文档文本内容
专题5 空间向量与立体几何
01 专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02 考情分析·解密高考
03 高频考点·以考定法（四大命题方向+五道高考预测试题，高考必考22-27 分）
命题点1 多面体表面积体积问题
命题点2 多面体内切外接问题
命题点3 空间几何体中角度问题
命题点4 空间几何体中动点问题
04 创新好题·分层训练（ 精选9 道最新名校模拟试题+9 道易错提升）
空间几何体常用以及易错知识点
空间角
向量求法
范围
异面直线所
成的角
设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为v1，v2，则cos θ=|
cos<v1，v2>|=|v1⋅v2|
|v1||v2| (θ 与<v1，v2>相等或互补)
(0，π
2]
直线与平面
所成的角
设直线l 与平面α 所成的角为θ，l 的方向向量为v，平面α 的法向量为
n，则sin θ=|cos<v，n>|=|v ⋅n|
|v||n|
(θ =<v ，n>−π
2 或π
2 −<v ，n>)
(0，π
2]
两个平面所
成的角
设平面α，β 所成的角为θ，平面α，β 的法向量分别为n1，n2，则cos θ=|
cos<n1，n2>|=|n1⋅n2|
|n1||n2| (θ 与<n1，n2>相等或互补)
(0，π
2]
(1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；
(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平
面所成的角. 两个平面平行时，它们所成的角为0.
空间距离
向量求法
点到直线的
距离
设直线l 的方向向量为v，点P 为l 外一点，点A 为l 上任一点，则点P 到l 的距离
d=√
|⃗AP|
2−(
| AP
→
⋅v |
|v |
)
2
点到平面的
距离
设n 为平面α 的法向量，点A 为平面α 内任一点，则平面α 外任一点P 到平面α 的
距离d=|⃗AP⋅n|
|n|
两平行线间
的距离
在平行直线m，n 上分别任取一点A，P，设直线m 的方向向量为v，则两平行线
m，n 间的距离d=√
|⃗AP|
2−(
|⃗AP⋅v |
|v |
)
2
(也可转化为点线距求解)
两平行平面
间的距离
在平行平面α，β 上各取一点A，B，设平面α 的法向量为n，则两平行平面α，β
之间的距离d=|⃗AB⋅n|
|n|
(也可转化为点面距求解)
1. 四点共面的充要条件
空间中任一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，
使⃗MP=x⃗MA+y⃗MB，或对空间中任一点O，有⃗OP=⃗OM+x⃗MA+y⃗MB
(或⃗OP=(1-x-y)·⃗OM+x⃗OA+y⃗OB).
2. 定比分点坐标公式
已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M 在直线AB 上，⃗AM=λ⃗MB (λ∈R 且λ≠-1)则称点M 为
有向线段⃗AB的定比分点，其坐标为(
x1+ λ x2
1+ λ
，y1+ λ y2
1+ λ
，z1+ λ z2
1+ λ ).
空间几何体是高考中必考点，一般以2+1 或者是3+1 形式出现，主要考查多面体体积以及内
切外接问题，必考题型为空间二面角问题
真题多维细目表
考点
考向
考题
立体几何
①
多面体
表面积体积问题
②
多面体
内切外接问题
③空间几何题角度问题
④空间几何体动点问题
2023 新全国Ⅰ卷T12 T14 全国ⅡT9 T14
全国乙T8 全国甲T11
2022 全国甲卷T9 新全国Ⅰ卷T4 全国Ⅱ T11
2021 全国Ⅰ卷T20
2023 新高考Ⅰ卷T12 全国乙卷T16 全国甲卷T15
2022 全国乙卷T9 新高考Ⅰ卷T8 全国ⅡT7
2021Q 全国甲卷T7
2023 新高考Ⅰ卷T18 全国乙卷T19 全国甲卷T18
2022 全国乙卷T18 新高考ⅡT20 新高考Ⅰ卷T19 甲卷
T18
2021 全国乙卷T5 T18 新高考Ⅰ卷T20
2023 新高考ⅠT18
2021 全国甲卷T19
命题点1 多面体表面积体积问题
典例01．（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分
别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例02 （2023·全国Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，
点C 在底面圆周上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
典例03．（2023·全国·Ⅰ卷）在正四棱台
中，
，则该棱台的体
积为 ．
典例04．（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
．
(1)求证：
//平面
；
(2)若
，求三棱锥
的体积．
命题点2 多面体内切外接问题
典例01 （2022·全国Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，
且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例02（2023·全国Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚
度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱体
D．底面直径为
，高为
的圆柱体
典例03．（2023·全国乙卷）已知点
均在半径为2 的球面上，
是边长为3 的等边三角形，
平面
，则
．
典例04 （2023·全国甲卷）在正方体
中，E，F 分别为AB，
的中点，以EF 为直径
的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点
命题点3 空间几何体中角度问题
典例01（线面角问题）
（2022·全国甲卷）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成的角均为
，
则（ ）
A．
B．AB 与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
典例02（线面角、线线角问题）
（2022·全国Ⅰ卷）已知正方体
，则（ ）
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
典例03（线面角解答题）
3．（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱
中，
底面ABC，
，
到平面
的距离为1．
(1)证明：
；
(2)已知
与
的距离为2，求
与平面
所成角的正弦值．
典例04（二面角问题）
（2023·全国·Ⅱ卷）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为
BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
命题点4 空间几何体中动点问题
典例01（2023·全国·统考Ⅰ卷）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
典例02．（2021·全国·甲卷）已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，
F 分别为
和
的中点，D 为棱
上的点．
（1）证明：
；
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
预计2024 年高考中立体几何也会是以小题加解答题形式出现，小题将是以空间几何
体体内切外接球，线面角，以及体积为主，解答题则是以线面垂直以及二面角为主。
1．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百
姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台
，上下底
面的中心分别为
和
，若
，
，则正四棱台
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在梯形
中，
，将
沿
折起，连接
，得到三棱锥
，则三棱锥
体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．在正方体
中，点P 满足
，则（ ）
A．对于任意的正实数
，三棱锥
的体积始终不变
B．对于任意的正实数
，都有
平面
C．存在正实数
，使得异面直线
与
所成的角为
D．存在正实数
，使得直线
与平面
所成的角为
4．如图，在四棱锥
中，
底面
，四边形
是直角梯形，
，
，点
在棱
上.
(1)证明：平面
平面
；
(2)当
时，求二面角
的余弦值.
5．如图，在四棱锥
中，
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若线段
上存在点
，满足
，且平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求实数
的值．
（★精选9 道最新名校模拟考试题+9 道能力高频考点提升题）
一、单选题
1．（2024 上·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称
“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖
碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为
﹐下底面边长为
，
高为
，则
茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（ ）
A．7 碗
B．8 碗
C．9 碗
D．10 碗
2．（2024 上·四川达州·高三统考期末）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆
就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球
面距离．已知长方体
的所有顶点都在同一个球面上，且
，
，则
，
D 两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·安徽·模拟预测）在正方体
中，E，F 分别为棱
，
的中点，过直线EF
的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥
的高
的中点
作平行于底面
的截面A1B1C1D1，若四棱锥
与四棱台
的表面积之比为
，
则直线
与底面
所成角的余弦值为（ ）
A·新题速递
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2024 上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知三棱锥P-ABC 内接于球O，PA⊥平面ABC，
，AB⊥AC，
，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P-ABC 表面上运动，且
，已知
在弧度制下锐角
，
满足：
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．过点D 作球的截面，截面的面积最小为
B．过点D 作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q 的轨迹长为
D．点Q 的轨迹长为
6．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）若点P 是棱长为2 的正方体
表面上
的动点，点M 是棱
的中点，则（ ）
A．当点P 在底面ABCD 内运动时，三棱锥
的体积为定值
B．当
时，线段AP 长度的最大值为3
C．当直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为
D．直线DM 被正方体
的外接球所截得的线段的长度为
三、填空题
7．（2024 上·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其
枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚
大，代表着心胸开阔、和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体
，其中
的下半部分是半径为
的球
的一部分，
的上半部分是半径为3 的球
的一部分，且
，则过
直线
的平面截
所得截面的面积为 ．
四、解答题
8．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形
与
均为直角梯形，
平面
，
．
(1)已知点G 为AF 上一点，且
，求证：BG 与平面DCE 不平行；
(2)已知直线BF 与平面DCE 所成角的正弦值为
，求AF 的长及四棱锥D－ABEF 的体
9．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
，
，四边形
是菱
形，
，
是棱
上的动点，且
.
(1)证明：
平面
.
(2)是否存在实数
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值是
？若存在，求出
的值；若
不存在，请说明理由.
一、单选题 一、单选题
1．（2024·河北联考模拟）如图，西周琱生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．
该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆台和圆
柱的高之比约为
，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为
，则圆台
与圆柱的体积之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·云南·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱
中，
面
，
，
则直线
与直线
夹角的余弦值为（ ）
B·易错提升
A．
B．
C．
D．
3．（2024·河南·高三模拟）设
为两个不同的平面，
为三条不同的直线，则下列命题正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
二、多选题
4．（2024 上·河北邯郸·高三磁县第一中学）勒洛三角形也被称为定宽曲线，勒洛三角形的立体版就是如图
所示的立体图形，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，它是以正四面体的四
个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分组成的，因此它能像球一样来回滚动.这种立
体图形称为勒洛四面体，若图中勒洛四面体的四个顶点分别为P、A、B、C，任意两个顶点之间的距离为
1，则下列说法正确的是（ ）
A．图中所示勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为1
B．图中所示勒洛四面体的内切球的表面积为
C．平面
截此勒洛四面体所得截面的面积为
D．图中所示的勒洛四面体的体积是
5．（2024 上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知三棱锥P-ABC 内接于球O，PA⊥平面ABC，
，AB⊥AC，
，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P-ABC 表面上运动，且
，已知
在弧度制下锐角
，
满足：
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．过点D 作球的截面，截面的面积最小为
B．过点D 作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q 的轨迹长为
D．点Q 的轨迹长为
三、填空题
6．（2024·吉林·统考二模）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长. 清风牵动裙摆，处处彰显着几何的
趣味. 下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中
，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体
，则
的体积为 ;
的
外接球的表面积为 .
四、解答题
7．（2024 上·江苏苏州·高三校考期末）如图所示，四边形ABCD 为圆柱ST 的轴截面，点Р 为圆弧BC 上
一点（点P 异于B，C）．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)若
，
（
），且二面角
的余弦值为
，求
的值．
8．（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）如图，在四棱锥
中，
为
中点，平面
平面
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求出点
的位置；
若不存在，说明理由.
9．（2024·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，二面角
的正切值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
