十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—概率统计解答题
目录
题型一：二项式定理..............................................................................1
题型二：事件的频率与概率...................................................................3
题型三：随机变量的分布列与期望、方差............................................8
题型四：概率统计中的决策建议..........................................................44
题型五：简单的随机抽样与用样本估计总体.......................................49
题型六：相关关系与回归分析.............................................................62
题型七：独立性检验............................................................................67
题型八：概率统计综合应用.................................................................74
题型一：二项式定理
1．(2019·江苏·第24 题)设
.已知
.
(1)求
的值；(2)设
，其中
，求
的值.
【答案】见解析
【解析】(1)因为
，
所以
，
．
因为
，
所以
，
解得
．
(2)由(1)知，
．
．
解法一：因为
，所以
，
从而
．
解法二：
．
因为
，所以
．
因此
．
2．(2016 高考数学江苏文理科·第26 题)(1)求
的值；
(2)设
，
．
求证：
．
【答案】(1)
；(2)详见解析；
【官方解答】(1)
；
(2)当
时，结论显然成立．当
时，
．
又因为
，
所以
，
．
因此，
＝
＝
＝
．
民间解答：(1)
；
(2)对任意的
，
① 当
时，左边
，右边
，等式成立，
② 假设
时命题成立，
即
，
当
时，
左边=
，
右边
，
而
，
因此
，
因此左边=右边，
因此
时命题也成立，
综合①②可得命题对任意
均成立．
另解：因为
，所以
左边
又由
，知
，
所以，左边
右边．
题型二：事件的频率与概率
1．(2022 新高考全国I 卷·第20 题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生
习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例(称为病例组)，同
时在未患该疾病的人群中随机调查了100 人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患
有该疾病”．
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，
记该指标为R．
(ⅰ)证明：
；
(ⅱ)利用该调查数据，给出
的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值．
附
，
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828
【答案】(1)答案见解析
(2)(i)证明见解析；(ii)
；
解析：(1)由已知
，
又
，
，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
(2)(i)因为
，
所以
所以
，
(ii)由已知
，
，
又
，
， 所以
2．(2022 高考北京卷·第18 题)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上(含
)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、
丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9．80，9．70，9．55，9．54，9．48，9．42，9．40，935，9．30，9．25；
乙：9．78，9．56，9．51，9．36，9．32，9．23；
丙：9．85，9．65，9．20，9．16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E(X)；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)
【答案】解析:(1)由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0．4，乙获得优秀的概率为0．5，丙获得优秀的概率为0．5，故答案为0．4
(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
．
∴X 的分布列为
X 0
1
2
3
P
∴
(3)丙夺冠概率估计值最大．
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩．比赛一次，丙获得9．85 的概率为
，甲获得9．80 的概
率为
，乙获得9．78 的概率为
．并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙
越有利．
3．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第19 题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两
场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比
赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被
淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率
都为
，
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
．
【解析】(1)记事件
甲连胜四场，则
；
(2)记事件
为甲输，事件
为乙输，事件
为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为
；
(3)记事件
为甲输，事件
为乙输，事件
为丙输，
记事件
甲赢，记事件
丙赢，
则甲赢的基本事件包括：
、
、
、
、
、
、
、
，
所以，甲赢
概率为
．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为
．
【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，
属于中等题．
4．(2019·全国Ⅱ·理·第18 题)
分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成
平后，每球交
换发球权，先多得
分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲
得分的概率为
，乙发球时甲得分的概率为
，各球的结果相互独立．在某局双方
平后，
甲先发球，两人又打了
个球该局比赛结束．
求
；
求事件“
且甲获胜”的概率．
【答案】
；
.
【官方解析】
就是
平后，两人又打了
个球该局比赛结束，则这
个球均由甲得分，或者均由乙
得分．因此
．
且甲获胜，就是
平后，两人又打了
个球该局比赛结束，且这
个球的得分情况为：
前两球是甲、乙各得分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
．
【分析】
本题首先可以通过题意推导出
所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计
算出每种事件的概率并求和即可得出结果；
本题首先可以通过题意推导出
所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得
分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果.
【解析】
由题意可知，
2
P X
所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，
所以
(
)2
0.5 0.4 0.5 0.6
0.5
P X =
=
.
由题意可知，
包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”
所以
(
)4
0.5 0.6 0.5 0.4+0.5 0.4 0.5 0.4
0.1
P X =
=
创
创
创
=
.
【点评】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出
2
P X
以及
(
)4
P X =
所包含的事件
是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题.
5．(本小题满分12 分)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0．9，乙机
床产品的正品率是0．95．
(Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取3 件，求其中恰有2 件正品的概率(用数字作答)；
(Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1 件，求其中至少有1 件正品的概率
(用数字作答)．
【答案】分析：本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能
力。
(I)任取甲机床的3 件产品恰有2 件正品的概率为
(II)解法一：记“任取甲机床的1 件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1 件产品是正品”为事件
B。则任取甲、乙两台机床的产品各1 件，其中至少有1 件正品的概率为
解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为
6．(2019·天津·理·第16 题)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为
．假定甲、
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(Ⅰ)用
表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量
的分布列和数学期望；
(Ⅱ)设
为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的
天数恰好多2”，求事件
发生的概率．
【答案】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算
公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13 分．
(Ⅰ)解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30 之前到校的概率均为
，故
，从而
．
所以，随机变量
的分布列为
0
1
2
3
随机变量
的数学期望
．
(Ⅱ)解：设乙同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数为
，则
，
且
．由题意知事件
与
互斥，
且事件
与
，事件
与
均相互独立，从而由(Ⅰ)知
．
题型三：随机变量的分布列与期望、方差
1．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第19 题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项
目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学
校在三个项目中获胜的概率分别为0．5，0．4，0．8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
【答案】(1)
； (2)分布列见解析，
．
【解析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为
，所以甲学校获得冠军的概率为
．
(2)依题可知，
的可能取值为
，所以，
,
，
，
．
即
的分布列为
0
10
20
30
0．16
0．44
0．34
0．06
期望
．
2．(2021 高考北京·第18 题)在核酸检测中, “k 合1” 混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进
行1 次检测,如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束:如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1 次检测,得到
每人的检测结果，检测结束．
现对100 人进行核酸检测，假设其中只有2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
(I)将这100 人随机分成10 组，每组10 人，且对每组都采用“10 合1”混采核酸检测．
(i)如果感染新冠病毒的2 人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2 人分在同一组的概率为
．设X 是检测的总次数，求X 的
分布列与数学期望E(X)．
(II)将这100 人随机分成20 组，每组5 人，且对每组都采用“5 合1”混采核酸检测．设Y 是检测的总次
数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小．(结论不要求证明)
【答案】(1)①
次；②分布列见解析；期望为
；(2)
．
解析：(1)①对每组进行检测，需要10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10 次；
所以总检测次数为20 次；
②由题意，
可以取20，30，
，
，
则
的分布列:
所以
；
(2)由题意，
可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为
，不在同一组的概率为
，
则
．
3
．(2019· 江苏· 第25 题) 在平面直角坐标系xOy 中，设点集
，
令
.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.
(1)当
时，求X 的概率分布；
(2)对给定的正整数
，求概率
(用
表示).
【答案】见解析
【解析】(1)当
时，
的所有可能取值是
．
X 的概率分布为
，
．
(2)设
和
是从
中取出的两个点．
因为
，所以仅需考虑
的情况．
①若
，则
，不存在
的取法；
②若
，则
，所以
当且仅当
，此时
或
，有2 种取法；
③若
，则
，因为当
时，
，所以
当且
仅当
，此时
或
，有2 种取法；
④若
，则
，所以
当且仅当
，此时
或
，有2 种取法．
综上，当
时，X 的所有可能取值是
和
，且
．
因此，
．
4．(2014 高考数学陕西理科·第21 题)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000 元，此作物的
市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(
)
作物市场价格(元/
)
概率
概率
(1)设
表示在这块地上种植1 季此作物的利润，求
的分布列；
(2)若在这块地上连续3 季种植此作物，求这3 季中至少有2 季的利润不少于2000 元
的概率．
【答案】(1)详见解析；(2)
解析: ⑴设
表示事件“作物产量为
”，
表示事件“作物市场价格为
元/
”，
由题设知
，
，
∵利润=产量×市场价格—成本，
∴
有可能的取值为
，
，
，
．
，
，
，
∴
的分布列为
⑵设
表示事件“第季利润不少于
元”(
)，
由题意知
，
，
相互独立，由⑴知，
(
)，
季的利润均不少于
元的概率为
，
季中有
季利润不少于
元的概率为
，
所以，这季中至少有
季的利润不少于
元的概率为
．
5．(2014 高考数学重庆理科·第18 题)一盒中装有9 张各写有一个数字的卡片，其中4 张卡片上的数字是
1,3 张卡片上的数字
是2,2 张卡片上的数字是3，从盒中任取3 张卡片．
(1)求所取3 张卡片上的数字完全相同的概率;
(2) X 表示所取3 张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列(注：若三个数
满足
，
则称b 为这三个数的中位数)．
【答案】(1)
； (2)
解析：(1)由古典概型计算公式可得
3
3
4
3
3
9
5
84
C
C
P
C
。
(2) X 的可能值为1,2,3，由题意
，
所以X 的分布列为：
X
1
2
3
P
17
42
43
84
11
12
从而
17
43
1
47
(
)
1
2
3
42
84
12
28
E X
。
6．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第21 题)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人
继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0．6，乙每
次投篮的命中率均为0．8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0．
5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．记前
次(即从第1 次到第
次投篮)中甲投篮的次数为
，求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
解析：(1)记“第次投篮的人是甲”为事件
，“第次投篮的人是乙”为事件
，
所以，
．
(2)设
，依题可知，
，则
，
即
，
构造等比数列
，
设
，解得
，则
，
又
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
即
．
(3)因为
，
，
所以当
时，
，
故
．
7．(2020 江苏高考·第25 题)甲口袋中装有
个黑球和个白球，乙口袋中装有个白球．现从甲、乙两
口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复
次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为
，恰有
个
黑球的概率为
，恰有个黑球的概率为
．
(1)求
和
；
(2)求
与
的递推关系式和
的数学期望
(用
表示)．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)
，
，
(2)
，
，
因此
，
从而
，
即
．
又
的分布列为
0
1
2
故
．
8．(2014 高考数学课标1 理科·第18 题)从某企业的某种产品中抽取500 件,测量这些产品的一项质量指
标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差
2s (同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z 服从正态分布
2
( ,
)
N
,其中近似为样本
平均数x ,
2
近似为样本方差
2s ．
(i)利用该正态分布,求
(187.8
212.2)
P
Z
<
<
;
(ii)某用户从该企业购买了100 件这种产品,记X 表示这100 件产品中质量指标值为于区间(187．
8,212．2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX ．
附: 150
12.2
．
若Z ~
2
( ,
)
N
,则
(
)
0.6826
P
Z
m d
m d
-
<
<
+
=
(
2
2 )
0.9544
P
Z
m
d
m
d
-
<
<
+
=
．
【答案】解析:(1)抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差
2s 分别为
170 0.02 180 0.09 190 0.22
200 0.33
210 0.24
220 0.08
230 0.02
200
x
2
2
2
2
2
2
2
30
0.02
20
0.09
10
0.22
0 0.33
10
0.24
20
0.08
30
0.02
150
s
(2)(ⅰ)由(1)知Z ~
(200,150)
N
,从而
(187.8
212.2)
P
Z
<
<
= (200 12.2
200 12.2)
0.6826
P
Z
-
<
<
+
=
．
(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2) 的概率为0.6826
依题意知
(100,0.6826)
X
B
,所以
100 0.6826
68.26
EX =
．
考点:(1)频率分布直方图的绘制及应用;(2)离散型随机变量的均值及方差;(3)正态分布的应用;(4)数
形结合思想
难度:C
备注:高频考点
8．(2014 高考数学天津理科·第16 题)某大学志愿者协会有
名男同学,
名女同学．在这
名同学中,
名同学来自数学学院,其余
名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这
名同学中
随机选取名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(Ⅰ)求选出的名同学是来自互不相同学院的概率;
(Ⅱ)设
为选出的名同学中女同学的人数,求随机变量
的分布列和数学期望．
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)详见解析．
解析:(Ⅰ)设“选出的名同学是来自互不相同的学院”为事件
,则
．
所以,选出的名同学是来自互不相同学院的概率为
．
(Ⅱ)随机变量
的所有可能值为
,则
所以,随机变量
的分布列是
随机变量
的数学期望
．
9．(2014 高考数学四川理科·第17 题)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓
要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10 分，出现两次音乐
获得20 分，出现三次音乐获得100 分，没有出现音乐则扣除200 分(即获得-200 分)．设每次击鼓出
现音乐的概率为
，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为
，求
的分布列；
(Ⅱ)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(Ⅲ)玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请
运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
【答案】解析：(Ⅰ)
可能的取值为：10，20，100，
．根据题意，有
，
，
，
所以
的分布列为
10
20
100
P
(Ⅱ)设“第盘游戏没有出现音乐”为事件
，则
．
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是
．
(Ⅲ)
的数学期望为
．
这表明，获得分数
的均值为负，
因此，多次游戏之后分减少的可能性更大．
10．(2014 高考数学山东理科·第18 题)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相
交的区域
，乙被划分为两个不相交的区域
．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向
乙回球．规定：回球一次，落点在
上记3 分，在
上记1 分，其它情况记0 分．对落点在
上的来
球，队员小明回球的落点在
上的概率为
，在
上的概率为
；对落点在
上的来球，小明回球
的落点在
上的概率为
，在
上的概率为
．假设共有两次来球且落在
上各一次，小明的两
次回球互不影响．求：
(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
(Ⅱ)两次回球结束后，小明得分之和
的分布列与数学期望．
B
A
C
D
【答案】(Ⅰ)
3
10 ；(Ⅱ)见解析
解析：(Ⅰ)记Ai 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i=0,1,3 )
则
P( A3)=1
2 , P( A1)=1
3 , P( A0)=1−1
2−1
3=1
6 ；
记Bi 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i=0,1,3)
则
P(B3)=1
5 , P(B1)=3
5 , P(B0)=1−1
5−3
5=1
5 ；
记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”，
由题意，D=A3B0+ A1B0+ A0B1+ A0B3，由事件的独立性及互斥性得
P( D)=P (A3B0+ A1B0+ A0B1+ A0B3)
= P( A3B0)+P( A1B0)+P( A0B1)+P( A0B3)
=P( A3)P(B0)+P( A1)P(B0)+P( A0)P(B1)+P( A0)P(B3)
=1
2×1
5 + 1
3×1
5 + 1
6×3
5 + 1
6×1
5= 3
10 ．
所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为
3
10 ．
(Ⅱ)由题意，随机变量ξ 可能的取值为0,1,2,3,4,6 ．
由事件的独立性及互斥性得
P(ξ=0)=P( A0 B0)=1
6×1
5= 1
30 ；
P(ξ=1)= P( A1B0+ A0B1)=P( A1B0)+P( A0B1)=1
3×1
5 + 1
6×3
5=1
6 ；
P(ξ=2)=P( A1B1)=1
3×3
5=1
5 ；
P(ξ=3)= P( A3B0+ A0B3)=P( A3B0)+P( A0B3)=1
2×1
5 + 1
6×1
5= 2
15 ；
P(ξ=4)= P( A3B1+ A1B3)=P( A3B1)+P( A1B3)=1
2×3
5 + 1
3×1
5=11
30 ；
P(ξ=6)=P( A3 B3)=1
2×1
5= 1
10 ．
可得随机变量ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
6
P
1
30
1
6
1
5
2
15
11
30
1
10
所以，数学期望
Eξ=0× 1
30 +1×1
6 +2×1
5 +3× 2
15 +4×11
30 +6× 1
10 =91
30 ．
11．(2014 高考数学辽宁理科·第18 题)(本小题满分12 分)
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另一天的日销售量低于50 个的概
率；
(2)用X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望
及方差
．
【答案】
(1)0．108；(2)1．8，0．72．
解析：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100 个”，A2表示事件“日销售量低于50 个”
B 表示事件“在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另1 天的日销售量低于50
个”，因此P(A1)=(0．006+0．004+0．002)×50=0．6，P(A2)=0．003×50=0．15，
P(B)=0．6×0．6×0．15×2=0．108，
(Ⅱ)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，
，
,
，
随机变量X 的分布列为
因为X～B(3，0．6)，所以期望E(X)=3×0．6=1．8，方差D(X)=3×0．6×(1﹣0．6)=0．72．
日销售量/个
250
200
0.002
150
0.004
100
0.006
50
0.005
0
0.003
12．(2014 高考数学江西理科·第22 题)随机将
1,2,
,2
,
2
n n
N
n
这2n 个连续正整数分成A,B 两
组,每组n 个数,A 组最小数为
1a ,最大数为
2a ;B 组最小数为
1b ,最大数为
2b ,记
2
1
2
1
,
a
a
b
b
(1)当
3
n
时,求的分布列和数学期望;
(2)令C 表示事件与的取值恰好相等,求事件C 发生的概率
p c ;
(3)对(2)中的事件C,c 表示C 的对立事件,判断
p c 和
p c 的大小关系,并说明理由．
2014 高考数学江西理科
【答案】(1)
2
3
4
5
P
1
5
3
10
3
10
1
5
7 .
2
E
(2)当
2
n
时,
4
2
( )
6
3
P C
,当
3
n
时
2
2
1
2
2(2
)
( )
n
k
k
k
n
n
C
P C
C
(3)当
2
n
时,
( )
( ),
P C
P C
当
3
n
时,
( )
( ),
P C
P C
分析:(1)当
3
n
时,将6 个正整数平均分成A,B 两组,不同的分组方法共有
3
6
20
C
种,所有可能值
为
2,3,4,5
．
对
应
组
数
分
别
为
4,6,6,4,
对
应
概
率
为
1
5 ,
3
10 ,
3
10 ,
1
5 ,
1
3
3
1
7
2
3
4
5
.
5
10
10
5
2
E
(2)和恰好相等的所有可能值为
1, ,
1,
,2
2.
n
n n
n
当和恰好相等且等于
1
n 时,不同的分组方法有2 种;当和恰好相等且等于n 时,不同的分组方
法有2 种;当和恰好相等且等于
1
n 时,不同的分组方法有2
1
2
C 种;当和恰好相等且等于
2
n
时,不同的分组方法有2
2
4
C 种;以此类推:和恰好相等且等于
(
1,2,
,
2),(
3)
n
k k
n
n
时,不
同的分组方法有2
2
k
k
C
种;所以当
2
n
时,
4
2
( )
6
3
P C
当
3
n
时
2
2
1
2
2(2
)
( )
n
k
k
k
n
n
C
P C
C
(3)先归纳:当
2
n
时,
1
( )
,
3
P C
因此
( )
( ),
P C
P C
当
3
n
时,
( )
( ),
P C
P C
即证当
3
n
时
2
2
1
2
2(2
)
1
( )
,
2
n
k
k
k
n
n
C
P C
C
2
2
2
1
4(2
)
n
k
n
k
n
k
C
C
,这可用数学归纳法证
明． 当
1
n
m
时,
1 2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
4(2
)
4(2
)
4
4
m
m
k
k
m
m
m
k
k
m
m
m
k
k
C
C
C
C
C
, 利用阶乘作差
1
1
2
2
2
2
2
(
4
)
m
m
m
m
m
m
C
C
C
可得大小．
解析:(1)当
3
n
时,所有可能值为2,3,4,5．将6 个正整数平均分成A,B 两组,不同的分组方法共有
3
6
20
C
种,所以的分布列为
2
3
4
5
P
1
5
3
10
3
10
1
5
1
3
3
1
7
2
3
4
5
.
5
10
10
5
2
E
(2)和恰好相等的所有可能值为
1, ,
1,
,2
2.
n
n n
n
又和恰好相等且等于
1
n 时,不同的分组方法有2 种;
和恰好相等且等于n 时,不同的分组方法有2 种;
和恰好相等且等于
(
1,2,
,
2),(
3)
n
k k
n
n
时,不同的分组方法有2
2
k
k
C
种;
所以当
2
n
时,
4
2
( )
6
3
P C
当
3
n
时
2
2
1
2
2(2
)
( )
n
k
k
k
n
n
C
P C
C
(3)由(2)当
2
n
时,
1
( )
,
3
P C
因此
( )
( ),
P C
P C
而当
3
n
时,
( )
( ),
P C
P C
理由如下:
( )
( ),
P C
P C
等价于
2
2
2
1
4(2
)
n
k
n
k
n
k
C
C
①
用数学归纳法来证明:
1当
3
n
时,①式左边
1
2
4(2
)
16,
C
①式右边
3
6
20,
C
所以①式成立
2假设
(
3)
n
m m
时①式成立,即
2
2
2
1
4(2
)
m
k
m
k
m
k
C
C
成立
那么,当
1
n
m
时,①式左边
1 2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
4(2
)
4(2
)
4
4
m
m
k
k
m
m
m
k
k
m
m
m
k
k
C
C
C
C
C
2
(2 )!
4 (2
2)!
(
1) (2 )(2
2)!(4
1)
! !
(
1)!(
1)!
(
1)!(
1)!
m
m
m
m
m
m
m m
m
m
m
m
2
1
1
2
2
2
2
(
1) (2 )(2
2)!(4 )
2(
1)
(
1)!(
1)!
(2
1)(2
1)
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
C
C
m
m
m
m
=①式右边
即当
1
n
m
时①式也成立
综合12得,对于
3
n
的所有正整数,都有
( )
( )
P C
P C
成立
13．(2014 高考数学湖南理科·第17 题)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
和
．现安排甲组研发新产品
,乙组研发新产品
．设甲、乙两组的研发相互独立．
(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(Ⅱ)若新产品
研发成功,预计企业可获利润120 万元;若新产品
研发成功,预计企业可获利润100
万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)详见解析
解析:(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件
且事件
为事件
的对立事件,则事件
为一种
新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为
,
则
,再根据对立事件概率之间的公式可得
,所以至少一种产品研发成功的概率为
．
(2) 由题可得设该企业可获得利润为
, 则
的取值有
即
,由独立试验的概率计算公式可得:
;
;
;
;
所以
的分布列如下:
则数学期望
．
14．(2014 高考数学湖北理科·第20 题)计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站，过去50 年的
水文资料显示，水库年入流量
(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和． 单位：亿立方米)都在40 以上．其中，不足
80 的年份有10 年，不低于80 且不超过120 的年份有35 年，超过120 的年份有5 年．将年入流
量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(Ⅰ)求未来4 年中，至多有1 年的年入流量超过120 的概率；
(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，
并有如下关系:
若某台发电机运行，则该台年利润为5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800 万
元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
年入流量X
40<X <80
80≤X≤120
X>120
发电量最多可运行
台数
1
2
3
【答案】(1)0.9477；(2)2．
解析：(1)依题意，
P1=P(40<X<80)=10
50 =0.2
，
P2=P(80≤X≤120)=35
50 =0.7
，
P3=P( X>120)= 5
50 =0.1
，
由二项分布，在未来4 年中至多有1 年入流量找过120 的概率为：
P=C4
0(1−P3)4+C4
1(1−P3)3 P3=( 9
10 )4+4×( 9
10 )3× 1
10 =0.9477
．
(2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)
①安装1 台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润Y =5000，EY =5000×1=5000．
②安装2 台发电机．
当40<X <80 时，一台发电机运行，此时Y =5000−800=4200，
因此P( y=4200)=P(40<X<80)=P1=0.2，
当X≥80 时，两台发电机运行，此时Y =5000×2=10000，
因此P(Y =10000)=P( X≥80)=P1+P2=0.8．由此得Y 的分布列如下：
所以EY =4200×1+10000×2=8840．
③安装3 台发电机．
依题意，当40<X <80 时，一台发电机运行，此时Y =5000−1600=3400，
因此P(Y =3400)=P(40<X<80)=P1=0.2；
当80≤X≤120 时，两台发电机运行，此时Y =5000×2−800=9200，
此时P(Y =9200)=P(80≤X≤120)=P2=0.7 ，
当X>120 时，三台发电机运行，此时y=5000×3=15000，
因此P(Y =15000)=P( X>120)=P3=0.1，
由此得Y 的分布列如下：
所以EY =3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．
Y
4200
10000
P
0．2
0．8
Y
34
9200
15000
P
0．2
0．8
0．1
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2 台．
15．(2014 高考数学江苏·第25 题)盒中共有9 个球，其中有4 个红球，3 个黄球和2 个绿球，这些球除颜
色外完全相同．
(1)从盒中一次随机抽出2 个球，求取出的2 个球颜色相同的概率P；
(2)从盒中一次随机抽出4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1，x2，x3，随机变量X 表示
x1，x2，x3的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)．
【答案】解析：(1)取出的2 个颜色相同的球可能是2 个红球、2 个黄球或2 个绿球，
所以
(2)随机变量
的所有可能的取值为
．
表示的随机事件是取到的4 个球是4 个红球，故
；
表示的随机事件是取到的4 个球是3 个红球和1 个其它颜色的球，或3 个黄球和1 个
其它颜色的球，故
；
于是
所以随机变量
的概率分布如下表：
2
3
4
因此随机变量
的数学期望
16．(2014 高考数学福建理科·第18 题)(本小题满分13 分)
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对
位顾客进行奖励． 规定：每位顾客从一个装有
个标有面值的球的袋中一次性随机摸出２个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的
个球中有个所标的面值为
元，其余
个均为
元，求①顾客所获的奖励额为
的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2)商场对奖励总额的预算是
元，并规定袋中的
个球只能由标有面值为
元和
元的两种球
组成，或标有面值
元和
元的两种球组成． 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且
每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的
个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
【答案】解析：(I)设顾客获得的奖励额为
．
①依题意，得
，即顾客所获的奖励额为60 元的概率是
．
②依题意，随机变量
的可能取值为
．
．
得
的分布列如下：
所以顾客所获的奖励额的期望为
(II)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为
元．所以，先寻找期望为60 元的
可能方案：
当球的面值为
元和
元时，若选择
方案，因为
元是面值之和的最大值，所以期
望不可能为
；若选择
方案，因为
元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是
．因此可能的方案是
，记为方案．
当球的面值为
元和
元时，同理可排除
、
的方案，所以可能的方
案是
，记为方案
．
以下是对两个方案的分析：
对于方案，即方案
，设顾客所获的奖励额为
，
的可能取值为
．
得
的分布列如下：
的期望为
的方差为
对于方案
，即方案
，设顾客所获得奖励额为
，
的可能取值为
．
得
的分布列如下：
的期望为
的方差为
由于两种方案奖励额的期望都符合要求，但方案
奖励额的方差要比方案的小，所以应该选择方案
．即标有面值
元和面值
元的球各两个．
17．(2014 高考数学大纲理科·第20 题)设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设备的概率分别为
0．6,0．5,,0．5,0．4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；
(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．
【答案】(1)
；(2)2
解析：记
表示事件：同一工作日乙、丙中恰有人需使用设备，
表示事件：甲需使用设备
表示事件：丁需使用设备
表示事件：同一工作日至少3 人需使用设备
(1)
所以
(2)
的可能取值为
，，
，
，
．
，
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
4
数学期望
．
18．(2014 高考数学北京理科·第16 题)李明在10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛相互独立)：
场次
投篮次
数
命中次
数
场次
投篮次
数
命中次
数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
(1)从上述比赛中随机选择一场, 求李明在该场比赛中投篮命中率超过0．6 的概率．
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场, 求李明的投篮命中率一场超过0．6, 一场不超过
0．6 的 概率．
(3)记H 是表中10 个命中次数的平均数, 从上述比赛中随机选择一场, 记X 为李明在这比赛中的命中
次 数, 比较E(X)与
(
4
3
,
2
3
,
2
3
). 的大小(只需写出结论)
【答案】解析：(Ⅰ)根据投篮统计数据,在10 场比赛中,李明投篮命中率超过0．6 的场次有5 场,
分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4．
所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0．6 的概率是0．5．
(Ⅱ)设事件
为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0．6”,
事件
为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0．6”,
事件
为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0．6,一场不超过0．
6”．
则
独立．
根据投篮统计数据,
所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过
,一场不超过0．6 的概率
为
(Ⅲ)
19．(2014 高考数学安徽理科·第17 题)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛
完5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛． 假设每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率
为
，各局比赛结果相互独立．
(Ⅰ)求甲在4 局以内(含4 局)赢得比赛的概率；
(Ⅱ)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．
【答案】解：用A 表示“甲在4 局以内(含4 局)赢得比赛”，Ak表示“第k 局甲获胜”，Bk 表示
“第k 局乙获胜”，则
P( Ak)=2
3 ，
P(Bk)=1
3 ，k=1，2，3，4，5．
(Ⅰ)P( A)=P( A1 A2)+P(B2 A2 A3)+P( A1B2 A3 A4)
=P( A1)P( A2)+P(B2)P( A2)P( A3)+P( A1)P(B2)P( A3)P( A4)
=( 2
3 )2+ 1
3×( 2
3 )2+ 2
3×1
3×( 2
3 )2=56
81 ．
(Ⅱ)X 的可能取值是2,3,4,5．
P( X=2)=P( A1 A2)+P(B1B2)=P( A1)P( A2)+P(B1)P(B2)=5
9
P( X=3)=P(B1 A2 A3)+P( A1B2B3)=P(B1)P( A2)P( A3)+P( A1)P(B2)P(B3)=2
9 ，
P( X=4)=P( A1B2 A3 A4)+P(B1 A2B3B4)P( X=5)=1−P( X=2)−P( X=3)−P( X=4)= 8
81 ．
故X 的分布列为
X
P
5
9
2
9
10
81
8
81
EX =2×5
9 +3×2
9 +4×10
81 +5× 8
81 =224
81
．
20．(2015 高考数学重庆理科·第17 题)(本小题满分13 分，(1)小问5 分，(2)小问8 分)
端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽2 个，肉粽3 个，白粽5 个，
这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3 个。
(1)求三种粽子各取到1 个的概率；
(2)设
表示取到的豆沙粽个数，求
的分布列与数学期望．
【答案】(1)
；(2)分布列见解析，期望为
．
分析：(1)本题属于古典概型，从10 个棕子中任取3 个，基本事件的总数为
，其中事件“三种棕
子各取1 个”含基本事件的个数为
，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；(2)由于
10 个棕子中有2 个豆沙棕，因此
的可能值分别为
，同样根据古典概型概率公式可得相应的概
率，从而列出其分布列，并根据期望公式求得期望为
．
解析：(1)令A 表示事件“三个粽子各取到1 个”，则由古典概型的概率计算公式有
；
(2)X 的所有可能取值为0，1，2，且
综上知，X 的分布列为
X
0
1
2
P
故
(个)．
21．(2015 高考数学天津理科·第16 题)(本小题满分13 分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许
不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3 名，其中种子选手2 名；乙协会的运动员5
名，其中种子选手3 名．从这8 名运动员中随机选择4 人参加比赛．
(Ⅰ)设
为事件“选出的4 人中恰有2 名种子选手，且这2 名种子选手来自同一个协会”求事件
发
生的概率；
(Ⅱ)设
为选出的4 人中种子选手的人数，求随机变量
的分布列和数学期望．
【答案】(Ⅰ)
6
35 ;
(Ⅱ)随机变量X 的分布列为
X
2
3
4
P
1
14
3
7
3
7
1
14
5
2
E X
解析：(Ⅰ)由已知，有
2
2
2
2
2
3
3
3
4
8
6
( )
35
C C
C C
P A
C
所以事件A 发生的概率为
6
35 ．
(Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4
4
5
3
4
8
(
1,2,3,4)
k
k
C C
P X
k
k
C
所以随机变量X 的分布列为
X
2
3
4
P
1
14
3
7
3
7
1
14
所以随机变量X 的数学期望
1
3
3
1
5
1
2
3
4
14
7
7
14
2
E X
22．(2015 高考数学四川理科·第17 题)某市
两所中学的学生组队参加辩论赛，
中学推荐3 名男生，
2 名女生，
中学推荐了3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水
平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队
(1)求A
中学至少有1 名学生入选代表队的概率．
(2)某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，设
表示参赛的男生人数，求
得分布
列和数学期望．
【答案】(1)A 中学至少1 名学生入选的概率为
．
(2)X 的分布列为：
p
1
5
3
5
1
5
3
2
1
X
X 的期望为
．
解析：(1)由题意，参加集训的男女生各有6 名．
参赛学生全从B 中抽取(等价于A 中没有学生入选代表队)的概率为
．
因此，A 中学至少1 名学生入选的概率为
．
(2)根据题意，X 的可能取值为1，2，3．
，
，
，
所以X 的分布列为：
p
1
5
3
5
1
5
3
2
1
X
因此，X 的期望为
．
23．(2015 高考数学陕西理科·第19 题)(本小题满分12 分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为
，
只与道路畅通状况有关，对其容量为
的样本进行统计，结果如下：
(
分
钟)
25
30
35
40
频
数
(次)
20
30
40
10
(Ⅰ)求
的分布列与数学期望
；
(Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授
从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．
【答案】(Ⅰ)分布列见解析，
；(Ⅱ)
．
分析：(Ⅰ)先算出
的频率分布，进而可得
的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望
；
(Ⅱ)先设事件
表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过
分钟”，再算出
的概
率．
解析：(Ⅰ)由统计结果可得
的频率分步为
(
分
钟)
25
30
35
40
频率
0．2
0．3
0 ．
4 0．1
以频率估计概率得
的分布列为
25
30
35
40
0．2
0．3
0．4
0．1
从而
(分钟)
(Ⅱ)设
分别表示往、返所需时间，
的取值相互独立，且与
的分布列相同．设事件
表示
“刘教授共用时间不超过
分钟”，由于讲座时间为
分钟，所以事件
对应于“刘教授在途中
的时间不超过
分钟”．
解法一：
．
解法二：
故
．
24．(2015 高考数学山东理科·第19 题)若
是一个三位正整数，且
的个位数字大于十位数字，十位数
字大于百位数字，则称
为“三位递增数”(如
等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取个数，且只能抽取
一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被
整除，参加者得
分；若能
被
整除，但不能被
整除，得
分；若能被
整除，得分．
(I)写出所有个位数字是
的“三位递增数” ；
(II)若甲参加活动，求甲得分
的分布列和数学期望
．
【答案】(Ⅰ)有：125，135，145，235，245，345；
(Ⅱ)X 的分布列为
X
0
-1
1
P
分析：(Ⅰ)明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；(Ⅱ)
解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出
的
分布列和数学期望
．
(Ⅰ)个位数是5 的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；
(Ⅱ)由题意知，全部“三位递增烽”的个数为
随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此
,
,
所以X 的分布列为
X
0
-1
1
P
因此
25．(2015 高考数学湖南理科·第20 题)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，
每次抽奖都从装有4 个红球、6 个白球的甲箱和装有5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，
在摸出的2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获
奖．
(1)求顾客抽奖1 次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期
望．
【答案】(1)
7
10 ；(2)详见解析．
分析：(1)记事件
｛从甲箱中摸出的1 个球是红球｝，
｛从乙箱中摸出的1 个球是红球｝
｛顾客抽奖1 次获一等奖｝，
｛顾客抽奖1 次获二等奖｝，
｛顾客抽奖1 次能获奖｝，
则可知
与
相互独立，
与
互斥，
与
互斥，且
，
，
，
再
利用概率的加法公式即可求解；(2) 分析题意可知
，分别求得
，
，
，
，即可知X 的概率分布及其期望．
解析：(1)记事件
｛从甲箱中摸出的1 个球是红球｝，
｛从乙箱中摸出的1 个球是红球｝
｛顾客抽奖1 次获一等奖｝，
｛顾客抽奖1 次获二等奖｝，
｛顾客抽奖1 次能获奖｝，
由题意，
与
相互独立，
与
互斥，
与
互斥，且
，
，
，
∵
，
，∴
，
，故所求概率为
；
(2)顾客抽奖3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1 次获一等奖的概率为
，∴
，
于
是
，
，
，
，故
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望为
．
26．(2015 高考数学湖北理科·第20 题)(本小题满分12 分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产
两种奶制
品．生产1 吨
产品需鲜牛奶2 吨，使用设备1 小时，获利1000 元；生产1 吨
产品需鲜牛奶1．5
吨，使用设备1．5 小时，获利1200 元．要求每天
产品的产量不超过
产品产量的2 倍，设备每天
生产
两种产品时间之和不超过12 小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机
变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0．3
0．5
0．2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利
(单位：元)是一个
随机变量．
(Ⅰ)求
的分布列和均值；
(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3 天中至少有1 天的最大获利超过10000 元的概率．
【答案】(Ⅰ)
的分布列为：
8160
10200
10800
0．3
0．5
0．2
；(Ⅱ)0．973．
解析：(Ⅰ)设每天
两种产品的生产数量分别为
，相应的获利为
，
则有
(1)
目标函数为
．
当
时，(1)表示的平面区域如图1，三个顶点分别为
．
将
变形为
，
y
x
A(0,0)
D(9,0) 12
8
O
C(6,4)
12
y
x
A(0,0)
C(6,0)
12
8
O
B(2.4,4.8)
y
x
A(0,0)
C(7.5,0)
12
8
O
B(3,6)
10
B(3,6)
第20 题解答图3
第20 题解答图2
第20 题解答图1
当
时，直线：
在
轴上的截距最大，
最大获利
．
当
时，(1)表示的平面区域如图2，三个顶点分别为
．
将
变形为
，
当
时，直线：
在
轴上的截距最大，
最大获利
．
当
时，(1)表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为
．
将
变形为
，
当
时，直线：
在
轴上的截距最大，
最大获利
．
故最大获利
的分布列为
8160
10200
10800
0．3
0．5
0．2
因此，
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，一天最大获利超过10000 元的概率
，
由二项分布，3 天中至少有1 天最大获利超过10000 元的概率为
27．(2015 高考数学福建理科·第16 题)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误，该
银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确
密码是他常用的6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1 个进行尝试．若密码正确，则结束
尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X 的分布列和数学期望．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)分布列见解析，期望为
．
解析：(Ⅰ)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则
(Ⅱ)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3
又
所以X 的分布列为
所以
．
28．(2015 高考数学北京理科·第16 题)(本小题13 分)
，
两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的
康复时间(单位：天)记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从
，
两组随机各选1 人，
组选出的人记为甲，
组选出的
人记为乙．
(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14 天的概率；
(Ⅱ)如果
，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ)当
为何值时，
，
两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
【答案】(Ⅰ)
，(Ⅱ)
，(Ⅲ)
或
分析：针对甲有7 种情况，康复时间不少于14 天有3 种情况，概率为
；如果
，甲、乙随机
各取一人有49 种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10 种，概率为
，
由于A 组数据为10，11，12，13，14，15，16；B 组数据调整为
，12，13，14，15，16，17，或
12，13，14，15，16，17，
，由于
，
两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以
或
．
解析：(Ⅰ)甲有7 种取法，康复时间不少于14 天的有3 种取法，所以概率
；
(Ⅱ)如果
，从
，
两组随机各选1 人，
组选出的人记为甲，
组选出的人记为乙共有49
种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：(13，12)，(14，12)，(14，13)，(15，12)，
(15，13)，(15,14),(16，12)(16，13),(16，15),(16,14)有10 种取法，所以概率
．
(Ⅲ)把B 组数据调整为
，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，
，可见当
或
时，与A 组数据方差相等．(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)
29．(2015 高考数学安徽理科·第17 题)(本小题满分12 分)已知2 件次品和3 件正品混放在一起，现需要
通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2 件次品或者检测出3 件正
品时检测结束．
(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100 元，设X 表示直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时所需
要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
．
分析：(Ⅰ)依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件
．得出
．(Ⅱ)
的可能取值为
．依此求出各自的概率
，列出分布列，求出期望
．
解析：(Ⅰ)记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件
．
．
(Ⅱ)
的可能取值为
．
．
．
．
故
的分布列为
．
30．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第19 题)(12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检
验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm )．根据长期生产经验，可以认
为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
2
( ,
)
N
．
(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(
3 ,
3 )
之外的零件数，
求
(
1)
P X
及X 的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(
3 ,
3 )
之外的零件，就认为这条生产线在这一天
的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
经计算得
16
1
1
9.97
16
i
i
x
x
，
16
16
2
2
2
2
1
1
1
1
(
)
(
16
)
0.212
16
16
i
i
i
i
s
x
x
x
x
，其中
ix 为抽取
的第i 个零件的尺寸，
1,2,
,16
i
．
用样本平均数x 作为的估计值ˆ，用样本标准差s 作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？剔除ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0．
01)．
附：若随机变量Z 服从正态分布
2
( ,
)
N
，则
(
3
3 )
0.997 4
P
Z
，
16
0.997 4
0.959 2
，
0.008
0.09
．
【答案】(1)
(
1)
0.0408
P X
,
16 0.0026
0.0416
EX
;(2)详见解析．
【分析】(1)根据题设条件知一个零件尺寸在(
3 ,
3 )
之内的概率为0.9974 ,则零件的尺寸在
(
3 ,
3 )
之外的概率为0.0026 ,而
16,0.0026
X
B
,进而可以求出X 的数学期望．(2)(i)
判断监控生产过程的方法的合理性, 重点是考虑一天内抽取的16 个零件中, 出现尺寸在
(
3 ,
3 )
之外的零件的概率大还是小,若小即合理;(ii)根据题设条件题出的估计值和的
估计值,剔除
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
之外的数据9.22 ,算出剩下数据的平均数,即为的估计值,剔除
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
之外的数据9.22 ,剩下数据的样本方法,即为的估计值．
【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(
3 ,
3 )
之内的概率为0．9974,从而零件的尺寸在
(
3 ,
3 )
之外的概率为0．0026
故
~ (16,0.0026)
X B
．因此
(
1)
1
(
0)
1 0.9974
0.0408
P X
P X
．
X 的数学期望为
16 0.0026
0.0416
EX
．
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(
3 ,
3 )
之外的概率只有0.0026 ,一天内抽取的16
个零件中,出现尺寸在(
3 ,
3 )
之外的零件的概率只有0．0408,发生的概率很小．因此一旦
发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过
程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的．
(ii)由
9.97,
0.212
x
s
,得的估计值为ˆ
9.97
,的估计值为ˆ
0.212
,由样本数据可以看出
有一个零件的尺寸在ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
之外,因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
之外的数据9．22,剩下数据的平均数为
1 (16 9.97
9.22)
10.02
15
因此的估计值为10.02
16
2
2
2
1
16 0.212
16 9.97
1591.134
i
i
x
剔
除
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
之
外
的
数
据
9.22 ,
剩
下
数
据
的
样
本
方
差
为
2
2
1 (1591.134
9.22
15 10.02 )
0.008
15
,因此的估计值为
0.008
0.09
．
31．(2017 年高考数学天津理科·第16 题)从甲地到乙地要经过3 个十字路口,设各路口信号灯工作相互独
立,且在各路口遇到红灯的概率分别为
1 1 1
,
,
2 3 4 ．
(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望;
(2)若有2 辆车独立地从甲地到乙地,求这2 辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】 【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．
1
1
1
1
(
0)
(1
) (1
) (1
)
2
3
4
4
P X
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
(
1)
(1
) (1
)
(1
)
(1
)
(1
) (1
)
2
3
4
2
3
4
2
3
4
24
P X
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
2)
(1
)
(1
)
(1
)
2
3
4
2
3
4
2
3
4
4
P X
,
1
1
1
1
(
3)
2
3
4
24
P X
所以,随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
4
11
24
1
4
1
24
随机变量X 的数学期望
1
11
1
1
13
(
)
0
1
2
3
4
24
4
24
12
E X
．
(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数, Z 表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
(
1)
(
0,
1)
(
1,
0)
(
0) (
1)
(
1) (
0)
P Y
Z
P Y
Z
P Y
Z
P Y
P Z
P Y
P Z
1
11
11
1
11
4
24
24
4
48
．
所以,这2 辆车共遇到1个红灯的概率为
11
48 ．
32．(2017 年高考数学山东理科·第18 题)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人
的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙中心
理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6 名男志愿者
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
A A A A A A 和4 名
1
2
3
4
,
,
,
B B B B ,从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示,另5 人接受乙种心理
暗示．
(I)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含
1A
但不包含
3
B
的频率．
(II)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望EX ．
【答案】(I)
5 .
18 (II) X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
42
5
21
10
21
5
21
1
42
X 的数学期望是
2
EX
．
【分析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含
1A
但不包含
1B
的事件为M ,计算即得;(2)由题意知
X 可以取的值为:0,1,2,3,4,利用超几何分布概率计算公式,得X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
42
5
21
10
21
5
21
1
42
进一步计算X 的数学期望．
【解析】(I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含
1A 但不包含
3
B 的事件为M ,则
4
8
5
10
C
5
(
)
.
C
18
P M
(II)由题意知X 可取的值为:0,1,2,3,4,则
5
6
5
10
C
1
(
0)
,
C
42
P X
4
1
6
4
5
10
C C
5
(
1)
,
C
21
P X
3
2
6
4
5
10
C C
10
(
2)
,
C
21
P X
2
3
6
4
5
10
C C
5
(
3)
,
C
21
P X
1
4
6
4
5
10
C C
1
(
4)
,
C
42
P X
因此X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
42
5
21
10
21
5
21
1
42
X 的数学期望是
0
(
0) 1
(
1)
2
(
2)
3
(
3)
4
(
4)
EX
P X
P X
P X
P X
P X
1
5
10
5
1
0
1
2
3
4
2.
42
21
21
21
42
33．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第18 题)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本
每瓶4 元,售价每瓶6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经
验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关．如果最高气温不低于25,需求量为500 瓶;如果最高气
温位于区间[20,25),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20,需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购
计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(Ⅰ)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(Ⅱ)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为
多少时,Y 的数学期望达到最大值?
【答案】(Ⅰ)分布列略;(Ⅱ)n=300 时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520 元．
【解析】(1)依题意可知X 的所有可能取值为200,300,500
其中
2 16
1
200
30 3
5
P X
,
36
2
300
30 3
5
P X
,
25
7
4
2
500
30
3
5
P X
所以X 的分布列为
X
200
300
500
P
1
5
2
5
2
5
(2)①当
200
n≤
时:
6
4
2
Y
n
n
,此时
max
400
Y
,当
200
n
时取到．
②当200
300
n
时:
若
200
X
,则
6
4
2
4
4
2
800
2
Y
X
n
X
X
n
n
,
1
800
2
5
P Y
n
若
300
X
时,则
2
6
4
2 ,
2
5
Y
n
n P Y
n
若
500
X
时,则
2
6
4
2 ,
2
5
Y
n
n P Y
n
Y
的分布列为
X
800
2n
2n
P
1
5
2
5
2
5
∴
1
2
2
6
( )
(800
2 )
2
2
160
5
5
5
5
E Y
n
n
n
n
此时
max
520
Y
,当
300
n
时取到．
③
当
300
500
n
时
,
若
200
X
,
则
1
6
4
2
4
800
2 ,
800
2
5
Y
X
n
X
n P Y
n
若
300
X
时,则
2
6
4
2
4
1200,
1200
2
5
Y
x
n
x
P Y
n
若
500
X
时,则
2
6
4
2 ,
2
5
Y
n
n P Y
n
y
的分布列为
X
800
2n
1200
2n
2n
P
1
5
2
5
2
5
∴
520
640
300
5
2
640
5
2
2
5
2
)
2
1200
(
5
2
)
2
800
(
5
1
)
(
n
n
n
n
Y
E
(元)
④当
500
n≥
时,易知Y 一定小于③的情况．
综上,当n 为300 瓶时, y 的数学期望达到最大值．
34．(2017 年高考数学江苏文理科·第26 题)已知一个口袋有m 个白球, n 个黑球(
,
*,
2
m n
n
N
≥
),这些球
除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1, 2, 3,
, m
n
的抽屉
内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(
1, 2, 3,
,
)
k
m
n
．
1
2
3
m
n
(1)试求编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p ;
(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,
(
)
E X 是X 的数学期望,证明:
(
)
(
)(
1)
n
E X
m
n n
【答案】(1)
n
m
n
(2)见解析
解析:解:(1)编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p 为:
1
1
C
C
n
m n
n
m n
n
p
m
n
．
(2)随机变量 X 的概率分布为:
X
1
n
1
1
n
1
2
n
1
k
1
m
n
P
1
1
C
C
n
n
n
m n
1
C
C
n
n
n
m n
1
1
C
C
n
n
n
m n
1
1
C
C
n
k
n
m n
1
1
C
C
n
n m
n
m n
随机变量 X 的期望为:
1
1
1
1
1
(
1)!
(
)
(
1)!(
)!
n
m n
m n
k
n
n
k n
k n
m n
m n
C
k
E X
k C
C
k
n
k
n
,
所以
1
(
2)!
1
(
2)!
(
)
(
1)!(
)!
(
1)
(
2)!(
)!
m n
m n
n
n
k n
k n
m n
m n
k
k
E X
C
n
k
n
n
C
n
k
n
2
2
2
1
2
1
(1
)
(
1)
n
n
n
n
n
m n
n
m n
C
C
C
n
C
1
2
2
2
1
1
2
1
(
)
(
1)
n
n
n
n
n
n
n
m n
n
m n
C
C
C
C
n
C
1
2
2
2
1
(
)
(
1)
n
n
n
n
n
m n
n
m n
C
C
C
n
C
1
2
2
2
1
(
)
(
1)
n
n
m n
m n
n
m n
C
C
n
C
1
1
(
1)
(
)(
1)
n
m n
n
m n
C
n
n
C
m
n n
所以
(
)
(
)(
1)
n
E X
m
n n
．
35．(2017 年高考数学北京理科·第17 题)为了研究一种新药的疗效,选100 名患者随机分成两组,每组各
50 名,一组服药,另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,
其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者．
(Ⅰ)从服药的50 名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60 的概率;
(Ⅱ)从图中
, ,
,
A B C D 四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x 的值大于1.7 的人数,求的分
布列和数学期望
E ;
(Ⅲ)试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出
结论)
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)在这
名患者中,服药者指标
数据的方差大于未服药者指
标
数据的方差．
【解析】(Ⅰ)根据所给数据数出的个数,再除以50 就是概率;(Ⅱ)由图可知
,
A C 两人
1.7
x
,根据超
几何分布写出分布列,
0,1,2
,
2
2
2
2
4
(
)
(
0,1,2)
k
k
C C
P
k
k
C
,并求数学期望;(Ⅲ)方差表示数据
的离散程度,波动越大,方差越大,波动越小,方差越小．
解:(Ⅰ)由图知,在服药的50 患者中,指标y 的值小于60 的有15 人,所以从服药的50 名患者中随机选
出一人,此人指标y 的值小于60 的概率为
15
0.3
50
．
(Ⅱ)由图知,
, ,
,
A B C D 四人中,指标x 的值大于1.7 的有2 人: A 和C ．
所以的所有可能取值为0,1,2 ．
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
C
C C
C
1
2
1
(
0)
, (
1)
, (
2)
C
6
C
3
C
6
P
P
P
．
所以的分布列为
0
1
2
P
1
6
2
3
1
6
故的期望
1
2
1
( )
0
1
2
1
6
3
6
E
．
(Ⅲ)在这100 名患者中,服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．
36．(2016 高考数学天津理科·第16 题)某小组共10 人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数
为1,2,3 的人数分别为3,3,4．现从这10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会．
(Ⅰ)设
为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件
发生的概率；
(Ⅱ)设
为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列和数学期望．
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)分布列详见解析，X 的数学期望为1
解析：(Ⅰ)设事件
：选2 人参加义工活动，次数之和为4
(Ⅱ)随机变量
可能取值：0，1，2
0
1
2
．
37．(2016 高考数学山东理科·第19 题)(本小题满分12 分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每
轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一个
人猜对，则“星队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分．已知甲每轮猜对的概率是
，
乙每轮猜对的概率是
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”
参加两轮活动，求：
(I)“星队”至少猜对3 个成语的概率；
(Ⅱ)“星队”两轮得分之和为
的分布列和数学期望
．
【答案】【解析】(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，]
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3 个成语”．
由题意，
由事件的独立性与互斥性，
,
所以“星队”至少猜对3 个成语的概率为
．
(Ⅱ)由题意，随机变量
的可能取值为
．
由事件的独立性与互斥性，得
,
,
,
,
,
．
可得随机变量
的分布列为
0
1
2
3
4
6
所以数学期望
．
38．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第18 题)(本题满分12 分)某险种的基本保费为
(单位：元)，继续购
买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次
数
0
1
2
3
4
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概率
0．30
0．15
0．20
0．20
0．10
0． 05
(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
的概率；
(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【解析】(I)设
表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件
发生当且仅当一年
内出险次数大于，故
．
(II)设
表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出
”，则事件
发生当且仅当一年
内出险次数大于
，故
，
又
因此所求概率为
．
(III)记续保人本年度的保费为
，则
的分布列为
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：
．
题型四：概率统计中的决策建议
1．(2023 年全国乙卷理科·第17 题)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10 次
配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用
乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
，
．试验结果如下：
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记
，记
样本平均数为
，样本方差为
．
(1)求
，
；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提
高，否则不认为有显著提高)
【答案】(1)
，
；
(2)认为甲工艺处理后
橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
解析：(1)
，
，
，
的值分别为:
，
故
(2)由(1)知:
，
，故有
,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
2．(2021 年高考全国乙卷理科·第17 题)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的
某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设
备
9．8
10．3
10 0
10 2
9．9
9．8
10．0
10．1
10．2
9．7
新设
备
10 1
10．4
10．1
10．0
10．1
10．3
10．6
10．5
10．4
10．5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和
，样本方差分别记为
和
．
(1)求
，
，
，
；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果
，则认
为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
【答案】(1)
；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备
有显著提高．
解析：(1)
，
，
，
．
(2)依题意，
，
，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
3．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第18 题)(12 分)下图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额
(单位：亿元)的折线图．
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年份
20
0
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
投资额
14
19
25
35
37
42
42
47
53
56
122
129
148
171
184
209
220
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了
与时间变量的两个线性回归模型．根据
2000 年至2016 年的数据(时间变量的值依次为
)建立模型①：
；根据2010
年至2016 年的数据(时间变量的值依次为
)建立模型②：
．
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【答案】解析：(1)利用模型①，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元)．
利用模型②，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
(i)从折线图可以看出，2000 年至2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
上下，
这说明利用2000 年至2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额，的变化
趋势．2010 年至2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投
资额的变化规律呈线性增长趋势，，利用2010 年至2016 年的数据建立的线性模型
可以
较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ii)从计算结果看，相对于2016 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型①得到的预测值226．1 亿
元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可
靠．
以上给出了2 种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得分．
4．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第20 题)(12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产
品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中
任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率
都为p(0< p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f ( p),求f ( p)的最大值点p0 ．
(2)现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以(1)中确定的p0 作为p 的值．已知每件产
品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用．
(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】解析：(1)20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为
．
因此
．
令
，得
．当
时，
；当
时，
．
所以
的最大值点为
．
(2)由(1)知，
．
(i)令
表示余下的180 件产品中的不合格品件数，依题意知
，
，
即
．
所以
．
(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元．
由于
，故应该对余下的产品作检验．
5．(2021 年新高考Ⅰ卷·第18 题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题，每位参加比赛
的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回
答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题
中的每个问题回答正确得20 分，否则得0 分：B 类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分，
己知小明能正确回答A 类问题的概率为0．8，能正确回答B 类问题的概率为0．6，且能正确回答问题
的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A 类问题，记
为小明的累计得分，求
的分布列；
(2)为使累计得分
期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】解析：(1)由题可知，
的所有可能取值为
，
，
．
；
；
．
所以
的分布列为
(2)由(1)知，
．
若小明先回答
问题，记
为小明的累计得分，则
的所有可能取值为
，
，
．
；
；
．
所以
．
因为
，所以小明应选择先回答
类问题．
题型五：简单的随机抽样与用样本估计总体
1．(2022 新高考全国II 卷·第19 题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，
得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，求此人患这种疾病的概率．(以样本
数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)．
【答案】(1)
岁；
(2)
；
(3)
．
解析：(1)平均年龄
(岁)．
(2)设
{一人患这种疾病的年龄在区间
}，所以
．
(3)设
任选一人年龄位于区间
，
任选一人患这种疾病，
则由条件概率公式可得
．
2．(2019·全国Ⅲ·理·第17 题)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200
只小鼠随机分成
两组，每组100 只，其中
组小鼠给服甲离子溶液，
组小鼠给服乙离子溶液．
每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体
内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于
”，根据直方图得到
的估计值为
．
(1)求乙离子残留百分比直方图中
的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
【答案】(1)
，
；(2)
，
.00．
【官方解析】
(1)由已知得
，故
，
．
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
．
【点评】本题考查频率分布直方图的相关概念和频率分布直方图中平均数法人计算，属于基础题．
3．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第18 题)(12 分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了
完成某项生产任务的两种生产方式，为比较两咱生产方式的效率，选取
名工人，将他们随机分成
两组，每组
人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生
产任务的工作时间(单位：
)绘制了如下茎叶图：
第一种生产方式
第二种生产方式
8
6
5
5
6
8
9
9
7
6
2
7
0
1
2
2
3
4
5
6
6
8
9
8
7
7
6
5
4
3
3
2
8
1
4
4
5
2
1
1
0
0
9
0
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求
名工人完成生产任务所需时间的中位数
，并将完成生产任务所需时间超过
和不超过
的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)的列联表，能否有
的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
【答案】【官方解析】(1)第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，
用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟．因此第二种生产方式
的效率更高．．
(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5 分钟，用第二种
生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5 分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产
方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎8
大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎7 大
致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二
种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种
生产方式的效率更高．
以上给出了4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
(2)由茎叶图知
．
列联表如下：
超过
不超过
第一种生产方
式
15
5
第二种生产方
式
5
15
(3)由于
所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【民间解析】(1)法一：第二种生产方式效率更高，因为第二种多数数据集中在
之间，
第一种多数数据集中在
之间，易知第一种完成任务的平均时间大于第二种，故第二
种生产方式的效率更高。
法二：第一种生产方式完成任务的平均时间为
第二种生产完成任务的平均时间为
第一种生产方式完成任务的平均时间
第二种生产方式完成任务的平均时间
所以第二种生产方式效率更高
(2)中位数为
超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由(2)可计算得
所以有
的把握认为两种生产方式的效率有差异．
点评：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．
4．(2014 高考数学广东理科·第17 题)随机观测生产某种零件的某工厂25 名工人的日加工零件数(单位：
件)，获得数据如下：
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0．12
(30,35]
5
0．20
(35,40]
8
0．32
(40,45]
(45,50]
(1)确定样本频率分布表中
和
的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4 人，至少有1 人的日加工零件数落在区间(30,35］的概
率．
【答案】解：(1)
(2)先计算 频率/组距；然后作图即可
(3)由(1)知，任取一人，日加工零件数落在区间(30,35］的概率为
设该厂任取4 人，没有人日加工零件数落在区间(30,35］的事件为
，
则
，所以
答：在该厂任取4 人，至少有1 人的日加工零件数落在区间(30,35］的概率为
5．(2015 高考数学广东理科·第17 题)(本小题满分12 分)
某工厂36 名工人的年龄数据如下表．
工人编号 年
龄
工人编号 年
龄
工人编号 年
龄
工人编号 年
龄
1 40
10 36
19 27
28 34
2 44
11 31
20 43
29 39
3 40
12 38
21 41
30 43
4 41
13 39
22 37
31 38
5 33
14 43
23 34
32 42
6 40
15 45
24 42
33 53
7 45
16 39
25 37
34 37
42
17 38
26 44
35 49
9 43
18 36
27 42
36 39
(1)用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据
为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的平均值¯x 和方差s2 ；
(3)36 名工人中年龄在¯x−s 与¯x+s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0．01％)？
【答案】解析：(1)依题所抽样本编号是一个首项为2，公差为4 的等差数列，故其所有样本编号依次
为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37;
(2)由平均值公式知：
由方差公式知：
(3)因为
所以36 名工人中年龄在
和
之间的人数等于区间
的人数；
即40，40，41，…………，39，共23 人．所占百分比为
．
6．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第18 题)(12 分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产
量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率直方图如下：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱
产量不低于50kg,估计A 的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0．01)
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d
【答案】(1)0.4092 ；
(2)有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关；
(3)52.35kg 。
【命题意图】概率统计,独立检验等知识的综合运用
【基本解法】
(Ⅰ) 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为0 ．012×5+0 ．014×5+0 ．024×5+0 ．034×5+0 ．
040×5=0．62，由于两种养殖方法的箱产量相互独立，
于是P(A)=0．62×0．66=0．4092
(Ⅱ)旧养殖法的箱产量低于50kg 的有100×0．62=62 箱，不低于50kg 的有38 箱，新养殖法的箱产量
不低于50kg 的有100×0．66=66 箱，低于50kg 的有34 箱，得到2×2 列联表如下：
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
合计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
合计
96
104
200
所以
2
2
200 (62 66
34 38)
1225
15.705
96 104 100 100
78
K
2
6.635
K
，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。
(III)根据箱产量的频率分布直方图，新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为0．038×5+0．
046×5+0．010×5+0．008×5=0．66>0．50，不低于55kg 的频率为0．046×5+0．010×5+0．
008×5=0．32<0．50，于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg 到55kg 之间，设新养殖法箱产量的中
位数为x，则有
(55-x)×0．068+0．046×5+0．010×5+0．008×5=0．50
解得x=52． 3529
因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值52． 35。
7．(2016 高考数学四川理科·第16 题)(12 分)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约
用水，集合调整居民用水方案，拟确定一个合理的月用水标准
吨，一位居民的月用水量不超过
的
部分按平价收费，超出
的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年
位
居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照
，
，
，
分成
组，制成了如
图所示的频率分布直方图．
a
0.52
0.40
0.16
0.12
0.08
0.04
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
月均用水量（吨）
组距
频率
(1)求直方图中的
值；
(2)设该市有
万居民，估计全市居民中月均用水量不低于
吨的人数．
(3)若该市政府希望使
的居民每月的用水量不超过标准
吨，估计
的值，并说明理由．
【答案】【官方解答】(1)由频率直方图知，月均 用水量在
中的频率为
同理在[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3),[3,3.5)[3.5,4)[4,4.5) 中的频率分别为
0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02
由
解得
(2)由(1)知，
为居民每人月均用水量不低于
吨的的频率为
由以上样本的频率分布，可以估计全市
万居民月均水量不低于
吨的人数为
(3)因为前六组的频率之和为
而前五组的频率之和为
所以
，由
，解得
所以估计月用水量标准为
吨时，
的居民每月用水量不超过标准
【民间解析】(1)由题知组距
则有
解得
(2)设“月均用水量不低于
吨的人数”为事件
，则
所以人数为
万
(3)频率依次是
由图可知，月均用水量小于2．5 吨的居民人数所占百分比为：
即
的居民月均用水量小于2．5 吨,
同理，88%的居民月均用水量小于3 吨，故
假设月均用水量平均分布，则
(吨)．
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差．
所以
位于
之间，则
8．(2016 高考数学北京理科·第16 题)(本小题13 分)
三个班共有100 名学生，为调查他们的体育
锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)；
A 班
6
7
8
B 班
6 7 8
10 11 12
C 班
3
6
9
12
(I)试估计
班的学生人数；
(II)从
班和
班抽出的学生中，各随机选取一人，
班选出的人记为甲，
班选出的人记为乙，
假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
(III)再从
三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8．25(单位：小
时)，这3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记
，表格中数据的平均数记为
，试
判断
和
的大小，(结论不要求证明)
【答案】(1)40 人;(2)
;(3)拉低了平均值．
【官方解答】(Ⅰ)由题意知，抽出的
名学生中，来自
班的学生有
名．
根据分层抽样方法，
班的学生人数估计为
．
(Ⅱ)设事件
为“甲是现有样本中
班的第个人”，
，
事件
为“乙是现有样本中
班的第
个人”，
，
由题意可知，
，
；
，
．
,
,
．
设事件
为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，
因此
(Ⅲ)
．
【民间解答】⑴
，C 班学生40 人
⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为
设
班中取到第个人事件为
C 班中取到第
个人事件为
班中取到
的概率为
所求事件为
则
⑶
三组平均数分别为
总均值
但
中多加的三个数据
平均值为
，比
小，
故拉低了平均值
9．(2019·北京·理·第17 题)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成
为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随
机抽取了100 人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A 和仅使用B 的
学生的支付金额分布情况如下：
交付金额
(元)
支付方式
(0，1000]
(1000，2000]
大于2000
仅使用A
18 人
9 人
3 人
仅使用B
10 人
14 人
1 人
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概率；
(Ⅱ)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月支付金额大于
1000 元的人数，求X 的分布列和数学期望；
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3 人，
发现他们本月的支付金额都大于2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付
金额大于2000 元的人数有变化？说明理由．
【答案】【解析】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都使用的人数为：
人，则全校
学生中随机抽取1 人，该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概率
．
(Ⅱ)由题意可知，
仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000 的人数占
，金额大于1000 的人数占
，
仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000 的人数占
，金额大于1000 的人数占
，
则X 可能的取值为0，1，2．
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
其数学期望为
．
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化．理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳
定于概率。学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固
定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”．(答案不唯一：小概率事件发生有理由认为人数发
生了变化)
10．(2018 年高考数学天津(理)·第16 题)(本小题满分13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数
分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7 人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7 人中有4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查．
(i)用X 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；
(ii)设A 为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．
【答案】(1)解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法
从中抽取7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人，2 人，2 人．
(2)(i)解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X 的数学期望
．
(ii)解：设事件
为“抽取的3 人中，睡眠充足的员工有1 人，睡眠不足的员工有2 人”；事件
为
“抽取的3 人中，睡眠充足的员工有2 人，睡眠不足的员工有1 人”，则
，且
与
互斥，
由(i)知，
( )
(
2),
( )
(
1)
P B
P X
P C
P X
，故
6
( )
(
)
(
2)
(
1)
7
P A
P B
C
P X
P X
．
所以，事件
发生的概率为
．
11．(2018 年高考数学北京(理)·第17 题)(本小题12 分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整
理得到下表：
电影类
型
第
一
类
第二
类
第
三
类
第四
类
第
五
类
第六
类
电影部
数
好评率
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(Ⅱ)从第
四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率；(Ⅲ)假设每类电影得到人们
喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“
”表示第k 类电影得到人们喜欢，“
”表示第
类电影没有得到人们喜欢(
)．写出方差
的
大小关系．
【答案】解：(Ⅰ)由题意知，样本中电影的总部数是
，
第四类电影中获得好评的电影部数是
200×0．25=50．
故所求概率为
．
(Ⅱ)设事件
为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件
为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为
．
由题意知：
估计为
，
估计为
．
故所求概率估计为
(Ⅲ)．解：
的分布列为
的分布列为
的分布列为
的分布列为
的分布列为
的分布列为
题型六：相关关系与回归分析
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第18 题)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有
所增加．为调查该地区某种野生动物
数量，将其分成面积相近的200 个地块，从这些地块中用简单
随机抽样的方法抽取20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表
示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
，
，
，
，
．
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数)；
(2)求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野
生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数r=
，
≈1．414．
【答案】(1)
；(2)
；(3)详见解析
解析：(1)样区野生动物平均数为
，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
(2)样本
(i=1，2，…，20)的相关系数为
(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能
力，是一道容易题．
2．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第19 题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为
估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：
)和材积量(单位：
)，得到如下数据：
样
本
号
ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总
和
根
部
横
截
面
积
0．
0
4
0．
0
6
0．
0
4
0．
0
8
0 08
0．
0
5
0．
0
5
0．
0
7
0．
0
7
0．
0
6
0．6
材
积
量
0．
2
5
0．
4
0
0．
2
2
0．
5
4
0．
5
1
0．
3
4
0．
3
6
0．
4
6
0．
4
2
0．
4
0
3．9
并计算得
．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为
．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材
积量的估计值．
附：相关系数
．
【答案】(1)
；
(2)
(3)
解析：【小问1 详解】
样本中10 棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10 棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为
，
平均一棵的材积量为
【小问2 详解】
则
小问3 详解】
设该林区这种树木的总材积量的估计值为
，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得
，解之得
．则该林区这种树木的总材积量估计为
3．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第18 题)下图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿
吨)的折线图.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据:
,
,
,
.
参考公式:相关系数
回归方程
中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:
,
.
【答案】(Ⅰ)理由见解析;(Ⅱ)1.82 亿吨.
【解析】(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得
,
,
,
,
.
因为
与的相关系数近似为0.99,说明
与的线性相关程度相当高
从而可以用线性回归模型拟合
与的关系.
(Ⅱ)由
及(Ⅰ)得
,
.
所以,
关于的回归方程为:
.
将2016 年对应的
代入回归方程得:
.
所以预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82 亿吨.
4．(2014 高考数学课标2 理科·第19 题)(本小题满分12 分)
某地区2007 年至2013 年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收
入y
2．9
3．3
3．6
4．4
4．8
5．2
5．9
(Ⅰ)求y 关于t 的线性回归方程；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，分析2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，
并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】解析：(Ⅰ)
设回归方程为
代入公式，经计算得：
所以，
关于的回归方程为
．
(Ⅱ)
，2007 年至2013 年该区域人均纯收入稳步增长，预计到2015 年，高地区人均纯收
入
(千元)，所以，预计到2015 年，该地区人均纯收入约6800 元左右．
5．(2015 高考数学新课标1 理科·第19 题)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传
费
(单位：千元)对年销售量
(单位：)和年利润
(单位：千元)的影响，对近8 年的年宣传费
和年销售量
( =1,2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
46．
56．
3
6 ．
289．8
1．6
1469
108．8
表中
，
。
(Ⅰ)根据散点图判断，
与
哪一个适宜作为年销售量
关于年宣传费
的回归
方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立
关于
的回归方程；
(Ⅲ)已知这种产品的年利率
与
、
的关系为
．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
(i)年宣传费
时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ii)年宣传费
为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据
,
，……，
,其回归线
的斜率和截距的最小二乘估
计分别为：
、
【答案】(Ⅰ)
适合作为年销售
关于年宣传费用
的回归方程类型；(Ⅱ)
(Ⅲ)46．24
分析：(Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；(Ⅱ)令
，先求出建立
关于
的线性回归方程，即可
关于
的回归方程；(Ⅲ)(ⅰ)利用
关于
的回归方程先求出年销售
量
的预报值，再根据年利率z 与x、y 的关系为z=0．2y-x 即可年利润z 的预报值；(ⅱ)根据(Ⅱ)的
结果知，年利润z 的预报值，列出关于
的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大
值时的年宣传费用．
解析：
(Ⅰ)由散点图可以判断，
适合作为年销售
关于年宣传费用
的回归方程类型．
(Ⅱ)令
，先建立
关于
的线性回归方程，由于
=
，
∴
=563-68×6．8=100．6．
∴
关于
的线性回归方程为
，
∴
关于
的回归方程为
．
(Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知，当
=49 时，年销售量
的预报值
=576．6，
．
(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知，年利润z 的预报值
，
∴当
=
，即
时，
取得最大值．
故宣传费用为46．24 千元时，年利润的预报值最大．……12 分
题型七：独立性检验
1．(2023 年全国甲卷理科·第19 题)一项试验旨在研究臭氧效应．实验方案如下：选40 只小白鼠，随机
地将其中20 只分配到实验组，另外20 只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对
照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．
(1)设
表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求
的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15．2 18．8 20．2 21．3 22．5 23．2 25．8 26．5 27．5 30．1
32．6 34．3 34．8 35．6 35．6 35．8 36．2 37．3 40．5 43．2
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7．8 9．2 11．4 12．4 13．2 15．5 16．5 18．0 18．8 19．2
19．8 20．2 21．6 22．8 23．6 23．9 25．1 28．2 32．3 36．5
(i)求40 只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成
如下列联表：
对照组
实验组
(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加
量有差异．
附：
0．100
0．050
0．010
2．706
3．841
6．635
【答案】(1)分布列见解析，
(2)(i)
；列联表见解析，(ii)能
解析：(1)依题意，
的可能取值为
，
则
，
，
，
所以
的分布列为：
故
．
(2)(i)依题意，可知这40 只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20 位
与第21 位数据的平均数，观察数据可得第20 位为
，第21 位数据为
，
所以
，
故列联表为：
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
(ii)由(i)可得，
，
所以能有
的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
2．(2021 年高考全国甲卷理科·第17 题)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，
为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828
【答案】(1)75%；60%；
(2)能．
解析：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为
,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为
．
(2)
,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．
3．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第18 题)某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和
当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4 的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1 或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或4，则
称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有95%
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：
，
P(K2≥k)
0．050
0．010
0．001
k
3 841
6．635
10．828
【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为、
、
、
的概率分别为
、
、
、
；
(2)
；(3)有，理由见解析．
解析：(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为
，等级为
的概率为
，等级为
的概率为
，等级为
的概率为
；
(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
(3)
列联表如下：
人次
人次
空气质量不好
空气质量好
，
因此，有
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处
理能力，属于基础题．
4．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第19 题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气
质量进行调研，随机抽查了
天空气中的
和
浓度(单位：
)，得下表：
32
18
4
6
8
12
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中
浓度不超过
，且
浓度不超过
”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的
列联表：
(3)根据(2)中
列联表，判断是否有
的把握认为该市一天空气中
浓度与
浓度有关？
附：
，
0．050 0．010 0．
001
3．841 6．635
10．828
【答案】(1)
；(2)答案见解析；(3)有．
解析：(1)由表格可知，该市100 天中，空气中的
浓度不超过75，且
浓度不超过150 的天
数有
天，
所以该市一天中，空气中的
浓度不超过75，且
浓度不超过150 的概率为
；
(2)由所给数据，可得
列联表为：
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
(3)根据
列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有
的把握认为该市一天空气中
浓度与
浓度有关．
5．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第19 题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市
空气质量进行调研，随机抽查了
天空气中的
和
浓度(单位：
)，得下表：
(1)估计事件“该市一天空气中
浓度不超过
，且
浓度不超过
”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的
列联表：
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有
的把握认为该市一天空气中
浓度与
浓度有关？
附：
，
【答案】(1)
；(2)答案见解析；(3)有．
解析：(1)由表格可知，该市100 天中，空气中的
浓度不超过75，且
浓度不超过150 的天
数有
天，
所以该市一天中，空气中的
浓度不超过75，且
浓度不超过150 的概率为
；
(2)由所给数据，可得
列联表为：
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
(3)根据
列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有
的把握认为该市一天空气中
浓度与
浓度有关．
题型八：概率统计综合应用
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第19 题)某研究小组经过研究发现某种疾病
患病者与未患病者的某项医学
指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c
人判定为阳性，小于或等于c 的
人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
；误诊率是将未患病者
判定为阳性的概率，记为
．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概
率．
(1)当漏诊率
％时，求临界值c 和误诊率
；
(2)设函数
，当
时，求
的解析式，并求
在区间
的最小值．
【答案】(1)
，
；
(2)
，最小值为
．
解析：(1)
依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为
，所以
，
所以
，解得：
，
．
(2)
当
时，
；
当
时，
,
故
，
所以
在区间
的最小值为
．
2．(2015 高考数学新课标2 理科·第18 题)(本题满分12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从
两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均
值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；
(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件
：“
地区用户的满意度等级高于
地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结
果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求
的概率．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)
．
解析：(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区
用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．
(Ⅱ)记
表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；
表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；
表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”；
表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．
则
与
独立，
与
独立，
与
互斥，
．
．
由所给数据得
，
，
，
发生的概率分别为
，
，
，
．故
，
，
，
，故
．
3．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第21 题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生
物为第0 代，经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生物每代繁殖的个数
是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
．
(1)已知
，求
；
(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝
概率，p 是关于x 的方程：
的一个最小正实根，求证：当
时，
，当
时，
；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
【答案】解析:(1)
．
(2)设
，
因为
，故
，
若
，则
，故
．
，
因为
，
，故
有两个不同零点
，且
，且
时，
；
时，
；
故
在
，
上为增函数，在
上为减函数，若
，因为
在
为
增函数且
，而当
时，因为
在
上为减函数，故
，
故为
的一个最小正实根，
若
，因为
且在
上为减函数，故1 为
的一个最小正实根，
综上，若
，则
．
若
，则
，故
．此时
，
，故
有两个不同零点
，且
，
且
时，
；
时，
；故
在
，
上
为增函数，在
上为减函数，而
，故
，又
，故
在
存
在一个零点
，且
．所以
为
的一个最小正实根，此时
，故当
时，
．
(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超
过1，则若干代后被灭绝的概率小于1．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第21 题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，
为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机
选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈
的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述
问题，约定，对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得
－1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得－1 分；若都治愈或都
0
40
20
8
9
10
11
更换的易损零件数
频数
未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为
和
，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求X 的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
表示“甲药的累计得分为时，最终认为
甲药比乙药更有效”的概率，则
(
)，
其中
，
，
．假设
，
．
(i)证明：
为等比数列；
(ii)求
，并根据
的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】(1)解：X 的所有可能取值为
，
．
所以
的分布列为
X
0
1
P
(2)(i)由(1)得
．
因此
，故
，即
．
又因为
，所以
为公比为4，首项为
的等比数列．
(ii)由(i)可得
.
由
于
，
故
，
所
以
．
表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8
时，认为甲药更有效的概率为
，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验
方案合理．
5．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第19 题)(本小题满分12 分)某公司计划购买2 台机器，该种机器使用
三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．
在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损
零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记
表示2 台
机器三年内共需更换的易损零件数，
表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．
(I)求
的分布列；
(II)若要求
，确定
的最小值；
(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
与
之中选其一，应选用哪个？
【答案】 (I)
16
17
18
19
20
21
22
(II) 19 (III)
【官方解答】(I)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11
的概率分别为0．2,0．4,0．2,0．2．从而
，
，
，
，
所以
的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
(II)
由(I)得
，
，故
的最小值为19
(III)记Y 表示2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)
当
时，
当
时，
．
要令
，
，
则
的最小值为19
可知当
时所需要的费用的期望小于当
时所需要的费用的期望∴故应选
．
【民间解答】⑴
每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11
记事件
为第一台机器3 年内换掉
个零件
记事件
为第二台机器3 年内换掉
个零件
由题知
，
设2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为
则
的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22
16
17
18
19
20
21
22
⑵要令
，
，
则
的最小值为19．
⑶购买零件所需费用含两部分：
一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用
当
时，费用的期望为
当
时，费用的期望为
所以应选用
．
