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专题十一
概率与统计
第三十四讲
古典概型与几何概型
2019
年
1.（2019
I
6
全国
理）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从
下到上排列的
个爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在
6
——
所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有
个阳爻的概率是
3
A．5
16
B．11
32
C．21
32
D．11
16
2.（2019
6
3
2
江苏）从
名男同学和
名女同学中任选
名同学参加志愿者服务，则选出的
2
2
名同学中至少有
名女同学的概率是
1
.
3．（
全国
理
）
2019
I
15
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利
时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客
“
主．设甲队主场取胜的概率为
，客场取胜的概率为
，且各场比赛结果相互独立，则
”
0.6
0.5
甲队以∶获胜的概率是
．
4
1
____________
4．（2019 全国II 理18）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，
每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，
假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在
某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.
2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
．
全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆
构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC
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的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取
一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为
1
p ，
2
p ，
3
p ，则
A．
1
2
=
p
p
B．
1
3
=
p
p C．
2
3
=
p
p
D
．
1
2
3
=
+
p
p
p
2
(2018
．
全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥
德巴赫猜想是每个大于
的偶数可以表示为两个素数的和
“
2
”，如
30
7
23
=
+
．在不超过
30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于
的概率是
30
A．1
12
B．1
14
C．1
15
D．1
18
3．（2017 新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆
中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此
点取自黑色部分的概率是
A．1
4
B．8
C．1
2
D．4
4
2017
．（
山东）从分别标有1，2 ，，9的9
张卡片中不放回地随机抽取
次，每次抽取
2
1 张．则抽到的
张卡片上的数奇偶性不同的概率是
2
A．5
18
B．4
9
C．5
9
D．7
9
5
(2016
．
年全国I)某公司的班车在
，
7:30
8:00
8:30
，
发车，小明在
至
之间到达发
7:50
8:30
车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
分钟的概率是
10
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
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6．(2016 年全国II)从区间
0 , 1 随机抽取2n 个数
1x ,
2x ，…，nx ，
1y ，
2y ，…，
ny ，构成
n 个数对 (
)
1
1
,
x y
， (
)
2
2
,
x
y
，…， (
)
,
n
n
x
y
，其中两数的平方和小于1 的数对共有m 个，
则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
A．4n
m
B．2n
m
C．4m
n
D．2m
n
7．（2015 广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球，5 个红球．从
袋中任取2 个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为
A．5
21
B．10
21
C．11
21
D．1
8
2014
．（
新课标）
1
4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周
日都有同学参加公益活动的概率为
A ．1
8
B ．3
8
C ．5
8
D ．7
8
9
2014
．（
江西）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为
的概率等于（
）
5
A．1
18
B．1
9
C．1
6
D．1
12
10．（ 2014 湖南）在区间 [ 2,3]
−
上随机选取一个数X ，则
1
X 的概率为（
）
A．4
5
B．3
5
C．2
5
D．1
5
11．（ 2014 辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中
2
AB =
，
1
BC = ，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（
）
A
D
C
B
A．2
B．4
C．6
D．8
12．（2014 陕西）从正方形四个顶点及其中心这
个点中，任取
个点，则这
个点的距离
5
2
2
小于该正方形边长的概率为（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
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13．（2014 湖北）由不等式
−
−
0
2
0
0
x
y
y
x
确定的平面区域记为
1
，不等式
−
+
+
2
1
y
x
y
x
，
确定的平面区域记为
2
，在
1
中随机取一点，则该点恰好在
2
内的概率为（
）
A．
8
1
B．
4
1 C
．
4
3 D．
8
7
14．（ 2013 陕西）如图，在矩形区域
的
两点处各有一个通信基站，假设其信号
ABCD
A C
,
覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域
该矩形区域内无其他信号来源，基站工
CBF(
作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是
A．1
4
−
B．
1
2
−
C．2
2
−
D．
4
15．（ 2013 安徽）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录
用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
A．2
3
B．2
5
C．3
5
D．9
10
16．（2013
1
新课标）从1,2,3,4 中任取2 个不同的数，则取出的2 个数之差的绝对值为2 的
概率是（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
6
17．（2013 湖南）已知事件“在矩形
的边
上随机取一点
，使△
的最大边是
ABCD
CD
P
APB
AB”发生的概率为1
2
，则AD
AB
=
A．1
2
B．1
4
C．
3
2
D．
7
4
18．（ 2012 辽宁）在长为
的线段
上任取一点
，现作一矩形，邻边长分别等于线
12cm
AB
C
段
，
的长，则该矩形面积小于
AC
CB
32
2
cm 的概率为
1
2
D
A
C
B
E
F
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A
B
C
C
B
A
A．1
6
B．1
3
C．2
3
D．4
5
19．（ 2012 北京）设不等式组0
2
0
2
x
y
剟
剟
表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，
则此点到坐标原点的距离大于
的概率是（
2
）
A．4
B．
2
2
−
C．6
D．4
4
−
20．（ 2011 新课标）有
个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参
3
加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
二、填空题
21．(2018
)
江苏某兴趣小组有
名男生和
名女生，现从中任选
名学生去参加活动，则恰
2
3
2
好选中
名女生的概率为
．
2
22．(2018 上海)有编号互不相同的五个砝码，
克、克、克砝码各一个，克砝码
其中5
3
1
2
两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为
克的概率是
9
______（结果用最简
分数表示）
23．（ 2017 江苏）记函数
2
( )
6
f x
x
x
=
+ −
的定义域为D ．在区间 [ 4,5]
−
上随机取一个
数x ，则x
D
的概率是
．
24．(2016 年山东)在 [ 1,1]
-
上随机地取一个数k，则事件“直线
y
kx
=
与圆
2
2
(
5)
9
x
y
-
+
=
相交”发生的概率为
．
25．（ 2015 江苏）袋中有形状、大小都相同的
只球，其中
只白球，
4
1
1 只红球，2 只黄球，
从中一次随机摸出
只球，则这
只球颜色不同的概率为
2
2
________
．
26．（2014 新课标）将
本不同的数学书和
本语文书在书架上随机排成一行，则
本数学
2
1
2
书相邻的概率为_____．
27．（2014 重庆）某校早上：
8
00 上课，假设该校学生小张与小王在早上
—
之间到
7:30
7:50
校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早
分钟到校的
5
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概率为_____（用数字作答）
28．（ 2014 新课标）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝
种颜色的运动服中选
2
3
择
种，则他们选择相同颜色运动服的概率为
1
_______.
29．（2014 浙江）在
张奖券中有一、二等奖各
张，另
张无奖，甲、乙两人各抽取
张，
3
1
1
1
两人都中奖的概率是__________；
30．(2013 山东)在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得
1
2
1
x
x
+ −
−
≥成立的概率为____．
31．（
福建）利用计算机产生
2013
1
~
0
之间的均匀随机数a ，则事件“
0
1
3
−
a
”发生的概
率为
．
32．（ 2013 新课标）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5 的概率是_______．
33．（2013 湖北）在区间 [ 2,4]
−
上随机地取一个数x，若x 满足|
|
x
m
的概率为5
6 ，则
m =
.
34．（
江苏）现有
个数，它们能构成一个以
为首项，
2012
10
1
3
−为公比的等比数列，若从
这
个数中随机抽取一个数，则它小于
的概率是
．
10
8
35．（ 2012 浙江）从边长为
的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则
1
该两点间的距离为
2
2
的概率是___________。
36．（ 2011 湖南）已知圆
2
2
:
12,
C x
y
+
=
直线
:4
3
25.
l
x
y
+
=
（）圆
1
C 的圆心到直线l
的距离为
．
（）圆
2
C 上任意一点A 到直线l
的距离小于
的概率为
．
2
37．(2011
)
1
2
3
4
江苏从，，，这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两
倍的概率为______
三、解答题
38．(2016 年全国II)某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续
保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
≥
保 费
0.85 a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2 a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
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一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
≥
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60% 的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
39．（2015 安徽）已知
件次品和
件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随
2
3
机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出
件次品或者检测出
件正品时检测结果．
2
3
（）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
1
（）已知每检测一件产品需要费用
元，设
2
100
X
表示直到检测出
件次品或者检测出
2
3 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）．
40．（ 2014 山东）海关对同时从
，，
三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从
A
B
C
各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示工作人员用分层抽样的方法从这
.
些商品中共抽取
件样品进行检测．
6
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（Ｉ）求这
件样品中来自
，，
各地区商品的数量；
6
A
B
C
（）若在这
件样品中随机抽取
件送往甲机构进行进一步检测，求这
件商品来自
II
6
2
2
相同地区的概率.
41．（2014 天津）某校夏令营有
名男同学
3
C
B
A
,
,
和
名女同学
3
Z
Y
X
,
,
，其年级情况如下
表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这
名同学中随机选出
人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
6
2
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果
（Ⅱ）设M
为事件“选出的
人来自不同年级且恰有
名男同学和
名女同学”，求事
2
1
1
件M 发生的概率．
42．（2013 辽宁）现有
道题，其中
道甲类题，
6
4
2 道乙类题，张同学从中任取
道题解答
2
.
试求：
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（）所取的
道题都是甲类题的概率；
I
2
（）所取的
道题不是同一类题的概率
II
2
.
43．（2013 湖南）某人在如图
所示的直角边长为
米的三角形地块的每个格点（指纵、横
4
4
直线的交叉点
三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，
以及
一株该种作物的年收获量
（单位：
）与它的
作物株数
之间的关系如下表
Y
kg
“相近”
X
所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近是指它们之间的直线距离不超过
”
1 米。
(
)
Ⅰ从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好
的概率；
“相近”
（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。
44．（2012 新课标）某花店每天以每枝
元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝
5
10
元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进
枝玫瑰花，求当天的利润
17
y (单位：元关于当天需求量
)
n （单
位：枝，nN）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了
天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
100
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这
天内每天购进
枝玫瑰花，求这
天的日利润（单位：元）的
100
17
100
平均数；
(ii)若花店一天购进
枝玫瑰花，以
天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的
17
100
概率，求当天的利润不少于
元的概率
75
.
45．(2012
)
山东袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为，
1
2，3；蓝色卡片两张，
标号分别为，
1
2.
(
)
Ⅰ从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于
的概率；
4
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(
)
Ⅱ现袋中再放入一张标号为
的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片
0
颜色不同且标号之和小于
的概率
4
.
46．（ 2011 陕西）如图，
地到火车站共有两条路径
A
1
L 和
2
L ，据统计，通过两条路径所用
的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟） 10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
1L 的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
2
L 的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现甲、乙两人分别有
分钟和
分钟时间用于赶往火车站．
40
50
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用
表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择
X
方案，求X 的分布列和数学期望。
47．（ 2011 山东）甲、乙两校各有
名教师报名支教，其中甲校
男
女，乙校
男
女．
3
2
1
1
2
（）若从甲校和乙校报名的教师中各任选
名，写出所有可能的结果，并求选出的
名
I
1
2
教师性别相同的概率；
（）若从报名的
名教师中任选
名，写出所有可能的结果，并求选出的
名教师来
II
6
2
2
自同一学校的概率．
