1 / 8
学科网（北京）股份有限公司
备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题45 平面解析几何第五缉
1．【2021 年江西预赛】给定圆P: x
2+ y
2=2 x 及抛物线S: y
2= 4 x ,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲
线的四个交点,自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的
方程.
2．【2021 年福建预赛】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0) 的离心率为2
3 , A1
、A2
分别为椭圆C 的左、
右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，F1 为椭圆C 的左焦点，且△A1 F1B 的面积为
❑√5
2
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点D(1,0) 的动直线l 交椭圆C 于E、F 两点(点E 在x 轴上方), M 、N 分别为直线A1 E , A2 F
与y 轴的交点，求|OM |
|ON |
的值.
3．【2021 年福建预赛】如图，△ABC 的内切圆I 与三边分别相切于点D , E , F ,连接AD 与内切圆I 的另
一个交点为P ,过点P 分别作AC,AB 的平行线,与圆I 的另一个交点分别为R ,Q ,△DPQ 和△DPR 和的内
心分别为I 1 和I 2 ,求证:I 1 I 2// EF .
4．【2021 年重庆预赛】如图，在平面直角坐标系，已知F1, F2
分别: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 的左，右焦点.
设点D(1,0) 为线段OF2 的中点，直线MN（不与x 轴重合）过点F1 且与椭圆C 交于M，N 两点，延长
2 / 8
学科网（北京）股份有限公司
MD，ND 与椭圆C 交于P,Q 两点，设直线MN,PQ 的斜率存在且分删为k1,k2
,请将k2
k1
表示成关于a 的函数
即f (a)= k2
k1
,求f (a) 的值域.
5．【2021 年四川预赛】已知椭圆Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 的两顶点为A(-2,0),B(2,0) ,离心率为1
2 . 点
P (不同于A ,B¿¿ 在椭圆Γ 上，点D 的坐标为(- 4,0),⃑DE = 3
5⃑DP ,直线AP 与BE 交于点Q .求点Q 的
轨迹方程.
6．【2021 年浙江预赛】设C 为椭圆x
2
8 + y
2
4 =1 的左焦点，直线y =kx +1 与椭圆交于A,B 两点.
(1)求|CA |+|CB| 的最大值;
（2）若直线y =kx +1 与x 轴、y 轴分别交于M,N,且以MN 为直径的圆与线段MN 的垂直平分线的交点
在椭圆内部（包括在边界上），求实数k 的取值范围.
7．【2021 年新疆预赛】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1:( x +1)
2+ y
2=16 ，曲线C2: x
2
4 + y
2
2 =1 ,过
M (-1,0) 斜率不为零的直线与C1 交于A,B 两点,N (1,0), AN ,BN 的垂直平分线分别为l1,l2 ,求证:(1)
l1,l2 均与C2 相切;
(2)l1,l2 的交点P 在一条定直线上.
8．【2021 年全国高中数学联赛A 卷一试】在平面直角坐标系中，函数y =
x +1
| x|+1
的图像上有三个不同的
点位于直线l上,且这三点的横坐标之和为0.求l的斜率的取值范围.
9．【2021 年全国高中数学联赛B 卷一试】在平面直角坐标系中,函数y = 1
|x|的图像为Γ.设Γ上的两点P ,Q
3 / 8
学科网（北京）股份有限公司
满足：P在第一象限,Q在第二象限,且直线PQ与Γ位于第二象限的部分相切于点Q.求|PQ|的最小值.
10．【2020 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在平面直角坐标系中,点A,B,C 在双曲线xy =1上,满足△ABC
为等腰直角三角形.求△ABC的面积的最小值.
11．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在椭圆Γ 中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点,
F1, F2
为两个焦点.若⃗A F1⋅⃗A F2+⃗B F1⋅⃗B F2=0,求tan∠AB F1⋅tan∠AB F2
的值.
12．【2020 年福建预赛】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 的离心率为1
2
,右焦点F 到直线x - y +2=0
的距离为2❑√2, A1, A2
分别为柏圆C 的左、右顶点.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)过点F 的直线l 与相圆C 交于A、B 两点(A 在x 轴上方),T 为直线A1 A , A2B 的交点.当点T 的纵坐
标为6 ❑√3 时,求直线l 的方程.
13．【2020 年甘肃预赛】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a> b>0) ,短轴长为2❑√3 ,离心率为e1; 双曲线
x
2
m - y
2
n =1(m,n>0) 的渐近线为y =± ❑√3 x ,离心率为e2;e1e2=1.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)若A 为椭圆E 的右顶点,P(-1, 3
2)
,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一直线与椭圆E 交于M、
N 两点,设△HMA 的面积为S1,△PHN 的面积为S2 ,且S1=6 S2 ,求直线MN 的方程.
14．【2020 年吉林预赛】已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1
2
且过瑚圆的右焦点F 的
直线与糊圆交于A、B 两点,⃗OA +⃗OB 与⃗a= (-3,1) 共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M 为椭圆上的一点,且⃗OM = λ⃗OA + μ⃗OB( λ, μ∈R) ，证明: λ
2+ μ
2 为定值.
15．【2020 年四川预赛】过点P(0,1) 作一直线l,l 与抛物线y = x
2 交于两个不同点A、B,过点A,B 分别作
抛物线y = x
2 的切线,两条切线交于点Q.求点Q 到直线AB 的距离的最小值.
4 / 8
学科网（北京）股份有限公司
16．【2020 年浙江预赛】已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为
❑√3
2
,且椭圆C 的任意三个顶
点构成的三角形面积为1
2
.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若过点P( λ ,0) 的直线l 与椭圆交于相异两点A、B,且⃗AP =2⃗PB ,求实数λ 的取值范围.
17．【2020 年重庆预赛】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0) 与直线x =- ❑√2b 有且只有一个交点,P 为椭
圆C 上任一点,P1(-1,0) ,P2(1,0) ,且⃗P P1⋅⃗P P2 的最小值为a
2
.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线l: y =kx +m 与椭圆C 交于点A,B,O 为坐标原点,且⃗OM = 1
2 (⃗OA +⃗OB) ,当△AOB 的面积最大
时,求T =
1
| M P1|
2 -2| M P2| 的取值范围.
18．【2020 年新疆预赛】设椭圆x
2
2 + y
2
6 =1 有一个内接△PAB ，射线OP 与X 轴正向成π
3 角，直线
AP，BP 的斜率适合条件k AP+ k BP=0.
(I)求证：过A，B 的直线的斜率k 是定值；
(II)求△PAB 面积的最大值.
19．【2019 年全国】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切
于Γ的焦点F.求圆Ω的半径.
20．【2019 年江苏预赛】在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C : x
2
a
2 +
y
2
a
2-9
=1(a>3).
(1)过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴的直线与椭圆C交于M , N两点，若MN =9，求实数a的值;
(2)若直线l: x
a +
y
a-3 =1与椭圆C交于A ,B两点，求证:对任意大于3 的实数a，以AB为直径的圆过定点，
并求定点坐标.
5 / 8
学科网（北京）股份有限公司
21．【2019 年江苏预赛】如图，Pk (k =1,2,3,⋯,100)是边长为1 的正方形ABCD内部的点.E , F ,G , H分
别是AB ,BC ,CD , DA的中点，记d1=∑
k =1
100
❑E Pk ,d2=∑
k =1
100
❑F Pk ,d3=∑
k =1
100
❑G Pk ,d4=∑
k =1
100
❑H Pk
.
证明:d1,d2,d3,d4中至少有两个小于81.
22．【2019 年江西预赛】设椭圆C 的两焦点为F1, F2,两准线为l1,l2,过椭圆上的一点P,作平行于F1 F2的直
线,分别交l1,l2于M 1, M 2,直线M 1 F1与M 2 F2交于点Q.
证明:P , F1,Q , F2四点共圆.
23．【2019 年新疆预赛】设F是椭圆E: x
2
3 + y
2=1的左焦点，过点F斜率为正的直线l与E相交于A ,B两点，
过点A ,B分别作直线AM和BN满足AM ⊥l ,BN ⊥l.且直线AM ,BN分别与x轴相交于M和N.试求|MN|
的最小值｡
6 / 8
学科网（北京）股份有限公司
24．【2019 年浙江预赛】如图，椭圆C1: x
2
4 + y
2=1，抛物线C2: x
2=2 py( p>0)，设C1,C2相交于A ,B两
点，O为坐标原点.
(1)若△ABO的外心在椭圆上，求实数p的值;
(2)若△ABO的外接圆经过点N(0, 13
2 )
，求实数p的值.
25．【2019 年重庆预赛】已知过点P(3,0)斜率为k的直线l交双曲线C：x
2- y
2
3 =1右支于A 、B两点，F
为双曲线C的右焦点，且|AF|+|BF|=16，求k的值.
26．【2019 年福建预赛】已知F 为椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的右焦点，点P 为直线x=4 上动点，过点P 作椭圆C
的切线PA、PB，A、B 为切点.
(1)求证:A、F、B 三点共线;
(2)求△PAB 面积的最小值.
27．【2019 年广西预赛】设k>0 且k≠1,直线l:y=kx+1 与l1: y =k1 x +1关直线y=x+1 对称,直线l 与l1分别交
椭E: x
2
4 + y
2=1于点A、M 和A、N.
(1)求k ⋅k1的值；
(2)求证:对任意的k,直线MN 恒过定点.
7 / 8
学科网（北京）股份有限公司
28．【2019 年贵州预赛】已知定长为4 的线段AB 的两端点分别在两条相交直线x±2y=0 上移动.
(1)设线段AB 的中点为G,求点G 的轨迹C 的方程;
(2)若由点P 向曲线C 作出的两条切线互相垂直.求证:动点P 在定圆上.
29．【2019 年吉林预赛】已知椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
,右顶点为A,P 为椭
圆C 上任意一点.已知⃑P F1⋅⃑P F2
的最大值为3,最小值为2
(1)求椭圆C 的方程
(2)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于M、N 两点(M、N 不是左右顶点)，且以MN 为直径的圆过点A.求证:
直线l 过定点,并求出该定点的坐标.
30．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ : y
2= 4 x恰有一个
公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F.求圆Ω的半径.
8 / 8
学科网（北京）股份有限公司
