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专题十一
概率与统计
第三十三讲
回归分析与独立性检验
一、选择题
1
2017
．（
山东）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关
系，从该班随机抽取
名学生，根据测量数据的散点图可以看出
10
y 与x 之间有线性相
关关系，设其回归直线方程为
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
．已知
10
1
225
i
i
x
=
=
，
10
1
1600
i
i
y
=
=
，ˆ
4
b =
．该
班某学生的脚长为
，据此估计其身高为
24
A．160
B．163
C．166
D．170
2
2015
．（
福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区
户
5
家庭，得到如下统计数据表：
收入x （万元）
8
2
．
8
6
．
10．0
11．3
11．9
支出y （万元）
6
2
．
7
5
．
8
0
．
8
5
．
9
8
．
根据上表可得回归本线方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
，其中
ˆ
ˆ
ˆ
0.76,
b
a
y
bx
=
=
−
，据此估计，该社
区一户收入为
万元家庭年支出为
15
A
4
B
8
C
0
D
2
．11．万元
．11．万元
．12．万元
．12．万元
3
2014
．（
重庆）已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数
3
x =
， 3.5
y =
，
则由该观测数据算得的线性回归方程可能为
A．
0.4
2.3
y
x
=
+
B．
2
2.4
y
x
=
−
C．
2
9.5
y
x
= −
+
D．
0.3
4.4
y
x
= −
+
4．（2014 湖北）根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
−
0.5
2.0
−
3.0
−
得到的回归方程为ˆ
y
bx
a
=
+
，则
A． 0
a
， 0
b
B． 0
a
， 0
b
C． 0
a
， 0
b
D． 0
a
， 0
b
5
2012
．（
新课标）在一组样本数据（x1，y1），（ x2，y2），…，（xn，yn）（ n≥，
2
x1,x2,
,
… xn不
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全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）
…
都在直线
( =1,2,
i
, )
n
1
1
2
y
x
=
+
上，则
这组样本数据的样本相关系数为
A
1
B
0 C
．−
．
．1
2
D
1
．
6
2014
．（
江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这
个变量之间的关
4
系，随机抽查
名中学生，得到统计数据如表
至表
，则与性别有关联的可能性最
52
1
4
大的变量是
7
2012
．（
湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关
系，根据一组样本数据（xi，yi
）（
），
i
n
=1，，…，
2
用最小二乘法建立的回归方程为
y =0．85x−85.71，则下列结论中不正确
．．．的是
A．与
具有正的线性相关关系
y
x
B．回归直线过样本点的中心（x ，y ）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为
，则可断定其体重必为
170cm
58.79kg
8
2011
．（
山东）某产品的广告费用
与销售额
的统计数据如下表
x
y
广告费用（万元）
x
4
2
3
5
销售额（万元）
y
49
26
39
54
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根据上表可得回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
中的ˆb
为．
9 4，据此模型预报广告费用为
万元时销
6
售额为
A
.6
B
.5
C
.7
D
．63
万元
．65
万元
．67
万元
．72.0 万元
二、解答题
9
2018
．（
全国卷Ⅱ）下图是某地区
年环境基础设施投资额
2000 年至2016
y （单位：亿元）
的折线图．
为了预测该地区
年的环境基础设施投资额，建立了
2018
y 与时间变量t 的两个线性回
归模型．根据2000
2016
年至
年的数据（时间变量t的值依次为
1 2
17
，，…，）建立模
型①：ˆ
30.4 13.5
= −
+
y
t
；根据
年的数据（时间变量
2010 年至2016
t的值依次为
1 2
7
，，…，）建立模型②：ˆ
99 17.5
=
+
y
t ．
(1)分别利用这两个模型，求该地区
年的环境基础设施投资额的预测值；
2018
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
10．(2016 年全国III)下图是我国
年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）
2008 年至2014
的折线图
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（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y 关于t
的回归方程（系数精确到0.01），预测
年我国生活垃圾无害化
2016
处理量．
附注：参考数据：
7
1
9.32
i
i
y
=
=
，
7
1
40.17
i
i
i
t y
=
=
，
7
2
1
(
)
0.55
i
i
y
y
=
−
=
，7 ≈2.646.
参考公式：相关系数
1
2
2
1
1
(
)(
)
(
)
(y
y)
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
t
t
y
y
r
t
t
=
=
=
−
−
=
−
−
，
回归方程
y
a
bt
=
+
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
(
)(
)
(
)
n
i
i
i
n
i
i
t
t
y
y
b
t
t
=
=
−
−
=
−
，
=
.
a y bt
−
11．（2015
1
新课标）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单
位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润z
（单位：千元）的影响，对近8 年的
年宣传费
ix 和年销售量
iy （i =1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及
一些统计量的值．
x
y
w
8
2
1
(
)
i
i
x
x
=
−
8
2
1
(
)
i
i
w
w
=
−
8
1
(
)(
)
i
i
i
x
x
y
y
=
−
−
8
1
(
)(
)
i
i
i
w
w y
y
=
−
−
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中
i
i
w
x
=
，w =1
8
8
1
i
i
w
=
．
（Ⅰ）根据散点图判断，
y
a
bx
=
+
与
y
c
d x
= +
哪一个适宜作为年销售量y 关于年
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宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为
0.2
z
y
x
=
−
．根据（Ⅱ）的结果回
答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x =49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据
1
1
( ,
)
u v ，
2
2
(
,
)
u v
，，
(
,
)
n
n
u v
，其回归线v
u
=
+
的斜率和
截距的最小二乘估计分别为
1
2
1
(
)(
)
ˆ
(
)
n
i
i
i
n
i
i
u
u v
v
u
u
=
=
−
−
=
−
，
ˆ
ˆ
v
u
=
−
．
12．（ 2014
2
2007
2013
新课标）某地区
年至
年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数
y
据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求
关于的线性回归方程；
y
t
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析
年至
年该地区农村居民家庭人均纯收
2007
2013
入的变化情况，并预测该地区
年农村居民家庭人均纯收入．
2015
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
(
)(
)
(
)
1
2
1
n
i
i
i
n
i
i
t
t
y
y
b
t
t
=
=
−
−
=
−
，
ˆ
ˆ
a
y
bt
=
−
13．（2012 辽宁）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取
了
名观众进行调查，其中女性有
名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该
100
55
.
体育节目时间的频率分布直方图：
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将日均收看该体育节目时间不低于
分钟的观众称为
40
“体育迷，已知体育迷
”
“
”中有10
名女性.
（）根据已知条件完成下面
I
2
2
列联表，并据此资料你是否认为体育迷与性别有
“
”
关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女
合计
（）将日均收看该体育节目不低于
分钟的观众称为超级体育迷
II
50
“
”，已知“超级体育
迷中有
名女性
超级体育迷
”
2
.若从“
”中任意选取
人，求至少有
名女性观众的
2
1
概率.
2
1
2
1
2
21
12
22
11
2
)
(
+
+
+
+
−
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，
附
：
)
(
2
k
P
0.05
0.01
k
3.841
6.635
