
＝２（狀＋１）－１－（２狀
－１）＝２．
解　
犪１＝２×１－１＝１，
犪２＝２×２－１＝３，
所以
犱＝犪２－犪１＝３－１＝２．
在例６中，等差数列的通项公式犪狀＝２狀－１是关于狀的一次式，
从图象上看（图４２１），表示这个数列的各点（狀，犪狀）均在直线狔＝
２狓－１上．
图４２１
思　考
　　如果一个数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝犽狀＋犫，其中犽，犫都是常
数，那么这个数列一定是等差数列吗？
练　习
１．求下列等差数列的第狀项：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）２，６，１０，…；　
（２）１３，９，５，…；
（３）－１２，１２，３２，…．
２．（１）求等差数列８，５，２，…的第２０项．
（２）等差数列－５，－９，－１３，…的第几项是－４０１？
（３）－２０是不是等差数列０，－７２，－７，…的项？如果是，那么是第几项？
如果不是，请说明理由．
３．等差数列｛犪狀｝的首项为犪１，公差为犱，项数为狀．
（１）已知犪１＝３，犱＝２，狀＝６，求犪狀；
（２）已知犪１＝１，犱＝２，犪狀＝１５，求狀；
（３）已知犪１＝１２，狀＝５，犪狀＝８，求犱；
（４）已知犱＝－３２，狀＝１２，犪狀＝－８，求犪１．
４．已知等差数列的通项公式为犪狀＝１－１２狀，求它的首项和公差，并画出它的
图象．
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１３４
　
５．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６
年、１９８９年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次．
（１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？
（２）你认为这颗彗星会在２５００年出现吗？为什么？
６．某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直
径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径．
７．在等差数列｛犪狀｝中，　
（１）已知犪５＝１９，犪８＝１０，求犪１和公差犱；
（２）已知犪４＝１０，犪１０＝４，求犪１４．
习题４．２（１）
感受·理解
１．判断下列数列是否为等差数列：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）１２，１，３２，２，５２；
（２）４，２，０，－２，－４；
（３）１，槡２，槡３，２．
２．求出下列等差数列中的未知项：
（１）犪，犫，－１０，犮，－２０；
（２）狓，ｌｇ３，ｌｇ６，狔．
３．求下列等差数列的第狀项：
（１）－１，３，７，１１，…；
（２）１３，８，３，－２，…；
（３）１３，－１３，－１，－５３，…．
４．在等差数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪１＝－１，公差犱＝４，求犪８；
（２）已知公差犱＝－１３，犪７＝８，求犪１；
（３）已知犪１＝９，公差犱＝－２，犪狀＝－１５，求狀．
５．在等差数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪３＝３１，犪７＝７６，求犪１和公差犱；
（２）已知犪４＝４，犪８＝－４，求犪１２；
（３）已知犪３＝７，犪６＝１６，求犪１０；
（４）已知犪１＋犪６＝１２，犪４＝７，求犪９．
６．一个等差数列的第４０项等于第２０项与第３０项的和，且公差是－１０，试求
首项和第１０项．
７．一种变速自行车后齿轮组由５个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最
小和最大的齿轮的齿数分别为１２和２８，求中间三个齿轮的齿数．
８．已知等差数列｛犪狀｝的首项犪１＝１６，公差犱＝－３４．
（１）此等差数列中从第几项开始是负数？
（２）当狀为何值时，｜犪狀｜最小？
９．三个数成等差数列，它们的和是１５，它们的平方和等于８３，求这三个数．
数　列
第４章
１３５
　
１０．图（１）是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成
４个三角形（图（２）），再分别连接图（２）中间的一个小三角形三边的中点，又
可将原三角形剖分成７个三角形（图（３））．依此类推，第狀个图中原三角形
被剖分为犪狀个三角形．
（１）求数列｛犪狀｝的通项公式；
（２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？
（第１０题）
１１．如果犪，犃，犫这三个数成等差数列，那么犃＝犪＋犫
２．我们把犃＝犪＋犫
２叫作
犪和犫的等差中项．试求下列各组数的等差中项：
（１）７＋３槡５和７－３槡５；　
（２）（犿＋狀）２和（犿－狀）２．
１２．已知等差数列｛犪狀｝的首项为犪１，公差为犱．
（１）将数列｛犪狀｝中的每一项都乘以常数犪，所得的新数列仍是等差数列吗？
如果是，那么公差是多少？
（２）由数列｛犪狀｝中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列｛犮狀｝是等差数
列吗？如果是，求出它的首项和公差．
思考·运用１３．已知等差数列｛犪狀｝的公差为犱，求证：犪狀－犪犿＝（狀－犿）犱，其中狀，犿∈犖．
１４．已知数列｛犪狀｝和｛犫狀｝是两个无穷等差数列，公差分别为犱１和犱２，求证：数列
｛犪狀＋犫狀｝是等差数列，并求它的公差．
１５．已知｛犪狀｝是等差数列，当犿＋狀＝狆＋狇时，是否一定有犪犿＋犪狀＝犪狆＋犪狇？
１６．在等差数列｛犪狀｝中，已知犪狆＝狇，犪狇＝狆（狆≠狇），求犪狆＋狇．
１７．如果数列｛犪狀｝满足：存在正整数犽，对任意的狀∈犖，狀＞犽，都有犪狀＝
犪狀＋犽＋犪狀－犽
２
，那么数列｛犪狀｝是等差数列吗？
探究·拓展１８．１９３４年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Ｓｕｎｄａｒａｍ）发现了“正方
形筛子”：
　　这个“正方形筛
子”的奥妙在于：如果
某个自然数狀出现在
表中，那么２狀＋１肯
定不是质数；如果狀在
表中不出现，那么
２狀＋１肯定是质数．
４７１０１３１６…
７１２１７２２２７…
１０１７２４３１３８…
１３２２３１４０４９…
１６２７３８４９６０…
… … … … … …
　　
（１）这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？
（２）“正方形筛子”中位于第１００行的第１００个数是多少？
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１３６
　
４．２．３　等差数列的前狀项和
　　先考察图４２２．这是某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层
有４根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有９根，
怎样计算这堆钢管的总数呢？
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管（图４２３）．
图４２２
　　　
图４２３
这样，每层的钢管数都等于４＋９，共有６层，从而原来一堆钢管
的总数为
６×（４＋９）
２
＝３９．
一般地，对于数列｛犪狀｝，把犪１＋犪２＋…＋犪狀称为数列｛犪狀｝的前狀
项和，记作犛狀．
如何求等差数列｛犪狀｝的前狀项和犛狀？
设等差数列｛犪狀｝的首项为犪１，公差为犱，则
　　犛狀＝犪１＋犪２＋…＋犪狀　　　　　　
＝犪１＋（犪１＋犱）＋…＋［犪１＋（狀－１）犱］．
①
把各项的次序反过来，犛狀又可以写成
　　犛狀＝犪狀＋犪狀－１＋…＋犪１
＝犪狀＋（犪狀－犱）＋…＋［犪狀－（狀－１）犱］．
②
由①＋②，得
　　２犛狀＝（犪１＋犪狀）＋（犪１＋犪狀）＋…＋（犪１＋犪狀）
＝狀（犪１＋犪狀），
由此可得等差数列｛犪狀｝的前狀项和公式
　　等差数列前狀项
的和等于首末两项和
的一半的狀倍．
犛狀＝狀（犪１＋犪狀）
２
．
根据等差数列的通项公式犪狀＝犪１＋（狀－１）犱，又可得到
犛狀＝狀犪１＋狀（狀－１）
２犱．
数　列
第４章
１３７
　
例１　设犛狀为等差数列｛犪狀｝的前狀项和．
（１）已知犪１＝３，犪５０＝１０１，求犛５０；
（２）已知犪１＝３，公差犱＝１２，求犛１０．
解　（１）根据等差数列前狀项和公式，得
犛５０＝３＋１０１
２×５０＝２６００．
（２）根据等差数列前狀项和公式，得
犛１０＝１０×３＋１０×９
２×１２＝１０５２．
例２　在等差数列｛犪狀｝中，已知公差犱＝１２，犪狀＝３２，前狀项和
犛狀＝－１５２，求犪１及狀．
解　由题意得
　　在等差数列的通
项公式与前狀项和公
式中，共含有犪１，犱，
狀，犪狀，犛狀五个量，只
要已知其中的三个
量，就可以求出其余
的两个量．
犪１＋３２
２×狀＝－１５２，
犪１＋（狀－１）×１２＝３２
烅
烄
烆
．
　
　①
②
由②，得
犪１＝－１２狀＋２．
代入①后化简，得狀２－７狀－３０＝０．
解得狀＝１０或－３（舍去），从而犪１＝－３．
例３　在等差数列｛犪狀｝中，已知第１项到第１０项的和为３１０，第
１１项到第２０项的和为９１０，求第２１项到第３０项的和．
解　设等差数列的前狀项和为犛狀，公差为犱．由题意得
犛１０＝３１０，
犛２０－犛１０＝９１０
烅烄
烆
，
即
１０犪１＋１０×９
２犱＝３１０，
２０犪１＋２０×１９
２犱－３１０＝９１０
烅
烄
烆
，
解得
犪１＝４，
犱＝６
烅烄
烆
．
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１３８
　
所以犪２１＝４＋２０×６＝１２４，于是
犪２１＋犪２２＋…＋犪３０＝１０×１２４＋１０×９
２×６＝１５１０，
即第２１项到第３０项的和为１５１０．
思　考
练　习
１．某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料，底层放置
１５个罐头，第２层放置１４个罐头，第３层放置１３个罐头……顶层放置１个
罐头，这样的摆法需要多少个罐头？
２．设等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀．
（１）已知犪１＝７，犪１０＝－４３，求犛１０；
（２）已知犪１＝１００，公差犱＝－２，求犛５０．
３．设等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀．
（１）已知犪１＝１，公差犱＝２，狀＝１５，求犪狀和犛狀；
（２）已知犪１＝－１３，公差犱＝２，犪狀＝７，求狀和犛狀；
（３）已知犪１＝８，狀＝５，犪狀＝１２，求公差犱和犛狀；
（４）已知犪狀＝２，狀＝１２，犛狀＝９０，求犪１和公差犱．
４．在等差数列１６，１３，１２，２３，…中，
（１）求前２０项的和；
（２）已知前狀项的和为１５５２，求狀的值．
５．设等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀．
（１）已知犪１５＝－１０，公差犱＝２，求犛２０；
（２）已知犪５＝８，犪９＝２４，求犪狀和犛狀；
（３）已知犪５＝８，求犛９．
６．设等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，若犛８＝１００，犛１６＝３９２，试求犛２４．
例４　某剧场有２０排座位，后一排比前一排多２个座位，最后
一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？
解　这个剧场各排的座位数组成等差数列｛犪狀｝，其中公差犱＝２，
项数狀＝２０，且第２０项是犪２０＝６０．
由等差数列的通项公式，得
６０＝犪１＋（２０－１）×２，
所以
犪１＝２２．
由等差数列的求和公式，得
犛２０＝２０×（２２＋６０）
２
＝８２０．
答　这个剧场共有８２０个座位．
数　列
第４章
１３９
　
　　例５　某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为４０ｍｍ，满
盘时直径为１２０ｍｍ（图４２４）．已知卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，问：
满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到１ｍ）？
图４２４
解　卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地
看作一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和．
由内向外各圈的半径分别为
　　各圈的半径为该
层纸的中心线至盘芯
中心的距离．
２０．０５，２０．１５，…，５９．９５．
因此，各圈的周长分别为
４０．１π，４０．３π，…，１１９．９π．
因为各圈半径组成首项为２０．０５，公差为０．１的等差数列，设圈
数为狀，则
５９．９５＝２０．０５＋（狀－１）×０．１，
解得狀＝４００．
显然，各圈的周长组成一个首项为４０．１π，公差为０．２π，项数为
４００的等差数列．根据等差数列的求和公式，得
犛＝４００×４０．１π＋４００×（４００－１）
２
×０．２π
＝３２０００π（ｍｍ）．
３２０００π（ｍｍ）≈１００（ｍ）．
答　满盘时卫生纸的长度约为１００ｍ．
　　例６　某零存整取３年期储蓄的月利率为２．７‰．
（１）如果每月存入１０００元，那么３年后本息合计为多少元（精确
到１元）？
（２）欲在３年后一次性支取本息合计５万元，每月存入多少元
（精确到１元）？
选择性必修第一册
数学
１４０
　
解　（１）３年后的本息和为
　１０００（１＋２．７‰）＋１０００（１＋２×２．７‰）＋…＋１０００（１＋３６×２．７‰）
＝
（
１０００３６＋３６×２．７‰＋３６×３５
２×
）
２．７‰
≈３７７９８（元）．
（２）设每月存犃元，则有
　　存款是按月存的，
３年存３６次，最后一次
有一个月的利息．
　　　犃（１＋２．７‰）＋犃（１＋２×２．７‰）＋…＋犃（１＋３６×２．７‰）
＝５００００．
利用等差数列的求和公式，得
犃（３６＋３６×２．７‰＋３６×３５
２×２．７‰）＝５００００，
解得
犃≈１３２３．
答　零存整取３年期储蓄每月存入１０００元，３年后本息合计约
３７７９８元．欲在３年后一次性支取本息５万元，每月存入约１３２３元．
练　习
１．为了参加学校的长跑比赛，某同学制定了一个１２天的训练计划：第一天跑
２０００ｍ，以后每天比前一天多跑２５０ｍ．这个同学在这１２天中一共跑了多
少米？
２．求集合｛犿狘犿＝２狀－１，狀∈犖，且犿＜６０｝的元素个数，并求这些元素的和．
３．一个多边形的周长等于１５８ｃｍ，所有各边的长成等差数列，最大边的长等
于４４ｃｍ，公差等于３ｃｍ，求该多边形的边数．
４．已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为
１２０°，则它是几边形？
５．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使
剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？
（第５题）
习题４．２（２）
感受·理解
１．求下列等差数列的各项的和：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）１，５，９，…，４０１；　
（２）－３，－３２，０，…，３０；
数　列
第４章
１４１
　
（３）０．７，２．７，４．７，…，５６．７；　
（４）－１０，－９．９，－９．８，…，－０．１．
　　∑为求和符号．
例如∑
１０
犽＝１犽＝１＋
２＋…＋１０．
２．求和：
（１）∑
１０
犽＝０（３＋０．２５犽）；　
（２）∑
２０
狀＝０（１－２狀）．
３．已知等差数列｛犪狀｝的通项公式，求它的前狀项和犛狀．
（１）犪狀＝２狀＋１；　
（２）犪狀＝３狀－１；
（３）犪狀＝９－４狀；　
（４）犪狀＝１１２－１２狀．
４．设等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀．
（１）已知犪１＝２０，犪狀＝５４，犛狀＝９９９，求犱及狀；
（２）已知犱＝１３，狀＝３７，犛狀＝６２９，求犪１及犪狀；
（３）已知犪１＝５６，犱＝－１６，犛狀＝－５，求狀及犪狀；
（４）已知犱＝２，狀＝１５，犪狀＝－１０，求犪１及犛狀．
５．设等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀．
（１）已知犪６＝１０，犛５＝５，求犛８；
（２）已知犛４＝２，犛９＝－６，求犛１２；
（３）已知犪２＋犪４＋犪６＝－３，犪３＋犪５＋犪７＝６，求犛２０；
（４）已知犛３＝６，犛６＝－８，求犛９．
６．设等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀．已知犱＝２，犛２０＝４００．
（１）求犪１＋犪３＋犪５＋…＋犪１９；
（２）求犪２＋犪５＋犪８＋…＋犪２０．
７．设等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀．
（１）已知犪４＋犪１４＝１，求犛１７；
（２）已知犪１１＝２０，求犛２１；
（３）已知犛１１＝６６，求犪６；
（４）已知犛４＝２，犛８＝６，求犛１６．
８．一个等差数列的前１２项和为３５４，前１２项中，偶数项的和与奇数项的和之
比为３２∶２７，求公差犱．
思考·运用
９．已知等差数列｛犪狀｝的前狀项和犛狀＝５狀２＋３狀，写出这个数列的前３项，并求
它的通项公式．
１０．一个物体从１９６０ｍ的高空落下，如果该物体第１ｓ降落４．９０ｍ，以后每秒
比前一秒多降落９．８０ｍ，那么经过几秒钟才能落到地面？
１１．在等差数列｛犪狀｝中，已知犪１＝－３，１１犪５＝５犪８，求该数列前狀项和犛狀的最
小值．
探究·拓展１２．如果等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，那么犛１０，犛２０－犛１０，犛３０－犛２０是否成等
差数列？你能得到更一般的结论吗？
选择性必修第一册
数学
１４２
　
１３．观察：
１
１＋２＋１
１＋２＋３＋２＋１
１＋２＋３＋４＋３＋２＋１
…
（１）第１００行是多少个数的和？和是多少？
（２）计算第狀行的值．
１４．（写作题）请查阅“杨辉三角”、《四元玉鉴》等资料，收集我国古代的数列研究
成果，撰写小论文，论述我国古代数学家对人类文明的贡献，感悟我国古代
数学的辉煌成就．
数　列
第４章
１４３
　
４．３
等比数列
回顾本章４．１节开始我们遇到的数列③④，再考察下面的问题：
放射性物质以一定的速度衰变，该速度正比于当时该物质的质
量．如果某个质量为犙０的放射性物质经过时间犺后衰变到质量犙０２，
那么称犺为物质的半衰期．镭的半衰期是１６２０年，如果从现有的
１０ｇ镭开始，那么每隔１６２０年，剩余量依次为
１０，１０×１２，１０（
× ）
１２
２，１０（
× ）
１２
３，…．
某轿车的售价约为３６万元，年折旧率约为１０％（就是说这辆车每
年减少它的价值的１０％），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依
次为
３６，３６×０．９，３６×０．９２，３６×０．９３，…．
　　复利的本利和公
式是
本利和＝本金×
（１＋利率）存期．
某人年初投资１００００元，如果年收益率是５％，那么按照复利，５
年内各年末的本利和依次为
１００００×１．０５，１００００×１．０５２，…，１００００×１．０５５．
●与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点？
４．３．１　等比数列的概念
　　在等比数列｛犪狀｝
中，始终有犪狀＋１犪狀＝狇．
　　一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都
等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ
ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ），这个常数叫作等比数列的公比（ｃｏｍｍｏｎｒａｔｉｏ），公比通
常用字母狇表示．
思　考
你能再举出一些等比数列的例子吗？
例１　判断下列数列是否为等比数列：
（１）１，１，１，１，１；
（２）０，１，２，４，８；
（３）１，－１２，１４，－１８，１１６．
解　（１）所给数列是首项为１，公比为１的等比数列．
（２）因为０不能作除数，所以这个数列不是等比数列．
选择性必修第一册
数学
１４４
　
（３）所给数列是首项为１，公比为－１２的等比数列．
例２　求出下列等比数列中的未知项：
（１）２，犪，８；
（２）－４，犫，犮，１２．
解　（１）根据题意，得犪２＝８犪，
所以
犪＝４或犪＝－４．
（２）根据题意，得
犫－４＝犮犫，
１２犮＝犮犫
烅
烄
烆
，
解得
犫＝２，
犮＝－１
烅烄
烆
，
所以
犫＝２，犮＝－１．
　　例３　（１）在等比数列｛犪狀｝中，是否有
犪２狀＝犪狀－１犪狀＋１（狀≥２）？
（２）如果在数列｛犪狀｝中，对于任意的正整数狀（狀≥２），都有
犪２狀＝犪狀－１犪狀＋１，
那么数列｛犪狀｝一定是等比数列吗？
解　（１）因为｛犪狀｝是等比数列，所以
犪狀＋１犪狀＝犪狀
犪狀－１，
即
犪２狀＝犪狀－１犪狀＋１（狀≥２）
成立．（２）不一定．例如，对于数列
０，０，０，…，
总有犪２狀＝犪狀－１犪狀＋１，但这个数列不是等比数列．
练　习
１．判断下列数列是否为等比数列：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）１，２，１，２，１；
（２）－２，－２，－２，－２；
（３）１，－１３，１９，－１２７，１８１；
（４）２，１，１２，１４，０；
（５）ｌｇ３，ｌｇ６，ｌｇ１２；
（６）１，－１，１，－１．
数　列
第４章
１４５
　
２．从下面的表中，请你用彩笔涂出３个等比数列，满足以下要求：
（１）每个数列的项所在的框是相连接的（顶点相连或者边相连）；
（２）三个数列的公比是不同的．
１
２
２２
２３
２４
２５
２
２２
２３
２４
２５
２６
２２
２３
２４
２５
２６
２７
２３
２４
２５
２６
２７
２８
２４
２５
２６
２７
２８
２９
２５
２６
２７
２８
２９
２１０
３．已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数：
（１）（　），３，２７；
（２）３，（　），５；
（３）１，（　），（　），８１８．
４．已知数列｛犪狀｝是等比数列．
（１）如果犪２＝２，犪３＝－６，求公比狇和犪１；
（２）如果犪１＝３，犪２＝６，求公比狇和犪５．
５．已知数列｛犪狀｝的通项公式，判断它是否为等比数列．
（１）犪狀＝３狀；
（２）犪狀＝４×２３狀－１；
（３）犪狀＝（－３）－狀；
（４）犪狀＝０．
６．若犪１，犪２，犪３，…，犪狀是公比为狇的等比数列，则数列犪狀，犪狀－１，…，犪２，犪１
也是等比数列吗？如果是，公比是多少？
４．３．２　等比数列的通项公式
　　设｛犪狀｝是首项为２，公比为３的等比数列，则
犪２＝２×３，　　　　　　　
犪３＝２×３×３＝２×３２，
犪４＝２×３２×３＝２×３３，
……
你能写出第狀项犪狀吗？
一般地，对于等比数列｛犪狀｝的第狀项犪狀，有
犪狀＝犪１狇狀－１．
这就是等比数列｛犪狀｝的通项公式，其中犪１为首项，狇为公比．
证明　因为｛犪狀｝是等比数列，所以当狀≥２时，有
犪２犪１＝狇，犪３犪２＝狇，犪４犪３＝狇，…，犪狀
犪狀－１＝狇．
选择性必修第一册
数学
１４６
　
将上面狀－１个等式的左右两边分别相乘，得
犪狀犪１＝狇狀－１，
所以
犪狀＝犪１狇狀－１．
当狀＝１时，上面的等式也成立．
例４　在等比数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪１＝３，狇＝－２，求犪６；
（２）已知犪３＝２０，犪６＝１６０，求犪狀．
解　（１）由等比数列的通项公式，得
犪６＝３×（－２）６－１＝－９６．
（２）设等比数列的公比为狇，那么
犪１狇２＝２０，
犪１狇５＝１６０
烅烄
烆
，
解得
狇＝２，
犪１＝５
烅烄
烆
．
所以
犪狀＝犪１狇狀－１＝５×２狀－１．
例５　在２４３和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．
解　设插入的３个数为犪２，犪３，犪４．由题意得
２４３，犪２，犪３，犪４，３
成等比数列．
设公比为狇，则
３＝２４３狇５－１，
解得
狇＝±１３．
因此，所求３个数为８１，２７，９或－８１，２７，－９．
例６　已知等比数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝３×２狀－３，求首项犪１
和公比狇．
　　或　狇＝犪狀＋１犪狀
＝３×２狀－２
３×２狀－３
＝２．
解　
犪１＝３×２１－３＝３４，　
犪２＝３×２２－３＝３２，
所以
狇＝犪２犪１＝
３２３４
＝２．
数　列
第４章
１４７
　
在例６中，等比数列的通项公式
犪狀＝３８×２狀
是一个常数与指数式的乘积．从图象上看（图４３１），表示这个数
列的各点（狀，犪狀）均在函数狔＝３８×２狓的图象上．
图４３１
思　考
　　如果一个数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝犪狇狀，其中犪，狇都是不为０
的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？
练　习
１．求下列等比数列的公比、第５项和第狀项：
（１）２，６，１８，５４，…；　　　　　　　　　　（２）７，１４３，２８９，５６２７，…；
（３）０．３，－０．０９，０．０２７，－０．００８１，…；　（４）５，５犮＋１，５２犮＋１，５３犮＋１，…．
２．已知等比数列的公比为２５，第４项是５２，求前三项．
３．在等比数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪１＝－３，狇＝２，狀＝５，求犪狀；
（２）已知犪１＝１，狇＝２，犪狀＝１６，求狀；
（３）已知犪１＝１３，狀＝６，犪狀＝９，求狇；
（４）已知狇＝－３２，狀＝４，犪狀＝－２７，求犪１．
（第６题）
４．在等比数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪５＝８，犪８＝１，求犪１和狇；
（２）已知犪３＝２，狇＝－１，求犪１５；
（３）已知犪４＝１２，犪８＝６，求犪１２．
５．三个数成等比数列，它们的积等于８，它们的和等于－３，求这三个数．
６．如图，在边长为１的等边三角形犃犅犆中，连接各边中点得△犃１犅１犆１，再连接
△犃１犅１犆１的各边中点得△犃２犅２犆２……如此继续下去，试证明数列犛△犃犅犆，
犛△犃１犅１犆１，犛△犃２犅２犆２，…是等比数列．
７．在本章４．３节的关于轿车折旧的问题中，大约在购车后的第几年，该辆车的
价值只有原来的一半？
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数学
１４８
　
习题４．３（１）
感受·理解
１．判断下列数列是否为等比数列：
（１）９，０．９，０．０９，０．００９；　　　　
（２）７２，７－１，７－４，７－７；
（３）２×３２，２３×３５，２５×３８，２７×３１１；　
（４）３＋５２，３２＋５４，３３＋５６，３４＋５８．
２．已知｛犪狀｝是等比数列，在下表中填入适当的数：
犪１
犪２
犪３
犪４
犪５
－１
３
２
４槡２
１３
９
３．在等比数列｛犪狀｝中，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１）已知犪４＝２７，狇＝－３，求犪７；　
（２）已知犪２＝１８，犪４＝８，求犪１和狇；
（３）已知犪５＝４，犪７＝６，求犪９；　
（４）已知犪５－犪１＝１５，犪４－犪２＝６，求犪３．
４．在等比数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪４＝４，犪９＝９７２，求犪狀；
（２）已知犪２＝－６，犪６＝－３２２７，求犪狀．
５．在两个非零实数犪和犫之间插入２个数，使它们成等比数列，试用犪，犫表示
这个等比数列的公比．
６．已知公差不为０的等差数列的第２，３，６项依次构成一个等比数列，求该等
比数列的公比．
７．某地为防止水土流失，实行退耕还林．如果计划第一年（今年）退耕１０万公
顷，以后每年增加１０％，那么第７年须退耕多少公顷（精确到１公顷）？
８．已知｛犪狀｝是各项均为正数的等比数列，公比为狇，求证：｛犪槡狀｝是等比数列，
并求该数列的公比．
９．在等比数列｛犪狀｝中，如果对任意的狀∈犖，都有犪狀＞０，求证：数列｛ｌｇ犪狀｝
为等差数列．
１０．在等比数列｛犪狀｝中，
（１）犪２５＝犪１犪９是否成立？犪２５＝犪３犪７是否成立？
（２）犪２狀＝犪狀－２犪狀＋２（狀＞２）是否成立？
（３）你能得到更一般的结论吗？
１１．若犪，犌，犫成等比数列，则称犌为犪和犫的等比中项．
（１）求４５和８０的等比中项；
（２）已知两个数犽＋９和６－犽的等比中项是２犽，求犽．
数　列
第４章
１４９
　
１２．已知无穷等比数列｛犪狀｝的首项为犪１，公比为狇．
（１）依次取出数列｛犪狀｝中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等
比数列吗？如果是，求出它的首项和公比；
（２）数列｛犮犪狀｝（其中常数犮≠０）是等比数列吗？如果是，求出它的首项和
公比．
思考·运用１３．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数．
１４．已知等比数列｛犪狀｝的公比狇＝２，且犪１犪２犪３…犪３０＝２３０，求犪３犪６犪９…犪３０的值．
１５．某地现有耕地１００００公顷，规划１０年后粮食单产比现在增加２２％，人均粮
食占有量比现在提高１０％．如果人口年增长率为１％，那么耕地平均每年至
多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？
（注：粮食单产＝总产量
耕地面积，人均粮食占有量＝总产量
总人口数）
探究·拓展
１６．对任意的等差数列｛犪狀｝，计算犪１＋犪２，犪３＋犪４，犪５＋犪６，犪７＋犪８，…，你发现了
什么一般规律？能将发现的规律推广吗？在等比数列中有怎样类似的结论？
１７．如图，将一个边长为１的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外
作正三角形，并擦去中间一段，得图（２）．如此继续下去，得图（３）……试探
求第狀个图形的边长和周长．
　　这样形成的图形
称为分形（ｆｒａｃｔａｌ）．
（第１７题）
４．３．３　等比数列的前狀项和
　　已知等比数列｛犪狀｝的第１项犪１和公比狇，如何求出它的前狀项
和犛狀？根据等比数列的通项公式，这个等比数列就是
犪１，犪１狇，犪１狇２，…，犪１狇狀－１，…，
所以它的前狀项和是
犛狀＝犪１＋犪１狇＋犪１狇２＋…＋犪１狇狀－１．
①
①式等号右边的每一项是它前一项的狇倍，根据这个特点，在上
式两边同乘以狇，得
狇犛狀＝犪１狇＋犪１狇２＋犪１狇３＋…＋犪１狇狀．
②
①－②，得
（１－狇）犛狀＝犪１－犪１狇狀．
选择性必修第一册
数学
１５０
　
　　所以，当狇≠１时，
犛狀＝犪１（１－狇狀）
１－狇（狇≠１）．
根据等比数列的通项公式犪狀＝犪１狇狀－１，又可得到
犛狀＝犪１－犪狀狇
１－狇（狇≠１）．
显然，当狇＝１时，犛狀＝狀犪１．
例１　在等比数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪１＝－４，公比狇＝１２，求前１０项和犛１０；
（２）已知犪１＝１，犪犽＝２４３，狇＝３，求前犽项和犛犽．
解　（１）根据等比数列的前狀项和公式，得
犛１０＝－４１（
－１）
２
［
］
１０
１－１２
＝－１０２３
１２８．
（２）根据等比数列的前狀项和公式，得
犛犽＝１－２４３×３
１－３＝３６４．
例２　设等比数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，若犛３＝７２，犛６＝６３２，
求犪狀．解　设等比数列｛犪狀｝的公比为狇．
若狇＝１，则犛６＝２犛３，这与已知犛３＝７２，犛６＝６３２是矛盾的，所
以狇≠１．从而
　　在等比数列的通
项公式与前狀项和公式
中，共含有犪１，狇，狀，犪狀，
犛狀五个量，只要已知其
中的三个量，就可以求
出其余的两个量．
犛３＝犪１（１－狇３）
１－狇＝７２，
犛６＝犪１（１－狇６）
１－狇＝６３２．
将上面两个等式的两边分别相除，得
１＋狇３＝９，
解得狇＝２，由此可得犪１＝１２．因此
犪狀＝１２×２狀－１＝２狀－２．
数　列
第４章
１５１
　
例３　求数列１＋１２，２＋１４，３＋１８，…，狀＋１２狀，… 的前狀
项和犛狀．
分析　这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的
对应项的和，因此可以分组求和．
解　犛狀（
＝１＋１）
２（
＋２＋１）
４（
＋３＋１）
８＋… （
＋狀＋１２）
狀
＝（１＋２＋３＋…＋狀）（
＋１２＋１４＋１８＋…＋１２）
狀
＝狀（狀＋１）
２＋
１２１－１２
（
）
狀
１－１２
＝狀（狀＋１）
２＋１－１２狀．
练　习
１．某厂去年的产值记为１，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，
则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（　　）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ．１．１４　
Ｂ．１．１５
Ｃ．１１×（１．１５－１）　
Ｄ．１０×（１．１６－１）
２．求下列等比数列的各项和：
（１）１，３，９，…，２１８７；　
（２）１，－１２，１４，－１８，…，－１５１２．
３．根据下列条件，求等比数列｛犪狀｝的前狀项和犛狀：
（１）犪１＝３，狇＝２，狀＝６；　
（２）犪１＝－１，狇＝－１３，狀＝５；
（３）犪１＝８，狇＝１２，犪狀＝１２；　
（４）犪２＝０．１２，犪５＝０．０００９６，狀＝４．
４．在等比数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪１＝１６，狀＝６，犪狀＝１２，求狇和犛狀；
（２）已知犪１＝２，狀＝３，犛狀＝１４，求狇和犪狀；
（３）已知狇＝１２，狀＝６，犛狀＝１８９４，求犪１和犪狀；
（４）已知犪１＝１，犪狀＝８１，犛狀＝１２１，求狇和狀．
５．求和：∑
１０
犽＝１（３＋２犽）．
例４　为了恢复生态，某地决定从今年开始逐步将６３７０万亩
耕地退耕还林，计划今年退耕土地面积为５１５万亩，以后每年退耕土
地面积比上一年递增１２％，那么经过６年该地区退耕还林的面积共
有多少万亩（精确到万亩）？
解　根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相
同，所以从今年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比
数列｛犪狀｝，其中
选择性必修第一册
数学
１５２
　
犪１＝５１５，狇＝１＋１２％＝１．１２，狀＝６，
则
犛６＝５１５×（１－１．１２６）
１－１．１２
≈４１７９（万亩）．
答　经过６年该地区退耕还林的面积共有约４１７９万亩．
思　考
　　例４中，该地区要经过多少年才能基本解决退耕还林问题？
例５　某人今年初向银行申请贷款２０万元，月利率为
３．３７５‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始
还贷．如果１０年还清，那么每月应还贷多少元？
分析　对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售
价的本利之和．
为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的
金额为犪元，以分期付款的形式等额地分成狀次付清，每期期末所付
款是狓元，期利率为狉，则分期付款方式可表示为：
从而有
狓［（１＋狉）狀－１＋（１＋狉）狀－２＋（１＋狉）狀－３＋…＋（１＋狉）＋１］
＝犪（１＋狉）狀．
运用等比数列求和公式，化简得
狓＝犪狉（１＋狉）狀
（１＋狉）狀－１．
这就是分期付款的数学模型．
解　设每月应还贷狓元，共付款１２×１０＝１２０次，则有
　　使用Ｅｘｃｅｌ中的
财务函数，可以方便
地求出每期的付
款额．
狓［１＋（１＋０．００３３７５）＋（１＋０．００３３７５）２＋…
＋（１＋０．００３３７５）１１９］＝２０００００（１＋０．００３３７５）１２０，
化简得
数　列
第４章
１５３
　
狓＝２０００００×０．００３３７５×（１＋０．００３３７５）１２０
（１＋０．００３３７５）１２０－１
≈２０２９．６６（元）．
答　每月应还贷款２０２９．６６元．
练　习
１某市近８年的生产总值第一年为１０００亿元，从第二年开始以１０％的速度增
长，那么这个城市近８年的生产总值一共是多少亿元（精确到０．０１亿元）？
２回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：
远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，
共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？
３一个球从３２ｍ的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它
第５次着地时，共经过的路程是多少？
４顾客采用分期付款的方式购买一件５０００元的商品，在购买一个月后第一次
付款，且每月等额付款一次，在购买后的第１２个月将货款全部付清，月利率
为０．５％．按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到１元）？
链　接
现值与终值
“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个
概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算
法都是十分有益的．
所谓“现值”是指在狀期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时
的值．而“终值”是指狀期后的本利和．它们计算的基点分别是存期的
起点和终点．
例如，在复利计息的情况下，设本金为犃，每期利率为狉，期数为
狀，到期末的本利和为犛，则
犛＝犃（１＋狉）狀，
其中，犛称为狀期末的终值，犃称为狀期后终值犛的现值，即狀期后的
犛元现在的价值为
犃＝犛
（１＋狉）狀．
例　某厂为试制新产品，需增加某些设备．若购置这些设备，
需一次付款２５万元；若租赁这些设备，每年初付租金３．３万元．已知
一年期存款的年利率为２．５５％，试讨论哪种方案更好（设备的寿命为
１０年）．
解法１　（从终值来考虑）若购置设备，则２５万元１０年后的价
值为
２５（１＋２．５５％）１０≈３２．１５９（万元）．
若租赁设备，每年初付租金３．３万元，１０年后的总价值为
选择性必修第一册
数学
１５４
　
犛＝３．３（１＋２．５５％）１０＋３．３（１＋２．５５％）９＋…
　＋３．３（１＋２．５５％）≈３８．００（万元）．
因此，购买设备较好．
解法２　（从现值来考虑）每年初付租金３．３万元的１０年现值之
和为
犙＝３．３＋３．３
１＋２．５５％＋
３．３
（１＋２．５５％）２＋…＋
３．３
（１＋２．５５％）９
≈２９．５４（万元），
比购置设备一次付款２５万元多，故购置设备的方案较好．
信息技术
　　●ＥＸＣＥＬ
　　Ｅｘｃｅｌ提供了丰富的财务函数，利用这些函数我们能够轻松地完
成有关投资或贷款等问题的计算．下面介绍常用的几个函数．
（１）ＰＭＴ函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算投资或
贷款的每期付款额．
对于例５，只需在Ｅｘｃｅｌ单元格中输入“＝ＰＭＴ（０．３３７５％，１２
１０，２０００００）”，即可得到狓≈２０２９．６６元，函数ＰＭＴ的含义见
图４３２．
　　ｔｙｐｅ的默认值为
０，表示各期结算时间
在期末．若结算时间
在期初，则其值为１．
图４３２
（２）ＦＶ函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算某项投资
的终值．
如在上面“链接”的例题中，可用“＝ＦＶ（２．５５％，１０，３．３，，１）”
计算得犛≈３８．００（图４３３），ＦＶ（ｒａｔｅ，ｎｐｅｒ，ｐｍｔ，［ｐｖ］，［ｔｙｐｅ］）
中参数的含义同上．
　　单元格中的负值
表示支出．
图４３３
（３）ＰＶ函数，计算一系列未来付款的现值累积和．如在上面“链接”
中，可用“＝ＰＶ（２．５５％，１０，３．３，，１）”计算得犙≈２９．５４（图４３４）．
ＰＶ（ｒａｔｅ，ｎｐｅｒ，ｐｍｔ，［ｆｖ］，［ｔｙｐｅ］）中参数的含义同上．
数　列
第４章
１５５
　
图４３４
如果你在实际生活中还需要使用其他一些财务函数，可以查看
Ｅｘｃｅｌ帮助文档中的相关资料．
●ＧＧＢ
在ＧＧＢ中，与Ｅｘｃｅｌ类似，可用“每期付款额［］”“未来值［］”“现
值［］”等函数处理财务问题．
例如，对于例５，在输入框中输入“每期付款额［０．３３７５％，１２
１０，２０００００］”，即可得到狓≈２０２９．６６元．
在“链接”的例题中，可用“未来值［２．５５％，１０，３．３，０，１］”计算
得犛≈３８．００；用“现值［２．５５％，１０，３．３，０，１］”计算得犙≈２９．５４
（图４３５）．
图４３５
习题４．３（２）
感受·理解
１．求下列等比数列的前狀项和：
（１）１，－１，１，－１，…；　　　　　　
（２）１，１２，１４，１８，…．
２．在等比数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪１＝２，狇＝－１２，求犛１０；
（２）已知犪１＝１２７，犪８＝８１，求犛８；
（３）已知犪狀＝４×３１－狀，求犛狀．
选择性必修第一册
数学
１５６
　
３．在等比数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪１＝－１．５，犪７＝－９６，求狇和犛狀；
（２）已知狇＝１２，犛５＝－３１８，求犪１和犪狀；
（３）已知犪１＝２，犛３＝２６，求狇和犪狀．
４．设｛犪狀｝是公比为正数的等比数列，犪１＝２，犪３＝犪２＋４，求数列｛犪狀｝的前狀项
和犛狀．
５．求和：
（１）２＋（
）
１３＋４＋（
）
１９＋…＋２狀＋１３
（
）
狀；
（２）（犪－１）＋（犪２－２）＋…＋（犪狀－狀）．
６．某林场去年底森林木材储存量为３３０万ｍ３．若树木以每年２５％的增长率生
长，计划从今年起，每年底要砍伐的木材量为狓万ｍ３．为了实现经过２０年
木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量狓的最大值是多少（精确到
０．０１万ｍ３）？
７．如图，正三角形犃犅犆的边长为２０ｃｍ，取犅犆边的中点犈，作正三角形
犅犇犈；取犇犈边的中点犌，作正三角形犇犉犌……如此继续下去，可得到一列
三角形△犃犅犆，△犅犇犈，△犇犉犌，…，求前２０个正三角形的面积和．
（第７题）
８．在等比数列｛犪狀｝中，狇＝１２，犛１００＝１５０，求犪２＋犪４＋犪６＋…＋犪１００的值．
思考·运用
９．在等比数列｛犪狀｝中，已知犪１＋犪狀＝６６，犪２犪狀－１＝１２８，犛狀＝１２６，求狀，狇．
１０．设犛狀是等比数列｛犪狀｝的前狀项和，犛３，犛９，犛６成等差数列，求证：犪２，犪８，
犪５成等差数列．
１１．据测算，如果不加处理，每吨工业废弃垃圾将占地１ｍ２．环保部门每回收或
处理１ｔ废旧物资，相当于消灭４ｔ工业废弃垃圾．如果某环保部门从去年
开始回收处理废旧物资，第１年共回收处理了１０４ｔ废旧物资，且以后每年
的回收量比上一年递增２０％．
（１）第７年能回收多少吨废旧物资？（结果用科学记数法表示，保留一位
小数）
（２）前７年共节约土地多少平方米？（结果用科学记数法表示，保留一位
小数）
探究·拓展１２．求和：１２＋２× １（）
２
２＋３× １（）
２
３＋…＋狀× １（）
２
狀．
１３．求和：犛狀＝１＋２狓＋３狓２＋…＋狀狓狀－１．
数　列
第４章
１５７
　
４．４
数学归纳法
我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列｛犪狀｝的通
项公式
犪狀＝犪１＋（狀－１）犱；
等比数列的通项公式
犪狀＝犪１狇狀－１．
这些命题都与正整数有关．正整数有无限多个，我们无法对所有
的正整数逐一验证，那么，
●对于一个与正整数有关的命题，我们怎样证明这个命题对所
有的正整数都成立呢？
有一种多米诺骨牌游戏，在一个平面上摆一排骨牌（每块骨牌都
竖起），假定这排骨牌有无数块，我们要使所有的骨牌都倒下，只要做
两件事就行了．第一，使第一块骨牌倒下；第二，保证前一块骨牌倒下
后一定能击倒下一块骨牌．
一般地，证明一个与正整数狀有关的数学命题，可按如下两个步
骤进行：
（１）证明当狀＝狀０（狀０∈犖）时命题成立；
（２）假设当狀＝犽（犽≥狀０，犽∈犖）时命题成立，证明当狀＝
犽＋１时命题也成立．
根据（１）（２）就可以断定命题对于从狀０开始的所有正整数狀都
成立．上述证明方法叫作数学归纳法（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ）．
数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法．
例１　用数学归纳法证明：若等差数列｛犪狀｝中，犪１为首项，犱为
公差，则通项公式为
犪狀＝犪１＋（狀－１）犱．
①
证明　（１）当狀＝１时，等式左边＝犪１，等式右边＝犪１＋０×犱＝
犪１，等式①成立．
（２）假设当狀＝犽时等式①成立，即
本节为选学内容．
选择性必修第一册
数学
１５８
　
犪犽＝犪１＋（犽－１）犱，
那么，当狀＝犽＋１时，有
犪犽＋１＝犪犽＋犱＝犪１＋（犽－１）犱＋犱＝犪１＋［（犽＋１）－１］犱．
这就是说，当狀＝犽＋１时等式①也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖，等式①都成立．
在上面的证明中，步骤（１）确认了当狀＝１时等式成立，进而再
根据步骤（２），当狀＝１＋１＝２时等式也成立．再由于当狀＝２时等
式成立，根据步骤（２），当狀＝２＋１＝３时等式也成立．这样递推下
去，就知道当狀＝４，５，６，… 时等式都成立，从而保证了命题对任
何狀∈犖都成立．由此可见，数学归纳法的步骤（１）是命题论证的基
础，步骤（２）是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤
是缺一不可的．
例２　用数学归纳法证明：当狀∈犖时，
１＋３＋５＋…＋（２狀－１）＝狀２．
证明　（１）当狀＝１时，等式左边＝１，等式右边＝１，等式成立．
（２）假设当狀＝犽时等式成立，即
１＋３＋５＋…＋（２犽－１）＝犽２，
那么，当狀＝犽＋１时，有
　１＋３＋５＋…＋（２犽－１）＋［２（犽＋１）－１］
＝犽２＋［２（犽＋１）－１］＝犽２＋２犽＋１＝（犽＋１）２．
这就是说，当狀＝犽＋１时等式也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖，等式都成立．
例３　用数学归纳法证明：当狀∈犖时，
１２＋２２＋３２＋…＋狀２＝狀（狀＋１）（２狀＋１）
６
．
证明　（１）当狀＝１时，１２＝１，１×（１＋１）×（２×１＋１）
６
＝１，
等式成立．
（２）假设当狀＝犽时等式成立，即
１２＋２２＋３２＋…＋犽２＝犽（犽＋１）（２犽＋１）
６
，
数　列
第４章
１５９
　
那么，当狀＝犽＋１时，有
　１２＋２２＋３２＋…＋犽２＋（犽＋１）２
＝犽（犽＋１）（２犽＋１）
６
＋（犽＋１）２＝（犽＋１）（２犽２＋犽＋６犽＋６）
６
＝（犽＋１）（２犽２＋７犽＋６）
６
＝（犽＋１）（犽＋２）（２犽＋３）
６
＝（犽＋１）［（犽＋１）＋１］［２（犽＋１）＋１］
６
．
所以当狀＝犽＋１时，等式也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖，等式都成立．
思　考
　　在用数学归纳法解题时，为什么步骤（１）和步骤（２）两者缺一
不可？
练　习
　　分析下列各题（１～２）的证明过程，找出其中的错误：
１．设狀∈犖，求证：２＋４＋６＋…＋２狀＝狀２＋狀＋１．
证明：假设当狀＝犽时等式成立，即
２＋４＋６＋…＋２犽＝犽２＋犽＋１，
那么，当狀＝犽＋１时，有
２＋４＋６＋…＋２犽＋２（犽＋１）＝犽２＋犽＋１＋２（犽＋１）
＝（犽＋１）２＋（犽＋１）＋１．
因此，对于任何狀∈犖，等式都成立．
２．设狀∈犖，求证：２狀＞狀２．
证明：（１）当狀＝１时，２１＞１２，不等式显然成立．
（２）假设当狀＝犽时不等式成立，即２犽＞犽２，那么当狀＝犽＋１时，有
２犽＋１＝２×２犽＝２犽＋２犽＞犽２＋犽２≥犽２＋２犽＋１＝（犽＋１）２．
这就是说，当狀＝犽＋１时，不等式也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖，不等式总成立．
用数学归纳法证明下列各题（３～４）：
３．１×２＋２×３＋３×４＋…＋狀（狀＋１）＝１３狀（狀＋１）（狀＋２）．
４．首项是犪１，公比是狇的等比数列的通项公式是犪狀＝犪１狇狀－１（狀∈犖）．
数学归纳法是一种重要的证明方法，应用十分广泛．一般说来，
与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前狀项
的和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明．
选择性必修第一册
数学
１６０
　
例４　设狀∈犖，犳（狀）＝５狀＋２×３狀－１＋１．
（１）当狀＝１，２，３，４时，计算犳（狀）的值．
（２）你对犳（狀）的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．
解　（１）当狀＝１时，
犳（１）＝５１＋２×３１－１＋１＝８＝８×１；
当狀＝２时，
犳（２）＝５２＋２×３２－１＋１＝３２＝８×４；
当狀＝３时，
犳（３）＝５３＋２×３３－１＋１＝１４４＝８×１８；
当狀＝４时，
犳（４）＝５４＋２×３４－１＋１＝６８０＝８×８５．
（２）猜想：当狀∈犖时，犳（狀）＝５狀＋２×３狀－１＋１能被８整除．
①当狀＝１时，有
犳（１）＝５１＋２×３１－１＋１＝８，
能被８整除，命题成立．
②假设当狀＝犽时命题成立，即犳（犽）能被８整除，那么，当狀＝
犽＋１时，有
犳（犽＋１）＝５犽＋１＋２×３（犽＋１）－１＋１＝５×５犽＋６×３犽－１＋１
＝（５犽＋２×３犽－１＋１）＋４（５犽＋３犽－１）＝犳（犽）＋４（５犽＋３犽－１）．
这里，５犽和３犽－１均为奇数，它们的和（５犽＋３犽－１）必为偶数，从而
４（５犽＋３犽－１）能被８整除．又依归纳假设，犳（犽）能被８整除，所以
犳（犽＋１）能被８整除．这就是说，当狀＝犽＋１时命题也成立．
根据①和②可知，对任何狀∈犖，命题总成立．
例５　在平面上画狀条直线，且任何２条直线都相交，其中任何３
条直线不共点．问：这狀条直线将平面分成多少个部分？
解　记狀条直线把平面分成狉狀个部分，我们通过狀＝１，２，３，４，
５，画出图形观察狉狀的情况（图４４１）．
图４４１
数　列
第４章
１６１
　
从图４４１中可以看出，
狉１＝２＝１＋１，　　　　　　　　　
狉２＝４＝狉１＋２＝１＋１＋２，
狉３＝７＝狉２＋３＝１＋１＋２＋３，
狉４＝１１＝狉３＋４＝１＋１＋２＋３＋４，
狉５＝１６＝狉４＋５＝１＋１＋２＋３＋４＋５．
由此猜想狉狀＝１＋１＋２＋３＋４＋…＋狀．
接下来用数学归纳法证明这个猜想．
（１）当狀＝１，２时，结论均成立．
（２）假设当狀＝犽时结论成立，即
狉犽＝１＋１＋２＋３＋４＋…＋犽．
那么，当狀＝犽＋１时，第犽＋１条直线与前面的犽条直线都相交，
有犽个交点，这犽个交点将这条直线分成犽＋１段，且每一段将原有的
平面部分分成两个部分，所以
狉犽＋１＝狉犽＋（犽＋１）＝１＋１＋２＋３＋４＋…＋犽＋（犽＋１），
结论也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖，都有
狉狀＝１＋１＋２＋３＋４＋…＋狀，
即
狉狀＝１＋狀（狀＋１）
２．
练　习
　　先通过有关活动，提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：
１．求－１＋３－５＋…＋（－１）狀（２狀－１）的和．
２．狀３＋５狀（狀∈犖）能被哪些自然数整除？
３．求凸狀边形的对角线的条数犳（狀）．
阅　读
小孩子的“发现”
我国著名数学家华罗庚曾经这样叙述小孩子“发现”数学归纳法
的过程．他说：
小孩子识数，先学会数１个、２个、３个；过些时候，能够数到１０
了；又过些时候，会数到２０，３０，…，１００了．但后来，却决不是这样一段
一段地增长，而是飞跃前进．到了某一个时候，他领悟了，他会说：“我
什么数都会数了．”这一飞跃，竟从有限跃到了无限！怎样会的？首
先，他知道从头数；其次，他知道一个一个按次序地数，而且不愁数了
选择性必修第一册
数学
１６２
　
一个以后，下一个不会数．也就是他领悟了下一个数的表达方式可以
由上一个数来决定．于是，他也就会数任何一个数了．
华罗庚教授高度评价了小孩的发现，他说：
　　华罗庚（１９１０—
１９８５），江苏金坛人，
我国著名数学家．在
解析数论、矩阵几何
学、典型群、自守函数
论与多元复变函数论
等多方面有深入的
研究．
设想一下，如果这个飞跃现象不出现，那么人们一辈子就只能学
数数了，而且人生有限，数目无穷，就是学了一辈子，也决不会学尽
呢！解释这个飞跃现象的原理，就是数学归纳法．
你能理解他的话吗？很可能你小时候也有过似曾相识的经历，
也曾发现过数学归纳法．可是，你当时并没有意识到自己发现了数
学，但是你今天应该能理解它．
习题４．４
感受·理解
　　用数学归纳法证明下列各题（１～７）：
１．（１－狓）（１＋狓＋狓２＋…＋狓狀－１）＝１－狓狀．
２．１３＋２３＋３３＋…＋狀３＝（１＋２＋３＋…＋狀）２．
３．３个连续自然数的立方和能被９整除．
４．设狓＞０，狀∈犖，且狀≥２，求证：（１＋狓）狀＞１＋狀狓．
５．平面内有狀（狀≥２）条直线，其中任何２条不平行，任何３条不过同一点，求
证：它们交点的个数为犳（狀）＝狀（狀－１）
２．
思考·运用
６．设狀∈犖，求证：犳（狀）＝３２狀＋２－８狀－９是６４的倍数．
７．设狀∈犖，狀＞１，求证：１＋１槡２＋１槡３＋…＋１槡狀＞槡狀．
８．已知数列｛犪狀｝满足犪１＝１，且４犪狀＋１－犪狀犪狀＋１＋２犪狀＝９（狀∈犖）．
（１）求犪２，犪３，犪４；
（２）由（１）猜想｛犪狀｝的通项公式犪狀；
（３）用数学归纳法证明（２）的结果．
探究·拓展
９．将正整数作如下分组：（１），（２，３），（４，５，６），（７，８，９，１０），（１１，１２，
１３，１４，１５），（１６，１７，１８，１９，２０，２１），…，分别计算各组包含的正整数
的和如下，试猜测犛１＋犛３＋犛５＋…＋犛２狀－１的结果，并用数学归纳法证明．
犛１＝１，
犛２＝２＋３＝５，
犛３＝４＋５＋６＝１５，
犛４＝７＋８＋９＋１０＝３４，
犛５＝１１＋１２＋１３＋１４＋１５＝６５，
犛６＝１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋２１＝１１１，
……
数　列
第４章
１６３
　
问题与探究
数列的转化
　　若数列｛犪狀｝满足：犪１＝１，犪２＝５，对任意的狀∈犖，都有犪狀＋２＝
４犪狀＋１－４犪狀，求犪狀的表达式．
解　对任意的狀∈犖，因为
犪狀＋２＝４犪狀＋１－４犪狀，
所以，存在λ，狇∈犚，使得
犪狀＋２＋λ犪狀＋１＝狇（犪狀＋１＋λ犪狀），
即
犪狀＋２＝（狇－λ）犪狀＋１＋狇λ犪狀．
取狇－λ＝４，
狇λ＝－４
烅烄
烆
，解得狇＝２，
λ＝－２
烅烄
烆
．
所以
犪狀＋２－２犪狀＋１＝２（犪狀＋１－２犪狀）．
又因为犪１＝１，犪２＝５，所以犪２－２犪１＝３≠０，
所以犪狀＋１－２犪狀≠０，从而犪狀＋２－２犪狀＋１
犪狀＋１－２犪狀＝２，
因此，数列｛犪狀＋１－２犪狀｝是以３为首项，２为公比的等比数列．
于是
犪狀＋１－２犪狀＝３×２狀－１．
（）
方法１　将（）式两边同除以２狀＋１，得
犪狀＋１
２狀＋１－犪狀２狀＝３４，
所以数列犪狀２｛｝
狀成等差数列，其首项为犪１２＝１２，公差为３４．
于是
犪狀２狀＝１２＋（狀－１）×３４＝３４狀－１４，
即
犪狀＝（３狀－１）·２狀－２．
方法２　（）式即犪狀＋１＝２犪狀＋３２×２狀．
设犪狀＋１＋狆（狀＋１）·２狀＋１＝２（犪狀＋狆狀·２狀），其中狆是待定常
数，所以
犪狀＋１＝２犪狀－２狆·２狀．
取－２狆＝３２，解得狆＝－３４，所以
犪狀＋１－３４（狀＋１）·２狀＋１＝２犪狀－３４狀·２
（
）
狀．
因为犪１＝１，所以犪１－３４×１×２１＝－１２≠０，从而犪狀－３４狀·
２狀≠０，
选择性必修第一册
数学
１６４
　
所以
犪狀＋１－３４（狀＋１）·２狀＋１
犪狀－３４狀·２狀
＝２，
即数列犪狀－３４狀·２
｛
｝
狀成等比数列，其首项为－１２，公比为２．
于是
犪狀－３４狀·２狀＝－１２×２狀－１，
即
犪狀＝（３狀－１）·２狀－２，狀∈犖．
请仿照上面的解法，思考：
已知数列｛犪狀｝满足：犪１＝１，犪２＝１，且对任意的狀∈犖，都有
犪狀＋２＝犪狀＋１＋犪狀，求犪狀的表达式．
阅　读
斐波那契数列
　　斐波那契（Ｌ．
Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ，约１１７０—
１２５０），生于意大利比
萨．在１２０２年写成
《计算之书》一书，该
书是欧洲大陆风行好
几个世纪的数学教科
书，也是一部影响很
大的数学专著．全书
共１５章，其中第１２
章提出了兔子问题．
先看一个有趣的问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成
大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔．如果
不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？
我们用“◎”表示一对大兔，用“○”表示一对小兔，假设第一对小
兔的出生日是某个月初，则逐月统计得每月初的兔子对数：
第１个月
第２个月
第３个月
第４个月
第５个月
第６个月
记第狀个月的兔子对数为犉狀，则
犉１＝１，犉２＝１，犉３＝２，犉４＝３，犉５＝５，犉６＝８，…．
考察数列｛犉狀｝的规律，不难发现，从第三项开始，每一项都是它
的前两项的和，即犉狀＋２＝犉狀＋１＋犉狀（狀∈犖）．
　　这样，我们就可以依次写出一串数：
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，…．
由此可知，一对兔子一年可繁殖成２３３（＝犉１３）对．
上面的数列是由意大利人斐波那契于１２０２年从兔子繁殖问题中
提出的，为了纪念他，人们就把这种数列称为斐波那契数列．
由一对兔子繁殖问题而衍生出来的斐波那契数列是数学中的一
数　列
第４章
１６５
　
个有趣问题，许多问题也都与之有关．如：
　　（１）树木的生长模式．某种树木第１年长出幼枝，第２年幼枝长
成粗干，第３年粗干可生出幼枝．按照这个规律，到第６年树木有多少
枝干（图１）？
图１
　　
图２
（２）观察蜜蜂爬过六角形蜂房所取的不同路线（图２）．假定该蜜蜂
总是向相邻的蜂房移动并且总是向右移动，那么，蜜蜂到蜂房０有一条
路，到蜂房１有两条路，到蜂房２有三条路，到蜂房３有五条路……
（３）由正方形可以构成一系列的长方形，其边长为斐波那契数列
的连续项．在正方形内绘出一个圆的１４，就可以近似地得到等角螺线
（图３）．
图３
　　等角螺线因它的
性质而得名，因为在
等角螺线中，自某一
个定点画出的每一条
射线与等角螺线相交
成等角．
　　等角螺线在自然界中也随处可见，如蜘蛛网、向日葵的种子排列形
式（另外，向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的
花瓣数同朝相反的螺旋方向生长的花瓣数，几乎总是斐波那契数列中两
个相邻的数）、水流的漩涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等．
斐波那契数列最值得注意的性质是：相邻两数的比交替地大于
（
或小于黄金比槡５－１
２≈
）
０．６１８，并且该比值无限趋近于黄金比：
１１＝１，１２＝０．５，２３≈０．６６６６７，３５＝０．６，５８＝０．６２５，
８１３≈０．６１５３８，１３２１≈０．６１９０５，２１３４≈０．６１７６５，…．
在研究斐波那契数列的过程中，人们获得了许多意想不到的结
果．由此可见，数学世界是多么的有趣！
选择性必修第一册
数学
１６６
　
　
本章回顾
本章概览
　　本章我们根据实例引入了数列的概念，体会了数列作为特殊的
函数描述变量变化规律的基本思想．通过实例使同学们经历了建立
等差数列和等比数列这两个数列模型的过程，探索了它们的一些基
本数量关系———通项公式和前狀项和的公式，并运用等差数列和等
比数列解决了一些实际问题．以数列为背景，本章还介绍了数学归
纳法．
在本章学习中，要掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式以
及前狀项和公式，会用函数的观点理解数列的概念，能通过相应的函
数及其图象直观地认识数列的性质．用数学归纳法证明与自然数有
关的命题时，要严格遵守两个步骤．
学会运用类比的方法认识等差数列和等比数列之间的区别和联
系，要善于运用等价转化的思想，将一些特殊的数列问题转化为等差
数列或等比数列的相应问题．
复习题
感受·理解
１．根据数列｛犪狀｝的通项公式犪狀＝ｃｏｓ狀π
２，写出它的前４项及第２狀项．
数　列
第４章
１６７
　
２．若直角三角形的三条边的长组成公差为３的等差数列，则三边的长分
别为（　　）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ．５，８，１１　　
Ｂ．９，１２，１５
Ｃ．１０，１３，１６　　
Ｄ．１５，１８，２１
３．设｛犪狀｝是等比数列，有下列四个命题：
①｛犪２狀｝是等比数列；　　
②｛犪狀犪狀＋１｝是等比数列；
③１犪｛｝
狀是等比数列；　　
④｛ｌｇ｜犪狀｜｝是等比数列．
其中正确命题的个数是（　　）．
Ａ．１　　
Ｂ．２　　
Ｃ．３　　
Ｄ．４
４．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（１）１，３４，５９，７１６；　
（２）２
１×３，４
３×５，６
５×７，８
７×９；
（３）１１，１０１，１００１，１０００１；　
（４）２３，－４９，２９，－８８１．
５．在等差数列｛犪狀｝中，
（１）已知犪３＝１６，犛２０＝２０，求犛１０；
（２）已知犪３＋犪７＝３７，求犛９；
（３）已知犪１＝１，犛４＝犛９，求犛狀；
（４）已知犪１＝１，犱＝２，犛狀＋２－犛狀＝２４，求狀．
６．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为９４，首尾两数之积比中
间两数之积少１８，求此等差数列．
７．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．
８．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根９节的竹子，自上而下各节的容
积成等差数列，上面４节的容积共３升，下面３节的容积共４升，求第５节
的容积．
９．在等比数列｛犪狀｝中，
（１）已知狇＝３，犛３＝１３３，求犪狀和犛狀；
（２）已知犪２＝６，６犪１＋犪３＝３０，求犪狀和犛狀．
１０．甲、乙两人同时到银行各存１万元，但两人选择的存款方式不同．甲存５
年定期储蓄，年利率为２．８８％．乙存一年定期储蓄，年利率为２．５５％，并
在每一年到期时将本息续存一年定期．若存满５年后两人同时从银行取
出存款，那么谁获利较多？
１１．（１）利用等式
１
狀（狀＋１）＝１狀－１
狀＋１求数列犪狀＝
１
狀（狀＋１）的前狀项和；
（２）仿（１）探求数列犪狀＝
１
狀（狀＋２）的前狀项和．
思考·运用１２．图（１）是第七届国际数学教育大会（ＩＣＭＥ７）的会徽图案，它是由一串直角
三角形演化而成的（如图（２）），其中犗犃１＝犃１犃２＝犃２犃３＝…＝犃７犃８＝
１，它可以形成近似的等角螺线．记犗犃１，犗犃２，…，犗犃８的长度所组成的数
选择性必修第一册
数学
１６８
　
列为｛犪狀｝（狀∈犖，１≤狀≤８）．写出数列｛犪狀｝的通项公式．
（第１２题）
１３．已知等差数列｛犪狀｝中，前犿（犿为奇数）项的和为７７，其中偶数项之和为３３，
且犪１－犪犿＝１８，求通项公式．
１４．利用等比数列的前狀项和公式证明
犪狀＋犪狀－１犫＋犪狀－２犫２＋…＋犫狀＝犪狀＋１－犫狀＋１
犪－犫，
其中狀∈犖，犪，犫是不为０的常数，且犪≠犫．
１５．设等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，若犛狆＝狇，犛狇＝狆（狆≠狇），求犛狆＋狇的值．
探究·拓展１６．（探究题）设数列｛犪狀｝满足：犪１＝１，且对任意的狀∈犖，都有犪狀＋１＝２犪狀＋
１，试求数列｛犪狀｝的通项公式．
１７．一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉
（图（１））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的
一个正方形挖掉，得图（２）……如此继续下去．
（第１７题）
（１）图（３）共挖掉了多少个正方形？
（２）设原正方形的边长为犪，则第狀个图共挖掉了多少个正方形？这些正方
形的面积和为多少？
数　列
第４章
１６９
　
　
本章测试
一、填空题
１．在等差数列｛犪狀｝中，若犪１＝１７，犱＝－２，则犪１０的值为　　　　．
２．在数列｛犪狀｝中，若犪狀＝２狀＋１，狀为奇数，
２狀，狀为偶数
烅烄烆
，则犪４＋犪５的值为　　　　．
３．设狓为实数，若三个数３，狓，１２成等比数列，则狓的值为　　　　．
４．在等差数列｛犪狀｝中，若犪１＝１，犪４＝７，则它的前５项和犛５的值为　　　　．
５．已知等差数列｛犪狀｝的公差犱不为０，若犪１，犪３，犪７成等比数列，则犪１犱的值为
　　　　．
６．设数列｛犪狀｝是公比为狇的等比数列，｜狇｜＞１．若数列｛犪狀｝的连续四项构成集
合｛－２４，－５４，３６，８１｝，则狇的值为　　　　．
二、选择题
７．在等差数列｛犪狀｝中，若犪８＝６，犪１１＝０，则犪１的值为（　　）．
Ａ．１８　
Ｂ．２０　
Ｃ．２２　
Ｄ．２４
８．设某厂去年的产值为１，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长８％，则
从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（　　）．
Ａ．１．０８９　
Ｂ．１．０８１０　
Ｃ．１．０８（１－１．０８１０）
１－１．０８
　
Ｄ．１－１．０８１０
１－１．０８
９．若在１和２５６中间插入３个数，使这５个数成等比数列，则公比狇为（　　）．
Ａ．±２　
Ｂ．２　
Ｃ．±４　
Ｄ．４
１０．如果数列｛犪狀｝的前狀项和犛狀满足：犛狀＝狀２＋２狀，那么犪１０的值为（　　）．
Ａ．１８　　　　Ｂ．１９　　　　Ｃ．２０　
Ｄ．２１
三、解答题
１１．在等差数列｛犪狀｝中，犪１＝２３，犱＝－２．求：
（１）犪８的值；
（２）数列｛犪狀｝中正数项的个数．
１２．在等比数列｛犪狀｝中，犪１＝１２，犪４＝４．求：
（１）数列｛犪狀｝的通项公式；
（２）数列｛犪２狀｝的前５项和犛５．
１３．有４个数，其中前３个数成等差数列，后３个数成等比数列，并且第１个数
与第４个数的和是１６，第２个数与第３个数的和是１２，求这４个数．
１４．在等比数列｛犪狀｝中，犪２＝２，犪５＝１６．设狋为实数，犛２狀为该数列的前２狀项和，
犜狀为数列｛犪２狀｝的前狀项和，且犛２狀＝狋犜狀，求狋的值．
１５．设犛狀是等差数列｛犪狀｝的前狀项和，犫狀＝犛狀狀．
（１）求证：数列｛犫狀｝是等差数列；
（２）当犛７＝７，犛１５＝７５时，求数列｛犫狀｝的前狀项和犜狀．
第５章　导数及其应用
１７２
　
　　只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表
明状态，而且也表明过程：运动．
恩格斯
　　世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却
让人们发出感叹与惊呼．
某市某年４月２０日最高气温为３３．４℃，而４月１９日和４月１８
日最高气温分别为２４．４℃和１８．６℃，短短两天时间，气温陡增
１４．８℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”
但是，如果我们将该市某年３月１８日最高气温３．５℃与４月１８
日最高气温１８．６℃进行比较，发现两者温差为１５．１℃，甚至超过了
１４．８℃，而人们却不会发出上述感叹．
这是什么原因呢？
原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢．
●用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？
●这样的数学模型有哪些应用？
导数及其应用
第５章
１７３
　
５．１
导数的概念
在本章引言的案例中，气温“陡增”的数学意义是什么呢？
为了弄清气温变化的快慢问题，我们先来观察如图５１１所示
的气温曲线图（以３月１８日作为第一天）．
图５１１
容易看出点犅，犆之间的曲线比点犃，犅之间的曲线更加“陡
峭”．陡峭的程度反映了气温变化的快与慢．
●如何量化曲线上某一段的“陡峭”程度呢？
５．１．１　平均变化率
　　为了量化气温变化的快与慢，我们不仅要考察气温的变化Δ犜＝
犜犆－犜犅，同时还要考察对应时间的变化Δ狋＝狋犆－狋犅．联想到用斜率
来量化直线的倾斜程度，我们用比值
犜犆－犜犅
狋犆－狋犅＝３３．４－１８．６
３４－３２
来近似地量化点犅，犆之间这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气
温在区间［３２，３４］上的平均变化率．
气温在区间［１，３２］上的平均变化率为
１８．６－３．５
３２－１＝１５．１
３１≈０．５．
气温在区间［３２，３４］上的平均变化率为
３３．４－１８．６
３４－３２＝１４．８
２＝７．４．
虽然点犃，犅之间的温差与点犅，犆之间的温差几乎相同，但它
选择性必修第一册
数学
１７４
　
们的平均变化率却相差很大．一般地，
　　函数犳（狓）在区间［狓１，狓２］上的平均变化率（ａｖｅｒａｇｅｒａｔｅｓｏｆ
ｃｈａｎｇｅ）为
犳（狓２）－犳（狓１）
狓２－狓１．
在图５１１中，我们可以感受到：平均变化率是曲线陡峭程度
的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
例１　某婴儿从出生到第１２个月的体重变化如图５１２所
示，试分别计算从出生到第３个月以及第６个月到第１２个月该婴儿
体重的平均变化率．
解　从出生到第３个月，该婴儿体重的平均变化率为
６．５－３．５
３－０＝１（ｋｇ／月），
从第６个月到第１２个月，该婴儿体重的平均变化率为
１１－８．６
１２－６＝２．４６＝０．４（ｋｇ／月）．
图５１２
　　　
图５１３
例２　水经过虹吸管从容器甲流向容器乙（图５１３），狋ｓ后
容器甲中水的体积犞（狋）＝５ｅ－０．１狋（单位：ｃｍ３），试计算第一个１０ｓ内
犞的平均变化率．
解　在区间［０，１０］上，体积犞的平均变化率为
犞（１０）－犞（０）
１０－０
≈１．８３９－５
１０
＝－０．３１６１（ｃｍ３／ｓ），
即第一个１０ｓ内容器甲中水的体积的平均变化率为－０．３１６１ｃｍ３／ｓ
（负号表示容器甲中的水在减少）．
导数及其应用
第５章
１７５
　
例３　已知函数犳（狓）＝狓２，分别计算函数犳（狓）在区间［１，３］，
［１，２］，［１，１．１］，［１，１．００１］上的平均变化率．
解　函数犳（狓）在［１，３］上的平均变化率为
犳（３）－犳（１）
３－１
＝３２－１２
２＝４，
函数犳（狓）在［１，２］上的平均变化率为
犳（２）－犳（１）
２－１
＝２２－１２
１＝３，
函数犳（狓）在［１，１．１］上的平均变化率为
犳（１．１）－犳（１）
１．１－１
＝１．１２－１２
０．１＝２．１，
函数犳（狓）在［１，１．００１］上的平均变化率为
犳（１．００１）－犳（１）
１．００１－１
＝１．００１２－１２
０．００１＝２．００１．
例４　已知函数犳（狓）＝２狓＋１，犵（狓）＝－２狓，分别计算函数
犳（狓）及犵（狓）在区间［－３，－１］，［０，５］上的平均变化率．
解　函数犳（狓）在［－３，－１］上的平均变化率为
犳（－１）－犳（－３）
（－１）－（－３）＝［２×（－１）＋１］－［２×（－３）＋１］
２
＝２，
函数犳（狓）在［０，５］上的平均变化率为
犳（５）－犳（０）
５－０
＝２；
函数犵（狓）在［－３，－１］上的平均变化率为
犵（－１）－犵（－３）
（－１）－（－３）＝－２，
函数犵（狓）在［０，５］上的平均变化率为
犵（５）－犵（０）
５－０＝－２．
思　考
　　在例４的求解中，你能发现一次函数狔＝犽狓＋犫在区间［犿，狀］上
的平均变化率有什么特点吗？
练　习
１．甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用５年时间获利１０万元，乙用５
个月时间获利２万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
选择性必修第一册
数学
１７６
　
２．环境保护部门在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续检
测结果如图所示（其中犠１（狋），犠２（狋）分别表示甲、乙两企业的排污量），试比
较这两家企业的治污效果．
（第２题）
３．已知函数犳（狓）＝３狓＋１，求犳（狓）在区间［犪，犫］上的平均变化率：
（１）犪＝－１，犫＝２；　　　　　　　（２）犪＝－１，犫＝１；
（３）犪＝－１，犫＝－０．９．
４．求经过函数狔＝狓２图象上两点犃，犅的直线的斜率：
（１）狓犃＝１，狓犅＝１．００１；　　　　　　　
（２）狓犃＝１，狓犅＝０．９；
（３）狓犃＝１，狓犅＝０．９９；　　　　（４）狓犃＝１，狓犅＝０．９９９．
５．若一质点的运动方程为犛＝狋２＋３（位移单位：ｍ，时间单位：ｓ），则在时间段
［３，３＋Δ狋］上的平均速度是多少？
５．１．２　瞬时变化率———导数
　　平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如
何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
１．曲线上一点处的切线
如果将点犘附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点犘附近看
上去有点像是直线（图５１４）．
图５１４
如果将点犘附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点犘附近
看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点犘附近
将逼近一条确定的直线犾，该直线犾是经过点犘的所有直线中最逼近
曲线的一条直线（图５１５）．
因此，在点犘附近我们可以用这条直线犾来代替曲线．也就是
导数及其应用
第５章
１７７
　
图５１５
说，在点犘附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）．
既然点犘附近的曲线被看作直线犾，那么我们可以用直线犾的斜
率来刻画曲线经过点犘时上升或下降的“变化趋势”．
探　究
　　如图５１６，直线犾１，犾２为经过曲线上一点犘的两条直线．
（１）试判断哪一条直线在点犘附近更加逼近曲线；
（２）在点犘附近能作出一条比犾１，犾２更加逼近曲线的直线犾３吗？
（３）在点犘附近能作出一条比犾１，犾２，犾３更加逼近曲线的直
线犾４吗？
图５１６
　　　　
图５１７
怎样找到经过曲线上一点犘处最逼近曲线的直线犾呢？
如图５１７，设犙为曲线犆上不同于犘的一点，这时，直线犘犙
称为曲线的割线（ｓｅｃａｎｔｌｉｎｅ）．随着点犙沿曲线犆向点犘运动，割线
犘犙在点犘附近越来越逼近曲线犆．当点犙无限逼近点犘时，直线
犘犙最终就成为在点犘处最逼近曲线的直线犾，这条直线犾称为曲线
在点犘处的切线（ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ）．
利用这种割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切线
的斜率．
选择性必修第一册
数学
１７８
　
图５１８
　　Δ狓可正也可负，
当Δ狓取负值时，点犙
位于点犘的左侧．
　　如图５１８，设曲线犆上一点犘（狓，犳（狓）），过点犘的一条
割线交曲线犆于另一点犙（狓＋Δ狓，犳（狓＋Δ狓）），则割线犘犙的斜
率为
犽犘犙＝犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
（狓＋Δ狓）－狓＝犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
Δ狓
．
当点犙沿曲线犆向点犘运动，并无限逼近点犘时，割线犘犙逼近
点犘的切线犾，从而割线的斜率逼近切线犾的斜率，即当Δ狓无限趋近
于０时，犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
Δ狓
无限趋近于点犘（狓，犳（狓））处的切线的
斜率．
例５　已知犳（狓）＝狓２，求曲线狔＝犳（狓）在狓＝２处的切线斜率．
分析　为求得过点（２，４）的切线斜率，我们从经过点（２，４）的任
意一条直线（割线）入手．
解　设犘（２，４），犙（２＋Δ狓，（２＋Δ狓）２），则割线犘犙的斜率为
犽犘犙＝（２＋Δ狓）２－４
Δ狓
＝４＋Δ狓．
当Δ狓无限趋近于０时，犽犘犙无限趋近于常数４，从而曲线
狔＝犳（狓）在点犘（２，４）处的切线斜率为４．
信息技术
　　在Ｅｘｃｅｌ中计算（图５１９），可知当Δ狓越接近０时，割线犘犙
的斜率犽犘犙就越接近常数４．
　　单元格Ｂ２，Ｄ２
中的公式．
图５１９
导数及其应用
第５章
１７９
　
练　习
１．利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点犘处的切线．
（第１题）
２．在下列３个图中，直线犾为曲线在点犘处的切线，分别求犾的斜率．
（第２题）
（第３题）
３．如图，直线犾为经过曲线上点犘和犙的割线．
（１）若犘（１，２），犙（５，７），求犾的斜率；
（２）当点犙沿曲线向点犘靠近时，犾的斜率变大还是变小？
４．（１）运用例５中割线逼近切线的方法，分别求曲线狔＝狓２在狓＝０，狓＝－２，
狓＝３处的切线斜率．
（２）用割线逼近切线的方法，求曲线狔＝１狓在狓＝１处切线的斜率．
２．瞬时速度与瞬时加速度
在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，它
反映了物体在某段时间内运动的快慢程度．那么，如何精确刻画物体
在某一时刻运动的快慢程度呢？
我们先看下面的实例．跳水运动员从１０ｍ跳台腾空到入水的过程
中，不同时刻的速度是不同的．假设狋ｓ后运动员相对于水面的高度为
犎（狋）＝－４．９狋２＋６．５狋＋１０，
试确定狋＝２ｓ时运动员的速度．
先求出运动员在２ｓ到２．１ｓ（即狋∈［２，２．１］）的平均速度为
狏＝犎（２．１）－犎（２）
２．１－２
＝－１３．５９（ｍ／ｓ）．
选择性必修第一册
数学
１８０
　
同样，可以算出更短的时间内的平均速度．
　　单元格Ｃ２中的
公式．
由图５１１０可以看出，当Δ狋越接近０时，平均速度狏越接近
常数－１３．１，这一常数可作为运动员在狋＝２ｓ时的瞬时速度．
图５１１０
一般地，如果当Δ狋无限趋近于０时，运动物体位移犛（狋）的平均
变化率犛（狋０＋Δ狋）－犛（狋０）
Δ狋
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为
物体在狋＝狋０时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
类似地，我们还可以求出某一时刻物体运动的瞬时加速度．
例６　已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设狋ｓ时的速
度为狏（狋）＝狋２＋３，求当狋＝狋０ｓ时轿车的瞬时加速度犪．
解　在狋０到狋０＋Δ狋的时间内，轿车的平均加速度为
犪＝Δ狏Δ狋＝狏（狋０＋Δ狋）－狏（狋０）
Δ狋
　　　　
＝（狋０＋Δ狋）２＋３－狋２０＋
（
）
３
Δ狋
＝２狋０＋Δ狋，
当Δ狋无限趋近于０时，犪无限趋近于２狋０，即犪＝２狋０．
所以，当狋＝狋０ｓ时轿车的瞬时加速度为２狋０．
一般地，如果当Δ狋无限趋近于０时，运动物体速度狏（狋）的平均变
化率狏（狋０＋Δ狋）－狏（狋０）
Δ狋
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物
体在狋＝狋０时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
练　习
１．自由落体运动的位移犛与时间狋的关系为犛＝１２犵狋２（位移单位：ｍ，时间单
位：ｓ，犵为常数）．
（１）计算狋分别在［３，３．１］，［３，３．０１］，［３，３．００１］各时间段内的平均速度；
（２）计算狋在［３，３＋Δ狋］内的平均速度；
（３）求狋＝３时的瞬时速度；
（４）求狋＝狋０时的瞬时速度；
导数及其应用
第５章
１８１
　
（５）根据（４）的结果，分别求出狋＝０，１，２时的瞬时速度．
２．一质点的运动方程为犛＝狋２＋１０（位移单位：ｍ，时间单位：ｓ），试求该质点
在狋＝３时的瞬时速度．
　　３．导数
前面的实际问题都涉及了函数在某一点处的瞬时变化率———
导数．
设函数狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）上有定义，狓０∈（犪，犫），若Δ狓无
限趋近于０时，比值
Δ狓表示自变量
狓的改变量，Δ狔表示
相应的函数的改变量．
Δ狔Δ狓＝犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）
Δ狓
无限趋近于一个常数犃，则称犳（狓）在狓＝狓０处可导（ｄｅｒｉｖａｂｌｅ），并称
该常数犃为函数犳（狓）在狓＝狓０处的导数（ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ），记作犳′（狓０）．
若用符号“→”表示“无限趋近于”，则“当Δ狓无限趋近于０时，
犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）
Δ狓
无限趋近于常数犃”就可以表示为
　　ｌｉｍ，是英文ｌｉｍｉｔ
的缩写，这在高等数
学的“极限知识”中将
会介绍．
“当Δ狓→０时，犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）
Δ狓
→犃”．
通常又可表示为
ｌｉｍ
Δ狓→０犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）
Δ狓
＝犃，
即
犳′（狓０）＝ｌｉｍ
Δ狓→０犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）
Δ狓
．
导数犳′（狓０）的几何意义就是曲线狔＝犳（狓）在点犘（狓０，犳（狓０））
处的切线的斜率（图５１１１）．
图５１１１
例７　已知犳（狓）＝狓２＋２．
（１）求犳（狓）在狓＝１处的导数犳′（１）；
（２）求犳（狓）在狓＝犪处的导数犳′（犪）．
解　（１）因为
选择性必修第一册
数学
１８２
　
Δ狔Δ狓＝犳（１＋Δ狓）－犳（１）
Δ狓
　　　　　　
＝（１＋Δ狓）２＋２－（１２＋２）
Δ狓
＝２＋Δ狓，
所以，当Δ狓→０时，２＋Δ狓→２，即
ｌｉｍ
Δ狓→０Δ狔Δ狓＝ｌｉｍ
Δ狓→０（２＋Δ狓）＝２．
故犳（狓）在狓＝１处的导数等于２，即犳′（１）＝２．
（２）因为
Δ狔Δ狓＝犳（犪＋Δ狓）－犳（犪）
Δ狓
　　　　　　
＝（犪＋Δ狓）２＋２－（犪２＋２）
Δ狓
＝２犪＋Δ狓，
所以，当Δ狓→０时，２犪＋Δ狓→２犪，即
ｌｉｍ
Δ狓→０Δ狔Δ狓＝ｌｉｍ
Δ狓→０（２犪＋Δ狓）＝２犪．
故犳（狓）在狓＝犪处的导数等于２犪，即犳′（犪）＝２犪．
若犳（狓）对于区间（犪，犫）内任一点都可导，则犳（狓）在各点处的导
数也随着自变量狓的变化而变化，因而也是自变量狓的函数，该函数
称为犳（狓）的导函数（ｄｅｒｉｖｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作犳′（狓）．
　　如无特别说明，
本章所涉及的函数都
是可导函数．
在不引起混淆时，导函数犳′（狓）也简称为犳（狓）的导数．
瞬时速度是运动物体的位移犛（狋）对于时间狋的导数，即
狏（狋）＝犛′（狋）；
瞬时加速度是运动物体的速度狏（狋）对于时间狋的导数，即
犪（狋）＝狏′（狋）．
犳（狓）在狓＝狓０处的导数犳′（狓０）就是导函数犳′（狓）在狓＝狓０
处的函数值．例如，犳（狓）在狓＝２，狓＝２狓０＋３处的导数分别是
导函数犳′（狓）在该处的函数值犳′（２），犳′（２狓０＋３）．
练　习
１．质点的运动方程为犛＝３狋＋１（位移单位：ｍ，时间单位：ｓ），分别求该质点
在狋＝１，狋＝２时的速度．
２．求下列函数在狓＝狓０处的导数：
（１）狔＝３狓＋１，狓０＝３；
（２）狔＝狓２，狓０＝犪；
（３）狔＝１狓，狓０＝２．
３．犳′（１）与犳（１）的含义有什么不同？犳′（１）与犳′（狓）的含义有什么不同？
导数及其应用
第５章
１８３
　
４．求函数狔＝（２狓－１）２在狓＝３处的导数．
５．已知函数狔＝犳（狓）的图象在点犕（１，犳（１））处的切线方程是狔＝１２狓＋２，
求犳（１）＋犳′（１）的值．
６．已知某水库在泄洪过程中水面的高度与泄洪时间狋的函数关系是犺＝
犳（狋），请说明犳′（狋）的实际意义．
链　接
边际函数
在经济学中，生产狓件产品的成本称为成本函数，记为犆（狓）；出
售狓件产品的收益称为收益函数，记为犚（狓）；犚（狓）－犆（狓）称为利润
函数，记为犘（狓）．相应地，它们的导数犆′（狓），犚′（狓）和犘′（狓）分别称
为边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数．
　　经济学中涉及的
函数，有时是“离散型”
函数，我们仍将其看成
“连续型”函数．参看
《数学（必修第一册）》
“函数的实际应用”．
如图５１１２，犆（狓）在狓＝犪处的导数犆′（犪）称为生产规模为犪
时的边际成本值，该值给出了生产规模为犪时，再增加１个产品，成本
的增加量．边际值表现为两个微增量的比．
图５１１２
由图可见：
犆（犪＋１）－犆（犪）≈犆′（犪）×１＝犆′（犪）．
犆（犪＋１）－犆（犪）表示生产规模由犪增加为犪＋１时成本的相应
增加量．经济学中，边际成本犆′（犪）通常近似地看成生产规模增加１
个单位时成本的增加量．类似地，对犚′（狓）和犘′（狓）也有相应的数
学模型．
试用上述知识解决下面的问题：设成本函数犆（狓）＝０．００５狓３－
３狓，狓为每天生产的产品数．
（１）若每天生产产品数由１０００件改为１００１件，成本的绝对增
加值是多少？
（２）在狓＝１０００处的边际成本是多少？
选择性必修第一册
数学
１８４
　
习题５．１
感受·理解
１．函数狔＝犳（狓）的图象如图所示，在图中作线段，分别表示犳（２），犳（２＋犺），
犳（２＋犺）－犳（２），犺．
（第１题）
　　　
（第２题）
２．如图，曲线狔＝犳（狓）在点犘处的切线方程是狔＝－狓＋８，求犳（５）及犳′（５）．
３．如图，犃，犅，犆，犇，犈，犉，犌为函数狔＝犳（狓）图象上的点．在哪些点处，
曲线的切线斜率为０？在哪些点处，切线的斜率为正？在哪些点处，切线的
斜率为负？在哪一点处，切线的斜率最大？在哪一点处，切线的斜率最小？
（第３题）
４．曲线狔＝狓２在点犘３４，９
（
）
１６处的切线斜率是多少？写出在点犘处的切
线方程．
５．如图，求犳（犪），并估计犳′（犪）．
（第５题）
（第６题）
６．根据所给函数狔＝犳（狓）的图象，估计犳′（１）．
７．求值：（１）ｌｉｍ
犺→０（３＋犺）２－３２
犺
；　　　　　　
（２）ｌｉｍ
犺→０３＋
槡犺－槡３
犺
．
８．已知函数犳（狓）＝狓２，记犐狀＝２，２＋１２
［
］
狀，狀∈犖，求犳（狓）在区间犐狀上的
平均变化率犪狀，并观察当狀不断增大时犪狀的变化趋势．
导数及其应用
第５章
１８５
　
９．（１）已知犳（狓＋犺）－犳（狓）＝２犺狓＋５犺＋犺２，用割线逼近切线的方法求犳′（狓）；
（２）已知犵（狓＋犺）－犵（狓）＝３犺狓２＋３犺２狓＋犺３，用割线逼近切线的方法求
犵′（狓）．
思考·运用１０．已知曲线狔＝狓２的一条切线的斜率是－４，求切点的坐标．
１１．已知函数犳（狓）＝－６狓．
（１）函数犳（狓）在区间［１，２］，［１，１．５］，［１，１．１］上的平均变化率各是多少？
（２）函数犳（狓）在狓＝１处的瞬时变化率是多少？
１２．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为犜（狋）＝１２０
狋＋５＋１５，其中犜（狋）为蜥蜴
的体温（单位：℃），狋为太阳落山后的时间（单位：ｍｉｎ）．
（１）从狋＝０到狋＝１０，蜥蜴体温下降了多少？
（２）从狋＝０到狋＝１０，蜥蜴体温的平均变化率是多少？
（３）当狋＝１０时，蜥蜴体温的瞬时变化率是多少？
（４）蜥蜴体温的瞬时变化率为－１℃／ｍｉｎ时的时刻狋是多少（精确到０．０１）？
探究·拓展１３．生产某塑料管的利润函数为犘（狀）＝－狀３＋６００狀２＋６７５００狀－１２０００００，其
中狀为工厂每月生产该塑料管的根数，利润犘（狀）的单位为元．
（１）求边际利润函数犘′（狀）；
（２）求狀的值，使犘′（狀）＝０；
（３）解释（２）中狀的值的实际意义．
１４．对于函数犳（狓），若犳′（狓０）存在，求：
（１）ｌｉｍ
犺→０犳（狓０＋（－犺））－犳（狓０）
－犺
；　　　
（２）ｌｉｍ
犺→０犳（狓０＋犺）－犳（狓０－犺）
犺
．
选择性必修第一册
数学
１８６
　
５．２
导数的运算
在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，即
函数在某一点处的瞬时变化率．那么，
●如何求基本初等函数的导数呢？
●导数的运算法则有哪些？
５．２．１　基本初等函数的导数
　　根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图
（图５２１）来表示．
给定函数狔＝犳（狓）
计算Δ狔Δ狓＝犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
Δ
↓

狓
ｌｉｍ
Δ狓→０Δ狔Δ狓＝犃（狓
↓

）
犳′（狓）＝犃（狓
↓

）
图５２１
　　（１）对于犳（狓）＝犽狓＋犫（犽，犫为常数），因为
Δ狔Δ狓＝犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
Δ狓
　　　
＝犽（狓＋Δ狓）＋犫－（犽狓＋犫）
Δ狓
＝犽，
所以
ｌｉｍ
Δ狓→０Δ狔Δ狓＝犽．
故
犳′（狓）＝犽．
（２）对于犳（狓）＝狓２，因为
Δ狔Δ狓＝（狓＋Δ狓）２－狓２
Δ狓
　　　　　　　　
＝２狓（Δ狓）＋（Δ狓）２
Δ狓
＝２狓＋Δ狓，
导数及其应用
第５章
１８７
　
所以
ｌｉｍ
Δ狓→０Δ狔Δ狓＝ｌｉｍ
Δ狓→０（２狓＋Δ狓）＝２狓．
故
犳′（狓）＝２狓．
（３）对于犳（狓）＝狓３，因为
Δ狔Δ狓＝（狓＋Δ狓）３－狓３
Δ狓
＝３狓２（Δ狓）＋３狓（Δ狓）２＋（Δ狓）３
Δ狓
＝３狓２＋３狓（Δ狓）＋（Δ狓）２，
所以
ｌｉｍ
Δ狓→０Δ狔Δ狓＝ｌｉｍ
Δ狓→０［３狓２＋３狓（Δ狓）＋（Δ狓）２］＝３狓２．
故
犳′（狓）＝３狓２．
（４）对于犳（狓）＝１狓，因为
Δ狔Δ狓＝
１
狓＋Δ狓－１狓
Δ狓
＝
－Δ狓
Δ狓（狓＋Δ狓）狓
＝
－１
（狓＋Δ狓）狓＝
－１
狓２＋狓（Δ狓），
所以
ｌｉｍ
Δ狓→０Δ狔Δ狓＝ｌｉｍ
Δ狓→０
－１
狓２＋狓（Δ狓）＝－１狓２．
故
犳′（狓）＝－１狓２．
（５）对于犳（狓）＝槡狓，因为
Δ狔Δ狓＝狓＋Δ
槡
狓－槡狓
Δ狓
＝
Δ狓
Δ狓（狓＋Δ
槡
狓＋槡狓）
＝
１
狓＋Δ
槡
狓＋槡狓，
所以　　ｌｉｍ
Δ狓→０Δ狔Δ狓＝ｌｉｍ
Δ狓→０
１
狓＋Δ
槡
狓＋槡狓＝
１
槡狓＋槡狓＝１
２槡狓．
故
犳′（狓）＝１
２槡狓．
以上求导公式可以归纳如下：
选择性必修第一册
数学
１８８
　
　　（１）（犽狓＋犫）′＝犽（犽，犫为常数）；
（２）犆′＝０（犆为常数）；
（３）（狓）′＝１；
（４）（狓２）′＝２狓；
（５）（狓３）′＝３狓２；
（６）１（）
狓′＝－１狓２；
（７）（槡狓）′＝１
２槡狓．
思　考
　　由上面的求导公式（３）～（６），你能发现什么规律？
为方便叙述，我们把函数狔＝狓α（α为常数），狔＝犪狓（犪＞０，犪≠
１），狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，犪≠１），狔＝ｓｉｎ狓，狔＝ｃｏｓ狓等函数称为基本
初等函数．
对于基本初等函数，有下面的求导公式：
　　（８）（狓α）′＝α狓α－１（α为常数）；
（９）（犪狓）′＝犪狓ｌｎ犪（犪＞０，且犪≠１）；
（１０）（ｅ狓）′＝ｅ狓；
（１１）（ｌｏｇ犪狓）′＝１狓ｌｏｇ犪ｅ＝１
狓ｌｎ犪（犪＞０，且犪≠１）；
（１２）（ｌｎ狓）′＝１狓；
（１３）（ｓｉｎ狓）′＝ｃｏｓ狓；
（１４）（ｃｏｓ狓）′＝－ｓｉｎ狓．
练　习
１．对于函数犳（狓）来说，犳′（１），犳′（２）与犳′（狓）有什么区别与联系？
２．求下列函数的导数：
（１）狔＝１狓３；　（２）狔＝３狓槡５；　（３）狔＝４狓；　（４）狔＝ｌｏｇ３狓．
３．求曲线狔＝１狓在点２，（）
１２处的切线的方程．
４．设犫为实数，若直线狔＝－狓＋犫为函数狔＝１狓图象的切线，求犫的值及切点
坐标．
５．设犫为实数，直线狔＝１２狓＋犫能作为下列函数图象的切线吗？若能，求出切
点坐标；若不能，简述理由．
（１）犳（狓）＝１狓；　（２）犳（狓）＝狓４；　（３）犳（狓）＝ｓｉｎ狓；　（４）犳（狓）＝ｅ狓．
导数及其应用
第５章
１８９
　
６．已知函数犳（狓）＝狓３，求（犳（－２））′以及犳′（－２）．
７．设犫为实数，若直线狔＝１２狓＋犫是曲线狔＝ｌｎ狓狓＞
（
）
０的一条切线，求犫
的值．
５．２．２　函数的和、差、积、商的导数
　　已知函数犳（狓），犵（狓）的导数犳′（狓），犵′（狓），怎样求（犳（狓）＋
犵（狓））′呢？
例１　求狔＝狓２＋狓的导数．
解　因为
　　Δ狔Δ狓＝［（狓＋Δ狓）２＋（狓＋Δ狓）］－（狓２＋狓）
Δ狓
＝（狓＋Δ狓）２－狓２
Δ狓
＋（狓＋Δ狓）－狓
Δ狓
＝２狓＋Δ狓＋１，
所以ｌｉｍ
Δ狓→０Δ狔Δ狓＝２狓＋１，得狔′＝２狓＋１．
由于（狓２）′＝２狓，狓′＝１，则有
（狓２＋狓）′＝（狓２）′＋狓′．
一般地，我们有函数和的求导法则：
　　（犳（狓）＋犵（狓））′＝犳′（狓）＋犵′（狓），
即两个函数的和的导数，等于这两个函数的导数的和．
类似地，函数的差、积、商的求导法则是：
　　尝试利用定义证
明一下．
（犳（狓）－犵（狓））′＝犳′（狓）－犵′（狓），
（犆犳（狓））′＝犆犳′（狓）（犆为常数），
（犳（狓）犵（狓））′＝犳′（狓）犵（狓）＋犳（狓）犵′（狓），
犳（狓）
犵（狓
（））′＝犳′（狓）犵（狓）－犳（狓）犵′（狓）
犵２（狓）
（犵（狓）≠０）．
有了函数的和、差、积、商的求导法则，我们就可以直接运用基本
选择性必修第一册
数学
１９０
　
初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数．
例２　求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝狓２＋ｓｉｎ狓；
（２）犵（狓）＝狓３－３２狓２－６狓＋２．
解　（１）犳′（狓）＝（狓２＋ｓｉｎ狓）′＝（狓２）′＋（ｓｉｎ狓）′＝２狓＋ｃｏｓ狓．
（２）犵′（狓）＝狓３－３２狓２－６狓＋
（
）
２′＝３狓２－３狓－６．
例３　求下列函数的导数：
（１）犺（狓）＝狓ｓｉｎ狓；　　　　　　　（２）犳（狓）＝狓２ｅ狓；
（３）犛（狋）＝狋２＋１
狋；
（４）犳（狓）＝ｔａｎ狓．
解　（１）犺′（狓）＝（狓ｓｉｎ狓）′＝狓′ｓｉｎ狓＋狓（ｓｉｎ狓）′＝ｓｉｎ狓＋狓ｃｏｓ狓．
（２）犳′（狓）＝（狓２ｅ狓）′＝（狓２）′ｅ狓＋狓２（ｅ狓）′＝２狓ｅ狓＋狓２ｅ狓．
（３）犛′（狋）＝狋２＋１
（）
狋′＝（狋２＋１）′狋－（狋２＋１）狋′
狋２
＝２狋·狋－狋２－１
狋２
＝
狋２－１
狋２．
（４）犳′（狓）＝（ｔａｎ狓）′＝ｓｉｎ狓
ｃｏｓ（）
狓′＝（ｓｉｎ狓）′ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓（ｃｏｓ狓）′
ｃｏｓ２狓
＝
ｃｏｓ狓ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓（－ｓｉｎ狓）
ｃｏｓ２狓
＝ｃｏｓ２狓＋ｓｉｎ２狓
ｃｏｓ２狓
＝１
ｃｏｓ２狓．
思　考
　　例３（３）还有其他解法吗？
练　习
１．求下列函数的导数：
（１）狔＝狓２＋ｃｏｓ狓；　　　　　　　　（２）狔＝２狓－２ｌｎ狓．
２．求曲线狔＝狓２＋２狓－３在狓＝２处的切线方程．
３．用两种方法求函数狔＝（２狓－１）（狓＋３）的导数．
４．求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝狓ｅ狓；
（２）犳（狓）＝１狓２；
（３）犳（狓）＝狓
２狓＋３；
（４）犳（狓）＝狓ｌｎ狓；
（５）犳（狓）＝ｓｉｎ狓
狓２；
（６）犳（狓）＝２狓
ｌｎ狓．
５．已知函数犳（狓）的导数是犳′（狓），求函数（犳（狓））２的导数．
导数及其应用
第５章
１９１
　
５．２．３　简单复合函数的导数
　　观察函数狔＝（３狓－１）２和狔＝ｓｉｎ２狓，不难发现，狔＝（３狓－１）２
由狔＝狌２及狌＝３狓－１复合而成，狔＝ｓｉｎ２狓由狔＝ｓｉｎ狌及狌＝２狓复
合而成．像这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．
那么，怎样求复合函数的导数呢？
先考察狔＝（３狓－１）２，将狔关于狓的导数记为狔狓′．
一方面，
狔狓′＝（（３狓－１）２）′＝（９狓２－６狓＋１）′＝１８狓－６＝６（３狓－１）．
另一方面，将狔＝（３狓－１）２看成由狔＝狌２及狌＝３狓－１复合而
成，并将狔关于狌的导数记为狔狌′，即狔狌′＝（狌２）′＝２狌．同理，将狌关于
狓的导数记为狌狓′，即狌狓′＝（３狓－１）′＝３．
因而有
狔狓′＝６（３狓－１）＝２（３狓－１）×３＝２狌×３，
即
狔狓′＝狔狌′·狌狓′．
　　再考察狔＝ｓｉｎ２狓．
一方面，
狔狓′＝（ｓｉｎ２狓）′＝（２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓）′＝２（ｓｉｎ狓）′ｃｏｓ狓＋２ｓｉｎ狓（ｃｏｓ狓）′＝
２ｃｏｓ２狓－２ｓｉｎ２狓＝２ｃｏｓ２狓．
另一方面，将狔＝ｓｉｎ２狓看成由狔＝ｓｉｎ狌及狌＝２狓复合而成，仿
上可得，狔狌′＝（ｓｉｎ狌）′＝ｃｏｓ狌，狌狓′＝（２狓）′＝２．
因而也有
狔狓′＝狔狌′·狌狓′．
一般地，我们有：
　　若狔＝犳（狌），狌＝犪狓＋犫，则狔狓′＝狔狌′·狌狓′，即
狔狓′＝狔狌′·犪．
例４　求下列函数的导数：
（１）狔＝（２狓－３）３；　　　　　　　（２）狔＝ｌｎ（５狓＋１）．
解　（１）狔＝（２狓－３）３可由狔＝狌３及狌＝２狓－３复合而成，
所以狔狓′＝狔狌′×２＝（狌３）′×２＝３狌２×２＝６狌２＝６（２狓－３）２．
（２）狔＝ｌｎ（５狓＋１）可由狔＝ｌｎ狌及狌＝５狓＋１复合而成，
选择性必修第一册
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１９２
　
所以狔狓′＝狔狌′×５＝（ｌｎ狌）′×５＝１狌×５＝５
５狓＋１．
例５　求下列函数的导数：
（１）狔＝１
３狓－１；　　　　　（２）狔＝ｃｏｓ（１－２狓）．
解　（１）狔＝１
３狓－１可由狔＝１狌及狌＝３狓－１复合而成，
所以狔狓′＝狔狌′×３＝１（）
狌′×３＝－１狌２×３＝－
３
（３狓－１）２．
（２）狔＝ｃｏｓ（１－２狓）可由狔＝ｃｏｓ狌及狌＝１－２狓复合而成，
所以　狔狓′＝狔狌′×（－２）＝（ｃｏｓ狌）′×（－２）＝（－ｓｉｎ狌）×（－２）＝
２ｓｉｎ（１－２狓）．
练　习
１．指出以下函数可以分别看作是由哪两个函数复合而成的：
（１）狔＝（３＋ｓｉｎ狓）４；　　　　　　（２）狔＝ｌｎ１
２狓＋１；
（３）狔＝２２狓－１；
（４）狔＝１
１－ｃｏｓ狓．
２．求下列函数的导数：
（１）狔＝（２狓＋３）２；
（２）狔＝（１－３狓）３；
（３）狔＝ｅ２狓；
（４）狔＝ｌｎ１狓．
３．求曲线狔＝ｓｉｎ２狓在点犘（π，０）处的切线方程．
４．利用ｃｏｓ狓＝ｓｉｎπ２－
（
）
狓，（ｓｉｎ狓）′＝ｃｏｓ狓，证明（ｃｏｓ狓）′＝－ｓｉｎ狓．
５．求下列函数的导数：
（１）狔＝ｌｎ１
２狓＋１；
（２）狔＝ｃｏｓπ３－２
（
）
狓．
阅　读
犳（犪狓＋犫）的导数的一种解释
（１）当犪＝１时，不妨设犫＜０，设犳′（狓）＝犵（狓）．由图５２２可
知，若犳′（狓）＝犵（狓），则
（犳（狓＋犫））′＝犵（狓＋犫）．
图５２２
导数及其应用
第５章
１９３
　
（２）当犪＝－１，犫＝０时，设犳′（狓）＝犵（狓）．由图５２３可知，
若犳′（狓）＝犵（狓），则
（犳（－狓））′＝－犵（－狓）．
图５２３
（３）当犪＞０，犫＝０时，设犳′（狓）＝犵（狓）．由图５２４可知，若
犳′（狓）＝犵（狓），则
（犳（犪狓））′＝犪犵（犪狓）．
图５２４
由（１）（２）（３），你能得到什么结论？
习题５．２
感受·理解
１．求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝狓２－３狓＋１；　　　　　（２）犳（狓）＝狓＋１狓；
（３）犳（狓）＝狓＋ｓｉｎ狓；
（４）犳（狓）＝狓ｃｏｓ狓．
２．求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝２狓＋３狓；
（２）犳（狓）＝ｌｏｇ２狓＋狓２；
（３）犳（狓）＝ｅ狓狓；
（４）犳（狓）＝狓３ｌｎ狓．
３．求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝（２狓＋１）５；
（２）犳（狓）＝ｓｉｎ２狓；
（３）犳（狓）＝ｓｉｎ２狓＋π
（
）
３；
（４）犳（狓）＝ｌｎ（狓＋１）．
４．（１）求曲线狔＝ｅ狓在狓＝０处切线的方程；
（２）过原点作曲线狔＝ｅ狓的切线，求切点的坐标．
５．求曲线狔＝１２狓－ｃｏｓ狓在狓＝π６处切线的方程．
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数学
１９４
　
６．求曲线狔＝狓３＋３狓－８在狓＝２处切线的方程．
７．（１）已知函数犳（狓）＝１＋槡狓
１－槡狓，分别求当狓＝２，４时犳（狓）的导数值；
（２）已知函数犳（狓）＝狓ｌｎ狓＋２狓２－３，分别求当狓＝１，２时犳（狓）的导
数值．
８．已知函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓，狓∈（０，２π）．
（１）求狓０，使犳′（狓０）＝０；
（２）解释（１）中狓０及犳′（狓０）的意义．
９．求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝（狓－２）２
狓＋１；
（２）犳（狓）＝（狓２＋９）狓－３
（
）
狓；
（３）犳（狓）＝ｌｎ狓狓；
（４）犳（狓）＝狓２ｃｏｓ狓．
１０．已知犳（５）＝５，犳′（５）＝３，犵（５）＝４，犵′（５）＝１，求犺（５）及犺′（５）．
（１）犺（狓）＝３犳（狓）＋２犵（狓）；
（２）犺（狓）＝犳（狓）犵（狓）＋１；
（３）犺（狓）＝犳（狓）＋２
犵（狓）．
１１．血液在血管中的流速满足关系式狏（狉）＝犽（犚２－狉２），其中犽为常数，犚和狉
分别为血管的外径和内径（单位：ｃｍ）．现假定犽＝１０００，犚＝０．２ｃｍ，求
狏（０．１）及狏′（０．１），并对所得结果作出解释．
思考·运用１２．某港口在一天２４ｈ内潮水的高度犛（单位：ｍ）随时间狋（单位：ｈ，０≤狋≤
２４）的变化近似满足关系式犛（狋）＝３ｓｉｎπ１２狋＋５π
（
）
６，求１８点时潮水起落的
速度．
１３．火车开出车站一段时间内，速度狏（单位：ｍ／ｓ）与行驶时间狋（单位：ｓ）之间
的关系是狏（狋）＝０．４狋＋０．６狋２．
（１）求火车运动的加速度犪；
（２）火车开出几秒时加速度为２．８ｍ／ｓ２？
１４．质点的运动方程是犛＝５ｓｉｎ狋＋２ｃｏｓ狋．
（１）求当狋＝５时的速度；
（２）求质点运动的加速度．
１５．（１）如图（１），直线犾是抛物线狔＝０．５狓２－４狓＋１０在狓＝６处的切线，求直
线犾在狔轴上的截距；
（２）如图（２），直线犾是曲线狔＝犳（狓）在狓＝４处的切线，求犳′（４）．
（第１５题）
导数及其应用
第５章
１９５
　
探究·拓展１６．如图，水波的半径以５０ｃｍ／ｓ的速度向外扩张，当半径为２５０ｃｍ时，圆面积
的膨胀率是多少？
（第１６题）
１７．设曲线狔＝狓２（狓≥０），直线狔＝０及狓＝狋（狋＞０）围成的封闭图形的面积
为犛（狋），求犛′（狋）．
选择性必修第一册
数学
１９６
　
５．３
导数在研究函数中的应用
我们知道，导数犳′（狓）刻画了函数犳（狓）在每一点处的变化趋
势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质．
●如何利用导数来研究函数的性质呢？
５．３．１　单调性
　　如果函数犳（狓）在区间（犪，犫）上是增函数，那么对任意的狓１，
狓２∈（犪，犫），当狓１＜狓２时，犳（狓１）＜犳（狓２），即狓１－狓２与犳（狓１）－
犳（狓２）同号，从而有犳（狓１）－犳（狓２）
狓１－狓２
＞０，即Δ狔Δ狓＞０．这表明，函数的
平均变化率与其单调性密切相关．进一步猜想，函数的瞬时变化率
（即导数）与其单调性也密切相关．那么，
●导数与函数的单调性有什么联系？
我们选几个具体的函数，考察一下它们的单调性与导数之间的
关系：
函　数
犳（狓）＝２狓
（狓∈犚）
犳（狓）＝狓２
（狓∈（０，＋∞））
犳（狓）＝ｓｉｎ
（
狓
狓∈０，π
（））
２
函数的单调性
增函数
增函数
增函数
导数的正负
犳′（狓）＞０
犳′（狓）＞０
犳′（狓）＞０
函数的图象
　　观察上表，我们可以提出两个猜想：
（１）如果犳（狓）在某区间上单调递增，那么在该区间上
犳′（狓）＞０；
（２）如果在某区间上犳′（狓）＞０，那么犳（狓）在该区间上单调
递增．
导数及其应用
第５章
１９７
　
思　考
　　试结合狔＝狓３进行思考：如果犳（狓）在某区间上单调递增，那么
在该区间上必有犳′（狓）＞０吗？
在高等数学中，可以证明猜想（２）是正确的．
一般地，我们有下面的结论：
　　若在某个区间
内，犳′（狓）≥０，且只在
有限个点处犳′（狓）＝
０，则在这个区间内，
函数狔＝犳（狓）单调
递增；
若在某个区间
内，犳′（狓）≤０，且只在
有限个点处犳′（狓）＝
０，则在这个区间内，
函数狔＝犳（狓）单调
递减．
　　对于函数狔＝犳（狓），
如果在某区间上犳′（狓）＞０，那么犳（狓）在该区间上单调递增，
即犳（狓）为该区间上的增函数；
如果在某区间上犳′（狓）＜０，那么犳（狓）在该区间上单调递减，
即犳（狓）为该区间上的减函数．
上述结论可以用图５３１来直观理解．
图５３１
例１　确定函数犳（狓）＝狓２－４狓＋３在哪个区间上是增函数，在
哪个区间上是减函数．
解　由题设知，犳′（狓）＝２狓－４．
令犳′（狓）＞０，解得狓＞２，因此，在区间（２，＋∞）上，犳′（狓）＞０，
犳（狓）是增函数；
令犳′（狓）＜０，解得狓＜２，因此，在区间（－∞，２）上，犳′（狓）＜０，
犳（狓）是减函数（图５３２）．
图５３２
例２　讨论函数犳（狓）＝２狓３－６狓２＋７的单调性．
解　由题设知，犳′（狓）＝６狓２－１２狓．
令犳′（狓）＝０，解得狓＝０或狓＝２．
因此，在区间（－∞，０）上，犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增；在区间（０，
２）上，犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减；在区间（２，＋∞）上，犳′（狓）＞０，
选择性必修第一册
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１９８
　
犳（狓）单调递增（图５３３）．
图５３３
　　例３　确定函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓（狓∈（０，２π））的减区间．
解　犳′（狓）＝ｃｏｓ狓．
令犳′（狓）＜０，即ｃｏｓ狓＜０．又狓∈（０，２π），所以狓∈π２，３π
（
）
２．
故所求的减区间是π２，３π
（
）
２．
练　习
１．确定下列函数的单调区间：
（１）狔＝狓－狓２；　　　　　　　　（２）狔＝狓－狓３．
２．讨论下列函数犳（狓）的单调性：
（１）犳（狓）＝犽狓＋犫；
（２）犳（狓）＝犽狓；
（３）犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）．
３．用导数证明：
（１）犳（狓）＝ｅ狓在区间（－∞，＋∞）上是增函数；
（２）犳（狓）＝ｅ狓－狓在区间（－∞，０）上是减函数．
４．（１）证明函数狔＝－ｌｎ狓在定义域上是减函数；
（２）证明函数狔＝ｓｉｎ狓在区间－π２，π
（
）
２上是增函数．
５．３．２　极大值与极小值
　　观察图５３４中的函数图象，不难发现，函数图象在点犘处从
左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），
这时在点犘附近，点犘的位置最高，即犳（狓１）比它附近点的函数值都
要大．我们称犳（狓１）为函数犳（狓）的一个极大值．
图５３４
导数及其应用
第５章
１９９
　
一般地，若存在δ＞０，当狓∈（狓１－δ，狓１＋δ）时，都有犳（狓）≤
犳（狓１），则称犳（狓１）为函数犳（狓）的一个极大值．
类似地，图中犳（狓２）为函数的一个极小值．函数的极大值、极小值
统称为函数的极值（ｅｘｔｒｅｍｕｍ）．
●函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢？
　　在这里，狓１左
（右）侧是指以狓１为
右（左）端点的一个小
区间．
继续观察图５３４中的函数图象，在函数取得极大值的狓１的左
侧，函数单调递增，犳′（狓）＞０；在狓１的右侧，函数单调递减，犳′（狓）＜０；
而在点犘处的切线平行于狓轴，即犳′（狓）＝０．表５３１清楚地表明了
极大值与导数之间的关系．
　　符号“”“”分
别表示“单调递增”和
“单调递减”．
表５３１
狓
狓１左侧
狓１
狓１右侧
犳′（狓）
犳′（狓）＞０
犳′（狓）＝０
犳′（狓）＜０
犳（狓）

极大值犳（狓１）

　　类似地，极小值与导数之间的关系，如表５３２所示．
表５３２
狓
狓２左侧
狓２
狓２右侧
犳′（狓）
犳′（狓）＜０
犳′（狓）＝０
犳′（狓）＞０
犳（狓）

极小值犳（狓２）

　　例４　求犳（狓）＝狓２－狓－２的极值．
解　犳′（狓）＝２狓－１．令犳′（狓）＝０，解得狓＝１２．
列表如表５３３所示．
表５３３
狓
１２左侧
１２
１２右侧
犳′（狓）
－
０
＋
犳（狓）

极小值犳１（）
２

　　因此，当狓＝１２时，犳（狓）有极小值犳１（）
２＝－９４．
选择性必修第一册
数学
２００
　
例５　求犳（狓）＝１３狓３－４狓＋１３的极值．
解　犳′（狓）＝狓２－４．令犳′（狓）＝０，解得狓１＝－２，狓２＝２．
列表如表５３４所示．
表５３４
狓
（－∞，－２）
－２
（－２，２）
２
（２，＋∞）
犳′（狓）
＋
０
－
０
＋
犳（狓）

极大值
犳（－２）

极小值
犳（２）

　　因此，当狓＝－２时，犳（狓）有极大值犳（－２）＝１７３；当狓＝２时，
犳（狓）有极小值犳（２）＝－５（图５３５）．
　　图５３５
思　考
　　试联系函数狔＝狓３思考：当犳′（狓０）＝０时，能否肯定函数犳（狓）
在狓０处取得极值？
练　习
１．求下列函数的极值：
（１）狔＝狓２－７狓＋６；　　　　　　
（２）狔＝狓＋１狓．
２．如果函数犳（狓）有极小值犳（犪），极大值犳（犫），问：犳（犪）一定小于犳（犫）吗？试
作图说明．
３．根据下列条件，大致作出函数的图象：
（１）犳（４）＝３，犳′（４）＝０，当狓＜４时，犳′（狓）＞０；当狓＞４时，犳′（狓）＜０．
（２）犳（１）＝１，犳′（１）＝０，当狓≠１时，犳′（狓）＞０．
４．求函数狔＝狓－ｌｎ狓，狓∈（０，２）的极值．
导数及其应用
第５章
２０１
　
５．３．３　最大值与最小值
　　我们知道，如果在函数定义域犐内存在狓０，使得对任意的狓∈犐，
总有犳（狓）≤犳（狓０），那么犳（狓０）为函数在定义域上的最大值．最大值
是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值唯一．
●如何求函数的最大（小）值？
观察函数狔＝犳（狓）在区间［犪，犫］上的图象（图５３６）可知，
犳（狓２），犳（狓４）是极大值，而函数犳（狓）的最大值是犳（犫）．
图５３６
类似地，犳（狓１），犳（狓３），犳（狓５）是极小值，而函数犳（狓）的最小值
是犳（狓３）．
因此，求犳（狓）在区间［犪，犫］上的最大值与最小值可以分
为两步：
第一步　求犳（狓）在区间（犪，犫）上的极值；
第二步　将第一步中求得的极值与犳（犪），犳（犫）比较，得到犳（狓）
在区间［犪，犫］上的最大值与最小值．
例６　求犳（狓）＝狓２－４狓＋３在区间［－１，４］上的最大值与最
小值．解　犳′（狓）＝２狓－４．
令犳′（狓）＝０，解得狓＝２．
列表如表５３５所示．
表５３５
狓
－１
（－１，２）
２
（２，４）
４
犳′（狓）
－
０
＋
犳（狓）
８

－１

３
　　从上表可知，函数犳（狓）＝狓２－４狓＋３在区间［－１，４］上的最大值
是８，最小值是－１．
选择性必修第一册
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２０２
　
例７　求犳（狓）＝１２狓＋ｓｉｎ狓在区间［０，２π］上的最大值与最
小值．
解　犳′（狓）＝１２＋ｃｏｓ狓．
令犳′（狓）＝０，解得狓１＝２π３，狓２＝４π３．
列表如表５３６所示．表５３６
狓
０
０，２π
（）
３
２π３
２π３，４π
（
）
３
４π３
４π３，２
（
）
π ２π
犳′（狓）
＋
０
－
０
＋
犳（狓）０

π３＋槡３２

２π３－槡３２

π
　　从上表可知，函数犳（狓）＝１２狓＋ｓｉｎ狓在区间［０，２π］上的最大值
是π，最小值是０．
思　考
　　你能根据表５３６大致作出函数犳（狓）的图象吗？
练　习
１．对于函数犳（狓），如果犳（狓）≤犮（犮为常数）对定义域中的每个自变量狓均成
立，那么犮一定是函数狔＝犳（狓）的最大值吗？如果犳（狓）≤犳（狓０）对定义域
中的每个自变量狓均成立，那么犳（狓０）一定是函数的最大值吗？
２．如果函数犳（狓）有最小值犳（犪），最大值犳（犫），问：犳（犪）一定小于犳（犫）吗？
３．求下列函数在所给区间上的最大值和最小值：
（１）犳（狓）＝３狓＋２，狓∈［－１，３］；
（２）犳（狓）＝狓２－３狓，狓∈［－１，３］；
（３）犳（狓）＝狓＋１狓，狓∈１３，
［］
３．
４．求函数狔＝狓－狓３，狓∈［０，２］的值域．
５．求函数狔＝狓－ｌｎ狓，狓∈（０，１］的值域．
例８　在边长为６０ｃｍ的正方形铁皮的四角切去边长相等的小
正方形，再把它的边沿虚线折起（图５３７），做成一个无盖的方底
铁皮箱．当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解　设箱底边长为狓ｃｍ，则箱高为
犺＝６０－狓
２（０＜狓＜６０），
箱子的容积为
导数及其应用
第５章
２０３
　
图５３７
犞（狓）＝狓２犺＝３０狓２－１２狓３（０＜狓＜６０）．
犞′（狓）＝６０狓－３２狓２，令犞′（狓）＝０，解得
狓１＝０（舍），狓２＝４０．
当狓∈（０，４０）时，犞′（狓）＞０；当狓∈（４０，６０）时，犞′（狓）＜０．
所以，函数犞（狓）在狓＝４０处取得极大值，这个极大值就是函数
犞（狓）的最大值，即
犞（４０）＝３０×４０２－１２×４０３＝１６０００．
答当箱子底边长等于４０ｃｍ时，箱子容积最大，最大值为
１６０００ｃｍ３．
例９　某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半
径，才能使它的用料最省？
解　如图５３８，设圆柱的高为犺，底半径为犚，则表面积
犛（犚）＝２π犚犺＋２π犚２．
图５３８
又犞＝π犚２犺（定值），则犺＝犞π犚２，所以
犛（犚）＝２π犚·犞π犚２＋２π犚２＝２犞犚＋２π犚２（犚＞０）．
犛′（犚）＝－２犞犚２＋４π犚，令犛′（犚）＝０，解得犚＝
３犞２槡π ，从而
选择性必修第一册
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２０４
　
犺＝犞π犚２＝２
３犞２槡π＝２犚，
即犺＝２犚．
当犚＜犺２时，犛′（犚）＜０；当犚＞犺２时，犛′（犚）＞０．
因此，当犺＝２犚时，犛（犚）取得极小值，且是最小值．
答　当罐高与罐底的直径相等时，用料最省．
例１０　在经济学中，生产狓单位产品的成本称为成本函数，记
为犆（狓），出售狓单位产品的收益称为收益函数，记为犚（狓），犚（狓）－
犆（狓）称为利润函数，记为犘（狓）．
（１）如果犆（狓）＝１０－６狓３－０．００３狓２＋５狓＋１０００，那么生产多少
单位产品时，边际成本犆′（狓）最低？
（２）如果犆（狓）＝５０狓＋１００００，产品的单价狆（狓）＝１００－０．０１狓，
那么怎样定价可使利润最大？
解　（１）犆′（狓）＝３×１０－６狓２－０．００６狓＋５，记犵（狓）＝犆′（狓）．
由
犵′（狓）＝６×１０－６狓－０．００６＝０，
解得狓＝１０００．
结合犆′（狓）的图象（图５３９（２））可知，当狓＝１０００时，边际成
本最低．
图５３９
（２）由狆（狓）＝１００－０．０１狓，得收益函数
犚（狓）＝狓（１００－０．０１狓），
则利润函数
　　　　犘（狓）＝犚（狓）－犆（狓）
＝狓（１００－０．０１狓）－（５０狓＋１００００）
＝－０．０１狓２＋５０狓－１００００．
由犘′（狓）＝－０．０２狓＋５０＝０，解得狓＝２５００．
结合图５３９（３）可知，当狓＝２５００时，利润最大，此时
狆（２５００）＝１００－０．０１×２５００＝７５．
导数及其应用
第５章
２０５
　
答　生产１０００个单位产品时，边际成本最低；当产品的单价为
７５时，利润最大．
一般地，为使利润函数犘（狓）＝犚（狓）－犆（狓）最大，生产规模应
确定为狓＝犪，且犘′（犪）＝０，即犚′（犪）＝犆′（犪）．
用图象来表示有下列３种形式（图５３１０），这就是如何确定
生产规模的一般数学模型．
图５３１０
练　习
１．把长为６０ｃｍ的铁丝围成矩形，当长、宽各为多少时矩形的面积最大？
２．把长为１００ｃｍ的铁丝分成两段，各围成一个正方形，怎样分才能使两个正方
形的面积之和最小？
３．做一个容积为２５６ｍ３的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？
４．为了保证某隧道内的行车安全，交通部门规定，隧道内的车距犱（单位：ｍ）正
比于车速狏（单位：ｋｍ／ｈ）的平方与自身长犾（单位：ｍ）的积，且车距不得小
于半个车身长．而当车速为６０（ｋｍ／ｈ）时，车距为１．４４个车身长．当车速多
大时，隧道的车流量最大？
习题５．３
感受·理解
１．设犳（狓）是减函数，试确定犳（狓）－犳（狓０）
狓－狓０
（狓≠狓０）的符号．
２．确定下列函数的单调区间：
（１）狔＝－４狓＋２；　　　　　　　　　（２）狔＝狓ｌｎ狓；
（３）狔＝ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓；　　　　
（４）狔＝狓２（狓－３）．
３．求下列函数的极值：
（１）狔＝２狓２－狓４；　　　　
（２）狔＝狓
狓２＋３；
（３）狔＝狓－２ｃｏｓ狓；　　　　
（４）狔＝ｅ狓－ｅ狓．
４．求下列函数在所给区间上的最大值和最小值：
（１）狔＝狓２－２狓，狓∈［０，３］；
（２）狔＝狓－１
狓＋２，狓∈［０，２］；
（３）狔＝１２狓－ｃｏｓ狓，狓∈－π２，π
［
］
２．
选择性必修第一册
数学
２０６
　
５．分别根据下列条件，确定ｃｏｓπ４＋Δ
（
）
狓－ｃｏｓπ４
Δ狓
的符号：
（１）０＜Δ狓＜π４；　　　　
（２）－π４＜Δ狓＜０．
６．一杯８０℃的热茶置于客厅桌面上，热茶的温度犜（单位：℃）随着时间狋（单
位：ｍｉｎ）的增加而逐渐下降．设犜与狋的函数关系为犜＝犳（狋），若犳′（３）＝
－３，试解释其实际意义．
７．已知某养猪场的固定成本是２００００元，每年最大规模的养殖量为６００头，
且每养１头猪，成本增加１００元，养狓头猪的收益函数为犚（狓）＝４００狓－
１２狓２，记犆（狓），犘（狓）分别为养狓头猪的成本函数和利润函数．
（１）分别求犆（狓），犘（狓）的表达式；
（２）当狓取何值时，犘（狓）最大？
８．甲、乙两地相距狊（单位：ｋｍ），汽车从甲地以速度狏（单位：ｋｍ／ｈ）匀速行驶
到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成
本为犪元，可变成本与速度狏的平方成正比，比例系数为犽．为使全程运输
成本最小，汽车应以多大速度行驶？
思考·运用
９．当某种针剂药注入人体后，血液中药的浓度犆与时间狋的关系犆＝犆（狋）的
图象如图所示，试解释此图．
（第９题）
　　　
（第１０题）
１０．已知函数狔＝犳（狓）的图象如图所示，试作出狔＝犳′（狓）的草图．
１１．出版社出版某一读物，１页上所印文字占去１５０ｃｍ２，上、下边要留１．５ｃｍ
空白，左、右两侧要留１ｃｍ空白．出版商为降低成本，应选用怎样尺寸
的纸张？
（第１１题）
１２．一列车队以速度狏（单位：ｋｍ／ｈ）行进，每辆车长５ｍ，两车之间的合适
间距为０．１８狏＋０．００６狏２（ｍ）．问：当车速狏为多少时，单位时段内通过
的汽车数量最多？
导数及其应用
第５章
２０７
　
１３．求下列函数的值域：
（１）狔＝１
狓＋１＋狓，狓∈［１，３］；（２）狔＝狓３－３狓２＋５，狓∈［－２，３］；
（３）狔＝狓＋ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］；（４）狔＝２狓２－ｌｎ狓．
１４．（１）求内接于半径为犚的圆且面积最大的矩形；
（２）求内接于半径为犚的球且体积最大的圆柱．
探究·拓展１５．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥．杯深８ｃｍ，上口宽６ｃｍ．水以２０ｃｍ３／ｓ的
流量倒入杯中，当水深４ｃｍ时，求水升高的瞬时变化率（精确到０．０１）．
（第１５题）
１６．如图，船以定速直行，航线距灯塔犔的最近距离为５００ｍ．已知灯塔对小船
现在的位置犅及小船航线与灯塔的最近点犘的张角∠犅犔犘＝８３°，且该角
正以０．８°／ｍｉｎ的比率减小，求小船的速度．
（第１６题）
１７探究一元二次方程狓２＋狓－１＝０的求解问题，这是经典的求黄金分割的方
程式．令犳（狓）＝狓２＋狓－１，对抛物线狔＝犳（狓），持续实施下面“牛顿切线
法”的步骤：
在点（１，１）处作抛物线的切线，交狓轴于点（狓１，０）；
在点（狓１，犳（狓１））处作抛物线的切线，交狓轴于点（狓２，０）；
在点（狓２，犳（狓２））处作抛物线的切线，交狓轴于点（狓３，０）；
……
得到一个数列｛狓狀｝．回答下列问题：
（１）求狓１的值；
（２）设狓狀＋１＝犵（狓狀），求犵（狓狀）的解析式；
（３）用“二分法”求方程的近似解，给出前四步结果．比较“牛顿切线法”和
“二分法”的求解速度．
１８（阅读题）圆锥曲线的光学性质（续）．
　　在圆锥曲线部分，我们曾介绍了圆锥曲线的光学性质，现以抛物线为
例，予以证明．
抛物线的光学性质如下：位于焦点犉的光源所射出的光线犉犘，经抛
物线（在实际问题中是旋转抛物线面）上的任一点犘（狓０，狔０）反射后，反射
光线犘犕与抛物线的轴平行．
选择性必修第一册
数学
２０８
　
（第１８题）
根据光学中的反射原理，光线的反射角等于入射角．在图中，设犘犜是
抛物线在点犘处的切线（犜为切线与狔轴的交点），犘犎⊥犘犜，则有
∠犕犘犎＝∠犉犘犎．要证明反射光线犘犕平行于对称轴（狔轴），只需证
∠犉犜犘＝∠犕犘犖即可．
设抛物线的方程为狔＝犪狓２（犪＞０），则焦点犉的坐标为０，１４
（）
犪．根据
抛物线的定义知犘犉＝狔０＋１４犪．
又因为狔′＝２犪狓，所以切线犘犖的斜率为２犪狓０，于是切线犘犖的方程为
狔－狔０＝２犪狓０（狓－狓０）．
令狓＝０，得
狔＝狔０－２犪狓２０＝－狔０，
则
犉犜＝狔０＋１４犪，
所以犘犉＝犉犜，从而
∠犉犜犘＝∠犉犘犜．
又因为
∠犉犘犜＝∠犕犘犖，
所以
∠犉犜犘＝∠犕犘犖．
故犘犕平行于狔轴．
这就证明了抛物线的光学性质．
导数及其应用
第５章
２０９
　
应用与建模
三次样条模型
　　考察图１中的数据，怎样描出一条光滑的曲线连接这些点？
图１
　
图２
　
图３
方法１　利用曲线板工具（图２），在两个数据点间合理地选择曲
线，并使其光滑地转接到下一个数据对的另一条．
方法２　取一根非常纤细的木条（称为样条ｓｐｌｉｎｅ），在每一个数
据点钉住它（图３）．三次样条模型的基本思想同此，只是在光滑化的
方式上，在连续的数据点对间使用不同的三次多项式．
因为多项式容易求导，所以在构造经验模型追踪数据的趋势时，
常使用多项式．考虑到高次多项式在邻近数据区间的端点处摆动的
倾向，且系数对数据中小的变化太敏感，通常采用低次多项式进行光
滑化．在连续的数据点对间使用三次多项式追踪数据的趋势，既保证
了基本关系的特征，同时又减少了摆动的倾向和数据变化的敏感性．
（１）三次样条模型
如图４，在区间［狓１，狓２］和［狓２，狓３］上，分别定义样条函数：
犛１（狓）＝犪１＋犫１狓＋犮１狓２＋犱１狓３，狓∈［狓１，狓２］；
犛２（狓）＝犪２＋犫２狓＋犮２狓２＋犱２狓３，狓∈［狓２，狓３］．
图４　三阶样条函数
首先，每一样条通过该样条的定义区间的两个数据点：
狔１＝犛１（狓１）＝犪１＋犫１狓１＋犮１狓２１＋犱１狓３１，
①
狔２＝犛１（狓２）＝犪１＋犫１狓２＋犮１狓２２＋犱１狓３２，
②
狔２＝犛２（狓２）＝犪２＋犫２狓２＋犮２狓２２＋犱２狓３２，
③
狔３＝犛２（狓３）＝犪２＋犫２狓３＋犮２狓２３＋犱２狓３３．
④
其次，要求样条系统的光滑性，在内部数据点邻接的一阶导数必
选择性必修第一册
数学
２１０
　
须匹配：
即犛′１（狓２）＝犛′２（狓２），
犫１＋２犮１狓２＋３犱１狓２２＝犫２＋２犮２狓２＋３犱２狓２２．
⑤
同时还要求在每一内部数据点邻接的二阶导数必须匹配：
即犛″１（狓２）＝犛″２（狓２），
２犮１＋６犱１狓２＝２犮２＋６犱２狓２．
⑥
为了确定待定系数，仍需附加两个独立的方程．一种假设是样条
在外侧端点处的一阶导数没有变化（二阶导数为零）：
犛″１（狓１）＝２犮１＋６犱１狓１＝０，
⑦
犛″２（狓３）＝２犮２＋６犱２狓３＝０．
⑧
这样产生的样条称为自然样条（ｎａｔｕｒａｌｓｐｌｉｎｅ），如图５所示．
图５　自然样条　　图６　强制样条
另一种假设是在外侧端点处的一阶导数的值是已知的，即在外
侧端点处的一阶导数要求与这些值匹配．若在外侧端点处的导数为
犳′（狓１）和犳′（狓３），则
犛′１（狓１）＝犫１＋２犮１狓１＋３犱１狓２１＝犳′（狓１），
犛′２（狓３）＝犫２＋２犮２狓３＋３犱２狓２３＝犳′（狓３）．
这样产生的样条称为强制样条（ｃｌａｍｐｅｄｓｐｌｉｎｅ），如图６所示．
（２）示例
试建立过犘１（１，５），犘２（２，８），犘３（３，２５）三点的自然三次样条
模型．解　将三点的坐标代入①～⑧，得
犪１＋犫１＋犮１＋犱１＝５，
犪１＋２犫１＋４犮１＋８犱１＝８，
犪２＋２犫２＋４犮２＋８犱２＝８，
犪２＋３犫２＋９犮２＋２７犱２＝２５，
犫１＋４犮１＋１２犱１＝犫２＋４犮２＋１２犱２，
２犮１＋１２犱１＝２犮２＋１２犱２，
２犮１＋６犱１＝０，
２犮２＋１８犱２＝０
烅
烄
烆
，
解得
犪１＝２，
犫１＝１０，
犮１＝－１０．５，
犱１＝３．５，
犪２＝５８，
犫２＝－７４，
犮２＝３１．５，
犱２＝－３．５
烅
烄
烆
．
导数及其应用
第５章
２１１
　
因此，过犘１，犘２，犘３三点的一个自然三次样条模型为
区　间
样　条　模　型
［１，２］
犛１（狓）＝２＋１０狓－１０．５狓２＋３．５狓３
［２，３］
犛２（狓）＝５８－７４狓＋３１．５狓２－３．５狓３
　　拟合图形如图７所示．
图７
样条插值是工业设计中常用的得到平滑曲线的插值方法，三次
样条模型是其中用得较为广泛的一种．
（３）尝试
自己选三个点，利用上述方法建立相应的模型．
阅　读
微积分的建立
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．
微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之
一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发
展，都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识
发展和改造世界的能力的巨大促进作用．
积分的思想产生得很早，公元前２００多年，阿基米德（Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ，
约公元前２８７—前２１２）就用积分的观点求得球体积公式犞＝４３π狉３．他
用球体“薄片”的叠加与球的外切圆柱及相关圆锥“薄片”的叠加，并用
杠杆原理得到球的体积公式．公元５世纪，中国数学家祖冲之、祖暅父
子提出了“幂势既同，则积不容异”，也是积分概念的雏形．
微分观念的发生比积分大概迟了２０００年．公元１６世纪，伽利略
发现了自由落体的运动规律犛＝１２犵狋２，落体的瞬时速度近似于
犛（狋＋Δ狋）－犛（狋）
Δ狋
≈犵狋，
当Δ狋很小时，这个比值接近于时刻狋的瞬时速度，这是导数的启蒙．
选择性必修第一册
数学
２１２
　
同时，在探求曲线的切线的时候，人们发现，切线是割线的近似，
割线的斜率是
Δ狔Δ狓＝犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
Δ狓
，
当Δ狓很小时，Δ狔Δ狓应该是切线斜率的近似，求曲线的切线斜率，是产
生导数观念的直接动因．
１７世纪，笛卡儿（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６—１６５０）建立了坐标系，使
几何图形能够用函数来表示，从而为研究函数及其变化率提供了有
力的工具．
在１７世纪后半叶，牛顿（Ｉ．Ｎｅｗｔｏｎ，１６４２—１７２７）和莱布尼茨
（Ｇ．Ｗ．Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４６—１７１６）总结了诸多数学家的工作之后，分别
独立建立了微积分学．牛顿和莱布尼茨对微积分学最突出的贡献是
建立了微积分基本定理
∫
犫
犪犉′（狓）ｄ狓＝犉（犫）－犉（犪），
它把原以为不相干的两个事物紧密联系在一起，揭示了微分与积分
的逆运算关系．所不同的是，牛顿创立的微积分有深刻的力学背景，
他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问
题．而莱布尼茨主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号
以及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响．
１９世纪，柯西（Ａ．Ｌ．Ｃａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７）和魏尔斯特拉斯（Ｋ．
Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ，１８１５—１８９７）为微积分学奠定了坚实的基础，使微积分学
成为一套完整的、严谨的理论体系．
微积分的建立充分说明，数学来源于实践，又反过来作用于实
践．数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分．
写　作
　　微积分的创立与发展
收集对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些
重要历史人物和事件（牛顿、莱布尼茨、柯西、魏尔斯特拉斯等）．个人
或者小组合作，形成一篇有关微积分创立与发展的研究报告，论述微
积分发明的过程，重要的结果，微积分发展中的重要人物、事件及其
对人类文明的贡献，在班级中进行交流．
导数及其应用
第５章
２１３
　
　
本章回顾
本章概览
本章首先通过实例由平均变化率、瞬时变化率引入了导数的概
念．然后对基本初等函数的导数，函数的和、差、积、商的导数，以及简
单的复合函数的导数作了初步研究和介绍，并运用导数处理了一些
简单的实际问题．
实际背景
↓



导
数
导数的概
↓

念
导数的运
↓

算
导数的应
↓

用
导数的引入源于“局部以直代曲”这一辩证思想，微积分的产生
被誉为近代技术文明发展过程中的关键事件之一，是人类智慧的伟
大结晶．体验和感悟微积分基本思想和方法是学习本章的要点，其认
识宏观与微观世界的科学方法对人们科学观的形成有着重大意义．
复习题
感受·理解
１．设球的半径以２ｃｍ／ｓ的速度膨胀．
（１）当半径为５ｃｍ时，表面积对时间的变化率是多少？
（２）当半径为８ｃｍ时，体积对时间的变化率是多少？
（第３题）
２．在某介质中一小球下落，狋ｓ时的高度为犺＝１．５－０．１狋２（单位：ｍ），当狋＝３
时，求球的高度、速度和加速度．
３．如图，身高为１．８ｍ的人以１．２ｍ／ｓ的速度离开路灯，路灯高４．２ｍ．
（１）求身影的长度狔（单位：ｍ）与人距路灯的距离狓（单位：ｍ）之间的关系；
（２）解释身影长的变化率与人步行速度的关系；
（３）当狓＝３时，求身影长的变化率．
４．分别求曲线狔＝－狓２＋２狓在点犃（１，１）及点犅（－１，－３）处的切线方程．
选择性必修第一册
数学
２１４
　
５．求下列函数的导数：
（１）狔＝狓５；　　　　　　　　　　（２）狔＝狓２＋２ｓｉｎ狓；
（３）狔＝ｔａｎ狓；
（４）狔＝
１
１＋ｃｏｓ狓．
６求下列函数的导数：
（１）狔＝ｓｉｎ３狓－π
（
）
６；
（２）狔＝狓ｅ２狓；
（３）狔＝２狓＋ｌｎ（１－５狓）；
（４）狔＝ｅ－狓ｃｏｓ３狓．
７（１）求函数狔＝２狓２－狓４的极值；
（２）求函数狔＝３狓３－９狓＋５在区间［－２，２］上的最大值与最小值．
（第８题）
８如图，已知海岛犃到海岸公路犅犆的距离犃犅为５０ｋｍ，犅，犆间的距离为
１００ｋｍ，从犃到犆，先乘船，船速为２５ｋｍ／ｈ，再乘汽车，车速为５０ｋｍ／ｈ．
问：登陆点选在何处，所用时间最少？
思考·运用
９．如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为α．
（１）高犺与半径狉有什么关系？
（２）传输带以０．３ｍ３／ｍｉｎ送煤，当半径狉＝１．７ｍ时，求狉对时间狋的变化率．
（第９题）
１０．已知两曲线犳（狓）＝ｃｏｓ狓，犵（狓）＝２ｓｉｎ３狓，狓∈０，π
（）
２．
（１）用计算机（器）求两曲线的交点坐标；
（２）求两曲线在交点处的夹角（即交点处两曲线的切线的夹角）．
１１．求下列函数的导数：
（１）狔＝ｓｉｎ４３狓ｃｏｓ３４狓；
（２）狔＝２ｅ狓２＋ｅ－狓
（
）
２．
１２．求函数狔＝狓＋１狓的单调区间．
探究·拓展１３．如图，在半径为常量狉、圆心角为变量２θ（０＜２θ＜π）的扇形犗犃犅内作一内
切圆犘，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆犘外切的小圆犙，求圆
犙半径的最大值．
（第１３题）
　
本章测试　
２１５
　
一、填空题
１．已知函数犳（狓）＝狓２－狓，当犺→０时，犳（１＋犺）－犳（１）
犺
→　　　　．
２．函数狔＝ｓｉｎ狓的图象在点（π，０）处的切线方程为　　　　　　　　　．
３．函数狔＝ｓｉｎ狓＋２狓（狓∈［０，π］）的最大值为　　　　．
４．当函数犳（狓）＝５狓＋ｌｎ狓取得最小值时，狓的值为　　　　．
５．设犪为实数，若函数犳（狓）＝１３狓３－犪狓２＋１在狓＝－４处取得极大值，则犪
的值为　　　　．
６．已知函数犳（狓）＝ｔａｎ狓，那么犳′ π（）
３的值为　　　　．
二、选择题
７．函数犳（狓）＝狓２－ｓｉｎ狓在区间［０，π］上的平均变化率为（　　）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．π
Ｄ．π２
８．函数犳（狓）＝２狓＋１狓－１在区间（－∞，０）上（　　）．
Ａ．有最大值，无最小值
Ｂ．有最小值，无最大值
Ｃ．既有最大值，又有最小值
Ｄ．既无最大值，又无最小值
９．对于函数犳（狓）＝狓ｌｎ狓，若犳′（狓０）＝２，则实数狓０的值为（　　）．
Ａ．ｅ２
Ｂ．ｅ
Ｃ．ｌｎ２２
Ｄ．ｌｎ２
１０．设犪∈犚，若函数狔＝ｅ犪狓＋３狓（狓∈犚）有大于零的极值点，则（　　）．
Ａ．犪＞－３
Ｂ．犪＜－３
Ｃ．犪＞－１３
Ｄ．犪＜－１３
三、解答题
１１．求下列函数的导数：
（１）狔＝１＋狓
１－狓＋１狓；
（２）狔＝狓ｌｎ（２狓＋１）．
１２．试确定函数狔＝１３狓３－狓２－３狓＋１的单调区间．
１３．求证：当狓∈０，π
（）
２时，狓＞ｓｉｎ狓．
１４．已知函数犳（狓）＝狓３－犪狓２，犪∈犚，且犳′（１）＝３．求：
（１）犪的值及曲线狔＝犳（狓）在点（１，犳（１））处的切线方程；
（２）函数犳（狓）在区间［０，２］上的最大值．
１５．已知一个圆锥的母线长为２０ｃｍ，当圆锥的体积最大时，圆锥的高为多少？
选择性必修第一册
数学
２１６
　
专题
数学建模与数学探究
在学习数学的过程中，形成良好的数学应用意识是非常重要的．
应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识地利用数学的概念、原
理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方
面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问
题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决．开展数学建模活动
是增强数学应用意识的有效途径．
案例分析
　　了解自己的父母
或亲友在贷款买房或
购车时是否遇到过类
似的问题．
１．某报的理财专栏声称：“等额本金”还款法要比“等额本息”还
款法合算，理由是等额本金还贷所支付的利息少．该文举例说，如果
某人商业贷款２５万元购房，２０年还清（年利率５．０４％），那么等额本
金还款法要比等额本息还款法少还利息２０７７５．４５元．你认为上述观
点是否正确？给出你的理由．
◆理解问题
向银行存款或贷款是最常见的金融活动，有关问题可以运用数
列知识来解决．同时，我们应该了解银行的有关专用术语和基本知
识，以便更好地分析和解决有关金融问题．
“等额本息”还款法是指贷款人每月按相等的金额偿还贷款本
息．第４章“数列”４．３．３节“等比数列的前狀项和”中的例５即是等额
本息还款法的例子．
“等额本金”还款法是指贷款人将本金平均分摊到每个月内，同
时付清上一交易日至本次还款日之间的利息．
银行是按复利计算贷款利息的，且结算周期是月，月利率＝年利
率／１２．在分析与计算时要注意货币的时间价值，不同时间点的货币
不能直接相加（参阅第４章“数列”链接“现值与终值”）．
◆简化与假设
假设银行在贷款期狀个月内的贷款利率不变，月利率为狉（年利
率／１２），贷款额为犙（元），贷款人在月初贷款后的每个月末还款．
◆建立模型
（１）等额本息还款法
设月初贷款额为犙（元），每月底的还款额均为犃，按还清贷款时
的时间点（第狀个月末）计算，得
犃＋犃（１＋狉）＋犃（１＋狉）２＋…＋犃（１＋狉）狀－１＝犙（１＋狉）狀．
数学建模与数学探究
专题
２１７
　
运用等比数列求和公式，化简得
犃＝犙狉（１＋狉）狀
（１＋狉）狀－１＝
犙狉
１－（１＋狉）－狀．
　　可用Ｅｘｃｅｌ中“＝
ＰＭＴ（５．０４％／１２，２４０，
２５００００）”直接计算犃．
本例中，犙＝２５００００，狀＝２４０，狉＝５．０４％／１２＝０．００４２，代入计算
得犃≈１６５５．４１８５６（元）．
因此，贷款人按等额本息还款法还贷，每月末应还款１６５５．４２元．
（２）等额本金还款法
按等额本金还款法还款，第犻个月末还款额犃犻由两部分组成．一
部分是本金分摊到每个月内的金额，即犙狀；另一部分是所剩贷款一个
月的利息，即犙－犙狀（犻－１
［
］）狉．因此，
犃犻＝犙狀＋犙－犙狀（犻－１
［
］）狉（犻＝１，２，…，狀）．
本例中，第１个月末的还款额为
犃１＝２５００００
２４０＋２５００００×０．００４２≈２０９１．６７（元）；
第２个月末的还款额为
犃２＝２５００００
２４０＋（２５００００－２５００００
２４０）×０．００４２
≈２０８７．２９（元）；
……
第２４０个月末的还款额为
犃２４０＝２５００００
２４０＋（２５００００－２５００００
２４０×２３９）×０．００４２
≈１０４６．０４（元）．
借助Ｅｘｃｅｌ，可以快捷地得到２４０个月的还款额（图１）．
◆比较及分析
不论是用“等额本金”还款法还是用“等额本息”还款法，每个月
末还款额的时间点均不同，如果简单地将其相加，那么就会得出“等
额本金还款法比等额本息还款法所付的利息少”这样的错误：
按等额本息还款，若将每个月末的还款额相加，则有
犛１＝１６５５．４１８５６×２４０＝３９７３００．４５４４（元），
所付利息总额为
犐１＝３９７３００．４５４４－２５００００＝１４７３００．４５４４（元）．
选择性必修第一册
数学
２１８
　
　　在Ｂ１内键入“＝
２５００００／２４０＋（２５００００
－２５００００／２４０（Ａ１－
１））５．０４％／１２”．
图１　用Ｅｘｃｅｌ按等额本金还款法计算２４０个月的还款额
　　按等额本金还款，对图１中２４０个月的还款额求和，得
犛２＝３７６５２５（元）．
所付利息总额为
犐２＝３７６５２５－２５００００＝１２６５２５（元）．
于是，犐１－犐２＝１４７３００．４５４４－１２６５２５≈２０７７５．４５（元）．从而
得出“等额本金还款法要比等额本息还款法少还利息２０７７５．４５元”
的错误结论．
事实上，两种还款法所付利息总额均为
２５００００（１＋５．０４％／１２）２４０－２５００００≈４３３５８４．３３（元）．
一般地，对于等额本息还款法，有
犃（１＋狉）狀－１＋犃（１＋狉）狀－２＋…＋犃（１＋狉）＋犃＝犙（１＋狉）狀；
对于等额本金还款法，有
（犙狀＋犙狉）（１＋狉）狀－１＋犙狀＋（犙－犙狀）
熿
燀
燄
燅狉（１＋狉）狀－２＋…
＋（犙狀＋２犙狀·狉）（１＋狉）＋（犙狀＋犙狀·狉）＝犙（１＋狉）狀．
也就是说，两种还款方式逐月还款额的终值之和（称为年金终
值）是一样的，贷款人所付出的利息相同，均为［犙（１＋狉）狀－犙］．
◆评价与思考
尽管等额本金和等额本息还款方式对于贷款人所付出的利息来
数学建模与数学探究
专题
２１９
　
说都是一样的，但这两种还款方式有各自的特点．
等额本息还款法的特点是还款额每月相同，适宜家庭的开支计
划，特别是年轻人，可以采用等额本息法．
等额本金还款法的特点是在贷款期的前段时间还款额较高，适
合在前段时间还款能力强的贷款人，年龄大的可采用等额本金还款
法，因为随着年龄增大或退休，收入可能会减少．
思考：利用互联网搜集有关两种贷款方式的讨论或争议．如果贷
款人能够提前还贷，那么这两种还款方式一样吗？如果预期未来的
利率会降低或提高，那么应选择何种还款方式？
案例分析
　　圆锥曲线的焦点
弦是指经过圆锥曲线
焦点的直线被圆锥曲
线截得的线段．
２．探究抛物线焦点弦的端点处切线的交点轨迹．
在解析几何的学习中，我们经常会遇到探求动点轨迹的问题．这
类问题可以借助动态几何软件作出动态图形，从观察中发现某些现
象，从现象中猜测某些性质，再对猜测的性质进行证明或反驳．
◆操作与演示
（１）在ＧＧＢ的指令栏内输入“狔∧２＝２狆狓”，并确认“创建滑动条：
狆”，作出抛物线狔２＝２狆狓；
（２）输入“犉＝（狆／２，０）”，作出焦点犉，用“直线”工具作出过点犉
与抛物线上一点犃的直线，交抛物线于另一点犅；
（３）选择“切线”工具，分别作出过犃和犅的抛物线的切线，两条
切线的交点为犆（图２）．
图２
◆观察与猜想
“跟踪”犆，拖动点犃，观察点犆的轨迹，可以发现并猜想：
（１）点犆在一条垂直于狓轴的直线上，且此直线为抛物线的
选择性必修第一册
数学
２２０
　
准线；（２）点犆对焦点弦的张角为直角（即点犆在以犃犅为直径的圆上）；
（３）点犆与焦点弦犃犅的中点犇的连线犆犇平行于狓轴；
（４）犆犉!犃犅；
……
对于不同的狆（拖动滑动条），可以直观地观察到上述猜想都是成
立的．
◆探究与证明
利用动态几何软件演示观察得到的结论尚需通过数学运算或逻
辑推理进行确认．毫无疑问，动态几何软件能够直观地呈现变化中的
不变关系，有助于我们发现探究的目标，提高探究的效率．
下面我们利用两个已知结论证明上述猜想．
对于抛物线焦点弦的问题，３．３节“抛物线”习题３．３（２）第８题给
出了一个重要的结论：
设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２）是抛物线狔２＝２狆狓焦点弦的两个端点，
则有狔１狔２＝－狆２．
　　试用导数的几何
意义推出此结论．
另外，我们有“过抛物线狔２＝２狆狓上一点（狓０，狔０）的切线方程为
狔０狔＝狆（狓＋狓０）”，利用这一结论，可知切线犃犆和犅犆的方程分别为
狔１狔＝狆（狓＋狓１），
狔２狔＝狆（狓＋狓２）．
由犽犃犆犽犅犆＝狆狔１·狆狔２＝狆２
狔１狔２＝狆２
－狆２＝－１，故猜想（２）成立．
联立直线犃犆和犅犆的方程，消去狔，得
狓＝狓１狔２－狓２狔１
狔１－狔２＝
狔２１２狆·狔２－狔２２２狆·狔１
狔１－狔２
＝狔１狔２
２狆＝－狆２
２狆＝－狆２．
将直线犃犆和犅犆的方程两边相减，得
狔＝狆·狓１－狓２
狔１－狔２＝狆·狔２１２狆－狔２２２狆
狔１－狔２＝狔１＋狔２
２＝狔犇．
这说明点（
犆－狆２，狔）
犇的轨迹就是抛物线的准线狓＝－狆２，且点犆
与焦点弦犃犅的中点犇的连线犆犇平行于狓轴，故猜想（１）（３）也成立．
思　考
　　尝试给出猜想（４）的证明．
数学建模与数学探究
专题
２２１
　
　　◆反思与拓展
案例２实际上涉及抛物线焦点弦的一个性质．焦点弦的性质既可
以从度量关系进行考察，如焦点弦的端点坐标之间的关系，弦长，焦
点弦的端点与原点构成的三角形面积等；还可以从位置关系或点的
轨迹进行研究，如以焦点弦为直径的圆与准线的位置关系，焦点弦的
中点轨迹，焦点弦端点处的切线的交点轨迹等．
对案例２可以做如下拓展：
（１）“观察与猜想”中的结论如果成立，那么其逆命题是否也成
立？（例如，“过抛物线准线上的点作抛物线的两条切线，切点弦过抛
物线的焦点”正确吗？）
（２）如果将焦点弦改为过抛物线对称轴上一定点的弦，结论
如何？（３）如果将焦点弦改为过任一定点的弦，结论又将如何？
（４）如果将抛物线改为椭圆或双曲线，还有类似的结论吗？
课题推荐
数学建模和数学探究活动实际上是“做数学、学数学、用数学”的
过程，体现了数学的应用价值和科学价值．通过数学建模和数学探究
活动，学会在数学学习或生产生活中发现新的问题、新的可能性，从
新的角度审视旧的问题，需要创造性的想象力．
结合本册学习内容，以下课题供同学们研究讨论．你也可以通过
相关刊物和网站查找或发现感兴趣的研究课题，参照《数学（必修第
一册）》“数学建模与数学探究”专题所介绍的“选题、开题、做题和结
题”环节，独立或与同伴合作开展数学建模和数学探究活动．
（１）某人于２０１１年４月以公积金贷款的方式向银行贷款２５万
元，２０年还清，还款方式为等额本息还款，年利率为４．５％，每月需还
１５８１．６２元．但该贷款人认为，“月利率＝年利率／１２”的计算方式是
错误的，因为用这种计算方式得出的年利率为４．５９４％，导致贷款人
２０年多还约３０００元．你认为贷款人的说法正确吗？
（２）斐波那契数列的递推关系、通项公式各是什么？怎样互相推
出？斐波那契数列有哪些性质及应用？
（３）自主选择中学生数学建模或数学探究获奖（或发表）的论文，
介绍讲解并点评．
（４）圆锥曲线焦点弦的性质及应用．
（５）利用ＧＧＢ或其他软件探究平面内到两定点的距离之积为定
值的点的轨迹．
选择性必修第一册
数学
说　　明
江苏凤凰教育出版社出版的《普通高中教科书·数学》是根据教
育部制定的《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》编写的．
该套教科书充分体现数学课程标准的基本理念，使学生通过高
中阶段的学习，能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养，
满足他们个人发展与社会进步的需求．
教科书力图使学生在丰富的、现实的、与他们经验紧密联系的背
景中感受数学、建立数学、运用数学，做到“入口浅，寓意深”．通过创
设合适的问题情境，引导学生进行操作、观察、探究和运用等活动，感
悟并获得数学知识与思想方法．在知识的发生、发展与运用过程中，
培养学生的思维能力、创新意识和应用意识，提升他们的数学学科核
心素养．
教科书按知识发展、背景问题、思想方法、核心素养四条主线，通
过问题将全书贯通．每个主题围绕中心教育目标展开，每章围绕核心
概念或原理展开．教科书充分关注数学与自然、生活、科技、文化、各
门学科的联系，让学生感受到数学与外部世界是息息相通、紧密相
连的．教科书充分考虑学生的不同需求，为所有学生的发展提供帮助，为
学生的不同发展提供较大的选择空间．整个教科书设计为：一个核心
（基本教学要求），多个层次，多种选择．学好核心内容后，根据需要，学
生有多种选择，每一个人都能获得必备的数学素养与最优发展．
衷心感谢２００４年版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（苏
教版）的主编单墫教授，副主编李善良、陈永高、王巧林，以及所有编
写的专家，审读、试教教师．
众多的数学家、心理学家、数学教育专家、特级教师参加了本套
教科书的编写与讨论工作．史宁中、鲍建生、谭顶良等教授对教科书
编写提出许多建议，陈光立、于明等老师参与本书的编写设计与讨
论，在此向他们表示衷心感谢！
感谢您使用本书，您在使用本书时有建议或疑问，请及时与我们联
系，电话：０２５８３６５８７３７，电子邮箱：ｓｊｇｚｓｘ＠１２６．ｃｏｍ，ｌｉｓｈａｎｌｉａｎｇ
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本书编写组
２０１９年９月