十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式选讲
目录
题型一：含绝对值不等式的解法...........................................................1
题型二：不等式的最值..........................................................................8
题型三：含绝对值不等式的成立问题..................................................10
题型四：含绝对值函数的图像及其应用..............................................11
题型五：不等式证明............................................................................17
题型一：含绝对值不等式的解法
1．(2021 年高考全国乙卷理科·第23 题)已知函数
．
(1)当
时，求不等式
的解集;
(2)若
，求a 的取值范围．
【答案】(1)
．(2)
．
解析：(1)当
时，
，
表示数轴上的点到和
的距离之和，
则
表示数轴上的点到和
的距离之和不小于
，故
或
，
所以
的解集为
．
(2)依题意
，即
恒成立，
，故
，
所以
或
，
解得
．
所以
的取值范围是
．
【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．
2．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第23 题)已知函数
．
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)若
，求a 的取值范围．
【答案】(1)
或
；(2)
．
解析：(1)当
时，
．
当
时，
，解得：
；
当
时，
，无解；
当
时，
，解得：
；
综上所述：
的解集为
或
．
(2)
(当且仅当
时取等号)，
，解得：
或
，
的取值范围为
．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．
3．(2020 江苏高考·第23 题)设
，解不等式
．
【答案】
【解析】
或
或
或
或
,所以解集为
4．(2019·全国Ⅱ·理·第23 题)已知函数
．
当
时，求不等式
的解集；
当
时，
，求
的取值范围．
【答案】
；
【官方解析】
当
时，
.
当
时，
；当
时，
.
所以，不等式
的解集为
.
因为
，所以
.
当
，
时，
所以，
的取值范围是
.
【分析】
根据
，将原不等式化为
，分别讨论
，
，
三种情况，即可求出结果；
分别讨论
和
两种情况，即可得出结果.
【解析】
当
时，原不等式可化为
；
当
时，原不等式可化
，即
，显然成立，
此时解集为
；
当
时，原不等式可化为
，解得
，此时解集为空集；
当
时，原不等式可化为
，即
，显然不成立；此时解集
为空集；
综上，原不等式的解集为
；
当
时，因为
，所以由
可得
，
即
，显然恒成立；所以
满足题意；
当
时，
，因
时，
显然不能成立，所以
不满足题意；
综上，
的取值范围是
.
【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.
5．(2019·江苏·第23 题)设
，解不等式
.
【答案】见解析
【解析】当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式可化为
，即
，无解；
当
时，原不等式可化为
，解得
.
综上，原不等式的解集为
.
6．(2015 高考数学新课标1 理科·第24 题)(本小题满分10 分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
．
(Ⅰ)当
时，求不等式
的解集；
(Ⅱ)若
的图像与
轴围成的三角形面积大于6，求
的取值范围
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)(2，+∞)
分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式
f(x)>1 化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将
化为分段函
数，求出
与
轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于
的不等
式，即可解出
的取值范围．
解析：(Ⅰ)当a=1 时，不等式
f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|＞1，
等价于
或
或
，解得
，
所以不等式
f(x)>1 的解集为
．
(Ⅱ)由题设可得，
，
所以函数
的图像与
轴围成的三角形的三个顶点分别为
，
，
，所以△ABC 的面积为
．
由题设得
＞6，解得
．
所以
的取值范围为(2，+∞)．
7．(2015 高考数学江苏文理·第24 题)解不等式
【答案】
分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可
解析：原不等式可化为
或
．
解得
或
．
综上，原不等式的解集是
．
8．(2014 高考数学课标2 理科·第24 题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．
设函数
=
(Ⅰ)证明：
2；
(Ⅱ)若
，求
的取值范围．
【答案】解析：(Ⅰ)
，
仅当
时等号成立，所以
2．
(Ⅱ)
=
当
时，
=
，解得
当
时，
=
，解得
综上所述，
的取值范围为
．
9．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23 题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数
2
4
f x
x
ax
,
1
1
g x
x
x
．
(1)当
1
a
时,求不等式
f x
g x
的解集;
(2)若不等式
f x
g x
的解集包含
1,1
,求a 的取值范围
【答案】(1)
1
17
1
2
x
x
;(2)
1,1
．
【分析】(1)将
1
a
代入,不等式
( )
( )
f x
g x
等价于
2
|
1|
|
1| 4
0
x
x
x
x
,对x 按
1
x ,
1
1
x
,
1
x
讨论,得出最值的解集;(2)当
[ 1,1]
x
时, ( )
2
g x
．若
( )
( )
f x
g x
的解集包含
[ 1,1]
,等价于当
1,1
x
时,
2
f x
,则
f x 在
1,1
的最小值必为
1
f
与
1
f
之一,所以
1
2
f
且
1
2
f
,得1
1
a
,所以a 的取值范围为
1,1
．
【解析】(1)当
1
a
时,不等式
f x
g x
等价于
2
1
1
4
0
x
x
x
x
①
当
1
x 时,①式化为
2
3
4
0
x
x
,无解;
当1
1
x
时,①式化为
2
2
0
x
x
,从而1
1
x
;
当
1
x
时,①式化为
2
4
0
x
x
,从而
1
17
1
2
x
所以不等式
f x
g x
的解集为
1
17
1
2
x
x
(2)当
1,1
x
时,
2
g x
所以
f x
g x
的解集包含
1,1
,等价于当
1,1
x
时,
2
f x
又
f x 在
1,1
的最小值必为
1
f
与
1
f
之一,所以
1
2
1
2
f
f
,得1
1
a
．
所以a 的取值范围为
1,1
．
10．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23 题)[选修4—5：不等式选讲](10 分)
已知函数
1
2
f x
x
x
．
(1)求不等式
1
f x
的解集；
(2)若不等式
2
f x
x
x
m
的解集非空，求m 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)
1
x x
;(Ⅱ)
5
-
，4
【解析】(1)因为
3,
1
1
2
2
1, 1
2
3,
2
x
f x
x
x
x
x
x
所以不等式
1
f x
等价于
1
3
1
x
或
1
2
2
1 1
x
x
或
2
3
1
x
由
1
3
1
x
x 无解；由
1
2
2
2
x
x
1
2
x
；由
2
3
1
x
2
x
综上可得不等式
1
f x
的解集为
1,．
(2)解法一：先求不等式
2
f x
x
x
m
的解集为空集时m 的取值范围
不等式
2
f x
x
x
m
的解集为空集等价于不等式
2
m
f x
x
x
恒成立
记
2
F x
f x
x
x
2
2
2
3,
1
3
1, 1
2
3,
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，则
max
m
F x
当
1
x 时，
2
2
1
11
3
1
5
2
4
F x
x
x
x
F
当1
2
x
时，
2
2
3
5
3
5
3
1
2
4
2
4
F x
x
x
x
F
当
2
x
时，
2
2
1
13
3
2
1
2
4
F x
x
x
x
F
所以
max
3
5
2
4
F x
F
所以不等式
2
f x
x
x
m
的解集为空集时，
5
4
m
所以不等式
2
f x
x
x
m
的解集非空时，m 的取值范围为
5
, 4
．
解法二：原式等价于存在x
R
，使
2
( )
f x
x
x
m
成立，即
2
max
[ ( )
]
f x
x
x
m
设
2
( )
( )
g x
f x
x
x
由(1)知
2
2
2
3
,
1
( )
3
1 ,
1
2
3
,
2
x
x
x
g x
x
x
x
x
x
x
当
1
x 时，
2
( )
3
g x
x
x
，其开口向下，对称轴
1
1
2
x
所以
1
1 1 3
5
g x
g
当1
2
x
时，
2
3
1
g x
x
x
，其开口向下，对称轴为
3
2
x
所以
3
9
9
5
1
2
4
2
4
g x
g
当
2
x
时，
2
3
g x
x
x
，其开口向下，对称轴为
1
2
x
所以
2
4
2
3
1
g x
g
综上
max
5
4
g x
所以m 的取值范围为
5
, 4
．
11．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第24 题)选修4—5:不等式选讲
已知函数
.
(Ⅰ)当
时,求不等式
的解集;
(Ⅱ)设函数
,当
时,
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ)当
时,
.
解不等式
,得
.因此,
的解集为
.
(Ⅱ)当
时,
当
时等号成立.
所以当
时,
等价于
.①
当
时,①等价于
,无解.
当
时,①等价于
,解得
所以的取值范围是
.
题型二：不等式的最值
1．(2018 年高考数学江苏卷·第24 题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10 分)
若x，y，z 为实数，且x+2y+2z=6，求
的最小值．
【答案】4
证明：由柯西不等式，得
．
因为
，所以
，
当且仅当
时，不等式取等号，此时
，
所以
的最小值为4．
2．(2014 高考数学课标1 理科·第24 题)选修4—5:不等式选讲
若
0,
0
a
b
>
> ,且
1
1
ab
a
b
+ =
．
(1)求
3
3
a
b
+
的最小值;
(2)是否存在,a b ,使得2
3
6
a
b
+
= ?并说明理由．
【答案】解析:(1)由
1
1
2
ab
a
b
ab
=
+
,得
2
ab
,且当
2
a
b
= =
时等号成立,
故
3
3
3
3
3
4 2
a
b
a b
+
,且当
2
a
b
= =
时等号成立,
∴
3
3
a
b
+
的最小值为4 2 ．
(2)由6
2
3
2 6
a
b
ab
=
+
,得
3
2
ab
,又由(1)知
2
ab
,二者矛盾,
所以不存在,a b ,使得2
3
6
a
b
+
= 成立．
3．(2015 高考数学陕西理科·第24 题)(本小题满分10 分)选修4-5：不等式选讲
已知关于
的不等式
的解集为
．
(Ⅰ)求实数
，
的值；
(Ⅱ)求
的最大值．
【答案】(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)
．
分析：(Ⅰ)先由
可得
，再利用关于
的不等式
的解集为
可得
，
的值；(Ⅱ)先将
变形为
，再利用柯西不等
式可得
的最大值．
解析：(Ⅰ)由
，得
则
解得
,
(Ⅱ)
当且仅当
，即
时等号成立，
故
．
4．(2015 高考数学福建理科·第23 题)选修4-5：不等式选讲
已知
，函数
的最小值为4．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求
的最小值．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
．
解析：(Ⅰ)因为
，当且仅当
时，
等号成立，又
，所以
,所以
的最小值为
,
所以
．
(Ⅱ)由(1)知
，由柯西不等式得
,
即
．
当且仅当
,即
时，等号成立
所以
的最小值为
．
题型三：含绝对值不等式的成立问题
1．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23 题)[选修4－5：不等式选讲](10 分)
设函数
．
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】解析：(1)当
时，
可得
的解集为
．
(2)
等价于
．
而
，且当
时等号成立，故
等价于
．
由
可得
或
，所以
的取值范围是
．
2．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23 题)[选修4–5：不等式选讲](10 分)已知
．
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)若
时不等式
成立，求
的取值范围．
【答案】解析：(1)当
时，
，即
故不等式
的解集为
．
(2)当
时
成立等价于当
时
成立．
若
，则当
时
；
若
，
的解集为
，所以
，故
．
综上，
的取值范围为
．
题型四：含绝对值函数的图像及其应用
1．(2023 年全国甲卷理科·第23 题)设
，函数
．
(1)求不等式
的解集；
(2)若曲线
与
轴所围成的图形的面积为2，求
．
【答案】(1)
(2)2
解析：(1)若
,则
,
即
,解得
,即
,
若
,则
,
解得
,即
,
综上,不等式的解集为
．
(2)
．
画出
的草图,则
与
轴围成
,
的高为
,所以
,
所以
,解得
．
2．(2023 年全国乙卷理科·第23 题)已知
．
(1)求不等式
的解集；
(2)在直角坐标系
中，求不等式组
所确定的平面区域的面积．
【答案】(1)
；
(2)8．
解析：(1)依题意，
，
不等式
化为：
或
或
，
解
，得无解；解
，得
，解
，得
，
因此
，
所以原不等式的解集为：
(2)作出不等式组
表示的平面区域，如图中阴影
，
由
，解得
，由
, 解得
，又
，
所以
的面积
．
3．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第23 题)已知函数
．
(1)画出
的图像；
(2)求不等式
的解集．
【答案】(1)详解解析；(2)
．
【解析】(1)因为
，作出图象，如图所示：
(2)将函数
的图象向左平移个单位，可得函数
的图象，如图所示：
由
，解得
．
所以不等式
的解集为
．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，
属于基础题．
4．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第24 题)(本小题满分10 分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
．
(I)画出
的图像；
(II)求不等式
的解集．
【答案】 (I)见解析 (II)
【官方解答】(I)
，
如图所示：
(II)由
得表达式及图像，当
时，得
或
当
时，得
或
故
的解集为
；
的解集为
，解集为
．
【民间解答】(I)
如上图所示：
(II)
当
，
，解得
或
当
，
，解得
或
或
当
，
，解得
或
或
综上，
或
或
，解集为
．
5．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23 题)【选修4—5：不等式选讲】(10 分)
设函数
．
(1)画出
的图象；
(2)当
时，
，求
的最小值．
【答案】【官方解析】(1)
的图像如图所示
(2)由(1)知，
的图像与
轴交点的纵坐标为
，且各部分所在直线斜率的最大值为
，故
当且仅当
且
时，
在
成立，因此
的最小值为
．
【民间解析】(1)
，可作出函数
的图象如下图
(2)依题意可知
在
上恒成立，在
上也恒成立
当
时，
恒成立即
在
上恒成立
所以
，且
，此时
，
当
时，
即
恒成立
结合
，可知
即
综上可知
，所以当
，
时，
取得最小值
．
题型五：不等式证明
1．(2017 年高考数学江苏文理科·第24 题)[选修4-5:不等式选讲]
已知, , ,
a b c d 为实数,且
2
2
2
2
4,
16,
a
b
c
d
证明
8.
ac
bd
≤
【答案】解析:证明:由柯西不等式得,直线l 的普通方程为
2
2
2
2
2
(
)
(
)(
)
ac
bd
a
b
c
d
≤
．
因为
2
2
4
a
b
,
2
2
16
c
d
,
所以
2
(
)
64
ac
bd
≤
,
因此
8.
ac
bd
≤
2．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第23 题)已知a，b，c 均为正数，且
，证明：
(1)
；
(2)若
，则
．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】(1)证明：由柯西不等式有
，
所以
，当且仅当
时，取等号，所以
；
(2)证明：因为
，
，
，
，由(1)得
，
即
，所以
，
由权方和不等式知
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
3．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第23 题)设a，b，c
R，a+b+c=0，abc=1．
(1)证明：ab+bc+ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥
．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．
解析：(1)
，
均不为
，则
，
；
(2)不妨设
，
由
可知，
，
，
．
当且仅当
时，取等号，
，即
．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．
4．(2019·全国Ⅲ·理·第23 题)设
，且
．
(1)求
的最小值；
(2)若
成立，证明：
或
．
【答案】(1)
；(2)见详解．
【官方解析】(1)由于
故
由
已
知
得
，
当
且
仅
当
时等号成立．
所以
的最小值为
．
(2)由于
故
由
已
知
得
，
当
且
仅
当
时等号成立．
因此
的最小值为
由题设知
，解得
或
．
【解法2】柯西不等式法
(1)
，
故
，当且仅当
时等号成立．
所以
的最小值为
．
(2)
，所以
．当且仅当
时等号成立．
成立．
所以
成立，所以有
或
．
【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．
5．(2019·全国Ⅰ·理·第23 题)已知
，
，
为正数，且满足
．证明：
(1)
；
(2)
．
【答案】解：(1)因为
，又
，故有
．所以
.
(2)因为
为正数且
，故有
所以
．
6．(2014 高考数学辽宁理科·第24 题)(本小题满分10 分)选修4-5：不等式选讲
设函数
，
，记
的解集为M，
的解集为
N．
(1)求M；
(2)当
时，证明：
．
【答案】(1)[0，
]；(2)见解析．
解析：(1)由f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得
①，或
②．
解①求得1≤x≤
，解②求得 0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，
]．
(2)由g(x)=16x2﹣8x+1≤4，求得
≤x≤
，∴N=[
，
]，∴M∩N=[0，
]．
∵当x∈M∩N 时，f(x)=1﹣x，x2f(x)+x[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]
=
≤
，
故要证的不等式成立．
7．(2014 高考数学江苏·第24 题)【选修4 - 5：不等式选讲】
已知
，证明：
．
【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]．
解析：本小题主要考查本小题满分10 分．
证法一：因为
，所以
，
故
．
证法二：(柯西不等式)
．
证法三：因为
，所以
，
．
故
． (江苏苏州 褚小光)
证法四：因为
，所以
，
．
故
．
8．(2014 高考数学福建理科·第23 题)(本小题满分7 分)选修4—5：不等式选讲
已知定义在
上的函数
的最小值为
．
(I)求
的值；
(II)若
为正实数，且
，求证：
．
【答案】选修
：不等式选讲
解析：(I)因为
．
当且仅当
时，等号成立．
所以
的最小值等于
，即
．
(II)由(I)知
，又因为
是正实数，所以
即
．
9．(2015 高考数学新课标2 理科·第24 题)(本小题满分10 分)选修4-5 不等式选讲
设
均为正数，且
，证明：
(Ⅰ)若
，则
；
(Ⅱ)
是
的充要条件．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析．
解析：(Ⅰ)因为
，
，由题设
，
，得
．因此
．
(Ⅱ)(ⅰ) 若
，则
．即
．因为
，所以
，由(Ⅰ)得
．
(ⅱ)若
，则
，即
．因
为
，所以
，于是
．因此
，综上，
是
的充要条件．
10．(2015 高考数学湖南理科·第18 题)设
，且
．证明:
(1)
；
(2)
与
不可能同时成立．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．
分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为ab=1，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法，
假设假设a2+a<2 与b2+b<2 同时成立，可求得0<a<1 ，0<b<1，从而与ab=1矛盾，即可
得证
解析：由
a+b=1
a + 1
b =a+b
ab
，a>0 ，b>0 ，得ab=1，(1) 由基本不等式及ab=1，有
a+b≥2√ab=2，即a+b≥2；(2) 假设a2+a<2 与b2+b<2 同时成立，则由a2+a<2 及
a>0 得0<a<1 ，同理0<b<1 ，从而ab <1，这与ab=1矛盾，故a2+a<2 与b2+b<2不可能
成立．
11 ．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科· 第23 题)[ 选修4-5 ：不等式选讲](10 分) 已知
3
3
0,
0,
2
a
b
a
b
，证明：
(1)
3
3
(
)(
)
4
a
b a
b
；
(2)
2
a
b
．
【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式
【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：
5
5
2
2
2
2
2
2
3
3
2
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
a
b a
b
a
b
a a
b b
a
b
解法二：
5
5
6
6
5
5
3
3
2
5
5
3
3
(
)(
)
(
)
2
a
b a
b
a
b
ab
a b
a
b
ab
a b
a b
3
3
2
6
6
3
3
3
3
2
(
)
2
2
(
)
4
a
b
a b
a b
a
b
解法三：
2
5
5
5
5
3
3
5
5
3
3
4
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
ab
a b
a b
又
0,
0
a
b
，所以
2
5
5
3
3
2
2
2
0
ab
a b
a b
ab a
b
．
当a
b
时，等号成立．
所以，
5
5
4
0
a
b
a
b
，即
5
5
(
)(
)
4
a
b a
b
．
(2)解法一：由
3
3
2
a
b
及
2
(
)
4
a
b
ab
得
2
2
2
2
(
) (
)
(
)
(
)
3
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
ab
2
2
3
3(
)
(
)
(
)
4
(
)
4
a
b
a
b
a
b
a
b
所以
2
a
b
．
解法二：(反证法)假设
2
a
b
，则
2
a
b
，两边同时立方得：
3
3
2
3
(2
)
8 12
6
a
b
b
b
b
，
即
3
3
2
8 12
6
a
b
b
b
，因为
3
3
2
a
b
，
所以
2
6 12
6
0
b
b
，即
2
6(
1)
0
b
，矛盾，所以假设不成立，
即
2
a
b
．
解法三：因为
3
3
2
a
b
，
所以：
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
8
4
3
3
4
4
a
b
a
b
a
b
a
a b
ab
b
a
b
2
2
2
3
3
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
．
又
0,
0
a
b
，所以:
2
3
0
a
b
a
b
。
所以，
3
8
a
b
，即
2
a
b
．
12．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第24 题)(本小题满分10 分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
，
为不等式
的解集．
(I)求
；
(II)证明：当
时，
．
【答案】(1)
；(2)见解析
【官方解答】(1)
当
时，由
得
，解得
；
当
时，
恒成立；
当
时，由
，得
，解得
．
所以
的解集
．
(2)由(1)知，当
时，
，
，从而
．
因此
．
【民间解答】⑴当
时，
，若
；
当
时，
恒成立；
当
时，
，若
，
．
综上可得，
．
⑵当
时，有
即
，
则
，
则
，
即
，
证毕．
13．(2016 高考数学江苏文理科·第24 题)[选修4-5：不等式选讲]
设
，
，
，求证：
．
【答案】详见解析；
【官方解答】因为
，
，
所以
．
民间解答：由
可得
，
．
