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专题3-4 平面向量及其应用
01 专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02 考情分析·解密高考
03 高频考点·以考定法（三大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·5 分）
命题点1 平面向量的数量积运算
命题点2 平面向量的线性运算
命题点3 平面向量综合应用
高考猜题
04 创新好题·分层训练（ 精选8 道最新名校模拟试题+8 道易错提升）
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解三角形是新高考中必考点，一般以一道小题 形式出现，一般作为选择题或者是填空题的
形式出现，难度不大。
真题多维细目表
考点
考向
考题
解三角形
①
平面向
量的数量积运算
②
平面向
量的线性运算
③平面向量综合应用
2023 新全国Ⅰ卷T3 新高考Ⅱ卷T13
全国乙卷（文）T6 全国甲（文）T3 (理) T4
2022 新高考Ⅱ卷T4 全国乙卷T3 全国甲T13
2021 新高考Ⅱ卷T15 新全国Ⅰ卷T10（多选）
全国乙卷（文）T13 （理）T14
全国甲（文）T13 （理）T14
2022 新全国Ⅰ卷T3
2023 乙卷（理）T12
命题点1 平面向量数量积运算
典例01 （2023·全国新课标Ⅰ卷）已知向量
，若
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
典例02（多选题）（2021·全国高考Ⅰ卷）已知
为坐标原点，点
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】A、B 写出
，
、
，
的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D 根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：
，
，所以
，
，故
，正确；
B：
，
，所以
，同理
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，故
不一定相等，错误；
C：由题意得：
，
，正确；
D：由题意得：
，
，故一般来说
故错误；
故选：AC
命题点2 平面向量的线性运算
典例01 （2022·全国新高考Ⅰ卷）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
．
故选：B．
典例02 （2020·新高考Ⅱ卷）在
中，D 是AB 边上的中点，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
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【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
命题点3 平面向量综合应用
典例01 1．（2023·全国高考乙卷）已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交
于B，C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】如图所示，
，则由题意可知:
，
由勾股定理可得
当点
位于直线
异侧时或PB 为直径时，设
，
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则：
，则
当
时，
有最大值.
当点
位于直线
同侧时，设
，
则：
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此类综合题中难度较大。本题中对于向量与解析几何结合问题一般来说采用数形结
合思想，将向量的运算通过角度转化成数量积运算，通过设夹角，将向量转化成关于夹角的数量积，从而再利用
辅助角公式即可。
，
，则
当
时，
有最大值
.
综上可得，
的最大值为
.
故选：A.
预计2024 年高考会向量数量积运算问题，并以单选或者是多选的形式出现
一、单选题
1．若
是夹角为
的两个单位向量，
与
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意先分别算出
的值，然后将“
与
垂直”等价转换为
，从而即可求解.
【详解】由题意有
，
又因为
与
垂直，
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所以
，
整理得
，解得
.
故选：B.
2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上靠近点
的三等分点，点F 在BE 上且为中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量加减法的几何意义即三角形法则与平行四边形法则，进行运算即可.
【详解】
点F 在BE 上且为中点，且E 是对角线AC 上靠近点
的三等分点，
则
，
故选：A.
二、多选题
3．已知向量
，
，
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．存在
，使得
C．向量
是与
共线的单位向量D．
在上的投影向量为
【答案】BCD
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【分析】根据向量关系依次计算判断即可.
【详解】对A，若
，则
，则
，故A 错误；
对B，要使
，则
，则
，因为
，所以
，故存在
，使得
，故B 正确；
对C，因为
，所以
，又
，所以向量
是与
共线的单
位向量，故C 正确；
对D，因为
为单位向量，则
在上的投影向量为
，故D 正确.
故选：BCD.
（★精选8 道最新名校模拟考试题+8 道易错提升）
1．（2022 上·山西运城·高三统考期中）已知向量
，且
，则
等于（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
得到
，再计算
即可.
【详解】因为
，
，
所以
，解得
.
所以
，
，
.
故选：A
A·新题速递
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2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在
中，
是
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量之间的共线关系，结合共线定理的推论，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得
答案.
【详解】在
中，设
，由
，可得
，故
．
又
是
的中点，
，所以
，所以
．
由点
三点共线，可得
，解得
，
故
．
故选：A．
3．（2023·杭州·模拟预测）已知向量
，若
，则向量
在向量
上的
投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直求出
后，利用向量的坐标运算写出
的坐标，再根据投影向量的概念即可求解.
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【详解】依题意得
，所以
，解得
，
所以
，所以
，
则向量
在向量
上的投影向量为
．
故选：D．
4．（2023 上·山东烟台·高三统考期中）在平行四边形ABCD 中，
，
则
（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】A
【分析】根据题意，将
与
都用
与表示，再求数量积即可.
【详解】在平行四边形ABCD 中，如图所示：
因为
，所以
是
的中点，即
，
，
,
因为
，所以
，
因此，
.
故选：A.
5．（2023·河北沧州·校考三模）在
中，若
，
，
，则
的取值范围为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形外心的性质，结合正弦定理、平面向量数量积的定义、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】因为
，
所以
为
的外心，且
为
外接圆上一动点，
又
，
，
所以
外接圆的半径
.
如图，作
，垂足为
，则
.
所以，当
与圆相切时，
取最值，即
在
处取最大值6，
在
处取最小值
，
故选：B
二、多选题
6．（2023 上·云南楚雄·高三统考期中）设非零向量
，
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
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【分析】根据
得到
，即可判断AB 选项；根据数量积的运算律得到
，
即可判断CD 选项.
【详解】因为
，所以
，
即
，所以
，A 错误，B 正确.
因为
，所以
，所以
，C 正确，D 错误.
故选：BC.
7．（2023 上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知平面向量
满足：
，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．平面向量
的夹角为
B．与向量
共线的单位向量为
C．
D．
的最大值为
【答案】AC
【分析】根据条件，得到
，再对各个选项逐一分析判断即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，又
，得到
，
对于选项A，因为
，又
，所以
，所以选项A 正确；
对于选项B，因为
，所以与向量
共线的单位向量为
，所以选项B 错误；
对于选项C，因为
，得到
，所以选项C 正确；
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对于选项D，
，所以选项D 错误，
故选：AC.
8．（2023 上·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知
，
，
，
A，B 两点不重合，则（ ）
A．
的最大值为2
B．
的最大值为2
C．若
，
最大值为
D．若
，
最大值为4
【答案】AD
【详解】A 选项，由已知A，B 为单位圆上任意两点，
，
，A 正确；
B 选项，设D 为
的中点，则
，
由于A，B 两点不重合，所以
，则
，故B 错误；
C 选项，当P，A，B 共线时，
，故C 错误；
D 选项，当P，A，B 共线时，若
坐标分别为
与
或
与
时，
两点重合，此时
，
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若
坐标不同时为
与
时，此时
⊥
，则
，
故
，故D 正确.故选：AD
一、单选题
1．（2023·福建漳州·福建省漳州第一中学统考模拟预测）已知
，
，均为单位向量，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的性质进行运算即可．
【详解】
，
，则
，即
，则
故选：C
2．（2023·山西晋城·统考三模）已知向量
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用向量平行的坐标公式计算，得出
，进而利用充分不必要条件的定义判断即可．
B·易错提升
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【详解】若
，则
，解得
或
，则
是
的充分不必要条件；
故选：A
3．（2023·河北·联考模拟预测）在菱形
中，
，，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【分析】作出菱形
的草图，根据图形和已知条件，可知各向量之间夹角，再利用向量的数量积公式，
及可求出结果.
【详解】如图，
由于在菱形
中，
，
所以
，
,
，
，且
；
所以
；
；
；
.
所以
.
故选：B.
4．（2023·河北唐山·高三阶段练习）若平面向量
两两的夹角相等，且
，则
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（ ）
A．2
B．5
C．2 或5
D．
或
【答案】C
【分析】分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.
【详解】当
两两的夹角均为0°时，显然
；当
两两的夹角均为120°时，
，
故选：C.
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知
是半径为2，圆心角为
的扇形，点
分别在
上，且
，点
是圆弧
上的动点（包括端点），则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】以
为原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，设
，则
，
利用平面向量的坐标运算得
，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图，以
为原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系
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则
，设
，则
，
所以
，
因为
，所以
，又
，则
，所以
，当
且仅当
时，等号成立
则
的最大值为，所以
的最大值为
，即
的最小值为
.
故选：A.
二、多选题
6．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知
，下列结论正确的
是（ ）
A．与向量
垂直且模长是2 的向量是
和
B．与向量
反向共线的单位向量是
C．向量
在向量
上的投影向量是
D．向量与向量
所成的角是锐角，则
的取值范围是
【答案】BC
【分析】利用平面向量的运算性质即可求得结果.
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【详解】对于A，向量的模
不符合，故A 不正确.
对于B，向量
的相反向量为
，与相反向量同向的单位向量是
，故B 正确.
对于C，向量
在向量
上的投影为
，
与向量
同向的单位向量
，所以向量
在向量
上的投影向量是
，故C 正确.
对于D，
时，向量与
同向共线，夹角为0，不是锐角，故D 不正确.
故选：BC.
7．（2023·安徽淮南·统考二模）已知单位向量
，
，则下列命题正确的是（ ）
A．向量
，
不共线，则
B．若
，
，且
，则
C．若
，记向量
，
的夹角为θ，则θ 的最小值为
.
D．若
，则向量
在向量
上的投影向量是
【答案】AC
【详解】单位向量
，
，
对于A，向量
，
不共线，
，因此
，A 正确；
对于B，
，
，且
，则
，即
，
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而
，解得
，于是
，B 错误；
对于C，由
得：
，解得
，
因此
，而
，于是
，即θ 的最小值为
，C 正确；
对于D，
，则
，向量
在向量
上的投影向量是
，D 错误.
故选：AC
8．（2023·浙江·统考一模）已知O 为坐标原点，点
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得
是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为
，
，
，
所以
，
，
故
是正三角形，则
，故A 正确；
对于B，因为
是正三角形，
是
的外心，
所以
是
的重心，故
，即
，故
B 正确；
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对于C，
，故C 正确；
对于D，因为
，则
，
所以
，故D 错误.
故选：ABC．
