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专题十一
概率与统计
第三十四讲
古典概型与几何概型
答案部分
1.解析
解析
解析
解析
解析 在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数
6
2
64
n =
=
，
该重卦恰有3 个阳爻包含的基本个数
3
3
6
3
C C
20
m =
=
，
则该重卦恰有3 个阳爻的概率
20
5
64
16
m
p
n
=
=
=
．故选A．
2.
3
解析
解析
解析
解析
解析 从
名男同学和
名女同学中任选
名同学参加志愿者服务，
2
2
基本事件总数
2
5
C
10
n =
=
，
选出的
名同学中至少有
名女同学包含的基本事件个数
2
1
1
1
2
3
2
2
C C
C
7
m =
+
=
，
所以选出的
名同学中至少有
名女同学的概率是
2
1
7
10
m
P
n
=
=
．
3.解析
解析
解析
解析
解析 由题意可得，一共比赛了5 场，且第5 场甲获胜，前4 场甲队胜3 场，输1 场，有
2 种情况：
①甲队主场输1 场，其概率为：
1
2
2
1
2
2
C
0.6 0.4 C
0.5
0.12
P =
=
，
②甲队客场输1 场，其概率为：
2
2
1
2
2
2
C
0.6
C
0.5 0.5
0.18
P =
=
由于第5 场必定是甲队胜，所以
(
)
2
1
2
0.6
0.18
P
P
P
=
+
=
则甲队以4：1 获胜的概率为0.18．
4.解析
解析
解析
解析
解析（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，
或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1 0.5
–
）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分
情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1 0.4
–
）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
2010-2018
年
1
A
．【解析】通解
设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
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则区域
的面积即
I
ABC的面积，为
1
1
2
=
S
bc ，区域Ⅱ的面积
2
2
1
( )
2
2
=
+
c
S
2
2
2
2
2
( )
1
1
1
1
1
2
( )
[
]
(
)
2
2
2
2
8
2
2
−
−
=
+
−
+
=
a
b
bc
c
b
a
bc
bc ，所以
1
2
=
S
S ，由几
何概型的知识知
1
2
=
p
p
，故选
．
A
优解
不妨设
ABC为等腰直角三角形，
2
=
=
AB
AC
，则
2 2
=
BC
，所以区域I
的面积即ABC 的面积，为
1
1
2 2
2
2
=
=
S
，区域Ⅱ的面积
2
2
2
( 2)
1
[
2]
2
2
=
−
−
=
S
，区域Ⅲ的面积
2
3
( 2)
2
2
2
=
−
=
−
S
．
根据几何概型的概率计算公式，得
1
2
2
2
p
p
=
=
+
，
3
2
2
−
=
+
p
，所以
1
3
p
p ，
2
3
p
p ，
1
2
3
+
p
p
p
，故选
．
A
2
C
．【解析】不超过
的素数有，，
30
2
3
5
7
，，11，13，17，19，23，29，共10 个，从中
随机选取两个不同的数有
2
10
C
种不同的取法，这
个数中两个不同的数的和等于
的
10
30
有
对，所以所求概率
3
2
10
3
1
C
15
=
=
P
，故选C．
3．B【解析】设正方形的边长为2a ，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一
半，根据几何概型的概率计算，所求概率为
2
2
1
2
4
8
a
a
=
．选
．
B
4
C
．【解析】不放回的抽取2 次有
1
1
9
8
C C
9 8
72
= =
，如图
2
1
3
4
5
6
7
8
9
，，，，，，，
2
3
4
5
6
7
8
9
，，，，，，，
1
可知(1,2) 与(2,1)
是不同，所以抽到的
张卡片上的数奇偶性不同有
2
1
1
5
4
2C C =40，所求
概率为
40
5
72
8
=
．
5
B
．【解析】由题意得图：
8:30
8:20
8:10
8:00
7:50
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由图得等车时间不超过
分钟的概率为
10
1
2
．
6．C【解析】由题意得：
(
)(
)
1
2
i
i
x
y
i
n
=
，
，，，
在如图所示方格中，而平方和小于1 的点
均在如图所示的阴影中
由几何概型概率计算公式知
π
4
1
m
n
=
，∴
4
π
m
n
=
，故选C．
7．B 【解析】基本事件总数为
2
15
C ，恰有1
个白球与
个红球的基本事件为
1
1
1
10
5
C C ，所求
概率为
1
1
10
5
2
15
10
21
C C
C
=
．
8
D
．【解析】
4
4
2
2
7
2
8
P
−
=
=
．
9
B
．【解析】掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有
6 6
36
=
种，点数之和为
的有
5
4 中，
所以所求概率为4
1
36
9
=
．
10．B【解析】区间长度为
3
( 2)
5
−−
=
， [ 2,1]
−
的长度为
1 ( 2)
3
−−
=
，
故满足条件的概率为
2
3
P =
．
11．【解析】由几何模型的概率计算公式，所求概率
B
1
2
= 2
4
S
P
S
=
=
阴影
长方形
12．B【解析】个点中任取
个点共有
种方法，若
个点之间的距离小于边长，则这
5
2
10
2
2
个点中必须有
个为中心点，有
种方法，于是所求概率
1
4
4
2
10
5
P =
=
．
13．D【解析】由题意作图，如图所示，
1
的面
积为1
2 2
2
2
=
，图中阴影部分的面积
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为
1
2
2
7
2
2
2
2
4
−
=
，则所求的概率
7
8
P =
，选
．
D
14．A【解析】由题设可知矩形
，曲边形
的面积为
ABCD 面积为2
DEBF
2
2
−
故所求概率
为
2
2
1
2
4
−
= −
，选A.
15．D【解析】总的可能性有
种，甲被录用乙没被录用的可能性
种，乙被录用甲没被
10
3
录用的可能性
种，甲乙都被录用的可能性
种，所以最后的概率
3
3
3
3
3
1
10
p
+ +
=
=
16．B【解析】任取两个不同的数有
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4
共6 种，2 个数
之差的绝对值为2 的有
(
) (
)
1 3
2 4
，，，，故
2
1
6
3
P =
=
17．D【解析】由已知，点
的分界点恰好是边
的四等分点，
P
CD
由勾股定理可得
2
2
2
3
(
)
4
AB
AB
AD
=
+
，解得
2
7
(
)
16
AD
AB
=
，即
7
4
AD
AB =
，故选D．
18．C【解析】如图所示，令
= ,
=
AC x CB y ，
则
(
)
+ =12
>0,y>0
x y
x
，矩形面积设为S，则
(
)
=
= 12-
32
S xy x
x
，
解得
0<
4
8
<12
x
x
或
，该矩形面积小于32
2
cm 的概率为8
2
=
12
3
，故选C.
19．D【解析】不等式组0
2
0
2
x
y
剟
剟
表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内的点的坐
标为
( , )
x y
，则随机事件：在区域
内取点，此点到坐标原点的距离大于
表示的区域
D
2
就是圆
2
2
4
x
y
+
=
的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4
4
−
．
20．A【解析】记三个兴趣小组分别为
，甲参加
组记为“甲”，则基本事件为“甲，
1,2,3
1
1
1
乙
，
1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3
乙2；甲3，乙3”共9 个．记事件
为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中
A
事件
有“甲
；甲，乙
”共
个，因此
A
1，乙1
2
2；甲3，乙3
3
1
( )
3
P A =
．
21．3
10
【解析】记
名男生分别为
2
A ，B
，名女生分别为
3
a ，b，c
，则从中任选
名
2
学生有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba，Bb ，Bc ，ab，ac ，bc
，共10 种情况，其中
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恰好选中
名女生有
2
ab，ac，bc
，共
种情况，故所求概率为
3
3
10
．
22．1
5
【解析】从
个砝码随机取
个共有
5
3
3
5
C
10
=
种，总质量为
克共有
9
9=5+3+1，9=5+2+2
两种情况，所以三个砝码的总质量为
克的概率是
9
3
5
2
2
1
C
10
5
=
=
．
23．5
9
【解析】由
2
6
0
x
x
+
−
≥，解得
2
3
x
− ≤≤，根据几何概型的计算公式得概率为
3
( 2)
5
5
( 4)
9
−−
=
−−
．
24．4
3
．【解析】圆
2
2
(
5)
9
x
y
-
+
=
的圆心为
(5,0)
C
，半径
3
r =
，故由直线与圆相交可得
2
|5
0|
1
k
r
k
−
+
，即
2
|5 |
3
1
k
k
+
，整理得
2
9
16
k
，得3
3
4
4
k
−
．
25．5
6
【解析】从
只球中一次随机摸出
只球，有
种结果，其中这
只球颜色不同有
4
2
6
2
5
种结果，故所求概率为5
6
．
26．2
3
【解析】设
本数学书分别为
、
2
A
B，语文书为
，则所有的排放顺序有
G
ABC、ACB、
BAC、BCA、CAB、CBA，共6 种情况，其中数学书相邻的有ABC、BAC、CAB、CBA，
共
种情况，故
本数学书相邻的概率
4
2
4
2
6
3
P =
=
．
27．9
32
【解析】设小张与小王的到校时间分别为：
7
00 后第x 分钟，第y 分钟，根据题意
可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为
2
(50
30)
400
−
=
．小张比小王至少早
5 分钟到校表示的事件
( , )|
5,30
50,30
50
A
x y
y
x
x
y
=
−≥
≤≤
≤≤
，如图中阴
影部分所示，阴影部分所占的面积为 1
225
15 15
2
2
=
，所以小张比小王至少早
分钟
5
到校的概率为
9
( )
32
P A =
．
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28．1
3
【解析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝
种颜色的运动服中选择
3
1
种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），
（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共
种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况
9
为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共
种．故所求概率为
3
1
3
P =
．
29．1
3
【解析】设
张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为
3
, ,
a b c ，甲、乙两人各抽取一张
的所有情况有
,
,
,
,
,
ab ac ba bc ca cb共六种，其中两人都中奖的情况有
,
ab ba
共2 种，
所以概率为1
3
30．1
3
【解析】设
( )
1
2
f x
x
x
=
+
−
−
，
则
3, 3
1
( )
1
2
2
1, 1
2
3,2
3
x
f x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
+ −
−
=
−
−
。由
2
1 1
x −，解得1
2
x
，
即当1
3
x
时，
( )
1
f x ．由几何概型公式得所求概率为
3 1
2
1
3
( 3)
6
3
−
=
=
−−
．
31．3
1 【解析】本题考查的是几何概型求概率．
0
1
3
−
a
，即
3
1
a
，所以
3
1
1
3
1
=
=
P
．
32．1
5
【解析】从
个正整中任意取出两个不同的数，有
5
2
5
10
C =
种，若取出的两数之和等
于，则有
5
(1,4),(2,3)
，共有
个，所以取出的两数之和等于
的概率为
2
5
2
1
10
5
=
．
33．3【解析】由几何概型，得
( 2)
5
4
( 2)
6
m −−
=
−−
，解得
3
m =
．
34．5
3 【解析】由题意得
1
( 3)n
na
−
= −
，易知前
项中奇数项为正，偶数项为负，所以小
10
于
的项为第一项和偶数项，共
项，即
个数，所以
8
6
6
6
3
10
5
P =
=
．
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35．2
5
【解析】若使两点间的距离为
2
2
，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为
1
4
2
5
4
2
10
5
C
C
=
=
．
36．【解析】（1
5
）
根据点到直线的距离公式得
25
5
5
d =
=
．
（）
2
1
6
设直线
4
3
x
y
c
+
=
到圆心的距离为3，则|
|
3
5
c
=
，取
15
c =
，则直线
4
3
15
x
y
+
=
把圆截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即所求的概率，由于圆的
半径是2 3 ，则可得直线
4
3
15
x
y
+
=
截得的劣弧所对的圆心角为60 ，故所求的概率
是1
6
．
37．1
3
【解析】从，，，
1
2
3
4 这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：
，
{1,2}
{1,3}，
{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
6
，共
个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件为
{1,2}
{2,4}
2
，
共
个，所以概率为1
3
．
38．【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，
( )
1
( )
1
(0.30
0.15)
0.55
P A
P A
= −
= −
+
=
．
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，
(
)
0.10
0.05
3
(
)
( )
0.55
11
P AB
P B A
P A
+
=
=
=
．
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量X ．
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费
0.85 0.30
0.15
1.25
0.20 1.5
0.20 1.75
0.10
2
0.05
EX
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
0.255
0.15
0.25
0.3
0.175
0.1
1.23
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
=
，
∴平均保费与基本保费比值为1.23 ．
39．【解析】（1）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ．
1
1
2
3
2
5
3
( )
10
A A
P A
A
=
=
．
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（）
2
X 的可能取值为200,300,400．
2
2
2
5
1
(
200)
10
A
P X
A
=
=
=
．
3
1
1
2
3
2
3
2
3
5
3
(
300)
10
A
C C A
P X
A
+
=
=
=
．
1
3
6
(
400)
1
(
200)
(
300)
1
10
10
10
P X
P X
P X
=
= −
=
−
=
= −
−
=
．
故X 的分布列为
X
200
300
400
P
1
10
3
10
6
10
1
3
6
200
300
400
350
10
10
10
EX =
+
+
=
．
40．【解析】
因为样本容量与总体中的个数的比是
(I)
6
1
50 150 100
50
=
+
+
，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
1
50
1
50
=
，
1
150
3
50
=
，
1
100
2
50
=
，
所以
，
A
B，
三个地区的商品被选取的件数分别为
C
1,3,2.
（）设
件来自
，，
三个地区的样品分别为
II
6
A
B
C
1
2
3
1
2
;
,
,
;
,
A B B B C C ,
则抽取的这
件商品构成的所有基本事件为：
2
1
2
3
{ ,
},{ ,
},{ ,
}
A B
A B
A B
，
1
2
{ ,
},{ ,
}
A C
A C
,
1
2
1
3
1
1
1
2
2
3
{
,
},{
,
}{
,
},{
,
};{
,
}
B B
B B
B C
B C
B B
,
2
1
2
2
3
1
3
2
1
2
{
,
},{
,
},{
,
},{
,
},{
,
}
B C
B C
B C
B C
C C
,
.
共15 个
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，
记事件D：“抽取的这
件商品来自相同地区”，
2
则事件
包含的基本事件有：
D
1
2
1
3
2
3
1
2
{
,
},{
,
}{
,
},{
,
}
B B
B B
B B
C C
共
个
4
.
所有
4
(
)
15
P D =
，即这
件商品来自相同地区的概率为
2
4
15
.
41．【解析】（I）从6 名同学中随机选出2 人参加知识竞赛的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{
关注微信公众号：加油高三
X,Z},{Y,Z}
.
，共15 种
（）选出的
人来自不同年级且恰有
名男同学和
名女同学的所有可能接过为
II
2
1
1
{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}
6
，共
种. 因此，
事件M 发生的概率
6
2
(
)
.
15
5
P M =
=
42．【解析】（I）将
道甲类题依次编号为
4
1,2,3,4
2
；
道一类题依次编号为
，
5
6，任取2
道题，基本事件为：{1,2}
{1,3}
{1,4}
{1,5}
{1,6}
{2,3}
{2,4}
{2,5}
{2,6}
，
，
，
，
，
，
，
，
，
{3,4}，{3,5}
{3,6}
{4,5}
，
，
，{4,6}，{5,6}，共15 个，而且这些基本事件的出现是等可
能的．用
表示“都是甲类题”这一事件，则
包含的基本事件有
A
A
{1,2}，{1,3}，{1,4}，
{2,3}
{2,4}
{3,4}
6
，
，
，共
个，所以
( )
P A = 6
2 .
15
5
=
（II）基本事件向（），用
表示“不是同一类题”这一事件，则
包含的基本事件有
I
B
B
{1,5}
{1,6}
{2,5}
{2,6}
{3,5}
{3,6}
，
，
，
，
，
，{4,5}
{4,6}
8
，
，共
个，所以
( )
P B = 8
15
.
43．【解析】
Ⅰ
由图知，三角形边界共有
个格点内部共有
个格点．
(
)
12
,
3
从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 对格点，共
对格点
8
恰好
．所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好相
“相近”
“
近的概率
”
9
2
3
12
8
=
=
P
．
（Ⅱ）三角形共有
个格点。与周围格点的距离不超过
米的格点数都是
个的格点有
15
1
1
2 个，坐标分别为(4,0),(0,4)。
15
4
)
51
(
=
=
Y
P
所以
与周围格点的距离不超过
米的格点数都是
个的格点有
个，坐标分别为
1
2
4
(0,0), (1,3),
(2,2),(3,1)。
15
4
)
48
(
=
=
Y
P
所以
与周围格点的距离不超过
格点数都是
个的格点有
个，坐标分别为
1 米的
3
6
(1,0), (2,0),
(3,0),(0
1,) ,(0
2),(0
3,)
，
，
，
。
15
6
)
45
(
=
=
Y
P
所以
与周围格点的距离不超过
米的格点数都是
个的格点有
个，坐标分别为
，
1
4
3
(1 1), (1,2),
(2,1)．
15
3
)
42
(
=
=
Y
P
所以
如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
关注微信公众号：加油高三
概率P
15
2
15
4
15
6
15
3
46
15
690
15
126
270
192
102
15
3
42
15
6
45
15
4
48
15
2
51
)
(
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
Y
E
46
)
(
=
Y
E
．
44．【解析】（Ⅰ）当日需求量
17
n
时，利润y =85
；
当日需求量
17
n
时，利润
10
85
y
n
=
−
，
∴y 关于n 的解析式为
10
85,
17,(
)
85,
17,
n
n
y
n
N
n
−
=
；
（Ⅱ）(i)
100
这
天中有10 天的日利润为
元，
55
20 天的日利润为
元，
65
16 天的日利润
为
天的日利润为
元，所以这
天的平均利润为
75 元，54
85
100
1
(55 10
65 20
75 16
85 54)
100
+
+
+
=76
.4；
(ii) 利润不低于
元当且仅当日需求不少于
枝，故当天的利润不少于
元的概率
75
16
75
为
0.16
0.16
0.15
0.13
0.1
0.7
p =
+
+
+
+
=
45．【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10 种：红1 红2，红1红3，红
1蓝1，红1 蓝2，红2红3，红2 蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡
片的颜色不同且标号之和小于
种情况，故所求的概率为
4 的有3
3
10
P =
.
(II)加入一张标号为
的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的
种情况外，
0
10
多出
种情况：红
5
1绿0，红2 绿0，红3绿0，蓝1 绿0，蓝2 绿0
，即共有
种情况，其
15
中颜色不同且标号之和小于
的有
种情况，所以概率为
4
8
8
15
P =
.
46．【解析】（Ⅰ）
iA 表示事件“甲选择路径
iL
时，40 分钟内赶到火车站”，
iB 表示事件“乙
选择路径
iL
时，
分钟内赶到火车站”，
50
i=1,2．用频率估计相应的概率可得
1
(
)
P A
=0.1+0.2+0.3=0.6，
2
(
)
P A =0.1+0.4=0.5
，
1
(
)
P A ＞
2
(
)
P A
，甲应选择
1L ．
1
(
)
P B
=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，
2
(
)
P B
=0.1+0.4+0.4=0.9
，
2
(
)
P B
＞
1
(
)
P B
，乙应选择
2
L ．
（Ⅱ）
分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，
A,B
关注微信公众号：加油高三
由（Ⅰ）知
( )
0.6, ( )
0.9
P A
P B
=
=
,又由题意知，
独立，
A,B
(
0)
(
)
( ) ( )
0.4 0.1
0.04
P X
P AB
P A P B
=
=
=
=
=
(
1)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
P X
P AB
AB
P A P B
P A P B
=
=
+
=
+
0.4 0.9 0.6 0.1
0.42
=
+
=
(
2)
(
)
( ) ( )
0.6 0.9
0.54
P X
P AB
P A P B
=
=
=
=
=
X
的分布列为
X
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54
0 0.04 1 0.42
2 0.54
1.5.
EX =
+
+
=
47．【解析】（）甲校两男教师分别用
、
表示，女教师用
表示；
I
A
B
C
乙校男教师用
表示，两女教师分别用
、表示
D
E
F
从甲校和乙校报名的教师中各任选
名的所有可能的结果为：（，
1
A
D）（ A
E
，），（A，
F），（，
B
D），（B，），（，
E
B
F），（C，
，），（，
D），（ C
E
C
F）共9 种。
从中选出两名教师性别相同的结果有：（，
A
D），（，
，
B
D），（ C
E），（，
C
F）共
种，
4
选出的两名教师性别相同的概率为
4.
9
P =
（）从甲校和乙校报名的教师中任选
名的所有可能的结果为：
II
2
（，
A
B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（，
B
C），（，
B
D），（B，E），（，
B
F），（，
C
D），（C，），（，
E
C
F），（D，
，），（，
E），（ D
F
E
F）共
种，
15
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
（，
A
B），（，
，
A
C），（ B
C），（，
D
E），（ D，），（
F
E，）共
种，
F
6
选出的两名教师来自同一学校的概率为
6
2 .
15
5
P =
=
