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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题41 平面解析几何第一缉
1．【2021 年福建预赛】已知离心率为❑√6
2
的双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1
、
F2, P 为双曲线上一点，R、r 分别为△P F1 F2 的外接圆、内切圆半径.若∠F1 P F2=60
° ,则R
r =
.
2．【2021 年重庆预赛】过拋物线E: y
2=2 x 的焦点F 作两条斜率之积为- 1
2
的直线l1,l2 ,其中l1 交E 于
A,C 两点,l2 交E 于B,D 两点，则| AC |+2|BD| 的最小值为
.
3．【2021 年广西预赛】设点P 在椭圆x
2
5 + y
2=1 上，F1, F2 是该椭圆的两个焦点，若△F1 P F2 的面积
为
❑√3
3
,则∠F1 P F2=
.
4．【2021 年全国高中数学联赛A 卷一试】在平面直角坐标系xOy中,拋物线Γ : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F,
过Γ上一点P(异于O)作Γ的切线,与y轴交于点Q.若|FP|=2,|FQ|=1,则向量⃗OP与⃗OQ的数量积为
.
5．【2021 年全国高中数学联赛B 卷一试】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y =a x
2-3 x +3(a≠0)的
图像与拋物线y
2=2 px ( p>0)的图像关于直线y = x +m对称,则实数a, p,m的乘积为
.
6．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在平面直角坐标系xOy中,圆Ω经过点(0,0), (2,4) , (3,3) ,
则圆Ω 上的点到原点的距离的最大值为
.
7．【2020 年福建预赛】设F1, F2
为双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0) 的左、右焦点,过F2
的直线l 与双
曲线C 的右支交于A、B 两点,且⃑A F1⋅⃑A F2=0,⃑F2B+2⃑F2 A =⃑0 ，则双曲线C 的离心率为
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8．【2020 年甘肃预赛】已知椭圆y
2
4 + x
2=1, P 为椭圆上的任意一点,过点P 分别作与l1: y =2 x 和l2:
y =-2 x 平行的直线分别与直线l2 ,l1 交于M , N 两点.则|MN| 的最大值为
.
9．【2020 年广西预赛】已知O 为坐标原点,曲线C1: x
2- y
2=1 与曲线C2: y
2=2 px 交于点M、N.若
△OMN 的外接圆经过点P( 7
2 ,0) ,则曲线C2 的方程为
.
10．【2020 年吉林预赛】设椭圆x
2
4 + y
2
3 =1 的左焦点为F ,过(1,1) 的直线l 与橙圆交于点A、B.当
△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积为
.
11．【2020 年浙江预赛】某竹竿长为24 米,一端直在墙上,另一端落在地面上.若竹竿上某一节点到墙的垂直
距离和到地面的垂直距离均为7 米,则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为
或
.
12．【2020 年重庆预赛】已知⊙O: x
2+ y
2=5
与抛物线C :y
2=2 px( p>0) 交于点A( x0,2), AB 为
⊙O 的直径,过点B 的直线与抛物线C 交于两点D 、E.则AD 与AE 的斜率之积为
.
13．【2020 年新疆预赛】直线x -2 y -1=0 与抛物线y
2= 4 x 交于A,B 两点,C 为抛物线上的一点,
∠ACB =90
° ,则点C 的坐标为
.
14．【2019 年全国】设A，B 为椭圆Γ的长轴顶点，E，F 为Γ的两个焦点，|ABl=4，| AF |=2+ ❑√3，P 为
Γ上一点，满足| PE|⋅| PF |=2，则△PEF 的面积为
.
15．【2019 年江苏预赛】已知与三条直线x + y =1, x +ay =2, x +2 y =3都相切的圆有且只有两个，则所有
可能的实数a的值的和为
.
16．【2019 年江西预赛】若△OAB 的垂心恰是抛物线y2=4x 的焦点,其中O 是原点,A,B 在抛物线上,则
△OAB 的面积S=
.
17．【2019 年内蒙古预赛】已知(a,b),(c ,d ),( x , y)是圆心在原点的单位圆上三个点的坐标,则
(ax +by -c)
2+(bx -ay +d )
2+(cx +dy +a)
2+(dx -cy -b)
2=
.
18．【2019 年浙江预赛】设三条不同的直线:l1:ax +2by +3(a+b+1)=0，l2:bx +2(a+b+1) y +3a=0，
l3:(a+b+1)x +2ay +3b=0，则它们相交于一点的充分必要条件为
.
19．【2019 年重庆预赛】已知△ABC为椭圆x
2
9 + y
2
4 =1的内接三角形，且AB过点P(1,0)，则△ABC的面
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积的最大值为________.
20．【2019 年福建预赛】已知椭圆C1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)与双曲线C2: x
2
m
2 - y
2
n
2 =1 (m>0, n>0)有相
同的焦点F1, F2，其中F1为左焦点.点P 为两曲线在第一象限的交点，e1,e2分别为曲线C1,C2的离心率，
若△P F1 F2是以PF1为底边的等腰三角形，则e2-e1的取值范围为
.
21．【2019 年广西预赛】已知点P(-2,5)在圆C : x
2+ y
2-2 x -2 y + F =0上,直线l:3x+4y+8=0 与圆C 相交
于A、B 两点,则⃗AB⋅⃗BC =
.
22．【2019 年吉林预赛】若直线2x+y-2=0 与直线x+my ー1=0 互相垂直,则点P(m,m)到直线x+y+3=0 的距
离为
.
23．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】设A、B 为椭圆Γ的长轴顶点，E、F 为Γ的两个焦点，
| AB|= 4，| AF |=2+ ❑√3，P 为上一点，满足| PE|⋅| PF |=2，则△PEF 的面积为
.
24．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在平面直角坐标系中，若以(r+1，0)为圆心、r 为半径的圆上
存在一点(a，b)满足b2≥4a，则r 的最小值为
.
25．【2018 年山西预赛】若双曲线L1
的两个焦点分别是椭圆L2: x
2
5
2 + y
2
4
2 =1的两个顶点，而双曲线L1
的两
条准线分别通过椭圆L2的两个焦点，则双曲线L1的方程是：________.
26．【2018 年江苏预赛】圆心在抛物线x
2=2 y上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为
________.
27．【2018 年贵州预赛】己知O 为△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足⃑OP=⃑OA + λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
，
其λ∈[0，+∞]，则P 点的轨迹为________．
28．【2018 年湖南预赛】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2,，CC1=1，一条绳子从点A 沿表面
拉到点C1，则绳子的最短的长度_______.
29．【2018 年陕西预赛】如图，已知抛物线y =2 px ( p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线
交于A ,B两点，且|AB|=3 p.设点A ,B在l上的射影为A
' ,B
'，今向四边形A A
' B
' B内任投一点M，则点
M落在ΔF A
' B
'内的概率是________.
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30．【2018 年陕西预赛】如图，已知抛物线y =2 px ( p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线
交于A ,B两点，且|AB|=3 p.设点A ,B在l上的射影为A
' ,B
'，今向四边形A A
' B
' B内任投一点M，则点
M落在ΔF A
' B
'内的概率是________.
31．【2018 年陕西预赛】如图，已知抛物线y =2 px ( p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线
交于A ,B两点，且|AB|=3 p.设点A ,B在l上的射影为A
' ,B
'，今向四边形A A
' B
' B内任投一点M，则点
M落在ΔF A
' B
'内的概率是________.
32．【2018 年广东预赛】已知关于x的实系数方程x
2-2 x +2=0和x
2+2mx +1=0的四个不同的根在复平
面内对应的点共圆。则m取值的集合是______.
33．【2018 年广东预赛】已知圆x
2+ y
2=8围成的封闭区域内（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数
是椭圆x
2
a
2 + y
2
4 =1围成的封闭区域内（含边界）整点数的1
5
，则正实数a的取值范围是_________.
34．【2018 年贵州预赛】函数 z =
❑√2 x
2-2 x +1+
❑√2 x
2-10 x +13
的最小值是______．
35．【2018 年山东预赛】若直线6 x -5 y -28=0交椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0，且a
2、b为整数）于点
A 、C．设B (0,b)为椭圆的上顶点，而△ABC的重心为椭圆的右焦点F2，则椭圆的方程为______．
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