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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题43 平面解析几何第三缉
1．【2016 年安徽预赛】已知抛物线C 以椭圆E 的中心为焦点，抛物线C 经过椭圆E 的两个焦点，且与椭
圆E 恰有三个交点.则椭圆E 的离心率为________.
【答案】2❑√5
5
【解析】
不妨设椭圆E 的方程为
x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0).
由抛物线C 经过椭圆E 的两个焦点，可得抛物线C 的方程为
x
2=2cy +c
2(c =
❑√a
2-b
2).
又抛物线C 与椭圆E 恰有三个交点，则c =2b.
因此，椭圆E 的离心率c
a = 2
❑√5 = 2❑√5
5
.
2．【2016 年天津预赛】椭圆x
2+k y
2=1与双曲线x
2
4 - y
2
5 =1有相同的准线.则k=______.
【答案】16
7
【解析】
双曲线的准线方程为
x =±
4
❑√4+5 =± 4
3 ,
椭圆的准线方程为
x =±
1
❑√1- 1
k
则
1
❑√1- 1
k
= 4
3 ⇒1- 1
k = 9
16 ⇒k = 16
7
3．【2016 年山西预赛】若椭圆两准线之间的距离为两焦点之间距离的两倍，则其离心率e=__________.
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【答案】
❑√2
2
【解析】
设椭圆方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，
焦点为(-c，0)，(c，0)，
准线方程为x =- a
2
c , x = a
2
c ,
两准线距离为2⋅a
2
c ,焦距为2c.
据条件知2⋅a
2
c = 4 c⇒e = c
a =
❑√2
2 .
4．【2016 年全国】已知双曲线C：x
2- y
2
3 =1，左、右焦点分别为F1、F2.过点F2作一直线与双曲线C 的
右半支交于点P、Q，使得∠F1 PQ =90°.则△F1 PQ的内切圆半径为________.
【答案】❑√7 -1
【解析】
如图所示.
由双曲线的性质知:
F1 F2=2❑√1+3= 4 , P F1- P F2=Q F1-Q F2=2.
由
∠F1 PQ =90°⇒P F❑1
2 + P F❑2
2 = F1 F❑2
2 ⇒P F1+ P F2= ❑√2(P F❑1
2 + P F❑2
2 )-(P F1- P F2)
2=
❑√2×4
2-2
2=2❑√7
从而，Rt △F1 PQ的内切圆半径为:
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r = 1
2 (F1 P+ PQ - F1Q)= 1
2 (P F1+ P F2)- 1
2 (Q F1-Q F2)= ❑√7 -1.
5．【2016 年上海预赛】已知线段AB、CD 的长分别为a、b(a、b>0)。若线段AB、CD 分别在x 轴、y 轴
上滑动，且使得A、B、C、D 四点共圆，则这些圆的圆心轨迹方程为_____________。
【答案】4 x
2- 4 y
2-a
2+b
2=0
【解析】
设所求圆的圆心为O
'( x , y).则
A(x - a
2 ,0),B(x + a
2 ,0),C(0, y - b
2), D(0, y + b
2).
注意到，A、 B、C、D 四点共圆
⇔|O
' B|
2=|O
' D|
2
⇔(
a
2)
2
+ y
2= x
2+(
b
2)
2
⇔4 x
2- 4 y
2-a
2+b
2=0.
6．【2016 年浙江预赛】在ΔABC中，∠B = π
4 ，∠C = 5 π
12 ，AC =2❑√6，AC的中点为D。若长度为3
的线段PQ（点P在点Q的左侧）在直线BC上滑动，则AP+ DQ的最小值为__________。
【答案】
❑√30+3 ❑√10
2
【解析】
由已知得BC =6.过点D作直线DE∥BC，与AB交于点E.则DE = 1
2 BC =3.于是，四边形PQDE为平行四
边形，即DQ = EP.故问题转化为：在直线BC上找一点，使得AP+ EP最小.计算得AP+ EP的最小值为
❑√30+3 ❑√10
2
.
7 ．【2016 年新疆预赛】在△ABC中，∠C =90°，∠B =30°，AC =1，M 为AB的中点. 将
△ACM 沿CM折起，使A 、B两点间的距离为❑√2. 则点A到平面BCM的距离为______.
【答案】
❑√6
3
【解析】
如图，取CM的中点D，联结AD.
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易知，AD⊥CM.
在△BCM中，作DE⊥CM 与BC交于点E，联结AE，知AE⊥CM.
则AD =
❑√3
2 ，DE =CD tan30°
❑√3
6 ，CE =2 DE =
❑√3
3
.
在△ABC中，由AC =1，AB = ❑√2，BC = ❑√3
⇒A C
2+ A B
2= BC
2
⇒∠BAC =90°.
又A C
2=1=CE⋅BC，由射影定理知
AE⊥BC ，AE = AC ⋅AB
BC
=
❑√6
3
.
由于AE⊥BC ，AE⊥CM，于是，AE⊥平面BCM.
故点A到平面BCM的距离为AE =
❑√6
3
.
8．【2016 年辽宁预赛】如图,在△ABC 中, cos C
2 = 2❑√5
5
,⃑AH ⋅⃑BC =0,⃑AB⋅(⃑CA +⃑CB)=0则过点C 且以
A、H 为两焦点的双曲线的离心率为______.
【答案】2
【解析】
由⃑AB⋅(⃑CA +⃑CB)=0⇒(⃑CB -⃑CA)⋅(⃑CA +⃑CB)=0⇒AC = BC.
由⃑AH ⋅⃑BC =0⇒AH ⊥BC.
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因为cos= C
2 = 2❑√5
5
,所以, sin C
2 =
❑√5
5
, tan C
2 = 1
2
.则tanC =
2tan C
2
1- tan
2 C
2
= 4
3
.
在Rt △ACH中,不妨设CH =3.
则AH = 4, AC = BC =
❑√A H
2+C H
2=5
.
故以A、H 为焦点的双曲线的离心率为 e =
AH
AC -CH =2
9．【2016 年湖北预赛】已知△ABC 为等边三角形，椭圆Γ的一个焦点为A，另一个焦点F 在线段BC 上．
若椭圆Γ恰经过B、C 两点，则它的离心率为________.
【答案】
❑√3
3
【解析】
设等边△ABC 的边长为x，椭圆Γ的长半轴长为a，半焦距为c.
依题意得
|AC|+|CF|=|AB|+|BF|=2a.
故F 为BC 的中点，有
x + x
2 =2a⇒a= 3
4 x.
在Rt△ACF 中，由勾股定理得
|AF|=
❑√|AC|
2-|CF|
2
= ❑√
x
2-(
x
2)
2
=
❑√3
2 x
⇒c =
❑√3
4 x.
综上，椭圆Γ的离心率为c
a =
❑√3
3
.
10．【2016 年河南预赛】已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2
，过点F1
作圆
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x
2+ y
2=a
2的切线，与双曲线的右支交于点P，且∠F1 P F2= 45
∘。则双曲线的离心率为________________。
【答案】❑√3
【解析】
记∠P F1 F2=θ.则∠P F2 F1=135
∘-θ.
设切点为M.则在RtΔO F1 M中，
sinθ = a
c ，cosθ = b
c (c =
❑√a
2+b
2)
在ΔP F1 F2中，由正弦定理得
|P F1|
sin(135
∘-θ)
=|P F2|
sinθ =|F1 F2|
sin 45
∘=2❑√2c
⇒|P F1|=2❑√2csin(135
∘-θ)
=2❑√2c(
❑√2
2 cosθ+
❑√2
2 sinθ)=2b+2a
⇒|P F2|=2❑√2csinθ =2❑√2c⋅a
c =2❑√2a
⇒|P F1|-|P F2|=(2b+2a)-2❑√2a=2a
⇒b= ❑√2a.
故该双曲线的离心率为
e = c
a = ❑√
c
2
a
2 = ❑√1+(
b
a)
2
= ❑√3.
11．【2016 年甘肃预赛】已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>1,b>0)的焦距为2c，直线l 过点（a，0）、（b，
0），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s≥4
5 c.则双曲线离心率e 的取值范围
是__________.
【答案】[
❑√5
2 ,❑√5]
【解析】
设直线l：x
a + y
b =1，即bx +ay -ab=0.
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由点到直线的距离公式，且a>1，得点（1，0）到直线l 的距离d1= b(a-1)
❑√a
2+b
2
；
点（-1，0）到直线l 的距离d2= b(a+1)
❑√a
2+b
2
.
则s=d1+d2=
2ab
❑√a
2+b
2 = 2ab
c
.
由s≥4
5 c⇒5a
❑√c
2-a
2≥2c
2
⇒5
❑√e
2-1≥2e
2
⇒4 e
4-25e
2+25≤0
⇒5
4 ≤e
2≤5(e>1)
⇒
❑√5
2 ≤e≤❑√5.
12．【2016 高中数学联赛（第01 试）】双曲线C 的方程为x
2- y
2
3 =1，左、右焦点分别为F1, F2.过点F2
作一直线与双曲线C 的右半支交于点P、Q，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ 的内切圆半径是
.
【答案】❑√7 -1
【解析】由双曲线的性质知，F1 F2=2×❑√1+3= 4，P F1- P F2=Q F1-Q F2=2.
因∠F1 PQ =90
°，故P F1
2+ P F2
2= F1 F2
2，
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因此P F1+ P F2=
❑√2(P F1
2+ P F2
2)-(P F1- P F2)
2=
❑√2×4
2-2
2=2❑√7.
从而直角△F1PQ 的内切圆半径是
r = 1
2 (F1 P+ PQ - F1Q)= 1
2 (P F1+ P F2)- 1
2 (Q F1-Q F2)= ❑√7 -1.
13 ．【2015 年浙江预赛】已知点A (3,1)，F为抛物线y
2=5 x的焦点，M为抛物线上的动点. 当
|MA|+|MF|取最小值，点M的坐标为______.
【答案】(
1
5 ,1)
【解析】
设抛物线的准线为l: x =- 5
4
.
过点M 作l的垂线，垂足为H.
则|AM|+|MF|=|AM|+|MH|≥|AH|.
当A 、M 、H三点共线时，上式等号成立，此时，点M(
1
5 ,1)
.
14．【2015 年上海预赛】在直角坐标平面xOy 上，⊙O：x
2+ y
2=1，⊙O1：(x -3)
2+ y
2= 4.过x 轴的左半
轴上一点M 作⊙O 的切线，与⊙O 切于点A，与⊙O1 分别交于点B、C.若AB = BC，则点M 的坐标为
________.
【答案】(- 4,0)
【解析】
如图，过点O1作O1 H ⊥BC于点H，则H 为BC 的中点.
设|OM|=a，得MA =
❑√a
2-1
.
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故|O1 H|= a+3
a
,|AH|
3
=
❑√a
2-1
a
⇒|AH|= 3
❑√a
2-1
a
，
|BH|=
❑√a
2-|O1 H|
2= ❑√4 -(
a+3
a )
2.
由题设及|BH|= 1
2|BC|知
|BH|= 1
3|AH|⇒❑√4 -(
a+3
a )
2
=
❑√a
2-1
a
⇒a= 4.
从而，点（-4，0）.
15．【2015 年上海预赛】设点A(2，0)，B 为椭圆弧x
2
4 + y
2
3 =1(x>0, y >0)上一点，过点B 作y 轴的垂线，
垂足为C．则四边形OABC 面积的最大值为 ______.
【答案】9
4
【解析】
设B(2cosθ ,❑√3sinθ)(θ∈(0, π
2))
.
于是，C (0,❑√3sinθ).
则S四边形ABCO =2cosθ⋅❑√3sinθ+ 1
2
(2-2cosθ)❑√3sinθ
=
❑√3
2 sin 2θ+ ❑√3sinθ.
求四边形ABCO 面积最值，只要对上式关于θ求导，并令结果为0，解得其最值点，即
2cos
2θ+cosθ -1=0
⇒θ = π
3
或0（舍去）.
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经检验，当⇒θ = π
3
时，S 四边形ABCO取最大值9
4
.
16．【2015 年上海预赛】已知椭圆域D1：x
2
3 + y
2
2 ≤1 与圆域D2：x
2+ y
2≤2.5.则区域D1与D2公共部分的
面积为______（精确到0.01），注：可用结果：在椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)中，B 为上顶点，P（x0，y0）
为椭圆第一象限部分上一点，则S扇形OBP= ab
2 arcsin x0
a
.
【答案】7.27
【解析】
设区域D1与D2的交点为P.于是，P(
❑√6
2 ,1)
.
由对称性只要考虑第一象限中的公共区域的面积S扇形BOP+ S扇形OAP即可.
又S扇形BOP=
❑√3×❑√2
2
arcsin
❑√6
2
❑√3 × π
360 =
❑√6 π
8
≈0.9615，
S扇形OAP= 5 π
2 ⋅
❑√6
2
360 ≈0.8555，
故所求面积为4(S扇形BOP+ S扇形OAP)≈7.27.
17．【2015 年天津预赛】设O为原点，A为抛物线x = 1
4 y
2+1上的动点，B为抛物线y = x
2+ 4上的动点.则
ΔOAB面积的最小值为__________.
【答案】2
【解析】
设A (s
2+1,2s)，B(t ,t
2+ 4).则lOB:(t
2+ 4) x -ty =0.
记点A到直线OB的距离为h，有h=|(t
2+ 4)(s
2+1)-t ⋅2s|
❑√(t
2+ 4)
2+t
2
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故S ΔOAB= 1
2 OBh
= 1
2|(t
2+ 4)(s
2+1)-2st|
= 1
2 [s
2t
2+3 s
2+(s-t
2)]≥2.
当s=t =0时，上式等号成立.
18．【2015 年安徽预赛】给定定点P(0,1)，动点Q满足线段PQ的垂直平分线与抛物线y = x
2相切.则点Q的
轨迹方程为______.
【答案】(2 y -1) x
2+2( y +1)( y -1)
2=0(-1≤y < 1
2)
【解析】
设PQ的垂直平分线l与抛物线y = x
2切于点(t ,t
2)，切向量为(1,2t ).
则直线l: y =2t (x -t )+t
2.
设Q (x , y).
由PQ⊥l 且PQ中点在直线l上知
¿
由式①解得t =
x
2-2 y
.
代入式②得点Q的轨迹方程为(2 y -1) x
2+2( y +1)( y -1)
2=0(-1≤y < 1
2)
.
19．【2015 年陕西预赛】如图，以双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a 、b>0)上一点M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲
线的一个焦点F，且与y轴交于P、Q两点.若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率为______.
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【答案】❑√3
【解析】
因为⊙M 与x轴相切于双曲线的焦点F，所以，|MF|= b
2
a
，点M 到y轴的距离为c.
从而，正△MPQ的边长为b
2
a
，边PQ上的高为c.
由c =
❑√3
2 ⋅b
2
a ⇒2ac = ❑√3(c
2-a
2).
解得c
a = ❑√3，即双曲线的离心率为❑√3.
20．【2015 年山西预赛】设椭圆x
2
a
2 + y
2
b2
=1(a>b>0)的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形三顶点.若
焦点到椭圆上的点的最短距离为❑√3，则(a,b)=________.
【答案】(2❑√3,3)
【解析】
如图所示，设焦点为F1(-c ,0), F2(c ,0)，其中，c =
❑√a
2-b
2，长轴一端点为A (a,0)，短袖一端点为
B (0,b).
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则B F1= B F2= F1 F2,且B F1+ B F2=2a.
于是，a=2c.
又设P 为椭圆上任意一点，则
P F1+ P F2=2a=(a+c)+(a-c).
因为P F1≤F1O+OP≤c +a，所以，P F2≥a-c.
故焦点到椭圆上的点最短距离为a-c，此时，点P 与长轴端点重合，即a-c = ❑√3.
于是，c = ❑√3，a=2❑√3，b=3.
因此，(a,b)=(2❑√2,3).
21．【2015 年辽宁预赛】设F1、F2为椭圆C 的两个焦点,AB为椭圆一条过点F2的弦,且在△FAB中,
|F1 A|=3,|AB|= 4 ,|B F1|=5.则tan∠F2 F1B =______.
【答案】1
7
【解析】
设椭圆方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1.
于是, F1(-c ,0), F2(c ,0)，e = c
a
.
设A(x1, y1),B(x2, y2) 则|F1 A|=a+e x1=3,
|F1B|=a+e x2=5，
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|AB|=|F2 A|+|F2B|=a-e x1+a-e x2= 4，
以上三式相加解得a=3.
从而, x1=0,即点A 在y轴上
由|F1 A|
2+|AB|2=|F1B|
2⇒∠F1 A F2=90°
⇒tan∠A F1 F2=|A F2|
|A F1|
，tan∠A F1B = |AB|
|A F1|
= 4
3
⇒tan∠F2 F1B = tan(∠A F1B -∠A F1 F2)=
tan∠A F1B - tan∠A F1 F2
1+ tan∠A F1B⋅tan∠A F1 F2
= 1
7
.
22．【2015 年江西预赛】设直线l过点M (1,2).若直线l被两平行线4 x +3 y +1=0与4 x +3 y +6=0所截得
的线段长为❑√2，则直线l的方程为________。
【答案】x +7 y =15 或7 x - y =5
【解析】
设直线l: y -2=k (x -1).
将此方程分别与题中两平行线方程联立，解得交点坐标：
A(
3k -7
3k + 4 ,-5k +8
3k + 4 )，B(
3k -12
3k + 4 ,-10k +8
3k + 4 )
.
据|AB|= ❑√2，⇒❑√(
5
3k + 4)
2
+(
5k
3k + 4)
2
= ❑√2⇒25(k
2+1)
(3k + 4)
2 =2⇒k1=7,k2=- 1
7
.
分别代入所设方程得：x +7 y =15 或7 x - y =5.
23．【2015 年江苏预赛】设以F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点的椭圆的离心率为e,以F1
为顶点、F2
为焦点的抛
物线与椭圆的一个交点为P，若|P F1|
|P F2|
=e，则e 的值为________.
【答案】
❑√3
3
【解析】
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在抛物线中，p=4,|P F2|为点P 到准线的距离.
在椭圆中，|P F1|
|P F2|
=e，|P F2|也为点P 到左准线的距离.
则抛物线准线与椭圆的准线重合.
故a
2
c =3.因为c=1，所以,e =
❑√3
3 .
24．【2015 年湖南预赛】设直线系
：
，对于下列四个命题：
①
中所有直线均经过一个定点；
②存在定点
不在
中的任一条直线上；
③对于任意整数
，存在正
边形，其所有边均在
中的直线上；
④
中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代号）
【答案】②③
【解析】
试题分析：根据直线系
：
得到所有直线都是圆心为（0，2），
半径为1 的圆的切线，故所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以①错；存在（0，2）不在
中的任
一条直线上，所以②正确；由于圆
的外切正
边形所有的边都在直线系
中，所以③正
确；
中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，所以它们的面积不一定相等，所以④错，故填
②③．
考点：1、直线系方程；2、直线与圆的位置关系．
【方法点睛】直线与圆的位置关系考虑三法：（1）确定直线所过的定点，判断定点在圆内；（2）通过判
断圆心到直线的距离与半径的大小关系而实现；（3）通过将直线方程与圆方程联立消元后，利用判别式
判断，此法是判断直线与圆锥曲线位置关系的通法．
25．【2015 年湖北预赛】已知
是椭圆
的两个焦点，A、B 分别为该椭圆的左顶点、上顶
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点，点P 在线段AB 上，则
的取值范围是 ________.
【答案】
【解析】由
是椭圆
的两个焦点，A、B 分别为该椭圆的左顶点、上顶点，可得
，
，设
，因为点P 在线段AB 上，所以，
，故答案为
.
26．【2015 年黑龙江预赛】
为双曲线
右支上一点，
、
分别是圆
和
上的点，则
的最大值为________．
【答案】
【解析】
试
题
分
析
：
因
为
圆
和
上
的
点
，
所
以
圆
心
，
为双曲线
右支上一点，由双曲线的定义可知
，可知
的最大值为
．
考点：双曲线的简单的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、圆的性质，着重考查了运用点与圆
的位置关系可判断最值和双曲线的定义的应用，属于中档试题，本题的解答中结合双曲线的定义，点与圆
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的位置关系列出数学表达式求解判断，把动点的距离转化为到点的定圆心的距离问题的求解．
27．【2015 年河南预赛】设双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>1,b>1）的焦距为2c，直线l过点 (a,0)(0,b) ，且点
（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离和S≥4 c
5
. 则双曲线的离心率e 的取值范围是
__________.
【答案】[
❑√5
2 ,❑√5]
【解析】
设直线l: x
a + y
b =1.于是，点（1，0）到直线l的距离为：
|
1
a -1|
❑√
1
a
2 + 1
b
2
=|b-ab|
c
= (a-1)b
c
(a>1)，
点（-1，0）到直线l的距离为
|- 1
a -1|
❑√
1
a
2 + 1
b
2
= (a+1)b
c
.
则S = (a+1)b
c
+ (a-1)b
c
= 2ab
c
≥4
5 c
⇔5ab≥2c
2⇔5a
❑√c
2-a
2≥2c
2
⇔5
❑√e
2-1≥2e
2⇔4 e
4-25e
2+25≤0
⇔(4 e
2-5)(e
2-5)≤0⇔5
4 ≤e
2≤5.
又e>1，从而，
❑√5
2 ≤e≤❑√5.
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28．【2015 年甘肃预赛】设双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,A 为双曲线渐近线上
的一点,A F2⊥F1 F2,原点O 到直线AF1的距离为1
3|O F1|.则双曲线的离心率为______.
【答案】
❑√6
2
【解析】
由点O到直线AF1的距离为1
3 |OF |,知sin ∠A F1 F2= 1
3
则tan∠A F1 F2= |A F2|
|F1 F2|
=
1
2❑√2
. ①
设F1 F2=2c,渐近线方程为y = b
a x，于是,A(c , bc
a )
.
由式①得
bc
a
2c =
1
2❑√2 ⇒b
a =
❑√2
2 ⇒e = c
a = ❑√
a
2+b
2
a
2
= ❑√
1+(
b
a)
2
=
❑√6
2
.
29．【2015 年福建预赛】设F1、F2
为椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点.若椭圆C上存在一点P，
使得P F1⊥P F2，则椭圆离心率e的取值范围是__________.
【答案】[
❑√2
2 ,1)
【解析】
设A为椭圆C的上顶点.依题意有∠F1 A F2≥90°⇒∠F2 AO≥45°，
⇒c≥b⇒a≤❑√2c⇒
❑√2
2 ≤e<1.
30．【2015 高中数学联赛（第01 试）】在平面直角坐标系xOy 中，点集K=
{( x , y)|(| x|+|3 y |-6)(|3 x|+| y |-6)≤0}所对应的平面区域的面积为
.
【答案】24
【解析】设K 1={( x , y)|| x|+|3 y |-6⩽0}，
先考虑K1在第一象限中的部分，此时有x +3 y ⩽6，
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故这些点对应于图中的△OCD 及其内部，由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD
及其内部.
同理，设K 2={( x , y)||3 x|+| y |-6⩽0}，
则K2对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部.
由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被K1，K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图
中阴影区域的面积S.
由于直线CD 的方程为x +3 y =6，直线GH 的方程为3 x + y =6，
故它们的交点P 的坐标为(
3
2 , 3
2)
，由对称性知S =8 SΔCPG=8× 1
2 ×4× 3
2 =24.
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